高中数学新课程创新教学设计案例篇同角三角函数的基本关系式修订稿
《同角三角函数的基本关系》示范课教学设计【高中数学人教】
环节三 同角三角函数的基本关系【新知探究】1．发现规律问题 1 诱导公式一表明，终边相同的角的同一三角函数值相等．而三个三角函数值都是由角的终边与单位圆的交点坐标唯一确定的，所以它们之间一定有内在联系．那么，终边相同的角的三个三角函数之间有什么关系呢？答案：如图1，设P （x ，y ）是角α的终边与单位圆的交点．过P 作x 轴的垂线，交x 轴于M ，则△OMP 是直角三角形，而且OP ＝1.由勾股定理OM ²＋MP ²＝1．因此x ²＋y ²＝1。
即同一个角的三个三角函数之间的关系：sin 2α+cos 2α=1 ．并且当角α的终边与坐标轴重合时，该公式也成立． 根据三角函数的定义，有：sin tan cos ααα=，2ππ+≠k α，k ∈Z ． 即同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1，商等于角α的正切．追问 从方程的角度观察同角三角函数关系，你能发现它有什么作用？答案：因为有两个方程，三个未知数sin α，cos α，tan α，所以已知其中一个可以求出另外两个，简称“知一求二”．2．应用规律例1已知sin α=－53，求cos α，tan α的值． 答案：因为sin α＜0，sin α≠－1，所以α是第三或第四象限角．由sin 2α+cos 2α=1得cos 2α=1－sin 2α=1－2316()525-=； 如果α是第三象限角，那么cos α＜0．于是cos α=164255-=-， 从而sin 353tan ()()cos 544ααα==-⨯-=； 如果α是第四象限角，那么cos α>0．于是cos α=164255=， 从而sin 353tan ()cos 544ααα==-⨯=-． 图1追问 你能对“例1”这种题型总结出它的解题步骤吗？答案：解题步骤如下：第一步，先根据条件判断角所在的象限；第二步，分类讨论确定其中一个三角函数值的符号；第三步，利用基本关系求出其他的三角函数值．例2求证：xx x x cos sin 1sin 1cos +=-． 答案：证法一：由cos x ≠0，知sin x ≠－1，所以1+sin x ≠0，于是左边=22cos (1sin )cos (1sin )cos (1sin )1sin (1sin )(1sin )1sin cos cos x x x x x x x x x x x x++++===-+-=右边． 所以，原式成立．证法二：因为(1－sin x )(1+sin x )=1－sin 2x =cos 2x =cos x cos x ，且1－sin x ≠0，cos x ≠0，所以cos 1sin 1sin cos x x x x +=-． 3．探究延伸问题 2 总结上述研究过程，你能说说我们是从哪些角度入手发现三角函数性质的？你认为还可以从哪些方面入手研究三角函数的性质？答案：借助单位圆，从三角函数的定义出发，我们从三角函数值的符号规律、三角函数的取值规律（相等）入手发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．自然地，我们还可以进一步研究三角函数取值互为相反数等其他关系的规律．【归纳小结】问题3回顾本单元学习内容，并回答下面问题：（1）本单元知识发生发展过程的基本脉络是怎样的？在上一节的基础上进一步完善本单元的知识结构图？（2）我们是如何发现诱导公式一和同角三角函数的基本关系的？在发现这些性质的过程中，有哪些值得总结的思想方法或经验？答案：（1）基本脉络是：现实背景—获得研究对象—分析对应关系的本质—下定义—研究性质；本单元的知识结构图：（2）三角函数的定义是借助于单位圆来定义的，因此其性质必然与单位圆的几何性质有关，又因为三角函数是一个背景下同时得到三个概念，所以，它们之间一定有某种内在的联系，在此基础上，发现了诱导公式一和同角三角函数的基本关系．。
高中数学人教版B版精品教案《同角三角函数的基本关系式》
同角三角函数的基本关系式【教学过程】一、问题导入我们已经学习了正弦、余弦、正切的定义和三角函数线，那么同一个角的正弦、余弦、正切之间有什么关系？这节课就让我们来学习——同角三角函数的基本关系式。
二、新知探究1．应用同角三角函数关系求值【例1】（1）若in α＝－错误!，且α是第三象限角，求co α，tan α的值；（2）若co α＝错误!，求tan α的值；（3）若tan α＝－错误!，求in α的值。
[思路探究]对（1）中明确α是第三象限角，所以只有一种结果。
对（2），（3）中未指出角α所在象限的情况，需按α所在象限讨论，分类求解，一般有两种结果。
【解】（1）∵in α＝－错误!，α是第三象限角，∵co α＝－错误!＝－错误!，tan α＝错误!＝－错误!×错误!＝错误!。
（2）∵co α＝错误!>0，∵α是第一、四象限角。
当α是第一象限角时，in α＝错误!＝错误!＝错误!，∵tan α＝错误!＝错误!；当α是第四象限角时，in α＝－错误!＝－错误!＝错误!Q＝N等。
（2）在三角函数的化简和证明问题中，常利用“1”的代换求解，常见的代换形式有哪些？【提示】in2α＋co2α＝1，tan 错误!＝1．【例3】求证：（1）错误!＝错误!；（2）2（in6θ＋co6θ）－3（in4θ＋co4θ）＋1＝0[思路探究]解答本例题可以从左边推到右边，也可以作差比较。
关键是利用好“1”的代换和乘法公式等变形技巧。
【证明】（1）左边＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝错误!＝右边，∵原等式成立。
（2）左边＝2[（in2θ）3＋（co2θ）3]－3（in4θ＋co4θ）＋1＝2（in2θ＋co2θ）（in4θ－in2θco2θ＋co4θ）－3（in4θ＋co4θ）＋1＝（2in4θ－2in2θco2θ＋2co4θ）－（3in4θ＋3co4θ）＋1＝－（in4θ＋2in2θco2θ＋co4θ）＋1＝－（in2θ＋co2θ）2＋1＝－1＋1＝0＝右边，∵原等式成立。
人教A版高中数学必修四新课标优秀教案示范教案同角三角函数的基本关系
1.2.2 同角三角函数的基本关系整体设计教学分析与三角函数的定义域、符号的确定一样,同角三角函数的基本关系式的推导,紧扣了定义,是按照一切从定义出发的原则进行的,通过对基本关系的推导,应注意学生重视对基本概念学习的良好习惯的形成,学会通过对基本概念的学习,善于钻研,从中不断发掘更深层次的内涵. 同角三角函数的基本关系式将“同角”的四种不同的三角函数直接或间接地联系起来,在使用时一要注意“同角”,至于角的表达形式是至关重要的,如sin 24π+cos 24π=1等,二要注意这些关系式都是对于使它们有意义的那些角而言的,如tanα中的α是使得tanα有意义的值,即α≠kπ+2,k ∈Z . 已知任意角的正弦、余弦、正切中的一个值便可以运用基本关系式求出另外的两个,这是同角三角函数关系式的一个最基本功能,在求值时,根据已知的三角函数值,确定角的终边的位置是关键和必要的,有时由于角的终边的位置不确定,因此解的情况不止一种,解题时产生遗漏的主要原因一是没有确定好或不去确定终边的位置;二是利用平方关系开方时,漏掉了负的平方根.三维目标1.通过三角函数的定义导出同角三角函数基本关系式,并能运用同角三角函数的基本关系式进行三角函数的化简与证明.2.同角三角函数的基本关系式主要有三个方面的应用:(1)求值(知一求二);(2)化简三角函数式;(3)证明三角恒等式.通过本节的学习,学生应明了如何进行三角函数式的化简与三角恒等式的证明.3.通过同角三角函数关系的应用使学生养成探究、分析的习惯,提高三角恒等变形的能力,树立转化与化归的思想方法.重点难点教学重点:课本的三个公式的推导及应用.教学难点:课本的三个公式的推导及应用.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.先请学生回忆任意角的三角函数定义,然后引导学生先计算后观察以下各题的结果,并鼓励学生大胆进行猜想,教师点拨学生能否用定义给予证明,由此展开新课.计算下列各式的值:(1)sin 290°+cos 290°;(2)sin 230°+cos 230°;(3) 60cos 60sin ;(4)135cos 135sin . 推进新课新知探究提出问题①在以下两个等式中的角是否都可以是任意角?若不能,角α应受什么影响?图1如图1,以正弦线MP 、余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且OP=1.由勾股定理有OM 2+MP 2=1.因此x 2+y 2=1,即sin 2α+cos 2α=1(等式1).显然,当α的终边与坐标轴重合时,这个公式也成立.根据三角函数的定义,当α≠kπ+2π,k ∈Z 时,有 aa cos sin =tanα(等式2). 这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,商等于角α的正切.②对于同一个角的正弦、余弦、正切,至少应知道其中的几个值才能利用基本关系式求出其他的三角函数的值.活动:问题①先让学生用自己的语言叙述同角三角函数的基本关系,然后教师点拨学生思考这两个公式的用处.同时启发学生注意“同一个角”这个前提条件,及使等式分别有意义的角的取值范围.问题②可让学生展开讨论,点拨学生从方程的角度进行探究,对思考正确的学生给予鼓励,对没有思路的学生教师点拨其思考的方法,最后得出结论“知一求二”.讨论结果:①在上述两个等式中,不是所有的角都可以是任意角,在第一个等式中,α可以是任意角,在第二个等式中α≠kπ+2π,k ∈Z . ②在上述两个等式中,只要知道其中任意一个,就可以求出其余的两个.知道正弦(余弦),就可以先求出余弦(正弦),用等式1;进而用第二个等式2求出正切.应用示例思路1例1 已知sinα=54,并且α是第二象限的角,求cosα,tanα的值. 活动:同角三角函数的基本关系学生应熟练掌握,先让学生接触比较简单的应用问题,明确和正确地应用同角三角函数关系.可以引导学生观察与题设条件最接近的关系式是sin 2α+cos 2α=1,故cosα的值最容易求得,在求cosα时需要进行开平方运算,因此应根据角α所在的象限确定cosα的符号,在此基础上教师指导学生独立地完成此题.解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以cos 2α=1-sin 2α=1-(54)2=259. 又因为α是第二象限角,所以cosα<0.于是cosα=259-=53-, 从而tanα=a a cos sin =54×(35-)=34-.点评:本题是直接应用关系求解三角函数值的问题,属于比较简单和直接的问题,让学生体会关系式的用法.应使学生清楚tanα=34-中的负号来自α是第二象限角,这也是根据商数关系直接运算后的结果,它不同于在选用平方关系式的三角函数符号的确定.例2 已知cosα=178-,求sinα,tanα的值. 活动:教师先引导学生比较例1、例2题设条件的相异处,根据题设条件得出角的终边只能在第二或第三象限.启发学生思考仅有cosα<0是不能确定角α的终边所在的象限,它可能在x 轴的负半轴上(这时cosα=-1).解:因为cosα<0,且cosα≠-1,所以α是第二或第三象限角.如果α是第二象限角,那么 sinα=a 2cos -1=2)178(1--=1715, tanα=a a cos sin =1715×(817-)=815-, 如果α是第三象限角,那么sinα=175-,tanα=34-. 点评:在已知角的一个三角函数值但是不知道角所在的象限的时候,应先根据题目条件讨论角的终边所在的象限,分类讨论所有的情况,得出所有的解.思路2例1 已知tanα为非零实数,用tanα表示sinα、cosα.活动:引导学生思考讨论:角的终边在什么位置;能否直接利用基本关系式求出sinα或cosα的值.由tanα≠0,只能确定α的终边不在坐标轴上.关于sinα、cosα、tanα的关系式只有tanα=aa cos sin ,在这个式子中必须知道其中两个三角函数值,才能求出第三个,因此像这类问题的求解,不能一步到位,需要公式的综合应用.其步骤是:先根据条件判断角的终边的位置,讨论出现的所有情况.然后根据讨论的结果,利用基本关系式求解.分情况求出cosα,进而求出sinα. 解:因为sin 2α+cos 2α=1,所以sin 2α=1-cos 2α.又因为tanα=aa cos sin ,所以tan 2α=a a 22cos sin =1cos 1cos cos 1222-=-a a a . 于是a 2cos 1=1+tan 2α,cos 2α=a2tan 11+. 由tanα为非零实数,可知角α的终边不在坐标轴上,从而c osα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+,,,tan 11,,tan 1122第三象限角为第二当第四象限角为第一当a a、a asinα=cosαtanα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-+.,tan 1tan ,,,tan 1tan 22第三象限角为第二当第四象限角为第一当、a aa a a 点评:要求学生灵活运用三角函数公式进行变形、化简、求解.需要学生认真细致分析题目的条件,灵活运用公式,需要较高的思维层次.变式训练已知cosα≠0,用cosα表示sinα、tanα.解:本题仿照上题可以比较顺利完成. sinα=⎪⎩⎪⎨⎧---，、a a ，、a ，a 第四象限角为第三当第二象限角为第一当,cos 1cos 122 tanα=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧---.cos cos 1,cos cos 122第四象限角为第三当第二象限角为第一当、a ，，、a αααα 例2 求证:.cossin 1sin 1cos x x x +=- 活动:先让学生讨论探究证明方法,教师引导思考方向.教材中介绍了两种证明方法:证法一是从算式一边到另一边的证法,算式右边的非零因式1+sinα,在左边没有出现,可考虑左边式子的分子、分母同乘以1+sinx,再化简;在证法二中可以这样分析,要让算式成立,需证cos 2x=(1+sinx)(1-sinx),即cos 2x=1-sin 2x,也就是sin 2x+cos 2x=1,由平方关系可知这个等式成立,将上述分析过程逆推便可以证得原式成立.证法一:由cosx≠0,知sinx≠1,所以1+si nx≠0,于是左边=右边=+=-+=-+=+-+x x xx x x x x x x x x x cos sin 1sin 1)sin 1(cos sin 1)sin 1(cos )sin 1)(sin 1()sin 1(cos 22 所以原式成立.证法二:因为(1-sinx)(1+sinx)=1-sin 2x=cos 2x=cosxcosx,且1-sinx≠0,cosx≠0,所以.cos sin 1sin 1cos xx x x +=-教师启发学生进一步探究:除了证法一和证法二外你可否还有其他的证明方法.教师和学生一起讨论,由此可探究出证法三.依据“a -b=0⇔a=b”来证明恒等式是常用的证明方法,由学生自己独立完成.证法三:因为0cos )sin 1(cos cos cos )sin 1()sin 1(cos cos )sin 1()sin 1)(sin 1(cos cos cos sin 1sin 1cos 2222=--=---=--+-=+--x x x x x x x x x x x x x x x x x 所以.cos sin 1sin 1cos xx x x +=- 点评:这是一道很有训练价值的经典例题,教师要充分利用好这个题目.从这个例题可以看出,证明一个三角恒等式的方法有很多.证明一个等式,可以从它的任何一边开始,证得它等于另一边;还可以先证得另一个等式成立,从而推出需要证明的等式成立.例3 化简.440sin -12︒活动:引导学生探究:原式结果为cos440°时是不是最简形式,还应怎么办?教师引导学生运用诱导公式一化简为cos80°,由于cos80°>0,因此︒80cos 2=｜cos80°｜=cos80°,此题不难,让学生独立完成.解:原式=)80(360sin -12︒+︒=︒80sin -12=︒80sin -12=cos80°.点评:恰当利用平方关系和诱导公式化简三角函数式.提醒学生注意化简后的简单的三角函数式应尽量满足以下几点:(1)所含的三角函数种类最少;(2)能求值(指准确值)的尽量求值;(3)不含特殊角的三角函数值.变式训练化简:︒︒cos402sin40-1答案:cos40°-sin40°.点评:提醒学生注意:1±2sinαcosα=sin 2α+cos 2α±2sinαcosα=(sinα±cosα)2,这是一个很重要的结论.知能训练课本本节练习.解答:1.sinα=53-,tanα=43. 2.当φ为第二象限角时,sinφ=23,cosφ=21- 当φ为第四象限角时,sinφ=23-,cosφ=21. 3.当θ为第一象限角时,cosθ≈0.94,tanθ≈0.37.当θ为第二象限角时,cosθ≈-0.94,tanθ≈-0.37. 4.(1)cosθtanθ=cosθθθcos sin =sinθ; (2)1sin cos sin cos sin 2)cos (sin )cos (sin cos 2sin 211cos 2222222222222=--=-++-=--aa a a a a a a a a a a 5.(1)左=(sin 2α+cos 2α)(sin 2α-cos 2α)=sin 2α-cos 2α=右;(2)左=sin 2α(sin 2α+cos 2α)+cos 2α=sin 2α+cos 2α=1=右.课堂小结由学生回顾本节所学的方法知识:①同角三角函数的基本关系式及成立的条件,②根据一个任意角的正弦、余弦、正切中的一个值求出其余的两个值(可以简称“知一求二”)时要注意这个角的终边所在的位置,从而出现一组或两组或四组(以两组的形式给出).“知一求二”的解题步骤一般为:先确定角的终边位置,再根据基本关系式求值,若已知正弦或余弦,则先用平方关系,再用其他关系求值;若已知正切或余切,则构造方程组求值.教师和学生一起归纳三角函数式化简与三角恒等式的证明的一般方法及应注意的问题,并让学生总结本节用到的思想方法.作业1.化简(1+tan 2α)cos 2α;2.已知tanα=2,求a a a a cos sin cos sin -+的值. 答案:1.1;2.3.设计感想公式的推导和应用是本节课的重点,也是本节课的难点.公式的应用实际上是求可化为完全平方的三角函数式的“算术平方根”的化简题和证明题,这类问题可按下列情形分别处理:(1)如果这个三角函数式的值的符号可以确定,则可以根据算术平方根的定义直接得到结果;(2)如果这个三角函数式的值的符号不可以确定,则可根据题设条件,经过合理的分类讨论得到结果.三角函数式的化简,体现了由繁到简的最基本的数学解题原则,它不仅需要学生能熟悉和灵活运用所学的三角公式,还需要熟悉和灵活运用这些公式的等价形式,同时,这类问题还具有较强的综合性,对其他非三角知识的灵活运用也具有较高的要求,在教学时要注意进行相关知识的复习.证明恒等式的过程实质上就是分析转化和消去等式两边差异来促成统一的过程,证明时常用的方法一般有以下三种:(1)依据相等关系的传递性,从等式一边开始,证明它等于另一边,证明时一般遵循由繁到简的原则.(2)依据“等于同量的两个量相等”证明左、右两边等于同一个式子.(3)依据等价转化思想,证明与原式等价的另一个式子成立,从而推出原式成立.教材上在运用这一方法时使用的是综合法,初学恒等式的证明时,运用等价转化的方法可以使证明的思路更清楚一些,实际上,使用综合法时不一定要求进行等价转化,只需证明等式成立的充分条件即可(教师知道即可),证明方法中分别运用到了分式的基本性质和算式的基本性质.使学生明白,如果算式中含有正弦、余弦、正切等三角函数,为了便于将算式两边沟通,可通过“切化弦”使两边的三角函数相同.。
5.2.2《同角三角函数的基本关系》教学设计
5.2.2同角三角函数的基本关系一、教材分析本小节内容选自《普通高中数学必修第一册》人教A版（2019）第五章《三角函数》的第二节《三角函数的概念》。
本节课是学生学习了任意角和弧度值,任意角的三角函数后,安排的一节继续深入学习的内容,是求三角函数值、化简三角函数式、证明三角恒等式的基本工具,是整个三角函数的基础,在教材中起着承上启下的作用。
同时,它体现的数学思想与方法在整个高中数学学习中都有着重要的作用。
二、教学目标1.理解并掌握同角三角函数基本关系式及推导，发展数学抽象和逻辑推理的素养。
2.会利用同角三角函数的基本关系式进行简单的求值，化简等有关问题,发展数学运算素养。
三、教学重难点重点：同角三角函数基本关系式的推导及应用。
难点：同角三角函数基本关系的灵活应用。
四、教学过程（一）课程导入引导语：同学们，三角学源于天文学，在研究天文学问题的过程中它得到了发展，常见的三角函数有正弦函数、余弦函数、正切函数等，摸清楚这些三角函数之间的关系是三角学的基本问题之一。
问题1：因为sinα,cosα,tanα的值都是由α确定的，所以sinα,cosα,tanα之间是否存在某种关系呢？追问：回到定义中，我们是如何定义三角函数的？问题2：如何建立sin α,cos α,tanα之间的关系式呢？（二）问题探究过P 点作x 轴的垂线，交x 轴于M，则△OMP 是直角三角形，①对于平方关系，若角α是象限角，Rt△OMP 是一直存在，sin 2+cos 2=1是成立的.若角α是轴线角，不妨设α的终边与y 轴非负半轴重合，此时有P(0，1)，sin 2+cos 2=1成立。
事实上，α的终边无论与哪条坐标轴重合，sin 2+cos 2=1都成立.综上:对于任意角α，平方关系sin 22②0，所以角α的终边不能落在y 立.cos （三）同角三角函数的基本关系式1、平方关系（1）公式：sin 2α+cos 2α=1，α∈R1.注意：sin 2α是sin 2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin 2α写成sin 2.前者是α的正弦的平方，后者是2的正弦.3、公式赏析①同角讨论：你是如何理解“同角”的？点拨：一是“相同角”，二是（在使函数有意义的前提下）“任意角，所以“同角”指的是“相同的任意角”.②基本讨论：为何将以上关系叫做“基本”关系？点拨：公式简洁、美观，适用范围广.③结构讨论：以上两个公式有何结构特征？点拨：平方关系中有平方+平方=1，左边有变量，右边是常数，动中有静，变化中有不变；商数关系中左边是切，右边是弦，左边是整式，右边是分式，而且是齐次分式。
同角三角函数的基本关系 教学设计 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
同角三角函数的基本关系 教学设计 学科 数学 授课年级 高一课题同角三角函数的基本关系视频长度教材分析 本节选自人教A 版高中数学必修一第五章三角函数第二节第二课时，是继第一节三角函数的概念学习后的重要内容，本节对同角的三角函数值关系进行探究及变形，它是三角函数值运算的重要工具，对诱导公式及正余弦函数图像的学习有着铺垫作用。
教学目标 1.理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用；2.会利用同角三角函数的基本关系式进行化简、求值与恒等式证明．教学重点 同角三角函数的基本关系式的推导及其应用教学难点 同角三角函数的基本关系式的变式及应用教学过程（一）旧知回顾设计意图：让生通过对三角函数概念的回顾，回忆sinα,cosα及tanα的定义及表示，为本节知识内容的公式推导作准备。
（二）新知导入公式一表明终边相同的角的同一三角函数值相等，那么，同一个角的三角函数值之间是否也有某种关系呢？22r x y=+22sin y y αr x y ==+22cos x x r x y α==+1. 自主探究生1：生2：2. 同角三角函数基本关系式平方关系:1cos sin 22=+αα商数关系:),2(cos sin tan Z k k ∈+≠=ππαααα， 设计意图：通过探究，让学生由诱导公式一及三角函数的定义推导同角三角函数基本关系式，提高学生的解决问题、分析问题的能力。
思考1：“同角”一词的含义是什么？ [提示] 一是“角相同”，如sin 2α＋cos 2β＝1就不一定成立．二是对任意一个角(在使得函数有意义的前提下)，关系式都成立，即与角的表达式形式无关，如sin 215°∵ ∴ ∵ ∴ 22sin y y αr x y ==+22222sin y y αr x y ⎛⎫== ⎪+⎝⎭22cos x x r x y α==+22222cos x x αr x y ⎛⎫== ⎪+⎝⎭222222222222sin cos 1x y x y αx y x y x yα++=+==+++tan yxα=αααcos sin tan =sin tan sin cos tan sin。
《4.4 同角三角函数的基本关系》教学设计教学反思-2023-2024学年中职数学高教版2021基础
《同角三角函数的基本关系》教学设计方案（第一课时）一、教学目标1. 知识与技能：学生能理解同角三角函数的基本关系，并能够正确应用它们进行简单的三角函数计算。
2. 过程与方法：通过探索和讨论，培养学生的逻辑思维和团队合作精神。
3. 情感态度价值观：增强学生对数学的兴趣和热爱，提高他们解决问题的能力。
二、教学重难点1. 教学重点：学生理解和掌握同角三角函数的基本关系式。
2. 教学难点：如何引导学生运用基本关系解决实际问题。
三、教学准备1. 准备教学用具：黑板、白板、笔、尺子等。
2. 准备教学材料：同角三角函数的例题和习题。
3. 安排教学内容和时间，确保第一课时能够完成教学任务。
4. 提前与学生沟通，了解学生的学习情况和问题，以便更好地组织教学。
四、教学过程：1. 引入课题可以从生活实例出发，例如在运动场上，我们常常需要用勾股定理来确定两个同学之间的距离。
此外，还可以用以前学过的知识来引入，如三角函数线。
让学生明白同角三角函数的基本关系在解决实际问题和数学问题中都有重要作用。
2. 讲解同角三角函数的基本关系(1) 定义：在一个三角形中，三个角的正弦、余弦和正切之间存在基本关系。
(2) 公式推导：通过三角函数的诱导公式，可以推导出同角三角函数的基本关系。
3. 课堂互动让学生自己动手画三角形，并根据画出的三角形求出各角的正弦、余弦和正切值，通过自己的实践来理解同角三角函数的基本关系。
同时，教师也可以提出一些问题，引导学生思考和讨论，加深学生对同角三角函数基本关系的理解。
4. 案例分析给出一些实际问题的案例，如测量建筑物的高度、确定船只在水中的位置等，让学生运用同角三角函数的基本关系来解决这些问题。
通过案例分析，让学生更好地理解同角三角函数的基本关系在实际问题中的应用。
5. 课堂小结回顾本节课所讲的主要内容，包括同角三角函数的基本定义、公式的推导、课堂互动和案例分析的收获等。
同时，也要强调同角三角函数的基本关系在解决实际问题中的重要作用。
高中数学《同角三角函数的基本关系式》教学设计 新人教A版必修4
浙江省宁波市效实中学高中数学《同角三角函数的基本关系式》教学设计新人教A版必修4课题：同角三角函数的基本关系式（一）一、教学目标知识与技能：理解同角三角函数的基本关系式，并能用它来解决已知一个角的一个三角函数值或一个三角函数式求它的另外三角函数值问题．过程与方法：通过探究活动，体验数学发现和创造的历程，培养学生观察、分析、探索问题的能力．情感、态度与价值观：通过学生亲自参与学习，培养了学生的参与意识与合作精神，激发了学生探索数学的兴趣，体验了数学学习的过程与探索成功的喜悦．二、教学重点、难点教学重点：同角三角函数的基本关系式的推导及在解决一类三角求值方面的应用．教学难点：基本关系式的选取及学生思维灵活性的培养上．三、教学过程教学环节教学内容师生互动设计意图复习引入复习任意角三角函数定义，并由此提出问题．提问任意角三角函数定义，在此基础上，回顾初中知识点：当 为锐角时，存在的同角关系式，并提问是否可推广到任意。
）复习旧知识，同时为探究同角三角函数的基本关系式做准备．同角三角函数的基本关系式的探究过程探究同角三角函数的基本关系。
由学生代表展示探究成果，在整个过程中教师对同学的探究成果给予肯定与赞赏，然后引入课题．让学生亲身经历知识的发现过程，可以增强学生参与数学活动的意识，充分感受到发现问题和解决问题所带来的愉悦．同角三角函数的基本关系式的深化对两个关系式的思考思考：（一）两个关系式中的角有何限制条对关系式进行深挖掘，进一步加深学生对关系式的理解，培养严谨的数学思维件？（二）你如何理解“同角”这两个字？品质．点评点评试一试学生点评展示的试一试培养学生的表达能力合作探究展示点评探究一已知m=αcos，求αsin和αtan。
教师巡视各小组探究情况并做相应指导，学生展示与点评，教师补充。
留给学生思考、探索的时间与空间，让学生亲身经历知识的发现过程，在合作探究的过程，发展学生的合作意识和团队精神．在展示过程中培养学生的书写规范性，在点评中陪养学生的表达能力和纠错的能力。
同角的三角函数的基本关系 说课稿 教案 教学设计
同角三角函数的基本关系 第一课时（一）复习：1．同角三角函数的基本关系式。
（1）倒数关系：sin csc 1αα⋅=，cos sec 1αα⋅=，tan cot 1αα⋅=．（2）商数关系：sin tan cos ααα=，coscot sin ααα=．（3）平方关系：22sin cos 1αα+=，221tan sec αα+=，221cot csc αα+=．（练习）已知tan α43=，求cos α． 例1440． 2(36080)1sin 80+=-2cos 80cos80==．例240cos40． 240cos 402sin 40cos40+-240cos40)|cos40sin 40|cos40sin 40-=-=-．例3=1sin 1sin |cos |ααα+-+=2sin |cos |αα．2tan α=-，∴2sin |cos |αα2sin 0cos αα+=， 即得sin 0α=或|cos |cos 0αα=-≠．所以，角的集合为：{|k ααπ=或322,}22k k k Z πππαπ+<<+∈．例4．化简(1cot csc )(1tan sec )αααα-+-+．解：原式=cos 1sin 1(1)(1)sin sin cos cos αααααα-+-+ 2sin cos 1cos sin 11(sin cos )sin cos sin cos αααααααααα-+-+--=⋅=⋅112sin cos 2sin cos αααα-+⋅==⋅． 说明：化简后的简单三角函数式应尽量满足以下几点：（1）所含三角函数的种类最少；（2）能求值（指准确值）尽量求值；（3）不含特殊角的三角函数值。
例5．求证：cos 1sin 1sin cos x x x x+=-． 证法一：由题义知cos 0x ≠，所以1sin 0,1sin 0x x +≠-≠．例6．求证：22sin tan cos cot 2sin cos tan cot x x x x x x x x ⋅+⋅+⋅=+．证明：左边22sin 1sin cos 2sin cos cos tan x x x x x x x⋅+⋅+⋅ 32sin cos cos 2sin cos cos sin x x x x x x x+⋅+⋅ 4422sin cos 2sin cos sin cos x x x x x x ++=⋅222(sin cos )1sin cos sin cos x x x x x x+=， 右边22sin cos sin cos 1cos sin sin cos sin cos x x x x x x x x x x+=+==． 所以，原式成立。
高中数学优秀教学设计及说课稿《同角三角函数的基本关系》
《同角三角函数的基本关系》教学设计说明一、教学目标1.知识与技能目标（1）能根据三角函数的几何、代数定义导出同角三角函数的基本关系式；（2）掌握同角三角函数的两个基本关系式，并能够根据一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值.2.过程与方法目标（1）牢固掌握同角三角函数关系式，并能灵活解题，提高学生分析、解决三角函数的思维能力；（2）探究同角三角函数关系式时，体会数形结合的思想；已知一个角的三角函数值，求这个角的其他三角函数值时，进一步树立分类思想；解题时，注重化归的思想，将新题目化归到已经掌握的知识点上；（3）通过对知识的探究，掌握自主学习的方法，通过学习中的交流，形成合作学习的习惯.3.情感、态度、价值观目标通过教学，使学生学习运用观察、类比、数形结合、联想、猜测、检验等合情推理方法，提高学生运算能力和逻辑推理能力.二、教材分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书 数学必修4》第1.2.2节，课型为新授课，所用的教材为人民教育出版社A 版，课时安排为1课时，所用教具主要为多媒体、实物投影仪.本节课是在完成了任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义、符号表示及定义域、三角函数在各象限的符号等教学之后进行的.是对前面三角知识的延续，同时为后续进行三角函数相关内容打下重要基础。
因此本节内容具有承前启后的作用.另外，本节内容是三角函数部分的重要内容，是三角计算的基础.三、学情分析本节课的教学对象是高一学生，时间为高一下学期.学生的数学基础较好，对学习有着较浓的学习兴趣.经过长时间的探究性学习和合作性学习的训练，思维比较活跃，平时教学中勇于发表个人观点，课堂讨论气氛较好.四、本节课教学的重、难点教学重点：公式1cos sin 22=α+α和α=ααtan cos sin 的推导及其应用 教学难点：同角三角函数的基本关系式的变式应用五、教法特点及预期效果分析教学模式以启发、诱导发现教学为主.本节教学从抛出问题，引发学生思考，探究知识开始，到公式在使用时应该注意的问题，再到例题的多种不同解法，直至最后的小结归纳的过程，均由学生通过独立思考和讨论共同完成，真正体现以学生为主体的教学理念.在教学过程中，教师的作用是把握教学重难点、教学流程，对学生探究的结果进行归纳总结，对学生不同的解法进行提炼，帮助学生理清思维“脉络”.本节课要求学生多看、多体会、多讨论，学生是演员，是参与者，学生应该有一定兴趣.但另一方面，因为让学生说得较多，对口头表达能力有一定欠缺的同学可能形成一定的心理压力.因此，有可能形成课堂气氛不够活跃的情况。
名师教学设计《同角三角函数的基本关系式》示范教学教案
《同角三角函数的基本关系式》教案课题：同角三角函数的基本关系式备课人：教学目标知识目标：1.掌握两种基本关系式之间的联系；2.熟练掌握已知一个角的三角函数值求其他三角函数值。
技能目标：1.牢固掌握同角三角函数的两个关系式，并能灵活运用于解题，提高学生分析、解决三角的思维能力；2.灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力。
素质目标：通过用数学知识解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类的密切联系，激发学生学习数学的兴趣，增强学生学习数学的信心。
思政目标：在解决三角函数化解问题过程中，注意培养学生思维的灵活性及思维的深化;在恒等式证明的教学过程中，注意培养学生分析问题的能力，从而提高逻辑推理能力。
教学重点：同角三角函数基本关系式：教学难点：三角函数值的符号的确定，同角三角函数的基本关系式教学方法：启发式、探究式教学仪器：多媒体、实物投影仪O cos α xP (cos α，sin α) ysin α1教学过程设计教学环节教学内容师生互动设计意图导 入复习三角函数定义、单位圆和三角函数线、勾股定理教师提出问题，学生回答推出sin 2α＋cos 2α＝1sin αcos α ＝tan α 这两个基本关系式．新 课 新 课在单位圆中，由三角函数的定义和勾股定理，可得同角三角函数的基本关系式：sin 2 α＋cos 2α＝1；sin αcos α＝tan α ．当我们知道一个角的某一三角函数值时，利用这两个关系式和三角函数定义，就可求出这个角的另外几个三角函数值．此外，还可用它们化简三角函数式和证明三角恒等式．同角三角函数的基本关系式应用之一： 求值．例1 已知sin α＝45 ，且 α 是第二象限的角，求 α 的余弦和正切值． 解 由 sin 2α＋cos 2α＝1，得 cos α＝±1－sin 2α ．因为α 是第二象限角，cos α＜0,所以 cos α＝－1－(45)2 ＝师讲解：1．sin 2α，cos 2α 的读法、写法． 2．让学生验证30°，45°，60°的正弦，余弦，正切值满足两个关系式．3．“同角”的概念与角的表达形式无关，如：sin 2 β＋cos 2 β＝1．4．同角的意义：一是“角相同”；二是“任意一个角”．例1鼓励学生自己解决，教师只在开方时点拨符号问题．练习：教材 P141，练习A 组第1（2）（3）题．小结步骤：已知正弦（或余弦）−−−−→−根据平方关系求余弦（或正弦）−−−−→−根据商数关系求正切．初步认识和记忆两个关系式，理解“同角”的含义．多练几个类似例题的题目，使学生熟练两个基本关系式的应用和用方程求值的方法．教学反思：通过课后学生反映以及上交作业的情况，发现本节课存在几个方面的问题，首先，在本节课的教授过程中，与学生的互动较少，学生的积极性没有充分被调动起来，在课堂练习及例题时，没有注意到给学生留充分的时间来思考和解答，这样教学效果没有让学生自己考虑充分的效果好。
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高中数学新课程创新教学设计案例篇同角三角
函数的基本关系式 Document number【AA80KGB-AA98YT-AAT8CB-2A6UT-A18GG】
33 同角三角函数的基本关系式
教材分析
这节课主要是根据三角函数的定义，导出同角三角函数的两个基本关系式sin2a＋cos2a＝1与
，并初步进行这些公式的两类基本应用．教学重点是公式sin2a＋cos2a＝1与
的推导及以下两类基本应用：
（1）已知某角的正弦、余弦、正切中的一个，求其余两个三角函数．
（2）化简三角函数式及证明简单的三角恒等式．
其中，已知某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值时，正负号的选择是本节的一个难点，正确运用平方根及象限角的概念是突破这一难点的关键；证明恒等式是这节课的另一个难点．课堂上教师应放手让学生独立解决问题，优化自己的解题过程．
教学目标
1. 让学生经历同角三角函数的基本关系的探索、发现过程，培养学生的动手实践、探索、
研究能力．
2. 理解和掌握同角三角函数的基本关系式，并能初步运用它们解决一些三角函数的求值、
化简、证明等问题，培养学生的运算能力，逻辑推理能力．
3. 通过同角三角函数基本关系的学习，揭示事物之间的普遍联系规律，培养学生的辩证唯
物主义世界观．
任务分析
这节课的主要任务是引导学生根据三角函数的定义探索出同角三角函数的两个基本关系
式：sin2a＋cos2a＝1及，并进行初步的应用．由于该节内容比较容易，所以，课堂上无论是关系式的探索还是例、习题的解决都可以放手让学生独立完成，即由学生自己把要学的知识探索出来，并用以解决新的问题．必要时，教师可以在以下几点上加以强调：（1）“同角”二字的含义．（2）关系式的适用条件．（3）化简题最后结果的形式．（4）怎样优化解题过程．
教学设计
一、问题情境
教师出示问题：上一节内容，我们学习了任意角α的六个三角函数及正弦线、余弦线和正切线，你知道它们之间有什么联系吗你能得出它们之间的直接关系吗
二、建立模型
1. 引导学生写出任意角α的六个三角函数，并探索它们之间的关系
在角α的终边上任取一点P（x，y），它与原点的距离是r（r＞0），则角α的六个三角函数值是2. 推导同角三角函数关系式
引导学生通过观察、分析和讨论，消元（消去x，y，r），从而获取下述基本关系．
（1）平方关系：sin2a＋cos2a＝1．
（2）商数关系：t：
说明：①当放手让学生推导同角三角函数的基本关系时，部分学生可能会利用三角函数线，借助勾股定理及相似三角形的知识来得出结论．对于这种推导方法，教师也应给以充分肯定，并进一步引导学生得出｜sinα｜＋｜cosα｜≥1．
②除以上两个关系式外，也许部分学生还会得出如下关系式：
.教师点拨：这些关系式都很对，但最基本的还是（1）和（2），故为了减少大家的记忆负担，只须记住（1）和（2）即可．以上关系式均为同角三角函数的基本关系式．
教师启发：（1）对“同角”二字，大家是怎样理解的？
（2）这两个基本关系式中的角α有没有范围限制？
（3）自然界的万物都有着千丝万缕的联系，大家只要养成善于观察的习惯，也许每天都会有新的发现．刚才我们发现了同角三角函数的基本关系式，那么这些关系式能用于解决哪些问题呢？
三、解释应用
［例题］
1. 已知sinα＝，且α是第二象限角，求角α的余弦值和正切值．
2. 已知tanα＝－，且α是第二象限角，求角α的正弦和余弦值．
说明：这两个题是关系式的基本应用，应让学生独立完成．可选两名同学到黑板前板书，以便规范解题步骤．
变式1 在例2中若去掉“且α是第二象限角”，该题的解答过程又将如何？
师生一起完成该题的解答过程．
解：由题意和基本关系式，列方程组，得
由②，得sinα＝－cosα，
代入①整理，得6cos2α＝1，cos2α＝．
∵tanα＝－＜０，∴角α是第二或第四象限角．
当α是第二象限角时，cosα＝－，
代入②式，得；
当α是第四象限角时，cosα＝，
代入②式，得.
小结：由平方关系求值时，要涉及开方运算，自然存在符号的选取问题．由于本题没有具体指明α是第几象限角，因此，应针对α可能所处的象限，分类讨论．
变式2 把例2变为：
已知tanα＝－，求的值．
解法1：由tanα＝－及基本关系式可解得
针对两种情况下的结果居然一致的情况，教师及时点拨：
观察所求式子的特点，看能不能不通过求sinα，cosα的值而直接得出该分式的值．
学生得到如下解法：
由此，引出变式3．
已知：tanα＝－，求（sinα－cosα）2的值．
有了上一题的经验，学生会得到如下解法：
教师归纳、启发：这个方法成功地避免了开方运算，因而也就避开了不必要的讨论．遗憾的是，因为它不是分式形式，所以解题过程不像“变式2”那样简捷．那么，能解决这一矛盾吗？
学生得到如下解法：
教师引导学生反思、总结：（1）由于开方运算一般存在符号选取问题，因此，在求值过程中，若能避免开方的应尽量避免．
（2）当式子为分式且分子、分母都为三角函数的n（n∈N且n≥1）次幂的齐次式时，采用上述方法可优化解题过程．
［练习］
当学生完成了以上题目后，教师引导学生讨论如下问题：
（1）化简题的结果一定是“最简”形式，对三角函数的“最简”形式，你是怎样理解的？
（2）关于三角函数恒等式的证明，一般都有哪些方法你是否发现了一些技巧
四、拓展延伸
教师出示问题，启发学生一题多解，并激发学生的探索热情．
已知sinα－cosα＝－，180°＜α＜270°，求tanα的值．
解法1：由sinα－cosα＝－，得
反思：（1）解法1的结果比解法2的结果多了一个，看来产生了“增根”，那么，是什么原因产生了增根呢？
（2）当学生发现了由sinα－cosα＝－得到sin2α－2sinαcosα＋cos2α＝的过程中，α
的范围变大了时，教师再点拨：
怎样才能使平方变形是等价的呢？
由学生得出如下正确答案：
∵180°＜α＜270°，且sinα－cosα＝－＜0，∴sinα＜0，cosα＜0，且｜sinα｜＞｜
cosα｜，因此｜tanα｜＞1，只能取tanα＝2．
强调：非等价变形是解法1出错的关键！
点评
这篇案例力求体现新课程理念下的以人为本的思想，充分发挥了学生的主体作用．教师充当着学生学习的引导者、支持者和帮助者的角色．教师和学生是本课的共同参与者，共同努力完成了这一节课的教学活动．在这节课上，学生的积极性被充分调动起来，从而使学生在积极思维的活动中取得了成功并饱尝到了成功的喜悦．案例中的教学活动体现了研究性学习和探索性学习的方法．
总之，充分调动学生数学学习的主动性，强调质疑和化疑，是这篇案例的成功之处．。