几类特殊图的补倍图的点色数

由 正则图的 定义， )是!v (‘ 1 1正则图。 D(‘ ) 一 推论 2.1: 若‘ 单图， 女 (C )鉴 ( C } 为简 贝( ) D }(V ) .
证明: 由 定理1.1与定理2.1， 易知命题正确。 定理2 2 : 若‘ . 为n阶完全图，贝 抚(D(‘ )=n， )
其中n为正整数。
摘 要: 若图‘的 任意两个相邻顶点染不同的颇色， 则称为图 ‘的一 个正常染色。图 k 可着色的， ‘是 若 图‘存在一个正常k 着色。正常 着色的最小 k k值称为图 ‘的色数。文幸研究了 完全图、 圈、路的补倍图的点色数。 关链词: 补倍图; 点色数; 正则图; 完全图; 圈; 路
中图分类号: 0 1 2 7 5. 文献标识码: A 文章编号: 16 1一 7 1351 (20 8 0 一 刃 0 ) ( ) 2 仪 8一 2
(，， ) 则称该着色为正常的。图‘ 的正常k着色的 最 刁 值称为‘ 色数， 味 的 记从声 ， 记为x 若图‘ (G 简 . ) 存在
证明: C 为‘ ’ 的同构图，由 定义1.2， D(‘ ( V ))二
( ) ( ’ 若 与 邻 ， 叭 ， 接， V C UV G)， 叭 吟 接 则 与今邻 否 不 则‘ ，接 由 为 单 知 任 。 V(‘ ， ， 。 ‘ 简 图 对 意 。 )与 与j邻
D X -
尺
n= 2 ， = 3
n= 4 n >4
3 一
证明: 当n二 2时，只为完全图，由定理2 3 . ( ’ V c ，). 要证此情形只 需找到 一种正常 着色的 方法， 分 对v( ，)与v( .，)进 着色 首 用 {1， 别 C c 行 。 先， 2} 知才 (D(尺) )二 . 2 对c，的顶点 扣 。 l + ;， 2，…， 习 进行依次循环着 ， 当 3时， = n D(只)为6阶偶圈， 则D(只)为 2一 可着 色。用{ 31对顶点V( ， C + ;)着色， 则C水 :是3可着色 色的。 的。 其次， 对c.‘的 1 顶点 柯1 ，， 二 ， 着色。 ， 、 。， 切 当n= 时，令P ’ 4的同构图。首先，用 4 4为p 由 定义1.2知， ’ ， 。与 ， 1 不邻接， ， 2， Z+邻接知 由1 与。 ，l k l 2} 几 点 ， ， ， 姗依次 { ， 对 的 { ，处 巧 ， ， 循环着色， ，与， ， 1 、 2， ‘不邻接，于是必存在t ( ‘ ‘ ， 3 t Z k) k 由 义 定 1.2，p ， 顶点 { ， ， ， ， ‘ 的 。， ， ， ， ， 2， 3， 姗中， ， ，与 1 1)， 。 ， t ， 使 :， ， ; ;邻接， 。 ， 。 + 因 ;与 其中 ， ， y(c， ，， :)， 此 3、 4 邻接， 此 ， 能着 11， . 故可 { 给 因 ， :不 2} 用 31 叭 不能着色 1 ， . 故可用 1 } 给 着色。由 1 2 3 叭 定 ， ， 、 1 3 ，与，不邻 义1.2知， ， 2 ， 不邻接。由 2 3， :邻接知， :与， 。 与， ， ， :与 ，着色。同理可用 《 给叭着色，由 、 、 接， ， 处 而与 :， 邻接， .2与。 ，邻接知。不能着 ， 4， 、 、 。“还邻接， 3， ， 于是必存在t ( ‘ Z + ， ) ， 4 t蛋 l k> 使 k 1 3}，因此可用 111 给，着色，由 ， ;， ， ， 2 ，与， ， 3 2， ， 。 ，邻接， ’ ，邻接，因此 、 ，、 ’ ， ;与 2 又，与 ’ 2 1 ，不能着色 {2， ， ’ 郡接知 、 着 { }， 此可 { 给 ’ ， 不能 3 因 用 2} ， 3 着色。 {1， 31。 2， 故可用 { 给 ， 4} 。 2 着色。 由上述方法知D(几)为3一 可着色的。下面证明 继续这个过程， 易知给 { 、 。， 。 可 。， 、 …， .动 当 4 时的 n> 情形。 用 { 4 依次循环着色。对于顶点扩+，由 3， } ， l 定义 1.2知， 必存在 :， : EV ( ，){ t鉴 一 k> } 。‘ C + 2簇 Z 1， l l k 令 ’ 只 构图， 定义12， D (只 V (只) U 尸 为 的同 。 由 V( ))= 用 与 ’1 ， 邻接， ， 水 所以 知不能着 11， ， ， :与 ’ ) 2 又 ’ ， ， v 伊’。首先，对只的顶点 扣 ， 水 二 刀 :， 2，…， J 其 ， 仕 ，邻接， ，1 ， 1 则。 +不能着 《 4}， ， 3， 故可用 { 给 ， 51 ，+ 、 l ， 1 为2一 可着色的。 次 2 依次循环着色，因此只 着色。 ， 、 对尸 的顶点 倒:， 2， 扩 着色。由 矿 …， J 定义
定理1.1 1闷 对任意的图‘ 沐 + ，△表 : 均有 ‘△ l 示‘ 的顶点的最大度。 定义， 1闷 设有两个图‘ ‘， .1 : ， ，若在其顶点 集合之间存在双射，即存在一一对应的关系，使
得边之间有如下关系:
设 ‘，， ” 号t ‘隽 V (C)，，，。 ， ’ 约 ，， ， 。 “‘ ; ，，公 V ‘
竹 V C ( 刹)，与 邻 的 数 d 。 从 约 任 ) i ( 从 约 接 个 为 ‘ 与不 ( )，
一个正常几 着色， 则称G是 可着色的。 无
1 预 备知识
邻 的 数 (} (C 1 1)一 ‘ 即 ， ， 接 接 个 为 V ) 一 d(， 为‘ 冬 )， 与邻
的 数， 任 ， 气 *。 个 则 意‘ 扣 v(D(‘ ， k 的 与 ) 1笋 ) 邻 接 数 J (， 个 为 ‘ (c )卜 J (，=}(V(C)卜 )+[}(犷 1)一 ‘ )1 1.
引
言
UE(G)Ul，公 。 ’ ‘1‘V(C)，冬 V (C’ 且 声样 ， 。 ，。 )， ，号E
(‘ 则称图 (‘ 为关于图‘ )1， D ) 的补倍图。
2 重 要 结果及证 明
一个图‘ 定义为一个有序对 ( V， ，记为‘ E) = ( V， 既没有环也没有重边的图称为简单图。 设 E).
‘ v， ( E)为简单图， : 若对所有的 。 ， 和k ， 。 v 有d )=
其中 k为正整数。 k= 时，即为n= 的情形 ，由定理22 l 3
3 4 1 ，对依次循环着色。故 C 动为4一 1 D( 可着色的。
则 定理2 5: 若只 . 为n阶路，
， ‘
，
证明
知， (D(几 x )卜3. 下面证明 l 时的 k> 情形C.，为c，
的同构图，由定义1. ，V( D(C， ) ) 二 2 l + V(C， u ) l +
20 8 年3 月 0
第 28 卷 第 2 期
天水师范学院学报
Jour a o Tianshui Nor a Univer ity nl f ml s
Ma . ，0 8 r 20
Vo .2 8 No .2 l
几类特殊 图的补倍 图的点色数
安常胜，冯旭霞
(兰州交通大学 数理与软件工程学院， 甘肃 兰州 7 0 70 3 )
则称图‘ 为k正则图。完全图、圈、路为几类特殊 的简单图。
定理2.1: 若图 为 ‘ 简单图， D(‘ 则 )是Iv(‘ l )
一 1正则图.
给 ‘ v ， 称映 户 仕2， …，为 定图 : E)， 射 v* ， 3， 料 (
‘ 的一个k点着色， 简称着色。 称{1， 3， 料 2， …， 为色 集。 若对‘ 任意两个相邻顶点u和 均满足 u 彩 中 ， 八 )
. ’，竹 (C)，，EE(C)当 仅 ” ， E(C)， ， ‘ 且 当’ 今 ’几‘ ‘“ ， 吟
构， ‘的 ， ’
为‘ ’ 哭C
证明: 由 为n阶 ‘ 完全图，歇(C)二 布 1(y(G) 1 =n.
又由定义12， 对补倍图D ( ‘ 的子图‘ C ，有 ) ， ’
定义1.2闭 设图 = v ， : ‘ E)为简单图， ( 其同构图
为C， . 若V(D(G) )=V(G) u V(C， E(D(C))=E(G) )，
Cn C， ，因此 (D(C))浦(C)二 神 万 n. 定理2 3: 若CZ 为Z + 阶奇圈， 女(D( ‘ . l + k kl 贝 c :”
收稿日期: 2( 8一 一 ) 2 0 X 0 1 作者简介: 安常 胜(198 一， 甘肃愉中 兰州交通大学 理与 3 ) 男， 人， 软件工程学院 在读硕士 研究生。 苍金项目: 国家自 然科学基金项目( 0 7 0 1 阶段性成果 17 1 )
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