构造等差数列或等比数列公开课
构造等差数列或等比数列
由于等差数列与等比数列的通项公式显然，对于一些递推数列问题，若能构造等差数列或等比数列，无疑是一种行之有效的构造方法.
，对于任意正整数n，都例1设各项均为正数的数列的前n项和为S
n
有等式：成立，求的通项a n.
解：，∴
，∵，∴.
即是以2为公差的等差数列，且.
∴
例2数列中前n项的和，求数列的通项公式.
解：∵
当n≥2时，
令，则，且
是以为公比的等比数列，
∴.
2、构造差式与和式
解题的基本思路就是构造出某个数列的相邻两项之差，然后采用迭加的方法
就可求得这一数列的通项公式.
例3设是首项为1的正项数列，且，（n∈
N*），求数列的通项公式a n.
解：由题设得.
∵，，∴.
∴
.
例4数列中，，且，（n∈
N*），求通项公式a n.
解：∵
∴（n
∈N*）
3、构造商式与积式
构造数列相邻两项的商式，然后连乘也是求数列通项公式的一种简单方法.
例5数列中，，前n项的和，求.
解：
，
∴
∴
4、构造对数式或倒数式
有些数列若通过取对数，取倒数代数变形方法，可由复杂变为简单，使问题
得以解决.
例6设正项数列满足，（n≥2）.求数列的通项
公式.
解：两边取对数得：，，设
，则
是以2为公比的等比数列，.
，，，
∴
例7已知数列中，，n≥2时，求通项公式.
解：∵，两边取倒数得.
可化为等差数列关系式.
∴
求数列通项公式的十种方法
一、公式法
例1 已知数列{}n a 满足1232n
n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。
解：1232n
n n a a +=+?两边除以12n +，得
113222n n n n a a ++=+，则113222n n n n a a ++-=，故数列{}2
n
n
a 是以1222
a 1
1==为首项，以23
为公差的等差数列，由等差数列的通项公式，得31(1)22n n a n =+-，所以数列{}n a 的通项公式为31()222
n
n a n =-。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1232n
n n a a +=+?转化为
11
3
222
n n n n a a ++-=，说明数列{}2n n a 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出31(1)22
n n a n =+-，进而求出数列{}n a 的通项公式。
二、累加法
例2 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则
11232211
2
()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1
2[(1)(2)21](1)1
(1)2(1)1
2
(1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n
n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2
n a n =。
评注：本题解题的关键是把递推关系式121n n a a n +=++转化为121n n a a n +-=+，进而求出11232211()()()()n n n n a a a a a a a a a ----+-+
+-+-+，即得数列{}n a 的通项公式。
例3 已知数列{}n a 满足112313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：由1231n n n a a +=+?+得1231n
n n a a +-=?+则
11232211122112211()()()()(231)(231)(231)(231)3
2(3333)(1)3
3(13)2(1)3
13
331331
n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+-
所以3 1.n
n a n =+-
评注：本题解题的关键是把递推关系式1231n n n a a +=+?+转化为1231n
n n a a +-=?+，
进而求出11232211()()()()n n n n n a a a a a a a a a a ---=-+-++-+-+，即得数列{}n a 的通
项公式。
例4 已知数列{}n a 满足1132313n
n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：13231n n n a a +=+?+两边除以1
3n +，得
11
121
3333
n n n n n a a +++=++， 则
111
21
3333n n n n n a a +++-=+
，故 11223
211
223
2111122122()()()(
)33333333
212121213
()()()()3333333332(1)11111()1
333333
n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
因此11
(13)2(1)211
3133133223
n n n n n
a n n ---=++=+--?， 则211
33.322
n n n a n =
??+?- 评注：本题解题的关键是把递推关系式13231n
n n a a +=+?+转化为
111
21
3333n n n n n a a +++-=+，
进而求出11223
2111122321(
)()()(
)333333
333n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a -----------+-+-++-+，即得数列3n n a ??
??
??
的通项公式，最后再求数列{}n a 的通项公式。 三、累乘法
例5 已知数列{}n a 满足112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：因为112(1)53n
n n a n a a +=+?=，，所以0n a ≠，则
1
2(1)5n n n
a n a +=+，故1
32
112
21
12211(1)(2)21
(1)1
2
[2(11)5][2(21)5][2(21)5][2(11)5]32[(1)32]53
32
5
!
n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n -------+-+++--=
???
??=-+-+??+?+??=-?????=???
所以数列{}n a 的通项公式为(1)1
2
32
5
!.n n n n a n --=???
评注：本题解题的关键是把递推关系12(1)5n
n n a n a +=+?转化为
1
2(1)5n n n
a n a +=+，进而求出
1
32
112
21
n n n n a a a a a a a a a ---???
??，即得数列{}n a 的通项公式。 例6 （2004年全国I 第15题，原题是填空题）已知数列{}n a 满足
11231123(1)(2)n n a a a a a n a n -==+++
+-≥，，求{}n a 的通项公式。 解：因为123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥
①
所以1123123(1)n n n a a a a n a na +-=+++
+-+
②
用②式－①式得1.n n n a a na +-= 则1(1)(2)n n a n a n +=+≥
故
1
1(2)n n
a n n a +=+≥ 所以1
3
22212
2
!
[(1)43].2
n n n n n a a a n a a n n a a a a a ---=
???
?=-???=
③
由123123(1)(2)n n a a a a n a n -=++++-≥，21222n a a a ==+取得，则21a a =，又知
11a =，则21a =，代入③得!13452
n n a n =????
?=
。 所以，{}n a 的通项公式为!.2
n n a =
评注：本题解题的关键是把递推关系式1(1)(2)n n a n a n +=+≥转化为
1
1(2)n n
a n n a +=+≥，进而求出
1
3
212
2
n n n n a a a a a a a ---???
?，从而可得当2n n a ≥时，的表达式，最后再求出数列{}n a 的通项公式。 四、待定系数法
例7 已知数列{}n a 满足112356n
n n a a a +=+?=，，求数列{}n a 的通项公式。
解：设1
15
2(5)n n n n a x a x +++?=+?
④
将1235n n n a a +=+?代入④式，得12355225n n n
n n a x a x ++?+?=+?，等式两边消去
2n a ，得135525n n n x x +?+?=?，两边除以5n ，得352,1,x x x +==-则代入④式得1152(5)n n n n a a ++-=-
⑤
由1
156510a -=-=≠及⑤式得50n
n a -≠，则11525
n n n
n a a ++-=-，则数列{5}n
n a -是以1151a -=为首项，以2为公比的等比数列，则152n n n a --=，故125n n n a -=+。
评注：本题解题的关键是把递推关系式1235n n n a a +=+?转化为1152(5)n n
n n a a ++-=-，从而可知数列{5}n n a -是等比数列，进而求出数列{5}n
n a -的通项公式，最后再求出数列
等差数列和等比数列的总结与联系
等差数列和等比数列的综合及其联系 课题设计背景： 数列是反映自然规律的基本数学模型之一。而等差数列和等比数列是学生必须掌握的两种基本数学模型，研究等差数列的通项、性质以及求和公式，并用类比的方法对等比数列进行研究是课程标准的教学要求。 课题设计目标： （1）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式； （2）掌握等差数列的通项公式及其前n项和公式；体验用类比的思想方法对等差数列和等比数列进行研究的活动。
例题分析： 1、已知(), f x = 利用课本推导等差数列前n 项和的公式的方法，求和： (5)(4)(3)...(5)f f f f f -+-+-+++的值 2、已知公差不为零的等差数列{n a }中，236,,a a a 组成等比数列的连续三项，求公比q 3、已知等差数列{}n a 的公差和等比数列{}n b 的公比都是11441010,1,,,;d d a b a b a b ≠=== （1）求1a 和d 的值；（2）16b 是不是数列{}n a 中的项，为什么？ （二）等差数列和等比数列之间的转化 结论： （1）{}n a 成等差数列，则{}(0,1)n a c c c >≠成等比数列； （2）正项数列{}n a 成等比数列，则{}log (0,1)c n a c c >≠成等差数列。类比可结合上述结论将等比数列转化为等差数列，再还原成等比数列写出有关结论。 例题分析： 1、 已知数列)}({* N n a n ∈是一个以(0)q q >为公比，以11(0)a a >为首项的等比数列，求 12lg lg ...lg n a a a +++ 2、 若数列)}({* N n a n ∈是等差数列，则有数列*123......,()n n a a a a b n N n ++++= ∈ 也是等差数列；类比上述性质，相应地：若数列)}({* N n c n ∈是等比数列，且0>n c ，则 有数列*_________________,()n d n N =∈也是等比数列。 3、 设)}({* N n a n ∈是等差数列，12n a n b ?? = ? ?? ，已知123123211 ,,88 b b b b b b ++= =求数列)}({*N n a n ∈的通项公式。 （三）学法总结： （四）课后反思：
等差、等比数列公式总结
一、等差数列 1.定义：)(1常数d a a n n =-+ 2.通项公式：d n a )1(a 1n -+= 3.变式：d m n a m n )(a -+= m n a a d m n --= 4.前n 项和：2 )(1n a a S n n += 或 d n n n a S n 2)1(1-+= 5.几何意义： ①d dn a d n a a n -+=-+=11)1(即q pn a n += 类似 q px y += ②n d a n d S n )2 (212-+= 即 Bn An S n +=2 类似 Bx Ax y +=2 6.}{n a 等差d a a a a a Bn An S q pn a n n n n n n n =-?+= ?+=?+=?++-11122 7.性质 ① q p n m +=+则 q p n m a a a a +=+ ② p n m 2=+ 则 p n m a a a 2=+ ③ =+=+=+--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等差 ⑤ }{n a 等差,有12+n 项,则 n S S 1n +=偶奇 ⑥ 1212-= -n S a n n 二、等比数列 1.定义：常数）(a 1q a n n =+ 2.通项公式：11a -=n n q a 3.变式： m n m n q a -=a m n m n q a a -= 4. ?????≠--==)1( 1)1()1( 11q q q a q na S n n
前n 项和：n a S n 1= )1(=q 或 q q a S n n --=11() 1 )1(≠q 5.变式：m n m n q q S S --=11 )1(≠q 6.性质： ① r p n m +=+则 r p n m a a a a ?=? ② p n m 2=+ 则 2 p n m a a a =? ③ =?=?=?--23121n n n a a a a a a ④ m S 、m -m 2S 、2m -m 3S 等比 ⑤ }{n a 等比,有12+n 项 偶奇qS a a a a q a a a a S n n +=++++=++++=+1242112531)(a 三、等差与等比的类比 {}n a 等差 {}n b 等差 和 积 差 商 系数 指数 “0” “1” 四、数列求和 1.分组求和 本数列的和公式求和．进行拆分，分别利用基，则可或等比数列的和的形式数列，但通项是由等差通项虽不是等差或等比 项的和： 前如求n n n )}1({+ )2)(1(3 1 )1(21)12)(1(61 )321()321( ) ()22()11(] )1(22222222++=++++=++++++++=++++++=∴+=+n n n n n n n n n n n n S n n n n n 2．裂项相消法． ).11(11}{1 1 11+++-=??n n n n n n n a a d a a a n a a 为等差数列，项和，其中的前项为用于通 从而计算和的方法，适别裂开后，消去一部分把数列和式中的各项分
构造数列总结
构造数列 林森 本文主要淡淡构造法在高中数列问题的应用。 一、型如 ( 为常数且 ， )的数列，其本身并不是等 差或等比数列，但经过适当的变形后，即可构造出一个新数列，利用这个数列可求其通项公式。 1． (为常数)，可构造等比数列求解． 例1 已知数列满足，（），求通项． 解 由，得，又，所以数列 是首项为，公比为的等比数列，∴． 注：一般地，递推关系式 (p 、q 为常数，且p ≠0，p ≠1)可等价 地改写成 ，则{}为等比数列，从而可求． 2． 为等比数列，可构造等差数列、等比数列求解。如 (为常 数) ，两边同除以，得，令，则可转化为的 形式求解． 例2 （1）已知数列{a n }中，， ，求通项． （2）已知数列 满足 ， ，求通项 ． 解 （1）由条件，得，令，则，即 ，又，，∴数列为等比数列，故有
，即，∴． （2）由条件，得，即，故数列是以为 首项，以为公差的等差数列，∴，故．3．为等差数列，如型递推式，可构造等比数列求解． 例3已知数列满足，（），求 ． 解令，则，∴，代入已知条件，得，即， 令，，解得=－4，=6，所以，且，∴是以3为首项、以为公比的等比数列，故，故．注此例通过引入一些尚待确定的系数，转化命题结构，经过变形与比较，把问题转化成基本数列（等差或等比数列）求解． 4．为非等差、非等比数列，可构造等差、等比数列求解． 法一、构造等差数列求解： 例4在数列中，（1）若，其中 ，求数列的通项公式；（2）若，求通项． 解（1）由条件可得，∴数列是首 项为0，公差为1的等差数列，故，∴． （2）由条件可得：，∴数列是首项为
，公差为2的等差数列，∴． 法二、构造等比数列求解： 例5已知数列满足，，求数列的通项公式．解设，将已知条件代入此式，整理后得 ，令，解得，∴有，又， 且，故数列是以为首 项，以3为公比的等比数列，∴，故． 二、形如的复合数列，可先构造等差数列或等比数列，再用叠加法、叠乘法、迭代法等方法求解． 例6在数列中，，，，求． 解由条件可得，∴数列是以为首 项，以为公比的等比数列，∴， 故==… === ． 例7已知数列满足，，（），求． 解由已知可得：，又，所以数 列是首项为、公比为的等比数列，∴，即
等差数列与等比数列练习和解析(高考真题)
1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( ) A ．a n ＝2n －5 B ．a n ＝3n －10 C ．S n ＝2n 2 －8n D ．S n ＝12 n 2 －2n 2．(2019·长郡中学联考)已知数列{a n }满足，a n ＋1＋2a n ＝0，且a 2 ＝2，则{a n }前10项的和等于( ) A.1－2103 B ．－1－210 3 C ．210－1 D ．1－210 3．已知等比数列{a n }的首项为1，公比q ≠－1，且a 5＋a 4＝3(a 3 ＋a 2)，则 9 a 1a 2a 3…a 9等于( ) A ．－9 B ．9 C ．－81 D ．81 4．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10 D ．12 5．(2019·山东省实验中学联考)已知等差数列{a n }的公差不为零，S n 为其前n 项和，S 3＝9，且a 2－1，a 3－1，a 5－1构成等比数列，则S 5＝( ) A ．15 B ．－15 C ．30 D ．25 二、填空题 6．(2019·北京卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 2＝－3，S 5＝－10，则a 5＝________，S n 的最小值为________． 7．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：“有一个人走378里路，
等差数列与等比数列的基本运算
一．课题：等差数列与等比数列的基本运算 二．教学目标：掌握等差数列和等比数列的定义，通项公式和前n 项和的公式，并能利用这些知识 解决有关问题，培养学生的化归能力． 三．教学重点：对等差数列和等比数列的判断，通项公式和前n 项和的公式的应用． 四．教学过程： （一）主要知识： 1．等差数列的概念及其通项公式，等差数列前n 项和公式； 2．等比数列的概念及其通项公式，等比数列前n 项和公式； 3．等差中项和等比中项的概念． （二）主要方法： 1．涉及等差（比）数列的基本概念的问题，常用基本量1,()a d q 来处理； 2．使用等比数列前n 项和公式时，必须弄清公比q 是否可能等于1还是必不等于1，如果不能确定则需要讨论； 3．若奇数个成等差数列且和为定值时，可设中间三项为,,a d a a d -+；若偶数个成等差数列且和为定值时，可设中间两项为,a d a d -+，其余各项再根据等差数列的定义进行对称设元．若干个数个成等比数列且积为定值时，设元方法与等差数列类似． 4．在求解数列问题时要注意运用函数思想，方程思想和整体消元思想，设而不求． （三）例题分析： 例1．（1）设数列{}n a 是递增等差数列，前三项的和为12，前三项的积为48，则它的首项为 2 ． （2）已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++=1316 ． 例2．有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个书的和是12，求这四个数． 解：设这四个数为：2 (),,,a d a d a a d a +-+，则2 ()16212a d a d a a d ?+-+=???+=? 解得：48a d =??=?或96a d =??=-?，所以所求的四个数为：4,4,12,36-；或15,9,3,1． 例3．由正数组成的等比数列{}n a ，若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍，第3项与第4项之和为第2项与第4项之积的11倍，求数列{}n a 的通项公式． 解：当1q =时，得11211na na =不成立，∴1q ≠， ∴221122331111 (1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?--??+=?? 由①得110 q =，代入②得110a =， ∴21()10 n n a -=． 说明：用等比数列前n 项和公式时，一定要注意讨论公比是否为1． 例4．已知等差数列110,116,122,， ① ②
数列的几种构造法解题
数列几种构造法解题 数列的构造法，我这里仅仅表示的是n 1a 与+n a 之间的常见关系，还有很多需要补充的。 以下主要是以例题为主，表示不同类型的构造方法。 1-n 1-n 1n n 1n 2q a a 等比数列，a 2a ，1例=?==+. 1 -n 2d ）1n （a a 等差数列，2a 2.a 例1n n 1n =-+=+=+ 1 2a 化简可得2）1a （1a 所以整体是等比数列1a ，所以1x 展开解得）x a （2x a 构造等比数列1 a 2a 。3例n n 1 -n 1n n n 1n n 1n -=+=++=+=++=++ 1-n n 011-n 1-n n n 1n n n n 1n n n n 110111 1n 1n n n n 1n n n n n 1 -n 1n n n n 1n 1n n n 1n 2n a 所以n 1）1-n （2a 2a 可以得到 12a 2a 得到 2同除以22a a ）22-3a 化简即可得3 2)32(）33a (33a 即整体是等比数列33a 。所以3x 展开解得）3a （32x 3a 构造13a 23a 可以得到 3首先同除以，间接构造 2解2-3a 所以2）3-a （3-a 所以1 x 展开解得） 3x a （23x a 构造，直接构造法： 1解32a a ）1，4例n ?==?+==-+==-=-=---=+=++==?=-=+=++=++-----+++++n n n n n n n n n x
3n 327an 所以2）33a （33n a 即是等比数列， 3n 3a 所以3 t ，3m 展开解得）， t mn a （2t ）1n （m a 构造 n 3+2a =a ，5例1-n 1 -n 1n n n 1n n 1+n --?=?++=++++==++=+++?+ 综合例6的通项公式。a ，试求n 3a 2a ，2a 已知n n n 1n 1++==+ 1n -23a 所以22 ）113-a （1n 3a 所以1y ，1x ，1m 展开化简依次可以解得）y xn 3m a （2y ）1n （x 3m a 解：构造1n n n 1n 1n 11n n n n 1n 1n -+==?++=++-==-=+++=++++---++
等差数列与等比数列十大例题
等差数列与等比数列十大例题 例1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=，{}n a 的前n 项和为n S ． （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令b n = 2 1 1 n a -(n ∈N *)，求数列{}n b 的前n 项和n T ． 【解析】（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为37a =，5726a a +=，所以有 11 27 21026a d a d +=?? +=?，解得13,2a d ==， 所以321)=2n+1n a n =+-（；n S =n(n-1) 3n+22 ?=2n +2n 。 （Ⅱ）由（Ⅰ）知2n+1n a =，所以b n = 2 1 1n a -=21=2n+1)1-（114n(n+1)?=111(-)4n n+1 ?， 所以n T = 111111(1-+++-)4223n n+1?- =11(1-)=4n+1?n 4(n+1) ， 即数列{}n b 的前n 项和n T = n 4(n+1) 。 【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n 项和公式的应用、裂项法求数列的和，熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。 例2、 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，2n S kn n =+，* n N ∈，其中k 是常数． （I ） 求1a 及n a ； （II ）若对于任意的* m N ∈，m a ，2m a ，4m a 成等比数列，求k 的值． 解（Ⅰ）当1,111+===k S a n ， 12)]1()1([,2221+-=-+--+=-=≥-k kn n n k n kn S S a n n n n （*） 经验，,1=n （*）式成立， 12+-=∴k kn a n （Ⅱ）m m m a a a 42,, 成等比数列，m m m a a a 42 2.=∴， 即)18)(12()14(2 +-+-=+-k km k km k km ，整理得：0)1(=-k mk ，
浅谈构造等比数列求数列的通项公式
浅谈构造等比数列求数列的通项公式 昭通市水富县第一中学 刘永贵 摘要：由数列的递推公式求数列的通项公式是数列中常见，也是较难 的问题，多分析递推公式的结构特征，构造恰当的等比数列，就能够求这些数列的通项公式。 关键词：构造 等比数列 通项公式 等比数列是最简单、最基础、最重要的数列之一。而数列的递推公式是给出数列的一种重要方法，由数列的递推公式求数列的通项公式是数列中比较难的问题，但在根据数列的递推公式求数列的通项公式时，如能恰当地构造等比数列将会给解决问题带来极大的方便。下面就如何构造等比数列求数列的通项公式谈谈自己的一些办法。 一、形如)0()1(1≠?=++p na p a n n n 的类型 例 1、已知数列 } {n a 的各项都是正数且 1 1=a ， 02)1()1(2 12 1=--++++n n n n na a a n a n ，求数列}{n a 的通项公式。 解： 由02)1()1(2 121=--++++n n n n na a a n a n 得 ]2)1)[((11=-++++n n n n na a n a a ∵01>++n n a a ∴n n na a n 2)1(1 =++ ∴}{n na 是以2为公比，111 =?a 为首项的等比数列 ∴1 2 -=n n na ∴n a n n 1 2 -= 二、形如)1(1 ≠=+p a a p n n 的类型
例2、已知数列}{n a 中，31=a ，2 1n n a a =+，求数列}{n a 的通项公式。 分析：利用对数性质可将指数变成倍数，从而将该递推公式转 化成等比数列的递推公式。 解：由2 1 n n a a =+得 2 1 lg lg n n a a =+ ∴n n a a lg 2lg 1 =+ ∴}{lg n a 是以1lg a 为首项，2 为公比的等比数列 ∴1 2 1 11 3 lg 3lg 2 lg 2 lg -===--n n n n a a ∴1 2 3 -=n n a 三、形如q pa a n n +=+1 )001(≠≠≠q p p ，，的类型 例3、已知数列}{n a 中，11=a ，131+=+n n a a ， 求数列}{n a 的通项公式。 分析：n n a a 31 =+是等比数列的递推公式，该题中多了常数 1， 故将该递推公式转化成加一个常数成等比数列的结构。 解：令)(31x a x a n n +=++ ① 变形得x a a n n 231 +=+ 对比递推公式系数得12=x ，2 1=x 代入①得 ) 2 1(32 11 + =+ +n n a a ∴}2 1{+ n a 是以2 32 11=+ a 为首项，3为公比的等比数列 ∴n n n a 3 2 13 232 11 ?= ?=+ - ∴2 132 1- ?= n n a 四、形如n n n q pa a +=+1 )0101(≠≠≠≠q q p p ，，，的类型 例4、已知数列}{n a 中，11 =a ，n n n a a 2 31+=+，求数列}{n a 的通项公