上海高一高中数学竞赛题目
上海高一高中数学竞赛题目
近年来，数学竞赛在中国的中小学生中越来越受欢迎。数学竞赛不
仅能够提高学生的数学水平，还能培养他们的逻辑思维和解决问题的
能力。上海作为中国数学教育的重要城市，每年都会举办高一高中数
学竞赛，吸引了众多学生的参与。下面是一些上海高一高中数学竞赛
的题目，让我们一起来挑战一下吧！
题目一：已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(3)的值。
解析：将x=3代入函数f(x)中，得到f(3) = 3^2 + 2×3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16。
题目二：已知等差数列的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，求该等差数
列的第n项。
解析：设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。根据等差
数列的性质，有Sn = n/2 × (2a + (n-1)d)。将Sn = 3n^2 + 2n代入，得到
3n^2 + 2n = n/2 × (2a + (n-1)d)。整理得到3n^2 + 2n = an^2 + (a-d)n + ad。由此可得an = 3n^2 + 2n - an^2 - (a-d)n - ad。整理得到an = 2n^2 + (2d-a)n + ad。因此，该等差数列的第n项为an = 2n^2 + (2d-a)n + ad。
题目三：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f'(x)的值。
解析：函数f(x)的导数f'(x)表示函数f(x)的斜率。对于多项式函数，求导的方法是将每一项的指数乘以系数，并降低指数1。根据这个规则，对于函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求导得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
题目四：已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(-1)的值。
解析：将x=-1代入函数f(x)中，得到f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 + 2(-1)
= -1 - 3 + (-2) = -6。
这些题目只是上海高一高中数学竞赛中的一小部分，但它们涵盖了
数学的不同领域，包括函数、等差数列和导数等。通过解答这些题目，学生们可以巩固和应用所学的数学知识，提高他们的解题能力和思维
灵活性。
数学竞赛不仅仅是一场比赛，更是一种学习和成长的过程。通过参
加数学竞赛，学生们可以接触到更多的数学问题，拓宽他们的数学视野。同时，数学竞赛还能培养学生的团队合作精神和竞争意识，激发
他们对数学的兴趣和热爱。
上海高一高中数学竞赛为学生们提供了一个展示自己数学才华的舞台，也为他们提供了一个相互学习和交流的机会。希望通过这些题目
的解析，能够激发更多学生对数学竞赛的兴趣，进一步提高他们的数
学水平。让我们一起努力，成为数学竞赛的冠军！
高中数学奥林匹克竞赛试题及答案
高中数学奥林匹克竞赛试题及答案 1 求一个四位数，它的前两位数字及后两位数字分别相同，而该数本身等于一个整数的平方．1956年波兰． x＝1000a＋100a＋10b＋b＝11（100a＋b） 其中0＜a?9，0?b?9．可见平方数x被11整除，从而x被112整除．因此，数100a＋b＝99a＋（a＋b）能被11整除，于是a＋b能被11整除．但0＜a＋b?18，以a＋b＝11．于是x＝112（9a＋1），由此可知9a＋1是某个自然数的平方．对a＝1，2，…，9逐一检验，易知仅a＝7时，9a＋1为平方数，故所求的四位数是7744＝882． 2 假设n是自然数，d是2n2的正约数．证明：n2＋d不是完全平方．1953年匈牙利． 【证设2n2＝kd，k是正整数，如果n2＋d是整数x的平方，那么k2x2＝k2（n2＋d）＝n2（k2＋2k） 但这是不可能的，因为k2x2与n2都是完全平方，而由k2＜k2＋2k＜（k ＋1）2得出k2＋2k不是平方数． 3 试证四个连续自然数的乘积加上1的算术平方根仍为自然数．1962年上海高三决赛题． 【证】四个连续自然数的乘积可以表示成n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＝（n2＋3n）（n2＋8n＋2）＝（n2＋3n＋1）2－1 因此，四个连续自然数乘积加上1，是一完全平方数，故知本题结论成立． 4 已知各项均为正整数的算术级数，其中一项是完全平方数，证明：此
级数一定含有无穷多个完全平方数．1963年俄 【证】设此算术级数公差是d，且其中一项a＝m2（m∈N）．于是a＋（2km ＋dk2）d＝（m＋kd）2 对于任何k∈N，都是该算术级数中的项，且又是完全平方数． 5 求一个最大的完全平方数，在划掉它的最后两位数后，仍得一个完全平方数（假定划掉的两个数字中的一个非零）．1964年俄． 【解】设n2满足条件，令n2＝100a2＋b，其中0＜b＜100．于是n＞10a，即n?10a＋1．因此b＝n2100a2?20a＋1 由此得 20a＋1＜100，所以a?4．经验算，仅当a＝4时，n＝41满足条件．若n＞41则n2－402?422－402＞100．因此，满足本题条件的最大的完全平方数为412＝1681． 6 求所有的素数p，使4p2＋1和6p2＋1也是素数．1964年波兰【解】当p≡±1（mod 5）时，5|4p2＋1．当p≡±2（mod 5）时，5|6p2＋1．所以本题只有一个解p＝5． 7 证明存在无限多个自然数a有下列性质：对任何自然数n，z＝n4＋a 都不是素数．1969德国． 【证】对任意整数m＞1及自然数n，有n4＋4m4＝（n2＋2m2）2－4m2n2＝（n2＋2mn＋2m2）（n2－2mn＋2m2） 而 n2＋2mn＋2m2＞n2－2mn＋2m2＝（n－m）2＋m2?m2＞1故n4＋4m4不是素数．取a＝4224，4234，…就得到无限多个符合要求的a． 8 将某个17位数的数字的顺序颠倒，再将得到的数与原来的数相加．证明：得到的和中至少有一个数字是偶数．1970年苏
高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题——珍藏版
高中奥林匹克竞赛数学平面几何100题— —珍藏版 高中数学联赛的几何题目有100道，难度较高。这些题目涉及到各种不同的几何概念和定理，需要考生具备扎实的数学基础和丰富的解题经验。 在这些题目中，有许多需要考生进行证明，需要考生熟练掌握各种证明方法和技巧。同时，还有一些需要考生进行画图，需要考生具备良好的几何直观和手绘能力。 这些几何题目的难度不仅仅在于其题目本身，还在于考试的时间限制。考生需要在有限的时间内解决尽可能多的问题，因此需要考生具备快速解题的能力和良好的时间管理能力。 为了更好地应对这些几何题目，考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练。同时，还需要多做一些类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。
总之，高中数学联赛的几何题目难度较高，需要考生具备扎实的数学基础、丰富的解题经验、良好的几何直观和手绘能力、快速解题的能力和良好的时间管理能力。考生需要在平时的研究中注重基础知识的掌握和解题技巧的训练，并多做类似的练题目，以提高自己的解题水平和应对能力。 1.研究证明角平分 在这一部分中，我们将研究如何证明一个角被平分。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角平分线的定义、角度相等、相似三角形等。 2.研究证明四点共圆 在这一部分中，我们将研究如何证明四个点共圆。这个问题也是几何学中的基础问题之一。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用圆的定义、圆心角、垂直等。 3.研究证明角的倍数关系
在这一部分中，我们将研究如何证明角的倍数关系。这是一个非常重要的几何问题，因为它在许多几何证明中都有应用。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用角度相等、相似三角形等。 4.证明线与圆相切 在这一部分中，我们将研究如何证明一条线与一个圆相切。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用切线的定义、圆心角等。 5.证明垂直 在这一部分中，我们将研究如何证明两条线段垂直。这是一个非常基础的几何问题，但是它的应用非常广泛。我们将介绍几种不同的证明方法，包括使用垂直的定义、垂直角等。 6.证明线段相等
上海高一高中数学竞赛题目
上海高一高中数学竞赛题目 近年来，数学竞赛在中国的中小学生中越来越受欢迎。数学竞赛不 仅能够提高学生的数学水平，还能培养他们的逻辑思维和解决问题的 能力。上海作为中国数学教育的重要城市，每年都会举办高一高中数 学竞赛，吸引了众多学生的参与。下面是一些上海高一高中数学竞赛 的题目，让我们一起来挑战一下吧！ 题目一：已知函数f(x) = x^2 + 2x + 1，求f(3)的值。 解析：将x=3代入函数f(x)中，得到f(3) = 3^2 + 2×3 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16。 题目二：已知等差数列的前n项和为Sn = 3n^2 + 2n，求该等差数 列的第n项。 解析：设等差数列的首项为a，公差为d，第n项为an。根据等差 数列的性质，有Sn = n/2 × (2a + (n-1)d)。将Sn = 3n^2 + 2n代入，得到 3n^2 + 2n = n/2 × (2a + (n-1)d)。整理得到3n^2 + 2n = an^2 + (a-d)n + ad。由此可得an = 3n^2 + 2n - an^2 - (a-d)n - ad。整理得到an = 2n^2 + (2d-a)n + ad。因此，该等差数列的第n项为an = 2n^2 + (2d-a)n + ad。 题目三：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求f'(x)的值。 解析：函数f(x)的导数f'(x)表示函数f(x)的斜率。对于多项式函数，求导的方法是将每一项的指数乘以系数，并降低指数1。根据这个规则，对于函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求导得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
高中数学竞赛训练题(含答案)
例1、求点集中的元素的个数． 分析及答案 思路分析：应首先去对数将之化为代数方程来解之． 解：由所设知x>0，y>0及 由平均值不等式，有 当且仅当即（虚根舍去）时，等号成立． 故所给点集仅有一个元素． 评述：此题解方程中，应用了不等式取等号的充要条件，是一种重要解题方法，应注意掌握之． 例2、已知集合A={(x，y)}||x|＋|y|=a，a>0|，B={(x，y)||xy|＋1=|x|＋|y|}． 若A∩B是平面上正八边形的顶点所构成的集合，则a的值为____________． 分析及答案 思路分析：可作图，以数形结合法来解之． 略解：点集A是顶点为（a，0），（0，a），（－a，0），（0，－a）的正方形的四条边构成（如 图所示）． 将|xy|＋1=|x|＋|y|，变形为（|x|－1）（|y|－1）=0，
所以，集合B由四条直线x=±1，y=±1构成． 欲使A∩B为正八边形的顶点所构成，只有a>2或1 ． 结论仍然不变，显然，A′为终边在坐标轴上的角的集合，B′为终边在x轴上的角的集合，C′ 为终边在y轴上的角的集合，D′为终边在y轴上及在直线上的角的集合，故应选C． 评述：解法1是直接法，解法2运用转化思想把已知的四个集合的元素转化为我们熟悉的角的集合，研究角的终边，思路清晰易懂，实属巧思妙解． 例4、设有集合A={x|x2－[x]=2}和B={x||x|<2}，求A∩B和A∪B（其中[x]表示不超过实数x之值的最大整数）． 分析及答案 思路分析：应首先确定集合A与B． 从而－1≤x≤2．显然，2∈A． ∴A∪B={x|－2 高中数学竞赛试题汇总 高中数学竞赛模拟试题一一试 一、填空题（共8小题，8×7=56分） 1、已知点(x,y)在直线x+2y=3上移动，当2x+4y取最小值时，点(x,y)与原点的距离是。 2、设f(n)为正整数n（十进制）的各数位上的数字的平方之和，比如记f1(n)=f(n)，fk+1(n)=f(fk(n))， f(123)=12+22+32=14.k=1,2,3.则f2010(2010)=。 3、如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的二面角度数是。 4、在1,2.2010中随机选取三个数，能构成递增等差数列的概率是。 5、若正数a,b,c满足abc=-(b+ca+ca+b)，则ba+c的最大值是。 6、在平面直角坐标系xoy中，给定两点M(-1,2)和N(1,4)，点P在X轴上移动，当∠MPN取最大值时，点P的横坐标是。 7、已知数列a,a1,a2.an。满足关系式(3-an+1)(6+an)=18且 a=3，则∑(i=1 to n)ai的值是。 8、函数f(x)=sinx+tanxcosx+tanxcosx+cotxsinx+cotx的最 小值为。 二、解答题（共3题，14+15+15=44分） 9、设数列{an}满足条件：a1=1,a2=2，且an+2=an+1+an (n=1,2,3.)，求证：对于任何正整数n，都有： na(n+1)≥1+(n/2)(an)2,3. 10、已知曲线M:x2-y2=m，x>0，m为正常数．直线l与 曲线M的实轴不垂直，且依次交直线y=x、曲线M、直线y=- x于A、B、C、D4个点，O为坐标原点。 1）若|AB|=|BC|=|CD|，求证：△AOD的面积为定值； 高中数学竞赛试题及答案 试题（一） 一、 ABC ∆为等边三角形，P 为其内一动点，且120APC ∠=。AP 交BC 于N 、CP 交AB 于M 。求BMN ∆外心O 的轨迹。(12分) 二、 任意选24个相异且小于88的正奇数，试证：其中必有两个数它们的和是90。 (12分) 三、 试证：对实数,,,0a b c d ≥， ()()()() ()()()()222222224a b c d a b b c c d d a ++++≥++++。(12分) 四、定义：设A 是二阶整系数方阵，若存在二阶整系数方阵B ，使得 1001AB BA I ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦ ，则称A 可逆。(13分) (1) A 是二阶整系数方阵。试证：A 可逆的充要条件为A 的行列式||1A =±。 (2) 设A , B 均为二阶整系数方阵，且,,2,3,4A A B A B A B A B ++++均可 逆，试证：5A B +亦可逆。 试题（二） 一、设(1)2(,,)(1)2,,,(1)2x x yz A x y y z z x y y zx x y z z z xy ⎧⎫-+⎪⎪=---=-+∈ ⎨⎬⎪⎪=-+⎩⎭ ，试求A 。 (5分) 二、记不大于t 的整数中最大的整数为[]t 。求方程 22[2]2[][]x x x x -+= 在03x ≤<内所有实数解。(5分) 三、设a 和b 为实数，且使方程 43210x ax bx ax ++++= 至少有一个实根，对所有这种数对(,)a b ，求出22 a b +的最小可能值。(6分) 四、令N 为自然数集，若函数:f N N →满足(1)()f n f n +>且(())3f f n n =， 求(54)f 。(5分) 最新高中数学奥数竞赛试题 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1如图，正六边形AB I C I D I E I F I的边长为1,它的6条对角线又围成一个正六边形A2B2C2D2E2F2,如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是. a j 3 2.已知正整数目也上，然满足：-,1 i j 10,则司0的 最a i 2 小可能值是. 3.若tan ta n ta n 17 6， cot cot co t cot cot cot cot cot cot ta n 4.已知关于x的方程lg kx 21g 解，则实数k的取值范围是 1仅有一个实数 围. 求h （x ）的表达式，并写由X 的取值范 5.如图， AEF 是边长为X 的正方形ABCD 的内接三角形, 6 .方程2m 3n 3n 1 2m 13的非负整数解 m,n 7. 一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的, 两个是白色的，一个是黑色的，依次从中摸由 5个小球，相 作答） a n 定 义 如 、解答题 9 .（本题满分14分）如图，在平行四边形ABCD 中，AB x,BC 1, 对角线AC 与BD 的夹角 BOC 45 ,记直线AB 与CD 的距离为 h(x). 已知 AEF 90 , AE a,EF b,a b 邻两个小球的颜色均不相同的概率是 .（用数字 a i 1是 2 , a n 2 n 1 --a n ,n 1,2,L n 2 a m 2011 2012，则正整数 m 的最小值为 10.(本题满分14分)给定实数a 1 ,求函数 一、(a sinx)(4 sin x) f(x)-：一：的最小值. 1 sin x 11 .(本题满分16分)正实数x,y,z满足 9xyz xy yz zx 4,求证: (D xy yz zx (2)x y z 2. 12.(本题满分16分)给定整数n( 3),记f(n)为集合 1.2,L ,2n 1的满足如下两个条件的子集A的元素个数的最小值： (a) 1 A, 2n 1 A ； (b)A中的元素(除1外)均为A中的另两个(可以相同) 元素的和. (1)求f(3)的值； (2)求证：f(100) 108. 上海市中学生数学竞赛真题 一、选择题 1. 答案：A 2. 答案：B 3. 答案：C 4. 答案：D 5. 答案：B 二、填空题 1. 答案：27 2. 答案：36 3. 答案：40 4. 答案：15 5. 答案：8 三、计算题 1. 答案：112 解析：将4的倍数表示为4k，5的倍数表示为5m。由于2002是最小公倍数，所以4k+5m=2002。求得k=333，m=267，则 4k+5m=4*333+5*267=112。 2. 答案：24 解析：设三个数分别为x、y、z，由题意可得x+y+z=9， x^2+y^2+z^2=45。通过计算可以得出x=3，y=2，z=4，所以 x*y*z=3*2*4=24。 3. 答案：6 解析：根据题意，可以列出不等式4x+2y≤18，x+y≥6。通过计算可以得出最大值为6。 4. 答案：21 解析：设捞上来的小鱼数量为x，由题意可得x/3-2/5x=21。通过计算可以得出x=70，所以小鱼的直观数量为21。 5. 答案：8 解析：分子大于分母时，可以通过除法将整数部分的数除掉，得到真分数。最后的结果为8/1=8。 四、应用题 1. 计算追赶问题的时间 解析：根据题意，张三的速度为8m/s，李四的速度为6m/s。令追赶时间为t，则张三走过的距离为8t，李四走过的距离为6t。由于他们追赶成功时两人距离为500m，所以8t-6t=500，求得t=250。所以追赶成功所需要的时间为250秒。 2. 设计三角形的边长 解析：根据题意，三个数字都是2的倍数，并且大于2。所以可以选择边长为6，8，10的三角形。 3. 计算三角形的面积 解析：根据题意，可以使用海伦公式计算三角形的面积。设三边长分别为a，b，c，则半周长s=(a+b+c)/2。根据海伦公式，三角形的面积为sqrt(s(s-a)(s-b)(s-c))，代入数值计算可得面积为15。 4. 计算梯形的面积 解析：根据题意，上底为5cm，下底为12cm，高为8cm。根据梯形面积公式，面积为(上底+下底)*高/2= (5+12)*8/2= 136/2= 68。 5. 计算立方体的体积 解析：根据题意，可以使用体积公式V=a^3，其中a为边长。代入数值计算可得体积为27。 上海市高中数学竞赛试题及答案 一、填空题（本题满分60分，前4小题每题7分，后4小题每题8分） 1.已知函数()2f x ax bx c =++（0a ≠，,,a b c 均为常数），函数()1f x 旳图象与函数()f x 旳图象有关y 轴对称，函数()2f x 旳图象与函数()1f x 旳图象有关直线1y =对称，则函数 ()2f x 旳解析式为 ． 答案：()22 2.f x ax bx c =-+-+ 解 在函数()y f x =旳体现式中用x -替代x ，得()21f x ax bx c =-+，在函数()1y f x =旳体现式中用2y -替代y ，得()22 2.f x ax bx c =-+-+ 2.复数z 满足1z =，2 2 2 3w z z =-在复平面上相应旳动点W 所示曲线旳一般方程是 ． 答案：2 2 1.25 y x += 解 设,z a bi w x yi =+=+，则22 1a b +=， ()()()() ()()()()()2 2 2 2 2 2 22 2222 333210. a bi x yi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a bi a b abi -+=+- =+- ++-=+--=-+ 从而2 2 ,10x a b y ab =-=，于是()2 22 22224 1.25 y x a b a b +=-+= 3.有关x 旳方程arctan 2arctan 26 x x π --= 旳解是 ． 答案：2log x = 解 由于( )()tan arctan 2tan arctan 2221x x x x --⋅=⋅=，因此arctan 2arctan 22 x x π -+= ， 解得arctan 2,arctan 23 6 x x π π -= = ，则22log x x == 4.红、蓝、绿、白四颗骰子，每颗骰子旳六个面上旳数字为1,2,3,4,5,6，则同步掷这四颗 2019年上海市高中数学竞赛（新知杯）试卷 （2019年3月22日 星期日 上午8：30~10：30） 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分） 1. 设1210,, ,(1,)a a a ∈+∞，则 1210 1210 20092009 2009 2009log log log log a a a a a a +++的最小值是 。 2. 已知,*x y N ∈，且1 2121999x y -+++=++++，则将y 表示成x 的函数，其解 析式是y = 。 3. 已知函数2 ()|2|f x x =-，若()()f a f b =，且0a b <<，则ab 的取值范围是 。 4. 满足方程2 2 22 13log [2cos ()]2cos ()4 xy y y xy + =-++的所有实数对(,)x y = 。 5. 若 []a 表示不超过实数 a 的最大整数，则方程 2 [tan ]2sin x x =的解是 。 6. 不等式22 3242x x ≤⋅+⋅的解集是 。 7. 设A 是由不超过2009的所有正整数构成的集合，即{1,2, ,2009}A =，集合L A ⊆， 且L 中任意两个不同元素之差都不等于4，则集合L 元素个数的最大可能值是 。 8. 给出一个凸10边形及其所有对角线，在以该凸10边形的顶点及所有对角线的交点为顶点的三角形中，至少有两个顶点是该凸10边形顶点的三角形有 个。 二、解答题 9.（本题满分14分）设函数()f x 定义于闭区间[0,1]，满足(0)0,(1)1f f ==，且对任意 ,[0,1],x y x y ∈≤，都有22( )(1)()()2 x y f a f x a f y +=-+，其中常数a 满足01a <<，求a 的值。 10. （本题满分14分）如图，A 是双曲线2 214 x y -=的右顶点，过点A 的两条互相垂直的直线分别与双曲线的右支交于点,M N ，问直线MN 这样的定点，请说明理由；如果存在这样的定点P 11. （本题满分16分）设,A B 是集合12345{,,,,}a a a a a 的两个不同子集，使得A 不是B 的 子集，B 也不是A 的子集，求不同的有序集合对(,)A B 的组数。 12. （本题满分16分）设正整数构成的数列{}n a 使得1091081019k k k a a a --++ +≤对一切 2000年上海市高中数学竞赛试题试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、填空题 1．若函数()cot cot 4x f x x =-又能写成()sin sin sin 4 kx f x x x =⋅，则k 的值是________. 2．sin102sin10sin 20sin 40︒+︒⋅︒⋅︒的值是________. 3．设{}n a 是一个等差数列，12119,3a a ==，记()16n n n a A a a a n N ++=+++∈则n A 的最小值为________. 4．已知两个圆221:1C x y +=和()2 22:216C x y -+=.则与1C 外切且与2C 内切的圆的圆心轨迹方程是________. 5．由方程62 x x y -+=所对应的曲线围成的图形面积________. 6．若[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则方程[]2 cot 2cos x x =的解集是________. 7．数列{}n a 中，1231,1,2a a a =-==-.若对一切n N ∈有123123n n n n n n n n a a a a a a a a ++++++=+++，且 1231n n n a a a +++≠，则该数列前4321项的和4321S 的值是________. 8．已知a Z ∈，且63320x x -+能被2x x a -+整除．则a 的值是________. 9．在四面体P ABC -中，1PA PB PC BC ====，则该四面体体积的最大值为________． 10．在1,3,5,7,,99这50个连续奇数中任取k 个数，使得在这k 个数中必存在3个数，以这3个数为边长可以组成三角形．则k 的最小值是________. 二、解答题 11．1，2，3，4，5的排12345,,,,a a a a a 列具有性质：对于14i ≤≤，12,,,i a a a 不构成1,2,,i 的某个排列．求这种排列的个数. 12．有多少个正整数有序数对(),x y ，具有如下性质；100y x <≤，且x y 和11 x y ++都是整数？ 高一数学竞赛试题及答案 时间： /3/18 注意：本试卷均为解答题. 解答应写出文字阐明、证明过程或演算环节.总分150分, 考试时间120分钟. 1.（本小题满分15分） 设集合{}()(){}222320,2150,A x x x B x x a x a a R =-+==+++-=∈， （1）若{}2A B =求a 值； （2）若A B A =,求a 取值范畴； （ 3）若(), U U R A C B A ==,求a 取值范畴. 2.（本小题满分15分）设},)]([|{},)(|{x x f f x N x x f x M ==== （1）求证：;N M ⊆ （2）)(x f 为单调函数时，与否有N M =？请阐明理由. 3．（本小题满分15分） 已知函数444)cos (sin )cos (sin 2)(x x m x x x f +++=在]2, 0[π∈x 有最大值5， 求实数m 值． 4．（本小题满分15分） 已知函数f(x)在R上满足f(2－x)＝f(2＋x)，f(7－x)＝f(7＋x)且在闭区间[0,7]上，只有f(1)＝f(3)＝0，(1)试判断函数y＝f(x)奇偶性； (2)试求方程f(x)＝0在闭区间[－2 011,2 011]上根个数，并证明你结论． 5．（本小题满分15分） 已知二次函数)0,,(1)(2 >∈++=a R b a bx ax x f ，设方程x x f =)(两个实数根为1x 和2x . （1）如果4221<< 高一数学竞赛试卷 考试范围：xxx ；考试时间：xxx 分钟；出题人：xxx 姓名：___________班级：___________考号：___________ 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、选择题 1.设，实数满足，则函数的图象形状 （ ） 2.的内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且a 2-c 2 +b 2<0 ，则角C 是 （ ） A.小于600的角 B. 钝角 C.锐角 D. 都有可能 3. 设，用二分法求方程在内近似解的过程中，可计算得到：则该方程的根落在以下 区间（ ）中. A ．（0,1.25） B ．（1， 1.25） C ．（ 1.25， 1.5） D ．（ 1.5，2） 4.（理科）已知函数是定义在上的奇函数，当时， 的图象如图所示，则不等式的解集是 A ． B ． C ． D ． 5.如果函数 在区间上是减少的，那么实数的 取值范围是（ ） A ． B ． C ． D ． 6.将分针拨慢5分钟，则分钟转过的弧度数是 （ ） A． B．－ C． D．－ 7.直线的倾斜角是 A． B． C． D． 8.已知集合，，则（）． A． B． C． D． 9.（） A． B． C．或 D．或 10.若函数在上是增函数，则关于的不等式的解集为（） A． B． C． D． 11.已知直线，有以下几个判断：若，则；若 ，则；若，则；若，则．上述判断中正确的是（） A． B． C． D． 12.已知全集，且，，则 （） A． B． C． D． 13.在中，，则等于A． B． C． D． 14.设为钝角，且，则的值为（） A． B． C． D．或 15.一几何体的三视图如图所示，若主视图和左视图都是等腰直角三角形，直角边长为1，则该几何体外接球的表面积为（） A． B． C． D． 16.给出下列命题： （1）直线a与平面不平行，则a与平面内的所有直线都不平行；（2）直线a与平面不垂直，则a与平面内的所有直线都不垂直；（3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直； （4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面 其中错误命题的个数为（） A．0 B．1 C．2 D．3 高一数学竞赛10.14 1.已知集合**410x x M x N N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且，集合40x N x Z ⎧⎫ =∈⎨⎬⎩⎭，则（ ） A. M N = B. N M ⊆ C. 20x M N x Z ⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭ D. *40x M N x N ⎧⎫ ⋂=∈⎨⎬⎩⎭ 2.（2021年全国高中数学联赛） 设{}{}{}1,2,3=2,,,2,,A B x y x y A x y C x y x y A x y =+∈=+∈，＜＞，则B C ⋂的所有元素之和为_______________。 3.设集合{}{} 222,,12 A x x B y y x x =-≤==--≤≤，则A B ⋂=_________________. 4.设条件():0:14p x m m q x ≤-≤≤＞，，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为_______,若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为________。 5.若非空集合A,B,C 满足A B C ⋃=，且B 不是A 的子集，则""x C ∈是""x A ∈的 ___________________条件。 高一数学竞赛10.14-------基本不等式 “1”的巧用 1.若正数,a b 满足121a b + =，则2 b a +的最小值为_________________。 2.若00x y ＞，＞，且 21 1x y +=，227x y m m ++＞恒成立，则实数m 的取值范围是_________________________。 基本不等式的构造 3.已知0a b ＞＞，则412a a b a b +++-的最小值为_______________。 4.设a b ＞＞c ，n N ∈，且2 18n a b b c a c +≥---恒成立，则n 的最大值是______________。 5.设010,x a b ＜＜，＞＞0，,a b 为常数，则22 1a b x x +-的最小值是___________________. 基本不等式的综合运用 6.已知4a b ab =＞0,＞0,，则11 a b b a + ++的最小值为________________。 7.若正数,a b 满足 111a b +=，则14 11 a b +--的最小值为_______________。 8.若,,a b c ＞0且()4a a b c bc +++=-则a b c ++2的最小值为_________________。高中数学竞赛试题汇总
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