江苏省张家港市高二数学周日测试2

张家港外国语学校高二数学理科周日测试卷21.若a=，则a 等于 ．2.若复数()(1)a i i -+（i 是虚数单位，a R ∈）是纯虚数,则a = . 3．已知双曲线的焦点到一条渐近线的距离等于实轴长，那么该双曲线的离心率为 .4.当且仅当m r n ≤≤时，两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点，则n m -的值为 ．5、若双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>上不存在点P 使得右焦点F 关于直线OP （O 为双曲线的中心）的对称点在y 轴上，则该双曲线离心率的取值范围为 . 6、在正三棱锥A BCD -中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF DE ⊥，若BC a =，则正三棱锥A BCD -的体积为 ．7将9个人（含甲、乙）平均分成三组，甲、乙分在同一组，则不同分法的种数为 .8、从10种不同的作物中选出6种放入6个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第1号瓶内，那么不同的放法共有 .9、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，点P 在椭圆上，且OPF ∆（O 为坐标原点）为等边三角形，则椭圆的离心率e = ．10、我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = .11.2310(1)(1)(1)(1)x x x x ++++++++的展开式中含2x 项的系数是 .12、设321()252f x x x x =--+,当]2,1[-∈x 时,()f x m <恒成立,则实数m 的取值范围为 。

13、已知1F 、2F 分别为椭圆192522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若4||||21=-PF ，则()=-⋅21PF ________ 14、用1，2，3，4，5这五个数字可组成比20000大，且百位数不是3的无重复数字有个.15.如图,在直三棱柱111A B C A B C -中,090ACB ∠=，,,E F G 分别是11,,AA AC BB 的中点，且1CG C G ⊥.(Ⅰ)求证：//CG BEF 平面； (Ⅱ)求证：平面BEF ⊥平面11AC G .16. （1）已知(n展开式中前3项系数的和为129，这个展开式中是否含有常数项和一次项？如果没有，请说明理由；如有，请求出来。

（2）设21*1(,1)n n a q q q n N q -=++++∈≠±，1212nn n n n n A C a C a C a =+++①用q 和n表示n A ；②求证：当q 充分接近于1时，2n n A 充分接近于2n。

17.已知A 、B 为椭圆22143x y +=的左右顶点，F 为椭圆的右焦点，P 是椭圆上异于A 、B的任意一点，直线AP 、BP 分别交直线:(2)l x m m =>于M 、N 两点，l 交x 轴于C 点．（Ⅰ）当//PF l 时，求直线AM 的方程；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得以MN存在，请说明理由；（Ⅲ）对任意给定的m 值，求MFN ∆18.设函数sin ()x x f x x +=.（Ⅰ） 判断)(x f 在区间),0(π上的增减性并证明之；（Ⅱ） 若不等式0≤a ≤x x -+-43对]4,3[∈x 恒成立, 求实数a 的取值范围M ；（Ⅲ）设0≤x ≤π，且a M ∈，求证：x a a x a )1sin()1(sin )12(--+-≥0.19.规定!)1()1(m m x x x C m x +--=，其中x ∈R ，m 是正整数，且10=x C ，这是组合数m n C （n 、m 是正整数，且m ≤n ）的一种推广．(1) 求315-C 的值；(2) 设x>０，当x 为何值时，213)(x xC C 取得最小值？(3) 组合数的两个性质；①m n n m n C C -=. ②mn m n m n C C C 11+-=+.是否都能推广到mxC （x ∈R ，m 是正整数）的情形？若能推广，则写出推广的形式并给出证明；若不能，则说明理由.20. 已知函数2()ln (0,1)x f x a x x a a a =+->≠.（Ⅰ）当1a >时，求证：函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；（Ⅱ）若函数|()|1y f x t =--有三个零点，求t 的值；（Ⅲ）若存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，试求a 的取值范围.数学附加题1.某中学要用三辆通勤车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1－p 。

若甲、乙两辆汽车走公路①，丙汽车由于其他原因走公路②，且三辆车是否堵车相互之间没有影响。

（I ）若三辆汽车中恰有一辆汽车被堵的概率为716，求走公路②堵车的概率； （Ⅱ）在（I ）的条件下，求三辆汽车中被堵车辆的个数 的分布列和数学期望。

2.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点F T M P 、、、满足(1,0),(1,)OF OT t ==-，,,//FM MT PM FT PT OF =⊥．（1）当t 变化时，求点P 的轨迹C 的方程；（2）若过点F 的直线交曲线C 于A,B 两点,求证：直线TA,TF,TB 的斜率依次成等差数列．3. 在三棱柱ABC —A1B1C1中，1AA ⊥平面ABC ，190,1ACB AC BC AA ∠=︒===，D 、E分别为棱AB 、BC 的中点，M 为棱AA1上的点。

（1）证明：111;A B C D ⊥（2）当AM =时，求二面角M —DE —A 的大小。

4. 已知数列{}n a 的前n 和为n S ，其中(21)n n S a n n =-且113a =(1)求23,a a (2)猜想数列{}n a 的通项公式，并用数学归纳法加以证明．参考答案：1、若a=，则a 等于．2. 1a =-3.4、当且仅当m r n ≤≤时，两圆2249x y +=与22268250(0)x y x y r r +--+-=>有公共点，则n m -的值为 10 ．5、(6、在正三棱锥A BCD -中，E 、F 是AB 、BC 的中点，EF DE ⊥，若BC a =，则正三棱锥A BCD -的体积为 3242a．7、7081589C A 种9、椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的一个焦点为F ，点P 在椭圆上，且OPF ∆（O 为坐标原点）为等边三角形，则椭圆的离心率e =1 ．10、我们知道若一个边长为a ，面积为S 的正三角形的内切圆半径23Sr a =，由此类比，若一个正四面体的一个面的面积为S ,体积为V ,则其内切球的半径r = 34VS .11、系数为311C12、(7,)+∞13、已知1F 、2F 分别为椭圆192522=+y x 的左、右焦点，P 为椭圆上一点，Q 是y 轴上的一个动点，若4||||21=-PF ，则()=-⋅21PF ____20=______。

14、78个二、解答题：本大题共6小题，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15.如图,在直三棱柱111ABC A B C -中,090ACB ∠=，,,E F G 分别是11,,AA AC BB 的中点，且1CG C G ⊥.(Ⅰ)求证：//CG BEF 平面；(Ⅱ)求证：平面BEF ⊥平面11AC G .证:(Ⅰ)连接AG 交BE 于D ,连接,DF EG . ∵,E G 分别是11,AA BB 的中点，∴AE ∥BG 且AE =BG ,∴四边形AEGB 是矩形.∴D 是AG 的中点………………………………………………(3分) 又∵F 是AC 的中点,∴DF ∥CG ………………………………………………………(5分)则由DF BEF ⊂面,CG BEF ⊄面,得CG ∥BEF 面…………………(7分)(注:利用面面平行来证明的,类似给分) (Ⅱ) ∵在直三棱柱111ABC A B C -中，1C C ⊥底面111A B C ,∴1C C ⊥11AC .又∵011190AC B ACB ∠=∠=,即11C B ⊥11AC ,∴11AC ⊥面11B C CB ……………(9分) 而CG ⊂面11B C CB ,∴11AC ⊥CG ………………………………(11分)又1CG C G ⊥,由(Ⅰ) DF ∥CG ，111,AC DF DF C G ∴⊥⊥∴DF ⊥平面11AC G ………………………………………(13分)DF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面11ACG . ……………………………(14分) 16. （1）展开式中没有常数项，有一次项，且一次项为1792x（2）（1）1[2(1)]1n n n A q q =-+-（2）提示：11[1(1)]212nn n A q q -=---当q 充分接近于1时，12q -接近于0，由二项式定理知1(1)2nq --充分接近于11()2qn --，所以得证。

17.已知A 、B 为椭圆22143x y +=的左右顶点，F 为椭圆的右焦点，P 是椭圆上异于A 、B的任意一点，直线AP 、BP 分别交直线:(2)l x m m =>于M 、N 两点，l 交x 轴于C 点． （Ⅰ）当//PF l 时，求直线AM 的方程；（Ⅱ）是否存在实数m ，使得以MN 为直径的圆过点F ，若存在，求出实数m 的值；，若不存在，请说明理由；（Ⅲ）对任意给定的m 值，求MFN ∆面积的最小值．18.设函数sin ()x x f x x +=.（Ⅰ） 判断)(x f 在区间),0(π上的增减性并证明之；（Ⅱ） 若不等式0≤a ≤x x -+-43对]4,3[∈x 恒成立, 求实数a 的取值范围M ； （Ⅲ）设0≤x ≤π，且a M ∈，求证：x a a x a )1sin()1(sin )12(--+-≥0.解：(Ⅰ)∵x x x x x x f sin 1sin )(+=+=∴),0(sin cos )(2π∈-='x x xx x x f …1分设x x x x g sin cos )(-= ),0(π∈x 则)),0((0sin )(π∈<-='x x x x g ……2分∴)(x g 在),0(π上为减函数 又0)0(=g ),0(π∈x 时，)(x g 0<，∴0)()(2<='x x g x f ∴)(x f 在),0(π上是减函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ………4分(Ⅱ)∵)4)(3(21)43(2x x x x --+=-+- ∴3=x 或4时 1)43(min 2=-+-x x ∴1)43(min =-+-x x …………………………………6分又0≤a ≤x x -+-43对一切]4,3[∈x 恒成立 ，∴0≤a ≤1 ……………8分 （Ⅲ）显然当1,0=a 或π,0=x 时，不等式成立 ………………………10分 当πx a <<<<0且10，原不等式等价于x a a )1sin()1(--≥x a sin )21(- ………11分下面证明一个更强的不等式：x a a )1sin()1(--≥22(12)sin (1)sin a a x a x -+=-…① 即x a )1sin(-≥x a sin )1(-……②亦即x a x a )1()1sin(--≥x xsin …………………………13分 由(1) 知x x sin 在),0(π上是减函数 又x x a <-)1( ∴x x x a x a sin )1()1sin(>-- ∴不等式②成立，从而①成立 又>+-x a a sin )21(2x a sin )21(-∴x a a )1sin()1(--＞x a sin )21(-综上有0≤x ≤π且0≤a ≤1时，原不等式成立 …………………………16分 19. (1)680!3)17)(16)(15(315-=---=-C . （6分）(2))32(616)2)(1()(2213-+=--=x x x x x x C C x x. （7分） ∵ x > 0 ,222≥+x x .当且仅当2=x 时，等号成立. ∴ 当2=x 时，213)(x x C C 取得最小值. （12分）（3）性质①不能推广，例如当2=x 时，12C有定义，但122-C 无意义;（14分）性质②能推广，它的推广形式是mx m x m x C C C 11+-=+，x ∈R , m 是正整数. （15分） 事实上，当m ＝１时，有11011+=+=+x x x C x C C .当m ≥２时.)!1()2()1(!)1()1(1----++--=+-m m x x x m m x x x C C m x m x⎥⎦⎤⎢⎣⎡++--+--=11)!1()2()1(m m x m m x x x !)1)(2()1(m x m x x x ++--= mx C 1+=．（20分）20. 解：（Ⅰ）()ln 2ln 2(1)ln x xf x a a x a x a a '=+-=+-…………………………………3分 由于1a >，故当(0,)x ∈+∞时，ln 0,10x a a >->，所以()0f x '>， 故函数()f x 在(0,)+∞上单调递增 ……………………………………………………………5分（Ⅱ）当0,1a a >≠时，因为(0)0f '=，且()f x '在R 上单调递增， 故()0f x '=有唯一解0x =……………………………………………………………………7分 所以,(),()x f x f x '的变化情况如下表所示：又函数|()|1y f x t =--有三个零点，所以方程()1f x t =±有三个根， 而11t t +>-，所以min 1(())(0)1t f x f -===，解得2t = ……………………………11分（Ⅲ）因为存在12,[1,1]x x ∈-，使得12|()()|1f x f x e -≥-，所以当[1,1]x ∈-时，max min max min |(())(())|(())(())1f x f x f x f x e -=-≥-…………12分由（Ⅱ）知，()f x 在[1,0]-上递减，在[0,1]上递增， 所以当[1,1]x ∈-时，{}min max (())(0)1,(())max (1),(1)f x f f x f f ===-，而11(1)(1)(1ln )(1ln )2ln f f a a a a aa a --=+--++=--，记1()2ln (0)g t t t t t =-->，因为22121()1(1)0g t t t t '=+-=-≥（当1t =时取等号）， 所以1()2ln g t t tt =--在(0,)t ∈+∞上单调递增，而(1)0g =，所以当1t >时，()0g t >；当01t <<时，()0g t <，也就是当1a >时，(1)(1)f f >-；当01a <<时，(1)(1)f f <-………………………14分 ①当1a >时，由(1)(0)1ln 1f f e a a e a e -≥-⇒-≥-⇒≥，②当01a <<时，由11(1)(0)1ln 10f f e a e a a e --≥-⇒+≥-⇒<≤，综上知，所求a 的取值范围为[)10,,a e e ⎛⎤∈+∞ ⎥⎝⎦…………………………………………16分数学附加题1.某中学要用三辆通勤车从新校区把教师接到老校区，已知从新校区到老校区有两条公路，汽车走公路①堵车的概率为14，不堵车的概率为34；汽车走公路②堵车的概率为p ，不堵车的概率为1－p 。