高中数学北师大版必修5 第一章1.2 数列的函数特性 作业2 Word版含解析

, [学生用书单独成册])[A.基础达标]1．已知a n ＋1－a n －3＝0，则数列{a n }是( ) A ．递增数列 B ．递减数列 C ．常数列 D ．不能确定解析：选A.因为a n ＋1－a n ＝3>0，故数列{a n }是递增数列．2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝nn ＋1，则这个数列是( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．摆动数列解析：选A.因为a n ＋1－a n ＝n ＋1n ＋2－n n ＋1＝（n ＋1）2－n （n ＋2）（n ＋1）（n ＋2）＝1（n ＋1）（n ＋2）>0.故选A.3．数列{a n }中，a n ＝－2n 2＋29n ＋3，则此数列最大项的值是( )A ．109B ．10818C ．108D ．107解析：选C.a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n 2－292n )＋3＝－2·(n －294)2＋3＋2928，当n ＝7时，a n 最大且等于108，故选C.4．已知数列{a n }满足a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，则数列{a n }为( )A ．递增数列B ．递减数列C ．常数列D ．以上都有可能解析：选D.若a 1>0，则a n ＜a n －1(n ≥2)，{a n }为递减数列；若a 1＝0，则a n ＝0(n ∈N ＋)，{a n }为常数列；若a 1＜0，则a n ＞a n －1(n ≥2)，{a n }为递增数列，故选D.5．已知数列{a n }的通项公式是a n ＝n －1n ＋1，则a n 与a n ＋1间的大小关系是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．不能确定解析：选B.因为a n ＋1－a n ＝nn ＋2－n －1n ＋1＝ n （n ＋1）－（n －1）（n ＋2）（n ＋2）（n ＋1）＝n 2＋n －（n 2＋n －2）（n ＋2）（n ＋1）＝2（n ＋2）（n ＋1）>0，所以a n <a n ＋1，选B. 6．已知下列数列：①2 010，2 014，2 018，2 022；②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，（－1）n －1·n 2n －1，…；⑤6，6，6，6，6，6.其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是______，递减数列是______，常数列是________，摆动数列是______．(将符合条件的数列的序号填在横线上)解析：①是有穷递增数列； ②是无穷递增数列； ③是无穷递减数列；④是摆动数列，也是无穷数列；⑤是常数列，也是有穷数列．答案：①⑤ ②③④ ①② ③ ⑤ ④7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n 2－4n －12(n ∈N ＋)，则这个数列从第________项起各项为正数．解析：令a n ＝n 2－4n －12>0，解得n >6或n <－2(舍去)．故从第7项起各项为正数． 答案：78．已知数列{a n }为单调递增数列，通项公式为a n ＝n ＋λn ，则λ的取值范围是________．解析：由于数列{a n }为单调递增数列，a n ＝n ＋λn ，所以a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)＋λn ＋1]－(n ＋λn )＝1－λn （n ＋1）＞0，即λ＜n (n ＋1)(n ∈N ＋)，所以λ＜2. 答案：(－∞，2)9．已知函数f (x )＝x －x 2＋1，数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N ＋)，试判断数列{a n }的增减性．解：因为a n ＋1－a n ＝(n ＋1)－（n ＋1）2＋1－(n －n 2＋1)＝1－[（n ＋1）2＋1－n 2＋1]＝1－2n ＋1（n ＋1）2＋1＋n 2＋1＞1－2n ＋1（n ＋1）＋n ＝0，所以a n ＋1＞a n .所以数列{a n }是递增数列．10．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4， (1)数列中有多少项为负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求此最小值．解：(1)由n 2－5n ＋4<0得1<n <4，n ∈N ＋， 所以n ＝2或3.所以数列中有2项为负数．(2)因为a n ＝n 2－5n ＋4＝⎝⎛⎭⎫n －522－94，又因为n ∈N ＋，所以n ＝2或3时，a n 有最小值－2.[B.能力提升]1．一给定函数y ＝f (x )的图像在下列各图中，并且对任意a n ∈(0，1)，由关系式a n ＋1＝f (a n )得到的数列{a n }满足a n ＋1>a n (n ∈N ＋)，则该函数的图像是()解析：选A.由a n ＋1＝f (a n )，a n ＋1>a n 知f (a n )>a n .可以知道x ∈(0，1)时f (x )>x ，即f (x )的图像在y ＝x 图像的上方，由选项中所给的图像可以看出，A 符合条件．2．已知数列{a n }的通项公式a n ＝anbn ＋1(a ，b 为正常数)，那么a n 与a n ＋1的关系是( )A ．a n >a n ＋1B ．a n <a n ＋1C ．a n ＝a n ＋1D ．以上都不对解析：选B.考虑函数y ＝axbx ＋1＝a b （bx ＋1）－a b bx ＋1＝ab ＋－a b bx ＋1＝a b ＋－a b 2x ＋1b ， 其图像可由y ＝－a b 2x 先向左平移1b 个单位长度，再向上平移ab个单位长度得到，如图．由图像不难得知y ＝ax bx ＋1在[1，＋∞)上单调递增，所以a n ＝anbn ＋1的值随n 的变大而变大．所以数列{a n }是递增数列，即a n <a n ＋1，故选B.3．已知数列{a n }的通项公式a n ＝n －96n －98，n ∈N ＋，则数列{a n }的最大项为________，最小项为________．解析：将数列{a n }的通项公式变形为a n ＝1＋98－96n －98，考察函数f (x )＝1＋98－96x －98，画出图像(图略)，数列{a n }的图像即为曲线上横坐标为正整数的孤立的点，易知n ＝10时，a n 取得最大值，为10－9610－98；n ＝9时，a n 取得最小值，为9－969－98.所以，数列{a n }中最大项为a 10＝10－9610－98，最小项为a 9＝9－969－98.答案：10－9610－98 9－969－984．已知通项公式为a n ＝(m 2－2m )(n 3－2n )的数列是递减数列，则实数m 的取值范围为____________．解析：因为数列{a n }为递减数列，所以a n ＋1<a n .所以a n ＋1－a n ＝(m 2－2m )[(n ＋1)3－2(n ＋1)－n 3＋2n ]＝(m 2－2m )(3n 2＋3n －1)<0. 因为n ∈N ＋，所以3n 2＋3n －1＝3⎝⎛⎭⎫n ＋122－74≥5>0. 所以m 2－2m <0，解得0<m <2. 故m ∈(0，2)．答案：(0，2)5．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫910n，试问n 取何值时，a n 取最大值？试求出a n 的最大值．解：因为a n ＋1a n ＝（n ＋3）⎝⎛⎭⎫910n ＋1（n ＋2）⎝⎛⎭⎫910n ＝9（n ＋3）10（n ＋2）＝910＋910·1n ＋2，由a n ＋1a n ＝1，解得n ＝7，则当n ＝7时，a 8a 7＝1，即a 7＝a 8.当n <7时，a n ＋1a n >1，即a n ＋1>a n .当n ≥8时，a n ＋1a n <1，即a n ＋1<a n .则当n ＝7或n ＝8时，a n 取最大值，最大值为a 7＝a 8＝98107.6．设f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，又知数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n . (1)求数列{a n }的通项公式； (2)试判断数列{a n }的增减性．解：(1)因为f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，f (2 a n )＝2n ， 所以log 22a n －log 2 a n 4＝2n ，由换底公式，得log 22 a n －log 24log 22a n＝2n ， 即a n －2a n＝2n ，所以a 2n －2na n －2＝0， 所以a n ＝n ±n 2＋2.①由0<x <1，有0<2an <1，所以a n <0.② 由①②得a n ＝n －n 2＋2，此即为数列{a n }的通项公式．(2)a n ＋1a n ＝（n ＋1）－（n ＋1）2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2（n ＋1）＋（n ＋1）2＋2<1，因为a n <0，所以a n ＋1>a n ， 所以数列{a n }是递增数列．。