计算机算法设计与分析第5章 回溯算法PPT课件
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回溯法_ppt课件
//h(i)表示在当前扩展节点处x[t]的第i个可选值
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
实 现 递 归
} }
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --;
if (Constraint(t) &&Bound(t) ) { if (Solution(t)) Output(x); else t ++; } else t --; 分析：
算法设计与分析 >回溯法
5、回溯法解题步骤: 1).针对所给问题,定义问题的解空间 2).确定解空间结构. 3).以深度优先方式搜索解空间.
算法模式 Procedure BACKTRACK(n)； {k:=l； repeat if TK (x1,x2,...xK-1 )中的值未取遍 then { xK:＝TK (x1，x2，..., x K-1 )中未取过的一个值； if BK (x1, x2, ..., x K) then //状态结点(x1,...xk)被激活 if k＝n then output(x1, x2, ..., xk) //输出度优先 e1se k:＝k-l； //回溯 until k＝0； end；{BACKTRACK}
if (Constraint(t)&&Bound(t) ) Backtrack(t + 1)； if语句含义：Constraint(t)和Bound(t)表示当前扩展 节点处的约束函数和限界函数。 Constraint(t): 返回值为true时，在当前扩展节点处 x[1:t]的取值问题的约束条件，否则不满足问题的约束条 件，可剪去相应的子树 Bound(t): 返回的值为true时，在当前扩展节点处 x[1：t]的取值为时目标函数越界，还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索。否则，当前扩展节点处 x[1：t]的取值是目标函数越界，可剪去相应的子树 for循环作用：搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。 递归出口：Backtrack(t)执行完毕，返回t-1层继续 执行，对还没有测试过的x[t-1]的值继续搜索。当t=1时， 若以测试完x[1]的所有可选值，外层调用就全部结束。
第5章回溯法PPT课件
二、回溯的一般描述
一旦某个j元组（x1，x2，…，xj）违反D中仅涉及 x1，x2，…，xj 的一个约束，就可以肯定，以（x1， x2，…，xj）为前缀的任何n元组
（x1，x2，…，xj，xj+1，…，xn）都不会是问题P 的解。
三、回溯的一般步骤
回溯法正是针对这类问题，利用这类问题的 上述性质而提出来的比枚举法效率更高的算 法。
由于这是第一次用计算机证明数学定理，所以哈肯 和阿佩尔的工作，不仅是解决了一个难题，而且从 根本上拓展了人们对“证明”的理解，引发了数学 家从数学及哲学方面对“证明”的思考。
实例—n皇后问题
在一个n×n的棋盘上放置n个国际象棋中 的皇后，要求所有的皇后之间都不形成攻 击。请你给出所有可能的排布方案数。
n
4
5
6
7
8
总数
2
10
4
40
92
n皇后问题
对于n皇后问题而言，我们很难找出很合适的方法 来快速的得到解，因此，我们只能采取最基本的枚 举法来求解。
但我们知道，在n×n的棋盘上放置n个棋子的所有
回溯算法（一）
什么是回溯
入口回溯
▪迷宫游戏
回溯
➢什么是回溯法
回溯
▪回溯法是一个既带
有系统性又带有跳跃
性的的搜索算法
回溯
▪回溯法是以深度优先的方式系统地搜索问题 出口 的解, 它适用于解一些组合数较大的问题。
回溯(Trackback)是什么？
为什么回溯？
怎样回溯？
What
Why
How
一、回溯的概念
解问题P的最朴素的方法就是枚举法，即对E 中的所有n元组逐一地检测其是否满足D的全 部约束，显然，其计算量是相当大的。
回溯PPT课件
第 5 章 回溯
➢教学要求
➢ 了解回溯算法的概念与回溯设计要领 ➢ 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、
数码串珠以及情侣拍照等典型案例
➢本章重点
➢ 理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Backtracking method）有“通用解题法”之 美称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
void iterativeBacktrack () {
int t=1; while (t>0) {
if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} }
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结 点之前，它一直是扩展结点
回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法8
子集树与排列树
从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。
➢教学要求
➢ 了解回溯算法的概念与回溯设计要领 ➢ 掌握应用回溯算法求解桥本分数式、素数环、
数码串珠以及情侣拍照等典型案例
➢本章重点
➢ 理解回溯法 “向前走，碰壁回头”的实现
5.1 回溯概述
1. 回溯的概念
(1) 回溯法（Backtracking method）有“通用解题法”之 美称，是一种比枚举“聪明”的效率更高的搜索技术。
void iterativeBacktrack () {
int t=1; while (t>0) {
if (f(n,t)<=g(n,t)) for (int i=f(n,t);i<=g(n,t);i++) { x[t]=h(i); if (constraint(t)&&bound(t)) { if (solution(t)) output(x); else t++;} }
宽度优先的问题状态生成法：在一个扩展结点变成死结 点之前，它一直是扩展结点
回溯法：为了避免生成那些不可能产生最佳解的问题状 态，要不断地利用限界函数(bounding function)来处 死那些实际上不可能产生所需解的活结点，以减少问题 的计算量。具有限界函数的深度优先生成法称为回溯法8
子集树与排列树
从解的角度理解，回溯法将问题的候选解按某种顺序进行枚举和 检验。当发现当前候选解不可能是解时，就选择下一个候选解。 在回溯法中，放弃当前候选解，寻找下一个候选解的过程称为回 溯。若当前候选解除了不满足问题规模要求外，满足所有其他要 求时，继续扩大当前候选解的规模，并继续试探。如果当前候选 解满足包括问题规模在内的所有要求时，该候选解就是问题的一 个解。
回溯法ppt课件
1
x1=2
1
3
4
x2=4 123
1
23 4 1 2 3 4
x3=1
2
4
1 23 4
1 2 x4=3 1
3
3 1
4 2
36
例1： n后问题
法2：4后问题的解空间（排历排列树需要O(n!)计算时间 void backtrack (int i) { if (i>n) output(x);
2
2 34
64
5 10
3 42 4 2 3
3
4
20
4
34
23
2
当起点1固定时，上图有3!个周游路线（排列问题）
16
回溯法的基本思想
回溯法
回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜 索，以达到目标。
但当探索到某一步时，发现原先选择并不优或 达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不 通就退回再走的技术为回溯法，而满足回溯条 件的某个状态的点称为“回溯点”。
个数的组合。
12 5
要求： 输入：m,n＝5 3 输出：
13 4 13 5 14 5 23 4
23 5
24 5
34 5
Total＝10种
24
例： 排列与组合
分析：
设（x1,x2, ……,xn）一组解 约束条件：
显约束：1≤xi≤m 隐约束：x1＜x2＜ ……＜xn
i≤ xi ≤m－n＋i
通常情况下：|S1|＝n，|S2|＝n－1，…，|Sn|＝1， 解空间为：
（1，2，3，……，n－1，n） （2，1，3，……，n－1，n）
…… （n，n－1，……，3，2，1）
算法设计与分析课件--回溯法-图的m着色问题
4
5
C
C
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
X3=3
D
9
5.6 图的m着色问题
GCP示例
1
A
AA
A
A X1=1
2
3
X1=1
X1=1 X1=1
B
B
B
B X2=2
4
5
X2=2
C
X2=2
C
C X3=3
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
7
5.6 图的m着色问题
GCP示例
1
AA
A
2
3
X1=1
X1=1
B
B
X2=2
4
5
C
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
8
5.6 图的m着色问题
GCP示例
1
AA
A
A
2
3
X1=1
X1=1 X1=1
B
B
B
X2=2 X2=2
A
X1=1
2
3
B
X2=2 X2=3
4
5
C
X3=3
G
X3=2
n=5, m=3的GCP： 解形式(x1,x2, x3, x4, x5) xi =1(红色), 2(绿色), 3(蓝色)
D
X4=1
E
X5=3
F
H
X4=1
[计算机软件及应用]第5章算法分析回溯法ppt课件
![[计算机软件及应用]第5章算法分析回溯法ppt课件](https://img.taocdn.com/s3/m/5be895db43323968001c920d.png)
• template<typename Type>
• void Loading<Type>::Backtrack(int i) //搜索第i层结点
•{
Байду номын сангаас
• if(i>n) //到达叶结点
•{
•
if(cw>bestw)
•
bestw=cw;
•
return;
•}
• if(cw+w[i]<=c) //进入左子树，x[i]=1
•{
•
cw+=w[i];
•
Backtrack(i+1); //继续搜索下一层
•
cw-=w[i]; //退出左子树
•}
• Backtrack(i+1); //进入右子树，x[i]=0
•}
template<typename Type> Type MaxLoading(Type w[],Type c,int n) //前往最优载分
A
1
0
B
1
0
C
1
0
D
1
0
E
1
0
F
1
0
G
1
0
H
I
J
K
L
M
N
O
• template<typename Type> • class Loading •{ • template<typename T> • friend T MaxLoading(T [],T,int);
• private: • void Backtrack(int i); • int n; //集装箱数 • Type *w; //集装箱分量数组 • Type c; //第1艘轮船的载分量 • Type cw; //当前载分量 • Type bestw; //当前最优载分量 • };
算法分析与设计回溯法ppt课件
上图显示了在4-皇后问题中求上述一个解的树的实际生成 部分。结点按它们生成的次序被编号。由限界函数所杀死 的结点则在其下方写上B。
回溯法的算法
算法的三个步骤：
针对所给问题，定义问题的解空间；
应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的 解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个 （最优）解。
确定易于搜索的解空间结构； 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜
索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
回溯算法的形式描述
假设回溯算法要找出所有的答案结点而不是仅 仅只找出一个。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一个 结点(问题状态)的路径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述所有结点的xi的集合， 它使得对于每一个xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi的路径 ③ 存在一些限界函数Bi(可以表示成一些谓词)， 如果路径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一个答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，否则取真值。
问题求解的方法
硬性处理法
列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
避免对很大的候选解集合进行完全检查 大大减少问题的求解时间 通常用来求解规模较大的问题
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法的算法
算法的三个步骤：
针对所给问题，定义问题的解空间；
应用回溯法解问题时，首先应明确定义问题的 解空间。问题的解空间应至少包含问题的一个 （最优）解。
确定易于搜索的解空间结构； 以深度优先的方式搜索解空间，并且在搜
索过程中用剪枝函数避免无效搜索；
回溯算法的形式描述
假设回溯算法要找出所有的答案结点而不是仅 仅只找出一个。 ① 设(x1,x2,…,xi-1)是状态空间树中由根到一个 结点(问题状态)的路径。 ② T(x1,x2,…,xi-1)是下述所有结点的xi的集合， 它使得对于每一个xi, (x1,x2,…,xi)是一条由 根到结点xi的路径 ③ 存在一些限界函数Bi(可以表示成一些谓词)， 如果路径(x1,x2,…,xi)不可能延伸到一个答案 结点，则Bi(x1,x2,…,xi)取假值，否则取真值。
问题求解的方法
硬性处理法
列出所有候选解，逐个检查是否为所需要的解 理论上，候选解数量有限，并且通过检查所有或部分
候选解能够得到所需解时，上述方法可行
实际中则很少使用，因为候选解的数量通常都非常大 （比如指数级，甚至是大数阶乘），即便采用最快的 计算机也只能解决规模较小的问题。
回溯或分枝限界法
避免对很大的候选解集合进行完全检查 大大减少问题的求解时间 通常用来求解规模较大的问题
回溯法求解的经典问题（1） 8-皇后问题
在一个8*8棋盘上放置8个皇后，且使得每两个 之间都不能互相“攻击”，也就是使得每两个 都不能在同一行、同一列及同一条斜角线上。
8皇后问题的解可以表示为8-元组(x1,…,x8) ， 其中其中xi是第i行皇后所在的列号。
回溯法 ppt课件
回溯法举例：
[旅行商问题] 在这个问题中 ，给出一个n 顶点网络（有向 或无向） ，要求找出一个包含所有n 个顶点的具有最小耗 费的环路 。任何一个包含网络中所有n 个顶点的环路被称 作一个旅行（t o u r ）。在旅行商问题中 ，要设法找到一 条最小耗费的旅行。 [分析]图给出了一个四顶点网络 。在这个网络中 ，一些旅
Bound(t) : 返回的值为true时 ， 在当前扩展节点处 x[1： t]的取值为时 目标函数越界 ， 还需由Backtrack(t+1) 对其相应的子树做进一步搜索 。否则 ， 当前扩展节点处 x[1： t]的取值是目标函数越界 ，可剪去相应的子树
for循环作用： 搜索遍当前扩展的所有未搜索过的 子树。
si+1均不满足约束条件,则去掉xi , 回溯到(x 1 , x 2 , … xi-1), 添加尚 未考虑过的xi , 如此反复进行,直到(x1 , x2 , … xk) k n满足所有的 约束条件或证明无解.
E= { (x1 , x2 , … xn), xi si , si为有限集 }称为问题的解空间.
5. 1 回溯法基本思想
穷举法技术建议我们先生成所有的候选解 ， 然后找出那个 具有需要特性的元素
1 、 回溯法主要思想是每次只构造解的一个分量 ，然后按照 鲜明的方法来评估这个部分构造解 。如果一个部分构造解可以进一 步构造而不会违反问题的约束 ， 我们就接受对下一个分量所作的第 一个合法选择 。如果无法对下一个分量进行合法的选择 ， 就不对剩 下的任何分量再做任何选择了 。在这种情况下 ，该算法进行回溯 ， 把部分构造解的最后一个分量替换为它的下一个选择。
算法模式 Procedure BACKTRACK (n)； {k := l；
算法设计与分析》-回溯ppt课件
电路板陈列问题
其中两个能够的陈列如下图，那么该 电路板陈列的密度分别是2，3
左以下图中，跨越插槽2和3,4和5，以及 插槽5和6的连线数均为2。插槽6和7之间 无跨越连线。其他插槽之间只需1条跨越 连线。
算法分析
电路板陈列问题是NP难问题，因此
NP难 问题
不大能够找到解此问题的多项式时间
算法。思索采用回溯法系统的搜索问
陈列树 解空间大小: n!
满足约束条件的解，解 空间中的一个子集
可行解
最优解
使目的函数取极值〔极 大或极小〕的可行解， 一个或少数几个
可行解和 最优解
当前扩展结点成为死结点时，应往回挪动〔回溯〕至最近的 一个活结点处，并使这个活结点成为当前的扩展结点
所搜索到的结 点不是叶结点， 且满足约束条 件和目的函数 的界，其儿子 结点还未全部 搜索终了
now[j]>0且now[j]！=total[j]。用
这个条件来计算插槽i和i+1间的连线
密度。
算法效率
在解空间陈列树的每个节点处，算法 Backtrack破费O(m)计算时间为每个儿 子节点计算密度。因此计算密度所耗费 的总计算时间为O(mn!)。另外，生成陈 列树需求O(n!)时间。每次更新当前最优 解至少使bestd减少1，而算法运转终了 时bestd>=0。因此最优解被更新的额次 数为O(m)。更新最优解需求O(mn)时间 。综上，解电路板陈列问题的回溯算法 Backtrack所需求的计算时间为O(mn!)
树的搜索， 否那么，进 逐层向其祖 入该子树， 先结点回溯 继续按深度
优先战略搜
4索
5
搜索方式
内留意：这棵解空间 树不是遍历前预先建 立的，而是隐含在遍 历过程中。 容
第5章 回溯法ppt课件
2x3=2
x3=4 x3=2 x3=3
3
5
x4=4 x4=3
8 x4=4
10 13 15 x4=2 x4=3 x4=2
4
6
9
11 14 16
迷宫问题
演示
5.1 回溯法的算法框架
问题的解空间〔1）
1. 解向量：问题的解用向量表示
(x1, x2, …, xk) 模。 2. 约束条件
子树； 5. (2)限界函数：某个函数表达式或关系式。 6. 不真时，用于剪去得不到最优解的子树。 7. 回溯法：具有限界函数的深度优先搜索方法
回溯法的基本思想
1. 以深度优先方式搜索解空间。 2. 开始时，根结点为活结点，也是当前的扩展结点。 3. 对扩展结点，寻找儿子结点： 4. 如找到新结点，新结点成为活结点并成为扩展
子集树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
for (int i=0;i<=1;i++) { x[t]=i; if (legal(t)) //若合法 backtrack(t+1);
} }
排列树 void backtrack (int t){
if (t>n) output(x); else
1装载问题2批处理作业调度3n后问题401背包问题5最大团问题6图的m着色问题7旅行售货员问题n皇后问题国际象棋中的皇后在横向直向和斜向都能走步和吃子问在nn格的棋盘上如何摆上n个皇后而使她们都不能相互吃掉
第5章 回溯法
上海大学计算机学院
学习要点与要求
• 掌握与理解回溯法的DFS搜索策略与方法
• （1〕掌握递归回溯
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
注意：同一个问题可以有多种表示，有些 表示方法更简单，所需表示的状态空间更 小（存储量少，搜索方法简单）。
22.09.2020
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5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
22.09.2020
2
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
22.09.2020
3
提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
22.09.2020
13
5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
第五章 回溯算法 Backtrack Algorithm
理学院
学习要点
• 理解回溯法的深度优先搜索策略。 • 掌握用回溯法解题的算法框架 • （1）递归回溯 • （2）迭代回溯 • （3）子集树算法框架 • （4）排列树算法框架
22.09.2020
14
•问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示 成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。 •显约束：对分量xi的取值限定。 •隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的 约束。 •解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约 束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
{ ( ), (1), (2), (3), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3) }
（2）可能解由一个等长向量{x1, x2, …, xn}组成，其中 xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包，xi=0表示物品i没有装 入背包，当n=3时，其解空间是：
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
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迷宫游戏
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8
例：迷宫游戏
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例：N后问题
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引言
有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回 答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往 往要使用回溯法。
回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井 井有条的、能避免不必要搜索的穷举式搜索法。 这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。
回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略， 从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空 间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问 题的解：如果肯定不包含，则跳过对该结点为 根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否 则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
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5.1 回溯法的算法框架
灵奖
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搜索与回溯是计算机解题中常用的算法， 很多问题无法根据某种确定的计算法则来 求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。 回溯是搜索算法中的一种控制策略。它的 基本思想是：为了求得问题的解，先选择 某一种可能情况向前探索，在探索过程中， 一旦发现原来的选择是错误的，就退回一 步重新选择，继续向前探索，如此反复进 行，直至得到解或证明无解。
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深度优先搜索算法
深度优先搜索算法（Depth-First-Search）， 是搜索算法的一种。是沿着树的深度遍历树 的节点，尽可能深的搜索树的分支，如果发
现目标，则算法中止，属于盲目搜索。
深度优先搜索是图论中的经典算法，利用深 度优先搜索算法可以产生目标图的相应拓扑 排序表，利用拓扑排序表可以方便的解决很 多相关的图论问题，如最大路径问题等等。
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同时深度优先搜索算法的时间复杂度不高（为 线性时间复杂度），遍历图的效率往往非常高。 因此，鉴于深度优先搜索算法的强大功能以及 高效性往往被研究图论问题的专家所推崇，他 们常建议在遇到未知性质的图时，先对图进行
深度优先遍历，以了解未知图的性质。
因发明“深度优先搜索算法”，霍普克洛夫 特与陶尔扬共同获得计算机领域的最高奖：图
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5.1.1 问题的解空间 1.背包问题
对于n=3的0/1背包问题，其解空间树如下图所示， 树中的8个叶子结点分别代表该问题的8个可能 解。
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对物品1的选择
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对物品2的选择
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对物品3的选择
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问题的解空间一般用解空间树（Solution Space Trees,也称状态空间树）的方式组织，树的根结 点位于第1层，表示搜索的初始状态，第2层的结 点表示对解向量的第一个分量做出选择后到达 的状态，第1层到第2层的边上标出对第一个分量 选择的结果，依此类推，从树的根结点到叶子 结点的路径就构成了解空间的一个可能解。
本节介绍回溯法算法框架的有关问题：
一、问题的解空间 二、回溯法的基本思想 三、递归回溯 四、迭代回溯 五、子集树与排列树
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1构成了问题的解空间，解空 间也就是进行穷举的搜索空间。
确定正确的解空间很重要！
例如：桌子上有6根火柴棒，要求以这6根火柴棒为边搭建4 个等边三角形。
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5.1.1 问题的解空间
为了用回溯法求解一个具有n个输入的问题，一 般情况下，将其可能解表示为满足某个约束条 件的等长向量X=(x1, x2, …, xn)，其中分量xi (1≤i≤n) 的取值范围是某个有限集合Si={ai1, ai2, …, airi}， 所有可能的解向量构成了问题的解空间。
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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提纲
一、回溯法的算法框架 二、装载问题 三、n后问题 四、0-1背包问题 五、最大团问题 六、图的m着色问题 七、旅行售货员问题
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2 旅行售货员问题
问题描述：某售货员 要到若干城市去推销 商品，一直各城市之 间的路程，他要选定 一条从驻地出发，经 过每个城市一遍，最 后回到住地的路线， 使总的路程最短。
(a) 二维搜索空间无解
(b) 三维搜索空间的解
错误的解空间将不能搜索到正确答案！
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5.1.1 问题的解空间
对于任何一个问题，可能解的表示方式和它相应的 解释隐含了解空间及其大小。
例如，对于有n个物品的0/1背包问题，其可能解的 表示方式可以有以下两种：
（1）可能解由一个不等长向量组成，当物品i(1≤i≤n)装入 背包时，解向量中包含分量i，否则，解向量中不包含分 量i，当n=3时，其解空间是：
计算机算法设计与分析
Design and Analysis of Computer Algorithms
第五章 回溯算法 Backtrack Algorithm
理学院
学习要点
• 理解回溯法的深度优先搜索策略。 • 掌握用回溯法解题的算法框架 • （1）递归回溯 • （2）迭代回溯 • （3）子集树算法框架 • （4）排列树算法框架
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•问题的解向量：回溯法希望一个问题的解能够表示 成一个n元式(x1,x2,…,xn)的形式。 •显约束：对分量xi的取值限定。 •隐约束：为满足问题的解而对不同分量之间施加的 约束。 •解空间：对于问题的一个实例，解向量满足显式约 束条件的所有多元组，构成了该实例的一个解空间。
{ ( ), (1), (2), (3), (1, 2), (1, 3), (2, 3), (1, 2, 3) }
（2）可能解由一个等长向量{x1, x2, …, xn}组成，其中 xi=1(1≤i≤n)表示物品i装入背包，xi=0表示物品i没有装 入背包，当n=3时，其解空间是：
{(0, 0, 0), (0, 0, 1), (0, 1, 0), (1, 0, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1), (1, 1, 0), (1, 1, 1) }
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迷宫游戏
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例：迷宫游戏
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例：N后问题
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引言
有许多问题，当需要找出它的解集或者要求回 答什么解是满足某些约束条件的最佳解时，往 往要使用回溯法。
回溯法的基本做法是搜索，或是一种组织得井 井有条的、能避免不必要搜索的穷举式搜索法。 这种方法适用于解一些组合数相当大的问题。
回溯法在问题的解空间树中，按深度优先策略， 从根结点出发搜索解空间树。算法搜索至解空 间树的任意一点时，先判断该结点是否包含问 题的解：如果肯定不包含，则跳过对该结点为 根的子树的搜索，逐层向其祖先结点回溯；否 则，进入该子树，继续按深度优先策略搜索。
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5.1 回溯法的算法框架
灵奖
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搜索与回溯是计算机解题中常用的算法， 很多问题无法根据某种确定的计算法则来 求解，可以利用搜索与回溯的技术求解。 回溯是搜索算法中的一种控制策略。它的 基本思想是：为了求得问题的解，先选择 某一种可能情况向前探索，在探索过程中， 一旦发现原来的选择是错误的，就退回一 步重新选择，继续向前探索，如此反复进 行，直至得到解或证明无解。
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深度优先搜索算法
深度优先搜索算法（Depth-First-Search）， 是搜索算法的一种。是沿着树的深度遍历树 的节点，尽可能深的搜索树的分支，如果发
现目标，则算法中止，属于盲目搜索。
深度优先搜索是图论中的经典算法，利用深 度优先搜索算法可以产生目标图的相应拓扑 排序表，利用拓扑排序表可以方便的解决很 多相关的图论问题，如最大路径问题等等。
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同时深度优先搜索算法的时间复杂度不高（为 线性时间复杂度），遍历图的效率往往非常高。 因此，鉴于深度优先搜索算法的强大功能以及 高效性往往被研究图论问题的专家所推崇，他 们常建议在遇到未知性质的图时，先对图进行
深度优先遍历，以了解未知图的性质。
因发明“深度优先搜索算法”，霍普克洛夫 特与陶尔扬共同获得计算机领域的最高奖：图
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5.1.1 问题的解空间 1.背包问题
对于n=3的0/1背包问题，其解空间树如下图所示， 树中的8个叶子结点分别代表该问题的8个可能 解。
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对物品1的选择
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对物品2的选择
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对物品3的选择
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问题的解空间一般用解空间树（Solution Space Trees,也称状态空间树）的方式组织，树的根结 点位于第1层，表示搜索的初始状态，第2层的结 点表示对解向量的第一个分量做出选择后到达 的状态，第1层到第2层的边上标出对第一个分量 选择的结果，依此类推，从树的根结点到叶子 结点的路径就构成了解空间的一个可能解。
本节介绍回溯法算法框架的有关问题：
一、问题的解空间 二、回溯法的基本思想 三、递归回溯 四、迭代回溯 五、子集树与排列树
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1构成了问题的解空间，解空 间也就是进行穷举的搜索空间。
确定正确的解空间很重要！
例如：桌子上有6根火柴棒，要求以这6根火柴棒为边搭建4 个等边三角形。