(华师大版)九年级数学下册《第26章26.1二次函数的定义》课件
(１０-８)×１００
降价x元前 降价x元后
１００
1０-x-8
100+100x (10-x-8)(100+100x)
y=(10-x-8)(100+100x)• 即y=100x2+100x+200(0≤x
概念引入
• 二次函数的定义： • 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函 数叫做x的二次函数
•
结束寄语
•生活是数学的源泉.
•
探索是数学的生命线.
•
AB的长ｘ（ｍ） ＢＣ的长（ｍ） 面积ｙ（ｍ２）
１
２
３
４
５
６
７
８
９
18 18
16 32
14 １２ 10 42 ４８ 50
•
8 48
6 42
4 32
2 18
y=x(202x)(0﹤x﹤10)
Y=2x2+20x(0﹤x﹤
试一试：
探究问题2
温馨提示：同桌交流， 互相帮助！
某商店将每商品进价为 8元的商品按每 10元出售，一天 可售出约 100件。该店想通过降低售价、增加销售量的 办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降 低 0. 1 元，其销售量可增加约 10 件。将这种商品的售价 降低多少时，能使销售利润最大？ 1 设每件商品降低x元（0≤x≤2），该商品每天的利润 为y，y是x的函数吗？为什么要限定x的值？ 2 怎样写出该关系式？ 每天利润=单件利润×每天销量 单件利润 （元） 10-8 每天销量 （件） 每天利润（y次函数？
不是 2（) (1)y=3x-1()(2)y=3x 不是 2-2x+1() (3)y=3x3+2x2()(4)y=2x 是 是 不是
(5)y=x-2+x()(6)y=x 不是 2-x(1+x)()
•
小结拓展
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要掌 握的是________________。
26.1.1二 次函数
§
•
教学目标
• 1.理解二次函数的定义。 • 2.掌握二次函数的一般形式，并能识别二次 函数。
•
试一试：
温馨提示：同桌交流， 互相帮助！
探究问题1 要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎 样围法，才能使围成的面积最大？ 2． 1 设矩形靠墙的一边 AB 的长ｘｍ，矩形的面积 y ｍ A D 能用含x的代数式来表示y吗？ x x 2 试填下面的表 0﹤x﹤10 3 x的值可以任意取？有限定范围吗？ B C 20-2x 4 我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式。
•
驶向胜利的 彼岸
思考：2.二次函数的一般式y＝ax2 ＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程 ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联 系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a≠0(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函 数y=ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 • 边前者是y,后者是0
降价x元前 降价x元后
１００
1０-x-8
100+100x (10-x-8)(100+100x)
y=(10-x-8)(100+100x)• 即y=100x2+100x+200(0≤x
概念引入
• 二次函数的定义： • 形如y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)的函 数叫做x的二次函数
•
结束寄语
•生活是数学的源泉.
•
探索是数学的生命线.
•
AB的长ｘ（ｍ） ＢＣ的长（ｍ） 面积ｙ（ｍ２）
１
２
３
４
５
６
７
８
９
18 18
16 32
14 １２ 10 42 ４８ 50
•
8 48
6 42
4 32
2 18
y=x(202x)(0﹤x﹤10)
Y=2x2+20x(0﹤x﹤
试一试：
探究问题2
温馨提示：同桌交流， 互相帮助！
某商店将每商品进价为 8元的商品按每 10元出售，一天 可售出约 100件。该店想通过降低售价、增加销售量的 办法来提高利润。经市场调查，发现这种商品单价每降 低 0. 1 元，其销售量可增加约 10 件。将这种商品的售价 降低多少时，能使销售利润最大？ 1 设每件商品降低x元（0≤x≤2），该商品每天的利润 为y，y是x的函数吗？为什么要限定x的值？ 2 怎样写出该关系式？ 每天利润=单件利润×每天销量 单件利润 （元） 10-8 每天销量 （件） 每天利润（y次函数？
不是 2（) (1)y=3x-1()(2)y=3x 不是 2-2x+1() (3)y=3x3+2x2()(4)y=2x 是 是 不是
(5)y=x-2+x()(6)y=x 不是 2-x(1+x)()
•
小结拓展
驶向胜利的 彼岸
你认为今天这节课最需要掌 握的是________________。
26.1.1二 次函数
§
•
教学目标
• 1.理解二次函数的定义。 • 2.掌握二次函数的一般形式，并能识别二次 函数。
•
试一试：
温馨提示：同桌交流， 互相帮助！
探究问题1 要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃。怎 样围法，才能使围成的面积最大？ 2． 1 设矩形靠墙的一边 AB 的长ｘｍ，矩形的面积 y ｍ A D 能用含x的代数式来表示y吗？ x x 2 试填下面的表 0﹤x﹤10 3 x的值可以任意取？有限定范围吗？ B C 20-2x 4 我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式。
•
驶向胜利的 彼岸
思考：2.二次函数的一般式y＝ax2 ＋bx＋c（a≠0）与一元二次方程 ax２＋bx＋c＝0（a≠0）有什么联 系和区别？
联系(1)等式一边都是ax2＋bx＋c且 a≠0(2)方程ax2＋bx＋c=0可以看成是函 数y=ax2＋bx＋c中y=0时得到的. 区别:前者是函数.后者是方程.等式另一 • 边前者是y,后者是0
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九年数学下册第二十六章二次函数.1二次函数课件新版华东师大版03012165
一边AB的长的一些值〔0 <AB < 10)，
可以求出BC的长，从而
可得矩形的面积.试将计算结
果填人下表的空白处
知1－导
AB的长(m) 1 2 3 4 5 6 7 8 9
BC的长(m)
12面积(m2)源自48从所填的表格中，你能发现什么？能作出怎样的 猜测？
分析：
知1－导
我们看到，对于一边AB的长的每一个确定 值〔0
〔2〕设每星期的销售利润为 W 元，求 W 与 x 之间的函 数关系式 .
〔3〕当每件售价定为 50 元时，每星期的销售量为多少件？ 销售利润为多少元？
知1－讲
方法点拨：在实际问题中建立二次函数模型时，关键要找出 两个变量之间的相等关系，用类似建立一元二次 方程模型的方法，借助方程思想求出二次函数的 关系式 .
是关于 x 的二次函数？并求出这时二次函数的表达式 .
知1－讲
解： 由题意，得 ∴ m=3. ∴当 m=3 时，该函数是二次函数，其表达式为 y=〔 32+3〕 x32-2× 3-1+〔 3-5〕 x+32， 即 y=12x2-2x+9.
总结
知1－讲
判断一个函数是否为二次函数，即要看这个函数 的关系式化简后是否同时满足二次函数定义中的三个 条件： (1)所表示的函数的关系式为整式； (2)函数的关系式有 唯一自变量； (3)关系式自变量的最高次数为2且二次项系数不等于0.
知2－讲
导引：(1)根据图形及题意所述可得出重叠局部是等腰直角三
角形，从而根据MA的长度可得出y与x之间的函数关
系式；(2)将x＝1 cm代入可得出重叠局部的面积．
解：(1)由题意知，开始时A点与M点重合，让△ABC向右
华师大版九年级数学下册26.1.1《二次函数概念》 课件
例函数.
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函数.
（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数.
1. 一 个 圆 柱 的 高 等 于 底 面 半 径 ， 写 出 它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
2. n支球队参加比赛，每两队之间进行
探究问题1 要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃.怎样围法，才
能使围成的面积最大？
A x
B 20-2x
D x
C
1 设矩形靠墙的一边AB的长xm，矩形的面积ym2．
能用含x的代数式来表示y吗？
2 试填下面的表 3 x的值可以任意取？有限定范围吗？
0﹤x﹤10
4 我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式.
§26.1.1二次函数
知识回顾
1、一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
2、什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x、y，当
变量x在某个范围内取 一个 确定的值，另 一个变量y总有 唯一 的值与它对应.
这样的两个变量之间的关系我们把它 叫做函数关系.
变 量 之 间函 的数 关 系
练习：m取何值时，函数是
y= (m+1)x m2 2m1 +(m-3)x+m 是二次函数？
驶向胜利 的彼岸
例2、y=（m+3）x m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2）m取什么值时，此函数是反比例函数？ （3）m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正比
（２）当m2－7=-1且m+3≠0即m=± 6 时是反比例函数.
（３）当m2－7=2且m+3≠0即m=3时是二次函数.
1. 一 个 圆 柱 的 高 等 于 底 面 半 径 ， 写 出 它的表面积 s 与半径 r 之间的关系式.
S=2πr2 +2πr2 即S=4πr2
2. n支球队参加比赛，每两队之间进行
探究问题1 要用总长为20米的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃.怎样围法，才
能使围成的面积最大？
A x
B 20-2x
D x
C
1 设矩形靠墙的一边AB的长xm，矩形的面积ym2．
能用含x的代数式来表示y吗？
2 试填下面的表 3 x的值可以任意取？有限定范围吗？
0﹤x﹤10
4 我们发现y是x的函数，试写出这个函数的关系式.
§26.1.1二次函数
知识回顾
1、一元二次方程的一般形式是什么？ ax2+bx+c=0 (a≠0)
2、什么叫函数? 在某变化过程中的两个变量x、y，当
变量x在某个范围内取 一个 确定的值，另 一个变量y总有 唯一 的值与它对应.
这样的两个变量之间的关系我们把它 叫做函数关系.
变 量 之 间函 的数 关 系
练习：m取何值时，函数是
y= (m+1)x m2 2m1 +(m-3)x+m 是二次函数？
驶向胜利 的彼岸
例2、y=（m+3）x m2-7
（1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2）m取什么值时，此函数是反比例函数？ （3）m取什么值时，此函数是二次函数？
解：（１）当m2－7=1且m+3≠0即m=± 2 2 时是正比
26.1 二次函数 华师大版数学九年级下册 课件
增加 ycm²,试写出y与x的函数关系式.
答:(1)y=-x²+10x; (2)S=r²; (3)y=x²+7x.共同特点:都是关于自变量的二次式.
2.探究新知
问题 1 要用长为20m的铁栏杆,一面靠墙(墙足够长),围成一个矩 形的花圃.
(1)设垂直于墙面的边AB为xm,矩形的面 积为ym².y能用含x的代数式来表示吗?
第26章 二次函数
26.1 二次函数
一 教学目标
1.通过对实际问题情境的分析,让学生经历二次函数概念的 形成过程,学会用类比思想学习二次函数知识. 2.掌握二次函数的概念,列出实际问题中的二次函数关系式.
二 重难点
重点：掌握二次函数的概念,列出二次函数关系式. 难点：理解变量之间的对应关系,并会求自变量的取值范围.
问题 2 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天 可售出100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润. 经市场调查,发现这种商品每件每降低0.1元,每天销售量可增加10 件.将这种商品的售价降低多少时,能使每天销售利润最大?
(1)设每件商品降低x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y,y是x的 函数吗?为什么要限定x的值?
(2)试填写下面的表格. (3)x的值可以任意取吗?有限定范围吗? (4)我们发现y是x的函数,试写出这个函数的关系式.
解:(1)能. (2)如表所示.
AB的边长 x（m）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
BC的边长 x（m）Fra bibliotek1816
14
12
10
8
6
4
2
面积y （m²）
18
答:(1)y=-x²+10x; (2)S=r²; (3)y=x²+7x.共同特点:都是关于自变量的二次式.
2.探究新知
问题 1 要用长为20m的铁栏杆,一面靠墙(墙足够长),围成一个矩 形的花圃.
(1)设垂直于墙面的边AB为xm,矩形的面 积为ym².y能用含x的代数式来表示吗?
第26章 二次函数
26.1 二次函数
一 教学目标
1.通过对实际问题情境的分析,让学生经历二次函数概念的 形成过程,学会用类比思想学习二次函数知识. 2.掌握二次函数的概念,列出实际问题中的二次函数关系式.
二 重难点
重点：掌握二次函数的概念,列出二次函数关系式. 难点：理解变量之间的对应关系,并会求自变量的取值范围.
问题 2 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天 可售出100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润. 经市场调查,发现这种商品每件每降低0.1元,每天销售量可增加10 件.将这种商品的售价降低多少时,能使每天销售利润最大?
(1)设每件商品降低x元(0≤x≤2),该商品每天的利润为y,y是x的 函数吗?为什么要限定x的值?
(2)试填写下面的表格. (3)x的值可以任意取吗?有限定范围吗? (4)我们发现y是x的函数,试写出这个函数的关系式.
解:(1)能. (2)如表所示.
AB的边长 x（m）
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BC的边长 x（m）Fra bibliotek1816
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面积y （m²）
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华师大版九年级数学下26.1.1二次函数二次函数教学课件 (共14张PPT)
=－ a² + 30a
是二次函数关系式。
3. 如果函数 y= x +kx+1 是二次函 0或 3 。 数，则k的值一定是______
k 2 3 k 2
4. 如果函数 y=(k-3) x 0 函数,则k的值一定是______ 。
k 2 3 k 2
+kx+1是二次
巩固练习
实际问题
5.某果园有100棵苹果树，每棵树平均结600 个果实.现准备多种一些苹果树以提高产量，但 是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所 接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一 棵树，平均每棵树就会少结5个果实. 假设果园增种x棵苹果树，苹果的总产量 为y个，请你写出 y与x之间的关系式.
形如 （a、b、c是常数， 2 y ax bx c a≠0）的函数叫做 x 的二次函数（quadratic function），其中x是自变量,a叫做二次函数 的系数，b叫做一次项的系数，c叫作常数项。
注意 x 的取值范围是全体实数。
注意
y ax bx c 的三种不同表示形式
15 …
60375
…
实际问题
6.银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也 就是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中 国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期 后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果 存款是100元，那么请你写出两年后的本息和y(元)的 表达式(不考虑利息税).
y = 100(x+1)² =100x² + 200x + 100
7. 一个圆柱的高等于底面半径，写出它 的表面积S与半径r之间的关系式。
华师版九年级数学下册教学课件(HS) 第26章 二次函数 二次函数
则 y 关于x 的关系式为
.
y=6x2
此式表示了正方体表面积
y与正方体棱长x之间的关系，
对于x的每一个值，y都有唯一
的一个对应值，即y是x的函数.
问题2 用总长为20m的围栏材料，一面靠墙，围成一个矩形花圃.怎样围才能使花
圃的面积最大？
如图，设围成的矩形花圃为ABCD，靠墙的 一边为AD，垂直于墙面的两边分别为AB和CD. 设AB长为x m(0＜x＜10),先取x的一些值，进而 可以求出BC边的长，从而可得矩形的面积y. 将计算结果写在下表的空格中：
归纳总结
二次函数的定义： 形如y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠ 0)的函数叫做二次函数.
温馨提示：
（1）等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式； （2）a,b,c为常数，且a≠ 0; （3）等式的右边最高次数为 2，可以没有一次项和常数项，但不能没有 二次项.
典例精析
例1 下列函数中哪些是二次函数？为什么？（x是自变量）
问题3 某商店将每件进价为8元的某种商品按每件10元出售,一天可售 出100件.该店想通过降低售价,增加销售量的办法来提高利润.经过市 场调查,发现这种商品单价每降低0.1元,其销售量可增加约10元.将这 种商品的售价降低多少时,能使销售利润最大?
分析：销售利润=（售价-进价）×销售量. 根据题意，求出这个函数关系式.
(1)若生产第x档次的产品一天的总利润为y元(其中x为正整数，且1≤x≤10)，求出y 关于x的函数关系式；
解：∵第一档次的产品一天能生产95件，每件利润6元，每提高一个档次，每 件利润加2元，但一天产量减少5件，
∴第x档次，提高了(x－1)档，利润增加了2(x－1)元． ∴y＝[6＋2(x－1)][95－5(x－1)]， 即y＝－10x2＋180x＋400(其中x是正整数，且1≤x≤10)；
新华师大版九年级下册初中数学 26-1 二次函数 教学课件
y与x的关系式为：
化简为： y (100 x)(600 5x) y 5x2 100x 60000
新课讲解
银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的,也就是说，利 率是一个变量.在我国,利率的调整是由中国人民银行根据 国民经济发展的情况而决定的.
设人民币一年定期储蓄的年利率是x,一年到期后,银行将 本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果存款是100元,那 么请你写出两年后的本息和y(元)的表达式(不考虑利息税).
1. 只含有一个未知数
2. 方程是整式方程 3. 未知数的最高次数为
2(化简后)
4. 条件a≠0
我们把代数式b2 4ac叫做方程ax2 bx c 0a 0的
根的判别式.用""来表示.即 b2 4ac.
新课导入
知识回顾
变量之间的关系
函数
一次函数y=kx+b 反比例函数
(k≠0)
y k k 0.
解：S=a（60 -a）=a（30-a）=30a-a²=-a²+30a .
2
是二次函数.
当堂小练
C
拓展与延伸
矩形的周长为16 cm,它的一边长为x（cm),面积为y（cm2). （1）求y与x之间的函数解析式及自变量x的取值范围； （2）求当x=3时矩形的面积.
解 ：
y=100x²+200x+100
新课讲解
解：依题意得， 一年后的本息和为：
100 100x 100(1 x)
两年后本息和为 ：
100(1 x) 100(1 x)x 100(1 x)2
所以，y 与x的关系式为：
y 100(1 x) 2
化简为： y 100x 2 200x 100
九年级数学下册 26.1 二次函数课件 (新版)华东师大版
你能答对吗？
（2）x的值是否可以任意取？试指出它的取值范围.
0 x 20 （也3）就我随们之不发确现定可，，以当y是A，Bx的的长函（数x，）试确写定出后这，个矩函形数的的面关积系（式y）.
y x(20 2x) 2x2 20x
得到的两个函数有什么共同 特点？这两个问题有什么共
y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,a≠0)的几种不同表示形式:
(1)y=ax²(a≠0,b=0,c=0,).
(2)y=ax²+c(a≠0,b=0,c≠0).
(3)y=ax²+bx(a≠0,b≠0,c=0).
2.定义的实质是：ax²+bx+c是整式,自变量x的 最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实 数.
假设果园增种x棵橙子树,果园橙子的 总产量为y(个),那么请你写出y与x之间的 关系式.
源于生活的数学
解:设果园共有（100+x）棵树,平均 每棵树结（600-5x）个橙子,
y=(100+x)(600-5x) =-5x²+100x+60000.
你能答对吗？
引入2：如图，要用长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩 形的花圃。怎样围法才能使围成的花圃的面积最大？
敢于创新
练习2.如果函数 y xk23k2 kx 1是二
次函数,则k的值一定是_0_,_3___
练习3.如果函数 y (k 3)xk23k2 kx 1
是二次函数,则k的值一定是___0___
知识的升华
练习4.已知函数y (k 2 k)x2 kx 2 k
中考专练
m取何值时，函数 y= (m+1)xm2 2m1 +(m-3)x+m 是般地,形如y=ax²+bx+c
26.1 二次函数 华师版数学九年级下册课件
2.什么是一次函数?正比例函数?
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做 一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.
3.一元二次方程的一般形式是什么? ax2+bx+c=0 (a≠0)
活动探究：思考以下问题，动手做一做.（小组讨论，3min）
要用总长为20米的铁栏杆，一面 靠墙，围成一个矩形的花圃.怎样围 法，才能使围成的面积最大？
定义： 形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数. a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项
注意
1. y=ax2+bx+c 等式右边关于自变量x的代数式一定是整式.
（a,b,c为常数，且a≠0，b,c可为0） (1)y=ax²--------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0). 2.等式的右边自变量x最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项. 3.抛开实际问题，自变量x的取值是全体实数.
ＢＣ的长（ｍ）
18 16 14
1 2
10 8
6
4
2
面积（ｍ２）
18 32 42 48 50 4 42 32 18
8
A
D
x
x
B
C
20-2x
从所填的表格中，你能发现什么？能做出怎样的猜想？
分析：我们看到，对于一边AB长的每一个 确定值（0＜AB＜10），矩形的面积有唯 一确定的值与它对应.也就是说，面积是一 边AB长的函数.
当变量AB的长取何值时，矩形面积的值最大？ 为此，先求出这个函数关系式. 设AB的长为x m，矩形的面积为y m2，y是x的函数 .试写出这个函数关系式.
一般地，形如y=kx+b（k,b是常数，k≠0）的函数叫做 一次函数.当b=0 时，一次函数y=kx就叫做正比例函数.
3.一元二次方程的一般形式是什么? ax2+bx+c=0 (a≠0)
活动探究：思考以下问题，动手做一做.（小组讨论，3min）
要用总长为20米的铁栏杆，一面 靠墙，围成一个矩形的花圃.怎样围 法，才能使围成的面积最大？
定义： 形如y=ax2+bx+c (a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做x的二次函数. a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项
注意
1. y=ax2+bx+c 等式右边关于自变量x的代数式一定是整式.
（a,b,c为常数，且a≠0，b,c可为0） (1)y=ax²--------- (a≠0,b=0,c=0,). (2)y=ax²+c ------ (a≠0,b=0,c≠0). (3)y=ax²+bx ---- (a≠0,b≠0,c=0). 2.等式的右边自变量x最高次数为2，可以没有一次项和常数项，但 不能没有二次项. 3.抛开实际问题，自变量x的取值是全体实数.
ＢＣ的长（ｍ）
18 16 14
1 2
10 8
6
4
2
面积（ｍ２）
18 32 42 48 50 4 42 32 18
8
A
D
x
x
B
C
20-2x
从所填的表格中，你能发现什么？能做出怎样的猜想？
分析：我们看到，对于一边AB长的每一个 确定值（0＜AB＜10），矩形的面积有唯 一确定的值与它对应.也就是说，面积是一 边AB长的函数.
当变量AB的长取何值时，矩形面积的值最大？ 为此，先求出这个函数关系式. 设AB的长为x m，矩形的面积为y m2，y是x的函数 .试写出这个函数关系式.