微积分范例多变数ex51
多元函数微积分知识点
多元函数微积分知识点一、知识概述《多元函数微积分知识点》①基本定义：多元函数呢，就是一个函数里有好几个变量，不像一元函数只有一个变量。
打个比方，一元函数就像是一个人在一条笔直的跑道上跑步，变量就是他跑的距离。
而多元函数就像是一群人在一个操场上到处跑，每个方向的位置就是不同的变量。
多元函数微积分就是对这种有多个变量的函数进行微分和积分的一套数学方法。
②重要程度：在数学里，多元函数微积分可是相当重要的哦。
在物理学、工程学、经济学等好多学科都要用到它。
比如说，在物理中计算物体在多个力作用下的运动情况，或者经济里分析多个经济因素对某个指标的影响，没有多元函数微积分就很麻烦。
③前置知识：你得先掌握好一元函数微积分的知识，像函数的概念、极限、导数、积分这些。
还有简单的代数知识，像多元方程之类的。
④应用价值：实际中的应用太多了。
比如在建筑设计里，考虑到很多因素影响建筑物的稳定性，像风力、地质条件等，就可以用多元函数微积分来分析和设计；在计算机图形学里，可以用来处理三维模型的各种参数。
二、知识体系①知识图谱：多元函数微积分就坐落在多元函数这一块内容里，它就像是多元函数大厦里的核心支柱，很多关于多元函数性质和变化的研究都离不开它。
②关联知识：和线性代数有联系，因为多元函数里变量之间的关系有时候可以用矩阵等线性代数的知识来表示；还和概率论有关联，在处理多变量的概率分布时，多元函数微积分能派上用场。
③重难点分析：掌握的难度在于要同时处理好几个变量的关系，这很容易让人脑子乱。
关键就是要理解各个变量在函数中的角色和相互影响。
比如说，在求多元函数的偏导数时，要清楚是对哪个变量求导，而把其他变量暂时当作常数。
④考点分析：在数学考试里可是个重点。
考查方式多种多样，可能会让你求多元函数的极限、偏导数、全微分，也可能是多元函数的积分计算等。
三、详细讲解【理论概念类】①概念辨析：多元函数的核心概念是有多个自变量的函数。
就好比确定一个地点需要经度、纬度和海拔三个因素，这就是三个自变量组成的多元函数，可以表示为z = f(x,y)这种形式（这里假设是两个自变量x、y的情况，实际上可以有更多自变量）。
多元函数微积分范文
多元函数微积分范文多元函数微积分是微积分的一个重要分支，主要研究多元函数的导数、偏导数、积分、微分方程等基本概念和定理。
在实际应用中，多元函数微积分经常用于描述和解决涉及多个变量的问题，如物理、经济、工程等领域的建模和分析。
多元函数的导数是多元函数微积分的核心概念之一、对于单变量函数，导数表示了函数在其中一点的变化率。
而对于多元函数，导数则表示了函数在其中一点沿着其中一方向的变化率。
多元函数的导数可以通过偏导数或全导数来定义。
偏导数是多元函数对于其中一个变量的导数，它可以通过将其他变量视为常数来计算。
全导数则是多变量函数的所有偏导数组成的向量，也可以用一个雅可比矩阵表示。
导数的计算和应用包括导数的定义、连续性、可导性、微分、泰勒公式等等。
偏导数和全导数的计算通常使用求导法则，类似于单变量函数的求导法则。
例如，对于二次函数f(x,y)=x^2+y^2，它的偏导数可以分别计算为∂f/∂x=2x和∂f/∂y=2y。
全导数的计算也类似，只需将所有的偏导数组合在一起。
求导法则包括乘法法则、除法法则、链式法则等等。
多重积分是多元函数微积分的另一个重要部分。
多重积分是对多元函数沿一个或多个变量进行积分，用于计算曲面、体积、质量等问题。
多重积分包括二重积分和三重积分，可以用定积分的概念来定义。
例如，对于平面上的函数f(x,y)，其二重积分可以表示为∬f(x,y)dxdy。
多重积分的计算可以使用重积分法和换元法等技巧。
微分方程是多元函数微积分的重要应用，描述了变量之间的关系和变化规律。
微分方程通常包括未知函数及其导数的关系，可以是常微分方程或偏微分方程。
常微分方程描述了未知函数及其一阶或高阶导数的关系，常见的常微分方程有一阶线性微分方程、二阶线性齐次微分方程等。
偏微分方程描述了未知函数及其偏导数之间的关系，常见的偏微分方程有波动方程、热传导方程、扩散方程等。
多元函数微积分的应用广泛存在于各个学科和领域中。
在物理学中，它用于描述运动、引力、电磁场等现象；在经济学中，可以用于描述供求关系、边际效应等经济现象；在工程学中，可以用于优化设计、信号处理等问题。
多元微积分
2 2 2
2013-12-23
高等数学实验之多元极值
例:求 f 100( x2 极值并画图。 程序:
x1 ) (1 x1 )
2 2
2
在[0.2,0.3]内的
f ='100*(x(2)-x(1).^2).^2+(1-x(1)).^2' x=fmins(f,[0.2,0.3]) minf=eval(f) 结果： [x,y]=meshgrid(-5:0.5:5); x = 1.0000 1.0000 f=100*(y-x.^2).^2+(1-x).^2; minf = 2.8199e-010 surf(x,y,f)
解：先将对坐标的曲线积分化为定积分：
2013-12-23
高等数学实验之曲线积分2
3t
0 1 2
3 3t 2t 2 3t 2t dt 87t 3 dt
2 2 1
0
程序： syms x y f=int(‘87*t^3’,1,0) 结果： f=-87/4
2013-12-23
高等数学实验之多元极值
2013-12-23
高等数学实验之重积分
1. 解法： 先将二重积分化二次积分：
f x, y d dx f x, y dy
三重积分化三次积分：
D a
b
b
y 2( x )
y1( x )
y 2( x ) z 2( x, y )
f x, y, z dV dx
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大学数学实验
第五篇 多元微积分
作者 王小才
第五篇 多元微积分
第五篇多元微积分
多元函数定义 多元函数偏导数 多元函数极值 多元函数重积分
微积分公式大全范文
微积分公式大全范文一、导数公式：1.基本导数公式：(1)常数导数公式：若f(x)=C，其中C为常数，则f'(x)=0。
(2)乘幂函数导数公式：若f(x) = x^n，其中n为常数，则f'(x) = nx^(n-1)。
(3)指数函数(e)导数公式：若f(x)=e^x，则f'(x)=e^x。
(4)对数函数导数公式：若f(x) = ln(x)，则f'(x) = 1/x。
(5)三角函数导数公式：若f(x) = sin(x)，则f'(x) = cos(x)；若f(x) = cos(x)，则f'(x) = -sin(x)；若f(x) = tan(x)，则f'(x) = sec^2(x)。
(6)反三角函数导数公式：若f(x) = arcsin(x)，则f'(x) = 1/√(1-x^2)；若f(x) = arccos(x)，则f'(x) = -1/√(1-x^2)；若f(x) = arctan(x)，则f'(x) = 1/(1+x^2)。
2.基本运算法则：(1)和差法则：设f(x)和g(x)可导，则(f+g)'(x)=f'(x)+g'(x)；若f(x)和g(x)可导，则(f-g)'(x)=f'(x)-g'(x)。
(2)积法则：设f(x)和g(x)可导，则(fg)'(x) = f'(x)g(x) + f(x)g'(x)。
(3)商法则：设f(x)和g(x)可导，且g(x)≠0，则(f/g)'(x)=(f'(x)g(x)-f(x)g'(x))/[g(x)]^23.链式法则：设y=f(u)，u=g(x)，其中u是中间变量，则y=f(g(x))，且y'=f'(g(x))g'(x)。
二、积分公式：1.基本积分公式：(1)幂函数积分公式：若f(x) = x^n，其中n≠-1，则∫f(x)dx = (x^(n+1))/(n+1) + C，其中C为常数。
第七章 多元函数的微积分 《经济数学》PPT课件
于是,空间任意一点M和有序数组(x,y,z)建立了一一对应的关系,我们称有序 数组(x,y,z)为点M的横坐标、纵坐标、竖坐标,记为M(x,y,z).
设函数z=f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义,若自变量x、y各有 改变量Δx和Δy,则Δz=f(x+Δx,y+Δy)-f(x,y)称为函数z=f(x,y)在 点(x,y)的全增量.
➢ 定义7-6
PART
07
7. 5. 1 二元函数的极值
7.5
多元函数的极值
➢ 定义7-7 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义,对于该邻域内异于(x0,y0) 的任意一点(x,y),如果有f(x,y)<f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极大值;如果有 f(x,y)>f(x0,y0),则称函数在点(x0,y0)处有极小值.极大值、极小值统称为极值,使函数 取得极值的点称为极值点.
1)边际函数 ➢ (1)边际成本 • 设某工厂生产甲、乙两种不同的产品,其数量分别为x,y,总成本
函数为C(x,y),则("∂" C)/("∂" x)表示:当乙商品的数量保持在某 一水平上,而甲商品的数量变化时总成本的变化率.我们把它称为 总成本C(x,y)对x的边际成本.("∂" C)/("∂" y)表示:当甲商品的数 量保持在某一水平上,而乙商品的数量变化时总成本的变化率.我 们把它称为总成本C(x,y)对y的边际成本.
《微积分》PPT课件
重积分
1
§9.2 二重积分的计算
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
三、小结
微积分Ⅰ
第九章
重积分
2
一、利用直角坐标计算二重积分
1、积分区域的类型 设积分区域 D 可以用不等式 1 ( x ) y 2 ( x ), a x b 来表示, 则称 D 为 X － 型区域, 其中函数 1 (x)、 2 (x) 在区间 [a, b] 上连续.
微积分Ⅰ
第九章
重积分
22
例 7 求两个底圆半径都等于 R 的直交圆柱面所
围成的立体的体积 V.
z
2 2
解 设两个直圆柱方程为
2 2 2
x y R , x z R . 由立体关于坐标平面的对 o R y 称性可知, 所求体积为第一卦 限部分体积的 8 倍. x ∵所求立体在第一卦限部 分可看成是一个曲顶柱体, 它的顶为柱面 z R2 x 2 ,
若改变该二次积分的次序, 则 D 变为 Y － 型区域,
微积分Ⅰ
第九章
重积分
15
2 D {( x , y ) | 0 y 1, 1 1 y x 2 y }, 即
dx
0
1
2 x x2
0
2 y
f ( x, y)dy dx
1
2
2 x
0
f ( x, y)dy
f ( x , y )d a [ ( x ) f ( x, y)dy]dx.
D
b
上式右端的积分称为先对 y、后对 x 的二次积分. 就是说, 先把 x 看作常数, 把 f (x, y) 只看作 y 的函数, 并 对 y 计算从 1(x) 到 2(x) 的定积分; 然后把所得的结 果 (是 x 的函数) 再对 x 计算在区间 [a, b] 上的定积分. 这个先对 y、后对 x 的二次积分也常记作
(完整版)§1多变元微积分
例4 设 R2 R 定义为
f
(x)
x12 x2
, 若x2
0;
0,若x2 0,
则 Df (0)() 0, R2.因此Df (0) 0 .但 f 在x 0 不连续.
设f : Rn R , f 在 x R 的导数为 f '(x),则有
lim f (x x) f (x) f '(x)x 0.
证明 若 Rn 使 Df (x)() 0 ,则对足够接近于0的t有,有
f (x t) f (x) 0 t
因此,若 t 0 ,则 f (x t) f (x) ;若t 0 ,则 f (x t) f (x) .于是 f 在 x 不
会取得极值.同理,若Df (x)() 0 ,则 f 在 x 不会取得极值.
[0,2 ]T
或
[1,0]T
,但
f (x) xi
|x0
0,
i 1,2, f 在 x 0 的偏导数都存在. 这例子说明偏导数存在不是Gateaux导数存在的充分条件.
例3 则 因此
设 f : R2 R 定义为
f
(x)
x1x22 x12 x22
,x
[x1, x2 ]T
0;
0, x [0,0]T 0,
(
x)(ei
)
lim
t0
f (x tei ) t
f (x)
lim f (x1,, xi t,, xn ) f (x1,, xn ) ,
t0
t
即
Df
( x)( ei
)
f (x) xi
.
就是说 f 在 x 对 xi 的偏导数是 f 在 x 沿方向 ei 的Gateaux导数.
例2 设 f : R2 R 定义为
[整理版]Maple微积分
[整理版]Maple微积分積分技巧积分方法基本上可概分为分部积分法与代换积分法两种。
分部积分法将于9.2节里介绍，而简单的代换积分法已于5.3节探讨过。
于本章里首先将就基本的积分公式与代换积分法做一个简单的复习，同时也介绍了Maple的几个基本的积分指令，来为本章的学习暖个身。
9.1 基本积分公式与代换积分法的复习 9-2 9.2 分部积分法 9-99.3 三角函数的乘幂积分 9-229.4 三角代换积分法 9-349.5 含二次项的积分 9-429.6 有理函数的积分法 9-469.7 技巧性的代换积分法 9-569.8 数值积分 9-629.1基本积分公式与代换积分法的复习代换积分法(method of substitution)系利用变量变换，将较不易积分的数学式代换成较易积分的式子。
通常代换积分法必须利用一些现成的积分公式或积分表来完成，以下列出了常用的积分公式: 乘幂与指数n，11xndx,lnx，Cxdx,，C,n,,1,,xn，1 1. 2.nanxxadx,，C,a,1,a,0edx,e，C,,lna 3. 4.三角函数sinxdx,,cosx，Ccosxdx,sinx，C,, 5. 6.22secxdx,tanx，Ccscxdx,,cotx，C,, 7. 8.secxtanxdx,secx，Ccscxcotxdx,,cscx，C,, 9. 10.tanxdx,,lncosx，Ccotxdx,lnsinx，C,, 11. 12. 基本的代数函数1x,,,111x,,,1dx,sin，C,,dx,tan，C,,,,2222a,,aaa，x,,a,x 13. 14.11a1x,,,,,1,1dx,cos，C,sec，C,a,0,,,,,22axaa,,,,xx,a15.xedx2x,16，9e【例题9.1.1】试求xxu,3edu,3edx【解】设，则，因此xe1111xdx,(3edx),du,,,2x2x23316，9e16，9e16，u(1)11u,,,1tan,,，C,,344,, (利用积分公式14) (2)x,,13e,1,,,，Ctan,,124,, (3) Maple的student链接库里所提供的changevar指令可以用来做变量变换积分，下列的步骤模拟了本例题中，整个手算的过程。
微积分公式大全范文
微积分公式大全范文微积分是高等数学的一个分支，是研究函数的变化规律的数学工具。
在微积分中有许多重要的公式，下面就给大家介绍一些常见的微积分公式。
一、导数公式1.三角函数的导数公式：- sin(x)' = cos(x)- cos(x)' = -sin(x)- tan(x)' = sec^2(x)- cot(x)' = -csc^2(x)- sec(x)' = sec(x)tan(x)- csc(x)' = -csc(x)cot(x)2.指数函数的导数公式：- (a^x)' = ln(a) * a^x （其中a是常数且a>0）3.对数函数的导数公式：- (ln(x))' = 1/x- (loga(x))' = 1/(xln(a)) （其中a是底数且a>0）4.幂函数的导数公式：- (x^n)' = nx^(n-1) （n为常数）5.乘法法则和除法法则：- (uv)' = u'v + uv' （乘法法则）- (u/v)' = (u'v - uv')/v^2 （除法法则）6.链式法则：-若y=f(u)和u=g(x)都是可微的函数，则y=f(g(x))可微，并且有：- dy/dx = (dy/du) * (du/dx)二、积分公式1.基本积分公式：- ∫x^n dx = (1/(n+1)) * x^(n+1) （其中n不等于-1）- ∫1/x dx = ln，x， + C- ∫e^x dx = e^x + C- ∫a^x dx = (1/ln(a)) * a^x + C （其中a>0且a≠1）2.三角函数的积分公式：- ∫sin(x) dx = -cos(x) + C- ∫cos(x) dx = sin(x) + C- ∫sec^2(x) dx = tan(x) + C- ∫csc^2(x) dx = -cot(x) + C- ∫sec(x)tan(x) dx = sec(x) + C- ∫csc(x)cot(x) dx = -csc(x) + C3.分部积分法：- ∫u dv = uv - ∫v du4.替换积分法：- 若y=f(u)和u=g(x)都是连续函数，则∫f(g(x))g'(x) dx = ∫f(u) du5.常用代换：- 倒代换：令x=1/t，dx=-1/t^2 dt- 根式代换：令u=f(x)，du=f'(x) dx- 三角代换：令x=sin(t)或x=cos(t)，dx=cos(t) dt或-dt此外，微积分还有一些重要的定理和公式，如牛顿-莱布尼茨公式、泰勒展开公式、拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
微积分常数变易法公式
微积分常数变易法公式微积分中的常数变易法公式，那可是一个相当有趣且重要的知识点！咱先来说说啥是常数变易法。
比如说，咱们遇到一个一阶线性非齐次微分方程：y' + P(x)y = Q(x) 。
通常情况下，咱们会先去求对应的齐次方程 y' + P(x)y = 0 的通解，这一步相对还比较简单。
然后呢，咱们就假设非齐次方程的解是 y = u(x)·y_h(x) ，这里的 y_h(x) 就是齐次方程的通解，而u(x) 就是咱们要变易的那个“常数”，其实它是个函数啦。
我记得之前给学生讲这个知识点的时候，有个学生瞪着大眼睛问我：“老师，这咋感觉像变魔术一样，突然就弄出个新函数来？”我笑着跟他说：“这可不是魔术，这是数学的智慧！”然后我就给他举了个生活中的例子。
想象一下，你每天坐公交车去学校，车费是固定的，这就好比齐次方程的解。
但突然有一天，公交公司搞活动，周末坐车半价，这时候你的车费就变了，不再是固定的了，这个变化就像是我们这里的u(x) 。
咱们接着说常数变易法的公式推导。
通过一系列的计算和处理，最终可以得到u(x) 的表达式，从而求出非齐次方程的通解。
这个过程中，涉及到积分运算，可不能马虎。
在实际应用中，常数变易法可太有用啦！比如说在物理学中研究电路问题，电流和电压的关系就可以用这样的微分方程来描述。
还有在经济学中，分析市场的供需变化，也能用到这个方法。
有一次，我在给学生布置作业的时候，专门出了一道用常数变易法求解的题目。
结果收上来一看，有的同学思路清晰，步骤完整，解得那叫一个漂亮；可有的同学啊，完全没搞懂，公式都用错了。
我就一个一个地给他们讲解，看着他们恍然大悟的表情，我心里也特别有成就感。
总之，常数变易法公式虽然有点复杂，但只要咱们用心去理解，多做几道题练练手，就一定能掌握它。
就像咱们学走路一样，一开始可能摇摇晃晃，但只要坚持不懈，总会走得稳稳当当！希望同学们在学习微积分的道路上，都能勇敢地面对这些挑战，用智慧和努力去攻克一个又一个的难题！。