基于模糊互补判断矩阵的多属性决策方法及matlab应用
《模糊多属性决策方法与风险的研究及其在项目选择中的应用》范文
《模糊多属性决策方法与风险的研究及其在项目选择中的应用》篇一一、引言在当今复杂多变的商业环境中，项目选择和决策过程往往涉及多个相互关联的属性，这些属性往往具有模糊性和不确定性。
模糊多属性决策方法应运而生，它能够有效地处理这类问题，提高决策的准确性和科学性。
本文将首先介绍模糊多属性决策方法的基本原理和主要方法，然后探讨其与风险的关系，最后分析该方法在项目选择中的应用。
二、模糊多属性决策方法的基本原理与主要方法1. 基本原理模糊多属性决策方法是一种基于模糊数学和多元决策理论的方法，它通过建立决策模型，将多个属性进行量化处理，然后根据一定的规则进行综合评价和决策。
该方法能够处理具有模糊性和不确定性的问题，提高决策的准确性和科学性。
2. 主要方法（1）层次分析法：将决策问题分解为目标、准则、方案等层次，通过构建判断矩阵，计算各属性的权重，最终得出最优方案。
（2）模糊综合评价法：通过建立模糊评价模型，将多个属性进行综合评价，得出各方案的优劣程度。
（3）灰色关联分析法：利用灰色系统理论，通过计算各方案与理想方案之间的关联度，得出各方案的优劣排序。
三、模糊多属性决策方法与风险的研究在项目选择过程中，决策者需要充分考虑各种风险因素。
模糊多属性决策方法可以通过建立风险评估模型，对各种风险进行量化处理，从而更好地评估项目的风险水平。
同时，该方法还可以通过优化决策模型，降低项目实施过程中的风险。
因此，模糊多属性决策方法与风险管理密切相关，二者相互促进，共同提高项目选择的科学性和准确性。
四、模糊多属性决策方法在项目选择中的应用1. 确定决策目标和准则在项目选择过程中，首先需要明确决策目标和准则。
这些目标和准则通常包括项目的经济效益、社会效益、技术可行性、环境影响等。
通过将这些目标和准则进行量化处理，为后续的决策分析提供基础。
2. 建立决策模型根据项目的特点和需求，选择合适的模糊多属性决策方法，建立决策模型。
在模型中，需要确定各属性的权重，以及各属性之间的关联关系。
利用Matlab进行模糊评价和决策
利用Matlab进行模糊评价和决策在现实生活中，我们经常需要面对各种复杂的问题，而这些问题往往没有明确的答案。
在这种情况下，我们需要一种能够模拟人类语言判断过程的方法来进行评价和决策。
模糊评价和决策是一种基于模糊数学理论的方法，可以帮助我们处理这些复杂的问题。
而Matlab作为一种强大的科学计算软件，提供了一系列的工具和函数，可以方便地进行模糊评价和决策。
一、模糊评价模糊评价是指通过模糊数学理论来对事物的属性进行评价。
在进行模糊评价之前，我们首先需要对事物的属性进行模糊化处理，将其转化为模糊数。
在Matlab 中，可以使用fuzzify函数将实数或者离散变量转化为模糊数。
例如，我们对“温度”这个属性进行模糊化处理，可以定义三个模糊集合“低温”、“中温”和“高温”，并分别赋予它们在某个属性域上的隶属度。
使用fuzzify函数可以将具体的温度值转化为模糊数。
接着，我们可以通过模糊集合的运算来对多个属性进行组合和评价。
在Matlab中，可以使用fuzzyand、fuzzyor和fuzzynot等函数进行模糊集合的交、并和非操作。
最后，可以使用defuzzify函数将模糊评价结果还原为实数的形式。
通过这样的过程，我们可以得到一个具有一定模糊性的评价结果。
二、模糊决策模糊决策是指根据模糊评价结果来进行决策的过程。
在进行模糊决策之前，我们需要设定一些决策规则，规定在不同评价条件下采取哪些行动。
例如，我们可以制定一些规则，如“如果温度较低且湿度较高，则开启加湿器”。
在Matlab中，可以使用addrule函数来添加这样的决策规则。
接着，我们可以使用evalfis函数来根据评价结果进行决策。
这个函数会根据设定的决策规则和评价结果，给出最终的决策结果。
通过这样的过程，我们可以在面对复杂的问题时，根据评价结果来做出相应的决策。
三、模糊评价和决策的应用模糊评价和决策方法在各个领域都有广泛的应用。
其中一个典型的应用是在人工智能领域的专家系统中。
MATLAB中的模糊逻辑应用技巧
MATLAB中的模糊逻辑应用技巧绪论近年来，随着人工智能技术的不断发展与应用，模糊逻辑作为一种弥补了传统二值逻辑的不足的方法，被广泛应用于各个领域。
MATLAB作为一种功能强大的数学计算软件，提供了丰富的工具箱，使得模糊逻辑的建模和分析变得更加方便和高效。
本文将重点介绍MATLAB中模糊逻辑的应用技巧。
一、模糊集合的定义与表示在MATLAB中，模糊集合可以通过使用fuzzy工具箱来定义和表示。
在定义模糊集合时，我们需要明确模糊集合的隶属度函数以及对应的隶属度值。
可以使用trimf函数、trapmf函数、gaussmf函数等来定义隶属度函数的形状，并通过给定参数来确定具体的形状。
例如，我们可以使用trimf函数来定义一个三角隶属度函数，代码如下：```matlabx = 0:0.1:10;y = trimf(x, [3 5 7]);plot(x, y);```通过上述代码，我们可以绘制出一个在[3, 5, 7]范围内的三角形隶属度函数。
二、模糊关系的建立与描述在MATLAB中，可以使用fuzzy工具箱来建立和描述模糊关系。
模糊关系可以通过关联隶属度函数的模糊集合来定义，可以是矩阵形式或规则形式。
矩阵形式的模糊关系可以通过编写代码实现。
例如，我们可以建立一个三维矩阵表示的模糊关系，代码如下：```matlabx1 = 0:0.1:10;x2 = 0:0.1:10;x3 = 0:0.1:10;R = zeros(length(x1), length(x2), length(x3));for i = 1:length(x1)for j = 1:length(x2)for k = 1:length(x3)R(i, j, k) = min(trimf(x1(i), [2 3 4]), trimf(x2(j), [5 6 7]), trimf(x3(k), [8 9 10]));endendend```通过上述代码，我们可以建立一个三维矩阵表示的模糊关系，其中每个元素表示了一个具体的隶属度值。
MATLAB中的模糊逻辑与模糊系统应用
MATLAB中的模糊逻辑与模糊系统应用引言：模糊逻辑是一种处理含糊和不确定性的推理方法，而模糊系统是基于模糊逻辑的一种工程应用。
在实际问题中，很多情况下无法准确界定事物的属性或关系，这就需要使用模糊逻辑和模糊系统进行描述和分析。
MATLAB作为一种强大的数学软件工具，提供了丰富的函数库和模块，可以非常方便地进行模糊逻辑和模糊系统的建模与分析。
本文将探讨MATLAB中的模糊逻辑与模糊系统应用，并介绍一些实际案例。
一、模糊逻辑的基本概念：1.1 模糊集合与隶属度函数在传统的逻辑中，事物的属性通常只有真和假两种取值，而在模糊逻辑中，属性被描述为一个介于[0,1]之间的隶属度。
模糊集合是指由一组对象组成的集合，每个对象在集合中的隶属度不是二进制的，而是介于0和1之间的实数。
隶属度函数是用来描述某个对象对于某个属性的隶属程度，通常使用三角形、梯形等形状的函数来表示。
1.2 模糊逻辑运算模糊逻辑中的运算方式与传统逻辑不同，引入了模糊的概念。
模糊逻辑运算包括交集、并集和补集等操作，用于描述模糊集合之间的关系。
这些运算可以通过模糊控制器、模糊推理等方式进行实现。
MATLAB提供了丰富的函数和工具箱来进行模糊逻辑运算和推理。
二、模糊系统的框架与建模过程：2.1 模糊系统的框架模糊系统通常由模糊化、模糊推理和去模糊化三个主要部分组成。
模糊化是将输入的实际值映射到模糊集合中，模糊推理是根据规则和隶属度函数进行推理，得出输出的模糊结果，去模糊化则是将模糊结果转化为实际值。
2.2 模糊系统的建模过程模糊系统的建模过程包括变量的模糊化、规则的定义、隶属度函数的设定以及模糊推理等步骤。
MATLAB提供了一系列的函数和工具箱用于模糊系统的建模和分析。
利用MATLAB的模糊工具箱，可以方便地进行隶属度函数的设定、规则的定义以及模糊推理的实现。
三、模糊逻辑与模糊系统在实际问题中的应用：3.1 模糊控制器模糊控制器是模糊逻辑和模糊系统的一种应用，它利用模糊推理和模糊系统来实现对控制系统的控制。
一种基于三角模糊数的模糊多属性群决策方法
定义 ３ ［ 若 三角模糊 数矩 阵 Ａ一（ 中的元 素 ａ 钉 ｎ） ， 一
（ ， ，洳）ｎ 一 （ ，Ｊ ，灿） 满 足 口 ａ ａ ， ｚａ ａ ， ＋口 ＝ａ ｌ ＋口 ｊ 一口 ＋“ 州一 １ 。 ，驰≥ 。 ４ ≥ 州＞ ０ （， ∈～） 则 称 Ａ 是 三 角 ， Ｊ ， 模糊数互补判断矩阵 。 ３ 基 于 三 角模 糊 数 的 不 确 定 多 属 性 群 决 策 模 型
（ ｚ ａ ， （ ， ， 一 （ ・ ｌａ ・ ｍ ｎ 口 ， ａ ） ｂ ） ｎ ｂ ， ｂ ， ・
决策 的过程 。但是在 实际 问题 中， 由于受到事 物本 身 的客观
复杂性 、 不确定性 和人类对待 复杂问题思维 的模糊 性 、 主观偏 好等 因素影响使得 多属性 决策呈 现 出多样性 、 不确定 性 和模 糊性等特点 。综合决 策群体 中各个 成员 的意 见与偏好形 成整 个群体 的偏好 ， 对各 方案排 序择 优是解 决模糊 群决 策 问题 的
１ 引 言
ｂ ） ｕ，
（，ａ 口 ） （ｔ ， ） （ 口 ， ， ④ ｂ， 一 盘 ＋岛， ＋ ， ａ ａ ＋
占
ｂ ） ， ・ 口一 （ ｆａ ａ ） （ ａ ，ａ ｐ ， ＞Ｏ 口 ， ， 一 ， ｌｚ ， ａ ） 二 。 ｕ
群决策 ， 就是根 据群体 中各个 成员 的意见 和偏 好来 综合
Ｉ ｘ１ ｍｘ— ｛ ０ｍ ， ，｝ Ｔ ｛Ｅ ａ（ — ａｍ －广０ｕ一 Ｉ ａ ＆ ｏｏ ）
Ｈ
为磅 的可能度， 中 其 ∈［ ，］。 的取值取决于决策者的 ｏ１
风 险态度 。Ａ ． ＞Ｏ ５时 ， 称决策者是追求风 险的 ； 一０ ５时， ． 称
决 策 者 是 风 险 中 立 的 ；ｄ Ｏ ５时 ， 决 策 者 是 厌 恶 风 险 的 ； Ａ ． 称 特 别地 ， 一１时 ， ｐ ａ 称 （≥ 为 ≥ 的悲 观可 能 度 ； Ａ ～ 当 ＝Ｏ时 ， 称 ｐ（≥ 为 ≥ 的 乐 观 可 能 度 。 ａ
几种模糊多属性决策方法及其应用
几种模糊多属性决策方法及其应用一、本文概述随着信息时代的快速发展，决策问题日益复杂，涉及的属性越来越多，决策信息的不确定性也越来越大。
在这种背景下，模糊多属性决策方法应运而生，成为解决复杂决策问题的重要工具。
本文旨在探讨几种典型的模糊多属性决策方法，包括模糊综合评价法、模糊层次分析法、模糊集结算子等，并分析它们在实际应用中的优势和局限性。
本文首先介绍了模糊多属性决策方法的基本概念和理论基础，为后续研究提供必要的支撑。
接着，详细阐述了三种常用的模糊多属性决策方法，包括它们的原理、步骤和应用范围。
在此基础上，通过案例分析，展示了这些方法在实际应用中的具体运用和取得的效果。
通过本文的研究，读者可以深入了解模糊多属性决策方法的原理和应用，掌握其在实际问题中的使用技巧，为解决复杂决策问题提供有力支持。
本文也为进一步研究和改进模糊多属性决策方法提供了参考和借鉴。
二、模糊多属性决策方法概述模糊多属性决策（Fuzzy Multiple Attribute Decision Making，FMADM）是一种处理不确定性、不精确性和模糊性的决策分析方法。
在实际问题中，由于信息的不完全、知识的局限性或环境的动态变化，决策者往往难以获取精确的属性信息和权重信息，这使得传统的多属性决策方法难以应用。
模糊多属性决策方法通过引入模糊集理论，能够更好地处理这种不确定性和模糊性，为决策者提供更合理、更可靠的决策支持。
模糊多属性决策方法的核心思想是将决策问题中的属性值和权重视为模糊数，利用模糊集理论中的运算法则进行决策分析。
根据不同的决策目标和背景，模糊多属性决策方法可以分为多种类型，如模糊综合评价、模糊多目标决策、模糊群决策等。
这些方法在各自的领域内都有着广泛的应用，如企业管理、项目管理、环境评估、城市规划等。
在模糊多属性决策方法中，常用的模糊数有三角模糊数、梯形模糊数、正态模糊数等。
这些模糊数可以根据实际问题的需要选择合适的类型，以更好地描述属性值的不确定性和模糊性。
Matlab中的模糊集合和模糊决策方法
Matlab中的模糊集合和模糊决策方法引言随着计算机科学的迅速发展，人工智能逐渐成为了当今的热门研究领域之一。
在人工智能领域中，模糊集合和模糊决策方法被广泛应用于解决实际问题。
Matlab 作为一种强大的数学计算和仿真工具，为研究人员提供了丰富的工具包，从而可以对模糊集合和模糊决策方法进行快速、高效的分析和开发。
本文将探讨在Matlab 中使用模糊集合和模糊决策方法的相关技术和应用。
第一部分：模糊集合的基本概念模糊集合是一类既有确定性又有不确定性特征的数学集合。
与传统的集合论不同，模糊集合中的元素具有一定的隶属度。
Matlab中提供了一系列用于处理模糊集合的函数和工具，可以方便地进行模糊集合的定义、运算和可视化。
在Matlab中，可以使用fuzzy工具箱来定义和操作模糊集合。
通过fuzzy工具箱提供的函数，可以定义模糊隶属函数、模糊集合的交、并、补运算等。
例如，可以使用fuzzmf函数定义一个具有三个隶属函数的模糊集合，然后使用fuzzymf函数将该模糊集合的隶属函数赋值给一个变量，进一步操作。
第二部分：模糊决策方法的基本原理模糊决策方法是一种以模糊集合理论为基础的决策方法。
在实际问题中，往往需要考虑到不确定性和模糊性因素。
模糊决策方法通过用模糊集合描述问题的不确定性和模糊性，从而提供了一种灵活且有效的决策方法。
在Matlab中，可以使用fuzzy工具箱提供的函数来实现模糊决策方法。
通过fuzzy工具箱，可以定义模糊规则和模糊推理方法，从而实现对模糊集合的有效决策。
例如，可以使用fuzzy工具箱中的fis工具来定义一个模糊规则集，然后使用evalfis函数进行模糊推理，得到最终的决策结果。
第三部分：Matlab中的模糊决策方法应用案例在实际应用中，模糊决策方法被广泛应用于各个领域，如金融、医疗、自动控制等。
在这一部分，以医疗领域为例，介绍模糊决策方法在Matlab中的具体应用。
在医疗领域中，模糊决策方法可以用于辅助医生进行疾病诊断。
模糊多属性决策法及其应用
• 解此模型，得到最优属性权重向量 ）式求得各方案的综合属性期望值 值对方案进行排序和择优。
，利用（8 。再根据
综合算法：
1
1
设集合 、 和 构造矩阵
，得
，
2
转换
至
5
方法步骤
2
3
得期望值决策矩阵
4
分情况求得最优权重向量
4
3
5
求 束
，对方案排优择序，结
四、应用实例
• 例 某虚拟企业拟选择一个合作伙伴进行合作，共 有四个潜在的合作伙伴(方案) (i=1,2,3,4) 可供 选择。现有专家依据上述八个指标（属性），对这 四个潜在的合作伙伴进行打分，每个方案在各属性 下的属性值是以三角模糊数形式给出，试决定最佳 方案。具体如下
利用（8）式求得四个方案的综合属性期望值
按 值从大到小的顺序排列即得四个方案 的排序为
故最佳方案为 • 2）若已知部分属性权重信息（设
=0.5）：
求得最优权重向量 利用（8）式求得五个候选人的综合属性期望值
按
值从大到小的顺序排列即得四个方案
的排序为
故最佳方案为 • 上述两种方法分别针对权重信息完全未知和只有部分权重 信息这两种情形，对四个方案进行了排序，所得方案排序 结果一致。
• 心得体会
解决模糊多属性决策问题还有很多方法，例如相对接 近度解法、多目标规划的相似接近度解法等。各方法都有 其独特的思想及优点，这一问题的探讨将不断深化及完善 ，也必将延伸出许多别的解法及应用。
Thank You！
二、规范化公式
方案集 属性集 属性的权重集 主观偏好值
• 主观偏好值解释：决 策者对方案 有 一定的主观偏好，设 主观偏好值为三角模 糊数
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
基于模糊互补判断矩阵的多属性决策方法及matlab 应用目录一、模糊互补判断矩阵排序法 (1)1. 加型模糊互补判断矩阵排序的中转法 .............................................................................. 1 2.乘型模糊互补判断矩阵排序的和积法 ................................................................................ 2 二、模糊互补判断矩阵的最优化排序方法 .. (2)1. 加型模糊互补判断矩阵排序的最小方差法 ...................................................................... 2 2. 乘型模糊互补判断矩阵排序的最小平方法 ...................................................................... 3 3.模糊互补判断矩阵排序的幂法 ............................................................................................ 3 三、实例与matlab .. (4)决策者利用一定的标度对属性进行两两比较，并构造判断矩阵，然后按一定的排序方法计算判断矩阵的排序向量，从而获得属性权重，最后在根据各种算子进行多属性群决策。
一、模糊互补判断矩阵排序法1. 加型模糊互补判断矩阵排序的中转法判断矩阵的标度和含义如下表所示：按上述标度构成判断矩阵，=0.5ii b ，也满足其他条件。
设模糊判断矩阵()⨯=ij n n B b ，满足01<<ij b ，+1=ij ji b b ，若=+0.5-ij ik jk b b b ，则称矩阵B 为加型模糊一致互补判断矩阵。
对模糊互补判断矩阵按行求和并施加数学变换得到转换公式0.5-=+i jijb b b a，则矩阵()⨯=ij n n B b 是加型模糊一致互补判断矩阵。
如果不是一致性判断矩阵，首先要将模糊判断矩阵B 转化为模糊一致矩阵R ，11=+0.5(-)/2==∑∑n nij ik jk k k r b b n 。
一般2(1)=-a n 较为适合（参考徐泽水，P39）。
对于给定的模糊判断矩阵()⨯=ij n n B b ，运用转换公式得到加型模糊一致互补判断矩阵()⨯=ij n n B b 后，可以通过B 的行和归一化来求其排序向量1(,,)ωω=L n ω，且112(1)ω=+-=-∑nijj i n b n n 此方法称为模糊互补判断矩阵排序的中转法（MTM ）。
特点：该方法得到的排序向量的分量之间的差异较小，有时不易区分。
2.乘型模糊互补判断矩阵排序的和积法设模糊判断矩阵()⨯=ij n n B b ，满足01<<ij b ，满足乘型一致性条件=+iij i jw B w w ，=ij ijijB w B w ，对i 求和，可以计算得到权重计算公式， 111==⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑n nijkj i j k jijk B B w B B n 特点：该方法得到的排序向量的分量之间的差异较小，有时不易区分。
二、模糊互补判断矩阵的最优化排序方法上面介绍的模糊判断矩阵的排序方法前提是所给判断矩阵满足一致性要求，但是并不是所有专家所给的模糊互补判断矩阵都是满足一致性的，甚至可以说更多的是不满足一致性要求的，为此才提出了基于一致性的模糊判断矩阵的最优化排序权重的确定方法。
以下简要介绍相关的排序方法。
1. 加型模糊互补判断矩阵排序的最小方差法设模糊判断矩阵()⨯=ij n n B b ，满足01<<ij b ，+1=ij ji b b ，当B 为模糊一致矩阵时，有关系必要性条件=()+0.5-ij i j B a w w 。
其次，参考吕跃进《基于模糊一致矩阵的模糊层次分析法的排序》定理3.3，根据以下公式计算权重向量。
1111=2=-+∑n i ij k w r n a na 其中，如1=a ，则11=+1)2（=-∑n i ij k n w r n ，但满足1-12=≥∑nij k nr 。
一般情况下要满足条件12-≥n a ，才能满足判断矩阵是一致的。
2. 乘型模糊互补判断矩阵排序的最小平方法构造偏差函数211min ()()..1===-=∑∑∑nnji i ij j i j i F w r w r w s t w求解最小值得到权重向量，=T -1-1Q e w e Q e(1,,1)=L T e ，()⨯=ij n n q Q 中的元素是210.25,,,;==-∈=-∈≠∑nij ji j ij ij ji q r i Iq r r i j I i j3.模糊互补判断矩阵排序的幂法将互补判断矩阵()⨯=ij n n B b 转化为互反判断矩阵()⨯=ij n n E e ，其中=ij ij jib e b 。
排序向量(0)ω作为初始向量(0)V，利用公式(1)()+=k k EYV，()()()=k k k Y V V，1,2,=L k 进行迭代，若(1)()ε+∞∞-<k k VV ，ε为给定的误差，则(1)+∞k V 即为最大特征值，则排序向量为：1,11,1,1,11,,++++==⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑L Tk k n n nk j k j j j V V z V V 如果不满足给定的误差，则继续迭代。
三、实例与matlab决策者根据0.1-0.9互补标度对属性进行了两两比较，给出模糊互补判断矩阵B 。
步骤1：将模糊判断矩阵B 转化为模糊一致矩阵R ，11=+0.5(-)/2==∑∑nnij ik jkk k r b bn 。
步骤2：分别用模糊互补判断矩阵排序的中转法、最小方差法和幂法计算属性的权重向量。
步骤3：再用属性的权重向量，计算各方案综合属性值 步骤4：对方案进行排序。
clear;clc;A=[1 0.776 0.828 1 0.516 1 1 0.296 0.990 0.627 0.669 1 0.535 0.784 0.970 0.360 0.788 0.560 0.578 0.589]B=[0.5 0.6 0.5 0.9 0.7 0.4 0.5 0.4 0.7 0.5 0.5 0.6 0.5 0.7 0.20.10.30.30.50.10.30.50.80.90.5][m,n]=size(B);r=sum(B');for i=1:mfor j=1:nR(i,j)= (r(i)-r(j))/(2*m)+0.5;endendw1 = (sum(R')+m/2-1)/(m*(m-1)); %中转法for i=1:nt=0;for j=1:npp=0;for k=1:npp=pp+R(k,j)/R(j,k);endt=t+R(i,j)/R(j,i)/pp;endw2(i)=t/n;endw2=w2; %和积法a=2;w3 =sum(R')/(m*a)-1/(2*a)+1/m; %最小方差法e=ones(1,n)'for i=1:nfor j=1:nif(i==j)q(i,j)=sum(B(:,i).^2)-0.25;elseq(i,j)=-((B(i,j)*B(j,i)));endendendw4=(inv(q)*e)./(e'*inv(q)*e);w4=w4' %最小平方法E=R./R';Max=10;V(:,1)=w4'/max(abs(w4)); %归一化for i=1:MaxV(:,i+1)=E*V(:,i);V(:,i+1)=V(:,i+1)/max(abs(V(:,i+1)));if max(abs(V(:,i+1)-V(:,i)))k=i;w5=V(:,i+1)./sum(V(:,i+1)); % 利用幂法计算排序向量;breakelseendendZ=w5'*A①中转法运行结果：w1 = 0.2175 0.2000 0.2000 0.1700 0.2125②和积法运行结果：w2= 0.257970.193530.193530.117520.23744③最小方差法运行结果分析：a=1, w3=0.270.20.20.080.25a=2, w3=0.2350.20.20.140.225a=3, w3=0.223330.20.20.160.21667a=4, w3=0.21750.20.20.170.2125a=5, w3=0.2140.20.20.1760.21a=10, w3=0.2070.20.20.1880.205当a值不断增加时，较小的权重在不断上升，较大的权重在不断下降。
比较中转法和最小方差法，当a=2时，两者的结果是一致的。
④最小平方法运行结果分析：w4=0.33294 0.20312 0.17904 0.059269 0.22563⑤幂法运行结果：使用最小方差法得到的权重向量作为初始向量，最后再利用幂法计算排序向量。
W5= 0.25762 0.19379 0.19379 0.11742 0.23738使用幂法得到的排序向量，对最终方案进行排序，Z=0.78380.6688 0.7444 0.6807 0.7302可以看到方案1为最佳。