【精选课件】高教版中职数学拓展模块3.2二项式定理2课件.ppt
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中职数学拓展模块课件-二项式定理
解 (1) 因为
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
所以
= (2) 在二项式定理中，令a=1，b=x，可得
.
a b 7 =C07a7 C17a6b C72a5b2 C37a4b3 C74a3b4 +C57a2b5 +C67ab6 +C77b7
8.3.1 二项式定理
例2
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
可以看出二项式系数具有如下性质：
(1)每一行的两端都是1，其余的每一个数都等于它“肩上”两 个数
的和，事实上，假设表中任一不为1 的数为 可知：
.
(2)每一行中与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，
8.3.2
二项式系数的性质
8.3.2 二项式系数的性质
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
某代表队参加校内拔河比賽，需要与其他7个代表 队各赛一场.不难发现，比赛结果可分为8类：赢0场，赢 1场，…，赢7场. 而赢0场有1(记作 )种情况，赢1场 有 种情况 (即在7场中赢1场)，赢2场有 种情况，… 赢7场有 种情况．那么，该班比赛7场，比赛结果共有 多少种？
这一性质可以直接由 8.2节组合数的性质 1 得到：
.
(3)如果二项式(a+b)n的幂指数n是偶数，那么它的展开式正中间一
项的二项式系数最大；如果二项式(a+b)n的幂指数n是奇数，那么它的
展开式中间两项的二项式系数最大并且相等.
(4) (a+b)n的展开式的各个二项式系数之和为 . 根据二项式定理，
情境导入 探索新知 典型例题 巩固练习 归纳总结 布置作业
【高教版】中职数学拓展模块：3.4《二项分布》ppt课件(2)
解 由于是有放回的抽取，所以3次抽取是相互独立的．而且
巩 固 知 识 典 型 例 题
是在相同条件下进行的重复试验．每次抽取中，取到黑球的概率 1 4 都是 p ，取到的不是黑球的概率都是 ．三次抽取，取到黑球 5 5 4 n 3 ， p 的个数 是一个离散型随机变量，服从 的二项分布． 5 即 4 B 3， ． 5 事件 2 表示抽取3次所取到的球恰好有2个黑球．其概率为
在实际问题中，如果n次试验相互独立，且各次实验是重复试 验，事件A在每次实验中发生的概率都是p(0＜p＜1)，则事件A发 生的次数 是一个离散型随机变量，服从参数为n和P的二项分布．
例6 口袋里装有4个黑球与1个白球，每次任取一个球，观察 后放回再重新抽取．求抽取3次所取到的球恰好有2个黑球的概率．
巩 固 知 识 典 型 例 题
活不到65岁}．于是 P( A) 0.6, P( A) 1 0.6 0.4． 且随机变量 B(3， 0.6)． 因此
3 3 0 P (3) C 0.6 (1 0.6) 0.216， 3 3 2 2 1 P (2) C 0.6 (1 0.6) 0.432， 3 3 1 1 2 P (1) C 0.6 (1 0.6) 0.288， 3 3 0 0 3 P ． 3 (0) C3 0.6 (1 0.6) 0.064
0， 1， 2， 3的概率（仅求到组合数形式）分别为：
0 1 P( 0) C3 0.030 (1 0.03)3， P( 1) C3 0.03 (1 0.03)2， 2 3 P( 2) C3 0.032 (1 0.03)， P( 3) C3 0.033 (1 0.03)0．
高教版中职数学(拓展模块)3.2《二项式定理》ppt课件1
C24；恰有3个取b的
趣 导 入
情况有 C34 种，所以 a b3的系数是 C34；恰有4个取b的情况有 所以 b 4的系数是 C44．
C
4 4
种，
因此
（a b)4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34ab3 C44b4．
利用这种方法可以得到二项式定理： 设a , b是任意实数，n是任意给定的正整数，则
2019/8/29
最新中小学教学课件
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you!
2019/8/29
最新中小学教学课件
设
乘积，因而各项都是4次式，其所含字母的形式分别为
情 境
a 4，a 3b，a 2b 2，ab3，b 4
在上面4个括号中，每个都不取b的情况有1种，即
C04种，所以
a 4的系数是 C04；恰有1个取b的情况有 C14 种，所以 a3b的系数是 C14；
兴
恰有2个取b的情况有
C
2 4
种，所以
a 2b 2 的系数是
典
所以二项式展开式中第5项是常数项，为题的一般方法．
型 例
C150
1098 7 6 5 43 21
252．
题
1． 用二项式定理展开下列各式：
（1） (1 x)8 ； （2） (x 1)6 ； x
运 用
（3） (2a b)5 ；（4） ( x 2 )4 ． 2x
探 式的通项为
索
Tm1 =Cnmanmbm
新
知
由二项式定理可以得到：
(a b)1
…………
11
(a b)2
…………
121
动
(a b)3
《二项式定理》ppt课件
பைடு நூலகம்
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
A.15
������ ������������
B.20������
-
������ ������
C.15
������
2
D.20
������ ������������
【解析】T3=������������ ������ ( ������) ( ) =15,故选 C.
4
������
2
10 (x- ������y) 的展开式中第 5 项的系数是( A ). A.840 B.-840 C.210 D.-210
二项展开式的通项和二项式系数 n 在二项式定理中,右边的多项式叫作(a+b) 的二 项展开式,展开式的第 r+1 项为 n-r r Tr+1=������������ a b (r=0,1,2…n),其中的系数 ������ 二项式系数 ������������ . ������ (r=0,1,2…n)叫作
������
������
n
于 37,求展开式中的第 5 项的系数.
������ ������ 【解析】由������������ ������ +������������ +������������ =37 得 1+n+ n(n-1)=37, ������ ������
得 n=8.
������������ 4 ������������ 4 ������ ������ 又∵T5=������������ ������(2x) = x ,∴该项的系数为 . ������ ������ ������
������ ������ b) +������������ (4a) (b) + ������ (4a) (b) + ������ ������ ������ ������ (4a) (1 3 2 2 3 1
高教版中职数学(拓展模块)3.4《二项分布》ppt课件1
A，并且在每次
实验中，事件A发生的概率都不变．这样的n次独立试验叫做n次
动
伯努利实验．
脑
思
可以证明（证明略），如果在每次实验中事件A发生的概率
考
为P(A) p，事件A不发生的概率说明P( A) 1 p，那么，在n次伯努
n次伯努利实
探
利实验中，事件A恰好发生k次的概验率中为，事件A恰好发生k 次的概率公式可以看成
独立重复试验．
动
脑
采用“有放回”的方法，从袋中连续5次抽取的实验就是5次独
思
立重复试验．
考
探
观察上面的实验，每次试验的可能结果只有两个（黄球、白
索
球），并且两个结果是相互独立的（即各个事件发生的概率互相
新
没有影响）．
知
一般地，在n次独立试验中，如果每次试验的可能结果只有
两个，且它们相互对立，即只考虑两个事件A和
体
这个公式叫做伯努利公式，其中 k 0，1，2 ，n．
建
构
生产某种零件，出现次品的概率是0.04，现要生产4件这 种零件，求：
（1）其中恰有1件次品的概率；
Hale Waihona Puke 自 我（2）至多有1件次品的概率．
反
思
目
标
0.14，0.99．
检
测
继续探索 活动探究
基础训练及对口升学精讲精练 书面作业：教材习题 Ｐ46 习题T3,T4
• 三、听英语课要注重实践
• 英语课老师往往讲得不太多，在大部分的时间里，进行的师生之间、学生之间的大量语言实践练习。因此，要上好英语课，就应积极参加语言实践活 动，珍惜课堂上的每一个练习机会。
2019/7/31
中职数学 拓展模块 第3章 概率与统计
3.1 排列与组合
两个相同的排列有什么 特点？两个相同的组合呢？
3.1 排列与组合
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫作从n个 不同元素中取出m个元素的 组合数 ，用 来表示.
例如，上述问题从3个不同的元素中任取2个元素的组合数，记为 ；我们已经知道 =3.那么从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的组合 数 是多少呢？下面我们来讨论下组合数的公式.
为了得到这个问题的结论，我们先来看问题一：从甲、乙、丙 3名同学中选出2名参加一项活动，其中1名同学参加上午的活动， 另1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？
3.1 排列与组合
解决这个问题需 分2个步骤：第一步， 先确定1名参加上午活 动的同学，从3人中任 选1人有3种选法；第 二步，确定1名参加下
学习提示
例6 中公式是组合数的性质之一，即从n个 不同元素中取出m个元素的所有组合数与取出nm个元素的所有组合数是相同的.它给出了一种
减少计算工作量的方法，如计算C160 可转化为计
算 C140 .
3.1 排列与组合
练一练
1.计算.
C140
;
C198 200
;
C939
;
C22
C32
C1200 .
行业PPT模板：/hangye/ PPT素材下载：/sucai/ PPT图表下载：/tubiao/ PPT教程： /powerpoint/ Excel教程：/excel/
第3章 概率与统计
图3-5
3.1 排列与组合
填法可分为m个步骤： 第一步，第一位可以从n个不同的元素中任意选填一个，有n种 方法； 第二步，第二位可以从剩余的n-1个不同的元素中任意选填一 个，有n-1种方法； 第三步，第三位可以从剩余的n-2个不同的元素中任意选填一 个，有n-2种方法； …… 第m步，第m位可以从余下的n-m+1个不同的元素中任意选填 一个，有n-m+1种方法.
【高教版】中职数学拓展模块：2
这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距。
M
几点说明：
F1
F2
1、F1、F2是两个不同的点；
2、M是椭圆上任意一点，且|MF1| + |MF2| = 常数；
3、通常这个常数记为2a，焦距记为2c，且2a>2c；
4、如果2a = 2c，则M点的轨迹是线段F1F2.
5、如果2a < 2c，则M点的轨迹不存在.（由三角形的性质知）
答:在y 轴上(0,-1)和(0,1)
焦点在分母大的那个轴上。
写出适合下列条件的椭圆的标准方程 (1) a =4，b=1，焦点在 x 轴上；
x2 y2 1 16
(2) a =4，b=1，焦点在坐标轴上；
x2 y2 1或 x2 y 2 1
16
16
例题讲解
例、椭圆的两个焦点的坐标分别是(－4, 0 )、( 4 , 0 )， 椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10,求椭圆的标准方程。
星系中的椭圆
——仙女座星系
•M
•
•
F1
F2
一、椭圆的定义：
平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数 （大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，
这两个定点叫做椭圆的焦点(F1、F2 )， 两焦点的距离叫做椭圆的焦距|F1F2|.
1、椭圆的定义：
平面内到两个定点F1、F2的距离之和等于常
数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆。
F1
(-c,0)
Y M(x,y)
O
F2 X
(c,0)
两边同时除以a2b2得：
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)
这个方程叫做椭圆的标准方程， 它所表示的椭圆的焦点在x 轴上。
二项式定理的应用(PPT)3-2
用关于(r 1)的n次多项式表示 rn.
分析：若把 r n 表示为 [(r 1) 1]n
运用二项式定理，就可得到所求的表达式。
解：
rn [(r 1) 1]n
=
c0n (r
- 1) n
+
c1n (r
- 1) n-1
+
c2n (r
- 1) n-2
++
c
n n
退出
二项式定理的应用
求展开式
(a b)n cn0an cn1an1b1 cnranrbr
cnnbn
二项展开式
求展开式中的指定项 cnr （r=1,2,…,n) 二项式系数
Tr1 cnra nrbr
求展开式中的特定项
n
二项展开式的通项 第 r+1 项
求展开式中的有理项
C1n Cn2 C0n
C
n-1 n
C
n n
n 是偶数
n 1
n +1
求展开式中的最大项
Cn 2
C1n
C
2 n Cnn-1小结说明C0n
Cnn n 是奇数
如M足够大时便产生一个附体的圆锥形的激波面(图c )。气流通过圆锥激波的变化与平面斜激波是一样的。所不同的是气流经过圆锥激波的突变之后还要继续 改变指向，速度继续减小，最后才渐近地趋于与物面的斜角一致。也就是说，气流在激波上指向折转不够，所以当半顶角相同时，圆锥所产生的圆锥激波较 之二维翼型的激波； 炒股配资 为弱。 利用气流通过激波时密度突变的特性，可借助光学仪器将激波形状显示出来或拍摄成 像。飞行器在飞行中，激波的产生和它的形状，对飞行器空气动力有很大影响，一些国家对高速飞行的飞行器作了大量的试验和研究，以便采用合适外形， 推迟激波产生或减小波阻。激波可使气体压强和温度突然升高，因此，在气体物理学中常利用激波来产生高温和高压，以研究气体在高温和高压下的性质。 利用固体中的激波，可使固体压强达到几百万大气压（大气压等于帕），用以研究固体在超高压下的状态。这对解决地球物理学、天体物理学和其他科学领 域内的问题有重要意义。 旋转磁场是一种大小不变，而以一定转速在空间旋转的磁场。在对称三相绕组中流过对称三相电流时会产生一种旋转磁场，该磁场 随电流交变而在空间不断地旋转着 [] 。 交流电机气隙中的磁场。因其沿定、转子铁心圆柱面不断旋转而得名。旋转磁场是电能和转动机械能之间互相转换 的基本条件。 通常三相交流电机的定子都有对称的三相绕组（见电枢绕组）。任意一相绕组通以交流电流时产生的是脉振磁场。但若以平衡三相电流通入三 相对称绕组，就会产生一个在空间旋转的磁场。磁场的对称轴线φ随时间而转动，其转速ns由电流频率f和磁极对数P决定 ns称为同步转速或同步速（以转每 分表示）。中国应用的工业电源的频率f为赫,于是两极电机(P=)的ns=转/分；四极电机(P=)的ns=转/分；余类推。 在一般情况下，电流变化一个周期，磁场 轴线在空间就转过一对极。若近似地认为磁场沿圆周作正弦形分布，并用磁场轴线处的空间矢量Ø 来代表，用矢量长度表示磁场振幅，则理论分析证明，三 相对称绕组通以平衡的三相电流时，产生的是一个振幅不变的旋转磁场。这时矢量Ø 在旋转过程中它的末端轨迹为一圆形，故名圆形旋转磁场。这个结论可 以推广到一般的多相（包括两相）系统。即多相电机对称绕组通以平衡多相交流电流，则产生圆形旋转磁场。 一般说来，旋转磁场的转向总是从电流超前的 相移向电流滞后的相。如果将三相的 个引出线任意两个对调再接向电源，即通入三相绕组的电流相序相反，则旋转磁场的转向也跟着相反。 如果三相电
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+
C
r r +1
+
C
r r+2
+
+
C
r n1
=
C
r n
+1(n
r )（第r+1条斜线）
如图，写出斜线上各行数字的和， 发现有什么规律？
1，1，2，3，5，8，13，21．．．
an = an1 + an2 (n 3)
著名的斐波,那契数列．
二项式定理
分类习题研究
二项式定理的逆向使用问题
n
k k
+1
实质：数
所
以C
k n
相
对
于C
k n
1的
增
减
情
况
由n
k k
+
1
决
定.
由nk +1 1 k n+1
k
2
列的单调 性与数列 的最大项 问题
当k n +1时 二项式系数是逐渐增大的，由对称性可知
2 它的后半部分是逐渐减小的，且中间项取得最大值。
n
当n是偶数时，中间的一项
C2 n
(5) a0 + a1 + + a100 .
常见的赋值方法(：1)多项式f ( x)的各项系数和为f (1);
(2)奇数项系数和为 f 1 f -1,偶数项系数和为 f 1+ f -1
2
2
展开式的系数和问题
12.设(3x 1)8 = a0 + a1x + a2 x2 ++ a8 x8 ,求 (1)a1 + a2 + + a8;(2)a0 + a2 + a4 + a6 + a8; (3)a0 a1 + a2 a3 + a4 a5 + a6 a7 + a8 .
n n
(a
+
b)n
=
C n0a n
+ Cn1an1b
+
+
C
k n
a
nk
b
k
+ + Cnnbn
(a b)n = Cn0an Cn1an1b + + (1)k Cnkankbk + + (1)n Cnnbn
二项展开式指定项的系数问题 2.已知二项式3
二项式定理
基础知识
• 1研.在n究=1,(2a,3+,4时b)，n的研究展(a+开b)n的式展开式.
(a+b)1 = a+b
(a+b)2 = a2+2ab+b2
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3
(a+b)4=？
n次齐次式
• 2.规律: (1)展开式各项次数有什么特点？a降次，b升次
(2)展开式各项系数有什么特点？
=（）a4 +（）a3 b +（）a2 b2 +（）ab3 +（）b4
(a + b)4
= C04 a4
+ C14 a3 b + C24 a2 b2
+ C34 ab3
+
C
4 4
b
4
• 4.一般地，(a+b)n=?
(a
+ b)n
=
C n0a n
+
C
n1a
n1b
+
+
C
k n
a
nk
bk
+ + Cnnbn
8.(1)求
x
+
1 x
2
3
展
开
式
中
的
常
数
项
；
(2)若 x + 1 2n的 展 开 式 的 常 数 项 为 20,求n. x
9.求
x
3+
3 x
1 x2
5
展 开 式 中 的 常 数 项.
◆ 多项式问题的方法: ①转化为二项式来展开； ②利用多项式的乘法法则展开； ③对多项式先变形化简，再展开； ④利用加法原理和乘法原理来求指定项的系数.
x
2
10
,
(1)求
展
开
式
中
第4项
的
二
项
式
系
数
；
3x
(2)求 展 开 式 中 第4项 的 系 数; (3)求 第4项.
3.已知 x + 1 n的展开式中，前三项的系数成等差数列， 2 x
求 展 开 式 中x项 的 系 数 及 二 项 式 系 数.
◆ 区分三个概念：项、项的系数、项的二项式系数；
C
m n
=
C nm n
图象的对称轴：r = n 2
在相邻的两行中，除1外的每一 个数都等于它“肩上”两个数的
C
r n+1
=
C
r n
ห้องสมุดไป่ตู้
1
+
C
r n
和.
• 2.增减性与最大值： 二项式系数的性质
C nk
= n(n 1)(n 2)...( n k +1) (k 1)!k
=
C nk 1
3 x
6.若
x+
1
n
展
开
式
中
前
三
项
系
数
成等
差
数
列, 求
：
24 x
(1)展 开 式 中 含x一 次 幂 的 项(；2)展 开 式 中 所 有x的 有 理 项.
抓住通项Tk+1 = Cnkan-k bk解题, 注意Cnkan-k bk是第k +1项,不是第k项.
三项式、多项式问题
7.求 x2 + 3x + 2 5的 展 开 式 中x的 一 次 项 的 系 数.
1.求 下 列 式 子 的 展 开 式(1：)1+ 1 4;(2) 2
x
1
6
x
x
2.求(1+ 2x)7的 展 开 式 的 第4项 的 二 项 式 系 数 、
第4项 的 系 数 、 倒 数 第4项 的 二 项 式 系 数 与 系 数.
3.求
x
1
9
的 展 开 式 中x3的 系 数,并 问 展 开 式 中
取得最大值 ；
n1
n+1
当n是奇数时，中间的两项 C 2 ，C 2 相等，且
同时取得最大值。
n
n
• 3.二各二项项式式系系数的数和的性质
在二项式定理中，令a = b = 1得：
重要方法： 赋值法
C
0 n
+
C
1 n
+
C
2 n
+
+
C
n n
=
2n
这就是说，(a + b)n的展开式的各二项式系数的和等于：2n
13.在展(3x开 2 y式)20的系展开数式最中,求大项的问题
(1)二 项 式 系 数 最 大 的 项(2；)系 数 绝 对 值 最 大 的 项(3；)系 数 最 大 的 项.
14.(1+ 2x)n的 展 开 式 中 第6项 与 第7项 的 系 数 相 等,求 展 开 式 中 二 项
式 系 数 最 大 的 项 和 系 数最 大 的 项.
4.在奇数项的二项式系数的和等 于偶数项的二项式系数的和，即
C
0 n
+
C
2 n
+
C
4 n
+
=
C
1 n
+
C
3 n
+
C
5 n
+
=
2n1
更多探究……
• 从杨辉三角中一个确定的数的“左 （右）肩” 出发， 向右（左）上方 作一条和左斜a边n 平行的射线，在这条 射线上的各数的和有何特征？
C
r r
C 30a 3
C31a 2b
C
2 3
ab2
C33b3
共有四项
a3 :每个括号都不取b的情况有一种，即 C03 种，所以a3的系数是 C03
a2b:相当于有一个括号中取b的情况有 C13 种，所以a2b的系数是 C13 同理，ab2 有 C23 个；b3 有 C33 个；
如何求(a+b)n的展开式
3. (a + b )4 = (a + b )( a + b )( a + b )( a + b )
P
可以推出Q到每一个节点 的步数，如图所示，你发 现了什么规律？
杨辉三角形
n=0 n=1 n=2 n=3 n=4 n=5 n=6
C10 C11
C
0 2
C
1 2
C
2 2
C
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
C40
C
1 4
C42
C43
C
4 4
伟大的数学家
• 杨辉，字谦光，钱塘(今杭州) 人，中国古代数学家和数学 教育家。由现存文献可推知， 杨辉担任过南宋地方行政官 员，为政清廉，足迹遍及苏 杭一带，他署名的数学书共 五种二十一卷。他是世界上 第一个排出丰富的纵横图和 讨论其构成规律的数学家。 与秦九韶、李治、朱世杰并 趁称宋元数学四大家。