第一讲 数图形
三四年级奥数
和倍问题
• 已知两个数的和与两个数之间的倍数关系， 求这两个数分别是多少，像这样的应用题， 通常叫做“和倍问题”。解答这类问题， 最好根据题意，画出线段图，使数量关系 一目了然，从而正确解答。 • 解答和倍应用题，关键是要找出两个数的 和以及与其对应的倍数和，从而先求出“1” 倍数，再求出几倍数。
经典题型：
• • • • 例3：先找出规律，再在括号里填上合适的数 （1）15、2、12、2、9、2、（ ）、（ ） （2）19、9、17、8、15、7、（ ）、（ ） （3）1、26、2、30、3、34、（ ）、（ ）
模仿提升3
• 先找出规律，再在括号里填上合适的数 • （1）34、8、37、8、40、8（ ）、（ ） • （2）64、2、63、4、62、6、（ ）、（ ）
模仿提升3
• 1、甲仓库存粮54吨，乙仓库存粮82吨，从 乙仓运出多少吨放入甲仓后，甲仓存粮是 乙仓的3倍。
• 例6：从北京到上海的某列火车，中途要停 靠6个大站，这些车票中有多少种不同的票 价？铁路公司要为这段铁路准备多少种不 同的车票？（各站之间的路程不相同）？
第二讲 找规律
• 按照一定规律排列起来的一列数，叫做数 列。数列里的每个数个数都叫做这个数列 的项。其中第1个数叫做列的第1项，第1个 数叫数列的第2项，第几个数就叫做数列的 第几项。 • 寻找数列的排列规律，除了从相邻两数的 和、差考虑，有时还要从积、商考虑，善 于发现数列的规律是填数的关键。
经典题型：
• • • •
例4：先找出规律，再在括号内填上合适的数 （1）100、50、52、26、28、（ ）、（ ） （2）2、5、14、41、（ ）、（ ） （3）1、2、5、13、34、（ ）、（ ）
模仿提升4
小学三年级 奥数数图形 线段
18
生活中数线条的问题？
2021/4/14 星期三
19
参加小朋友聚合，总共有4 个小朋友，如果每两个人握 一次手，那么共握手多少次？
A
B
C
2021/4/14 星期三
D
20
A
B
C
D
A小朋友和别的握手： AB、AC、AD共3次；
B小朋友和别的握手： BC、BD共2次；
C小朋友和别的握手： CD共1次。
A B CD A B CD
3+2+1=6（条）
E
4+3+2+1=10（条）
E F 5+4+3+2+1=15（条）
线段数=端点数*端点数÷2
2021/4/14 星期三
13
中间还有56个点
A CD
中间还有95个点
EB
在一条线段上任取16个点 （包括两端点），则一共 有（ ）条线段。
2021/4/14 星期三
小学三年级奥数 第一讲 数图形 (一)
2021/4/14 星期三
1
数一数
第一组
2021/4/14 星期三
第二组
2
数一数
一共有多少个 ？
5+4+3+2+1=15（个）
2021/4/14 星期三
3
线段
什么是线段？线段有什么特点呢？
1、线段是直的; 2、线段有两个端点; 3、线段可以量出长度。
2021/4/14 星期三
BC、BD共2条；
以C点为左端点的线段有：
CD共1条。
• 所以，图中共有线段
2021/4/14 星期三 3＋2＋1=6条。
三年级数学兴趣小组活动记录
三年级数学兴趣小组活动记录（数学）三年级兴趣小组活动辅导记录活动内容第一讲：数图形活动日期活动地点活动人数辅导老师周次星期活动过程一、谈话引入，激发兴趣：二、出示一些图形，让学生观察，并试着数一数：1、出示图形：2、提出问题：同学们，你知道上图中有几条线段吗？3、学生：试着数一数，找一找。
4、师、生：一齐一段一段地数。
三、引导归纳方法：师：引导学生再看图形，启发问：（1）、最长的有几段？最短的又有几段？板书：1、4（2）、从“ 1”到“ 4”中，中间跨了什么？（3）、得出总数：4+3+2+1=（4）、归纳出方法：数这样的图形时，我们就从最小段的总段数一直加到1=总数四、模仿提升练习：1、数出下图中有多少条线段？2、数出下图中有多少个角？五、谈学习体会：活动效果1、学生学习有较大的兴趣并且积极主动，同学之间相互讨论，协调合作。
2、能分析、归纳出解决方法。
（数学）三年级兴趣小组活动辅导记录活动内容第二讲：找规律活动日期活动地点活动人数辅导老师周次星期活动过程一、谈话引入：二、情境式出示下列题目：在括号里填入合适的数。
（1）、3，6，9，（），（）（2）、180,155,131,108，（），（）（3）、1,1,3,7,13 ，（），（）以上各小题，我们有什么办法可以正确填写呢？从填写中你91 发现了什么？三、引导学习：师：让生观察( 1)题的后一个数比前一个数大多少？后面的都一样吗？生：前一个比后一个大3，即前一个+3= 后一个师：(2)、(3)题又有什么规律？生讨论：得出( 2)的是：相邻两数的差依次是25、24、23、22…得出(3)的是：相邻两数的差依次是0、2、4、6…四、兴趣尝试：1、在括号里填上合适的数。
① 1,3,9,,27,(),() ② 1,2,6,24,(),()③ 1,2,2,4,8,32,(),() ④ 1,4,9,16,(),()2、找出每组数的规律，再填数。
(1,4)(2,8)(3,12)( ， ) ( ， )五、谈话小结：这节兴趣课，你学到了什么？在你的生活中，学习数学中你对数有规律的发现？效果1、学生具有较强的学习积极性。
小学奥数总复习第一讲《图形计数》练习
小学奥数总复习第一讲《数图形的方法》练习1、数线段：如图所示，图中各有几条线段？
（4）（）条（）条（）条（）条
2、数角：图中各有多少个角？
（4）
（）个（）个（）个（）个
3、数三角形：图中各有多少个三角形？
(3) (4)
（）个（）个（）个（）个
4、数长方形：下列各图中长方形的个数？
（）个（）个（）个（）个
5、数正方形：下列各图中正方形的个数？
（）个（）个（）个（）个
图
6-3
6综合练习：
（1）、图6-1，下边两根线段中各有多少条线段？
（2）、在∠AOB （图6－2）内有8条从O 点引出的射线，可组成各种大小不同的角一共有多少个？
（3）、如图6-3所示，图中共有 个三角形。
（4）、图6-4中，一共有 个角。
（5）、图6-5中共有 个三角形。
（6）、图6-6中共有 个三角形。
（7）、图6-7中，一共有 个长方形。
（8）、图6-8中共有 个梯形。
（9）、图6-9中共有 个平行四边形。
（10）、图6-10中共有 个三角形。
（
11
）、图6-11中共有 个三角形。
（12）、图6-12中，带“★”的长方形，一共有 个。
6-4 6-5 6-6
6-7 6-8 6-9
6-10 6-11 6-12。
3年级奥数 第1讲 数数图形
长方形总个数=10×3=#43;2+1=10，宽边线段：3+2+1=6
长方形总个数=10×6=60(个)
2.数出下图中有几个正方形？
有序的进行枚举，你发现了什么规律吗？
2.数出下图中有几个正方形？
有序的进行枚举，你发现了什么规律吗？
【答案】： 1个□组成：3×3=9(个) 4个□组成：2×2=4(个) 9个□组成：1×1=1(个) 一共有9+4+1=14(个)正方形
“数线段”的思路可以解答的 问题：两两组合的问题，比如 照照片，打电话，比赛场数 等……
注意：两个元素之间
不需要排序
1.三年级有6个班，如果每两个班要进行一次 拔河比赛，那么一共要组织多少场比赛？
2.有红、黄、蓝、白四个气球，如果选择其 中的两个气球扎成一束，那么共有多少种不 同的扎法？
★3.有1，2，3，4，5，6六个数字，这些数 字能组成多少个个位上的数字与十位上的数 字不同的两位数？
数一数，下图中有几条线段？
【思路导航】 方法二：把图中线段 AB、BC、CD、DE看做基本线段来数。（积木法）
数一数，下图中有几条线段？
【答案】：图中一共有10条线段。
线段的数法： 1.连线法 2.积木法 由n条基本线段组成的大线段， 线段总数为：1+2+3+…+n 注意：需满足例题样式哦
数出下图中有多少条线段？ （1）
5.数正方形的方法： n×n个正方形组成的正方形总个数：1×1+2×2+3×3…+n×n
1.基本思路：有序+分类 2.基本题型：
①数线段、角、三角形 ②数正方形 3.常用方法： ①枚举法
要正确数出图形的个数， 关键是要从基本图形入手。 首先要弄清图形中包含的基 本图形是什么，有多少个； 其次再数出由基本图形组成 的新的图形；最后求出它们 的和。
学而思-我会数图形
春季班第一讲——我会数图形【知识点】：一、规则图形（肩并肩手拉手排成一排）线段角1. 分类数（恰含法）2. 公式法（开火车）基本线段数依次加到1.端点－1＝基本线段【例】数一数下图中一共有多少条线段？①②③④方法1：方法2：恰含1条：4条基本线段有4条，所以从4开始加恰含2条：①②、②③、③④3条4＋3＋2＋1＝10（条）恰含3条：①②③、②③④2条恰含4条：①②③④1条注：肩并肩手拉手的规则图形都能用公式总数：4＋3＋2＋1＝10（条）法，关键是找火车头（基本图形数）。
二、多层图形1. 多层三角形每层个数×层数＝总数【例】数一数图中有多少个三角形？每层个数：3＋2＋1＝6（个）层数：2层总数：6×2＝12（个）一共12个。
2. 多层长方形每层个数 × 层数 ＝ 总数（长边线段总数） × （宽边线段总数）＝ 总数【例】数一数下图中一共有多少个长方形？每层个数：3＋2＋1＝6 层数：2＋1＝3总数：6×3＝18（个） 一共18个。
三、不规则图形按方向分类（注意还有合起来的）分类数 按大小分类（标号法）（恰含法）按方向分类（分层数）【例】下图中有多少个三角形？①、②、③、④、⑤、⑥ 6个①②、③④、⑤⑥ 3个①②③、②③④、③④⑤、④⑤⑥、⑤⑥①、⑥①② 6个①②③④⑤⑥ 1个6＋3＋6＋1＝16（个） 一共16个。
【补充题】：1. 下面图中给出的五个点之间，每两个点之间画一条线段，一共可以画出多少条线段？（基础、提高、尖子）① ② ③ ④⑤ ⑥2. 数一数图中有多少个正方形？（提高、尖子）3. 数一数下图中一共有多少个三角形？（基础、提高）4. 数一数，图中共有个长方形，个三角形，条线段。
（尖子）【学习建议】：本讲讲的是数图形的方法，根据不同类型的图形有不同的巧妙方法，同学们要仔细辨认图形种类，像是规则图形和多层图形都是有巧妙方法的；如果是不规则图形，那么一定要注意分类，数的时候思路要清楚，这样才不会数错。
最新四年级上册 伊嘉儿数学智能版(秋季班教案)第1讲：数图形
（四年级）备课教员：×××第1讲数图形一、教学目标：会数线段、角、长方形的数量。
二、教学重点：掌握数图形的方法：先确定数的顺序，再从左往右依次数。
三、教学难点：较大的图形数的时候需要用手比着从左往右依次数，避免漏掉。
四、教学准备：PPT五、教学过程：第一课时（50分钟）一、导入（5分)师：同学们，请看，这是什么？生：魔方！师：对啦，这是一个三阶魔方，它的主人是卡尔。
你们想玩吗？生：想。
师：嗯，不仅是你们想玩，卡尔的另外两个小伙伴阿派和欧拉也想玩，但是卡尔很为难，不知道要把魔方借给谁。
于是啊，他就出了一个难题，你们知道是什么难题吗？生：不知道。
师：卡尔出的难题是这样的“你们谁要是说出这个魔方的一面有多少个正方形，我就借给谁。
”你们知道正确答案吗？师：嗯，看来你们也有很多不同的答案嘛。
那我就接着往下讲，阿派听到这个难题后，立马就说了，是9个正方形，但是，欧拉却说是14个，你们猜谁说对了？师：最后啊，卡尔把魔方借给了欧拉，因为欧拉说的是对的。
你们知道为什么是14个正方形吗？怎么数的？生：因为有小的正方形，还有小正方形拼成的大正方形。
师：说的很棒，但是太抽象了，我们最好自己动手数一数。
【课件演示数魔方一面的正方形个数的动画，教师配合学生一步步演示过程。
】师：同学们真棒，都很聪明，所以，卡尔最终把魔方借给了欧拉，是明智的吧。
师：这就是我们今天要学习的《数图形》。
【板书课题：数图形。
】二、探索发现授课（40分）（一）例题1：（13分）你能数出下图中共有多少条线段吗？你是怎样做的？师：请问，题目中，最主要的字眼是什么？生：线段。
师：很好，那谁能给我说说什么叫线段？生：直线上两个点和它们之间的部分叫做线段。
师：说的非常好，请坐。
师：也就是说要满足线段这个条件，需要有两个点就可以了对吧。
那图中有几个点啊？生：图中有4个点，A,B,C,D。
师：说的很完整。
现在我们简化了题目，就是要把A,B,C,D这4个点两两配对，组合成线段，有多少种配对方式，就有多少条线段。
二年级下册数学试题-奥数思维拓展：第一讲 图形的计数(解析版)全国通用
第一讲图形计数课前复习数一数下面的图形.（ 10 ）条线段（ 18 ）个长方形（ 10 ）个正方形（ 16 ）个三角形（ 8 ）个圆同学们,我们已经会数平面图形的个数了（如三角形、正方形、长方形、圆形等）.这一节我们要一起来学习数立体图形,比如数小方块等,在数这一类图形中,一定要认真仔细观察图形特点及摆布特点,有次序地去数,不能遗漏也不能重复,只有这样我们才能又快又准的数出这些图形的个数.同学们,加油吧！实践应用【例1】下面的这堆木方块共有多少块?【分析】引导学生按顺序来数,可以一层一层的数;也可以一排一排的数;还可以先数看得见的,再数看不见的,我们一般根据图形的特点来选择合适的方法.（1）3+1=4（块）（2）5+2=7（块）（3）7+4=11（块）（4）4×2=8（块）拓展训练数一数,下面的方块各有多少？（ 9 ）块（ 10 ）块（ 9 ）块列式：5+4=9（块）列式：6+3+1=10（个）列式：6+3=9（块）或：4+3+2=9（块）或：5+4=9（块）（ 12 ）块（ 16 ）块（ 12 ）块列式：6×2=12（块）列式：9+5+2=16（块）列式：9+3=12（块）【例2】下面的图形中一共有几个小方块?【分析】这个图形的数法非常多,在众多的方法中要经过比较,找到最简便的方法：拓展训练这堆方木块共有多少块?方法一：分层数：一共有木方块6+12+18=36(块)或6×6=36（块）.方法二：分列数：6×6=36(块)【例3】下面这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心)【分析】因为中间是空心的,所以一层只有8块,一共8×4=32(块).延伸：想一想还可以怎样数?方法二：第一列有12个,第二列有8个,第三列有12个,一共有：12+8+12=32（块）方法三：不看阴影部分一共有：12×3=36（块）,中间缺得部分是4个,一共有方块：36-4=32（块）拓展训练下图由多少块正方体组成?（中间阴影部分是空心的）【分析】虽然部分方块被遮住了,但是我们还是可以发现,如果不看中间空心的部分,每边是3个方块,共3层.方法一：9+6+9=24（块）或3×8=24（块）方法二：一层8个,共8×3=24（块）方法三：3×9-3=24（块）【例4】数一数,图1和图2中各有多少黑方块和白方块?【分析】图1：仔细观察图1,可发现黑方块和白方块同样多．因为每一行中有4个黑方块和4个白方块,共有8行,所以黑方块是：4×8＝32(个);白方块是：4×8＝32(个).图2：再仔细观察图2,从上往下看：第一行．白方块5个,黑方块4个; ,第二行白方块4个,黑方块5个;第三、五、七行同第一行,第四、六、八行同第二行;但最后的第九行是白方块5个,黑方块4个．可见白方块总数比黑方块总数多1个．白方块总数：5+4+5+4+5+4+5+4＋5＝41(个)黑方块总数：4+5+4-5+4+5+4＋5+4＝40(个)再一种方法是：每一行的白方块和黑方块共9个．共有9行,所以,白、黑方块的总数是：9×9＝81(个)．由于白方块比黑方块多1个,所以白方块是41个,黑方块是40个．【例5】书库里把书如图所示的那样沿墙堆放起来.请你数一数这些书共有多少本？【分析】方法1：从左往右一摞一摞地数：10+11+12+13+14+15+14+13+12+11+10=135（本）.方法2：把这摞书形成的图形看成是由一个长方形和一个三角形“尖顶”组成.长方形中的书 10×11=110 三角形中的书 1+2+3+4+5+4+3+2+1=25 总数：110+25=135（本）.【例6】请你数一数,这个跳棋盘上可以放多少个棋子？【分析】要知道可以放多少个棋子,就要数有多少个棋孔.因为棋孔较多,应找出排列规律,以便于计数.仔细观察可知,图中大三角形ABC上的棋孔的排列规律是（从上往下数）：1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,另外还有三个小三角形中的棋孔的排列规律是1,2,3,所以棋孔总数是：（1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11）+（1+2+3）×3=66+6×3=84（个）.拓展训练如图所示砖墙是由正六边形的特型砖砌成,问需要几块正六边形的砖才能把它补好?【分析】仔细观察,并发挥想象力可得出答案,用七块正六边形的砖可把这个墙洞补好．如果动手画一画,就会看得更清楚了.【例7】将10个小长方体组成一个“工"字形,再将表面涂成蓝色,然后把小正方体分开,(1)3面涂成蓝色的小长方体有几个?(2)4面涂成蓝色的小长方体有几个?(3)5面涂成蓝色的小长方体有几个?【分析】整个图形表面涂成蓝色,只有那些“黏在一起”的面没有被涂色.左、右两端中间各有1个小正方体3面涂色,中间的4个小正方体4面涂色,剩下的4个小正方体都是5面涂色.3面涂成蓝色的小正方体有2个; 4面涂成蓝色的有4个;5面涂成蓝色的有4个.【例8】一个大长方体的表面上都涂上红色,然后切成18个小立方体（切线如图中虚线所示）.在这些切成的小立方体中,问：（1）1面涂成红色的有几个？（2）2面涂成红色的有几个？（3）3面涂成红色的有几个？【分析】仔细观察图形,并发挥想象力,可知：（1）上下两层中间的2块只有一面涂色;（2）每层四边中间的1块有两面涂色,上下两层共8块;（3）每层四角的4块有三面涂色,上下两层共有8块.最后检验一下小立体总块数：2+8+8=18（个）.【例9】如图所示,一个木制的正方体,棱长为3厘米,它的六个面都被涂成了红色.如果沿着图中画出的线切成棱长为1厘米的小正方体.求：（1）3面涂成红色的有多少块？（2）2面涂成红色的有多少块？（3）1面涂成红色的有多少块？（4）各面都没有涂色的有多少块？（5）切成的小正方体共有多少块？【分析】（1）3面涂色的有8块：它们是最上层四个角上的4块和最下层四个角上的4块.（2）2面涂色的有12块：它们是上、下两层每边中间的那块共8块和中层四角的4块.（3）1面涂色的有6块：它们是各面（共有6个面）中心的那块.（4）各面都没有涂色的有一块：它是正方体中心的那块.（5）共切成了3×3×3=27（块）. 或是如下计算：8+12+6+1=27（块）.【例10】一个由小正方体堆成的“塔”.如果把它的外表面（包括底面）全部涂成绿色,那么当把“塔”完全拆开时,3面被涂成绿色的小正方体有多少块？【分析】3面被涂成绿色的小正方体共有16块,就是图中有“点”的那些块（注意最下层有2块看不见）.附加题（以下提供的内容,供老师参考使用）1.如图所示为一块地板,它是由1号、2号和3号三种不同图案的瓷砖拼成．问这三种瓷砖各用了多少块?【分析】因为图形复杂,要特别仔细,最好是有次序地按行分类数,再进行统计：1号瓷砖共12块统计： 2号瓷砖共16块总数：36块．3号瓷砖共8块2.下图中还差多少个小正方体可以组成一个较大的正方体？【分析】先从整体上考虑组成一个较大的正方体需要多少个小正方体,再数出已有的小正方体的个数,便能得出相差的个数.组成较大的正方体需要的小正方体个数：3×3×3＝27（个）已有小正方体个数：9＋6＋3＝18（个）还差正方体个数：27－18＝9（个）答：还差9个小正方体可以组成一个较大的正方体.3.染色问题补充：右图是一个正方体木块,在它的表面涂上颜色,然后沿图中虚线竖直切开.没有涂颜色的面共有几个？【分析】先分析能切成多少块,再考虑每块上有几个面没涂颜色.解：2×8＝16(个）答：没有涂颜色的面共有16个.4. 下图所示为棱长4厘米的正方体,将它的表面全染成蓝色,然后锯成棱长1厘米的小正方体.问：（1）有3面被染成蓝色的多少块？ 8块;（2）有2面被染成蓝色的多少块？ 24块;（3）有1面被染成蓝色的多少块？ 24块;（4）各面都没有被染色的多少块？ 8块;（5）锯成的小正方体木块共有多少块？ 64块.练习一1．图中有多少个小正方体?【答案】 7+2=9(个).2．这堆木方块共有多少块?你能用几种不同的方法数出来和算出来吗?【答案】6+4+2=12(块)或6×2=12（块）.3．这堆木方块共有多少块?(中间打阴影部分是空心)【答案】3×3×5-2×3=39(块)或3×3×3+6×2=39（块）4. 用不同的方法数这两个图形各有多少个方块?【答案】(1)4+3+1=8(个);(2)3×2+4=10(个).5.小狗与小猫的外形是用绳子围成的,你知道哪一条绳子长吗？（仔细观察,想办法比较出来）.【答案】分类数一数可知,围成小猫的那条绳子比较长.因为小狗身体的外形是由32条直线段和6条斜线段组成;小猫身体的外形是由32条直线段和8条斜线段组成.6.将8个小立方块组成“丁”字型,再将表面都涂成红色,然后就把小立方块分开,（1）3面被涂成红色的小立方块有多少个？（2）4面被涂成红色的小立方块有多少个？（3）5面被涂成红色的小立方块有多少个？【答案】看着图,想象涂色情况.当把整个表面都涂成红色后,只有那些“粘在一起”的面（又叫互相接触的面）,没有被涂色.每个小立方体都有6个面,减去没涂色的面数,就得涂色的面数.每个小立方体涂色面数都写在了它的上面.3面涂色的小立方体共有1个;4面涂色的小立方体共有4个;5面涂色的小立方体共有3个.数学故事从一加到一百高斯有许多有趣的故事,故事的第一手资料常来自高斯本人,因为他在晚年时总喜欢谈他小时候的事,我们也许会怀疑故事的真实性,但许多人都证实了他所谈的故事. 高斯的父亲作泥瓦厂的工头,每星期六他总是要发薪水给工人.在高斯三岁夏天时,有一次当他正要发薪水的时候,小高斯站了起来说：“爸爸,你弄错了.”然后他说了另外一个数目.原来三岁的小高斯趴在地板上,一直暗地里跟着他爸爸计算该给谁多少工钱.重算的结果证明小高斯是对的,这把站在那里的大人都吓的目瞪口呆.高斯常常带笑说,他在学讲话之前就已经学会计算了,还常说他问了大人字母如何发音后,就自己学着读起书来.七岁时高斯进了小学.大约在十岁时,老师在算数课上出了一道难题：“把1到100的整数写下来,然后把它们加起来！”每当有考试时他们有如下的习惯：第一个做完的就把石板﹝当时通行,写字用﹞面朝下地放在老师的桌子上,第二个做完的就把石板摆在第一张石板上,就这样一个一个落起来.这个难题当然难不倒学过算数级数的人,但这些孩子才刚开始学算数呢！老师心想他可以休息一下了.但他错了,因为还不到几秒钟,高斯已经把石板放在讲桌上了,同时说道：“答案在这儿！”其他的学生把数字一个个加起来,额头都出了汗水,但高斯却静静坐着,对老师投来的,轻蔑的、怀疑的眼光毫不在意.考完后,老师一张张地检查着石板.大部分都做错了,学生就吃了一顿鞭打.最后,高斯的石板被翻了过来,只见上面只有一个数字：5050（用不着说,这是正确的答案.）老师吃了一惊,高斯就解释他如何找到答案：1＋100＝101,2＋99＝101,3＋98＝101,……,49＋52＝101,50＋51＝101,一共有50对和为101的数目,所以答案是50×101＝5050.由此可见高斯找到了算术级数的对称性,然后就像求得一般算术级数合的过程一样,把数目一对对地凑在一起.。
第一讲 平面图形计数进阶
第一讲 平面图形计数进阶一、 单层规则图形1、 特点：基本图形手拉手肩并肩，站成一排2、 方法：开火车基本图形依次倒数加到“1” 二、 多层规则图形1、 数长方形（三步走）（1）普通：长边线段总数×宽边线段总数 （2）变形：先去掉，再添回来，后算增加的 2、 数三角形（1）普通：每层个数×层数 （2）变形：先分层，后补漏 三、 不规则图形分类法：①按大小 ②按方向——朴虹老师1.数一数，下图中共有多少条线段？解析：（1）这个图形中，每个基本线段都连在一起，并且在一个方向上，属于规则图形，可以用开火车的方法。
开火车法首先要确定火车头，即基本图形的数量。
通过观察我们知道图中最长的线段由4个基本线段组成，所以“火车头”为4。
最后我们从4开始倒数依次加到“1”，即4+3+2+1=10（条）。
所以一共有10条线段。
2. 数一数下图中共有多少个长方形？解析：我们可以把多层的规则图形转化成单层的我们熟悉的规则图形。
这个图形我们先分成两个部分，上面一层，下面一层。
上面是三个长方形连在一起排成一排，可以按照开火车的方法算出上面一层共有长方形：3+2+1=6（个）。
下面一层和上面一层的情况相同，也是6个。
最后我们在将上面和下面合在一起，发现会产生新的长方形。
竖着每一列，都有一个大的长方形。
我们可以把中间的横线忽略掉，看到下图：所以我们还是可以按照开火车的方法来算，合在一起后，产生的新的长方形，共10个。
一共有3个10，所以我们用乘法，10×3=30（个）这道题我们可以用更简单的方法。
当我们计算每层有多少个的时候，可以计算长边线段总数。
当我们算每列有几个长方形时，计算宽的线段总数。
最后将两个结果乘在一起就可以。
3. 数一数，下图中共有多少个三角形？解析：这是不规则图形，我们需要用分类的方法来数。
可以按照大小来分类。
图中三角形有单个的，也有两个、三个等组成的三角形。
为了能够不重复不遗漏，我们可以把每个部分都用序号标上去。
巧数图形
第一讲巧数图形数出某种图形的个数是一类有趣的图形问题。
数图形虽然很简单，但重复计数和遗漏是经常出现的错误，在细心的同时还要掌握一定的方法和技巧。
几何中的计数问题包括：数线段、数角、数长方形、数正方形、数三角形、数综合图形等。
通过这一讲的学习，可以帮助我们养成按照一定顺序去观察、去思考问题的良好习惯，同时提高我们通过观察、思考去探寻事物规律的能力。
要想有条理、不重复、不遗漏地数出所要图形的个数，最常用的方法就是分类数。
一、数线段我们把直线上两点间的部分称为线段，这两个点称为线段的端点.线段是组成三角形、正方形、长方形、多边形等最基本的元素。
因此，观察图形中的线段，探寻线段与线段之间、线段与其他图形之间的联系，对于了解图形、分析图形是很重要的。
例1、数一数，图中有多少条线段？分析与解：如果我们按照一定的顺序从左往右数，就会发现：以A点为共同端点的线段有：AB AC AD AE AF 5条；以B点为共同端点的线段有：BC BD BE BF 4条；以C点为共同左端点的线段有：CD CE CF 3条；以D点为共同左端点的线段有：DE DF 2条；以E点为共同左端点的线段有：EF 1条；总数为：5+4+3+2+1=15条。
用图示法表示更为直观明了，如右图。
想一想：①由例1可知，一条线段AF上有六个点，就有：总数=5+4+3+2+1条线段。
由此猜想如下规律（见右图）：……………………还可以一直找下去，并且通过实际去按顺序数，经过验证后，能从中得出这样一个结论：当一个图形中包含的所有线段都在同一条直线上时，线段总条数是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数比图形中的总端点数少1.②如果我们把相邻两点间的线段叫做基本线段，那么线段的总条数也是从1开始的一串连续自然数之和，其中最大的自然数等于基本线段的条数（见下图）。
基本线段数线段总条数……………………是不是存在这样的规律，同学们可以自己再举些例子试试看。