高等数学——导数练习试题.docx
一．选择题
1. 若 lim f ( x 0
x) f ( x 0 ) k ，则 lim f ( x 0 2 x) f ( x 0 ) 等于 (
)
x 0
x x 0
x
1 k
A. 2k
B. k
C. D. 以上都不是
2
2. 若 f （x ）=sin α－ cosx ，则 (
)
A ．sin α
B ．cos α
C ．sin α+cos α
D ．2sin α （ x ） ax 3 x 2 ，若 , 则 a 的值等于 ( ) = +3 +2
A ．
19
B ．
16
3
3
C ．
13
D ．
10
3
3
4. 函数 y= x sin x 的导数为 (
)
．y ′ =2 x sin x + x cos x
B ． y ′ = sin x x cos x
A
2 x +
C ．y ′=
sin x
+ x cosx
D ．y ′=
sin x
－ x cosx
x
x
5. 函数 y x
2
cos x 的导数为
( )
= x 2
x x 2
A ． y ′ x x － sin x
．y ′ x sin x
=2 cos
B
=2 cos
+
C ． y ′ x 2 x － x x ．y ′ x x － x 2
sin x
= cos 2 sin
D = cos
6. 函数 y= x 2
2
a
（ a>0）的导数为 0，那么 x 等于（
）
a
x
．± a
A ．
B
C ．－ a
．a 2
D
7. 函数 y=
sin x
的导数为（
）
x
A ． y ′ = x cos x sin x
．y ′
= x cos x sin x
x 2
B
x 2
C ． y ′ = x sin x cos x
．y ′ = x sin x cos x
x 2
D
x 2
1
1)2
的导数是（
8. 函数 y= (3x
）
A ．
6
B ．
6
C ．－
6
D ．－
6
(3x
1) 3
1) 2 (3x
1) 3
(3x 1) 2
(3x
9. 已知
y= 1
sin2 x+sin x ，那么
y ′是（
）
2
A ．仅有最小值的奇函数
B ．既有最大值，又有最小值的偶函数
C ．仅有最大值的偶函数
D ．非奇非偶函数 10. 函数 y =sin 3 （ x ）的导数为（ ）
3 + 4
A ．3sin 2（3x+ ）cos （3x+
） B ． 9sin 2（3x+ 4 ） cos （3x+ ）
4
4
4
．
9sin 2（ x
）
D
．－ 2 x ） cos （ x
）
C
3 +
9sin （3 +
4
3 +
4
4
11. 函数 y=cos （ sin x ）的导数为（
）
x ）
A ．－［ sin （sin x ）］
cos x
．－
sin （
sin
B
．［
sin （
sin x ）］
cos x
．
sin （
cos x ）
C
D
12. 函数 y x
x 的导数为（ ）
=cos2 +sin
A ．－ 2sin2 x + cos x
． 2sin2 x + cos x
2x
B 2 x
C ．－ 2sin2 x
+sin x ． 2sin2 x － cos x
2 x D 2 x
13. 过曲线 y = 1 上点 P （ ， 1
）且与过 P 点的切线夹角最大的直线的方程为 x 1 1 2
（
）
y x
y x
－
．
A ．2 8 +7=0
B 2 +8 +7=0
y
x －
9=0
．
y
－
x
C ．2 +8
－ x 2 ）的导数为（ D 2
8 +9=0
14. 函数 y
=ln （ －
x
）
3 2
A ．
2
B ．
1
x
3
3 2x
x 2
2x 2
2x 2
C ．
x 2
2x 3
D ． x 2 2x 3
15. 函数 y=lncos2 x 的导数为（
）
x
A ．－ tan2 x
．－
2tan2
B
C ．2tan x
D ．2tan2 x
16. 已知 y
1
x 3 bx 2 (b
2) x 3 是 R 上的单调增函数，则
b 的取值范围是
3 ( )
A. b
1，或 b 2 B. b 1，或 b 2 C.
1 b 2
D. 1 b 2
17. 函数 f ( x) (x 3)e x 的单调递增区间是
( )
A. ( ,2)
B.(0,3)
C.(1,4)
D.
(2, )
18.函数 y= a x22x（a>0 且 a≠1），那么（）
．
a x2 2 x
ln
a
B．2（ ln
a）
a
x2 2 x
A
C．2（x－）
a x
2 2 x ·
ln
a．（x－）
a x
2
2 x
ln
a 1D1
19.函数 y=sin3 2x的导数为（）
A．2（cos32x）· 32x·ln3B．（ ln3 ）· 32x·cos32x
C．cos32x2x
·cos3
2x
D．3
20.已知曲线 y x2的一条切线的斜率为1
，则切点的横坐标为（）
42
A．1B． 2C．3D．4
21.曲线y x3321在点（，－）处的切线方程为（）
11
A．y 3x 4B．y3x 2 C． y4x 3 D． y 4x 5
22.函数 y( x1) 2 (x 1) 在 x1处的导数等于（）
A． 1B．2C． 3D．4
23.已知函数 f (x)在 x1处的导数为 3,则 f ( x) 的解析式可能为（）
A．()(
x 1) 23(
x
1)．
f (x)2(x 1)
f x B
C． f ( x) 2( x1) 2D． f (x)x 1
24.函数 f ( x)x 3ax23x9 ，已知
f ( x)在
x3
时取得极值，则 a （）
=
25.函数 f( x)x3 3x21是减函数的区间为 ( )
A. (2,)
B.(, 2)
C.(,0)
D. (0, 2)
26.函数 y = x3 -3x2 -9x (- 2 < x <2)有（）
A. 极大值 5，极小值－ 27
B.极大值 5，极小值－ 11
C.极大值 5，无极小值
D.极小值－ 27，无极大
27.三次函数 f x ax3x 在x,内是增函数，则（）
A. a0
B. a0
C. a1
D. a1
3
28. 在函数 y x 3 8x 的图象上，其切线的倾斜角小于
的点中，坐标为整数的
4
点的个数是（ ）
A ． 3
B ．2
C ．1
D ．0 29. 函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a,b) ，导函数 f ( x) 在 ( a,b) 内的图象如图所示，
则函数 f ( x) 在开区间 (a,b) 内有极小值点（
）
y
?
y f ( x)
A ．1 个
B ．2 个
b
C ．3 个
D ．4 个
30. 下列求导运算正确的是（
）
a
O
x
A 、
1
1
、 (x
x 2
)
1 x 3 B
C 、
D
、
31. 已知函数 f ( x)= ax 2 ＋c, 且 f (1)=2, 则 a 的值为 (
)
A ． 0
B
． 2
C
．－ 1 D
． 1
32. 函数 y = x 3 + x 的递增区间是（
）
． (0, )
B
． (
,1)
C
． ( ,
)
D
． (1, )
A
33. 函数 y= ln x 的导数为（
）
A ．2x ln x
B ．
x
2 ln x
C ．
1
D ．
1
ln x
2x ln x
x
34. 设 AB 为过抛物线
y 2
2 ( 0) 的焦点的弦，则
AB 的最小值为（
）
px p
A ．
p
B
． p
C ． 2 p
D ．无法确定
2
35. 函数 y
x 3 3x 的极大值为 m ，极小值为 n ，则 m n 为（
）
A ．0
B ．1
C
．2 D ． 4
36. 函数 y
4x 2
1
单调递增区间是（
）
x
A ． (0, )
B ． ( ,1)
C ． ( 1
,
) D
． (1, )
2
37. 函数 f ( x) 2x
sin x 在 ( , ) 上（ ）
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．有最大值
D ．有最小值
38. 函数 y
ln x
的最大值为（
）
x
A ． e 1
B ． e C
． e 2
D ．
10
3
二．填空题
1. f ( x) 是 f ( x) 1 x 3 2x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是 。
3
2. 已知函数 y
f (x) 的图象在点
M (1， f (1)) 处的切线方程是
y
1 x
2 ，则
2
f (1) f (1)
。
3. 曲线
y
3 2x 2
4x 2 在点 ， 3) 处的切线方程是
。
x
(1
4. 若 y=(2 x 2-3)( x 2-4), 则 y ’=
。 5. 若 y cosx -4sinx ,则 y ’ =
。
=3
6. 与直线 2 x －
y
垂直，且与曲线
y x
3
x 2－ 1
相切的直线方程是 。
6 +1=0
= +3
7. 质点运动方程是
s t 2（
1+sin t ），则当 t = 时，瞬时速度为
。
=
2
8. 求曲线 y=x3+x2-1 在点 P （-1 ， -1 ）处的切线方程 。
9. 若 y
1
x
2 , 则 y ’=
2 x
10. 若 y
3x 4 3x 2 5 , 则 y ’=
x 3
11. 若 y 1
cos x
, 则 y ’=
1 cos x
12. 已知 f （x ）= 3 x 7
x 35 x 4
3
x
。
。
。
，则 f ′（ x ）=___________。
13.
已知 f （x ） =
1
1 ，则 f ′（ x ）
。
1
x 1
x
=___________
14.已知 f （x ）
=
sin 2x
，则 f ′（ x ）
。
cos 2x
=___________
1
15. 若 y=（ sinx-cosx )3 ，则 y ’= 。
16. 若 y= 1 cosx 2 ，则 y ’= 。 17. 若 y=sin 3 (4x+3) ，则 y ’=
。
18. 函数 y=（1+sin3 x ） 3 是由 ___________两个函数复合而成。 19. 曲线 y=sin3 x 在点 P （ ， 0）处切线的斜率为 ___________。
3
20. 函数 y=xsin （2x －
）cos （2x+
）的导数是 ______________。
2
2
21. 函数 y= cos(2x
) 的导数为 ______________。
3
函数 y=cos 3 1
22. x 的导数是 ___________。 23. 在曲线 y=
x
9
的切线中，经过原点的切线为 ________________。
x 5
24. 函数 y=log 3 cosx 的导数为 ___________。
25. 函数 y x 2 lnx 的导数为 。 = 26. 函数 y=ln （lnx ）的导数为
。
27. 函数 y lg cosx 的导数为 。
= (1+ )
28. 设 y=
( 2e x x 1)2
，则 y ′=___________。
e
29. 函数 y= 22 x 的导数为 y ′=___________。
30. 曲线 y e x －e
x 在点（ e ， ）处的切线方程为
___________。
= ln
1
31.
f ( x) 是 f (x)
1 x 3 2x 1 的导函数，则 f ( 1) 的值是
。
3
32. 曲线 y
x 3 在点 1,1 处的切线与 x 轴、直线 x 2 所围成的三角形的面积为
__________。
33. 已知曲线 y
1 x 3
4
，则过点 P(2, 4) “改为在点 P(2, 4) ”的切线方程是
3 3
______________。
34. 已知 f (n ) ( x) 是对函数f( x) 连续进行n 次求导，若 f ( x) x6x5，对于任意
x R ，都有 f (n)(x)，则
n
的最少值为。
=0
35.函数 y= sin x
的导数为 _________________。x
36. 函数 y x 2cos x 在区间 [0, ] 上的最大值是。
2
37. 若 f ( x) ax3bx2cx d (a 0) 在 R 增函数，则 a,b, c 的关系式为是。
38. 曲线 y ln x 在点 M(e,1) 处的切线的方程为 _______________。
三．计算题
13x2
1.求函数 y=ln2 的导数。
2 x
2. 求函数 y=ln1x
的导数。
1x
3. 求函数 y=ln （1x2－x）的导数。
4. 求函数 y=e2x lnx的导数。
5.求函数 y=x x（ x>0）的导数。
6.设函数 f (x) 在点x0处可导，试求下列各极限的值．
（ 1）lim f ( x0x)f (x
)
；
x0x
（ 2） lim f ( x 0h) f (
x 0 h
)
；
h02h
（）若
f (
x0
) 2
，则
lim f ( x 0
k)f ( x
)
。
3k02
k
7. 求函数y x 在x 1 处的导数。
8. 求函数 y x2ax b （a、 b 为常数）的导数。
9.利用洛必达法则求下列极限：
e x e x
(1)lim；
x 0x
(2)lim ln x
；
x 1 x1
(3)lim x33x2 2 ；
x 1
x3x2x 1
ln( x) (4) lim2；
x tan x
2
(5) lim x n
ax (a 0,n为正整数）
x e
(6) lim x m ln x ( m0) ；
x 0
(7)lim(11) ；
x 0x e
x1
1
(8)lim(1sin x) x；
x0
(9)lim x sin x；
x0
10.求下列函数的单调增减区间：(1)y 3x26x 5 ；
；
(3) y
x2
；1x
11.求下列函数的极值：(1)y x33x27 ；
(2) y2x；
1x2
(3) y x2e x；
(4)y 3 3 (x 2) 2；
(5)y ( x 1)3 x2；
(6) y
x3
2
；( x1)
四．解答题
1.求曲线 y=x3+x2-1 在点 P（-1 ， -1 ）处的切线方程。
2. 求过点（ 2，0）且与曲线 y= 1
相切的直线的方程。x
3. 质点的运动方程是s t 2
3 , 求质点在时刻t=4时的速度。
t
4. 求曲线 y1在 M (2, 1
) 处的切线方程。
(x23x)24
5.求曲线 y sin 2x在 M ( ,0) 处的切线方程。
6. 已知曲线C： y x 33x 22x ，直线 l : y kx ，且直线 l 与曲线 C 相切于点x0 , y0 x00 ，求直线 l 的方程及切点坐标。
7. 已知 f x ax33x 2x1在 R 上是减函数，求a的取值范围。
8. 设函数 f (x) 2x33ax23bx 8c 在 x 1 及 x 2 时取得极值。（ 1）求 a、b 的值；
（ 2）若对于任意的 x [0，3] ，都有 f ( x) c2成立，求 c 的取值范围。
9.已知 a 为实数，f x x2 4 x a 。求导数f ' x；（）若f ' 10 ，求 f x
2
在区间2,2 上的最大值和最小值。
10. 设函数 f ( x)ax3bx c (a0) 为奇函数，其图象在点(1, f (1))处的切线与直线 x6y70 垂直，导函数 f '(x)的最小值为12。
（1）求a， b ，c的值；
（2）求函数 f ( x) 的单调递增区间，并求函数 f (x) 在 [ 1,3] 上的最大值和最小值。
11.已知曲线 y x 1
上一点 A(2,
5
) ，用斜率定义求：x2
（1）点 A 的切线的斜率
（2）点 A 处的切线方程
1( x21)( x1)
12. 已知函数 f (x)2
，判断 f ( x) 在x
1处是否可
导？
1
( x1)( x1)
2
13. 已知函数 f x x3ax2bx c ，当 x1 时，取得极大值 7；当 x 3 时，
取得极小值．求这个极小值及a, b, c 的值。
14. 已知函数f ( x )x 33x29x a 。
（1）求f ( x)的单调减区间；
（2）若f ( x)在区间 [ － 2， 2]. 上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值。
15. 设t0 ，点（，）是函数 f x
)
x3ax与 g x
)
bx 2c
的图象的一个公P t0((
共点，两函数的图象在点P 处有相同的切线。
（ 1）用t表示a, b, c；
（ 2）若函数y f ( x) g( x) 在（－1，3）上单调递减，求t的取值范围。
16. 设函数 f x x3bx2cx( x R) ，已知g(x) f (x) f (x) 是奇函数。（1）求 b 、 c 的值。
（2）求g (x)的单调区间与极值。
17.用长为 18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架，要求长方体的长与宽之比为2：1，问该长方体的长、宽、高各为多少时，其体积最大？最大体积是多少？
18. 已知函数1312
bx 在区间，，，内各有一个极值点。
f (x)x ax[ 11)(13]
32
（ 1）求的最大值；
（ 2）当时，设函数在点处的切线为，若在点处穿过函数的图象（即动点在点附近沿曲线运动，经过点时，从的一侧进入另一侧），求函数的表达式。
ln(1kx)
，若 f ( x) 在点x
19. 设函数f ( x)x x0 处可导，求 k 与f (0)
1x0
的值。
1 cosx
x 2
x
20. 设函数 f ( x)k
x 0 ，当 k 为何值时， f (x) 在点 x
0 处连续。
1
1 0
x e x
x
1
21. 设 y ln(1 x 2 ) ，求函数的极值，曲线的拐点。
22. 利用二阶导数，判断下列函数的极值：
(1)y (x 3)2 (x 2) ；
(2) y 2e x e x
23. 曲线 y ax3bx2cx d 过原点，在点 (1,1)处有水平切线，且点(1,1)是该曲
线的拐点，求 a,b, c, d 。
24.求下列函数在给定区间上的最大值与最小值：
(1)y x42x25[2,2] ；
(2) y ln( x2 1)[ 1,2] ；
(3) y x2[ 1
,1] ；
1x2
(4) y x x[0, 4] 。
25. 已知函数 f (x) a x36ax2 b (a 0) ，在区间 [ 1,2] 上的最大值为 3 ，最小
值为29，求 a,b 的值。
26.欲做一个底为正方形，容积为 108m3的长方体开口容器，怎样做所用材料最
省？
27.确定下列曲线的凹向与拐点：
(1)y x2x3；
(2) y ln(1x2 ) ；
1
(3) y x3；
(4) y2x；
1x2
(5) y xe x；
(6) y e x
28.某厂生产某种商品，其年销量为100万件，每批生产需增加准备费1000元，而每件的库存费为0.05元，如果年销售率是均匀的，且上批销售完成后，立即再生产下一批（此时商品库存数为批量的一半），问应分几批生产，能使生产准备
费及库存费之和最小？
29.某化工厂日产能力最高为 1000吨，每天的生产总成本 C （单位：元）是日产量 x （单位：吨）的函数： C C ( x) 1000 7x 50 x x [0,1000]
（1）求当日产量为 100 吨时的边际成本；
（2）求当日产量为 100 吨时的平均单位成本。
高等数学偏导数第一节题库
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高数偏导数复习
1. 偏导数求解方法： 例题：求22z=3x xy y ++在(1,2)处的偏导数. 解：把y 看作常量，得 23z x y x ?=+? 把x 看作常量，得 32z x y y ?=+? 将（1,2）带入上述结果，就得 1 2|21328x y z x ==?=?+?=? 1 2|31227x y z y ==?=?+?=? 2. 高阶偏导数求解方法. 设函数z (x,y)f =在区域D 内具有偏导数 (x,y)x z f x ?=? (x,y)y z f y ?=? 按照对变量求导次序不同有下列四个二阶偏导数： 22()(x,y)xx z z f x x x ???==???, 2()(x,y)xy z z f y x x y ???==???? 2()(x,y)yx z z f x y y x ???==????, 22()(x,y)yy z z f y y y ???==???
3. 全微分.(求偏导数后加上,dx dy ) 函数(x,y)z f =的全微分： z z dz dx dy x y ??= +??. 例题：计算函数xy z e =在点(2,1)处的全微分. 解： ,x y x y z z ye xe x y ??==?? 222211 |,|2x x y y z z e e x y ====??==?? 所以 222dz e dx e dy =+ 4. 多元复合函数求导法则(先求偏导数，再对复合函数求偏导数). 例题1：设z uv sin t =+，而t u e =，cos v t =，求全导数dy dt 。 解：sin cos t dz z du z dv z ve u t t dt u dt v dt t ???=++=-+??? cos sin cos (cos sin )cos t t t e t e t t e t t t =-+=-+ 例题2：求2 2 (xy ,x y)z f =的22z x ??（其中f 具有二阶连续偏导数）. 解： 22'' 122'2'1 222'''''2''2''1112221224''3''22''111222 ()(2)2() (y 2)2(2) y 44z z y f f yx x x x x f y y f x x x y f xyf y f xy f x yf f xy f x y f ????==+??????=+??=++++=++ 5. 隐函数求导公式.
高数导数的应用习题及答案
一、是非题： １． 函 数 ()x f 在 []b a , 上 连 续 ，且()()b f a f =，则 至 少 存 在 一 点 ()b a ,∈ξ，使()0=ξ'f ． 错误 ∵不满足罗尔定理的条件。 ２．若函数()x f 在0x 的某邻域内处处可微，且()00='x f ，则函数()x f 必在0x 处取得 极值． 错误 ∵驻点不一定是极值点，如：3 x y =，0=x 是其驻点，但不是极值点。 ３．若函数()x f 在0x 处取得极值，则曲线()x f y =在点()()00,x f x 处必有平 行 于x 轴 的切线． 错误 ∵曲线3 x y =在0=x 点有平行于x 轴的切线，但0=x 不是极值点。 ４．函数x x y sin +=在()+∞∞-,内无极值． 正确 ∵0cos 1≥+='x y ，函数x x y sin +=在()+∞∞-,内单调增，无极值。 ５．若函数()x f 在()b a ,内具有二阶导数，且()()0,0>''<'x f x f ，则曲线()x f y =在()b a ,内单调减少且是向上凹． 正确 二、填空： １．设()x bx x a x f ++=2 ln （b a ,为常数）在2,121==x x 处有极值，则=a （ 23- ），=b （ 16 - ）． ∵()12++='bx x a x f ，当2,121==x x 时， 012=++b a ，0142=++b a ，解之得6 1 ,32-=-=b a ２．函数()() 1ln 2 +=x x f 的极值点是（ 0=x ）． ∵()x x x f 211 2 ?+= '，令()0='x f ，得0=x 。又0>x ，()0>'x f ； 0 (高等数学)第四章导 数的应用 第四章导数的应用 第一节中值定理 一.费马定理 1.定义1.极值设函数?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内对一切?Skip Record If...?有 ?Skip Record If...?或（?Skip Record If...?）， 则称?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?处取得极大值（或极小值）；并称?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点）. 注意：极大值、极小值在今后统称为极值； 极大值点、极小值点在今后统称为极值点； 2.定理1.极值的必要条件（费马定理）设?Skip Record If...?在点?Skip Record If...?的某邻域?Skip Record If...?内有定义，且在?Skip Record If...?处可导,若 ?Skip Record If...?为极值，则必有：?Skip Record If...?. 证明：不妨设?Skip Record If...?为极大值。按极大值的定义，则?Skip Record If...?的某个邻域，使对一切此邻域内的?Skip Record If...?有?Skip Record If...?--------------（1） 所以，?Skip Record If...? ?Skip Record If...?--------（2） 又因为?Skip Record If...?存在，所以应有?Skip Record If...?---------（3） 故，由（2）式及（3）式，必有?Skip Record If...?. 1．注意：使?Skip Record If...?的点?Skip Record If...?可能为?Skip Record If...?的极大值点（或极小值点），也可能不是.比如：?Skip Record If...? 高等数学中导数的求解及应用 摘要：高等数学是一门方法学科，因此可以说是许多专业课程的基础。然而导 数这一章节在高等数学中是尤为重要的，在高等数学的整个学习过程中，它起着 承前启后的作用，是学习高等数学非常重要的任务。本文详细地阐述了导数的求 解方法和在实际中的应用。 关键词：高等数学导数求解应用 导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习 导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如 何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子 说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。 一、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量 为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）- f（x0）。 若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim ＝lim存在，就称此极限为该函数y=f(x)在点x0的导数，且有函数y=f(x)在点x=x0处可导，记 为f`(x0)。 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处 的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f(x)在点x0处的导数 为无穷大，这时曲线y=f(x)的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线 y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义 并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f(x)在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。 二、导数的应用 1.实际应用 假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的 可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的 函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时 的产量。 解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和： 总成本的函数C(x)=0.01x2+10x+1000 总收入的函数R(x)=px=30x（常数p是产品数量） 总利润的函数I(x)=R(x)-C(x)=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入R(x)Γ=30 边际成本C(x)=0.02x+20 边际利润I(x)=-0.02x+20 令I(x)=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用 如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与F（x）都趋于零或都趋于无 穷大，那么极限lim可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用“商的极限等于极限的商” 授课单元7教案 课题1 偏导数 一、复习 x处的导数，y=f(x)的导数 一元函数y=f(x)在 二、偏导数的概念、 我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率。 例如，一定量的理想气体P ，体积V ，热力学温度T 的关系式为常数）R V RT P (,= （1）当温度不变时（等温过程），压强P 关于体积V 的变化率为2T V RT )(-=为常数dV dP （2）当体积V 不变时（等容过程），压强P 关于温度T 的变化率为 V R dT dP V = =常数)( . 这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。 1、z=f(x,y)在),(00y x 处的偏导数 （1） z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数 设函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)的某一邻域内有定义, 当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时, 相应地函数有增量 f (x 0+?x , y 0)-f (x 0, y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?) ,(),(lim 00000 存在, 则称此极限为函数z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作 ),(00y x x z ??, ) ,(00y x x f ??, ) ,(00y x x z ' , 或),(00y x f x '. 即 x y x f y x x f y x f x x ?-?+=' →?) ,(),(lim ),(00000 00 （2）z =f (x , y )在点(x 0, y 0)处对y 的偏导数 ) ,(00y x y z ??= ) ,(00y x y f ??=) ,(00y x y z ' =),(00y x f y '=y y x f y y x f y ?-?+→?) ,(),(lim 00000 2、偏导函数（简称偏导数） (1)z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内每一点(x , y )处对x 的偏导数都存在, 那么这个偏导数就是x 、y 的函数, 它就称为函数z =f (x , y )对自变量x 的偏导函数, 记作 x z ??= x f ??= 'x z =),(y x f x 'x y x f y x x f x ?-?+=→?),(),(lim 0. (2) z =f (x , y )对y 的偏导函数 y z ??=y f ??= 'y z =),(y x f y '=y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 0 说明 （1）由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法求 x z ??时，把y 视为常数 1、下列函数在给定区间上满足罗尔定理条件的是（ ）． ]1,1[,)()](2 ,23[,sin )()](4,2[,)4()()](0,2[,1)()(2-=-=--=-= x x f D x x f C x x f B x x f A π π 2、函数f(x)=sinx 在[0，π]上满足罗尔定理结论的ξ=（ ）． （A ） 0（B ） 2 π（C ）π （D ）23π 3、下列函数在[1，e]上满足拉格朗日定理条件的是（ ）． （A ）)ln(ln x （B ） x ln （C ）)2ln(x - （D ） x ln 1 4、函数f(x)=2x 2-x+1在区间[-1，3]上满足拉格朗日定理的ξ等于（ ）． (A) 4 3- (B)0 (C) 43 (D) 1 5、函数x x y 4 + =的单调减区间为（ ）． (A)(,2),(2,)-∞-+∞ (B) )2,2(- (C) (,0),(0,)-∞+∞ (D) (2,0),(0,2)- 6、若x 0为f(x)的极小点，则下列命题正确的是（ ）． (A) 0)(0='x f (B) 0)(0≠'x f (C) )(0x f '不存在 (D)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 7、若在（a ，b ）内，0)(,0)(<''<'x f x f ，则f(x)在（a ，b ）内为（ ）． (A)单调上升而且是凸的(B) 单调上升而且是凹的(C) 单调下降而且是凸的(D) 单调下降而且是凹的 8、曲线29623++-=x x x y 的拐点是（ ）． （A ）（1，6）（B ） （2，3）（C ） （2，4）（D ） （3，2） 9、()y f x =在(a,b)内可导，且12a x x b <<<，则下列式子正确的是（ ）． （A ）在12(,)x x 内只有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立； （B ）在12(,)x x 内任一点ξ处均有2121()()()f x f x f x x ξ-'=-成立；（C ）在1(,)a x 内至少有一点ξ，使 11()() ()f x f a f x a ξ-'=-成立； （D ）在12(,)x x 内至少有一点ξ，使 2121 ()() ()f x f x f x x ξ-'=-成立． 10、求下列极限时，（ ）可用罗必达法则得出结果． （A ）sin lim sin x x x x x →∞- +；（B ）22sin lim x x x →∞； （C ）lim x →+∞； （D ）lim (arctan )2x x x π→+∞-． 11、下列命题中正确的是（ ）． （A ）若0x 为()f x 的极值点，则必有0()0f x '=；（B ）若0()0f x '=，则0x 必为()f x 的极值点； （C ）若()f x 在(a,b)内存在极大值，也存在极小值，则极大值必定大于极小值； §8.2 偏导数 一、偏导数的定义及其计算法 对于二元函数z =f (x ,y ),如果只有自变量x 变化,而自变量y 固定,这时它就是x 的一元函数,这函数对x 的导数,就称为二元函数z =f (x ,y )对于x 的偏导数. 定义 设函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)的某一邻域内有定义,当y 固定在y 0而x 在x 0处有增量?x 时,相应地函数有增量 f (x 0+?x ,y 0)-f (x 0,y 0). 如果极限 x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000 存在,则称此极限为函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对x 的偏导数,记作 00y y x x x z ==??,00 y y x x x f ==??,00y y x x x z ==,或),(00y x f x . 例如： x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(00000 00. 类似地,函数z =f (x ,y )在点(x 0,y 0)处对y 的偏导数定义为 y y x f y y x f y ?-?+→?),(),(lim 00000, 记作 00y y x x y z ==??,00y y x x y f ==??,00y y x x y z ==,或f y (x 0,y 0). 偏导函数:如果函数z =f (x ,y )在区域D 内每一点(x ,y )处对x 的偏导数都存在,那么这个偏导数就是x 、y 的函数,它就称为函数z =f (x ,y )对自变量x 的偏导函数,记作 x z ??,x f ??,x z ,或),(y x f x . 偏导函数的定义式:x y x f y x x f y x f x x ?-?+=→?),(),(lim ),(0 . 类似地,可定义函数z =f (x ,y )对y 的偏导函数, 记为 y z ??,y f ??,z y ,或),(y x f y . 第二部分工质的热力性质 六热力学函数的一般关系式 由热力学基本定律引出的一些基本热力学状态函数（如内能U、熵S ）及其为某一研究方便而设的组合函数（如焓H、自由能F、自由焓G等）许多都是不可测量，必须将它们与可测量（如压力p、体积V、温度T等）联系起来，否则我们将得不到实际的结果，解决不了诸如上一章讲的最大功计算等一些具体的问题。 这就需要发展热力学的数学理论以将热力学基本定律应用到各种具体问题中去。 热力学函数一般关系式全微分性质+基本热力学关系式 6.1 状态函数的数学特性 对于状态参数，当我们强调它们与独立变量的函数关系时，常称它们为状态函数。从数学上说，状态函数必定具有全微分性质。这一数学特性十分重要，利用它可导出一系列很有实用价值的热力学关系式。下面我们扼要介绍全微分的 一些基本定理。 设函数z f(x,y)具有全微分性质 则必然有 (1)互易关系 N(x,y) N (6-2) x y 而且是充分条件。因此，可反过来检验某一物理量是否具有 全微分。 (2)循环关系 ，亠 z y x “ 故有 1 (6-3) dz — dx — dy x y y x (6-1) 令式 (6-1 )中 M(x,y), 互易关系与门dz 0等价 它不仅是全微分的必要条件， 当保持 z 不变，即 dz 0时，由式(6-1)，得 y x x z z y 此式的功能是：若能直接求得两个偏导数，便可确定第三个偏导数。结果也很容易记忆，只需将三个变量依上、下、外次序，即(zyx)(yxz)(xzy)循环就行了。 (3)变换关系 将式(6-1)用于某第四个变量不变的情况，可有 dz z dx z dy X y y x 两边同除以dx，得 z z z y x x y y x x (6-4) 式中：z x 是函数z(x,y)对x的偏导数；疋以(x, x 独立变量时，函数z(x,)对x的偏导数。上面的关系可用于它们之间的变换。这一关系式对于热力学公式的推导十分重 【090201】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】求曲线z x y y =+=???226 上的点(,,)1637处的切线的斜率。 【试题答案及评分标准】 k z x x x y x ======16 1 22 10分 【090202】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】 设f x y xy x y x y x y x y (,)(,)(,)(,)(,) =-++≠=?????332 2 000 00，根据偏导数定义求f f x y (,),(,)0000。 【试题答案及评分标准】 解：lim (,)(,)lim ??????x x f x f x x x →→+-=-=-0 000001 f x (,)001=- 5分 lim (,)(,)lim ??????y y f y f y y y →→+-=-=-0 000001 f y (,)001=- 10分 【090203】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 【试题内容】设??? ??=≠++=) 0,0(),(0 )0,0(),(2),(2 2y x y x y x y x y x f ，根据偏导数定义求 )0,0(),0,0(y x f f 。 【试题答案及评分标准】 lim (,)(,)lim ??????x x f x f x x x →→+-==0 000001 f x (,)001= （5分） lim (,)(,)lim ??????y y f y f y y y →→+-==0 0000022 f y (,)002= 10分 【090204】【计算题】【较易0.3】【偏导数】【偏导数的定义】 第9次课2学时 第二章导数与微分 导数和微分是高等数学中的重要内容之一，也是今后讨论一切问题的基础。导数反映出函数相对于自变量的变化快慢的程度，而微分则指明当自变量有微小变化时函数大体上变化多少，它从根本上反映了函数的变化情况。本章主要学习和讨论导数和微分的概念以及它们的计算方法，以后将陆续的介绍它们的用途。 §2、1导数的概念 一、 引例 1、 切线问题：切线的概念在中学已见过。从几何上看，在某点的切线就是一直线，它在该点和曲线相切。准确地说，曲线在其上某点P 的切线是割线PQ 当Q 沿该曲线无限地接近于P 点的极限位置。 设曲线方程为 )(x f y =，设P 点的坐标为),(00y x p ，动点Q 的坐标为),(y x Q ，要求出曲线 在P 点的切线，只须求出P 点切线的斜率k 。由上知，k 恰好为割线PQ 的斜率的极限。我们不难求 得PQ 的斜率为： 0) ()(x x x f x f --；因此，当Q P →时，其极限存在的话，其值就是k ，即 0) ()(lim x x x f x f k x x --=→。 若设α为切线的倾角，则有αtan =k 。 2、速度问题：设在直线上运动的一质点的位置方程为)(t s s =（t 表示时刻），又设当t 为0t 时刻时， 位置在)(0t s s =处，问：质点在0t t =时刻的瞬时速度是多少？ 为此，可取0t 近邻的时刻t ，0t t >，也可取0t t <，在由0t 到t 这一段时间内，质点的平均速度 为 00)()(t t t s t s --,显然当t 与0t 越近，用0 0) ()(t t t s t s --代替0t 的瞬时速度的效果越佳，特别地，当 0t t →时， 0) ()(t t t s t s --→某常值0v ，那么0v 必为0t 点的瞬时速度，此时， 二、导数的定义 综合上两个问题，它们均归纳为这一极限0 0) ()(lim x x x f x f x x --→（其中0x x -为自变量x 在0x 的 增量，)()(0x f x f -为相应的因变量的增量），若该极限存在，它就是所要讲的导数。 定义：设函数 )(x f y =在0x 点的某邻域内有定义，且当自变量在0x 点有一增量x ?（x x ?+0仍 在该邻域中）时，函数相应地有增量y ?，若增量比极限：x y x ??→?0lim 即0 0)()(lim 0x x x f x f x x --→存在，就称函数 y f x =（）在x 0处可导，并称这个极限值为)(x f y =在0x x =点的导数，记为)(0x f '， 0x x y ='， x x dx dy =或 x x dx df =。 即0 00) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='→等等，这时，也称)(x f y =在0x x =点可导或有导数，导数存在。 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、选择题 1、则，且存在，，设 ,1)x (f )x (f )x (f 0)x (f 0)x (f 00000-=+''''='>（ ） 是否为极值点不能断定的极值点 不是 的极小值点是的极大值点 是0000x )D ()x (f x )C ( )x (f x )B ()x (f x )A ( 2、处必有在则处连续且取得极大值，在点函数 x )x (f x x )x (f y 00==（ ） 0)x (f )B ( 0)x ('f )A (00<''= 或不存在 且 0)x (f )D (0)x (f 0)x (f )C (0'00=<''= 3、的凸区间是 x e y x -=（ ） ) , 2( (D) ) , (2 (C) 2) , ( (B) 2) , ( (A)∞+-∞+--∞-∞ 4、在区间 [-1，1] 上满足罗尔定理条件的函数是 （ ） (A)x x sin )x (f = (B)2)1x ()x (f += (C) 3 2 x )x (f = (D)1x )x (f 2+= 5、设f (x) 和g (x) 都在x=a 处取得极大值，F (x)=f (x)g (x)，则F(x)在x=a 处（ ） (A) 必取得极大值 (B)必取得极小值 (C)不取极值 (D)不能确定是否取得极值 6、满足罗尔定理的区间是使函数 )x 1(x y 322-=（ ） (A) [-1,1] (B) [0,1] (C) [-2,2] (D) ] 5 4, 5 3[- 7、x 2 e x y -=的凹区间是（ ） (A))2,(-∞ (B) )2,(--∞ (C) ) 1(∞+， (D) ) 1(∞+-， 8、函数)x (f 在0x x = 处连续，若0x 为)x (f 的极值点，则必有（ ） ． (A)0)(0='x f (B)0)(0≠'x f (C)0)(0='x f 或)(0x f '不存在 (D))(0x f '不存在 9、当a= ( ) 时，处取到极值在 3 x 3sin3x asinx f(x)π=+ =（ ） (A) 1 (B) 2 (C) 3 π (D) 0 10、间是适合罗尔定理条件的区使函数 )x 1(x )x (f 322-=（ ） ] 5 4 , 5 3[)D ( ]2,2[)C ( ]1,1[)B ( ]1,0[)A (- -- 11、()，则上的凹弧与凸弧分界点为连续曲线，若 )x (f y )x (f x 00=（ ） 的极值必定不是的极值点为必定为曲线的驻点 ， 必为曲线的拐点， )x (f x )D ( )x (f x )C ( ))x (f x ( )B ( ))x (f x ( )A (000000 二、填空题 1、__________________e y 82 x 的凸区间是曲线-=． 2、______________ 2 x y x 的极小值点是函数=． 3、的凸区间为曲线 x 3 e y x += _____________________ ． 第三章 中值定理与导数的应用 教学目的： 1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。 2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函 数最大值和最小值的求法及其简单应用。 3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐 近线，会描绘函数的图形。 4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。 5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。 6、 知道方程近似解的二分法及切线性。 教学重点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理； 2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法； 3、函数图形的凹凸性； 4、洛必达法则。 教学难点： 1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用； 2、极值的判断方法； 3、图形的凹凸性及函数的图形描绘； 4、洛必达法则的灵活运用。 §3. 1 中值定理 一、罗尔定理 费马引理 设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)), 那么f '(x 0)=0. 罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )至少在一点 , 使得f '()=0. 简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立. (2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点∈(a , b ). 于是 0) ()(lim )()(≥--='='- →- ξξξξξx f x f f f x , 0) ()(lim )()(≤--='='+ →+ ξ ξξξξx f x f f f x , 【试题答案及评分标准】x ≠0为该函数的定义域。 10分 【090102】【计算题】【较易】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】求函数u x y z =+?? ? ? ??arcsin 22的定义域。 【试题答案及评分标准】-≤ +≤1122 x y z 10分 【090103】【计算题】【较易】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z xf y x =()，其中x ≠0，如果当 x =1时，z y =+12，试确定f x ()及z 。 【试题答案及评分标准】 x =1时，z f y y ==+()12，所以f x x ()=+12 5分 z x y x x x x y =+?? ? ??= +12 22 10分 【090104】【计算题】【较易】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z x y f x y =++-()，已知y =0时， z x =2，求f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】y =0时，z x =2，得x f x x +=()2 所以f x x x ()=-2 5分 所以z x y x y x y x y y =++---=-+()()()2 2 2 10分 【090105】【计算题】【中等】【多元函数的概念】【多元函数的定义域】 【试题内容】设z y f x =+-()1，其中x y ≥≥00,，如果y =1时z x =，试确定函 数f x ()和z 。 【试题答案及评分标准】 y =1时，z f x x =+-=11() 所以f x x ()-=-11 3分 令x t x t -==+112 ,()所以 f t t t t f x x x ()(),()=+-=+=+1122222 7分 所以()z y x x y x x y = +-+-=+-≥≥()(),1211002 10分 【090106】【计算题】【较易】【多元函数的极限】【极限的计算】 第四章 中值定理与导数的应用 习题4-1 1、验证下列各题,确定ξ的值： (1)对函数x y sin =在区间]65,6[ π π上验证罗尔定理； 解：显然]6 5, 6[ sin )(π πC x x f y ∈==,)65,6()(π πD x f ∈， 且2 1 )65( )6(==ππ f f ,可见罗尔定理条件成立； 而x x f cos )(=',取)65,6(632ππππξ∈= =,有02 cos )(=='π ξf , 所以罗尔定理结论成立. (2)对函数2642 3 --=x x y 在区间]1,0[上验证拉格朗日中值定理； 解：显然]1,0[264)(2 3 C x x x f y ∈--==,)1,0()( D x f ∈， 可见拉格朗日中值定理条件成立；而 2)2(40 1) 0()1(-=---=--f f , x x x f 1212)(2-=',令 212122-=-x x ,得 6 3 312243662,1±=-±= x , 取)1,0(6 3 3∈+=ξ,有01)0()1()(--= 'f f f ξ, 所以拉格朗日中值定理结论成立. (3)对函数3 )(x x f =及1)(2 +=x x g 在区间]1,0[上验证柯西中值定理. 解：显然]1,0[)(),(C x g x f ∈,)1,0()(),(D x g x f ∈, 且02)(≠='x x g ,)1,0(∈x ,可见柯西中值定理条件成立； 令x x x x g x f g g f f 2 3 23)()(11201)0()1()0()1(2==''==--=--,得32=x , 高等数学中导数的求解及应用 导数的基本概念在高等数学中地位很高，是高等数学的核心灵魂，因此学习导数的重要性是不言而喻的。然而这种重要性很多同学没有意识到，更不懂得如何求解导数以及运用导数来解决有关的问题。我通过自己的学习和认识，举例子说明了几种导数的求解方法以及导数在实际中的应用。 一、导数的定义 1.导数的定义 设函数y=f（x）在点x0的某一邻域内有定义，如果自变量x在x0的改变量为△x（x0≠0，且x0±△x仍在该邻域内）时，相应的函数有增量△y=f（x0+△x）-f（x0）。 若△y与△x之比，当△x→0时，有极限lim =lim 存在，就称此极限为该函数y=f （x）在点x0的导数，且有函数y=f（x）在点x=x0处可导，记为f`（x0）。 2.导数的几何意义 函数y=f（x）在点x0处的导数在几何上表示曲线y=f（x）在点〔x0，f（x0）〕处的切线斜率，即f`（x0）=tan，其中是切线的倾角。如果y=f（x）在点x0处的导数为无穷大，这时曲线y=f（x）的割线以垂直于x轴的直线x=x0为极限位置，即曲线y=f（x）在点〔x0，f（x0）〕处具有垂直于x轴的切线x=x0。根据导数的几何意义并应用直线的点斜式方程，可知曲线y=f（x）在点〔x0，f（x0）〕处的切线方程。 二、导数的应用 1.实际应用 假设某一公司每个月生产的产品固定的成本是1000元，关于生产数量x的可变成本函数是0.01x2+10x元，若每个产品的销售价格是30元，求：总成本的函数，总收入的函数，总利润的函数，边际收入，边际成本及边际利润等为零时的产量。 解：总的成本函数是可变成本函数和固定成本函数之和： 总成本的函数c（x）=0.01x2+10x+1000 总收入的函数r（x）=px=30x（常数p是产品数量） 总利润的函数i（x）=r（x）-c（x）=30x-0.01x2-10x-1000=-0.01x2+20x-1000 边际收入r（x）γ=30 边际成本c（x）=0.02x+20 边际利润i（x）=-0.02x+20 令i（x）=0得-0.02x+20=0，x=1000。也就是每月的生产数量为1000个时，边际利润是零。这也就表明了，当每月生产数目为1000个时，利润也不会再增加了。 2.洛必达法则的应用 如果当x→a（或x→∞）时，两个函数f（x）与f（x）都趋于零或都趋于无穷大，那么极限lim 可能存在，也可能不存在。通常把这种极限叫做未定式，分别简记为或。对于这类极限，即使它存在也不能用商的极限等于极限的商这一重要法则。下面我们会得出这一类极限的一种简便并且很重要、很实用的方法。 定理1，设： （1）当x→a时函数f（x）及f（x）都趋于零； （2）在点a的某去心领域内，两个函数f（x）与f（x）的导数都存在且f（x）的导数不等于零； （3）当x→a时函数f（x）的导数与函数f（x）的导数比的极限存在（或为无穷大）； 那么lim 的极限存在就等于函数f（x）的导数与函数f（x）的导数比值在x→a时的导数。这种在一定的条件下通过运用分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法就称为洛必达法则。 第三章 微分中值定理与导数的应用 一、判断题 1. 若()f x 定义在[,]a b 上，在(a,b)内可导，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 2. 若()f x 在[,]a b 上连续且()()f a f b =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。 （ ） 3. 若函数()f x 在[,]a b 内可导且lim ()lim ()x a x b f x f x →+→- =，则必存在(a,b)ξ∈使'()0f ξ=。（ ） 4. 若()f x 在[,]a b 内可导，则必存在(a,b)ξ∈，使'()(a)()()f b f f b a ξ-=-。（ ） 5. 因为函数()f x x =在[1,1]-上连续，且(1)(1)f f -=，所以至少存在一点()1,1ξ∈-使 '()0f ξ=。 （ ） 6. 若对任意(,)x a b ∈，都有'()0f x =，则在(,)a b 内()f x 恒为常数。 （ ） 7. 若对任意(,)x a b ∈，都有''()()f x g x =，则在(,)a b 内()()f x g x =。 （ ） 8. arcsin arccos ,[1,1]2 x x x π +=∈-。 （ ） 9. arctan arctan ,(,)2 x x x π += ∈-∞+∞。 （ ） 10. 若()(1)(2)(3)f x x x x x =---，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 11. 若22()(1)(4)f x x x =--，则导函数'()f x 有3个不同的实根。 （ ） 12. ' ' 222(2)lim lim 21(21)x x x x x x →→=-- （ ） 13. 22' 0011lim lim()sin sin x x x x e e x x →→--= （ ） 14. 若'()0f x >则()0f x >。 （ ） 15. 若在(,)a b 内()f x ，()g x 都可导，且''()()f x g x >，则在(,)a b 内必有()()f x g x >。（ ） 16. 函数()arctan f x x x =-在R 上是严格单调递减函数。 （ ） 17. 因为函数()f x x =在0x =处不可导，所以0x =不是()f x 的极值点。 （ ） 18. 函数()f x x =在0x =的领域内有()(0)f x f ≥，所以()f x 在0x =处取得极小值。（ ） 19. 函数sin y x x =-在[0,2]π严格单调增加。 （ ） 20. 函数1x y e x =+-在(,0]-∞严格单调增加。 （ ） 21. 方程32210x x x ++-=在()0,1内只有一个实数根。 （ ） 22. 函数y [0,)+∞严格单调增加。 （ ） 23. 函数y (,0]-∞严格单调减少。 （ ） 24. 若'0()0f x =则0x 必为'0()f x 的极值点。 （ ） 25. 若0x 为()f x 极值点则必有'(0)0f =。 （ ）最新(高等数学)第四章导数的应用
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