重要无理数20160404

一、边长为1的正方形的对角线长度——20、来历：开创了“无理数”的先河 假设2是有理数，则可以表示为qp=2的形式，其中p 、q 是正整数且互质。

则有222q p =，因此p 2是偶数，即p 为偶数，故可设p =2k （k 为正整数）；因此2242k q =即222k q =；因此q 2是偶数，即q 为偶数。

“p 、q 均为偶数”与“p 、q 互质”产生矛盾。

故2不是有理数。

1、白银分割率若一个矩形沿长边对折之后得到的矩形与原矩形相似，即2÷=长短短长 即长边是短边的2倍，则该矩形称为“白银矩形”。

在白银矩形中，以短边为边长，划出一个正方形并裁掉，剩下长方形的长宽比即是白银比例，即12121+=-=白银比例2、佩尔数列佩尔数的数列从0和1开始，以后每一个佩尔数都是前面的数的两倍加上再前面的数，即⎪⎩⎪⎨⎧≥+===--2211021n a a n n a n n n 该数列后一项与前一项的比值的极限为121121211lim 12lim 12lim 22lim lim-∞→--∞→--∞→---∞→-∞→+=+=+=+=n nn n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a解得（负值已舍去）12lim1+=-∞→n nn a a 负值须舍去。

这表明，佩尔数列后一项与前一项的比值的极限为白银比例。

二、黄金分割率——215- 0、来历黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，用希腊字母Φ表示。

这个比例被公认为是最能引起美感的比例，因此被称为“黄金分割”。

ΦΦΦ-=11 012=-+ΦΦ（负值已舍去）215-=Φ 1、代数运算性质 （1）ΦΦΦΦ-=+=+=-=1121521511 （2）ΦΦ-=-=125322、连分式与连根式 之前已经证明11+=ΦΦ，将等式右边的Φ用Φ+11代替，得到ΦΦ++=1111以此类推，可得无穷连分式。

同样，之前已经证明ΦΦ-=12即ΦΦ-=1，将根号内的Φ用Φ-1代替，得到ΦΦ--=11以此类推，可得无穷连根式。

3、斐波那契数列（Fibonacci Sequence ）设一个数列，它的最前面两个数是1、1，后面的每个数都是它前面的两个数之和，即⎪⎩⎪⎨⎧≥+===--3211121n a a n n F n n n 设存在常数r 、s 使得()()()()[]211-⋅--⋅=-⋅-n F r n F s n F r n F ，则⎩⎨⎧-=⋅=+11s r s r 当n ≥3时，有()()()()[]()r s F r F s n F r n F n n -⋅=⋅-⋅=-⋅---112122 ()()()()r s r s sr s r s r s r s r s r s n F r s r s r s n F r s r s n F r s n F n n n nn n n n n n n n n n n --=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋅++⋅+⋅+=-⋅+⋅+⋅+=-⋅+⋅+=-⋅+=-----------11321123221332212211方程组⎩⎨⎧-=⋅=+11s r s r 的解为251+=s 、251-=r ，因此斐波那契数列的其通项公式为()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡--⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=nn n n ΦΦn F 151******** 该数列后一项与前一项的比值的极限为()()()()ΦΦΦΦΦΦΦΦF F n n n nn n n n nn n n n 1111lim 11lim lim 1212111=----=--⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛=--∞→--∞→-∞→ 即斐波那契数列后一项与前一项的比值的极限为黄金分割率的倒数。

4、黄金三角形如上图所示，等腰ΔABC 中，AB=AC ，BC=1，∠A=36º，BD 为∠ABC 的平分线，BE ⊥AC 。

则AD=BD=BC=1，ΔABC ∽ΔBCD ，BC 2=AB·CD ，即1=(1+CD)·CD ，得到2CD 15-=，2CD AC 151+=+=，24152118sin ΦBC CD =-== 。

所谓“黄金三角形”是一个等腰三角形，其腰与底边的长度比为黄金分割率Φ，例如上图中的ΔABC 和ΔDAB 。

黄金三角形沿底边对折后得到的直角三角形是唯一可用5个而不是4个与其本身全等的三角形来生成与其本身相似的三角形的三角形【未找到有关的证明】，如下图所示将一个正五边形的所有对角线连接起来，在五角星中可以找到的所有线段之间的长度关系都是符合黄金分割率的，所产生的五角星里面的所有三角形都是黄金三角形。

三、自然常数——ee 作为数学常数，是自然对数函数的底数。

有时称它为“欧拉数”，以瑞士数学家欧拉命名；也有个较鲜见的名字——“纳皮尔常数”，以纪念苏格兰数学家约翰·纳皮尔（John Napier ）引进对数。

0、定义xx x e ⎪⎭⎫ ⎝⎛+=∞→11lime 的含义是单位时间内持续的翻倍增长所能达到的极限值。

比如计算利息，名义年利率为100%（即每年翻倍增长），若每年计息一次，则一年后本息总和为2100%1=+若按复利计，每半年计息一次，则一年后本息总和为2.252100%12=⎪⎭⎫ ⎝⎛+同理，每季度计息一次，则一年后本息总和为2.441406254100%14=⎪⎭⎫⎝⎛+ 不断缩短计息周期，最终得到2.71828100%1lim ≈=⎪⎭⎫⎝⎛++∞→e n nn 一般地，若名义利率为r ，则连续复利为e r -1。

1、计算公式e x 的麦克劳林展开式为∑+∞==+++++=0432!!4!3!21n nxn x x x x x e当x =1时，∑+∞==0!1n n e 这个级数有着极快的收敛速度。

2、对数函数与指数函数的导数 设对数函数y =ln x ，则根据导数定义()()xe x x x x x x x x x x x x x x x x x x y xxx xx x x xx x x 1ln 11ln 1lim1ln lim 1ln lim 1ln 1lim ln ln lim d ln d d d 0101000=⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=⎪⎭⎫⎝⎛∆+=⎪⎭⎫ ⎝⎛∆+=⎪⎭⎫⎝⎛∆+∆=∆-∆+==∆→∆⋅∆→∆∆→∆→∆→∆其反函数为指数函数x =e y ，则y e x xyy x ===d d 1d d 将x 与y 对易，得到指数函数的导数为()x xe xe =d d 这表明以自然常数为底数的指数函数的导数就是其本身。

3、指数函数与三角函数的关联由于正弦函数和余弦函数的导数分别为()x x x cos d sin d = ()x xx sin d cos d -= 当对正弦函数或余弦函数求4阶导数后回到其自身，这就暗示了指数函数与三角函数之间存在某种关联。

又由于i 4=1（i 为虚数单位），又暗示着要联立指数函数与三角函数之间的联系要用到虚数。

对指数函数、正弦函数和余弦函数分别作麦克劳林展开，得到∑∞==0!n nxn x e()()∑∞=-=02!21cos n n n n x x()()∑∞=++-=012!121sin n n nx n x将指数函数中的x 用ix 代替，则可得到x i x e ix sin cos ⋅+=这就是复变函数中的欧拉公式。

通过该式可以进一步得到()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-==+=--ix i i e e x ix e e x ixix ixix sinh 12sin cosh 2cos cosh(x)和sinh(x)分别称为双曲余弦函数和双曲正弦函数。

四、圆周率——π0、定义圆周率π一般定义为一个圆形的周长C 与直径d 之比，即dC =π 或者以圆形半径为边长作一正方形，然後把圆形面积和此正方形面积的比例定为π，即圆形之面积与半径平方之比2r S =π定义圆周率不一定要用到几何概念，比如我们可以定义π为满足()0sin =x 的最小正实数x 。

1、一些基于数学分析的圆周率公式【推导过程略】 （1）韦达公式（1579年）：2222222222++⋅+⋅=π（2）华里斯公式（1650年）：()()21221!!12!!2121lim 1221221442⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅-∏=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∏=+∞→∞+=∞+=n n n n n n n n n n n n π（3）格雷果里-莱布尼茨公式：()∑∞+=+-=+-+-==012171513111arctan 4n nn π该方法收敛速度极慢。

（4）弗格森公式：19851arctan 201arctan 41arctan24++=π（5）梅钦公式：2391arctan 451arctan16-=π （6）拉玛努金公式：每迭代一次，精度增加8位()()∑∞+=+⋅=0444299263901103!4!42299n n n nn n π （7）楚诺维斯基公式：每计算一项，精度增加15位()()()()()∑∞+=-⋅⋅+⋅=33640320!3!13591409515140134!610005426880n n n n n n π （8）高斯-勒让德公式：一种二次收敛算则，即每经过一次计算，有效数字会倍增初值：1==x a ，21=b ，41=c重复计算：a y =，2b a a +=，by b =，()2y a x c c --=，x x 2= 最终计算：()cb a 42+=π（9）BBP （Bailey-Borwein-Plouffe ）公式：可计算任意的第n 位（在16进制下）而无需计算之前的(n -1)位，为圆周率的分布式计算提供了可行性。

∑+∞=⎪⎭⎫⎝⎛+-+-+-+=0681581482184161n nn n n n π （10）Bellard 公式：∑∞+=⎪⎭⎫⎝⎛+++-+-+-+++-+-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=091017104510431064110256341143210241641n nn n n n n n n π2、几何特性 平面图形 周长面积圆 r d C ⋅=⋅=ππ22r S ⋅=π圆环()22r R S -=π扇形 r r C 2180+⋅=πα2360r S ⋅=πα立体图形 表面积 体积圆柱 2r h r S ⋅+⋅⋅=ππ22 h r V ⋅⋅=2π圆锥222r r h r S ⋅++⋅⋅=ππh r V ⋅⋅=231π球24r S ⋅=π334r V ⋅=π3、代数特性：π是超越数【证明略】，即π不可能是任何整系数多项式的根。