吉林省吉林油田高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试题
吉林省吉林油田高级中学2020-2021学年高二上学
期期中数学试题
学校_________ 班级__________ 姓名__________ 学号__________
一、单选题
1. 设集合，，则（）
B．
A．
D．
C．
2. 已知，，，这三个数的大小关系为（）
A．B．
C．D．
3. 下列说法正确的是（）
A．数列中不能重复出现同一个数
B．与是同一数列
C．不是数列
D．若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同
4. 一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为（）
A．24cm3B．48cm3C．32cm3D．96cm3
5. 直线与圆的位置关系是（）
A．直线过圆心B．相切C．相离D．相交
6. 设是两条不同的直线，是一个平面，则下列说法正确的是（）A．若，则B．若则
C．若则. D．若则
7. 已知椭圆C：的左右焦点为F
1,F
2
离心率为，过F
2
的
直线l交C与A,B两点，若△AF
1
B的周长为，则C的方程为( ) A．B．C．D．
8. 在如图的正方体中，M、N分别为棱BC和棱的中点，则异面直线AC和MN所成的角为（）
A．B．C．D．
9. 已知实数x，y满足约束条件，那么目标函数的最大值是（）
A．0 B．1
C．
D．10
10. 设抛物线上一点到轴的距离是则点到该抛物线焦点的距离是（）
A．B．
C．D．
11. 在等差数列中，为其前项和，若，则下列判断错误的是（）
A．数列单调递增B．
C．数列前项最小D．
12. 设、分别为双曲线的左、右焦点，双曲线上存
在一点使得，，则该双曲线的离心率为
（）
D．
A．B．C．
二、填空题
13. 焦点与双曲线右焦点相同的抛物线方程是
________________________．
14. 已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为、、，则这个长方体的外接球的表面积为__________.
15. 若正实数满足则的最小值为
________________________．
16. 已知定义在上的偶函数满足，若
，则实数的取值范围是________________________．
三、解答题
17. 已知是等差数列的前项和，.
（1）证明:成等差数列；
（2）若数列满足，且，求的前项和.
18. 根据下列条件求双曲线的标准方程.
（1）经过点，实轴长为，焦点在轴上；
（2）经过点，且与双曲线有相同的焦点.
19. 如图，在四棱锥中，四边形是菱形，，平面平面
在棱上运动.
（1）当在何处时，平面；
（2）当平面时，求直线与平面所成角的正弦值.
20. 在中，角，，的对边分别为，，，且
．
（1）求角的大小；
（2）若，，的面积为，求的周长．
21. 如图，四边形是矩形平面
.
（1）证明：平面平面；
（2）求二面角的余弦值.
22. 已知椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为
原点到直线的距离为
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点，是否存在过的直线，使与椭圆交于两点，
且以为直径的圆过椭圆的左顶点?若存在，求出的方程；若不存在，请说明理由.。
专题08 圆与圆的位置关系(知识梳理+专题过关)(原卷版)
专题08圆与圆的位置关系【知识梳理】1、圆与圆的位置关系：（1）圆与圆相交，有两个公共点；（2）圆与圆相切（内切或外切），有一个公共点；（3）圆与圆相离（内含或外离），没有公共点．2、圆与圆的位置关系的判定：（1）代数法：判断两圆的方程组成的方程组是否有解．有两组不同的实数解时，两圆相交；有一组实数解时，两圆相切；方程组无解时，两圆相离．（2）几何法：设1O 的半径为1r ，2O 的半径为2r ，两圆的圆心距为d ．当1212r r d r r -<<+时，两圆相交；当12r r d +=时，两圆外切；当12r r d +<时，两圆外离；当12r r d -=时，两圆内切；当12r r d ->时，两圆内含．3、两圆公共弦长的求法有两种：方法一：将两圆的方程联立，解出两交点的坐标，利用两点间的距离公式求其长．方法二：求出公共弦所在直线的方程，利用勾股定理解直角三角形，求出弦长．4、两圆公切线的条数与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线，圆的公切线包括外公切线和内公切线两种．（1）两圆外离时，有2条外公切线和2条内公切线，共4条；（2）两圆外切时，有2条外公切线和1条内公切线，共3条；（3）两圆相交时，只有2条外公切线；（4）两圆内切时，只有1条外公切线；（5）两圆内含时，无公切线．5、圆系方程（1）过直线0Ax By C ++=与圆220x y Dx Ey F ++++=的交点的圆系方程是22()0x y Dx Ey F Ax By C λ+++++++=（2）以(),a b 为圆心的同心圆系方程是：()()222(0)x a y b λλ-+-=≠；（3）与圆220x y Dx Ey F ++++=同心的圆系方程是220x y Dx Ey λ++++=；（4）过同一定点(),a b 的圆系方程是()()2212()()0x a y b x a y b λλ-+-+-+-=．【专题过关】【考点目录】考点1：圆与圆的位置关系考点2：两圆的公共弦问题考点3：公切线问题考点4：圆系方程的应用【典型例题】考点1：圆与圆的位置关系1．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知两圆分别为圆221:49C x y +=和圆2226890C x y x y +--+=:，这两圆的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内切D ．外切2．（2021·广东·江门市第二中学高二期中）圆224x y +=与圆2286160x y x y +--+=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．内含D ．外切3．（2021·吉林油田高级中学高二期中）圆2264120x y x y +-++=与圆22142140x y x y +--+=的位置关系是（）A ．相离B ．相交C ．外切D ．内切4．（2021·安徽滁州·高二期中）已知圆1C ：()()22225x a y -++=，圆2C ：()()2214x y a +++=，若圆1C 与圆2C 内切，则实数a 的值是（）A ．2-B ．2C ．1-或2D ．1或2-5．（多选题）（2021·辽宁大连·高二期中）点P 在圆221:1C x y +=上，点Q 在圆222:68240C x y x y +-++=上，则（）A ．PQ 的最小值为3B ．PQ 的最大值为7C ．两个圆心所在的直线斜率为43-D ．两个圆相交6．（2020·江西·宜春九中高二期中（文））已知圆C ：22680x y x y m +--+=，其中R m ∈．(1)已知圆C 与圆：221x y +=外切，求m 的值；(2)如果直线30x y +-=与C 相交所得的弦长为m 的值．7．（2021·辽宁·辽河油田第二高级中学高二期中）已知圆1C 的圆心在x 轴上，且过()5,2，()0,3两点．(1)求圆1C 的方程；(2)若圆1C 与圆()()()2222:120C x y r r +++=>有公共点，求r 的取值范围．8．（2018·湖北·葛洲坝中学高二期中（理））如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C ：x 2+y 2-4x =0及点A （-1，0），B （1，2）．(1)若直线l 平行于AB ，与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =AB ，求直线l 的方程；(2)圆C 上是否存在点P ，使得PA 2+PB 2=12?若存在，求点P 的个数；若不存在，请说明理由．9．（2021·广东番禺中学高二期中）已知圆C 1:(x -1)2+(y +5)2=50，圆C 2:(x +1)2+(y +1)2=10.（1）证明圆C 1与圆C 2相交；（2）若圆C 3经过圆C 1与圆C 2的交点以及坐标原点，求圆C 3的方程.10．（2017·浙江·长兴县教育研究中心高二期中）在平面直角坐标系xoy 中，(0,0)O ，(0,3)A -，动点M 满足2AM MO =，M 的轨迹方程为____，M 的轨迹与圆()()22241,(0)x y r r -+-=>有公共点，则实数r 的取值范围是____．考点2：两圆的公共弦问题11．（多选题）（2021·福建宁德·高二期中）（多选）下列命题正确的有（）A ．直线()()34330R m x y m m ++-+=∈恒过定点()33-，B ．已知圆2214C x y +=：与圆2222210C x y x y +--+=：相交于A B ，两点，则直线AB 的方程为2250x y ++=.C ．圆()2211x y ++=与圆()()222420x y m -+-=-恰有三条公切线，则4m =D ．已知点P Q ，分别为圆()()22121x y -++=与直线3450x y +-=上的动点，则PQ 的最小值为3.12．（2022·上海市控江中学高二期中）已知圆222450x y x y ++--=与22210x y x ++-=相交于A B ､两点，则公共弦AB 的长是___________.13．（多选题）（2021·湖北十堰·高二期中）已知两圆221:210240C x y x y +-+-=，222:2280C x y x y +++-=，则下列结论正确的是（）A ．两圆外离B ．两圆有3条公切线C ．两圆相交，且两圆的公共弦长为D ．两圆的公共弦方程为240x y -+=14．（多选题）（2021·湖北十堰·高二期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:240O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则有（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．公共弦AB 所在直线的方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为22D ．P 为圆1O 上一动点，则P 到直线AB 1+15．（多选题）（2021·山东·菏泽一中高二期中）圆221:20x y x O +-=和圆222:460O x y x y ++-=的交点为A ，B ，则（）A ．公共弦AB 所在直线的方程为0x y -=B ．线段AB 中垂线的方程为10x y +-=C ．公共弦AB 的长为22D ．两圆圆心距12OO =16．（2022·全国·高二期中）已知圆221:210240 C x y x y +-+-=和圆222:2280C x y x y +++-=.(1)试判断两圆的位置关系；(2)求公共弦所在直线的方程；(3)求公共弦的长度.17．（2021·山西·太原市第六十六中学校高二期中）已知圆M 经过点(0,0)A ，(2,0)B ，(2,2)C .(1)求圆M 的一般方程；(2)求圆M 与圆222x y +=的公共弦长.18．（2021·黑龙江·牡丹江一中高二期中）已知圆2222122610:1012450C x y x y C x y x y +---=+--+=：，(1)求证：12,C C 相交；(2)求圆12,C C 的公共弦所在的直线方程．19．（2021·湖北省广水市实验高级中学高二期中）已知线段AB 的端点B 的坐标是(5,2)，端点A 在圆22(1)4x y ++=上运动．(1)求线段AB 的中点M 的轨迹方程；(2)求曲线M 与22(1)(2)2x y -+-=的公共弦长．考点3：公切线问题20．（2021·安徽·池州市第一中学高二期中）已知圆221:(1)(2)9C x y -+-=，222:(2)(3)4C x y -+-=(1)判断两圆的位置关系，并求它们的公切线之长；(2)若动直线l 与圆1C 交于P ，Q ，且线段PQ 的长度为C ，直线l 总与之相切.21．（2021·福建·厦门双十中学高二期中）已知两圆221:1C x y +=，222:68110C x y x y +---=，则两圆的位置关系为___________，两圆的公切线方程为___________.（用一般式表示）22．（2022·甘肃·天水市第一中学高二期中）已知两圆方程分别为224x y +=和()()22349x y -+-=．则两圆的公切线有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条23．（2022·上海·格致中学高二期中）已知圆221:4O x y +=，圆()222:22400O x y mx my m +---=≠，则同时与圆1O 和圆2O 相切的直线有（）A ．4条B ．2条C ．1条D ．0条24．（2021·天津市嘉诚中学高二期中）两圆221:1C x y +=，222:(3)(4)16C x y -+-=的公切线共有（）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条25．（2021·内蒙古·阿拉善盟第一中学高二期中（文））圆221:20O x y y +-=和圆222:8120O x y y +-+=的公切线的条数为______．26．（2021·湖南·高二期中）若圆221:20C x y x m +--=与圆222:40C x y y m +++=恰有2条公切线，则m 的取值范围为（）A ．()0,4B ．()1,4-C ．()1,0-D ．[)0,4考点4：圆系方程的应用27．过圆22240x y y +--=与22420x y x y +-+=的交点，且圆心在直线:2410l x y +-=上的圆的方程是_______．28．已知圆221:230C x y x +--=与圆222:4230C x y x y +-++=相交于A 、B 两点．（1）求公共弦AB 所在直线方程；（2）求过两圆交点A 、B ，且过原点的圆的方程．29．已知圆222212:6160,:450C x y x C x y x ++-=+--=．求证：对任意不等于1-的实数λ，方程()2222616450x y x x y x λ++-++--=是通过两个已知圆交点的圆的方程．30．已知圆221:4440C x y x y ++-+=和圆222:20C x y x ++=．（1）求证：两圆相交；（2）求过点()2,3-，且过两圆交点的圆的方程．31．（2021·北京通州·高二期中）经过点(2,2)M -以及圆2260x y x +-=与圆22240x y x y +--=交点的圆的方程为________．。
吉林省松原市宁江区吉林油田高级中学2021-2022学年高二上学期期初数学考试试题
三、双空题
试卷第 2 页，共 4 页
15．已知直线 l1 : x y 3 0 ，l2 : 2x y 0 相交于点 A ，则点 A 的坐标为，圆 C : x2 y2 2x 4 y 1 0 ，过点 A 作圆 C 的切线，则切线方程为.
四、填空题 16．已知四边形 ABCD 为矩形， AB 2 ，平面 PAD 平面 ABCD ， PA PD ，若四棱 锥 P ABCD 外接球的表面积为16 ，则四棱锥 P ABCD 体积的最大值为．
内，若 D1P CM ，则VPBC 的面积的最小值是(
)
A． 2 5
5
B． 5 10
C． 5
5
D． 5
二、填空题
13．已知直线 l1 : 2x by 2 0 与直线 l2 : 2x y 1 0 平行，则直线 l1 ，l2 之间的距离为.
r
r
rr r
14．若向量 a 2,1, 2 ， b 6, 3, 2 ，则 a a 2b ．
(1)证明： MN / / 平面 PAD ； (2)在翻折的过程中，当 PA 4 时，求二面角 B PC D 的余弦值.
22．已知圆 C ： x2 y2 2y 2 0 ，直线 l ： mx y 1 m 0 ，点 P 1,1 ．
(1)判断直线 l 与圆 C 的位置关系； (2)设直线 l 与圆 C 交于不同的两点 A, B ，求弦 AB 的中点 M 的轨迹方程；
B．若 m Pα，m n ，则 n α
C．若 m Pα，n Pα ,则 m Pn
D．若 m α，n α ,则 m Pn
8．圆心在 x 轴上，半径为 2，且过点 1, 2 的圆的方程为（ ）
A． x2 y2 4 B． (x 1)2 y2 4 C． (x 2)2 y2 4 D．(x 3)2 y2 4
吉林省吉林油田高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试卷及解析
吉林省吉林油田高级中学2020-2021学年高二上学期期中数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题1.设集合)}120A x x x =+->，{}210B x x =-<，则A B =（ ）A.11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭B.(),1-∞-C.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()2,+∞2.已知034.a =，138b =，lg 0.3c =，这三个数的大小关系为（ ） A.b a c << B.a b c << C.c a b <<D.c b a <<3.下列说法正确的是（ ） A.数列中不能重复出现同一个数 B.1,2,3,4与4,3,2,1是同一数列 C.1,1,1,1不是数列D.若两个数列的每一项均相同，则这两个数列相同4.一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形，如图所示，则该多面体的体积为（ ）A.24cm 3B.48cm 3C.32cm 3D.96cm 35.直线y =与圆()2211x y -+=的位置关系是（ ）A.直线过圆心B.相切C.相离D.相交6.设,l m 是两条不同的直线，α是一个平面，则下列说法正确的是（ ） A.若,l m m α⊥⊂，则l α⊥ B.若,//,l l m α⊥则m α⊥ C.若//,,l m m α⊂则//l α.D.若//,//,l m αα则//l m7.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的左右焦点为F 1,F 2离心率为√33，过F 2的直线l 交C 与A,B 两点，若△AF 1B 的周长为4√3，则C 的方程为( ) A. x 23+y 22=1 B. x 23+y 2=1 C. x 212+y 28=1 D. x 212+y 24=1 8.在如图的正方体中，M 、N 分别为棱BC 和棱1CC 的中点，则异面直线AC 和MN 所成的角为（ ）A.30B.45C.60D.909.已知实数x ，y 满足约束条件20103x y x y x -+≥⎧⎪++≥⎨⎪≤⎩，那么目标函数2z x y =-的最大值是（ ）A.0B.1C.72D.1010.设抛物线28y x =-上一点P 到y 轴的距离是4,则点P 到该抛物线焦点的距离是（ ） A.12 B.8 C.6D.411.在等差数列{}n a 中，n S 为其前n 项和，若202020210,0S S <>，则下列判断错误的是（ ）A.数列{}n a 单调递增B.10100a <C.数列{}n a 前2020项最小D.10110a >12.设1F 、2F 分别为双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的左、右焦点，双曲线上存在一点P使得123PF PF b +=，1294PF PF ab ⋅=，则该双曲线的离心率为（ ） A.43B.53 C.94D.3第II 卷（非选择题）二、填空题13.焦点与双曲线2214y x -=右焦点相同的抛物线方程是________________________．14.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为__________.15.若正实数,a b 满足1,a b +=则19a b+的最小值为________________________． 16.已知定义在R 上的偶函数()f x 满足()32()0xf x x x =+≥，若()()1f m f m -≥，则实数m 的取值范围是________________________．三、解答题17.已知n S 是等差数列}n a 的前n 项和，142,11a a ==. （1）证明:3522,,S S a 成等差数列；（2）若数列{}n b 满足12n n b b +=，且33a b =，求{}n b 的前6项和6T . 18.根据下列条件求双曲线的标准方程.（1）经过点()5,1-，实轴长为x 轴上；（2）经过点(，且与双曲线2211620x y -=有相同的焦点.19.如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 是菱形， PAD BAD ∆≅∆，平面PAD ⊥平面,ABCD4,,AB PA PD M ==在棱PD 上运动.（1）当M 在何处时， //PB 平面MAC ；（2）当//PB 平面MAC 时，求直线PC 与平面MAC 所成角的正弦值. 20.在ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()222sin ab c C +-=． （1）求角C 的大小；（2）若4C π>，5c =，ABC 的面积为ABC 的周长．21.如图，四边形ABCD 是矩形3,2,AB BC DE EC PE ===⊥平面,ABCD PE =（1）证明：平面PAC ⊥平面PBE ； （2）求二面角A PB C --的余弦值.22.已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的四个顶点围成的四边形的面积为原点到直线1x y a b += （1）求椭圆C 的方程；（2）已知定点()0,2P ，是否存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点?若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由.参考答案1.A【解析】1.解出集合A 、B ，利用交集的定义可求出集合AB .()(){}()(){}{}12012012A x x x x x x x x =+->=+-<=-<<，{}12102B x x x x ⎧⎫=-<=<⎨⎬⎩⎭，因此，11,2A B ⎛⋂=⎫- ⎪⎝⎭. 故选：A. 2.C【解析】2.利用指数函数与对数函数的单调性即可得出． 解：030642..a ==，123382b ==，1a b ∴<<．0.30c lg =<，c a b ∴<<．故选：C ． 3.D【解析】3.由数列的定义选出正确选项.由数列的定义可知，数列中可以重复出现同一个数，如1,1,1,1，故A 不正确； B 中两数列首项不相同，因此不是同一数列，故B 不正确；由数列的定义可判断，1,1,1,1是数列，即C 不正确；由数列定义可知，D 正确， 故选：D. 4.B【解析】4.由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,利用所给的数据和直三棱柱的体积公式即可求得体积.由三视图可知该几何体是一个横放的直三棱柱,底面为等腰三角形,底边长为6cm ,底面三角形高为4cm ,所以其体积为:31644482V cm =⨯⨯⨯=. 故选:B 5.D【解析】5.求出圆的圆心与半径，求出圆心到直线的距离d ，由d r <即可判断. 圆()2211x y -+=，圆心()1,0，半径1r =，圆心()1,0到直线y =的距离12d ==<， 所以直线与圆相交. 故选：D. 6.B【解析】6.在正方体中举出反例，即可证明ACD 不正确，从而可选出正确答案. 如图，在正方体中，A ：若,,AE l HG m α==为平面HGCD ，则,l m m α⊥⊂，但此时//l α，A 不正确；B ：由线面垂直的性质可知，B 正确；C ：若,,AE l DH m α==为平面AEHD ，则//,l m m α⊂成立，l α⊂，C 不正确； D ：若,,AE l EH m α==为平面BFGC ，则//,//l m αα成立，但,l m 相交，D 不正确. 故选:B.7.A【解析】7.试题分析：若△AF 1B 的周长为4√3可知4a=4√3∴a =√3∵e =c a=√33∴c =1∴b 2=2，所以方程为x 23+y22=18.C【解析】8.根据异面直线所成角的定义，找到与直线MN 平行并且和AC 相交的直线，即可找到异面直线所成的角，解三角形可求得结果. 连接1111,,AC BC A B 如下图所示，,M N 分别是棱BC 和棱1CC 的中点，1//MN BC ∴，正方体中可知11//AC A C ，11AC B ∴∠是异面直线,AC MN 所成的角，11A BC 为等边三角形，1160A C B ︒∴∠=.故选：C. 9.D【解析】9.根据约束条件，画出可行域，再平移目标函数所在的直线，找到最优点，将最优点的坐标代入目标函数求最值. 画出可行域（如图），平移直线2z x y =-，当目标直线过点(3,4)-时，目标函数取得最大值，()max 23410=⨯--=z ．故选：D 10.C【解析】10.由280y x =-≥，可得0x ≤，结合题意可求得点P 的横坐标，利用抛物线的定义可求得结果.由280y x =-≥，可得0x ≤，据已知抛物线方程可得其准线方程为2x =， 又由点P 到y 轴的距离为4，可得点P 的横坐标4p x =-.由抛物线定义可知点P 到焦点的距离等于其到准线的距离，即4262p pPF x =-+=+=. 故选：C. 11.C【解析】11.结合等差数列的求和公式及等差数列的性质可得101010110,0a a <>，从而可求出公差的符号，进而可确定单调性，进而可确定和最小问题. 因为202020210,0S S <>，即()()12021202012020210,02022a a a a ++<>，所以12020120210,0a a a a +<+>.因为10101011120201011120210,20,a a a a a a a +=+<=+> 所以101010110,0a a <>，所以101110100d a a =->，所以数列{}n a 是单调递增数列， 前1010项和最小，所以C 错误. 故选:C . 12.B【解析】12.利用双曲线的定义结合已知条件可得出22949b b ab -=，可求得ba，再由公式e =可求得双曲线的离心率的值.由双曲线的定义得122PF PF a -=，又123PF PF b +=，()()2222121294PF PF PF PF b a +--=-，即1249PF PF ab ⋅=，因此22949b a ab -=，即29940b b a a ⎛⎫--= ⎪⎝⎭，则33140b b a a ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，解得43b a =，13ba =-（舍去），因此，该双曲线的离心率为53c e a ====. 故选：B.13.2y =【解析】13.求出双曲线2214y x -=的右焦点为)，设抛物线的方程为()220y px p =>，由2p=p =.由2214y x -=可得：21a =，24b =，所以c ===，所以双曲线2214y x -=的右焦点为)设抛物线的方程为()220y px p =>，由题意知2p=p =所以抛物线的方程为2y =，故答案为：2y = 14.14π【解析】14.解：∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3， ∴∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径 ∴球半径为R=2，可得球的表面积为4πR 2=14π 故答案为14π 15.16【解析】15.()1919910b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭利用基本不等式即可求解. 1a b +=，()1919910b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++ ⎪⎝⎭， 又0a >，0b >，96b a a b +∴≥=， 当且仅当91b aa b a b ⎧=⎪⎨⎪+=⎩即14a =，34b =等号成立，min1910616a b ⎛⎫∴+=+= ⎪⎝⎭. 故答案为：16 16.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【解析】16.判断函数的单调性，结合单调性和奇偶性即可得关于实数m 的不等式，从而可求出其取值范围.因为3,2xy x y ==在[0,)+∞上递增，所以()f x 在[0,)+∞上递增.因为()f x 为偶函数，所以()()1f m f m -≥等价于()()|1|f m f m -≥， 即1m m -≥，解得12m ≤， 故答案为: 1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦.17.（1）证明见解析；（2）63【解析】17.（1）先求出数列{}n a 的通项公式，进而求出3522,,S S a ，可得答案； （2）先得出数列{}n b 为等比数列，再利用等比数列的求和公式求解即可． （1）证明:设等差数列的公差为d ，4132311a a d d =+=+=，3d ∴=，()23131n a n n ∴=+-=-，325322315,540,65S a S a a ∴=====， 3225280S a S ∴+==，从而3522,,S S a 成等差数列. （2）解:12n n b b +=，且338a b ==，2116,32b b ∴==，{}n b ∴是首项为32，公比为12的等比数列， 666132112641631212T ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎝⎭==-= ⎪⎝⎭∴-．18.（1）221154x y -=（2）2211224x y -=【解析】18.（1）因为双曲线的焦点在x轴上，实轴长为22215x yb-=，由双曲线过点()5,1-，即可求得答案；（2）所求双曲线与双曲线2211620x y -=有相同的焦点，可设所求双曲线的方程为2211620x y λλ-=-+(2016)λ-<<，由双曲线过点(，即可求得答案.（1）双曲线的焦点在x轴上，实轴长为∴设所求双曲线的方程为22215x y b-=.双曲线过点()5,1-，225115b∴-=，解得214b =.故所求双曲线的标准方程为221154x y -=. （2）所求双曲线与双曲线2211620x y -=有相同的焦点，可设所求双曲线的方程为2211620x y λλ-=-+(2016)λ-<<双曲线过点(，242411620λλ∴-=-+解得4λ=或56λ=-（舍去），故所求双曲线的标准方程为2211224x y -=.19.（1）见解析；（2【解析】19.试题分析：(1)当M 为PD 中点时，由几何关系可得//MN PB ，利用线面平行的判断定理即可证得//PB 平面MAC .(2)由题意建立空间直角坐标系，结合直线的方向向量和平面的法向量可求得直线PC 与平面MAC所成角的正弦值为35试题解析：（1）当M 为PD 中点时， //PB 平面.MAC 设AC BD N ⋂=，在PBD ∆中， MN 为中位线，即//MN PB ，又PB ⊄平面,MAC MN ⊂平面MAC ， //PB ∴平面MAC . （2）四边形ABCD 是菱形， ,PAD BAD PA PD ∆≅∆=， ,PAD BAD ∴∆∆均为等边三角形.取AD 的中点,O 平面PAD ⊥平面,ABCD OP ∴⊥平面ABCD .以O 为坐标原点，射线,,OA OB OP 分别为,,x y z 轴的正方向建立如图所示的空间坐标系，则()()0,0,0,2,0,0,O A()(),,B C -()2,0,0,D -((,P M -.()()()6,23,0,3,0,3,4,23,23AC AM PC ∴=-=-=--.设平面MAC 的法向量为(),,m x y z ，则由,m AC m AM ⊥⊥，得60{30m AC x m AM x ⋅=-+=⋅=-=，取x =()3,3,3m =.记直线PC 与平面MAC 所成角为θ，则sinm PC m PCθ-⋅===. 20.（1）6C π=或3π；（2）12.【解析】20.（1）根据()222sin a b c C +-=，结合余弦定理得到sin 2C =. （2）由3C π=和ABC 的面积为8ab =，再利用余弦定理求得7a b +=即可.（1）因为()222sin a b c C +-=，且2222cos a b c ab C +-=，所以2cos sin ab C C =， 所以sin 2C =又0C π<<， 所以23C π=或23π， 所以6C π=或3π． （2）由（1）及4C π>，得3C π=．因为1sin 2ABCSab C == 所以8ab =．又()22222cos 3c a b ab C a b ab =+-=+-， 所以()223252449a b c ab +=+=+=． 所以7a b +=， 所以12a b c ++=． 即ABC 的周长为12． 21.（1）见解析(2)5.【解析】21.试题分析：（1）根据ABC BCE ∆~∆可得AC BE ⊥,由PE ⊥平面ABCD ，可得AC PE ⊥，由线面垂直的判定定理可得AC ⊥平面PBE ，再由面面垂直的判定定理可得平面PAC ⊥平面PBE ；（2）以过E 作CD 的垂线为x 轴，以EC 为y ，以EP 为z 轴，建立空间直角坐标系，分别求得平面APB 的法向量16n ⎛⎫=⎪⎪⎝⎭与平面BPC 的法向量()20,n =利用空间向量夹角余弦公式可得结果. 试题解析：（1）证明：设BE交AC 于F ，因为四边形ABCD 是矩形， 3,2AB BC DE EC ===， 所以3,CF BCCE BC AB==， 又2ABC BCD π∠=∠=，所以,ABC BCE BEC ACB ∆~∆∠=∠，因为2BEC ACE ACB ACE π∠+∠=∠+∠=，所以AC BE ⊥，又PE ⊥平面ABCD ，所以AC PE ⊥，而PE BE E ⋂=，所以AC ⊥平面PBE . 由面面垂直的判定定理可得平面PAC ⊥平面PBE (2)建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得()()()(3,,,,A B C P -, 设平面APB 的法向量()1111,,n x y z=，则11110{ 30x =-=，取11z =，即16n ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭， 设平面BPC 的法向量()2222,,n x y z=， 则222230{30x x =-=，取21z =，即()20,n =，设平面APB 和平面BPC 所成的二面角为θ，则1212cos 55n n n n θ⋅===⋅. 【方法点晴】本题主要考查面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.22.（1）22153x y +=；（2）存在，2y x =+或2y x =+.【解析】22.（1）由题意可得2222ab a b c ⎧=⎪==+⎩，解方程即可求解. （2）假若存在这样的直线l ，验证斜率不存在时，不满足题意；当直线斜率k 存在时，设直线l 的方程为2y kx =+，将直线与椭圆联立消y ，0∆>，求出k 的取值范围，再由题意可知0DA DB ⋅=，根据向量数量积的坐标表示，结合韦达定理即可求解. （1）直线1x yab+=的一般方程为0bx ay ab +-=. 依题意22224abab c ⎧=⎪==+⎩，解得a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩故椭圆C 的方程为22153x y +=()2假若存在这样的直线l ，当斜率不存在时，以AB 为直径的圆显然不经过椭圆C 的左顶点， 所以可设直线l 的斜率为,k 则直线l 的方程为2y kx =+.由2223515y kx x y =+⎧⎨+=⎩，得()22352050kxkx +++=由()2240020350k k=-+>∆，得5,,55k ⎛⎛⎫∈-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭记,A B 的坐标分别为()()1122,,,x y x y ， 则121222205,3535k x x x x k k +==++-而()()()2121212122224y y kx kx k x x k x x =++=+++.要使以AB 为直径的圆过椭圆C 的左顶点()D ，则0DA DB ⋅=，且()11DA x y =，()22DB x y =，所以(()(()2121212121290y y x xk x x k x x ++=+++++=.所以()(22252012903535kk k k k+-+=++整理解得5k =或5k =所以存在过P 的直线l ，使l 与椭圆C 交于,A B 两点，且以AB 为直径的圆方程为25y x =+或25y x =+.。
吉林省松原市油田高中高二上学期期中考试(数学理)
吉林省松原市油田高中高二上学期期中考试（数学理）一、 选择题：（本大题共12小题,每题4分,共48分，在四个选项中只有一个是正确的）1．与a ＞b 等价的不等式是（ ）A ．|a|＞|b |B ．a 2＞b 2C ．a 3＞b 3D ．b a＞12．已知a n ＋1－a n －3=0，则数列{}n a 是（ ）A ．递增数列B ．递减数列C ．摆动数列D ．常数列3．已知椭圆1162522=+y x 上一点P 到椭圆一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离是（）A.2B.3C.5D.74．命题"02,"2≥+-∈∀x x R x 的否定是（ ）A.02,2≥+-∈∃x x R xB. 02,2≥+-∈∀x x R xC.02,2<+-∈∃x x R xD. 02,2<+-∈∀x x R x5．在△ABC 中A ＞B，则下列不等式中不一定正确的是 ）A ． sin A ＞sinB ; B.cos A ＜cos B ;C.sin2A ＞sin2B ;D.cos2A ＜cos2B6．在线性约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥+≤-≥+-020201y x y x 下,目标函数z=x+y 有（ ）A ．最大值5，最小值－5B ．最大值0，最小值－5C ．最大值5，最小值0D ．最大值4，最小值－57．在△ABC 中，角A 、B 、C 的对应边分别是a 、b 、c ，且C cB b A a cos cos cos ==，则该三角形的形状是（ ）A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰三角形D ．等腰直角三角形8．“x ＞5”的一个必要而不充分条件是（ ）A ．x ＞6B ．x ＞3C ．x ＜6D ．x ＞109. “a ∥α,则a 平行于平面α内的任一直线”是（ ）A ．特殊命题B ．全称命题C ．不是命题D ．真命题10．过抛物线y 2=ax （a ＞0）的焦点F 作一条直线交抛物线于A 、B 两点，若线段AF 、BF 的长分别为m 、n ，则mn nm +=（ ）A ．2aB ．4aC ．a 21D ．a 411．椭圆16410022=+y x 的焦点为F 1、F 2，椭圆上的点P 满足∠F 1PF 2=600，则△F 1PF 2的面积是（ ）A ．3364B ．3391C ．3316D ． 364 12．一货轮航行到M 处，测得灯塔S 在货轮的北偏东15，与灯塔S 相距20海里，随后货轮按北偏西30的方向航行30分钟后，又得灯塔在货轮的东北方向，则货轮的速度为（ ）．A ．海里/小时B ． 海里/小时C ． 海里/小时D ． 海里/小时二．填空题:（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题纸上）13．在△ABC 中，a 2－c 2＋b 2=ab ，则角C=________.14．在等差数列{}n a 中，已知113a =，254a a +=，33m a =，则m 为______________. 15．已知双曲线12222=-by a x 的一条渐近线与直线012=++y x 垂直，则双曲线的 离心率=e __________。
吉林省2020学年高二数学上学期期中试题理(含解析)
高二数学上学期期中试题 理（含解析）考生注意：1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：人教版选修2-1，选修2-2第三章.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数(13)(1)z i i =-+-在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限【答案】A 【解析】分析：先化简复数z,再看复数z 在复平面内对应的点所在的象限.详解：由题得13324z i i i =-+++=+，所以复数z 在复平面内对应的点为（2,4），故答案为A.点睛：（1）本题主要考查复数的运算和复数的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复数(,)z a bi a b R =+∈对应的点是（a,b ）,点（a,b ）所在的象限就是复数z a bi =+(),a b ∈R 对应的点所在的象限.复数(,)z a bi a b R =+∈和点（a,b ）是一一对应的关系.2.焦点坐标为（1，0）的抛物线的标准方程是（ ） A. y 2=-4x B. y 2=4xC. x 2=-4yD. x 2=4y【答案】B 【解析】 【分析】由题意设抛物线方程为y 2=2px （p ＞0），结合焦点坐标求得p ，则答案可求． 【详解】由题意可设抛物线方程为y 2=2px （p ＞0），由焦点坐标为（1，0），得P12=，即p=2． ∴抛物的标准方程是y 2=4x ． 故选B ．【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记抛物线的几何性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题． 3.关于命题，下列判断正确的是（ ） A. 命题“每个正方形都是矩形”是特称命题 B. 命题“有一个素数不是奇数”是全称命题C. 命题“x ∀∈R ，4x ∈R ”的否定为“0x ∃∈R ，40x ∉R ”D. 命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数都不是有理数” 【答案】C 【解析】 【分析】根据特称命题，与全称命题的概念，可判断AB ；根据全称命题的否定，可判断C ，D. 【详解】A 选项，命题“每个正方形都是矩形”含有全称量词“每个”，是全称命题，故A 错； B 选项，命题“有一个素数不是奇数”含有存在量词“有一个”，是特称命题，故B 错；C 选项，命题“x ∀∈R ，4x ∈R ”的否定为“0x ∃∈R ，40x ∉R ”，故C 正确；D 选项，命题“每个整数都是有理数”的否定为“每个整数不都是有理数”，故D 错； 故选：C【点睛】本题主要考查命题真假的判定，熟记全称命题与特称命题的概念，以及含有一个量词的命题的否定即可，属于基础题型. 4.椭圆223530x y +=的离心率为（ ）A.25B.35【答案】C 【解析】 【分析】先将椭圆方程化为标准形式，得到210a =，26b =，再由离心率的定义，即可得出结果.【详解】因为椭圆方程：223530x y +=可化为221106x y +=，所以210a =，26b =，因此离心率：5c e a ====. 故选：C【点睛】本题主要考查求椭圆的离心率，熟记椭圆的简单性质即可，属于基础题型. 5.“213k =”是“直线y kx =与圆22(2)1x y ++=相切”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用圆心到直线的距离等于半径求得充要条件即可判断．【详解】当直线y kx =与圆22(2)1x y ++=1=，则213k =，故选：C.【点睛】本题考查的知识要点：直线与圆的位置关系的应用，点到直线的距离公式的应用，主要考查充分必要条件的判断，属于基础题型．6.点()00,P x y 是抛物线2:8C x y =上一点，则P 到C 的焦点的距离为（ ） A. 02x - B. 02y - C. 02x + D. 02y +【答案】D 【解析】 【分析】先由抛物线方程得到准线方程，再由抛物线的定义，即可得出结果.【详解】因为抛物线2:8C x y =的准线方程为2y =-，点()00,P x y 是抛物线2:8C x y =上一点，由抛物线的定义可得：0||2PF y =+. 故选：D【点睛】本题主要考查求抛物线上的点到到焦点的距离，熟记抛物线的定义即可，属于基础7.当复数2(32)()z x x x i x =-+-∈R 的实部与虚部的差最小时，1zi =-（ ） A. 33i -+ B. 33i + C. 13i -D. 13i --【答案】C 【解析】 【分析】实部与虚部的差为242x x -+。
吉林省油田高级中学2020-2021学年高二上学期期初考试数学(理)试题
吉林油田高级中学第一学期期初考试高二数学试题（理科）（考试时间：120分钟，满分：150分 ）第Ⅰ卷（选择题 共60分）一． 选择题：（本大题共12小题,每题5分,共60分，在四个选项中只有一个是正确的）1. 各项都为1的数列1，1，1，，1，A. 既不是等差数列又不是等比数列B. 是等比数列但不是等差数列C. 既是等差数列又是等比数列D. 是等差数列但不是等比数列2．不等式2)1(<-x x 的解集是A ．}12{<<-x x B.}21{<<-x xC ．}21{-<>x x x 或D ．}12{-<>x x x 或3. 已知数列{}n a 的首项17a =，且()11322n n a a n -=+≥，则3a =A ． 254B ．498C ．488D ．97164. 若,x y R +∈，且2x y +=，则11x y +的取值范围是 A.(2,)+∞ B.[2,)+∞ C.(4,)+∞ D.[4,)+∞5. 数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121(21)n a n n =-+（），()n N *∈则19S 等于 A ．3841B ． 3839 C ．1941D ． 19396. 已知a b c d ，，，成等比数列，且曲线223y x x =-+的顶点是()b c ，，则a d +等于 A ．3 B ．2C ．92D ．2-7. 在等差数列{}n a 中，其前n 项和为n S()n N *∈,若2a ,10a 是方程08122=-+x x 的两个根，那么11S 的值为A. -66B.-44C.66D. 448. 对任意实数x ，若不等式212x x k++-≥恒成立，则k 的取值范围是A ．52k <B ．52k <- C ．52k ≤ D ．52k ≤- 9. 已知等比数列的公比为正数，且24852a a a ⋅=，=1，则=( )A ．B ．2C ．D ．10. 若集合{}022<+-=ax ax x A 的解集为空集，则实数a 的值的集合是A.{}80≤≤a a B.{}80<≤a a C.{}80≤<a a D.{}80<<a a11. 数列{}n a ，通项公式为2n a n an=+()n N *∈，若此数列为递增数列，则a 的取值范围是A. 2a ≥-B. 3a >-C. 2a ≤-D. 0a <12. 若,a b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，且,,2a b -这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p q +的值等于A.6B.7C.8D.9第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分）13.二次方程22(1)20x a x a +++-= 有一个根比1大，另一个根比1小,则a 的取值范围是 .14.已知3x >，则2()3x f x x =-的最小值为 15.已知数列{}n a 的前n 项和 24n S n n =-()n N +∈,则1220......a a a +++的值为16.数列中,(n N +∈)则通项公式____________三.解答题: (解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.（本小题满分10分）}{n a 2a 1a 21222{}n a 111,32,n n a a a +==+n a =已知{}na是公差不为零的等差数列，11a=，且139,,a a a成等比数列()n N+∈（1）求数列{}na的通项公式;（2）求数列{}2n a的前n项和nS.18.（本小题满分12分）已知函数()|1||2|f x x x=++-.（1）求()f x的最小值m；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a b c m++=，求证：2223b c aa b c++≥.19. （本小题满分12分）（1）画出二元一次不等式组21y xx yy≤⎧⎪+≤⎨⎪≥-⎩所表示的平面区域（用阴影表示）,并求此区域面积（2）在（1）条件下求出目标函数yxz2+=的最大值和最小值并求此时对应的x，y的值.20.（本小题满分12分）已知数列{}na是等比数列，12a=，且134,1,a a a+成等差数列，()n N+∈（1）求{}na的通项公式（2）若n nb na=，求数列{}nb的前n项和nS21.（本小题满分12分）已知函数2()2,()0f x x x a f x =-+<的解集为{}1x x t -<<（1）求实数a 和t 的值（2）当实数c 满足什么条件时，2)2()10c a x c a x +++-<（的解集为全体实数集R ?22.（本小题满分12分）已知数列{}n a 中，112111,2......()2n n n a a a na a n N +++=+++=∈（1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）求数列{}2nn a 的前n 项和nT ；（3）若存在n N +∈，使得(1)n a n λ≤+成立，求实数λ的最小值.12.【解析】由韦达定理得a b p +=，a b q ⋅=，则0,0a b >>，当,,2a b -适当排序后成等比数列时，2-必为等比中项，故4a b q ⋅==，4b a =．当适当排序后成等差数列时，2-必不是等差中项，当a 是等差中项时，422a a =-，解得1a =，4b =；当4a 是等差中项时，82a a =-，解得4a =，1b =，综上所述，5a b p +==，所以p q +9=，选D ．二、填空题答案13. -1<a<0 14.12 15. 328 16.三．解答题 17. （1）n a n=（2）122n n S +=-18.（1） 3m =.（2） 直接运用柯西不等式19. （1）面积4S =（2）1,1==y x 时 3max =z min 1,1,3x y z =-=-=-20. （1）2nn a = （2） 1(1)22n nS n +=-+21. （1）3,3a t =-=（2）23c <≤ 22. （Ⅰ）12311232n n n a a a na a +++++⋅⋅⋅+=，n N *∈① 123123(1)2n nna a a n a a -∴+++⋅⋅⋅+-=，2n ≥②①-②：1122n n n n n na a a ++=-，13122n n n n a a ++∴=， ……… 2分 即1(1)3n n n a na ++=⨯（2n ≥），又由①得n=1时，121a a ==222a ∴=，2n ∴≥时，数列{}n na 是以2为首项，3为公比的等比数列.223(2)n n na n -∴=⋅≥，故21,123,2n n n a n n-=⎧⎪=⎨⋅≥⎪⎩ ……… 4分（Ⅱ）由（Ⅰ）可知当2n ≥时，2223n n n a n -=⋅， ∴当1n =时，11T =；当2n ≥时,0121436323n n T n -=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+⋅,①12213343632(1)323n n n T n n --=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅,②①-②得，1221222(333)23n n n T n ---=+++⋅⋅⋅+-⋅1231n -⨯-=1123323n n n ---+-⋅ =11(12)3n n --+-⋅111()3(2)22n n T n n -∴=+-≥，又11T =也满足 111()3()22n n T n n N -*∴=+-∈ ……… 8分（Ⅲ）()11nn a a n n λλ≤+⇔≥+，由（Ⅰ）可知： 当2n ≥时，()2231n n n λ-⋅≥+，令()()2231n f n n n -⋅=+，则()()()()()1211233112232n n f n n n n f n n n n --++⋅=⋅=>++⋅+，又()0f n >，∴()()1f n f n +>∴当2n ≥时，()f n 单增，∴()f n 的最小值是()123f = 而1n =时，11112a =+，综上所述，1n a n +的最小值是13∴13λ≥，即λ的最小值是13……… 12分。
等差数列的前n项和公式
其各项分别为 a，2a，3a，4a，可得 S6 ＝
3a
3 ＝ .故选 A.
S12 a＋2a＋3a＋4a 10
课时2 等差数列的前n项和(2)
刷基础
6．[浙江湖州 2020 高一月考]设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，且 a1＝－2 010， S2 011 － S2 008 ＝3，则 2 011 2 008
课时2 等差数列的前n项和(2)
A．a39＝0 B．a38＝0 C．S39＝0 D．S38＝0
解析
由 S18＝S20 得 S20－S18＝a19＋a20＝0，故 a19，a20 异号或同时为 0，此时 A，B 选项均错误； 由等差数列的前 n 项和公式得，
S38＝38（a1＋a38）＝38（a19＋a20）＝0，S39＝39（a1＋a39）＝39×2a20＝39a20，
2ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
2
2
2
由于 a20 不一定为 0，故 C 选项错误，D 选项正确．故选 D.
课时1 等差数列的前n项和(1)
刷基础
7．设{an}是公差不为零的等差数列，且 a22＋a32＝a42＋a52，则{an}的前 6 项和为( B )
A．－2 B．0 C．2 D．4
解析
设数列{an}的公差为 d，a22＋a32＝a42＋a52，整理可得 a42－a22＋a52－a32＝0，即 2d(a4＋a2)＋2d(a5＋a3) ＝0.又∵d≠0，∴a4＋a2＋a5＋a3＝0.∵a4＋a3＝a2＋a5，∴a3＋a4＝0.∴{an}的前 6 项和为6（a1＋a6）＝3(a3
解析
由等差数列的性质可得 a3＋a5＝2a4，a7＋a13＝2a10， 代入已知可得 3×2a4＋2×3a10＝24，即 a4＋a10＝4，
吉林省2021年高二上学期期中数学试卷(理科)(II)卷
吉林省2021年高二上学期期中数学试卷（理科）（II）卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）(2020·马鞍山模拟) 已知外接圆面积为，，则周长的最大值为（）A .B .C . 3D .2. （2分）(2016·江西模拟) 已知数列{an}满足a1=1，且anan+1=2n ，n∈N* ，则数列{an}的通项公式为（）A . an=（）n﹣1B . an=（）nC . an=D . an=3. （2分）各项都为正数的等比数列的公比成等差数列，则= （）A .B .C .D .4. （2分） (2019高二上·会宁期中) 设是等差数列的前项和，若，则（）A .B .C . 2D .5. （2分） (2020高三上·西安月考) 设 : , : ,若是的必要不充分条件,则实数的取值范围是（）A .B .C .D .6. （2分） (2016高二上·福州期中) 某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品所需原料及每天原料的可用限额如表所示．如果生产一吨甲、乙产品可获得利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（）甲乙原料限额A（吨）3212B（吨）128A . 12万元B . 16万元C . 17万元D . 18万元7. （2分） (2019高一下·长春期末) 设且，则下列不等式成立的是（）A .B .C .D .8. （2分） (2020高一下·温州期末) 在中，，则的形状为（）A . 锐角三角形B . 直角三角形C . 钝角三角形D . 等腰三角形9. （2分） (2018高一下·四川月考) 在等差数列中，，且，为数列的前项和，则使得的的最小值为（）A . 23B . 24C . 25D . 2610. （2分） (2019高三上·台州期末) 已知公差不为零的等差数列满足，为数列的前项和，则的值为（）A .B .C .D .11. （2分）若正实数a,b满足a+b=1，则（）A . 有最大值4B . ab有最小值C . 有最大值D . 有最小值12. （2分）已知定义域为R的函数f(x)满足：f(x+4)=f(x)，且f(x)-f(-x)=0，当时，f(x)=2-x ，则f(2013)等于（）A . 2B .C . 4D .二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分） (2019高三上·铁岭月考) 记Sn为等差数列{an}的前n项和，，则________.14. （1分） (2019高二下·诸暨期末) 若x，y满足不等式，则的取值范围是________.15. （1分） (2019高一上·上海月考) 已知集合，则m的取值范围为________．16. （1分）(2017高二下·高淳期末) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则 =________．三、解答题： (共6题；共40分)17. （5分） (2018高一上·桂林期中) 已知函数 .（Ⅰ）若，解不等式；（Ⅱ）若对于任意实数，恒成立，求实数的取值范围.18. （5分） (2018高三上·重庆期末) 在△ABC中，角 A ， B ， C所对的边分别为，且（I）求A；（II）若，△ABC的面积为，求的值。
吉林油田第十一中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学试卷 Word版含答案
2020-2021学年度第一学期期中考试 高二数学科试卷一、选择题（每题的四个选项中只有一个正确。
每题5分，共60分。
） 1．已知向量()1,2a =，()2,1b =-，则a b +等于（ ）A ．()3,1--B ．()1,3-C ．()1,3D ．()3,1 2．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .若45A =︒，60B =︒，2a =，则b 的值为（ ）. A ．2 B ．3 C ．6 D ．26 3．数列{}n a 满足212n n n a a a ++=+，且11a =，22a =，则6a =（ ） A ．42B ．52C ．62D ．724. 如果a ＜b ＜0，那么下面一定成立的是（ ）A ．ac ＜bcB ．a ﹣b ＞0C ．a 2＞b 2D ．1a ＜1b 5．已知向量()1,1a =，()2,b x =，若//a b ，则实数x 的值为（ ）. A ．2-B ．0C ．1D ．26．在ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若222a b c ab +=-，则角C 为（ ）A ．6πB ．3πC ．56πD ．23π 7．等差数列{}n a 中，34a =，公差2d =-，则5a =（ ）A ．1-B ．12-C ．1D ．08．不等式（12﹣x ）（x ﹣13）＞0的解集为（ ） A ．{x |13＜x ＜12} B ．{x |x ＞}12 C ．{x |x ＜13} D ．{x |x ＜13或x ＞12}9已知向量,a b 满足1,1a a b =⋅=-，则()2a a b ⋅-=（ ） A ．4B ．3C ．2D ．010．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边分别是a ，b ，c ，若bcosC +ccosB ＝b ，则△ABC 一定是（ ）A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．直角三角形11．已知数列{}n a 是1为首项，2为公差的等差数列，{}n b 是1为首项，2为公比的等比数列，设n n b c a =，12n n T c c c =++，()n N *∈，则当2020n T <时，n 的最大值为（ ）A ．9B ．10C ．11D ．24 12.当1x ≤时，函数246y x x =++的值域为D ，且当x D ∈时，不等式264x kx x ++≥恒成立，则实数k 的取值范围为（ ）A ．)426,⎡-+∞⎣B ．(,1]-∞-C ．(,426]-∞-D ．33,5⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭二、填空题（每空5分，共20分.） 13．已知向量(1,1)a =-，向量(0,1)b =，则2a b -=__________.14．若不等式220ax bx ++> 的解为1123x -<< ，则不等式220x bx a ++< 的解集是__________．15．在地平面上有一旗杆OP （O 在地面），为了测得它的高度h ，在地平面上取一长度为20m 的基线AB ，在A 处测得P 点的仰角为30°，在B 处测得P 点的仰角为45°，又测得30AOB ∠=︒，则旗杆的高h 等于_____m ．16．已知数列{}n a 满足21n a n =-，n S 为{}n a 的前n 项和，记11cos cos 22n n n n n b S S ππ+-⎛⎫=⋅⋅+⋅ ⎪⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则50T =______．三、解答题（17题8分，18，19题各10分，20题12分，共40分）17．已知b ，a ，c 是ABC 中B ，A ，C 的对边，且B ，A ，C 成等差数列. （1）求A ；（2）若2b =，6c =，求ABC 的面积.18．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且25a =，511a =.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若120n S =，求n .19．求下列关于x 的不等式的解集:（1）x 2-3x -4≥0；（2）-x 2+x -1<0；（3）x 2≤a .20. 已知数列{}n a ，11a =，n N +∀∈，121n n a a +=+.（1）求证：{1}n a +是等比数列；（2）设2n n n b a =（n N +∀∈），求数列{}n b 的前n 项和.高二上期中答案1DBBCD6DDABA11．A根据题意计算21n a n =-，12n n b -=，122n n T n +=--，解不等式得到答案.【详解】∵{}n a 是以1为首项，2为公差的等差数列，∴21n a n =-,∵{}n b 是以1为首项，2为公比的等比数列，∴12n n b -=,∴2112n n n b b b T c c c a a a =++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+11242n a a a a -=+++⋯+()1(211)(221)(241)221n -=⨯-+⨯-+⨯-+⋅⋅⋅+⨯-()121242n n-=+++⋅⋅⋅+-11222212nn n n +-=⨯-=---， ∵2020n T <，∴1222020n n +--<，解得9n ≤，则当2020n T <时，n 的最大值是9.故选：A.【点睛】本题考查了等差数列，等比数列，分组求和法，意在考查学生对于数列公式方法的灵活运用. 12．A先求得函数246y x x =++的值域为D ，利用分离常数法，结合基本不等式，求得实数k 的取值范围.【详解】函数246y x x =++开口向上，对称轴为2x =-，所以当1x ≤时，()2222y x =++≥，所以[)2,D =+∞.当[)2,x ∈+∞时，等式264x kx x ++≥恒成立，即64k x x ⎛⎫≥-++ ⎪⎝⎭.当[)2,x ∈+∞时，66226x x x x+≥⋅=，当且仅当6x =时有最小值.所以64426x x ⎛⎫-++≤- ⎪⎝⎭，故)426,k -∈⎡+∞⎣.故选：A【点睛】本小题主要考查二次函数在给定区间上的值域的求法，考查不等式恒成立问题的求解，考查基本不等式求最值，属于中档题.13．1014．{}23x x -<<15．20由题意，利用直角三角形的边角关系表示出,OB OA 与OP 的关系，再利用余弦定理求得OP 即h 的值．【详解】由题意得,PO OA PO OB ⊥⊥，因为在B 处测得P 点的仰角为45°，得OB OP h ==， 又因为在A 处测得P 点的仰角为30°，即30PAO ∠= ，在PAO ∆中，3tan 30OP OA h ︒==； 在AOB ∆中，由余弦定理可得2222cos AB OA OB OA OB AOB =+-⋅∠， 即22400323cos30h h h h =+-⋅⋅⋅⋅︒，解得20h =，∴旗杆OP 的高度为20m ．故答案为20．【点睛】本题主要考查了直角三角形的边角关系和余弦定理解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力，属于基础题．16．104-由等差数列的求和公式，求得2n S n =，得到221cos (1)cos 22n n n b n n ππ-⎛⎫=⋅⋅++⋅ ⎪⎝⎭，利用分组求和，即可求解.【详解】由题意，数列{}n a 满足21n a n =-，则2(121)2n n n S n +-==， 则221cos (1)cos 22n n n b n n ππ-⎛⎫=⋅⋅++⋅ ⎪⎝⎭， 则222222222250133557794951T =--++--++-()()()()222222222213355779(4926)=---+---+- 24282122162100104=-⨯+⨯-⨯+⨯+-⨯=-.17．（1）60︒；（2）33.18．（1）21n a n =+；（2）10.19．（1）(][),14,-∞-+∞；（2）R ；（3）见解析 解：（1）x 2-3x -4≥0，即()()410x x -+≥，解集为(][),14,-∞-+∞；（2）-x 2+x -1<0，140∆=-<，解集为R ； （3）当0a <时，解集为∅；当0a =时，解集为{}0； 当0a >时，解集为,a a ⎡⎤-⎣⎦20．（1）见解析（2）1142233n n ++-+ （1）根据等比数列的定义进行证明．（2）根据（1）以及2n n n b a =，在利用分组求和的方 （1）依题意，n N +∀∈，()112221n n n a a a ++=+=+ 1120a +=≠所以，{}1n a +是首项为2、公比为2的等比数列.（2）由（1）得：12n n a +=，21n n a =-， 242n n n n n b a ==-数列{}n b 的前n 项和为11114422422412133n n n n ++++---=-+--.。
吉林省吉林市普通高中2020-2021学年高二(上)期中数学(理科)试题
【市级联考】吉林省吉林市普通高中2020-2021学年高二（上）期中数学（理科）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．若0a b >>,则下列不等式不成立的是( )A ．11a b <B ．a b > C．a b +< D ．1122a b ⎛⎫⎛⎫< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 2．设集合[]A 1,2=，2B {x Z |x 2x 30}=∈--<，则A B (⋂= )A ．[]1,2 B ．()1,3- C ．{}1 D ．{}1,2 3．已知等差数列{a n }中，399,3a a ==，则公差d 的值为（ ） A ．12 B ．1 C ．1- D ．12- 4．若,x y 满足1010330x y x y x y +-≥⎧⎪--≤⎨⎪-+≥⎩，则2z x y =+的最大值为( )A ．8B ．7C ．2D ．15．在等比数列{}n a 中, 39,a a ,是方程231190x x -+=的两个根,则6a 等于 A ．3B ．116 C．D ．以上皆不是6．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若222a b c ab +=-，则C =( ) A ．60°B ．120°C ．45°D ．30°7．已知lg lg 0a b +=，则()lg a b +的最小值为（ ） A ．lg 2 B．C ．lg 2- D ．28．已知数列{}n a 中第15项15256a =，数列{}n b 满足2122214log log log 7b b b +++=，且1n n n a a b +=⋅，则1a =（ ）A ．12B ．1C ．2D ．49．在ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若cos cos a B b A =，则ABC ∆形状是（ ） A ．直角三角形B ．等腰三角形C ．等腰直角三角形D ．等腰或直角三角形10．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且110a =-，2345620a a a a a ++++=-，则“n S 取得最小值”的一个充分不必要条件是（ ）A ．5n =或6B ．5n =或6或7C ．6n =D ．11n =11．已知实数x ，y 满足：22{102x x y yy -≤-≤≤，若目标函数z ax y =+（其中a 为常数）仅在11,22⎛⎫ ⎪⎝⎭处取得最大值，则a 的取值范围是（ ） A ．()1,1- B ．1,0 C ．0,1 D ．{}1,1-12．在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c .若ABC ∆的面积为S ，且1a =，2241S b c =+-，则ABC ∆外接圆的面积为（ ）A ．4πB ．2πC ．πD ．2π二、填空题13．若不等式2x mx 10++≥的解集为R ，则实数m 的取值范围是______．14．若数列{}n a 的前n 项和22n S n =，则34a a +=_____________.15．已知ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c 且1a =，45B ∠=，2ABC S =，则b =______．16．已知0x >，0y >，且211x y +=，若222x y m m +>+恒成立，则实数m 的取值范围是______.三、解答题17．不等式2260kx x k -+<（1）若不等式的解集为{}32x x x <->-或，求k 的值；（2）若不等式的解集为R ，求k 的取值范围．18．已知{}n a 是公差不为零的等差数列，{}n a 的前n 项和为n S ，若125,,a a a 成等比数列，且416S =.(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)若数列{}n b 满足32(1)n n n b a -=-⋅，求12310b b b b ++++的值.19．在ABC 中，a ，b ，c 分别是三个内角A ，B ，C 的对边，设4a =，3c =，1cos 8B =． （1）求b 的值；（2）求ABC 的面积．20．某厂拟用集装箱托运甲、乙两种货物，集装箱的体积、重量、可获利润和托运能力等限制数据列在表中，如何设计甲、乙两种货物应各托运的箱数可以获得最大利润，最大利润是多少？21．已知△ABC 的内角A ，B ，C 满足sin sin sin sin sin sin sin sin A B C B C A B C -+=+-． （1）求角A ；（2）若△ABC 的外接圆半径为1，求△ABC 的面积S 的最大值．22．设数列{a n }的前项为S n ，点(n,S n n)， (n ∈N ∗)均在函数y =3x −2的图象上. （1）求数列{a n }的通项公式．（2）设b n =3an ⋅a n+1， 求数列{b n }的前项和T n .参考答案1．C【分析】根据均值不等式可知，a b +<不正确.【详解】因为0a b >>，所以2a b +>C 显然矛盾，故C 选项错误. 【点睛】本题考查不等式的基本性质及均值不等式，属于容易题.2．D【解析】【分析】解一元二次不等式可得集合B ，利用交集定义求解即可.【详解】集合[]A 1,2=， {}2B {x Z|x 2x 30}{x Z|1x 3}0,1,2=∈--<=∈-<<=，{}A B 1,2∴⋂=．故选：D ．【点睛】本题主要考查了集合的表示及集合的交集运算，属于基础题.3．C【分析】由等差数列的通项公式进行计算即可得答案.【详解】等差数列{a n }中，399,3a a ==，则936,a a d =+即3=9+6d,解得d=-1故选C【点睛】本题考查等差数列通项公式的应用，属于简单题.4．B【解析】试题分析：作出题设约束条件可行域，如图ABC ∆内部（含边界），作直线:20l x y +=，把直线l 向上平移，z 增加，当l 过点(3,2)B 时，3227z =+⨯=为最大值．故选B ．考点：简单的线性规划问题．5．C【分析】依题意可得，39391130,03a a a a ⋅=>+=>，所以26393a a a =⋅=，则6a = C 【详解】请在此输入详解！【点睛】请在此输入点睛！6．B【解析】 根据已知，由余弦定理可得22212cos ,0,223a b c C C C ab ππ+-==-<<= ， 故选B7．A【解析】分析：根据对数运算得到lg(ab )＝0，即 ab ＝1，再由基本不等式得到最值.详解：由 lg a ＋lg b ＝0，可知 a >0，b >0，则 lg(ab )＝0，即 ab ＝1.所以 a ＋b≥2 ＝2，当且仅当 a ＝b ＝1 时取等号， 所以 lg(a ＋b )≥lg 2.故 lg(a ＋b )的最小值为 lg 2.点睛：本题考查了对数的基本运算，基本不等式的应用，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.8．C【解析】【分析】由条件2122214log log log 7b b b +++=可得，7123142b b b b ⋅⋅=，由递推关系式1n n n a a b +=⋅可得1n n n a b a +=，所以1513142141311413121a a a a b b b a a a a ⨯⨯⨯⨯=⋅⋅，可得12a =。