2020-2021学年广西壮族自治区田阳高中高二9月月考数学(理)试题解析
2020-2021学年广西壮族自治区田阳高中高二9月月考数学（理）试题一、单选题1．已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘车的概率为（） A ．160B ．110C ．16D ．无法确定答案：B转换为测度是长度的几何概型求概率. 解：由于地铁列车每10分钟一班，则两班列车停靠车站之间时间可用长度为10的线段表示． 而列车在车站停1分钟，乘客到达站台立即乘上车的时间可用长度为1的线段表示． 如下图示：则乘客到达站台立即乘上车的概率110P =，故选：B ． 点评：本题为几何概型的基本题，关键在于确定对应事件的测度.2．读下面的程序框图，若输出S 的值为-7，则判断框的空格处填写（）A ．6i <B ．5i <C ．4i <D ．3i <答案：A根据程序框图可知，21(12)=--+-s ，因为输出的值为72135-=---，此时5i =，程序结束，由此判断空格处应填写A3．将八进制数()8131化为二进制数为（）A ．()21011001B ．()21001101C ．()21000011D ．()21100001答案：A先将八进制化为十进制，再利用倒序取余法化为二进制即可. 解：()20813118381889=⨯+⨯+⨯=，892441÷=， 442220÷=，222110÷=， 11251÷=， 5221÷=， 2210÷=， 1201÷=，所以()2891011001=. 故选：A 点评：本题考查了进位制之间的相互转化，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 4．某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数为奇数”，B =“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（） A ．事件A 与B 对立 B ．()()()⋃=+P A B P A P B C ．事件A 与B 互斥 D ．()()P A P B =答案：D根据互斥事件和对立事件的定义判断． 解：因为骰子的点数1至6共6个正整数，因此事件A 和B 可能同时发生（如出现点数1），也可能同时不发生（如出现点数6），因此它们不互斥也不对立，A ，B ，C 均错， 但31()62P A ==，31()62P B ==，D 正确.故选：D ． 点评：本题考查互斥事件和对立事件的概念，考查互斥事件的概率公式和古典概型的概率，属于基础题．5．总体由编号01，02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是随机数表从第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（）A ．12B ．04C ．02D ．01答案：D由随机数表的用法，划去大于20以及重复的数，即可得解. 解：从第一行的第5列和第6列起，由左向右读数，划去大于20以及重复的数可得： 12，08，02，14，07，01，所以选出来的第6个个体的编号为01. 故选：D. 点评：本题考查了随机数表的应用，熟练掌握随机数表的用法是解题关键，属于基础题. 6．圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（） A ．内切 B ．相交C ．外切D ．相离答案：A通过圆的标准方程，可得圆心和半径，通过圆心距与半径的关系，可得两圆的关系为内切. 解：22(1)1x y -+=，圆心(1,0)，半径为1； 22(1)(+2)9-+=x y ，圆心(1,2)-，半径为3两圆圆心距2等于半径之差，所以内切. 故选：A 点评：本题考查了圆与圆的位置关系，考查了运算求解能力和数形结合数学思想，属于基础题目.7．已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算2x =时的值时，3v 的值A ．15B ．6C ．2D ．63答案：A根据秦九韶算法的知识求得3v 的值. 解：函数532()231((((0)2)3)1)1f x x x x x x x x x x =++++=+++++，当2x =时，分别算出01v =，11202=⨯+=v ，2426=+=v ，326315=⨯+=v . 故选：A 点评：本小题主要考查秦九韶算法，属于基础题.8．已知下表所示数据的回归直线方程为y 44x =-，则实数a 的值为A ．16B ．18C ．20D ．22答案：B 解：4x =，代入回归直线方程得12y =，所以()1123711215m =++++，则18a =，故选择B.9．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C 的中点，则异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为( )A ．13B ．3C ．4D ．12答案：B以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，求得11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，()10,? 02AA =，，利用空间向量夹角余弦公式能求出异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值．在直三棱柱111ABC A B C -中，1111122AA A B B C ==，且AB BC ⊥，点M 是11A C ，∴以B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z 轴，建立空间直角坐标系，设11111222AA A B B C ===， 则11,1,22M ⎛⎫⎪⎝⎭，(0,00B ，），(1,00A ，），1(1,02A ，）， 11,1,22MB ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭，1(0,02AA ，）=， 设异面直线MB 与1AA 所成角为θ，则1122cos 31824MB AA MB AA θ⋅===⋅⋅, ∴异面直线MB 与1AA 所成角的余弦值为22，故选B ．点评：本题主要考查异面直线所成角的余弦值的求法，是基础题．求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解. 10．圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（） A ．5 B ．6C ．25D ．26答案：Cx 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0，0)到2x ＋y －15＝0的距离35=d ，因此，公共弦长为.选C11．在正方形ABCD 中，弧AD 是以AD 为直径的半圆，若在正方形ABCD 中任取一点，则该点取自阴影部分内的概率为（）A ．16π B ．12πC ．44π- D ．14答案：D设正方形ABCD 的边长为2，计算出阴影部分区域和正方形ABCD 的面积，利用几何概型的概率公式可求得所求事件的概率. 解：设正方形ABCD 的边长为2，将图中阴影部分中的弓形区域沿着图中的虚线对称，如下图所示：所以，阴影部分区域的面积为12112S '=⨯⨯=，正方形ABCD 的面积为224S ==， 因此，所求概率为14S P S '==. 故选：D. 点评：本题考查面积型的几何概型的概率计算，解题的关键就是计算出阴影部分区域的面积，考查计算能力，属于基础题.12．若直线x +y ﹣m ＝0与曲线y ＝2(2)x x -+m 所的取值范围是（） A ．[32,4]- B ．(,32)(4,)-∞-⋃+∞ C ．[32,32]+D ．(,12)(2,)-∞⋃+∞答案：D转化曲线y ＝2﹣(2)x x -+的方程，根据直线与圆的位置关系，即可容易求得结果. 解：曲线y ＝2﹣(2)x x -+等价于()()[]()22121,1,2x y y ++-=∈， 其表示圆心为()1,2-半径为1的半圆，画出示意图如下所示：数形结合可知：当直线过点()0,2A 时，是一种临界情况， 此时，020m +-=，解得2m =； 当直线与圆相切时，是另一种临界情况， 1212m-+-=，解得12m =-故要满足题意，只需12m <-2m >. 故选：D . 点评：本题考查直线与圆的位置关系，注意数形结合即可，属综合基础题. 二、填空题13．一位男同学和两位女同学随机排成一列，则男同学不站在中间的概率为______. 答案：23一位男同学编号为A ，两位女同学编号为,a b ，用列举法写出排列的所有基本事件，并得出所求事件中含有的基本事件，计数后可得概率． 解：一位男同学编号为A ，两位女同学编号为,a b ，则他们排成一列的事件有：,,,,,Aab Aba aAb abA bAa baA 共6个，其中男同学不站在中间的有,,,Aab Aba abA baA 共4个基本事件，故所求概率为4263=.故答案为：23．点评：本题考查古典概型，用列举法写出所有基本事件是解题的基本方法．14．某班甲、乙两位同学在高二第一学期的5次物理考试成绩的茎叶图如图所示，则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是________．答案：10由茎叶图中的数据判断甲组数据方差较小，再计算它的平均数和方差． 解：解：由茎叶图中的数据知，甲组数据分布在81~90之间，乙组数据分布在79~91之间， 所以甲组数据较为稳定，计算()18182838490845x =⨯++++=甲，方差是(2222221[(8184)(8284)(8384)(8484)9084)105s ⎤=⨯-+-+-+-+-=⎦甲． 故答案为：10． 点评：本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数和方差的问题，属于基础题． 15．在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________．答案：2220x y x +-=分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得：200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线．(2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．16．如图，1111ABCD-A B C D 为正方体，下面结论中正确的是_______.（把你认为正确的结论都填上）①11A C ⊥平面1BD ； ②1BD ⊥平面1ACB ；③1BD 与底面11BCC B 2 ④过点1A 与异面直线AD 与1CB 成60︒角的直线有2条. 答案：①②④ 解：1111A C B D ⊥，因为1BB ⊥面1111A B C D ，所以111BB A C ⊥，由此11A C ⊥平面1BD ，故①对．由三垂线定理可知，11BD AB ⊥，11BD CB ⊥，所以1BD ⊥面1AB C ，故②对．由①②可知，11C BD ∠为1BD 与面11BCC B 的所成角，所以11111C D 2tan C BD BC 2∠==，所以③错． 在正方体中11A D CB ，所以过1A 与异面直线1CB 所成角为与直线1A D 所成角．将图形抽象出来如下图所示．由于1AA D 4π∠=，所以如下图，有上下两条直线分别直线1A D ，AD 所成角为60︒，故与异面直线AD 和1CB 成60︒，所以④对．点评：本题考查线线垂直，线面垂直，判断定理和性质定理，以及异面直线所成角， 综合性很强，题目偏难．在使用线线垂直，线面垂直的性质定理时，三垂线定理学生要熟练掌握．求解异面直线所成角的步骤：先平移找到角，再证明，最后求解． 三、解答题17．已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动． （Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A ，B ，C ，D ，E ，F ，G 表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i ）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii ）设M 为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M 发生的概率． 答案：（1）3，2，2（2）（i ）见解析（ii ）521解：分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii ）由题意结合（i ）中的结果和古典概型计算公式可得事件M 发生的概率为P （M ）=521．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i ）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{A ，D }，{A ，E }，{A ，F }，{A ，G }，{B ，C }，{B ，D }，{B ，E }，{B ，F }，{B ，G }，{C ，D }，{C ，E }，{C ，F }，{C ，G }，{D ，E }，{D ，F }，{D ，G }，{E ，F }，{E ，G }，{F ，G }，共21种．（ii ）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A ，B ，C ，来自乙年级的是D ，E ，来自丙年级的是F ，G ，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A ，B }，{A ，C }，{B ，C }，{D ，E }，{F ，G }，共5种． 所以，事件M 发生的概率为P （M ）=521． 点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力． 18．某地区2013年至2019年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：（1）求y 关于t 的线性回归方程；（2）利用（1）中的回归方程，分析2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2021年农村居民家庭人均纯收入． 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆn nii ii i nni ii i t t y y t y n t ybt t tn t ====---⋅⋅==--⋅∑∑∑∑,ˆˆay b t =-⋅ 答案：（1）0.5 2.3y t =+；（2）2013年至2019年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元；6.8千元．（1）根据所给的数据，计算出t 和y 的值，将表格中的数据代入最小二乘法公式求出b 和a 的值，即可得出y 关于t 的线性回归方程；（2）根据回归直线方程可分析出2013年至2019年该地区居民家庭人均纯收入的变化情况，将9t =代入回归直线方程可计算出该地区2021年居民家庭人均纯收入的估计值. 解：（1）由所给数据计算得()1123456747t =++++++=， ()12.93.3 3.64.4 4.85.2 5.9 4.37y =++++++=， ()72=1941014928ii tt-=++++++=∑，()()()()()()()()713 1.42110.700.110.5iii tty y =--=-⨯-+-⨯-+-⨯-+⨯+⨯∑20.93 1.614+⨯+⨯=，()()()121714ˆ0.528iii nii tty y btt==--===-∑∑，ˆ 4.30.54 2.3a y bt=-=-⨯=， 所求线性回归方程为0.5 2.3y t =+；（2）由（1）知，ˆ0.50b=>，故2013年至2019年该地区居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5万元，将2021年的年份代号9t =代入（1）中的线性回归方程，得0.59 2.3 6.8y =⨯+=， 故预测该地区2021年居民家庭人均纯收入为6.8万元. 点评：本题考查线性回归方程的应用，本题解题的关键是利用最小二乘法计算出线性回归方程的系数，考查计算能力，是一个基础题．19．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 答案：（1）见解析；（2）105. （1）利用三角形中位线和11//A D B C 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值. 解：（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点ME ∴为1B BC ∆的中位线1//ME B C ∴且112ME B C =又N 为1A D 中点，且11//A D B C 1//ND B C ∴且112ND B C =//ME ND ∴∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE ⊂平面1C DE //MN ∴平面1C DE（2）设ACBD O =，11111A C B D O ⋂=由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD 四边形ABCD 为菱形AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：)3,0,0A，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,,222N ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则31,022F ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠=BAD ∴∆为等边三角形DF AB ∴⊥又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DFAA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMADF ∴为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭设平面1MA N 的法向量(),,n x y z =，又()13,1,2MA =-，33,,022MN ⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭132033022n MA x y z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令3x =，则1y =，1z =-()3,1,1n ∴=-15cos ,515DF n DF n DF n⋅∴<>===⋅10sin ,5DF n ∴<>= ∴二面角1A MA N --的正弦值为：10点评：本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型.20．从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图；（2）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（结果保留2位小数）（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？ 答案：（1）答案见解析；（2）100，97.63；（3）不能. （1）根据频数分布表直接绘制频率分布直方图即可. （2）直接利用样本平均数的定义求解.（3）根据频率分布直方图算出质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值即可. 解：（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=.质量指标值的样本中位数为97.63.（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=， 由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定. 点评：本题主要考查频率分布表、频率分布直方图及其应用，还考查了数形结合的思想和数据处理的能力，属于中档题.21．如图，在三棱锥S ABC -中，平面SBC ⊥平面ABC ，2SB SC AB AC ====2BC =，若O 为BC 的中点.（1）证明：SO ⊥平面ABC ；（2）设线段SO 上有一点M ，当AM 与平面SAB 30OM 的长.答案：（1）证明见解析；（2）13. （1）结合面面垂直的性质定理证得SO ⊥平面ABC .（2）建立空间直角坐标系，设()0,0,M t ，利用AM 与平面SAB 所成角的正弦值为30，结合向量运算列方程，解方程求得t ，由此求得OM 的长. 解：（1）∵SB SC =，OB OC =，∴SO BC ⊥，∵平面SBC ⊥平面ABC ， 平面SBC平面ABC BC =，SO ⊂平面SBC ，∴SO ⊥平面SBC .（2）连接OA ，由于AB AC =，O 是BC 的中点，所以,OA BC OB OA ⊥⊥，而SO ⊥平面ABC ，所以,SO OB SO OA ⊥⊥，所以,,OA OB SO 两两垂直. 以O 为空间坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系，则()()()()0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,0,1A B C S -.设(),,m a b c =为平面SBA 的法向量，∵()1,1,0AB =-，()1,0,1SB =-，∴00a b a c -=⎧⎨-=⎩，即可取()1,1,1m =，设()0,0,M t ，[]()0,1t ∈，∴()0,1,AM t =-，设AM 与平面SAB 所成角为θ，∵sin cos ,m AM m AM m AMθ⋅==⋅，∴21301531t t -=⋅+，()22661521t t t +=-+，231030t t -+=，()()3310t t --=，3t =（舍），13t =，∴OM 的长为13.点评：本小题主要考查面面垂直的性质定理，考查线面角的有关计算，属于中档题. 22．已知圆22:270C x y x ++-=内一点(1,2)P -，直线l 过点P 且与圆C 交于A ，B 两点.（1）求圆C 的圆心坐标和面积；（2）若直线l 3AB 的长；（3）若圆上恰有三点到直线l 2，求直线l 的方程． 答案：(1)见解析;(2)7;(3)30x y -+=，或10x y +-=．（1）化圆的一般式为标准方程：得出圆C 的圆心坐标为()1,0-，半径22r = （2）先求圆心到直线的距离为d ，再利用半径r ，距离d ，半弦长构成直角三角形求解即可．（3）圆上恰有三点到直线l 2，等价于圆心()1,0-到直线AB 的距离为22r=． 解：（1）圆C 的圆心坐标为()1,0-，半径22r =8S π=； （2）直线l 的方程为)231y x -=+3230x y -++=，圆心到直线的距离为()2323131d -++==+，()2222222127AB r d =-=-=；（3）因圆上恰有三点到直线l，转化为 则圆心()1,0-到直线AB的距离为2r=， 当直线l 垂直于x 轴时，显然不合题意；设直线l 的方程为()21y k x -=+，即20kx y k -++=，由d ===1k =±，故直线l 的方程为30x y -+=，或10x y +-=． 点评：利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为AB =设点()00A x ,y ，直线方程为Ax By C 0++=，点到直线的距离公式为d =.。
广西高二高中数学月考试卷带答案解析
广西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．2.已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan（π＋α）的值是（）A．B．C．D．3.对于不重合的直线和不重合的平面，下列命题错误的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则4.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为( ）A．9B．10C．11D．135.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为（）A．B．C．D．6.某班级有名学生，其中有名男生和名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为，，，，，五名女生的成绩分别为，，，，，下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数7.在单位圆O的一条直径上随机取一点Q,则过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率为( ) A．B．C．D．8.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°9.已知在直三棱柱中，，，则直线与夹角的余弦值为( ) A．B．C．D．10.已知三棱锥O ABC,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥O ABC的体积为,则球O的表面积是( )A．B．C．D．11.有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9．从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．12.若三棱锥的一条棱长为，其余棱长均为1，体积是，则函数在其定义域上为（）A．增函数且有最大值B．增函数且没有最大值C．不是增函数且有最大值D．不是增函数且没有最大值二、填空题1.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0．42,摸出白球的概率是0．28,若红球有21个,则黑球有个．2.已知的夹角为，则_______．3.已知函数的图象与y轴交于P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω＝________．4.如图所示，在四边形中，,将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是．（1）；（2）；（3）与平面所成的角为；（4）四面体的体积为．三、解答题1.已知△的内角所对的边分别为且．（1）若，求的值；（2）若△的面积求的值．2.某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？3.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，则该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率．4.如图，已知矩形所在平面外一点，平面，分别是的中点，．（1）求证：平面（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．5.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．（1）求证：；（2）求二面角的大小．6.已知等比数列是递增数列，，数列满足，且（）（1）证明：数列是等差数列；（2）若对任意，不等式总成立，求实数的最大值．广西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.直线的倾斜角为( )A．B．C．D．【答案】D【解析】设直线的倾斜角为,由直线方程可知直线的斜率,即,,．故D正确．【考点】直线的斜率,倾斜角．2.已知α为第二象限角，且sin α＝，则tan（π＋α）的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】为第二象限角, ,．故B正确．【考点】1同角三角函数关系式;2诱导公式．3.对于不重合的直线和不重合的平面，下列命题错误的是（）A．若，则B．若，则C．若，则D．若，则【答案】C【解析】由线面平行的判定定理可知A选项内容正确;由面面垂直的判定定理可知B选项内容正确;两平行平面内的直线位置关系为平行或异面,所以C选项内容不正确;D选项内容显然成立．故选C．【考点】1线线平行,线面平行,面面平行;2面面垂直．4.某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为( ）A．9B．10C．11D．13【答案】D【解析】由题意可得,解得;,解得．．故D正确．【考点】平均数,中位数．5.一个三棱锥的正视图和俯视图如图所示，则它的侧视图的面积为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由正视图和俯视图可知侧视图是底边长为,高为的三角形,所以侧视图面积为．【考点】三视图．【思路点睛】本题主要考查的是三视图,难度中等．三棱锥的侧视图必为三角形,由正视图可知侧视图三角形的高,由俯视图可知侧视图底面边长,从而可求侧视图面积．6.某班级有名学生，其中有名男生和名女生，随机询问了该班五名男生和五名女生在某次数学测验中的成绩，五名男生的成绩分别为，，，，，五名女生的成绩分别为，，，，，下列说法一定正确的是（）A．这种抽样方法是一种分层抽样B．这种抽样方法是一种系统抽样C．这五名男生成绩的方差大于这五名女生成绩的方差D．该班级男生成绩的平均数小于该班女生成绩的平均数【答案】C【解析】根据抽样方法的特点，可知既不是分层抽样，也不是系统抽样，故A,B是错的，从这五名学生的成绩得不出该班的男生成绩和女生成绩的平均分，故D是错的，根据公式，求得五名男生成绩的方差为，五名女生成绩的方差为，故选C．【考点】1抽样方法;2方差．7.在单位圆O的一条直径上随机取一点Q,则过点Q且与该直径垂直的弦长长度不超过1的概率为( ) A．B．C．D．【答案】B【解析】如图,当弦长为1时．所以弦长不超过1时即,且在直径上,所以所求概率．故B正确．【考点】几何概型概率．【思路点睛】本题主要考查几何概型概率,难度一般．所以弦长不超过1时在直径上满足条件的线段长为,若忽略了圆的对称性极容易错写成,从而出错．8.一个正方体的展开图如图所示，A、B、C、D为原正方体的顶点，则在原来的正方体中( )A．AB∥CD B．AB与CD相交C．AB⊥CD D．AB与CD所成的角为60°【答案】D【解析】将展开图还原成立体图可知与是相邻两个面的两条不相交的对角线,显然A,B,C不正确,根据异面直线所成角的定义可知与所成角为．故D正确．【考点】1两直线间的位置关系;2异面直线所成角．【思路点睛】本题主要考查正方体中两直线位置关系和异面直线所成的角问题,属容易题．在正方体中相邻两个面的对角线相交或异面,且相邻三个面的三条两两相交的对角线构成的三角形为正三角形．9.已知在直三棱柱中，，，则直线与夹角的余弦值为( ) A．B．C．D．【答案】A【解析】分别取的中点为，则，为异面直线与所成的角或其补角．可求得,．故A正确．【考点】异面直线所成的角．【方法点睛】本题主要考查异面直线所成的角问题,难度一般．求异面直线所成角的步骤:1平移,将两条异面直线平移成相交直线．2定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．3求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．4结论．10.已知三棱锥O ABC,A,B,C三点均在球心为O的球表面上,AB=BC=1,∠ABC=120°,三棱锥O ABC的体积为,则球O的表面积是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】的面积是,设球心到平面的距离为,则,所以．外接圆的直径,所以．球的半径,故所求的球的表面积是．故A正确．【考点】球的表面积．【思路点睛】本题主要考查几何体的球的表面积,难度稍大．由三棱锥的体积可求得三棱锥的高．因为球心和截面圆圆心的连线垂直于截面根据勾股定理可得球的半径,从而可得球的表面积．11.有五条线段，长度分别为1,3,5,7,9．从这五条线段中任取三条，则所取三条线段不能构成一个三角形的概率为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】从这五条线段中任取三条所有基本事件为：共10个，其中不能构成三角形的有：,所以取三条线段不能构成一个三角形的概率为：．故B正确．【考点】古典概型概率．【思路点睛】本题主要考查古典概型概率,难度一般．从5条线段中任取3条的所包含的基本事件一一例举可得事件总数,根据三角形的两边之和大于第三边,两边之差小于第三边的性质找出其中三条线段构不成三角形的所有事件再一一例举,由古典概型概率公式即可求得所求概率．审题时一定要注意题目中要求的是不能构成三角形的概率,否则必出现错误．12.若三棱锥的一条棱长为，其余棱长均为1，体积是，则函数在其定义域上为（）A．增函数且有最大值B．增函数且没有最大值C．不是增函数且有最大值D．不是增函数且没有最大值【答案】C【解析】由题意画出三棱锥如图，，，取的中点分别为，可知平面面，，所以．故C正确．【考点】1棱锥的体积;2基本不等式．二、填空题1.口袋内装有一些除颜色不同之外其他均相同的红球、白球和黑球,从中摸出1个球,摸出红球的概率是0．42,摸出白球的概率是0．28,若红球有21个,则黑球有个．【答案】15【解析】总共有球个,其中白球个,所以黑球有个．【考点】古典概型概率．2.已知的夹角为，则_______．【答案】【解析】,．【考点】1向量的数量积;2向量的模．3.已知函数的图象与y轴交于P，与x轴的相邻两个交点记为A，B，若△PAB的面积等于π，则ω＝________．【答案】【解析】,，因此．【考点】三角函数的周期公式．4.如图所示，在四边形中，,将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是．（1）；（2）；（3）与平面所成的角为；（4）四面体的体积为．【答案】（2）（4）【解析】平面平面平面，与平面所成的角为，四面体的体积为，，综上（2）（4）成立．【考点】1线线垂直;2线面角;3棱锥的体积．三、解答题1.已知△的内角所对的边分别为且．（1）若，求的值；（2）若△的面积求的值．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）由可求得,根据正弦定理可求得．（2）由三角形面积公式可求得的值,再由余弦定理可得的值．试题解析：（1）∵，且，∴．由正弦定理得，∴．（2）∵∴．∴．由余弦定理，∴．【考点】1正弦定理,余弦定理;2三角形面积公式．2.某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．（1）求直方图中的值；（2）求月平均用电量的众数和中位数；（3）在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？【答案】（1）;（2）众数230;中位数224; （3）5．【解析】（1）根据频率分布直方图中每个小矩形的面积即为该组的频率,且频率和为1,从而可求得的值．（2）频率分布直方图中最高小矩形底边中点坐标即为众数,使频率分布直方图中左右面积相等的数即为中位数．（3）根据频率等于频数除以总数可求得月平均用电量为，，，的用户数，根据分层抽样为按比例抽取可求得所求．试题解析：（1）由得：，所以直方图中的值是（2）月平均用电量的众数是因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户【考点】1频率分布直方图;2众数,中位数;3分层抽样．3.某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖，每次抽奖都从装有4个红球、6个白球的甲箱和装有5个红球、5个白球的乙箱中，各随机摸出1个球，在摸出的2个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有1个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖．（1）求顾客抽奖1次能获奖的概率；（2）若某顾客有3次抽奖机会，则该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率．【答案】（1）;（2）．【解析】（1）在两个箱子中各摸出1个球为相互独立事件概率应用乘法．摸到都是红球或只有一个红球为为互斥事件,概率应用加法．（2）由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为．三次都是一等奖的概率为,根据对立事件概率和为1可得所求概率．试题解析：（1）记事件｛从甲箱中摸出的1个球是红球｝，｛从乙箱中摸出的1个球是红球｝｛顾客抽奖1次获一等奖｝，｛顾客抽奖1次获二等奖｝，｛顾客抽奖1次能获奖｝，由题意，与相互独立，与互斥，与互斥，且，，，∵，，∴，，故所求概率为；（2）顾客抽奖3次独立重复试验，由（1）知，顾客抽奖1次获一等奖的概率为，∴该顾客在3次抽奖中至多有两次获得一等奖的概率为【考点】1相互独立同时发生事件概率;2互斥事件概率．4.如图，已知矩形所在平面外一点，平面，分别是的中点，．（1）求证：平面（2）若，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】（1）详见解析; （2）．【解析】（1）取中点，连结,易证得,即证得四边形为平行四边形,从而可得,根据线面平行的判定定理可证得平面．（2）连结，易证得平面,从而即为所求角,在直角中求的正弦值即可．试题解析：（1）证明：取中点，连结，四边形为平行四边形所以平面平面（2）连结，由条件知，平面所以平面，就是直线与平面所成的角经计算得【考点】1线面平行,线面垂直;2线面角．【方法点晴】本题主要考查的是线线平行、线线垂直、线面垂直,属于中档题．证明线面平行的关键是证明线线平行，证明线线平行常用的方法是中位线，平行四边形，平行线分线段成比例逆定理，平行公理等;证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线;求棱锥的体积时关键是找准棱锥的顶点即棱锥的高．常用体积转化法求高．5.如图，在三棱锥中，，，°，平面平面，、分别为、中点．（1）求证：；（2）求二面角的大小．【答案】（1）详见解析; （2）．【解析】（1）连结,根据等边三角形三线合一可证得,由中位线可得,即可得, 根据线面垂直的判定定理可证得平面,从而可证得．（2）由面面垂直的性质定理可证得平面,从而可得证,根据线面垂直的判定定理可证得平面,过做垂直与，连接，则．根据二面角的定义可知即为所求,在中求即可．试题解析：（1）连结，，．，，．又，平面,平面,．（2）平面平面，平面平面，，平面．,又，平面平面,过做垂直与，连接，则为所求二面角的平面角则：，，则，故二面角的大小【考点】1线面垂直;2二面角．【方法点晴】本题主要考查的是线线垂直、线面垂直,属于中档题．证明线面垂直的关键是证明线线垂直，证明线线垂直常用的方法是线面垂直得线线垂直、直角三角形、等腰三角形的“三线合一”和菱形、正方形的对角线．求二面角常用的方法有定义法、垂面法等．6.已知等比数列是递增数列，，数列满足，且（）（1）证明：数列是等差数列；（2）若对任意，不等式总成立，求实数的最大值．【答案】（1）详见解析; （2）12．【解析】（1）将变形可得,根据等差数列的定义可知是等差数列．（2）由等比数列的性质可得,解方程组可得,从而可得数列的首相和公比,由等比数列的通项公式可得,由是等差数列可得,从而可得．可将问题转化为总成立,由基本不等式可求得的最大值,即可求得的最大值．试题解析：（1）因为，所以，所以．所以数列是等差数列．（2）因为,,且是递增数列，解得，所以，所以．由（1）数列是以为首相,以1公差的等差数列,,所以，对任意，不等式总成立即总成立，因为，所以或2时最小值为12，故最大值为12．【考点】1等差数列的定义,通项公式;2等比数列的性质,通项公式;3基本不等式．。
广西高二高中数学月考试卷带答案解析
广西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.对同一目标进行两次射击，第一、二次射击命中目标的概率分别为和，则两次射击中至少有一次命中目标的概率是（）A．B．C．D．2.已知是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．B．C．D．3.从10种不同的软件中选出6种放在6个不同的架子上展出，每个架子上只能放一种软件，且第1号架子上不能放甲或乙种软件，那么不同的放法共有（）A．种B．种C．种D．种4.如图，在正方体中，．则点到面的距离是（）A．B．C．D．5.从装有2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而对立的两个事件是（）A．至少有1个黑球，至少有1个白球B．恰有1个黑球，恰有2个白球C．至少有1个黑球，都是黑球D．至少有1个黑球，都是白球6.如图，在长方体中，，，则异面直线与所成的角为（）A．B．C．D．7.将4本不同的书全发给3名同学，则每名同学至少有一本书的概率为（）A．B．C．D．8.若则（）A．B．C．D．9.在展开式中，含的项的系数是（）A．B．C．D．10.一个球面上有三个点、、，若，，球心到平面的距离为1，则球的表面积为（）A．B．C．D．11.设为奇数，那么除以13的余数是（）A．B．C．D．12.用6种颜色给右图四面体的每条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的棱染不同的颜色，则不同的染色方法共有（）种。
A．B．C．D．二、填空题1.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相邻但不排在两端，则不同的排法共有（用数字回答）。
2.已知的展开式中，的系数是240，则实数的值为_______________。
3.从6名男同学，5名女同学中任选3名参加体能测试，则选到的3名同学中既有男同学又有女同学的概率为__________。
4.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，有如下四个结论：①AC⊥BD；②是等边三角形；③与所成的角为；④与平面成的角。
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广西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.下列说法中正确的是 ( )A ．平面α和平面β可以只有一个公共点B ．相交于同一点的三直线一定在同一平面内C ．过两条相交直线有且只有一个平面D ．没有公共点的两条直线一定是异面直线学2.函数最小值是( )A ．-1B ．C ．D ．13.直线x +y +1=0与圆的位置关系是（ ） A ．相切B ．相离C ．相交D ．不能确定4.正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，对角线AC 1与底面ABCD 所成的角的正切等于（ ） A ．1B ．C ．D ．5.在平面内，，是的斜线，，则点在上的射影在A ．直线上B ．直线上C ．直线上D ．内部6.棱长为的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，异面直线DD 1与BC 1之间的距离为 ( ) A ．B ．C ．D ．7.．已知a 、b 、c 是直线，是平面，给出下列命题： ①若；②若； ③若； ④若a 与b 异面，且相交； ⑤若a 与b 异面，则至多有一条直线与a ，b 都垂直.其中真命题的个数是（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．48.．已知a,b 为正实数，且的最小值为（ ）A ．B ．6C ．3+D ．3－9.．已知双曲线右焦点与抛物线的焦点重合,则该双曲线的离心率等于 A ．B ．C ．D ．10.相交成60°的两条直线与一个平面α所成的角都是45°，那么这两条直线在平面α内的射影所成的角是（ ）A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°11.如图将无盖正方体纸盒展开，直线AB 与CD 原来的位置关系是（ ）A ．相交成60°B ．相交且垂直C ．异面D ．平行12.已知正方形所在平面，，点到平面的距离为，点到平面的距离为，则（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题1.已知点P 是△ABC 所在平面外一点，点O 是点P 在平面ABC 上的射影，若点P 到△ABC 的三个顶点的距离相等，那么O 点一定是△ABC 的 心； 2.已知垂直平行四边形所在平面，若，四边形一定是 形 3.已知向量，，，若∥，则= ． 4.在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，P 为棱AB 的中点，则直线A 1P 与BC 1所成角为三、解答题1.（本题满分10分）如图，已知求证：a ∥l .2.（本题满分12分） 在中，，．（1）求的值； （2）设，求的面积．3.本题满分12分）如图，已知矩形ABCD 所在平面外一点P ，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是AB 、PC 的中点．（1）求证：EF∥平面PAD；（2）求证：EF⊥CD；4.（本题满分12分）已知数列{}的首项，通项（为常数），且成等差数列，求：（1）的值；（2）数列{}的前项的和的公式。
广西高二高中数学月考试卷带答案解析
广西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.不等式..的解集是（）A．B．C．D．2.设,且,则（）A．B．C．D．3.“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件4.函数的最大值为（）A．2B．C．D．15.下列结论正确的是（）A．当且时，；B．当时，；C．当时，的最小值为2；D．当时，无最大值；6.已知变量，满足约束条件，则的最小值为（）A．3B．1C．－5D．－6 7.如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为（）A．B．C．D．8.已知数列,,则数列的前10项和为（）A．B．C．D．9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A．B．C．D．110.关于的不等式()的解集为,且,则（）A．B．C．D．11.等比数列的各项均为正数,且,则( )A．12B．10C．8D．12.在△ABC中,,且,则内角C的余弦值为( )A．1B．C．D．二、填空题1.已知向量和向量的夹角为，，，则向量和向量的数量积_________.2.在等差数列中,已知,则____________________.3.在数列中，若，，则该数列的通项________________.4.若正数满足，则的最小值是__________.三、解答题1.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少?2.中，角所对的边分别为，已知，，．⑴求的值；⑵求的值．3.已知等差数列，公差不为零，，且成等比数列;⑴求数列的通项公式;⑵设数列满足，求数列的前项和.4.如图,直棱柱中,分别是的中点,.⑴证明:;⑵求EC与平面所成角的正弦值.5.已知函数：,．⑴解不等式;⑵若对任意的,，求的取值范围.6.设数列的前项和满足,其中.⑴若,求及;⑵若,求证:,并给出等号成立的充要条件.广西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.不等式..的解集是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，得，或.所以选D.【考点】二次不等式的解法.2.设,且,则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，，不能得到，所以排除A选项.假设，则B,C选项都不成立.所以选D.【考点】不等式的基本性质.3.“”是“”的（）A．必要不充分条件B．充分不必要条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】由可以得出，所以充分条件成立.由可解得x<-2或x>2.不能得到x>3.所以x>3是x2>4的充分不必要条件.故选B.【考点】1.常用基本逻辑用语.2.二次不等式的解法.4.函数的最大值为（）A．2B．C．D．1【答案】C【解析】因为，所以当即时，f(x)的最大值为.故选C.【考点】1.三角函数的化一公式.2.三角函数的最值问题.5.下列结论正确的是（）A．当且时，；B．当时，；C．当时，的最小值为2；D．当时，无最大值；【答案】B【解析】基本不等式的应用要把握：一正二定三相等.A选项中0<x<1时lg x<0.所以A选项不成立.C选项中当取到最小值时x=1.所以不包含在中.所以排除C. D选项中是关于x递增的代数式，当x=2时取到最大值.所以排除D.B选项符合了一正二定三相等的条件.故选B.【考点】1.基本不等式的应用.2.对数知识，函数的单调性知识.6.已知变量，满足约束条件，则的最小值为（）A．3B．1C．－5D．－6【答案】C【解析】如图x,y满足的可行域为三角形ABC围成的图形.目标函数的最大值理解为，平行于直线x+2y=0的直线l在y轴的最小截距.由图可得l过C点的截距最大.由 C(-1,-2)代入目标函数得z=-5.所以z的最小值为-5.故选C.【考点】线性规划知识.7.如图所示,程序据图(算法流程图)的输出结果为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】通过观察框图可得到n的变化是以2为单位递增.要保证n<8才能执行运算，所以共有三次循环..所以选C.【考点】1.算法中的框图语言.2.判断语句，循环语句的应用.8.已知数列,,则数列的前10项和为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】数列的通项为. 前十项和，.所以选A.【考点】裂项求和法.9.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A．B．C．D．1【答案】B【解析】由视图可得AB⊥BC,PA⊥平面ABC,AB=BC=1，PA=2，.所以选B.【考点】1.三视图的知识.2.三棱锥的体积的计算.10.关于的不等式()的解集为,且,则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由得，，所以.所以选A.【考点】1.含参的二次不等式的解法.11.等比数列的各项均为正数,且,则( )A．12B．10C．8D．【答案】B【解析】由于数列是等比数列，所以，又因为，所以得到..所以选B.【考点】1.等比数列的性质.2.同底对数的求和运算.3.对数的性质.12.在△ABC中,,且,则内角C的余弦值为( )A．1B．C．D．【答案】C【解析】由结合正弦定理,得,由,得,由于,故,,.所以选C.【考点】1.解三角形知识.2.边化角的思想.3.三角恒等变形.4.和差化积公式.二、填空题1.已知向量和向量的夹角为，，，则向量和向量的数量积_________.【答案】3【解析】.所以填3.【考点】向量的数量积的计算.2.在等差数列中,已知,则____________________.【答案】20【解析】解法(一)设首项为，公差为d,由可得2+9d=10,又因为=20.解法(二)数列是等差数列，所以，由==20.【考点】1.等差数列的通项公式.2.等差数列的性质.3.在数列中，若，，则该数列的通项________________.【答案】【解析】，是首项为4，公比为2的等比数列，所以，所以.【考点】1.数列通项.2.培养构造新的一个等比数列能力.4.若正数满足，则的最小值是__________.【答案】5【解析】所以3x+4y=(3x+4y)=【考点】1.基本不等式的应用.2.构造等式一边是1.三、解答题1.一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形的长,宽各为多少时,菜园的面积最大.最大面积是多少?【答案】故当长宽都为9m时,面积最大为81.【解析】本题考查周长为定值的矩形面积最大的问题.应用基本不等式求得最大值.试题解析：解:设矩形的长宽分别为,则有,,面积,当且仅当时取“＝”,故当长宽都为9m时,面积最大为81.【考点】基本不等式的应用.2.中，角所对的边分别为，已知，，．⑴求的值；⑵求的值．【答案】(1) ;(2)【解析】（1）余弦定理的应用.（2）通过余弦定理求出角C的余弦值，再求出角C的正弦值.另外也可以先求出角B的正弦值，再用正弦定理求出角C的正弦值.试题解析：⑴由余弦定理，，得，∴．⑵方法1：由余弦定理，得，∵C是△ABC的内角，∴.方法2：∵，且是的内角，∴．根据正弦定理，，得．【考点】1.余弦定理的应用.2.正弦定理的应用.3.正余弦函数之间的转化.3.已知等差数列，公差不为零，，且成等比数列;⑴求数列的通项公式;⑵设数列满足，求数列的前项和.【答案】(1);(2) .【解析】（1）等差数列的通项公式的应用，等比中项的知识.（2）数列的通项是由一个等差数列和一个等比数列的乘积构成的复合数列，利用错位相减法求数列的前n项和.试题解析：⑴由成等比数列得，，即,解得，或（舍）, ,⑵由⑴，,, 所以.【考点】1.等差数列的通项公式.2.等比中项3.错位相减法求数列的前n项和.4.如图,直棱柱中,分别是的中点,.⑴证明:;⑵求EC与平面所成角的正弦值.【答案】(1)见解析；（2）sin∠ECD=.【解析】（1）线线垂直转化为线面垂直的思想.（2）通过证明线面垂直，找到了线面所成的角，再根据所给的线段的关系求出EC与平面所成角的正弦值.试题解析：⑴由,知,又,故,,故;⑵设,故可得,,,故,故,又由⑴得,故,故所求角的平面角为,故.【考点】1.线线垂直的证明.2.直线与平面所成的角的计算.5.已知函数：,．⑴解不等式;⑵若对任意的,，求的取值范围.【答案】(1) ①时,不等式的解为R; ②或时，或；(2).【解析】（1）含参数的二次不等式的解法要考虑判别式的值.（2）本题较难就是绝对值的处理，把x的范围按正负分开在讨论，特别是小于零部分的处理要细心，应用基本不等式的知识.试题解析：⑴可化为,,①当时,即时,不等式的解为R;②当时,即或时,,,不等式的解为或;⑵，对任意的恒成立,①当时，，即在时恒成立;因为，当时等号成立．所以，即;②当时，，即在时恒成立，因为，当时等号成立．所以，即;③当时，．综上所述，实数的取值范围是．【考点】1.含参的二次不等式的解法.2.含绝对值的不等式恒成立问题.3.分类的思想.6.设数列的前项和满足,其中.⑴若,求及;⑵若,求证:,并给出等号成立的充要条件.【答案】（1），；（2）当且仅当或时等号成立.【解析】(1)已知与的关系式求出首项和通项，通常都是取特值和写一个递推式相减即可.(2)由（1）得到，分析第1,2项可得后要证的问题等价于本题是通过利用对称项的关系来证明的，该对称项是通过对的范围的讨论得到的. 通过累加后得到，然后不等式的两边同时加上即可得到答案.试题解析：⑴………①,当时代入①,得,解得;由①得,两式相减得(),故,故为公比为2的等比数列,故(对也满足);⑵当或时,显然,等号成立.设,且,由(1)知,,,所以要证的不等式化为:即证:当时,上面不等式的等号成立.当时,与,()同为负;当时, 与,()同为正;因此当且时,总有 ()()>0,即,().上面不等式对从1到求和得,;由此得 ;综上,当且时,有,当且仅当或时等号成立.【考点】1.数列的求和与通项的关系.2.数列中不等式的证明.3.数列的累加法的应用.4.分类的思想.。
专题12 指、对数函数比较大小-2021年高考数学(理)母题题源解密(解析版)
专题12 指、对数函数比较大小【母题原题1】【2020年高考全国Ⅲ卷，理数】已知55<84，134<85．设a =log 53，b =log 85，c =log 138，则（ ） A. a <b <c B. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得a 、b 、()0,1c ∈，利用作商法以及基本不等式可得出a 、b 的大小关系，由8log 5b =，得85b =，结合5458<可得出45b <，由13log 8c =，得138c =，结合45138<，可得出45c >，综合可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】由题意可知a 、b 、()0,1c ∈，()222528log 3lg 3lg81lg 3lg8lg 3lg8lg 241log 5lg 5lg 522lg 5lg 25lg 5a b ⎛⎫⎛⎫++⎛⎫==⋅<⋅==< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，a b ∴<； 由8log 5b =，得85b =，由5458<，得5488b <，54b ∴<，可得45b <； 由13log 8c =，得138c =，由45138<，得451313c <，54c ∴>，可得45c >. 综上所述，a b c <<. 故选：A.【点睛】本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用，考查推理能力，属于中等题.【母题原题2】【2019年高考全国Ⅲ卷理数】设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在()0,+∞单调递减，则A ．f （log 314）＞f （322-）＞f （232-）B ．f （log 314）＞f （232-）＞f （322-）C ．f （322-）＞f （232-）＞f （log 314）D ．f （232-）＞f （322-）＞f （log 314） 【答案】C 【解析】()f x 是定义域为R 的偶函数，331(log )(log 4)4f f ∴=．223303322333log 4log 31,1222,log 422---->==>>∴>>，又()f x 在(0，+∞)上单调递减，∴23323(log 4)22f f f --⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即23323122log 4f f f --⎛⎫⎛⎫⎛⎫>> ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选C ．【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案．【母题原题3】【2018年高考全国Ⅲ卷理数】设0.2log 0.3a =，2log 0.3b =，则A ．0a b ab +<<B ．0ab a b <+<C ．0a b ab +<<D ．0ab a b <<+【答案】B【解析】0.22log 0.3,log 0.3a b ==，0.30.311log 0.2,log 2a b∴==， 0.311log 0.4a b ∴+=，1101a b ∴<+<,即01a b ab+<<， 又0,0a b ><，0ab ∴<，∴0ab a b <+<．故选B ．【名师点睛】本题主要考查对数的运算和不等式，属于中档题.【命题意图】主要考查数形结合思想、分类讨论思想的运用和考生的逻辑推理能力、数学运算能力． 【命题规律】在高考中的考查热点有：（1）比较指、对数式的大小；（2）指、对数函数的图象与性质的应用；（3）以指、对数函数为载体，与其他函数、方程、不等式等知识的综合应用．以选择题和填空题为主，难度中等．【答题模板】1．比较指数幂大小的常用方法一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底；二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值（特别是0，1）比较大小，进而得出大小关系；三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们相应的函数图象，借助图象比较大小．2．比较对数值大小的类型及相应方法【方法总结】1．指数函数图象的特点（1）任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点（0，1），底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．（2）当a>1时，指数函数的图象呈上升趋势；当0<a<1时，指数函数的图象呈下降趋势．（3）指数函数在同一坐标系中的图象的相对位置与底数大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b，在y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小，在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大．2．对数函数图象的特点（1）当a >1时，对数函数的图象呈上升趋势； 当0<a <1时，对数函数的图象呈下降趋势．（2）对数函数y =log a x （a >0，且a ≠1）的图象过定点（1，0），且过点（a ，1），（1a ，-1），函数图象只在第一、四象限．（3）在直线x =1的右侧：当a >1时，底数越大，图象越靠近x 轴；当0<a <1时，底数越小，图象越靠近x 轴，即“底大图低”．3．解决对数型复合函数的单调性问题的步骤 （1）求出函数的定义域；（2）判断对数函数的底数与1的大小关系，当底数是含字母的代数式（包含单独一个字母）时，要考查其单调性，就必须对底数进行分类讨论；（3）判断内层函数和外层函数的单调性，运用复合函数“同增异减”原则判断函数的单调性． 研究对数型复合函数的单调性，一定要坚持“定义域优先”原则，否则所得范围易出错．1．（2020·广西壮族自治区高三月考（文））已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x 单调递增，则（ ）.A ．()()93log 4(1)log 4f f f >>B ．()()93log 4(1)log 4f f f <<C ．()()93(1)log 4log 4f f f >>D ．()()93(1)log 4log 4f f f <<【答案】B 【解析】【分析】根据函数()f x 的单调性和奇偶性可知()f x 是R 上的单调增函数，只需根据对数函数的单调性比较9log 4，1，3log 4的大小即可得到答案.【详解】因为函数()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，()f x 单调递增， 所以()f x 在R 上单调递增，因为99log 4log 91<=，331log 3log 4=<， 所以93log 41log 4<<，所以()()93log 4(1)log 4f f f <<. 故选B.【点睛】本题考查函数的性质，对数函数的单调性的应用，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养. 2．（2020·广西壮族自治区高三其他（文））已知0.2log 2a =，20.2b =，0.23c =，则（ ） A ．a b c << B ．a c b << C ．c a b << D ．b c a <<【答案】A 【解析】【分析】利用指对函数的单调性，借助中间量比较大小. 【详解】0.2log 20a =<，()20.20,1b =∈，0.231c =>，所以a b c <<， 故选A .【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小，一方面要比较两个实数或式子形式的异同，底数相同，考虑指数函数增减性，指数相同考虑幂函数的增减性，当都不相同时，考虑分析数或式子的大致范围，来进行比较大小，另一方面注意特殊值0,1的应用，有时候要借助其“桥梁”作用，来比较大小．3．（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（理））已知0.64a =， 1.12b =，4log 12c =，则（ ） A ．c b a << B ．b a c <<C ．a b c <<D ．c a b <<【答案】A 【解析】【分析】利用对数函数的单调性比较c 与2的大小关系，再利用指数函数的单调性得出2a b >>，即可得出a 、b 、c 三个数的大小关系.【详解】指数函数2xy =为增函数，则 1.2 1.1222a b =>=>，对数函数4log y x =是()0,∞+上的增函数，则44log 12log 162c =<=，因此，c b a <<. 故选A.【点睛】本题考查指数与对数的大小比较，一般利用指数函数与对数函数的单调性，结合中间值法来得出各数的大小关系，考查推理能力，属于中等题.4．（2020·广西壮族自治区田阳高中高二月考（文））已知20.8a =，0.82b =，2log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ． a c b >>C ． b a c >>D ． c a b >>【答案】C 【解析】【分析】把各数与中间值0，1比较即得．【详解】200.81<<，0.821>，2log 0.80<，∴c a b <<． 故选C ．【点睛】本题考查幂和对数的比较大小，掌握指数函数和对数函数的性质是解题关键．不同底的幂或对数解题时可借助于中间值0，1等比较大小．5．（2020·广西壮族自治区桂平市第五中学高三月考（文））已知()12log ,02,0x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩，()()2a f f =-，ln π2b =，lncos5c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．c a b >>【答案】C 【解析】【分析】根据对数运算和指数运算比较大小即可.【详解】解：由题设知，()()12112log 244a f f f ⎛⎫=-=== ⎪⎝⎭，ln π1>，∴ln π22b =>，又0cos51<<， ∴lncos50c =<，则b a c >>.故选C.【点睛】本题考查对数运算和指数运算，结合对数函数，指数函数及余弦函数的性质，属于基础题. 6．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三期末（文））已知ln 2a =，ln b π=，125ln 24c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b c a << B ．c a b << C ．a b c << D ．a c b <<【答案】D 【解析】【分析】化简c ,利用对数函数的单调性，即可得出结论. 【详解】因为12125255ln ln ln 2442c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭，又因为ln y x =在(0,)+∞上单调递增， 且522π<<，所以a c b <<. 故选:D.【点睛】本题考查对数的简单运算，考查利用函数的单调性比较函数值的大小，属于基础题. 7．（2020·湖南省高三一模（理））已知函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，且()()f x f x -=，若12log 3a f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，()1.22b f -=，12c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则a 、b 、c 的大小关系为（ ）A ．a c b >>B ．b c a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】B 【解析】【分析】由偶函数的性质可得出函数()y f x =在区间()0,∞+上为减函数，由对数的性质可得出12log 30<，由偶函数的性质得出()2log 3a f =，比较出2log 3、 1.22-、12的大小关系，再利用函数()y f x =在区间()0,∞+上的单调性可得出a 、b 、c 的大小关系.【详解】()()f x f x -=，则函数()y f x =为偶函数，函数()y f x =在区间(),0-∞内单调递增，在该函数在区间()0,∞+上为减函数，1122log 3log 10<=，由换底公式得122log 3log 3=-，由函数的性质可得()2log 3a f =，对数函数2log y x =在()0,∞+上为增函数，则22log 3log 21>=， 指数函数2xy =为增函数，则 1.2100222--<<<，即 1.210212-<<<， 1.22102log 32-∴<<<，因此，b c a >>. 【点睛】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.8．（2020·广西壮族自治区高三三模（文））已知函数()1112xf x e =-+，若()1.32a f =，()0.74b f =，()3log 8c f =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ）A ．c a b <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】C 【解析】【分析】由指数函数的性质，求得函数()f x 是减函数，再利用指数函数与对数函数的性质，得到1.30.73log 824<<，即可求解.【详解】由指数函数的性质，可得函数e 1xy =+为单调递增函数， 可得函数()1112xf x e =-+是定义域R 上的单调递减函数， 又因为 1.31.40.73log 82224<<<=，所以()()()0.7 1.3342log 8f f f <<，所以b a c <<. 故选C .【点睛】本题主要考查了函数的单调性的应用，以及指数式与对数式的比较大小，其中解答中根据指数函数与对数函数的性质，得到自变量的大小关系是解答的关键，着重考查了推理与计算能力. 9．（2020·广西壮族自治区南宁三中高三月考（理））已知13(ln 2)a =，13(ln 3)b =，21log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）.A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b a c <<D ．c b a <<【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解． 【详解】解：∵0ln 21<<，∴01a <<， ∵ln 31>，∴1b >， ∵221log log 313=-<-，∴0c <， ∴c a b <<， 故选B ．【点睛】本题考查三个数的大小的求法，解题时要认真审题，注意对数函数和指数函数的性质的合理运用，属于基础题.10．（2020·四川省金堂中学校高三一模（文））若a ，b ，c 满足23a =，2log 5b =，32c =.则（ ）A ．c a b <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】23a =，12232<<，∴12a <<，22log 5log 4b =>，∴2b >，32c =，01323<<，∴01c <<，∴c a b <<，故选A.【点睛】本题考查了指数函数和对数函数的单调性，考查了计算能力和推理能力，属于基础题. 11．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（理））已知0.50.70.70.7,0.5,log 0.5a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c << C ．c b a << D ．c a b <<【答案】B 【解析】【分析】先利用指数函数和幂函数的单调性比较出,a b ，1的大小，再利用对数函数的单调性判断出c 与1的大小，然后可比较出3个数的大小.【详解】解：因为0.7xy =在R 上为减函数，且0.50>，所以0.500.00.771<<=，即01a <<，同理可得01b <<， 因为0.50.500.7.50.5,0.700..55<>，所以0.50.710.70.50>>>，即10a b >>>，因为0.7log y x =在(0,)+∞上为减函数，且0.70.50>>， 所以0.70.7log 0.5log 0.71>=，即1c >， 所以b a c <<， 故选B【点睛】此题考查指数和对数大小的比较，采取了中间量法，利用了转化与化归的思想，属于基础题.12．（2020·四川省成都外国语学校高二期中（理））已知实数ln22a =，22ln2b =+，2(ln2)c =，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c a b << B ．c b a << C ．b a c << D ．a c b <<【答案】A 【解析】【分析】先判断ln2的大小范围，然后判断三个数的大小关系．【详解】解：因为0ln21<<所以1＜ln 22＜2，2+2ln2＞2，0＜2(ln2)＜1，∴c ＜a ＜b ． 故选A ．【点睛】本题考查了有关对数式的大小比较．13．（2020·四川省绵阳南山中学高三一模（文））已知5log 312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 314b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，5log 0.12c =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的单调性即可求解.【详解】5log 312a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，555log 32log 3log 9111422b ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，5555101log log log 0.1lo 10g 122212c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭=，由5log y x =在定义域内单调递增，则555log 10log 9log 3>>，又12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭单调递减，所以555log 10log 9log 3111222⎛⎫⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以a b c >>. 故选A【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，需掌握指数函数、对数函数的图像与性质，属于基础题.14．（2020·四川省南充市第一中学高二期中（理））设0.40.831.2, 1.2,log 2a b c ===，则,,a b c 的大小关系是（ ） A ．b c a >> B ．b a c >> C ．c b a >> D ．a b c >>【答案】B 【解析】【分析】由函数的单调性及与中间值“1”的大小关系，即可得到本题答案.【详解】由 1.2xy =在区间(,)-∞+∞是单调增函数，得0.80.401.2 1.2 1.21>>=， 又因为33log 2log 31c =<=，所以b a c >>. 故选B.【点睛】本题主要考查指数、对数比较大小的问题，利用函数的单调性及中间值“1”是解决此题的关键. 15．（2020·四川省高三三模（文））已知a =log 20.2,b =20.2,c =0.20.3，则A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <a <bD ．b <c <a【答案】B 【解析】【分析】运用中间量0比较a , c ，运用中间量1比较b , c【详解】a =log 20.2<log 21=0, b =20.2>20=1, 0<0.20.3<0.20=1,则0<c <1,a <c <b ．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题．16．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三二模（理））已知0.22018a =，20180.2b =，2018log 0.2c =，则（ ）A ．c b a >>B ．b a c >>C ．a b c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】由于020181a >=，000.21b <<=，2018log 10c <=，故a b c >>.故选C . 17．（2020·西昌市第二中学高三二模（理））已知2log 3a =，ln3b =，123c -=，则（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．c b a <<【答案】D 【解析】【分析】由题意结合对数函数的性质、指数函数的性质可得1101a b<<<、1c <，进而可得1c b a <<<，即可得解. 【详解】由题意31log 2a =，31log e b =，所以1101a b<<<，则1a b >>， 又102331c -=<=，所以1c b a <<<. 故选D.【点睛】本题考查了指数函数、对数函数单调性的应用，考查了指数式、对数式的大小比较与推理能力，属于基础题.18．（2020·四川省棠湖中学高三一模（文））已知0.250.5log 2,1og 0.2,0.5a b c ===，则（ ）A ．a ＜b ＜cB ．a ＜c ＜bC ．b ＜a ＜cD ．c ＜a ＜b【答案】B 【解析】【分析】利用对数函数和指数函数的性质求解.【详解】555log 1log 2log <<∴102a <<，2221og 1og 54>=，∴2b >， 10.200.50.50.5<<，∴112c <<， ∴a c b <<，故选B.【点睛】本题考查指数式和对数式的大小比较，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意中间变量的引入.19．（2020·四川省阆中中学高三二模（理））已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a c b << B ．a b c << C ．b c a << D ．c a b <<【答案】A 【解析】【分析】利用10,,12等中间值区分各个数值的大小．【详解】551log 2log 2a =<<， 0.50.5log 0.2log 0.252b =>=， 10.200.50.50.5<<，故112c <<， 所以a c b <<． 故选A ．【点睛】本题考查大小比较问题，关键选择中间量和函数的单调性进行比较．20．（2020·四川省高三三模（理））已知函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，且当(0,)x ∈+∞时，ln ()x f x x =.若2e a f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(2)b f =，23c f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是( ) A ．b a c >> B ．a b c >>C ．a c b >>D ．c b a >>【答案】D 【解析】【分析】根据函数图象平移的性质判断出函数()y f x =的对称性，结合导数判断出函数()y f x =在(1,)x e ∈时的单调性，最后利用单调性，结合对数的运算性质和对数函数的单调性进行大小比较即可.【详解】因为函数(1)=-y f x 的图象向左平移1个单位长度，得到()y f x =的图象， 而函数(1)=-y f x 的图象关于直线1x =对称，所以()y f x =的图象关于0x =对称，即关于纵轴对称，因此()y f x =是偶函数.因此22e e a f f ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当(1,)x e ∈时，'2ln ln 1ln ()()x x xf x f x x x x -==⇒=， 因为(1,)x e ∈，所以ln 1x <，即'()0f x >，所以()y f x =在(1,)x e ∈时，单调递增，因为122e e <<<，所以()(2)2ef f <，即b a > 32ln232121273ln ln()ln 232323283c f -⎛⎫===-== ⎪⎝⎭，ln 21(2)ln 222b f ===，因为2728>，所以c b >，即c b a >>. 故选D【点睛】本题考查了利用函数单调性比较函数值大小问题，考查了导数的应用，考查了对数函数的性质，考查了数学运算能力.21．（2020·贵州省高三其他（文））已知2log 0.7a =，0.12b =，ln 2c =，则( )A ．b c a <<B ．a c b <<C ．b a c <<D ．a b c <<【答案】B 【解析】【分析】找中间量0和1进行比较，根据指数函数、对数函数的单调性可得到答案. 【详解】因为2log 0.7a =2log 10<=，0.10221b =>=，ln1ln 2ln 1c e <=<=， 所以a c b <<. 故选B.【点睛】本题考查了利用指数函数和对数函数的单调性比较大小，找中间量0和1进行比较是关键，属于基础题.22．（2020·贵州省高三其他（文））若0.32=a ，2log 0.3b =，3log 2c =，则实数a ，b ，c 之间的大小关系为( ) A ．a b c >> B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】B【解析】【分析】由已知，将a ，b ，c 与0和1比较得出结果.【详解】解：由题意可知0.30221a =>=，122log 0.3log 21b -=<=-，330log 2log 31c <=<=，∴a c b >>.故选B.【点睛】本题考查对数比较大小，属于基础题.23．（2020·嘉祥县第一中学高三三模）若x ∈（0，1），a ＝lnx ，b ＝ln 12x⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝e lnx ，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．b ＞c ＞a B ．c ＞b ＞aC ．a ＞b ＞cD ．b ＞a ＞c【答案】A 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性直接求解． 【详解】∵x ∈（0，1）， ∴a ＝lnx ＜0， b ＝（12）lnx ＞（12）0＝1， 0＜c ＝e lnx ＜e 0＝1，∴a ，b ，c 的大小关系为b ＞c ＞a ． 故选A ．【点睛】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．24．（2020·贵州省凯里一中高三月考（理））已知,,a b c 均为正实数，若122log aa -=，122log bb -=，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（ ） A ．c a b << B ．c b a << C ．a b c << D ．b a c <<【答案】C 【解析】【分析】画出函数2xy =，12log xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =的图像，根据图像得到答案.【详解】122log aa =，121log 2b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，21log 2cc ⎛⎫= ⎪⎝⎭，利用函数2xy =，12log xy =，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log y x =，如图所示：由图象可得：a b c <<， 故选C.【点睛】本题考查了比较方程的解的大小关系，画出函数图像是解题的关键. 25．（2020·贵州省高三月考（理））已知132a -=， 21log 3b =， 131log 4c =，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D 【解析】131218a -==<， 21log 03b =<， 1331log log 414c ==>， 所以c a b >>. 故选D.26．（2020·云南省云南师大附中高三月考（理））设2log 0.2a =，0.5log 3b =，154c=，则a ，b ，c 的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a b c >>【答案】B 【解析】【分析】根据对数的性质，把2log 0.2a =和0.5log 3b =缩小范围，和中间值0、1、2、3比较，把154c=两边取以5为底的对数表示出c ，缩小c 的范围，最后比较大小. 【详解】解：∵2221log 0.2log log 55a ===-，22log 53<<，∴32a -<<-， ∵0.5122log 3log 3log 3b ===-，21log 32<<，∴21b -<<-； ∵154c=，∴551log log 44c ==-，50log 41<<，∴10c -<<. ∴c b a >>， 故选B ．【点睛】考查对数值、幂值的大小比较，借助于中间值0、1、2、3以及一些特殊值是解决这类题的关键，基础题.27．（2020·云南省高三其他（文））已知352a =，253b =，135c -=，则（ ） A ．b a c << B ．a b c <<C ．c b a <<D ．c a b <<【答案】D 【解析】【分析】求出,,a b c 的范围,比较得到b a >即得解. 【详解】由题得1305222,12a <∴<<<.120533,1b 33<∴<<<.352b a b a ===∴< 30151,15c -<=∴<.所以c a b <<. 故选D【点睛】本题主要考查指数函数幂函数的图象和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平. 28．（2020·云南省下关第一中学高一期末）已知a =log 20.3，b =20.1，c =0.21.3，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数与对数函数单调性得到a ，b ，c 的取值范围，即得到它们的大小关系． 【详解】解：由对数和指数的性质可知，0.10 1.302log 0.3022100.20.21a b c a c b =<=>=<=<=∴<<，，，故选D ．【点睛】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．29．（2020·四川省泸县五中高三月考（文））0.70.60.7log 6,6,0.7a b c ===，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．a b c >>B ．c a b >>C ．b a c >>D ．b c a >>【答案】D 【解析】【分析】利用指数函数和对数函数的单调性，分别比较三个数与0或1的大小，进而可得结果. 【详解】由对数函数与指数函数的单调性可得，0.700.70.7log 6log 10,661,0a b ====<0.60.7c =00.71<=，b c a ∴>>，故选D.【点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间()()(),0,0,1,1,-∞+∞ ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.30．（2020·会泽县茚旺高级中学高一开学考试）三个数60.7，0.76，0.7log 6的大小关系为（ ）A ．60.70.70.7log 66<<B ．60.70.7log 60.76<<C ．0.760.7log 660.7<<D ．60.70.70.76log 6<<【答案】B 【解析】【分析】根据函数的单调性，将三个数与0,1比大小，即可求解.【详解】600.700.70.700.70.71,661,log 6log 10<<=>=<=，所以60.70.7log 60.76<<.故选:B【点睛】本题考查比较数的大小，注意函数单调性的应用，属于基础题.31．（2020·云南省云南师大附中高三月考（理））已知函数()2sin f x x x x =-，若()0.2log 3a f =，()3log 0.2b f =，()30.2c f =，则（ ）A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】B 【解析】【分析】判断函数()f x 为偶函数，然后利用导数求出()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增，利用函数的单调性即可比较出大小.【详解】()()()()()22sin sin f x x x x x x x f x -=----=-=，故()f x 为偶函数，故只需考虑()0,x ∈+∞的单调性即可.()()'2sin cos sin 1cos f x x x x x x x x x =--=-+-，当()0,x ∈+∞时，设()sin h x x x =-，则()1cos 0h x x '=-> 所以()h x 在()0,∞+上单调递增，即()()00h x h >=，故sin x x >， 而()1cos 0x x -≥显然成立，故()'0fx >，故()f x 在()0,x ∈+∞上单调递增.()()0.25log 3log 3a f f ==，()()33log 0.2log 5b f f ==，35530.20.2log log 31log 5<<<<<，由函数单调性可知()()()3530.2log 3log 5f f f <<，即c a b <<，故选B .【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、利用函数的单调性比较函数值的大小，属于中档题.32．（2020·云南省高三月考（文））若13log 2a =，1312b ⎛⎫=⎪⎝⎭，2log 3c =，则a b c ，，的大小关系是（ ）A ．b a c <<B ．b c a <<C ．a b c <<D ．c b a <<【答案】C 【解析】【分析】利用指数函数、对数函数的单调性即可比较大小. 【详解】13log x y =为单调递减函数，1133log 2log 10a =<=∴，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为单调递减函数，13112012⎛⎫∴<<⎛⎫ ⎝⎪⎪⎭⎝=⎭，2log x y =为单调递增函数， 22log 3log 21∴>=，所以a b c <<. 故选C【点睛】本题考查了指数函数、对数函数的单调性比较指数式、对数式的大小，属于基础题. 33．（2020·西藏自治区拉萨中学高三月考（文））已知123a =，131log 2b =，21log 3c =，则（ ） A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c b a >> D ．b a c >>【答案】 A【解析】试题分析：由指数函数，对数函数的性质，可知1231a =>，113311log ,0log 122b =<< 21log 03c =<，即a b c >>，选A 34．（2020·西藏自治区拉萨那曲第二高级中学高三月考（文））已知1(,1)x e -∈，ln a x =，ln 1()2xb =，ln x c e =，则,,a b c 的大小关系为（ ）A ．c b a >>B ．b c a >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】B【解析】试题分析：∵1(,1)x e -∈，∴ln (1,0)x ∈-∴(1,0)a ∈-，(1,2)b ∈，1(,1)c e -∈∴b c a >>.选B.。
广西高二高中数学月考试卷带答案解析
广西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知（为i为虚数单位），则（）A．2B．-2C．D．2.设，则在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：算得，K2≈7．81．参照附表，得到的正确结论是（）A．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B．再犯错误的概率不超过0．1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”D．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”．4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）A．1B．C．D．5.对具有线性相关关系的变量x和y，测得一组数据如下表：若它们的回归直线方程为＝10．5x＋a，则a的值为（）．A．万元 B．0．5万元 C．1．5万元 D．2．5万元6.复数引入后，数系的结构图为（）7.复数z满足，那么＝（）A．2＋i B．2－i C．1＋2i D．1－2i8.用反证法证明命题“若a，b∈N，ab能被3整除，那么a，b中至少有一个能被3整除”时，假设应为（）A．a，b都能被3整除B．a，b都不能被3整除C．b不能被3整除D．a不能被3整除9.下图中所示的程序框图，输出S的表达式为（）A．B．C．D．10.某体育馆第一排有5个座位，第二排有7个座位，第三排有9个座位，依次类推，那么第十五排有（）个座位。
A．27B．33C．45D．5111.右表提供了某厂节能降耗技术改造后生产A产品过程中记录的产量x（吨）与相应的生产能耗y（吨标准煤）的几组对应数据．根据右下表提供的数据，求出y关于x的线性回归方程为，那么表中t的值为A．2．7 B．2．8 C．2．9 D．312.观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝（）A．28B．76C．123D．199二、填空题1.复数的实部和虚部分别为2.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：广告费用x（万元）4235根据上表可得回归方程中的为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为______万元3.对于任意的两个实数对（a,b）和（c,d），规定：（a,b）=（c,d），当且仅当a=c,b=d时成立．运算“”为：（a,b）（c,d）=（ac－bd,bc+ad）,运算“”为：（a,b）（c,d）=（a+c,b+d）,现设p,q，若（1，2）（p,q）=（5，0），则（1，2）（p,q）= ．三、解答题1.在独立性检验时计算的K2的观测值k=3．99，那么我们有的把握认为这两个分类变量有关系．2.实数m取什么值时，复平面内表示复数的点．（1）位于第四象限？（2）位于直线y＝x上？3.目前我省高考科目分为文科和理科，文科包括：语文，数学（文科），英语，文科综合（政治、历史、地理）；理科包括：语文，数学（理科），英语，理科综合（物理、化学、生物）．请画出我省高考科目结构图．4.调查某市出租车使用年限x和该年支出维修费用y（万元），得到数据如下23456（1）画出关于的散点图（2）用最小二乘法求出回归直线方程；（3）由（2）中结论预测第10年所支出的维修费用参考数据：5.用反证法证明不可能成等差数列。
解析】广西壮族自治区田阳高级中学2020-2021学年高二9月月考数学(文)试题
2020年秋季学期9月份月考高二年级文科数学试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知地铁列车每10分钟一班，在车站停1分钟，则乘客到达站台立即乘车的概率为（ ） A.160B.110C.16D. 无法确定【★★答案★★】B 【解析】 【分析】转换为测度是长度的几何概型求概率.【详解】由于地铁列车每10分钟一班，则两班列车停靠车站之间时间可用长度为10的线段表示．而列车在车站停1分钟，乘客到达站台立即乘上车的时间可用长度为1的线段表示． 如下图示：则乘客到达站台立即乘上车的概率110P =，故选：B ．【点睛】本题为几何概型的基本题，关键在于确定对应事件的测度. 2. 读下面的程序框图，若输出S 的值为-7，则判断框的空格处填写（ ）A. 6i <B. 5i <C. 4i <D. 3i <【★★答案★★】A 【解析】根据程序框图可知，21(12)=--+-s ，因为输出的值为72135-=---，此时5i =，程序结束，由此判断空格处应填写A3. 将八进制数()8131化为二进制数为（ ） A. ()21011001B. ()21001101C. ()21000011D.()21100001【★★答案★★】A 【解析】 【分析】先将八进制化为十进制，再利用倒序取余法化为二进制即可. 【详解】()2813118381889=⨯+⨯+⨯=，892441÷=， 442220÷=，222110÷=， 11251÷=， 5221÷=， 2210÷=， 1201÷=，所以()2891011001=. 故选：A【点睛】本题考查了进位制之间的相互转化，考查了基本运算求解能力，属于基础题. 4. 某人抛一颗质地均匀的骰子，记事件A =“出现的点数为奇数”，B =“出现的点数不大于3”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件A 与B 对立 B. ()()()⋃=+P A B P A P B C. 事件A 与B 互斥 D. ()()P A P B =【★★答案★★】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的定义判断．【详解】因为骰子的点数1至6共6个正整数，因此事件A 和B 可能同时发生（如出现点数1），也可能同时不发生（如出现点数6），因此它们不互斥也不对立，A ，B ，C 均错， 但31()62P A ==，31()62P B ==，D 正确.故选：D ．【点睛】本题考查互斥事件和对立事件的概念，考查互斥事件的概率公式和古典概型的概率，属于基础题． 5. 总体由编号01，02，，19，20的20个个体组成.利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是随机数表从第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体的编号为（ ）A. 12B. 04C. 02D. 01【★★答案★★】D 【解析】 【分析】由随机数表的用法，划去大于20以及重复的数，即可得解.【详解】从第一行的第5列和第6列起，由左向右读数，划去大于20以及重复的数可得： 12，08，02，14，07，01，所以选出来的第6个个体的编号为01. 故选：D.【点睛】本题考查了随机数表的应用，熟练掌握随机数表的用法是解题关键，属于基础题. 6. 圆2220x y x +-=与圆22(1)(2)9x y -++=的位置关系为（ ） A. 内切B. 相交C. 外切D. 相离【★★答案★★】A 【解析】 【分析】通过圆的标准方程，可得圆心和半径，通过圆心距与半径的关系，可得两圆的关系为内切.【详解】22(1)1x y -+=，圆心(1,0)，半径为1；22(1)(+2)9-+=x y ，圆心(1,2)-，半径为3两圆圆心距2等于半径之差，所以内切. 故选：A【点睛】本题考查了圆与圆的位置关系，考查了运算求解能力和数形结合数学思想，属于基础题目.7. 甲乙两人有三个不同的学习小组A ，B ，C 可以参加，若每人必须参加并且仅能参加一个学习小组，则两人参加同一个小组的概率为（ ） A.13B.14C.15D.16【★★答案★★】A 【解析】依题意，基本事件的总数有339⨯=种，两个人参加同一个小组，方法数有3种，故概率为3193=. 8. 已知532()231f x x x x x =++++，应用秦九韶算法计算2x =时的值时，3v 的值为（ ）A. 15B. 6C. 2D. 63【★★答案★★】A 【解析】 【分析】根据秦九韶算法的知识求得3v 的值.【详解】函数532()231((((0)2)3)1)1f x x x x x x x x x x =++++=+++++，当2x =时，分别算出01v =，11202=⨯+=v ，2426=+=v ， 326315=⨯+=v . 故选：A【点睛】本小题主要考查秦九韶算法，属于基础题.9. 已知下表所示数据的回归直线方程为y 44x =-，则实数a 的值为A. 16B. 18C. 20D. 22【★★答案★★】B 【解析】【详解】4x =，代入回归直线方程得12y =，所以()1123711215m =++++，则18a =，故选择B.10. 如图，正方形ABCD 的边长为2，向正方形内随机投掷200个点，恰有53个点落入阴影图形M 中，则图形M 的面积的估计值为（ ）A. 0.47B. 0.53C. 0.94D. 1.06【★★答案★★】D 【解析】 【分析】阴影部分的面积与正方形面积之比近似为点的个数的比，计算面积比例，然后乘以正方形的面积即可算出阴影部分的面积.【详解】解：正方形的面积为4，阴影部分的面积与正方形面积之比近似为点的个数的比，所以阴影部分的面积为534 1.06200⨯= 故选：D【点睛】本题考查利用几何概型求面积，属于基础题.11. 圆2250x y +=与圆22126400x y x y +--+=的公共弦长为（ ） A.5 B.6 C. 25 D. 6【★★答案★★】C 【解析】x 2＋y 2＝50与x 2＋y 2－12x －6y ＋40＝0作差，得两圆公共弦所在直线的方程为2x ＋y －15＝0，圆x 2＋y 2＝50的圆心(0，0)到2x ＋y －15＝0的距离35=d ， 因此，公共弦长.选C12. 若直线x +y ﹣m ＝0与曲线y ＝2﹣(2)x x -+没有公共点，则实数m 所的取值范围是（ ） A. [32,4]- B. (,32)(4,)-∞-⋃+∞ C. [32,32]-+ D. (,12)(2,)-∞-⋃+∞【★★答案★★】D 【解析】 【分析】转化曲线y ＝2﹣(2)x x -+的方程，根据直线与圆的位置关系，即可容易求得结果. 【详解】曲线y ＝2﹣(2)x x -+等价于()()[]()22121,1,2x y y ++-=∈， 其表示圆心为()1,2-半径为1的半圆，画出示意图如下所示：数形结合可知：当直线过点()0,2A 时，是一种临界情况， 此时，020m +-=，解得2m =；当直线与圆相切时，是另一种临界情况，此时，1212m-+-=，解得12m=-.故要满足题意，只需12m<-或2m>.故选：D.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，注意数形结合即可，属综合基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 一位男同学和两位女同学随机排成一列，则男同学不站在中间的概率为______.【★★答案★★】2 3【解析】【分析】一位男同学编号为A，两位女同学编号为,a b，用列举法写出排列的所有基本事件，并得出所求事件中含有的基本事件，计数后可得概率．【详解】一位男同学编号为A，两位女同学编号为,a b，则他们排成一列的事件有：,,,,,Aab Aba aAb abA bAa baA共6个，其中男同学不站在中间的有,,,Aab Aba abA baA共4个基本事件，故所求概率为42 63 =.故★★答案★★为：23．【点睛】本题考查古典概型，用列举法写出所有基本事件是解题的基本方法．14. 某班甲、乙两位同学在高二第一学期的5次物理考试成绩的茎叶图如图所示，则这两位同学中成绩比较稳定的同学的方差是________．【★★答案★★】10【解析】【分析】由茎叶图中的数据判断甲组数据方差较小，再计算它的平均数和方差．【详解】解：由茎叶图中的数据知，甲组数据分布在81~90之间，乙组数据分布在79~91之间，所以甲组数据较为稳定，计算()18182838490845x =⨯++++=甲，方差是(2222221[(8184)(8284)(8384)(8484)9084)105s ⎤=⨯-+-+-+-+-=⎦甲． 故★★答案★★为：10．【点睛】本题考查了利用茎叶图中的数据计算平均数和方差的问题，属于基础题．15. 在平面直角坐标系中，经过三点（0，0），（1，1），（2，0）的圆的方程为__________． 【★★答案★★】2220x y x +-= 【解析】分析：由题意利用待定系数法求解圆的方程即可.详解：设圆的方程为220x y Dx Ey F ++++=，圆经过三点（0，0），（1，1），（2，0），则：01104020F D E F D F =⎧⎪++++=⎨⎪+++=⎩，解得：200D E F =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，则圆的方程为2220x y x +-=. 点睛：求圆的方程，主要有两种方法：(1)几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．如：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在任意弦的中垂线上；③两圆相切时，切点与两圆心三点共线． (2)待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．一般地，与圆心和半径有关，选择标准式，否则，选择一般式．不论是哪种形式，都要确定三个独立参数，所以应该有三个独立等式．16. 在()3,3-内随机地取一个数k ，则事件“直线y kx k =+与圆()2211x y -+=有公共点”发生的概率为_________. 【★★答案★★】【解析】由直线y kx k =+与圆()2211x y -+=有公共点，所以圆心到直线的距离小于等于半径， 2211kd k =≤+，解得33k ≤≤，所以根据几何概型及其概率公式可得13P ==. 点睛：本题主要考查了几何概型及其概率的计算问题，对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A 区域的几何度量，最后计算()P A .三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 已知圆O ：2268240x y x y +--+=. （1）圆O 的圆心和半径；（2）已知点P ()2,0，过点P 作圆O 的切线，试判断过点P 可以作出几条切线？并求出切线方程.【★★答案★★】（1）圆心为()3,4，半径为1；（2）可以作出两条切线，切线方程分别为2x =和158300x y --=. 【解析】 【分析】（1）将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心和半径；（2）分斜率存在和不存在两种情况讨论，分别根据相切的关系建立方程求解，即可判断并求出切线方程.【详解】（1）圆的方程2268240x y x y +--+=化为标准方程为22341x x ，可知圆的圆心为()3,4，半径为1；（2）当过P 的直线的斜率不存在时，则直线方程为2x =，此时该直线是圆O 的切线，满足题意，当斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=， 设圆心到该直线的距离为d ， 则1d ==，解得158k =，则切线方程为158300x y --=， 综上，过P 可以作出两条切线，切线方程分别为2x =和158300x y --=.【点睛】本题考查圆的方程的理解和互化，以及求过圆外一点的切线方程，属于基础题. 18. 已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【★★答案★★】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）5 21【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=521．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=5 21．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．19. 《中国诗词大会》是中央电视台于2016年推出的大型益智类节目，中央电视台为了解该节目的收视情况，抽查北方与南方各5个城市，得到观看该节目的人数（单位：千人）如茎叶图所示，但其中一个数字被污损．（1）若北方观众与南方观众平均人数相同，求茎叶图中被污损的数字a；（2）该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情，现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y（单位：小时）与年龄x（单位：岁），并制作了对照表（如表所示）：年龄x 20 30 40 50每周学习诗词的平均时间y 3 3.5 3.5 4由表中数据分析，x与y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间．参考公式：1221ˆ()ni iiniix y nx ybx n x==-⋅=-∑∑，ˆˆˆy bx a=+．【★★答案★★】（1）6a=；（2）ˆ0.03 2.45y x=+，平均时间为4.55小时.【解析】【分析】（1）根据平均人数相同列方程求解即可；（2）求出回归系数，得出回归方程，再把70x=带入回归方程进行数据估计.【详解】（1）由北方观众与南方观众平均人数相同得：7879828180737778808655a+++++++++=，解得：6a=；（2）由已知20304050354x+++==，3 3.5 3.543.54y+++==，4120330 3.540 3.5504505i iix y=∴=⨯+⨯+⨯+⨯=∑，421400900160025005400iix==+++=∑，2505435 3.5ˆ0.035400435b-⨯⨯==-⨯，ˆ 3.50.0335 2.45a =-⨯=， ˆ0.03 2.45yx ∴=+， 当70x =时，ˆ0.0370 2.45 4.55y=⨯+=． 答：年龄为70岁的观众每周学习诗词的平均时间大约为4.55小时． 【点睛】本题考查了茎叶图，线性回归方程求解及数据估计，属于基础题.20. 从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表： 质量指标值分组 [75,85) [85,95) [95,105) [105,115) [115,125)频数62638228（1）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：（2）估计这种产品质量指标值的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）及中位数（结果保留2位小数）；（3）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？【★★答案★★】（1）直方图见解析；（2）平均数为100，中位数为99.74；（3）不能认为. 【解析】 【分析】（1）由图表绘制直方图即可；（2）根据直方图，结合平均数、中位数的概念求值；（3）说明【详解】（1）直方图如图，（2）质量指标值的样本平均数为800.06900.261000.381100.221200.08100x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．∵[75,85)、[85,95)总频率为0.32，[95,105)频率为0.38，∴中位数在[95,105)范围内，设中位数为1x ，有10.32(95)0.0380.5x +-⨯=，解得199.74x ≈，（3）质量指标值不低于95的产品所占比例的估计值为0.380.220.080.68++=，由于该估计值小于0.8，故不能认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品80%”的规定．【点睛】本题考查了直方图，由表格数据绘制直方图，并根据直方图求平均数、中位数，属于基础题.21. 小红和小明相约去参加超市的半夜不打烊活动，两人约定凌晨0点到1点之间在超市门口相见，并且先到的必须等后到的人30分钟才可以进超市先逛．如果两个人出发是各自独立的，在0点到1点的各个时候到达的可能性是相等的． （1）求两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率；（2）超市内举行抽奖活动，掷一枚骰子，掷2次，如果出现的点数之和是5的倍数，则获奖．小红参与活动，她获奖的概率是多少呢？ 【★★答案★★】（1）34；（2）736.【分析】（1）由题意，小红和小明要能相见1||2x y -≤，结合几何含义知在一个边长为1的正方形内，1||2x y -≤所围成的区域即能相见，利用几何概型的面积模型即可求相见的概率；（2）列举出所有点数的可能组合，确定是5的倍数的情况，应用古典概型求概率； 【详解】（1）设两人到达约会地点的时刻分别为x ，y ，依题意，必须满足1||2x y -≤才能相遇．我们把他们到达的时刻分别作为横坐标和纵坐标，于是两人到达的时刻均匀地分布在一个边长为1的正方形Ⅰ内，如图所示，而相遇现象则发生在阴影区域G 内，即甲、乙两人的到达时刻(,)x y 满足1||2x y -≤，所以两人相遇的概率为区域G 与区域Ⅰ的面积之比：2113214G I S P S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===．也就是说，两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率为34． （2）设第一枚随机地投掷得到向上一面的点数为a ，第二枚投掷得到向上一面的点数为b ，则a 与b 的和共有36种情况．所以两次取出的数字之和+a b 是5的倍数的情况有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，共7种，其概率为736P =． 【点睛】本题考查了概率，利用几何概型-面积模型求概率及应用列举法求古典概型的概率，属于中档题.22. 已知圆22:270C x y x ++-=内一点(1,2)P -，直线l 过点P 且与圆C 交于A ，B 两点. （1）求圆C圆心坐标和面积；（2）若直线l ，求弦AB 的长；（3）若圆上恰有三点到直线l，求直线l 的方程．【★★答案★★】(1)见解析;(2);(3)30x y -+=，或10x y +-=．【解析】 【分析】（1）化圆的一般式为标准方程：得出圆C 的圆心坐标为()1,0-，半径r = （2）先求圆心到直线的距离为d ，再利用半径r ，距离d ，半弦长构成直角三角形求解即可． （3）圆上恰有三点到直线l，等价于圆心()1,0-到直线AB的距离为2r=，利用点到直线的距离公式求解． 【详解】（1）圆C 的圆心坐标为()1,0-，半径r =8S π=； （2）直线l的方程为)21y x -=+20y -++=，圆心到直线的距离为1d ==，AB ===；（3）因圆上恰有三点到直线l ，转化为 则圆心()1,0-到直线AB 的距离为2r=， 当直线l 垂直于x 轴时，显然不合题意；设直线l 的方程为()21y k x -=+，即20kx y k -++=，由d ===1k =±，故直线l 的方程为30x y -+=，或10x y +-=．【点睛】利用圆与直线的几何性质解圆有关的问题常见解法，圆心到直线的距离、半径、弦长之间的关系为AB =．设点()00A x ,y ，直线方程为Ax By C 0++=，点到直线的距离公式为d =.感谢您的下载!快乐分享，知识无限！由Ruize收集整理！。
广西省高中2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理
广西壮族自治区田阳高中2020-2021学年高二数学上学期期中试题 理（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）注意事项：1．答题前,考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
2．请将答案正确填写在答题卡上，写在本试卷上无效。
第I 卷一、选择题（本题共12题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）。
1．命题“[)0,x ∀∈+∞，30x x +≥”的否定是（ ） A.(),0x ∃∈-∞，30x x +<B.(),0x ∀∈-∞，30x x +≥C.[)00,∃∈+∞x ，2000+<x xD.[)00,∃∈+∞x ，2000x x +≥2．下面属于相关关系的是（ ）A.气温和冷饮销量之间的关系B.速度一定时，位移和时间的关系C.亩产量为常数时，土地面积与产量之间的关系D.正方体的体积和棱长的关系 3．高三学生甲和乙近五次月考数学成绩（单位:分）的茎叶图如右图，则下列说法错误的是（ ）A ．甲的得分的中位数为101B ．乙的得分的众数为105C ．乙得分的极差为21D ．甲的数学成绩更稳定 4．阅读算法流程图，运行相应的程序，则输出的k 是（ ） A.5 B.6 C.7D.85. 命题p ：0x R ∃∈，20x ->，命题q ：x R ∀∈，x x <，则下列命题中为真命题的是（ ）A ．p q ∨B ．p q ∧C ．p q ⌝∨D ．p q ⌝∧⌝6．如图，是线段上一点，分别以直径作半圆，，，在整个图形中随机取一点，则此点取自图中阴影部分的概率是（ ）A. B. C. D. 7．设R ，则“|x －2|<1”是“x 2＋x －2>0”的( )A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件8．打开手机时，忘记了开机的六位密码的第二位和第四位，只记得第二位是7，8，9中的一个数字，第四位是1，2，3中的一个数字，则他输入一次能够开机的概率是（ ） A ．16 B ．18 C ．19D ．1109. 方程()222230x y x +--=表示的曲线是（ ）A.一个椭圆和一条直线B.一个椭圆和一条射线C.一个椭圆D.一条直线10．点(4,2)P -与圆224x y +=上任一点连线的中点的轨迹方程是（ ） A ．22(2)(1)1x y ++-= B ．22(2)(1)4x y -++= C ．22(4)(2)4x y ++-= D ．22(2)(1)1x y -++= 11．已知抛物线C ：的焦点为F ，准线为，P 是上一点，Q 是直线PF 与C 得一个交点，若4FP FQ =，则（ ）A ．B ．C ．D ．12．设F 为双曲线C ：22221x y a b-=（a >0，b >0）的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的圆与圆x 2+y 2=交于P 、Q 两点．若|PQ |=|OF |，则双曲线C 的离心率为（ ）A 2B 3．2 D 5二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）。
广西高二高中数学月考试卷带答案解析
广西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.在等比数列中，，公比，则等于（）A．12B．15C．18D．242.函数的最小值为（）A．B．C．1D．23.在中，，则角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°4.已知，且，则的最大值为（）A．B．C．D．5.已知等差数列的前项和为，且，则等于（）A．-3B．-2C．0D．16.已知命题若，则，则下列叙述正确的是（）A．命题的逆命题是：若，则B．命题的否命题是：若，则C．命题的否命题是：若，则D．命题的逆否命题是真命题7.若实数满足约束条件，则的最小值为（）A．B．C．-1D．-28.若的内角所对的边分别是，已知，且，则等于（）A．B．C．D．49.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则“”是“的最小值仅为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件10.已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，同下列数中是数列中的项是（）A．16B．128C．32D．6411.已知，且，则的最小值为（）A．4B．C．D．512.已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则等于（）A．B．C．D．二、填空题1.在数列中，，，则____________．2.在中，角的对边分别为、、，，，则___________．3.在等比数列中，，公比，数列是等差数列，且，则_________．4.在中，角的对边分别为、、，，，则的最大值为_____________．三、解答题1.设条件；条件，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．2.在锐角中，是角的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．3.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设等差数列的前项和为，，求的最小值．4.已知的三个内角所对应的边分别为，且满足．（1）若，求；（2）若的面积为3，求证：．5.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时，若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数与骑兵个数表示每天的利润（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？6.已知函数（为常数，），且数列是首项为2，公差为2的等差数列.（1）若，当时，求数列的前项和；（2）设，如果中的每一项恒小于它后面的项，求的取值范围．广西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.在等比数列中，，公比，则等于（）A．12B．15C．18D．24【答案】D【解析】由及得，故选D.【考点】等比数列通项公式．2.函数的最小值为（）A．B．C．1D．2【答案】C【解析】由于得，当且仅当，即时，等号成立，故选C.【考点】基本不等式．3.在中，，则角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】A【解析】由正弦定理得，，且，则，故选A.【考点】正弦定理.4.已知，且，则的最大值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵得，，，∴，当且仅当即时取等号．故选C．【考点】基本不等式.5.已知等差数列的前项和为，且，则等于（）A．-3B．-2C．0D．1【答案】A【解析】由得即，故选A.【考点】等差数列的性质.6.已知命题若，则，则下列叙述正确的是（）A．命题的逆命题是：若，则B．命题的否命题是：若，则C．命题的否命题是：若，则D．命题的逆否命题是真命题【答案】D【解析】命题若，则，其逆命题为：若，则，故A错；其否命题为：若，则，故B、C错；由于原命题为真，则逆否命题为真，故选D.【考点】四种命题的真假关系.7.若实数满足约束条件，则的最小值为（）A．B．C．-1D．-2【答案】C【解析】作出约束条件所对应的可行域（如图阴影），的几何意义是区域内的点到定点的斜率，由图象知可知的斜率最小，由，得，即，则，即的最小值为，故选C.【考点】简单的线性规划.8.若的内角所对的边分别是，已知，且，则等于（）A．B．C．D．4【答案】B【解析】由结合正弦定理可得，，结合余弦定理则，得，故选B.【考点】正弦定理；余弦定理．【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.9.已知等差数列的前项和为，公差为，且，则“”是“的最小值仅为”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】∵的最小值仅为，∴，，∴，∴，则，故“”是“的最小值仅为”的必要不充分条件，故选B.【考点】充分条件、必要条件的判定.10.已知数列是首项为1，公比为2的等比数列，同下列数中是数列中的项是（）A．16B．128C．32D．64【答案】D【解析】∵数列是首项为，公比为的等比数列，∴当时，，当时，．∴．∵只有满足通项公式，∴下列数中是数列中的项是．故选：D．【考点】数列的函数特性.11.已知，且，则的最小值为（）A．4B．C．D．5【答案】C【解析】由得，由，，当且仅当时等号成立，即的最小值为，故选C.【考点】基本不等式.【易错点睛】本题主要考查了基本不等式.基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．12.已知正项数列的前项和为，当时，，且，设，则等于（）A．B．C．D．【答案】A【解析】当时，，即，展开化为：，∵正项数列的前项和为，∴．∴，∴数列是等比数列，首项为，公比为，∴．∴，．∴．∴，故选A．【考点】数列递推式.【方法点晴】本题考查了递推关系、对数的运算性质、等比数列与等差数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．当，，利用递推关系可得：，展开化简可得：，利用等比数列的通项公式可得，结合利用对数的运算性质可得.二、填空题1.在数列中，，，则____________．【答案】【解析】当时，；当时，，故答案为.【考点】数列递推式.2.在中，角的对边分别为、、，，，则___________．【答案】【解析】由由，得，故；或（舍去），则，由余弦定理得，得，故答案为.【考点】诱导公式；余弦定理.3.在等比数列中，，公比，数列是等差数列，且，则_________．【答案】【解析】由于为等比数列且得：即，，由等差数列的性质可得：，故答案为.【考点】等比数列的性质；等差数列的性质.4.在中，角的对边分别为、、，，，则的最大值为_____________．【答案】【解析】由得，即为锐角；由，得，故，，得，即，，故其最大值为，故答案为.【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数.三、解答题1.设条件；条件，若是的必要不充分条件，求实数的取值范围．【答案】.【解析】由是的必要不充分条件得是的充分不必要条件，求出，的等价条件，利用是的充分不必要条件，建立条件关系即可求的取值范围．试题解析：设，，则，∵是的必要不充分条件，∴是的充分不必要条件，即．∴，解得．又当或时，，故实数的取值范围为．【考点】充分条件、必要条件的判定.【方法点晴】本题主要考查充分条件和必要条件的应用，利用一元二次不等式求出命题，的等价条件是解决本题的关键，注意端点值等号的取舍．是的必要不充分条件得是的充分不必要条件，等价转化思想的应用非常广泛，充分条件、必要条件可转化为对应集合间的包含关系，原命题与其逆否命题等价等.2.在锐角中，是角的对边，且．（1）求角的大小；（2）若，且的面积为，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）通过正弦定理得，可得，故可得；（2）结合面积可得，利用余弦定理可得.试题解析：（1）由正弦定理得，∵是锐角，∴，故．（2）∵，∴．由余弦定理得，∴．【考点】正弦定理；余弦定理.3.已知数列的前项和为，且．（1）求数列的通项公式；（2）设等差数列的前项和为，，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）根据递推关系得，两式相减结合可得，由等比数列的性质可得的通项公式；（2）利用等差数列的性质可得，利用基本不等式可得最小值.试题解析：（1）∵①，∴当时，②，①—②得，则，又，∴数列是首项为，公比为的等比数列，则．（2）由（1）得．则，得，设数列的公差为，则，∴．当且仅当时取等号，∴的最小值为．【考点】等比数列的通项公式；等差数列的性质；等差数列的前项和.4.已知的三个内角所对应的边分别为，且满足．（1）若，求；（2）若的面积为3，求证：．【答案】（1）；（2）证明见解析；【解析】（1）由余弦定理化简已知，整理可得：，由，即可求的值；（2）利用三角形面积公式可求得：，由余弦定理可得，联立可证明结论成立．试题解析：（1）由得，∴，即，∵，∴.（2）证明：∵的面积为，∴，①∵，∴，②由①②消去得，即．【考点】正弦定理；余弦定理.【方法点晴】此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解本题的关键．在中，涉及三边三角，知三（除已知三角外）求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.5.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时，若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．（1）用每天生产的卫兵个数与骑兵个数表示每天的利润（元）；（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？【答案】（1）；（2）.【解析】（1）依题意，每天生产的伞兵的个数为，根据题意即可得出每天的利润；（2）先根据题意列出约束条件，再根据约束条件画出可行域，设，再利用几何意义求最值，只需求出直线过可行域内的点时，从而得到值即可．试题解析：（1）依题意每天生产的伞兵个数为，所以利润．（2）约束条件为：，整理得目标函数为，作出可行域如图所示，初始直线，平移初始直线经过点时，有最大值，由得，最优解为，所以最大利润元，故每天生产卫兵个，骑兵个，伞兵个时利润最大，为元．【考点】简单的线性规划的应用.【方法点睛】本题考查简单线性规划的应用，在解决线性规划的应用题时，其步骤为：①分析题目中相关量的关系，列出不等式组，即约束条件，根据题意写出所求目标函数；②由约束条件画出可行域，③分析目标函数与直线截距之间的关系，④使用平移直线法求出最优解，⑤还原到现实问题中．难度中档，大多数在选择和填空中较多.6.已知函数（为常数，），且数列是首项为2，公差为2的等差数列.（1）若，当时，求数列的前项和；（2）设，如果中的每一项恒小于它后面的项，求的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）用等差数列求和公式，结合对数的运算性质可得：，从而有，最后用错位相减法结合等比数列的求和公式，得到数列的前项和；（2）由题意不等式对一切成立，代入的表达式并化简可得．通过讨论单调性可得当时，的最小值是，从而得到，结合，得到实数的取值范围是．试题解析：（1）由题意，即，∴，，当时，，∴，①，②①—②，得，∴．（2）由（1）知，，要使，对一切成立，即对一切成立，∵，∴，∴，对一切恒成立，只需，单调递增，∴当时，，∴，且，∴，综上所述，存在实数满足条件．【考点】数列的函数特性；数列求和.【方法点睛】本题以对数运算和数列通项与求和运算为载体，求数列的前n项和并求数列单调递增时参数的取值范围，着重考查了等差、等比数列的通项公式与求和公式，以及不等式恒成立问题的讨论等知识，属于中档题；考查恒成立问题，正确分离参数是关键，也是常用的一种手段．通过分离参数可转化为或恒成立，即或即可，求出或即得解.。
广西高二高中数学月考试卷带答案解析
广西高二高中数学月考试卷班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2.“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件3.命题“”的否定形式是（）A．B．C．D．4.已知满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．D．5.运行如图所示的框图，可知输出的结果为（）A．3B．7C．6D．96.观测一组的数据，利用两种回归模型计算得①与②，经计算得模型①的，模型②的，下列说法中正确的是（）A．模型①拟合效果好B．模型①与②的拟合效果一样好C．模型②拟合效果好D．模型①负相关7.在锐角中，，，，则（）A．5B．或C．D．8.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．9.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．2B．4C．6D．810.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．11.设函数是奇函数（）的导函数，且，当时，，则使成立的的取值范围是（）A．B．C．D．二、解答题1.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．2.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，共调查了100位学生，其中80位南方学生20位北方学生.南方学生中有60位喜欢甜品，20位不喜欢；北方学生中有10位喜欢甜品，10位不喜欢.（1）根据以上数据绘制一个的列联表；（2）根据列联表表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.0.100.050.010.005附：3.在中，内角成等差数列，其对边满足，求.4.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人名币储蓄存款（年底余额）如下表时间代号储蓄存款（千亿元）（1）求关于的回归方程；（2）用所求回归直线方程预测该地区2016年（）的人民币储蓄存款.附：回归方程,5.已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求椭圆的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与相交于两点，是线段的中点.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积是一个定值.6.设函数，，，，（是自然对数的底数），.（1）讨论当时，的极值；（2）在（1）的条件下，证明：；（3）是否存在实数，使的最小值为3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.三、填空题1.已知，观察下列式子：，，……，归纳得第四个式子为 .2.若的内角所对的边满足，且，则的值为 .3.对正整数，若曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和为 .4.若椭圆与曲线无交点，则椭圆的离心率的取值范围为 .5.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.广西高二高中数学月考试卷答案及解析一、选择题1.复数（为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【答案】D【解析】，对应点为，在第四象限．故选D．【考点】复数的运算与几何意义．2.“”是“”的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】时，成立，故是充分的，又当时，即，，故是必要的的，因此是充要条件．故选A．【考点】充分必要条件．3.命题“”的否定形式是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】命题的否定是把结论否定，同时存在量词与全称量词要互换，命题“”的否定形式“”．故选C．【考点】命题的否定．4.已知满足约束条件，则的最大值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】作出题设约束条件表示的可行域，如图内部（含边界），再作直线，是直线的纵截距，把直线平移过点时，取得最大值，故选B．【考点】简单的线性规划问题．5.运行如图所示的框图，可知输出的结果为（）A．3B．7C．6D．9【答案】B【解析】按题中算法所求开始为，执行循环后它们的值依次为，，，此时不符合循环条件同，退出循环，输出值为7．故选B．【考点】程序框图．6.观测一组的数据，利用两种回归模型计算得①与②，经计算得模型①的，模型②的，下列说法中正确的是（）A．模型①拟合效果好B．模型①与②的拟合效果一样好C．模型②拟合效果好D．模型①负相关【答案】B【解析】系数反映了回归模型的拟合度，一个是0.87，一个是0.9，都比较接近1了，因此可认为模型①与②的拟合效果一样好．故选B．【考点】回归模型的决定系数．7.在锐角中，，，，则（）A．5B．或C．D．【答案】D【解析】由得．，因为是锐角三角形，所以，，．故选D．【考点】三角形的面积，余弦定理．8.曲线在点处的切线方程为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，所以切线方程为，即．故选A．【考点】导数的几何意义．9.已知不等式对任意正实数恒成立，则正实数的最小值为（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】因为，当且仅当时取等号，由题意不等式对任意正实数恒成立，则有，解得．故选B．【考点】基本不等式．10.已知等比数列中，各项都是正数，且成等差数列，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，所以，因为数列的各项均为正，所以，．故选C．【考点】等差数列与等比数列的性质．11.设函数是奇函数（）的导函数，且，当时，，则使成立的的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由是奇函数，得，，设，则，因为，所以，所以在和上都是减函数，当时，，，时，，，再由是奇函数知当时，，时，，因此不等式的解集为，故选A．【考点】函数的奇偶性，导数与函数的单调性．【名师点睛】本题考查导数的应用，利用导数解不等式，解题的关键是构造新函数，其导函数，正好能利用已知条件判断它的正负，从而确定函数的单调性，这是此类题的一般性解法，这类题既考查了导数的应用，又考查了学生的创造性思维，我们在学习中应予以重视．二、解答题1.椭圆与直线交于两点，过原点与线段中点的直线的斜率为，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】把代入椭圆方程并整理得，设，中点为，则，所以，则，所以．故选A．【考点】直线与椭圆相交弦中点问题．【名师点睛】本题考查了直线与椭圆相交的弦中点问题，本题中直线方程是已知的，因此可以把直线方程与椭圆方程联立方程组求得交点弦中点的坐标（具体解题时不用解方程组），计算方法是设交点坐标为，中点为，由一元二次方程根与系数的关系求得（一般不是直接解出，否则计算量将大增），得，再得，由可得．解决此问题有时还可用到“点差法”：把弦两端点坐标代入椭圆方程，所得两式相减，可把弦所在直线的斜率与中点坐标联系起来．2.某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校一年级学生中进行了抽样调查，共调查了100位学生，其中80位南方学生20位北方学生.南方学生中有60位喜欢甜品，20位不喜欢；北方学生中有10位喜欢甜品，10位不喜欢.（1）根据以上数据绘制一个的列联表；（2）根据列联表表中数据，问是否有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”.附：【答案】（1）见解析；（2）有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．【解析】（1）列出表格，把数字填入即可；（2）根据所给公式计算出，与所给数据比较即得结论．试题解析：（1）列联表为：（2）设：“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面无差异”成立计算因为所以有95%的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”．【考点】的列联表，独立性检验．3.在中，内角成等差数列，其对边满足，求.【答案】或【解析】求三角形中的角，一般化已知条件为角的关系，由已知内角成等差数列，易得，这样，而已知可利用正弦定理化为角的关系，把代入，再由三角函数恒等变换公式可求得角．试题解析：因为，又因为，所以∵，∴，即所以即所以，即或因为，所以或【考点】正弦定理，两角和与差的正弦公式，二倍角公式．4.随着我国经济的发展，居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人名币储蓄存款（年底余额）如下表年份20112012201320142015时间代号储蓄存款（千亿元）（1）求关于的回归方程；（2）用所求回归直线方程预测该地区2016年（）的人民币储蓄存款.附：回归方程,【答案】（1）；（2）预测该地区2016年的人民币储蓄存款为10.8千亿元．【解析】（1）根据所给公式计算，，,，最终计算出，再计算出，得回归方程；（2）把代入回归方程计算出值，这就是预测值．试题解析：（1）因为,，∴（2）时，预测该地区2016年的人民币储蓄存款为10.8千亿元【考点】线性回归方程．5.已知椭圆的离心率为，点在上.（1）求椭圆的方程；（2）直线不过原点且不平行于坐标轴，与相交于两点，是线段的中点.证明：直线的斜率与直线的斜率的乘积是一个定值.【答案】（1）；（2）证明见解析．【解析】（1）求椭圆的标准方程，关键是列出关于的两个方程，本小题中有离心率是一个，又点在椭圆上，代入椭圆方程又得一个，再结合解方程组可得；（2）设直线的方程为，设交点为，中点为，把直线方程代入椭圆方程消去，得的一元二次方程，由要与系数的关系得，从而得，求得，计算，求乘积即得．试题解析：（1）由题意知：解得∴．（2）证明：设直线，．将代入得：∴，∴【考点】椭圆的标准方程，圆锥曲线中的定值问题．【名师点睛】本题是解析几何中的定值问题，解决问题和方法是引入一个参数，本题中动直线的斜率，设直线方程为，与椭圆方程联立方程组求得交点弦中点的坐标（用表示），计算方法是设交点坐标为，中点为，由一元二次方程根与系数的关系求得（一般不是直接解出，否则计算量将大增），得，再得，最后计算，由题意此值为常数（不含）即证．其他定值问题也是如此证明．6.设函数，，，，（是自然对数的底数），.（1）讨论当时，的极值；（2）在（1）的条件下，证明：；（3）是否存在实数，使的最小值为3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.【答案】（1）在处取得极小值，无极大值；（2）证明见解析；（3）存在，使得．【解析】（1）求极值问题，只要求得导函数，令求得驻点，讨论驻点分实数所成区间（定义域内）导数的正负，得的单调性，确定极大值还是极小值；（2）证明不等式，由于第（1）小题已知求得的极小值（最小值）为1，我们可以试着求的最大值，利用导数求得在上的最大值为，而，因此题设不等式得证；（3）此小题是探索性问题，解决方法是：假设存在，然后利用导数研究函数的单调性，求得的最小值（在含参数的情况下，必须进行分类讨论），让这个最小值等于3，解出，在范围内，就是存在的，不在范围内，就是不存在的．试题解析：（1）当时，，令，∵，∴即在上单调递增，在上单调递减，所以在处取得极小值，无极大值．（2）由（1）知，在上的最小值为1，令∵，令得∴在上单调递增，的最大值为即，∴成立．（3）设存在使得求得，令，∵，∴①若，则，即在上单调递减，∴，，所以舍去，②若，则，1’当即时，在上单调递增，在上单调递减，∴，，∴可取，2’当即时，在上单调递减，∴，，所以舍去.综上，存在，使得【考点】导数与单调性，导数与极值，利用导数证明不等式，利用导数研究探索性命题．【名师点睛】本题中证明不等式时是通过证明，从而证明结论的，这个方法不具有一般性，此类不等式证明的一般方法是证明，从而通过证明函数的最小值大于0来证明不等式成立．在解决时一定要注意，这是容易出错的地方．三、填空题1.已知，观察下列式子：，，……，归纳得第四个式子为 . 【答案】【解析】由已知第个式左边为，拆成，最右边为，即为，因此第四个式子为．【考点】归纳推理． 2.若的内角所对的边满足，且，则的值为 .【答案】【解析】由余弦定理得，又，所以，即．【考点】余弦定理．3.对正整数，若曲线在处的切线与轴交点的纵坐标为，则数列的前项和为 . 【答案】 【解析】由题意，时，，即，又时，，所以切线方程为，令，得，即，所以，其前项和为．【考点】导数的几何意义，等比数列的前项和．【名师点睛】求曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处的切线方程：(1)求出函数y ＝f(x)在点x ＝x 0处的导数，即曲线y ＝f(x)在点P(x 0，f(x 0))处切线的斜率． (2)切线方程为：y ＝y 0＋f′(x 0)(x －x 0)． 4.若椭圆与曲线无交点，则椭圆的离心率的取值范围为 .【答案】【解析】由题意，即，所以，，所以．【考点】椭圆的几何性质．【名师点睛】两曲线的交点问题，从代数角度考虑是把两曲线的方程联立方程组，方程组的解的个数就是两曲线的交点个数，但有些特殊曲线我们通过几何图形来研究它们的交点问题，将会减少计算，增加直观理解，加强记忆，增加正确率，本题一个曲线为圆且圆心是椭圆的中心，而且圆的半径小于椭圆的长半轴，因此两轴线无交点，则圆的半径小于短半轴长，由此可得不等关系，从而得到离心率的范围．5.设等差数列的公差为，前项和为，等比数列的公比为.已知，，，.（1）求数列，的通项公式；（2）设，求数列的前项和.【答案】（1）；（2）．【解析】（1）本题求等差数列与等比数列的通项公式，可先求得首项（）和公差（公比），然后直接写出通项公式，这种方法称为基本量法；（2）由于，可以看作是一个等差数列与等比数列对应项相乘所得，其前项和用乘公比错位相减法可求．试题解析：（1）由题意知：∴∴（2）由（1）知：∵（1）∴（2）由（1）（2）得：∴【考点】等差数列与等比数列的通项公式，错位相减法．。