复变函数第五章2留数的一般理论
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复变函数第五章留数
第五章 留数
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
§1 孤立奇点 §2 留数
1
§5.1 孤立奇点
一、孤立奇点定义
如果函数f z在z0不解析, 但在z0的某个去心邻域
0 z z0 内处处解析, 则称z0为f z的孤 立 奇 点.
例如
1 sin
1
, z0
=
0为奇点,
但不是孤立奇点.
z
z 1 n 1,2,为奇点, n , z 0,
]
sinz
cosz
zzk
sinz sinz
z
zk
1
tgzdz
C
2i 8 1 16i
31
例4 计算 z4 sin 1 dz, C为 z 1 2.
C
z
解 奇点：z 0, 奇点类型不清楚，
•
z4
sin 1 z
z4
1 z
1 3! z3
1 5! z5
1 7! z7
z3
z 3!
1 5! z
1 7! z3
Re
s
f
z,0
c1
1 120
C
z4
sin
1 z
dz
2i
Re
s
f
z,0
60
i
32
例5 计算
C
z z4 1
dz,C为 z
2，正向.
解 显然 z 1,i 都是 f z 的一级极点，
f z ( z z0 )m z ，
其中 z在z0解析，且 z0 0，m为正整数，
则
z
为
0
f
z
的m
级
零
点.
例如 对于 f z z(z 1)3，z0 0, z0 1分别是其一级
第5章-留数及其应用02-留数
3 留数的计算方法
例1： 解： 因为
z 1, z 2,
f (z)dz
z 3
Re s[
f
( z ), 1]
lim
z1
( ห้องสมุดไป่ตู้
1)
(z
ez 1)( z
2)
lim
z1
ez z
2
e
Re s[
f
( z ),
2]
lim
z2
( z
2)
(z
ez 1)( z
2)
lim
z2
ez z
1
e
2
解:
注： 当极点的级数高（三级或者三级以上），则计算繁杂.
第五章 留数及其应用
第二讲 留数与留数定理
主要内容
1. 留数的定义 2. 留数定理 3. 留数的计算方法 4. 函数在无穷远点的留数
1 留数的定义
回顾：复变函数的积分 柯西-古萨基本定理： 柯西积分公式： 高阶导数公式： 闭路变形原理：
明星公式：
2 留数定理
如果函数 f(z) 在某区域 D 内除有限个孤立奇点外处处解析， 则利用复合闭路定理可以得到留数的一个基本定理. 定理: 设 f(z) 在区域内 D 除有限个孤立奇点z1, z2,…,zn外处处解 析, C 是 D 内包含所有奇点在其内部的分段光滑正向曲线, 则
f (z)dz
z 3
f (z)dz
z 2
4 函数在无穷远点处的留数
N 1
Res f (z), zk Res f (z), 0
k 1
《复变函数与积分变换》 留数—计算规则
三、在 ∞ 点的留数 定义 2.2 设 ∞ 是 f ( z ) 的孤立奇点 , 则 f ( z ) 在 R < z < +∞ 内解析 ,
C 是 R < z < +∞ 内一条简单闭
y C
O
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
R
x
定理 2.2 若 f ( z ) 在 C U {∞} 上有有限个奇点：z1 ,L , z n , ∞ , 则
1 P ( z ) , z = 0 是 f ( z ) 的 3 级极点 . z3 1
解二：把 f ( z ) 在 z = 0 点展成洛朗级数 :
z − sin z 1 = 6 z6 z = 1 3 1 5 1 7 z − z − 3! z + 5! z − 7! z + L
O
1 = − c1 . ∫ C f ( z ) dz, 则 Res f ( z ) , ∞ 2π i Ñ
× zn
f ( z ) ,∞ . = − 2π i Res
§5.2 留 数 —— 在 ∞ 点的留数
规则 IV Res [ f ( z ), ∞ ] = − Res f ( )
(5)
假设 z0 是 f ( z ) 的 k 级极点 , k < m ,
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
−k
+ L + c−1 ( z − z0 ) + c0 + c1 ( z − z0 ) + L
−1 m− k
( z − z0 )
0
m
f ( z ) = c− k ( z − z0 )
§5.2 留 数 —— 计算规则
复变函数与积分变换5.2留数
m
f ( z )} ( m - 1)! c - 1 a ( z - z 0 )
令两端 zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。
规则 3
设 f ( z ) P z Q z , P (z)及 Q (z)在 z 0 都 解 析 ,
Res[ f ( z ), 0 ] lim z
z 0
e
z 2
z ( z - 1)
lim
e
z 2
z 0
( z - 1)
1.
z d e 2 R es[ f ( z ),1] lim ( z - 1) 2 ( 2 - 1)! z 1 d z z ( z - 1)
1 Q (z)
1 z - z0
( z ),
其 中 (z)在 z 0 解 析 , 且 (z 0 ) 0 . 故 z 0 为 f (z )的 一 级 极 点 .
根 据 规 则 1 , R es[ f ( z ), z 0 ] lim ( z - z 0 ) f ( z ) ,而 Q (z 0 )= 0 .
z
-1
d z 2 π i(
e 2
) 2 π i ch 1
2
我们也可以用规则3来求留数:
Res[ f ( z ),1] ze
z
2z
|
z 1
e 2
; e
-1
Res[ f ( z ), - 1]
ze
z
2z
|
z -1
2
.
这比用规则1要简单些.
例 2
f ( z )} ( m - 1)! c - 1 a ( z - z 0 )
令两端 zz0, 右端的极限是(m-1)!c-1, 两端除以(m-1)! 就是Res[f (z), z0], 即得规则2, 当 m=1时就是规则1。
规则 3
设 f ( z ) P z Q z , P (z)及 Q (z)在 z 0 都 解 析 ,
Res[ f ( z ), 0 ] lim z
z 0
e
z 2
z ( z - 1)
lim
e
z 2
z 0
( z - 1)
1.
z d e 2 R es[ f ( z ),1] lim ( z - 1) 2 ( 2 - 1)! z 1 d z z ( z - 1)
1 Q (z)
1 z - z0
( z ),
其 中 (z)在 z 0 解 析 , 且 (z 0 ) 0 . 故 z 0 为 f (z )的 一 级 极 点 .
根 据 规 则 1 , R es[ f ( z ), z 0 ] lim ( z - z 0 ) f ( z ) ,而 Q (z 0 )= 0 .
z
-1
d z 2 π i(
e 2
) 2 π i ch 1
2
我们也可以用规则3来求留数:
Res[ f ( z ),1] ze
z
2z
|
z 1
e 2
; e
-1
Res[ f ( z ), - 1]
ze
z
2z
|
z -1
2
.
这比用规则1要简单些.
例 2
复变函数 留数和留数定理讲解
另解： f1(z) 在点 z0 0 的去心邻域 0 z 内的
Laurent级数为
e
z z5
1
1 z5
1
z
1 z4
1 2! z 3
z2 2! 1
3! z 2
z3 3!
1 4! z
z4 4! 1
5!
z5 5! z
6!
z6
,6!
,
Res[ f1(z), 0] 1 ; Res[ f1(z),1] 0 于是由留数定理得积分值为
I1 2i[1 0] 2i
20
(2)
I2
z 2
esin z dz z 2 (z 2 1)
解： f2 (z) esin z [z 2 (z 2 1)] 在圆 z 2 的内部有一
2 当z0为f(z)=g(z-z0) 的孤立奇点时，若 g 为偶
函数，则f(z)在点z0的留数为零.
3 若z0为f(z) 的一级极点，则有
Re
s
f
(
z),
z0
lim
zz0
(
z
z0
)
f
(
z)
4 若z0为f(z) 的m级极点，则对任意整数 n m有
Re s
f (z), z0
个二级极点 z 0和两个一级极点 z i ,
于是利用留数的计算规则 2 和 1得
Res[
f
2
(
z
),0]
lim
z 0
(
ze2sinz1)
lim
高等数学课件-复变函数与积分变换 第五章 留数 §5.2 用留数定理计算实积分
§5.2 用留数定理计算实积分
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
引言
在实际问题中，往往会遇到求一些实 积分的值，计算比较复杂。但是，如果把 它们化为复变函数的积分，运用留数定理 计算可能要简捷的多。
首先，被积函数必须要与某个解析函 数密切相关。
其次，定积分的积分域是区间，而用 留数来计算要牵涉到把问题化为沿闭曲线 的积分。
一、形如
积分限化为从 到 ，又显然 lim f z 0 z
于是积分属于上述类型，可由（2.4）式计算
f z 可写成
f z
1 z2 a2
2
z
ia
1
2
z
ia
2
易见，f z 在上半平面只有一个二级极点
z ia，计算 f zeipz在 z ia 点的留数
Re s f
z eipz ,ia
Re s
f
z eiz , 2i
lim z
z2i
2i
f
z eiz
zeiz
1
lim
z2i z 2i
z2 1
6e2
Re
s
f
z eiz ,i
lim z
zi
i
f
z eiz
lim
zeiz
1
zi z2 4 z i 6e
将所得留数代入（2.5）式得：
I
xsin x dx
(x2 4)(x2 1)
奇点？在实轴上是否无奇点？
c．等式 lim zf z 0 是否成立？ z
（2）计算 f z在上半平面奇点处的留数，
然后代入上述公式就得结果。显然结果必然
是实数，如果是复数，说明计算有误。
例2.3计算积分
x2
I
x2 1 2 dx
复变函数 第五章留数
F(t)
c
n
t
n
cnt
n
(2)
n 1
n0
第五章 留数
相应地规定：如果 t = 0 是 F(t) 的可去奇点、m 级极点或本
性奇点，则称z 是 f (z) 的可去奇点、m 级极点或本性奇点。
将式（1）写成
f
(z)
c
n
z
n
c0
cn zn
(3)
n 1
n 1
将式（2）写成
F(t)
cn t n
c0
cnt
( n 0, 1, 2, , m 1)
f
(m) (z0 ) m!
a0
0
故必有 f (z) cm (z z0 )m cm1(z z0 )m1 cm2 (z z0 )m2
(z z0 )m[cm cm1(z z0 ) cm2 (z z0 )2 ]
(z z0)m (z)
根据 0 z z0 内 f (z) 的 Laurent 级数的不同，孤立奇点 分为三种类型。
第五章 留数
1、可去奇点
如果 Laurent 级数中不含 z z0 的负幂项，孤立奇点 z0 称为 f (z) 的可去奇点。
即
c0 c1(z z0 ) cn (z z0 )n
在 0 z z0 内收敛于 f (z) 。
lim f (z)
zz0
或
lim f (z)
z z0
第五章 留数
如果 f (z)以 z0为其孤立奇点，则下列四个条件是等价的。 它们中的任何一条都是 m 级极点的特征：
（1） f (z) 在以 z0 点为中心的去心邻域内的 Laurent 级数只 有有限多个 z z0 的负幂项；
复变函数之留数定理
∫ f
( z )在a点的留数：Res [
f
(z), a]
=
a−1
=
1
2π
i
f (ζ )dζ ，
C
它是f (z)在a的充分小去心邻域内洛朗展式中 z−1a 的系数。
故∫C f (ζ )dζ = 2π i Res[ f (z), a]，
C：在a的使f (z)解析的去心邻域K 内 < 任一条围绕 a 的正向闭路。
第五章 留数及其应用
留数是复变函数又一重要概念，有着非常广泛的应用.
5.1 留数定理
一 、留数的定义和计算
设 a 是 f (z) 的孤立奇点， 则∃δ > 0,使得
f (z)在K : 0 < z − a < δ 解析，f (z)在K内可展为洛朗级数：
∑+∞
f (z) =
an(z − a)n,
n=−∞
留数定理(P103定理1)：设f (z)在闭路C上解析， y
C
∫ ∑ 在C内部除n个孤立奇点a1, a2 ,, an外解析,则 n
a1 C1 a2 C2
C
f (z)d z
=
2π
i Res f (z), ak 。
k =1
0 a3 C3
证明 ∀k =1, 2,n, 以ak为圆心作充分小的圆周Ck ,
an Cn
x
使得C1,C2 ,,Cn都在C 的内部,且它们彼此完全分离(如图)。
由多连通区域柯西积分定理和留数定义得
n
n
∫ ∑ ∫ ∑ C
f (z)d z =
k =1
Ck
f (z)d z = 2π i Res f (z), ak 。#
k =1
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P( z0 ) Q( z0 )
是P(z)的0阶零点 z0是f (z)的一阶极点。
Res[ f (z), z0] 规则III
lim
zz0
f
(z)(z z0 ) P(z0)
Q( z0 )
lim
z z0
P(z) Q(z) (z z0)
lim
z z0
P(z) Q(z) Q(z0)
z z0
设z0为f
Re s[ f (z), z1] Re s[ f (z), zn ] Re s[ f (z), ] 0
证明: 在扩充复平面内，构造圆周C : z R， 使 z1, z2 , , zn 包含在C内, 根据留数定理得
C f (z)dz 2i{Re s[ f (z), z1] Re s[ f (z), zn ]}
1
2i
f (z) dz
c
为f (z)在孤立奇点z0 的留数，记作 Res[ f (z), z0 ]
其中，C : z z0 r R
c1 Res[ f (z), z0 ]
f (z)在z0去心邻域上罗朗级数中负幂项 c1 (z z0 )1的系数。
例1 ：
计算 Res [
z(z
1
1)2
,1]
解：在z 1的去心邻域0 z 1 内罗朗级数为：
解： e z 在z 0的去心邻域内的罗朗级数为：
1
ez
1 (1)n
n0 n! z
1
ez
c
dz
{
1 (1)n} dz
c n0 n! z
11
{1
c
z
2! z 2
} dz
2课件 i
2
二.留数定义
（一般情形） 计算积分 c f (z) dz，其中c为z0去心邻域
内围绕z0的任意一条正向简单闭曲线
z1
(z
1 1)5
(z
1 1)4
(z
1 1)3
z 1 1
Res[
z(z
1 1)2
,1]
0
课件
6
3
例2：计算f (z) ze z 在z 0处留数；
3
解： ze z 在z 0的去心邻域内罗朗级数为：
3
ze z z
1 ( 3)n z 3 32
33
n0 n! z
2!z 3!z 2
Res[ze
z1
z1
1
C
ze z 1 z
dz
2i{Re
s[
f
(
z),0]
Re
s[
f
(z),1]}
4i
课件
18
四、无穷远点
设f (z)在R z 内解析，称 1 f (z)dz为f (z)
在点的留数，记为
2i C
1
Res[f (z),]
f (z)dz
2i C
其中，C为圆环域R z 内的圆周 z r R
若函数f
( z )在区域D内除有限个孤立奇点z1 ,
z2 ,
,
z
外
n
处
处解析，
且它在D的边界C上也解析，则
n
f (z)dz 2i Res[f (z), zk ].
C
k 1
证明：分别围绕z1, z2 , , zn 构造小的圆周c1, c2 , , cn
f
(z)在由C,c1, c2 ,
,
cn所围成
的区域上解析，根据定理3.2
c1
19
例子:
求函数f (z)
ez 1 在扩充复平面上各个奇点处的留数。 z2
解: f (z)在扩充复平面上的孤立奇点z 0,z ,
( f (z)在的去心邻域R z 解析）
z 0是f (z)的一阶极点
（z 0是(ez 1)的一阶零点，是z2的二阶零点）
Re
s[
e
z z2
1
,0]＝lim z0
k为偶数
11
eiz 2) f (z) z(z2 1)2
解 z 0, z i为孤立奇点
z 0为z(z2 1)的一阶零点 z i为z(z2 1)2的二阶零点 eiz在z 0,i处不为零。
z 0是f (z)的一阶极点，z i是f (z)的二阶极点
eiz
Res[ f
(z),0]
lim
预备知识
例题3.6
dz
2πi
c(z z0 )n1 0
n n
0 ,
0
C
:围绕z0的任意闭曲线。
柯西定理:
f (z)在以简单闭曲线C为边界的有界闭区域D上解析，
则 C f (z)dz 0
课件
1
5.2 留数的一般理论
5.2.1 留数的定义及计算
一。引例
1
计算积分 e z dz,其中c为z 0的去心邻域内围绕z 0 c 的任意一条正向简单闭曲线。 1
z0
f
(z)
z
lim
z0
(z2
1)2
1
Res[ f (z),i] 1 lim d { f (z) (z i)2}
1! zi dz
lim
zi
d
eiz
{
dz z(z
i)2 }
3 4e
类似地，Res[
f
(z),i]
1 1!
l课im件
zi
d dz
{
f
(z)
(z
i)2}
1 412e
定理5.5(留数定理） 设D是复平面上一个有界闭区域，
f
是 cosz的一阶零点
2
0,1, 为f (z)的一阶极点,
(z)(z zk )
lim
z zk
z zk cos z
lim
z zk
1 (cos
z)'
1
1
sin z |zzk 1
k为奇数 （洛比塔法则）
k为偶数
或
1
1
Res[ f (z), zk ] (cosz)'|课z件zk 1
k为奇数
2
解 z 0为被积函数的一阶极点，z 1为二阶极点
且 z 0, z 1都在C内。 根据留数定理
C
ez z(z 1)2 dz
2i{Res ez
Res[ f (z),0] lim
z0 z(z
[f (z),0] Re
1)2 z 1
s[
f
(
z),1]}
Res[
f
(z),1]
(2
1 1)!
lim
1 2!
1 3!
1
4!
课件 n 0
1 n!
2
(
n0
zn )
n!
z1
2 e 17
2
Re s[ f (z),0] c1 e 2
1
z 1是 f (z) ze z 的一阶极点
1 z
1
(z 1，是(1 z)的一阶零点，是ze z的0阶零点）
1
Re s[ f (z),1] lim f (z)(z 1) lim (ze z ) e
于是
c1 (z z0 )m1 c0 (z z0 )m c1 (z z0 )m1
d m1 dz m1
[
f
(z)( z
z0 )m ]
c1 (m 1)!c0 (z
z0 )m
2
c1
1 lim
(m 1)! zz0
d m1 dz课m件1
[
f
(z)( z
z0 )m ]
9
特别：1)若z0 是f (z)的一阶极点时，则
C1
e
z
(z z
1)2
dz
C2
(
ez z
z 1)2
dz
2i(
(z
ez 1)2
)
|z0
2i
1!
ez (
z
)' |z 1
2i
注：留数定理的计算结果与第三章的结果相同.
思考题
g(z)
z0为f
(
z
)的m阶极
点,
f (z)dz
C
且在C的内部
高阶导数公式 留数定理
课件
f (z)
(z z0 )m
16
z0
f (z)在 z 0的去心邻域0 z 上的罗朗级数
1
ze z f (z)
1 z
( zn1) (
n0
n0
z 1 1
1 (1 n! z
z )n
1
ez
)
(
z zz
(
2
z
n0
z3
n)
(
1 n0 n! )(1
( 1 z
1 )n ) z 1
2!
1 z2
1 3!
1 z3
)
z 1的系数c1
z 0为孤立奇点
z 0的去心邻域上的罗朗级数为
f
(z)
z3 (sin 1)5 z
z3
(1 z
1 3!
1 z3
)5
z 1项不存在
Res[ f (z),0] 0
特别：z0 是f (z)的可去奇点时(罗朗展开式中不含负幂项）
Res[ f (z), z0 ] 0 课件
8
2. 极点处留数的计算
如果z0是f (z)的m阶极点，则
(
ez z2
1)
z
1
f (z)在R z 内的罗朗展开式
zn 1
f (z)
n0
n! z2
1 1 1 z z 2! 3!
ez 1
Re s[ z2 , ] 1