数学归纳法练习及解答过程
数学归纳法练习及解答过程Prepared on 21 November 2021第七节数学归纳法知识点数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立．(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．易误提醒运用数学归纳法应注意：(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值．(2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立的过程中，一定要用到归纳假设，否则就不是数学归纳法．[自测练习]1．已知f(n)＝1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2，则( )A．f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13B．f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14C．f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝12＋13D．f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝12＋13＋14解析：从n到n2共有n2－n＋1个数，所以f(n)中共有n2－n＋1项，且f(2)＝12＋13＋14，故选D.答案：D2．(2016·黄山质检)已知n为正偶数，用数学归纳法证明1－12＋13－14＋…＋1n＋1＝2⎝⎛⎭⎪⎫1n＋2＋1n＋4＋…＋12n时，若已假设n＝k(k≥2为偶数)时命题为真，则还需要用归纳假设再证n＝( )时等式成立( )A．k＋1 B．k＋2C．2k＋2 D．2(k＋2)解析：根据数学归纳法的步骤可知，则n＝k(k≥2为偶数)下一个偶数为k ＋2，故选B.答案：B考点一用数学归纳法证明等式|求证：(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·3·5·…·(2n－1)(n ∈N*)．[证明] (1)当n＝1时，等式左边＝2，右边＝21·1＝2，∴等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，等式成立，即(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)＝2k·1·3·5·…·(2k－1)．当n＝k＋1时，左边＝(k＋2)(k＋3)·…·2k·(2k＋1)(2k＋2)＝2·(k＋1)(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(2k＋1)＝2·2k·1·3·5·…·(2k－1)·(2k＋1)＝2k＋1·1·3·5·…·(2k－1)(2k＋1)．这就是说当n＝k＋1时，等式成立．根据(1)，(2)知，对n∈N*，原等式成立．1．用数学归纳法证明下面的等式：12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1nn＋1 2.证明：(1)当n＝1时，左边＝12＝1，右边＝(－1)0·1×1＋12＝1，∴原等式成立．(2)假设n＝k(k∈N*，k≥1)时，等式成立，即有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＝(－1)k－1kk＋1 2.那么，当n＝k＋1时，则有12－22＋32－42＋…＋(－1)k－1·k2＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k－1kk＋12＋(－1)k·(k＋1)2＝(－1)k·k＋12[－k＋2(k＋1)]＝(－1)k k＋1k＋22.∴n＝k＋1时，等式也成立，由(1)(2)知对任意n∈N*，有12－22＋32－42＋…＋(－1)n－1·n2＝(－1)n－1nn＋12.考点二用数学归纳法证明不等式|设数列{a n}各项均为正数，且满足a n＋1＝a n－a2n.求证：对一切n≥2，都有a n≤1n＋2.[证明] ∵数列{a n}各项均为正数，且满足a n＋1＝a n－a2n，∴a2＝a1－a21>0，解得0<a1<1.当n＝2时，a3＝a2－a22＝14－⎝⎛⎭⎪⎫a2－122≤14，不等式成立，假设当n＝k(k≥2)时，不等式成立，即a k≤1k＋2，则当n＝k＋1时，a k＋1＝a k－a2k＝14－⎝⎛⎭⎪⎫ak－122≤14－⎝⎛⎭⎪⎫1k＋2－122＝k＋1k＋22<k＋1k＋1k＋3＝1k＋1＋2，∴当n＝k＋1时，不等式也成立，由数学归纳法知，对一切n≥2，都有a n≤1n＋2.2．数列{a n}满足a n＋1＝an2a n＋1，a1＝1.(1)证明：数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是等差数列；(2)求数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 的前n 项和S n ，并证明：1S 1＋1S 2＋…＋1S n >nn ＋1.解：(1)证明：∵a n ＋1＝a n 2a n ＋1，∴1a n ＋1＝2a n ＋1a n ，化简得1a n ＋1＝2＋1a n，即1a n ＋1－1a n ＝2，故数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1a n 是以1为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知1a n ＝2n －1，∴S n ＝n 1＋2n －12＝n 2.证明：法一：1S 1＋1S 2＋…＋1S n ＝112＋122＋…＋1n 2>11×2＋12×3＋…＋1nn ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n n ＋1. 法二：(数学归纳法)当n ＝1时，1S 1＝1，nn ＋1＝12，不等式成立．假设当n ＝k 时，不等式成立，即1S 1＋1S 2＋…＋1S k >kk ＋1.则当n ＝k ＋1时，1S 1＋1S 2＋…＋1S k ＋1S k ＋1>kk ＋1＋1k ＋12，又k k ＋1＋1k ＋12－k ＋1k ＋2＝1－1k ＋1＋1k ＋12－1＋1k ＋2＝1k ＋2－k k ＋12＝1k ＋2k ＋12>0， ∴1S 1＋1S 2＋…＋1S k ＋1S k ＋1>k ＋1k ＋2， ∴原不等式成立．考点三 归纳—猜想—证明问题|将正整数作如下分组：(1)，(2,3)，(4,5,6)，(7,8,9,10)，(11,12,13,14,15)，(16,17,18,19,20,21)，…，分别计算各组包含的正整数的和如下，试猜测S 1＋S 3＋S 5＋…＋S 2n －1的结果，并用数学归纳法证明．S 1＝1， S 2＝2＋3＝5，S3＝4＋5＋6＝15，S4＝7＋8＋9＋10＝34，S5＝11＋12＋13＋14＋15＝65，S6＝16＋17＋18＋19＋20＋21＝111，…[解] 由题意知，当n＝1时，S1＝1＝14；当n＝2时，S1＋S3＝16＝24；当n＝3时，S1＋S3＋S5＝81＝34；当n＝4时，S1＋S3＋S5＋S7＝256＝44.猜想：S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4.下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，S1＝1＝14，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时等式成立，即S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＝k4，那么，当n＝k＋1时，S1＋S3＋S5＋…＋S2k－1＋S2k＋1＝k4＋[(2k2＋k＋1)＋(2k2＋k＋2)＋…＋(2k2＋k＋2k＋1)]＝k4＋(2k＋1)(2k2＋2k＋1)＝k4＋4k3＋6k2＋4k＋1＝(k＋1)4，这就是说，当n＝k＋1时，等式也成立．根据(1)和(2)，可知对于任意的n∈N*，S1＋S3＋S5＋…＋S2n－1＝n4都成立．3．设a>0，f(x)＝axa＋x，令a1＝1，a n＋1＝f(a n)，n∈N*.(1)写出a2，a3，a4的值，并猜想数列{a n}的通项公式；(2)用数学归纳法证明你的结论．解：(1)∵a1＝1，∴a2＝f(a1)＝f(1)＝a1＋a；a3＝f(a2)＝a2＋a；a4＝f(a3)＝a3＋a.猜想a n＝an－1＋a(n∈N*)．(2)证明：①易知n＝1时，猜想正确．②假设n＝k时猜想正确，即a k＝ak－1＋a，则a k＋1＝f(a k)＝a·aka＋ak＝a·ak－1＋aa＋ak－1＋a＝ak－1＋a＋1＝a[k＋1－1]＋a.这说明，n＝k＋1时猜想正确．由①②知，对于任意的n∈N*，都有a n＝an－1＋a成立.14.数学归纳法在证明不等式中的易误点【典例】设函数f(x)＝x－sin x，数列{a n}满足a n＋1＝f(a n)．(1)若a1＝2，试比较a2与a3的大小；(2)若0<a1<1，求证：对任意n∈N*,0<a n<1恒成立．[解] (1)当a1＝2时，a2＝f(2)＝2－sin 2∈(0,2)，所以sin a2>0，又a3＝f(a2)＝a2－sin a2，所以a3－a2＝－sin a2<0，所以a2>a3.(2)证明：用数学归纳法证明当0<a1<1时，对任意n∈N*,0<a n<1恒成立．①当n＝1时，0<a1<1，结论成立；②假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，0<a k<1，所以sin a k>0，则当n＝k＋1时，a k＋1－a k＝－sin a k<0，所以a k＋1<a k<1.因为f(x)＝x－sin x，当x∈(0,1)时，f′(x)＝1－cos x>0，所以f(x)是(0,1)上的单调递增函数，所以a k＋1＝f(a k)>f(0)＝0，即0<a k＋1<1，故当n＝k＋1时，结论成立．综上可得，当0<a1<1时，对任意n∈N*,0<a n<1恒成立．[易误点评] (1)不会作差比较a2与a3大小，同时忽视了sin 2的值大小．(2)证明n＝k＋1成立时用不归纳做证n＝k成立条件导致失误．[防范措施] (1)用数学归纳证明不等式的关键是由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题成立．(2)在归纳假设使用后，注意最后结论证明方法的选择．[跟踪练习] 若函数f(x)＝x2－2x－3，定义数列{x n}如下：x1＝2，x n＋1是过点P(4,5)，Q n(x n，f(x n))的直线PQ n与x轴的交点的横坐标，试运用数学归纳法证明：2≤x n<x n＋1<3.证明：(1)当n＝1时，x1＝2，f(x1)＝－3，Q1(2，－3)．∴直线PQ1的方程为y＝4x－11，令y＝0，得x2＝114，因此，2≤x1<x2<3，即n＝1时结论成立．(2)假设当n＝k时，结论成立，即2≤x k<x k＋1<3.∴直线PQ k＋1的方程为y－5＝fxk＋1－5xk＋1－4(x－4)．又f(x k＋1)＝x2k＋1－2x k＋1－3，代入上式，令y＝0，得x k＋2＝3＋4x k＋12＋x k＋1＝4－52＋x k＋1，由归纳假设，2<x k＋1<3，x k＋2＝4－52＋x k＋1<4－52＋3＝3；x k＋2－x k＋1＝3－x k＋11＋x k＋12＋x k＋1>0，即x k＋1<x k＋2.所以2≤x k＋1<x k＋2<3，即当n＝k＋1时，结论成立．由(1)，(2)知对任；意的正整数n,2≤x n<x n＋1<3.A组考点能力演练1．用数学归纳法证明：1＋122＋132＋…＋1n2<2－1n(n∈N＋，n≥2)．证明：(1)当n＝2时，1＋122＝54<2－12＝32，命题成立．(2)假设n＝k时命题成立，即1＋122＋132＋…＋1k2<2－1k.当n＝k＋1时，1＋122＋132＋…＋1k2＋1k＋12<2－1k＋1k＋12<2－1k＋1kk＋1＝2－1 k ＋1k－1k＋1＝2－1k＋1命题成立．由(1)，(2)知原不等式在n ∈N ＋，n ≥2时均成立． 2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，通项公式为a n ＝1nf (n )＝⎩⎨⎧S 2n ，n ＝1，S 2n －S n －1，n ≥2，(1)计算f (1)，f (2)，f (3)的值；(2)比较f (n )与1的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 证明：(1)由已知f (1)＝S 2＝1＋12＝32，f (2)＝S 4－S 1＝12＋13＋14＝1312，f (3)＝S 6－S 2＝13＋14＋15＋16＝1920； (2)由(1)知f (1)>1，f (2)>1；下面用数学归纳法证明：当n ≥3时，f (n )<1. ①由(1)知当n ＝3时，f (n )<1；②假设n ＝k (k ≥3)时，f (k )<1，即f (k )＝1k ＋1k ＋1＋…＋12k <1，那么f (k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2－1k <1＋⎝⎛⎭⎪⎫12k ＋1－12k ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＋2－12k ＝1＋2k －2k ＋12k 2k ＋1＋2k －2k ＋22k 2k ＋2＝1－12k 2k ＋1－1k 2k ＋2<1，所以当n ＝k ＋1时，f (n )<1也成立．由①和②知，当n ≥3时，f (n )<1.所以当n ＝1和n ＝2时，f (n )>1；当n ≥3时，f (n )<1.3．(2015·安庆模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a >2，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N *)．(1)求证：对任意n ∈N *，a n >2；(2)判断数列{a n }的单调性，并说明你的理由；(3)设S n 为数列{a n }的前n 项和，求证：当a ＝3时，S n <2n ＋43.解：(1)证明：用数学归纳法证明a n >2(n ∈N *)； ①当n ＝1时，a 1＝a >2，结论成立；②假设n ＝k (k ≥1)时结论成立，即a k >2，则n ＝k ＋1时，a k ＋1＝a k ＋2>2＋2＝2，所以n ＝k ＋1时，结论成立．故由①②及数学归纳法原理，知对一切的n ∈N *，都有a n >2成立． (2){a n }是单调递减的数列．因为a 2n ＋1－a 2n ＝a n ＋2－a 2n ＝－(a n －2)(a n ＋1)，又a n >2， 所以a 2n ＋1－a 2n <0，所以a n ＋1<a n .这说明{a n }是单调递减的数列． (3)证明：由a n ＋1＝a n ＋2，得a 2n ＋1＝a n ＋2，所以a 2n ＋1－4＝a n －2.根据(1)知a n >2(n ∈N *)，所以a n ＋1－2a n －2＝1a n ＋1＋2<14，所以a n ＋1－2<14(a n －2)<⎝ ⎛⎭⎪⎫142·(a n －1－2)<…<⎝ ⎛⎭⎪⎫14n(a 1－2)． 所以，当a ＝3时，a n ＋1－2<⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ，即a n ＋1<⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＋2.当n ＝1时，S 1＝3<2＋43.当n ≥2时，S n ＝3＋a 2＋a 3＋…＋a n <3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14＋2＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋2 ＝3＋2(n －1)＋141－14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1 ＝2n ＋1＋13⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1<2n ＋43.综上，当a ＝3时，S n <2n ＋43(n ∈N *)．。
(完整版)数学归纳法经典例题详解
例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n Λ． 请读者分析下面的证法：证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ． 那么当n =k +1时，有：()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=3211211211217151513131121k k k k Λ 322221321121++⋅=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．正确方法是：当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k Λ ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立，并证明你的结论．分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．⎪⎩⎪⎨⎧=++=+=60322426321211a a a a a a ， 解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．因为起始值已证，可证第二步骤．假设n =k 时，等式成立，即a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)那么当n =k +1时，a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1= k (k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]=(k +1)(k 2+2k +3k +6)=(k +1)(k +2)(k +3)=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．例3．证明不等式n n 2131211<++++Λ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++Λ．那么当n =k +1时，11131211++++++k k Λ1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k Λ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N )能被3整除．分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1=3a 4k +2+2a 4k +1由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．例5．n个半圆的圆心在同一条直线l上，这n个半圆每两个都相交，且都在直线l的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？分析：设这些半圆最多互相分成f (n)段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．当n=2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．当n=3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．由n=4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．由此猜想满足条件的n个半圆互相分成圆弧段有f (n)=n2．用数学归纳法证明如下：①当n=2时，上面已证．②设n=k时，f (k)=k2，那么当n=k+1时，第k+1个半圆与原k个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k+1个半圆把原k个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k条圆弧；另外原k个半圆把第k+1个半圆分成k+1段，这样又多出了k+1段圆弧．∴ f (k+1)=k2+k+(k+1)=k2+2k+1=(k+1)2∴满足条件的k+1个半圆被所有的交点最多分成(k+1)2段圆弧．由①、②可知，满足条件的n个半圆被所有的交点最多分成n2段圆弧．说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f (3)+3+4中发现规律：f (k+1)=f (k)+k+(k+1)．。
(完整版)数学归纳法经典例题及答案(2)
数学归纳法（2016.4.21）一、用数学归纳法证明与正整数有关命题的步骤是：（1）证明当n 取第一个值0n （如01n =或2等）时结论正确；（2）假设当0(N ,)n k k k n *=∈≥ 时结论正确，证明1n k =+时结论也正确． 综合（1）、（2），……注意：数学归纳法使用要点： 两步骤,一结论。
二、题型归纳：题型1.证明代数恒等式例1．用数学归纳法证明：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯n n n n 证明：①n =1时，左边31311=⨯=，右边31121=+=，左边=右边，等式成立． ②假设n =k 时，等式成立，即：()()1212121751531311+=+-++⨯+⨯+⨯k k k k ． 当n =k +1时．()()()()3212112121751531311++++-++⨯+⨯+⨯k k k k ()()3212112++++=k k k k ()()()()()()321211232121322++++=++++=k k k k k k k k ()1121321+++=++=k k k k 这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．题型2.证明不等式例2．证明不等式n n 2131211<++++ (n ∈N)．证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．左边<右边，不等式成立．②假设n =k 时，不等式成立，即k k 2131211<++++．那么当n =k +1时， 11131211++++++k k1112112+++=++<k k k k k ()()12112111+=++=++++<k k k k k k这就是说，当n =k +1时，不等式成立．由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是1211131211+<++++++k k k ，当代入归纳假设后，就是要证明： 12112+<++k k k ．认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．题型3.证明数列问题例3 (x ＋1)n ＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋…＋a n (x －1)n (n ≥2，n ∈N *)．(1)当n ＝5时，求a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5的值．(2)设b n ＝a 22n －3，T n ＝b 2＋b 3＋b 4＋…＋b n .试用数学归纳法证明：当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3. 解： (1)当n ＝5时，原等式变为(x ＋1)5＝a 0＋a 1(x －1)＋a 2(x －1)2＋a 3(x －1)3＋a 4(x －1)4＋a 5(x －1)5令x ＝2得a 0＋a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝35＝243.(2)因为(x ＋1)n ＝[2＋(x －1)]n ，所以a 2＝C n 2·2n －2b n ＝a 22n －3＝2C n 2＝n (n －1)(n ≥2) ①当n ＝2时．左边＝T 2＝b 2＝2，右边＝2(2＋1)(2－1)3＝2，左边＝右边，等式成立． ②假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时，等式成立，即T k ＝k (k ＋1)(k －1)3成立 那么，当n ＝k ＋1时，左边＝T k ＋b k ＋1＝k (k ＋1)(k －1)3＋(k ＋1)[(k ＋1)－1]＝k (k ＋1)(k －1)3＋k (k ＋1) ＝k (k ＋1)⎝⎛⎭⎫k －13＋1＝k (k ＋1)(k ＋2)3 ＝(k ＋1)[(k ＋1)＋1][(k ＋1)－1]3＝右边． 故当n ＝k ＋1时，等式成立．综上①②，当n ≥2时，T n ＝n (n ＋1)(n －1)3.。
数学归纳法经典例题及答案
数学归纳法经典例题及答案数学归纳法是解决数学问题中常用的一种证明方法，它基于两个基本步骤：证明基准情况和证明归纳假设，通过这两个步骤逐步推导证明，从而得到结论。
下面将介绍一些经典的数学归纳法例题及其答案。
例题一：证明1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2，其中n∈N（自然数）。
解答：首先，我们先验证这个等式在n=1时是否成立。
当n=1时，左边等式为1，右边等式为1(1+1)/2=1，两边相等，因此基准情况成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时等式成立，即1+2+3+...+k=k(k+1)/2。
接下来，我们需要证明当n=k+1时等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道1+2+3+...+k=k(k+1)/2，现在我们要证明1+2+3+...+k+(k+1)=(k+1)(k+2)/2。
将左边等式的前k项代入归纳假设得到：(k(k+1)/2)+(k+1)=(k+1)(k/2+1)= (k+1)(k+2)/2。
所以，当n=k+1时，等式也成立。
根据数学归纳法的原理，我们可以得出结论，对于任意的n∈N，都有1+2+3+...+n=n(n+1)/2。
例题二：证明2^n > n，其中n∈N，n>1。
解答：首先，我们验证这个不等式在n=2时是否成立。
当n=2时，左边等式为2^2=4，右边等式为2，显然不等式成立。
其次，我们假设对于任意的k∈N，当n=k时不等式成立，即2^k > k。
接下来，我们需要证明当n=k+1时不等式也成立。
根据归纳假设，我们已经知道2^k > k，现在我们要证明2^(k+1) > k+1。
我们可以将左边等式进行展开得到：2^(k+1) = 2^k * 2。
由归纳假设可知，2^k > k，所以2^(k+1) = 2^k * 2 > k * 2。
我们可以观察到当k>2时，k * 2 > k + 1，当k=2时，k * 2 = k + 1。
2#数学归纳法练习题(含答案)
2# 数学归纳练习题一、填空题1．平面内有n(n≥2)个圆心在同一直线l上的半圆，其中任何两个都相交，且都在直线l的同侧(如图)，则这些半圆被所有的交点最多分成的圆弧的段数为________．2．设n∈N*，则4×6n＋5n＋1除以20的余数为________．3．用数学归纳法证明“1＋2＋3＋…＋n＋…＋3＋2＋1＝n2(n∈N*)”时，从n＝k到n＝k＋1时，该式左边应添加的代数式是________．4．用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有2n>n3”时，验证第一步不等式成立所取的第一个最小值n0应当是______．5．数列{a n}中，已知a1＝2，a n＋1＝a n3a n＋1(n∈N*)，依次计算出a2，a3，a4后，归纳、猜测得出a n的表达式为________．二、解答题1．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋…＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋…＋12n.2．用数学归纳法证明不等式：1n＋1n＋1＋1n＋2＋…＋1n2＞1(n∈N*且n＞1)．2# 答案1．解析：设最多分成的圆弧的段数为f (n )，则由题图容易发现，f (2)＝4＝22，f (3)＝9＝32，f (4)＝16＝42.答案：n 22. 解析：取n ＝1，则4×6n ＋5n ＋1＝24＋25＝49，被20除余数为9.答案：93. 解析：∵当n ＝k ＋1时，左边＝1＋2＋…＋k ＋(k ＋1)＋k ＋…＋2＋1，∴从n ＝k 到n ＝k ＋1时，应添(k ＋1)＋k ＝2k ＋1.答案：2k ＋14. 解析：n ＝1时，21>13，n ＝2,3，…，9时2n <n 3，n ＝10时，210＝1 024>103，∴n 0＝10.答案：105. 解析：a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝219，猜测a n ＝26n －5.答案：a n ＝26n －5解答题1．证明：(1)当n ＝1时，左边＝1－12＝12，右边＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时命题成立，即1－12＋13－14＋…＋12k －1－12kF ＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，那么当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ＋12k ＋1－12k ＋2＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋1＋12k ＋2. 上式表明当n ＝k ＋1时命题也成立．由(1)和(2)知，命题对一切自然数均成立．2. 证明：(1)当n ＝2时，不等式的左边为12＋13＋14＝1312＞1，故n ＝2时表达式成立； (2)假设当n ＝k (k ＞1，k ∈N *)时不等式成立，即1k ＋1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＞1 那么，当n ＝k ＋1时，由k ≥2得1k ＋1＋1k ＋2＋…＋1k 2＋1k 2＋1＋1k 2＋2＋…＋1 k ＋1 2＞1－1k ＋1k 2＋1＋…＋1k 2＋2k ＋1＞1－1k＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤1 k ＋1 2＋1 k ＋1 2＋…＋1 k ＋1 2＝1－1k ＋2k ＋1 k ＋1 2＝1＋k 2－ k ＋1 k ＋1 2 当k ≥2时，k 2－k －1＞0成立，故当n ＝k ＋1时不等式也成立根据(1)和(2)可知，当n ＞1，n ∈N *时不等式都成立．。
数学归纳法
即当n=k+1时等式也成立 时等式也成立 1) + 1][2(k + 1) + 1] = 6
1 2 2 练习：证明： + 2 + ⋯ + n = n (n + 1) 1 4
3 3 3
1 例3已知数列 , 计算S1，S 2 , S 3，S 4， (3n - 2)(3n + 1) 猜想S n 表达式并证明. 过程
用数学归纳法证明： 例1.用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明
1 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n( n + 1) ( n ∈ N + ) 2
用框图表示就是： 验证n=n0时命题 成立 若n=k(k≥n0)时命题成立， 证明n=k+1时命题成立
命题对从n0开始所有的 正整数都成立
用数学归纳法证明： 例1.用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明 1 1 + 2 + 3 + ⋯ + n = n(n + 1) (n ∈ N + ) 2 1
递推依据
6.用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明
首项是a1公差是d的等差数列的通项公式是an=a1+(n-1)d 前n项和的公式是sn=na1+ n ( n − 1 ) d
7.用数学归纳法证明：3 + 23 +…+ n3 = 1 n2 (n +1)2 用数学归纳法证明： 用数学归纳法证明 1
(2).假设 假设n=k时命题成立 即 假设 时命题成立
1 1 1 k + +⋯+ = 1• 2 2 • 3 k • ( k + 1) k + 1
数学归纳法
归纳小结
重点：两个步骤、一个结论；
注意：递推基础不可少，
归纳假设要用到， 结论写明莫忘掉。
D
)
例1：用数学归纳法证明
1 1 4 7 (3n 2) n(3n 1).( n N ) 2 解：（1）当n=1时，左边=右边=1，等式成立
1 (2)假设当n k时等式成立，即 1 4 7 （3k - 2） k（3k - 1） 2 则当n k 1时， 1 4 7 （3k - 2） （ 3 k 1） - 2 1 （ （k 1） 3 k 1） - 1 2
• 练习1．用数学归纳法证明 1＋2＋ …＋(2n ＋ 1) ＝ (n ＋ 1)(2n ＋ 1) 时，在验证 n ＝ 1 成立 时，左边所得的代数式是( ) • A． 1 B．1＋3 • C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 • [答案] C
1 1 1 1 练习 2．用数学归纳法证明 ＋ ＋ ＋…＋ 1· 2 2· 3 3· 4 n(n＋1) n ＝ (n∈N*)，从“n＝k 到 n＝k＋1”时，等式左边需要增 n＋1 添的项是 1 A. k(k＋1) 1 1 B. ＋ k(k＋1) (k＋1)(k＋2) 1 C. k(k＋2) 1 D. (k＋1)(k＋2) (
我们先来看这样一个问题：
an an ,已知a1 1, an1 已知数列 (n 1,2,3,), 1 an
a1
a2 a3 a4
1 1 2 1 3 1 4
猜想其通项公式为 猜想是否正确，如何证明？
1 an n 这个
多米诺骨牌
你认为证明数列的通项公式是 这个猜想与上述多米诺骨牌 游戏有相似性吗？你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗？ 1 通项公式为 an 的证 多米诺骨牌游戏原理 n
数学归纳法一（讲解,练习及答案）
数学归纳法⼀（讲解,练习及答案）数学归纳法（Ⅰ）数学归纳法的定义：⼀般地，证明⼀个与正整数ｎ有关的命题，可按下列步骤进⾏：（1）（归纳奠基）证明当n取第⼀个值n0时，命题成⽴；（2）（归纳递推）假设时，命题成⽴，证明当时，命题也成⽴．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成⽴．其证明的⽅法叫做数学归纳法．说明：1、适⽤范围：常⽤来证明与⾃然数有关的命题．2、归纳奠基与归纳递推这两步缺⼀不可．（1）缺少第⼆步归纳递推致错举例：例如：⼀个数列的通项公式是，容易验证，如果由此作出结论对于任何，都成⽴，那就是错误的，事实上．可见，只有归纳奠基，⽽没有归纳递推得到的结论是靠不住的．（2）缺少第⼀步归纳奠基致错举例：例如：证明等式时，假设n＝k时等式成⽴，即．那么．这就是说当时等式也成⽴．但是当n＝1时，左边＝2，右边＝3，显然等式不成⽴．3、起始值n0不⼀定等于1．4、注意从k到k＋1的跨度，即k到k＋1增加了多少项．例1、⽤数学归纳法证明：n∈N*时，证明：（1）当n＝1时，左边＝＝，右边＝＝＝左边，所以等式成⽴．（2）假设当n＝k（k∈N*）时等式成⽴，即有＋＋…＋＝，则当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＝＋＝＝＝＝所以当n＝k＋1时，等式也成⽴．∴由（1）（2）得等式成⽴．例2、试证：当n为正整数时，能被64整除．证明：（1）当n＝1时，f（1）＝34－8－9＝64，能被64整除．（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，f（k）＝32k＋2－8k－9能被64整除．当n＝k＋1时，f(k＋1)＝32（k＋1）＋2－8（k＋1）－9＝9（32k＋2－8k－9）＋9×8k＋9×9－8（k＋1）－9＝9（32k＋2－8k－9）＋64（k＋1）．即f(k＋1)能被64整除．∴由（1）（2）得所求证成⽴．例3、平⾯内有n个圆，其中每两个圆都交于两点，且⽆三个圆交于⼀点，求证：这n个圆将平⾯分成n2－n＋2个部分．证明：（1）当n＝1时，1个圆将平⾯分成2个部分，显然结论成⽴．（2）假设当n＝k（k∈N*）时，k个圆将平⾯分成k2－k＋2个部分．当n＝k＋1时，第k＋1个圆交前⾯k个圆于2k个点，这2k个点将圆分成2k段，每段将各⾃所在区域⼀分为⼆，于是增加了2k个区域，所以这k＋1个圆将平⾯分成k2－k＋2＋2k个部分，即（k＋1）2－（k＋1）＋2个部分．故n＝k＋1时，结论成⽴．∴由（1），（2）可知所求证成⽴．例4、数列{b n}的通项为，证明：对任意的，不等式成⽴．证明：（1）当n＝1时，左边＝，右边＝＝左边（备注：视频中书写有误），∴结论成⽴．（2）假设当n＝k时，不等式成⽴，即成⽴．当n＝k＋1时，左边所以当n＝k＋1时，不等式也成⽴．∴由①、②可得不等式恒成⽴．练习：⼀、选择题1、设f（n）＝＋＋＋…＋（n∈N*），那么f（n＋1）－f（n）等于（）A．B．C．＋D．－2、凸n边形有f（n）条对⾓线，则凸n＋1边形有对⾓线条数f（n＋1）为（）A．f（n）＋n＋1 B．f（n）＋nC．f（n）＋n－1 D．f（n）＋n－23、⽤数学归纳法证明“（n＋1）（n＋2）·…·（n＋n）＝2n·1·3·…·（2n－1）”，从“k到k＋1”左端需增乘的代数式为（）A．2k＋1 B．2（2k＋1）C．D．4、⽤数学归纳法证明“1＋＋＋…＋＜n（n∈N*，n＞1）”时，由n＝k（k＞1）不等式成⽴，推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是（）A．2k－1B．2k－1C．2k D．2k＋1⼆、填空题5、⽤数学归纳法证明：“＋＋…＋≥1（n∈N*）”时，在验证初始值不等式成⽴时，左边的式⼦应是“__________”.三、解答题6、⽤数学归纳法证明：对任意的n∈N*，1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋．、7、⽤数学归纳法证明（3n＋1）·7n－1（n∈N*）能被9整除．8、⽤数学归纳法证明：1＋＋＋…＋≥（n∈N*）．9、平⾯内有n条直线，其中⽆任何两条平⾏，也⽆任何三条共点，求证：这n条直线把平⾯分割成（n2＋n＋2）块．10、求证：．参考答案：1、D解析：f（n＋1）－f（n）＝＋＋…＋＋＋－（＋＋…＋）＝＋－＝－．2、C解析：由n边形到n＋1边形，增加的对⾓线是增加的⼀个顶点与原n－2个顶点连成的n－2条对⾓线，以及原先的⼀条边成了对⾓线．3、B解析：当n＝1时，显然成⽴．当n＝k时，左边＝（k＋1）（k＋2）·…·（k＋k），当n＝k＋1时，左边＝（k＋1＋1）（k＋1＋2）·…·（k＋1＋k）（k＋1＋k＋1）＝（k＋2）（k＋3）·…·（k＋k）（k＋1＋k）（k＋1＋k＋1）＝（k＋1）（k＋2）·…·（k＋k）＝（k＋1）（k＋2）·…·（k＋k）2（2k＋1）．4、C解析：左边的特点：分母逐渐增加1，末项为；由n＝k，末项为到n＝k＋1，末项为＝，∴应增加的项数为2k．5、＋＋6、（1）当n＝1时，左边＝1－＝＝＝右边，∴等式成⽴．（2）假设当n＝k（k≥1，k∈N*）时，等式成⽴，即1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋．则当n＝k＋1时，1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－＝＋＋…＋＋＋（－）＝＋＋…＋＋＋，即当n＝k＋1时，等式也成⽴，所以由（1）（2）知对任意的n∈N*等式成⽴．7、证明：（1）当n＝1时，4×7－1＝27能被9整除，命题成⽴．（2）假设n＝k （k≥1，k∈N*）时命题成⽴，即（3k＋1）·7k－1能被9整除．当n＝k＋1时，[（3k＋3）＋1]·7k＋1－1＝（3k＋1＋3）·7·7k－1＝7·（3k＋1）·7k－1＋21·7k＝[（3k＋1）·7k－1]＋18k·7k＋6·7k＋21·7k＝[（3k＋1）·7k－1]＋18k·7k＋27·7k，由归纳假设（3k＋1）·7k－1能被9整除，⼜因为18k·7k＋27·7k能被9整除，所以[3（k＋1）＋1] ·7k＋1－1能被9整除，即n＝k＋1时命题成⽴．由（1）（2）知，对所有的正整数n，命题成⽴．9、证明：（1）当n＝1时，1条直线把平⾯分成2块，⼜（12＋1＋2）＝2，命题成⽴．（2）假设n＝k，k≥1时命题成⽴，即k条满⾜题设的直线把平⾯分成（k2＋k＋2）块，那么当n＝k ＋1时，第k＋1条直线被k 条直线分成k＋1段，每段把它们所在的平⾯块⼜分成了2块，因此，增加了k ＋1个平⾯块．所以k＋1条直线把平⾯分成了（k2＋k＋2）＋k＋1＝［（k＋1） 2＋（k＋1）＋2］块，这说明当n＝k＋1时，命题也成⽴．由（1）（2）知，对⼀切n∈N*，命题都成⽴．10、证明：（1）当n＝1时，左边＝，不等式成⽴．（2）假设n＝k时命题成⽴，即，则当n＝k＋1时，＝（）＋＋＞1＋＝1＋．这就是说，当时，不等式成⽴．由（1）（2）知原不等式成⽴．。
数学归纳法复习(例题及解析)
数列的通项以及用归纳法证明不等式例 在1与2之间插入n 个正数n a a a a ,,,,321 ，使这2+n 个数成等比数列；又在1与2之间插入n 个正数n b b b b ,,,,321 ，使这2+n 个数成等差数列．记.,21321n n n n b b b B a a a a A +++== ．求：（1）求数列}{n A 和}{n B 的通项；（2）当7≥n 时，比较n A 与n B 的大小，并证明你的结论．分析：本题考查等差数列，等比数列的知识，以及观察、分析、归纳的能力和数学归纳法．解：（1）2,,,,,,1321n a a a a 成等比数列，,221123121=⨯======∴+--- k n k n n n a a a a a a a a))(())()((121231212a a a a a a a a a a A n n n n n n ---=∴ .22,2)21(n n n n A =∴=⨯= 2,,,,,,1321nb b b b 成等差数列，,3211=+=+∴n b b.232)(1n n b b B n n =+=∴ 所以数列}{n A 的通项22nn A =，数列}{n B 的通项.23n B n =（2）,49,2,23,22222n B A n B A n n n n nn ==∴== 要比较n A 与n B 的大小，只需比较22n n B A 与的大小，也就是比较当7≥n 时，n 2与249n 的大小． 当7=n 时，41110494949,12822=⨯==n n ，知.4922n n > 经验证，9,8==n n 时，均有2492n n >成立，猜想，当7≥n 时有,4922n n >下面用数学归纳法证明：（ⅰ）7=n 时已证2492n n > （ⅱ）假设)7(≥=k k n 时不等式成立，即2492k k >，好么].1)2()1[(49]12)1[(4949222222221--++=-=++=⋅>⋅=+k k k k k k k k k ,)1(49]1)2()1[(49,01)2(,35)2(,722+>--++∴>--≥-∴≥k k k k k k k k k 故21)1(,492+>+k k ．即1+=k n 时不等式也成立． 根据（ⅰ）和（ⅱ）当7≥n 时，2492n n >成立，即.,22n n n n B A B A >∴> 说明：开放题求解要注意观察题目的特点，可以先通过特殊数尝试可能的结果，然后总结归纳出一般规律，利用归纳法证明结论．猜想数列通项、利用归纳法证明不等式例 设数列}{n a 满足,,3,2,1,121 =+-=+n na a a n n n（1）当21=a 时，求432,,a a a ，并由此猜想出n a 的一个通项公式；（2）当31≥a 时，证明对所有的1≥n ，有（ⅰ）;2+≥n a n（ⅱ）.2111111121≤++++++n a a a 分析：本小题主要考查数列和不等式等知识，考查猜想、归纳、推理以及分析问题和解决问题的能力．解：（1）由21=a 得,311212=+-=a a a由,32=a 得,4122223=+--a a a由43=a ，得.5133234=+-=a a a 由此猜想n a 的一个通项公式：).1(1≥+=n n a n（2）（ⅰ）用数学归纳法证明：①当213,11+=≥=a n ，不等式成立．②假设当k n =时不等式成立，即2+≥k a k ，那么，,31)2)(2(1)(1+≥+-++≥+-=+k k k k k a a a k k k 也就是说，当1+=k n 时，.2)1(1=+≥+k a k根据①和②，对于所有1≥n ，有.2+≥n a n（ⅱ）由1)(1+-=+n a a a n n n 及（ⅰ），对2≥k ，有。
课件2 ：2.3 数学归纳法
猜想其通项公式
1
a1
1
1
a2
2
1
an
n
1
a3
3
…
不完全归纳法
归纳法 ：由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法
归纳法分为
完全归纳法
和
不完全归纳法
考察全体对象,得到一
般结论的推理方法
考察部分对象,得到一
般结论的推理方法
结论一定可靠
结论不一定可靠
问题情境二
如何解决不完全归纳法存在的问题呢？
即当 = + 1时等式也成立
由（1）和（2）可知等式对任何 ∈ ∗ 都成立
课堂练习：
1.用数学归纳法证明等式
+ + + ⋯ ( + ) = ( + )( + )时，
当＝时，左边所得项是 1+2+3
；
当＝时，左边所得项是1+2+3+4+5 ；
1−+2
+ + + ⋯ … + ( − ) = ，
当 = + 时：
+ + + ⋯ … + ( − ) + [( + ) − ] = + + = ( + )，
所以当 = + 时等式也成立。
由①和②可知，对n∈∗ ，原等式都成立。
（3）由（1）、（2）得出结论
写明结论
才算完整
用上假设
递推才真
2
+1
2.用数学归纳法证明 , ≠ 1 1 + + +⋯ +
数学归纳法(一)
时猜想成立. ⑴当 n = 1 时猜想成立 .
k (2)若第 块倒下时， (2)若第 k 块倒下时，则 假设当 n k时猜想成立. ⑵假设当 = 时猜想成立.即 ak =2 −1 块也倒下. 相邻的第 k+1 块也倒下. 那么, 那么,当 n = k +1 时 ak+1 = 2ak + 1 传递性) (传递性)
1 1 + 2 +; 1) ( n ∈ N + ) 2
1.要用到归纳假设作为理由. 1.要用到归纳假设作为理由. 要用到归纳假设作为理由 2.看清从 到 ＋ 中间的变化. 2.看清从k到k＋1中间的变化. 看清从
例2.用数学归纳法证明: 2.用数学归纳法证明: 用数学归纳法证明
上面的解答是否正确? 上面的解答是否正确?
不完全归纳法的一个 实例
不完全归纳法, 可以帮助我们发现规律,但不够严密. 不完全归纳法, 可以帮助我们发现规律,但不够严密.
尝试证明
费马(Fermat) 曾经提出一个猜想： 曾经提出一个猜想： 费马
2n+1(n=0,1,2…)的数都是质数 形如F 形如 n＝2 的数都是质数
2 2 3 1 k =右边 右边, 右边 = 1− = k+2 ( k + 1) + 1
1 − ) k +1 k + 2
命题也成立. 即n=k+1时,命题也成立 时 命题也成立 对一切自然数,命题均正确 由(1)(2)知,对一切自然数 命题均正确 知 对一切自然数 命题均正确.
1 1 研究等式：+ 2 + 3 + L + n = n( n + 1) + 1 是否成立 2 因为⑴ 时等式成立， 因为⑴假设当 n = k 时等式成立， 1 即1 + 2 + 3 + L + k = k ( k + 1) + 1 2 那么， 左边= 那么，当 n = k + 1 时，左边= 1 + 2 + 3 + L + k + ( k + 1) 1 1 = k ( k + 1) + 1 + ( k + 1) = ( k + 1)( k + 2) + 1 2 2 时等式也成立. 即当 n = k + 1 时等式也成立. 故原等式对任意 成立. ⑵故原等式对任意 n ∈ N * 成立. 所以上面等式对 成立. 所以上面等式对 一切正整数都成立.