人教版高中数学必修二基础班讲义
空间几何体知识讲解一、构成空间几何体的基本元素1.几何体的概念概念：只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等．2.构成几何体的基本元素：点、线、面（1）几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母A B C，，来命名；（2）几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般 用一个小写字母a b l，，或用直线上两个点AB PQ，表示；一条直线把平面分成两个部分．（3）几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）；DCBAα其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边形表示，并把它想象成无限延展的；平面一般用希腊字母αβγ，，来命名，或者用表示它的平面四边形的顶点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面α，平面ABCD 或平面AC ； 一个平面将空间分成两个部分．3.用运动的观点理解空间基本图形间的关系理解：在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体．二、多面体的结构特征1.多面体1）多面体的定义由若干个平面多边形所围成的几何体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面，相邻两个面的公共边叫做多面体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点，连结不在同一个面上的两个顶点 的线段叫做多面体的对角线． 2）多面体的分类按凹凸性分类：把一个多面体的任意一个面延展成平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体．否则就叫做凹多面体．按面数分类：一个多面体至少有四个面．多面体按照它的面数分别叫做四面体、五面体、六面体等等． 3）简单多面体定义：表面经过连续变形可以变成球体的多面体叫做简单多面体；欧拉公式：简单多面体的顶点数V 、面数F 和棱数E 有关系2V F E +-=． 4）正多面体定义：每个面都有相同边数的正多边形，每个顶点都有相同棱数的凸多面体，叫做正多面体； 正多面体只有正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体这5种；经过正多面体上各面的中心且垂直于所在面的垂线相交于一点，这点叫做正多面体的中心，且这点到各顶点的距离相等，到各面的距离也相等．2.棱柱1）棱柱的定义由一个平面多边形沿某一确定方向平移形成的空间几何体叫做棱柱．平移起止位置的两个面叫做棱柱的底面，多边形的边平移所形成的面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；过不相邻的两条侧棱所形成的面叫做棱柱的对角面；与底面垂直的直线与两个底面的交点部分的线段或距离称为棱柱的高．下图中的棱柱，两个底面分别是面ABCD ，A B C D ''''，侧面有ABBA''，DCC D ''等四个，侧棱为AA BB CC DD ''''，，，，对角面为面ACC A BDD B ''''，，A H '为棱柱的高．DC BAHA 'D 'B 'C'2）棱柱的性质：棱柱的两个底面是全等的多边形，对应边互相平行，侧面都是平行四边形，侧棱平行且相等． 3）棱柱的分类按底面分类：底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……； 按侧棱是否与底面垂直分类：侧棱与底面不垂直的棱柱叫斜棱柱，侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫正棱柱； 4）棱柱的记法①用表示两底面的对应顶点的字母表示棱柱； ②用棱柱的对角线端点的两个字母表示棱柱．例如：上面的棱柱是斜四棱柱，记成棱柱''''ABCD A B C D 或棱柱'AC 等． 5）特殊的四棱柱：平行六面体四棱柱底面是平行四边形侧棱与 底面垂直正四棱柱底面是平行四边形直平行六面体底面为 正方形直四棱柱侧棱与 底面垂直底面为 长方形长方体底面是正方形侧面也为 正方形正方体棱长都相等的长方体3.棱锥1）棱锥的定义当棱柱的一个底面收缩为一个点时，得到的几何体叫做棱锥．它有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形．棱锥中有公共顶点的各三角形叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；多边形叫做棱锥的底面；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱；棱锥中过不相邻的两条侧棱的截面叫做棱锥的对角面；过顶点且与底面垂直相交的直线在顶点与交点间的线段或距离叫做棱锥的高． 2）棱锥的分类底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……；底面是正多边形，顶点与底面中心的连线垂直于底面的棱锥叫正棱锥．正棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形，它们底边上的高都相等，称为正棱锥的斜高．对角面SACE高侧棱侧面底面ABCDEHSDCBA3）棱锥的记法用顶点和底面各顶点的字母表示或者用表示顶点和底面的一条对角线端点的字母表示．如上图的五棱锥记为棱锥S ABCDE -或棱锥S AC -．4.棱台1）棱台的定义棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分叫做棱台．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其余各面叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；与棱台的底面垂直的直线夹在两个底面之间的线段或距离称为棱台的高． 2）棱台的性质棱台的各侧棱延长后交于一点，即棱台的上下底面平行且对应边成比例； 3）棱台的记法用上下底面的字母表示或者用一条对角线两个端点的字母来表示． 4）正棱台由正棱锥截得的棱台叫做正棱台．正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫做棱台的斜高．HH'O'OC'B'A'CBA右图为一个正三棱台，记为棱台ABC A B C '''-，侧棱AA '，BB '，CC '延长后必交于一点．O ，O '为上下底面的中心，它们的连线O O '是棱台的高，H H '是棱台的斜高．三、旋转体的结构与特征1.圆柱、圆锥和圆台定义：将矩形、直角三角形、直角梯形分别绕着它的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线旋转一周，形成的几何体分别叫做圆柱、圆锥和圆台．这条旋转轴叫做几何体的轴，轴的长即为该旋转体的高．垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做侧面，无论旋转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线；圆柱、圆锥、圆台一般用表示它的轴的字母来表示． 性质：①平行于底面的截面都是圆；②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形．SOO'OOO'AA'AAA'2.球球的定义：半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球（或球体），半圆旋转而成的曲面叫做球面．半圆的圆心称为球心，球心与球面上一点的连线段称为球的半径，连结球面上两点且过球心的线段叫作球的直径．一般用球心的字母表示一个球．四、三视图1.投影定义：由于光的照射，在不透明物体后面的屏幕上可以留下这个物体的影子，这种现象叫做投影．其中，我们把光线叫做投影线，把留下物体的影子的屏幕叫做投影面．FMF 'M 'l2.平行投影定义：我们把在一束平行光线照射下形成的投影，叫做平行投影．平行投影的投涉线是平行的．在平行投影中，投影线正对着投影面时，叫做正投影，否则叫做斜投影．性质：若图形中的直线或线段不平行于投射线时，平行投影具有以下性质：①直线或线段的平行投影仍是直线或线段；②平行直线的平行投影是平行或重合的直线；③平行于投射面的线段，它的投影与这条线段平行且等长；④平行于投射面的平面图形，它的投影与这个图形全等；⑤在同一直线或平行直线上，两条线段平行投影的比等于这两条线段的比．3.正投影概念：在平行投影中，如果投射线与投射面垂直，则称这样的平行投影为正投影．性质：①垂直于投射面的直线或线段的正投影是点；②垂直于投射面的平面图形的正投影是直线或直线的一部分．4.中心投影定义：一个点光源把一个图形照射到一个平面上，这个图形的影子就是它在这个平面上的中心投影．中心投影的直观性强，看起来与人的视觉效果一致，常在绘画时使用，在立体几何中，一般用平行投影原理来画图．5.三视图1）正视图：光线从几何体的前面向后面正投影得到的投影图形称为几何体称为正视图（主视图）.2）侧视图：光线从几何体的左面向右面正投影得到的投影图形称为几何体称为侧视图（左视图）.3）俯视图：光线从几何体的上面向下面正投影得到的投影图形称为几何体称为俯视图.将空间图形向这三个平面作正投影，然后把这三个投影按一定的布局放在一个平面内，这样构成的图形叫做空间图形的三视图．如右图为圆锥的三视图：主视图俯视图5.三视图的对应关系关系：正俯视图长相等、正侧视图图的高相等、俯侧视图图的宽相等，简称“长对正，宽平齐，高相等”或说“主左一样高，主俯一样长，俯左一样宽”．五、直观图1.定义：用来表示空间图形的平面图形，叫做空间图形的直观图．画法：斜二测画法和正等测画法2.斜二测画法规则1）在已知图形所在的空间中取水平平面，作相互垂直的轴Ox ，Oy ，再作Oz 轴，使90xOz ∠=︒，90yOz ∠=︒．（三维空间中） 2）画直观图时，把Ox ，Oy ，Oz 画成对应的轴O x O y O z ''''''，，，使45x O y '''∠=︒或135︒，90x O z '''∠=︒，x O y '''所确定的平面表示水平平面．（二维平面上） 3）已知图形中，平行于x 轴，y 轴或z 轴的线段，在直观图中分别画成平行于x '轴，'y 轴或z ' 的线段．并使它们和所画坐标轴的位置关系，与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同．4）已知图形中平行于x 轴和z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y 轴的线段，长度为原来的一半．5）画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图．五、简单空间几何体的表面积和体积1.直棱柱与圆柱的侧面积()S S ch =直棱柱侧圆柱，其中c 为底面的周长，h 为直棱柱（圆柱）的高，也即侧棱（母线）长；2.正棱锥（圆锥）的侧面积11''22S ch nah ==正棱锥侧，其中a 为底面边长，'h 为斜高；1π2S cl rl ==圆锥侧，其中c 为底面周长，r 为圆锥的底面半径，l 为母线长；3.正棱台（圆台）的侧面积1(')'(')'22nS c c h a a h =+=+正棱台侧，其中,'a a 分别是正棱台上下底面的边长，'h 为斜高；4.球面面积：24πS R =球，R 为球的半径．5.柱体（棱柱，圆柱）体积公式：V Sh =柱体，其中S 为底面积，h 为高；6.棱体（棱锥，圆锥）的体积公式：13V Sh =棱体，其中S 为底面积，h 为高；7.台体（棱台，圆台）的体积公式： 1(')3V h S S =台体，其中',S S 分别是台体上，下底面的面积，h 为台体的高；8.球的体积公式：34π3V R 球，R 为球的半径典型例题一．选择题（共8小题）1．（2015•新课标Ⅱ）一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为（）A．B．C．D．2．（2016•汉中二模）一个四棱锥的底面为正方形，其三视图如图所示，则这个四棱锥的体积是（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2018•郑州一模）若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则该几何体的体积等于（）A．10cm3B．20cm3C．30cm3D．40cm34．（2015•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积是（）A．8cm3B．12cm3C．D．5．（2016•新课标Ⅰ）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是，则它的表面积是（）A．17πB．18πC．20πD．28π6．（2016•新课标Ⅱ）体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球面的表面积为（）A．12πB．π C．8πD．4π7．（2015•新课标Ⅰ）圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r）组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16+20π，则r=（）A．1 B．2 C．4 D．88．（2017•浙江）某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积（单位：cm3）是（）A．+1 B．+3 C．+1 D．+3二．填空题（共4小题）9．（2017•上海）已知球的体积为36π，则该球主视图的面积等于．10．（2011•南通三模）底面边长为2m，高为1m的正三棱锥的全面积为m2．11．（2016•黄浦区一模）两个半径为1的铁球，熔化后铸成一个大球，这个大球的半径为．12．（2015•盐城校级模拟）已知圆柱的底面半径为1，母线长与底面的直径相等，则该圆柱的体积为．三．解答题（共3小题）13．（1965•全国）如图所示的二视图表示的立方体是什么？求出它的体积．14．已知正四棱锥（底面是正方形，顶点在底面的射影是底面的中心）的底面边长为a，侧棱长为a（1）求它的外接球的体积（2）求他的内切球的表面积．15．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形；（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．空间几何体一、选择题（共12小题；共60分）1. 若正方体的表面积为，则它的体积是A. B. C. D.2. 棱长为的正方体被一平面截成两个几何体，其中一个几何体的三视图如下图所示，那么该几何体的体积是A. B. C. D.3. 某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为A. B. C. D.4. 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为A. B. C. D.5. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），则这个几何体的体积是A. B. C. D.6. 利用斜二测画法得到的下列结论正确的是①三角形的直观图是三角形；②平行四边形的直观图是平行四边形；③正方形的直观图是正方形；④菱形的直观图是菱形．A. ①②B. ①C. ③④D.①②③④7. 某四面体的三视图如图所示，该四面体的体积为A. B. C. D.8. 一个几何体的三视图如图，则该几何体的体积为A. B. C. D.9. 如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积是A. B. C. D.10. 一个底面为正方形的四棱锥，其三视图如图所示，若这个四棱锥的体积为，则此四棱锥最长的侧棱长为A. B. C. D.11. 某几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的体积（单位：）是A. B. C. D.12. 中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫棒头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是棒头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A. B.C. D.二、填空题（共5小题；共25分）13. 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为．14. 已知某球的体积为，其表面积为，若，则此球的半径是．15. 某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为．16. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为．17. 已知正方体的内切球的体积是，则这个正方体的体积是．三、解答题（共5小题；共65分）18. 如图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状．19. 如图所示，梯形中，，且，当梯形绕所在直线旋转一周时，其他各边旋转围成了一个几何体，试描述该几何体的结构特征．20. 下列种几何体：（1）柱体有；（2）锥体有；（3）球有；（4）棱柱有；（5）圆柱有；（6）棱锥有；（7）圆锥有．21. 四边形，，，，，绕轴旋转一周，求所得旋转体的体积．22. 已知正四棱柱，，，点为的中点，点为的中点，证明：为与的公垂线．点、线、面之间的位置关系——平行关系知识讲解一、空间间位置关系的集合语言集合的语言来描述点、直线和平面之间的关系：点A 在直线l 上，记作：A l ∈；点A 不在直线l 上，记作A l ∉； 点A 在平面α内，记作：A α∈；点A 不在平面α内，记作A α∉； 直线l 在平面α内（即直线上每一个点都在平面α内），记作l α⊂； 直线l 不在平面α内（即直线上存在不在平面α内的点），记作l α⊄； 直线l 和m 相交于点A ，记作{}lm A =，简记为lm A =；平面α与平面β相交于直线a ，记作a αβ=．二、平面的三个公理及推论1.公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内．图形语言表述：如右图： αBlA符号语言表述：,,,A l B l A B l ααα∈∈∈∈⇒⊂ 用途：证明“点在面内”、“线在面内”.2.公理二：经过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，也可以简单地说成，不共线的三点确定一个平面．图形语言表述：如右图，αCBA符号语言表述：,,A B C 三点不共线⇒有且只有一个平面α，使,,A B C ααα∈∈∈． 用途：证明“两平面重合”、“多点共面”、“点线共面”.3.公理三：如果不重合的两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过这个点的公共直线．图形语言表述：如右图：Aαaβ符号语言表述：,A a A a αβαβ∈⇒=∈．用途：证明“多点共线”、“多线共点”.如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做两个平面的交线．4.推论推论1：经过一条直线和直线外的一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．三、空间中线线位置关系1.共面直线：平行直线与相交直线.2.公理四：平行于同一条直线的两条直线平行．3.异面直线：不同在任一平面内的两条直线．4.异面直线所成的角定义：例如下图所示，,a b 是两条异面直线，在空间中选取一点O ，过O 分别作,a b 的平行线','a b ，我们把','a b 所成的锐角（或直角），称异面直线,a b 所成的角(或夹角).注：异面直线所成的角为90，则称两条直线异面垂直；异面直线所成角的范围(0,90].5.判断两条直线为异面直线的方法1）判定定理：与一平面相交于一点的直线与这个平面内不经过交点的直线是异面直线. 如图符号语言：已知,,,,a A B B a ααα⊂∉∉∈则直线AB 与直线a 是异面直线. 2）反证法：要证明两条直线是异面直线，只需证明它们不相交，也不平行即可.6.空间四边形：顺次连结不共面的四点所构成的图形．这四个点叫做空间四边形的顶点；所连结的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连结不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．如下图中的空间四边形ABCD ，它有四条边,,,AB BC CD DA ，两条对角线,AC BD ． 其中,AB CD ；,AC BD ；,AD BC 是三对异面直线．DCBA四、空间中线面位置关系1.直线与平面的位置关系1）直线l 在平面α内：直线上所有的点都在平面内，记作l α⊂，如图⑴； 2）直线l 与平面α相交：直线与平面有一个公共点A ；记作l A α=，如图⑵； 3）直线l 与平面α平行：直线与平面没有公共点，记作//l α，如图⑶．l3()2()1()lAαααl2.直线与平面平行的判定定理：如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行． 符号语言表述：,,////l m l m l ααα⊄⊂⇒． 图象语言表述：如下图：mlα3.直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和两平面的交线平行． 符号语言表述：//,,//l l m l m αβαβ⊂=⇒．图象语言表述：如下图：βαl m五、空间中面面位置关系1.平面与平面的位置关系平行：没有公共点，记为//αβ； 相交：有一条公共直线，记为l αβ=注：画两个平行平面时，一般把表示平面的平行四边形画成对应边平行，两个平面,αβ相交，有一条交线，l αβ=，如下图：2.两个平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线平行于另一个平面， 那么这两个平面平行．符号语言表述：,,,//,////a b a b A a b ααββαβ⊂⊂=⇒．图像语言表述：推论：如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行． 3.两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行．符号语言表述：//,,//a b a b αβαγβγ==⇒．图象语言表述：如下图：abβαAγbaβα六、平行证明的模型总结1.中位线（等分线）模型EDCBA//DE BC2.平行四边形模型ODCBA典型例题一．选择题（共10小题）1．（2016•渝中区校级模拟）已知a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列四个命题①a∥b，a∥α⇒b∥α；②a⊥b，a⊥α⇒b∥α；③a∥α，β∥α⇒a∥β；④a⊥α，β⊥α⇒a∥β，其中不正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（2015春•惠州期末）如图，下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形序号是（）A．①②B．③④C．②③D．①④3．（2011•浙江）若直线l不平行于平面α，且l⊄α，则（）A．α内存在直线与l异面B．α内存在与l平行的直线C．α内存在唯一的直线与l平行D．α内的直线与l都相交4．（2015•东阳市模拟）已知a，b是空间中两不同直线，α，β是空间中两不同平面，下列命题中正确的是（）A．若直线a∥b，b⊂α，则a∥αB．若平面α⊥β，a⊥α，则a∥βC．若平面α∥β，a⊂α，b⊂β，则a∥b D．若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β5．（2017秋•阜城县校级月考）如图，四棱锥P﹣ABCD中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则（）A．MN∥PD B．MN∥PA C．MN∥AD D．以上均有可能6．（2014秋•市中区校级期末）已知直线a⊂α，给出以下三个命题：①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（）A．②B．③C．①②D．①③7．（2015秋•陕西期末）已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（）A．a⊥α且a⊥βB．α⊥γ且β⊥γC．a⊂α，b⊂β，a∥b D．a⊂α，b⊂α，a∥β，b∥β8．（2017秋•龙子湖区校级期中）如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（）A．一条直线不相交 B．两条直线不相交C．无数条直线不相交D．任意一条直线不相交9．（2015•大庆校级模拟）α、β表示平面，a、b表示直线，则a∥α的一个充分条件是（）A．α⊥β，且a⊥βB．α∩β=b，且a∥b C．a∥b，且b∥αD．α∥β，且a ⊂β10．（2014•鹿城区校级一模）直线a∥平面α，P∈α，那么过P且平行于a的直线（）A．只有一条，不在平面α内B．有无数条，不一定在平面α内C．只有一条，且在平面α内D．有无数条，一定在平面α内二．填空题（共2小题）11．在空间四边形ABCD中，如图所示.=，=，则EH与FG的位置关系是．12．（2012秋•江阴市校级期中）空间四边形ABCD中，E，F，H，G分别为边AB，AD，BC，CD的中点，则BD与平面EFGH的位置关系是．三．解答题（共3小题）13．四棱锥P﹣ABCD中，AB=AD，∠BAD=60°，CD⊥AD，F，E分别是PA，AD的中点，求证：平面PCD∥平面FEB．14．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1．（1）求证：AD1∥平面BDC1（2）求证：平面AB1D1∥平面BDC1．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱D1C1，B1C1，AB，AD 的中点，求证：平面D1B1A∥平面EFGH．点、线、面之间的位置关系——平行关系一、选择题（共12小题；共60分）1. 下列命题中，假命题是A. 平行于同一条直线的两个平面平行B. 平行于同一个平面的两个平面平行C. 一个平面与两个平行平面相交，交线平行D. 平行于同一条直线的两条直线平行2. ，，表示直线，表示平面，给出下列四个命题：①若，，则；②若，，则；③若，，则；④若，，则．其中正确命题的个数有A. 个B. 个C. 个D. 个3. 设，是不同的直线，，是不同的平面，有以下四个命题A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则4. 若一条直线和一个平面平行，夹在直线和平面间的两条线段相等，那么这两条线段的位置关系是A. 平行B. 相交C. 异面D. 平行、相交或异面5. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有A. 条B. 条C. 条D. 条6. 已知，是两条不同的直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是A. 若，，则B. 若，，则C. 若，，则D. 若，，则7. 设，，是三个互不重合的平面，是直线，给出下列命题①若，，则；②若上两点到的距离相等，则；③若，，则；④若，，，则．其中正确的命题是A. ①②B. ②③C. ②④D. ③④8. 下列命题中，正确的是A. 若，是两条直线，，是两个平面，且，，则，是异面直线B. 若，是两条直线，且，则直线平行于经过直线的所有平面C. 若直线与平面不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行。
人教A版高中数学必修二讲义第七章 7.3 7.3.2
7.3.2 复数乘、除运算的三角表示及其几何意义知识点一 复数三角形式的乘法 设z 1,z 2的三角形式分别是: z 1＝r 1( cos θ1＋isin θ1), z 2＝r 2( cos θ2＋isin θ2),则z 1z 2＝□01r 1( cos θ1＋isin θ1)·r 2( cos θ2＋isin θ2) ＝□02r 1r 2[cos( θ1＋θ2)＋isin( θ1＋θ2)],这就是说,两个复数相乘,积的模等于各复数的模的积,积的辐角等于各复数的辐角的和．几何意义:两个复数z 1,z 2相乘,可以先分别画出与z 1,z 2对应的向量OZ 1→,OZ 2→,然后把向量OZ 1→绕点O 按□03逆时针方向旋转θ2( 如果θ2<0,就要把OZ 1→绕点O 按顺时针方向旋转角|θ2|),再把它的模变为□04原来的r 2倍,得到向量OZ →,OZ →表示的复数就是积z 1z 2.特征:旋转＋伸缩变换．知识点二 复数三角形式的除法 设z 1,z 2的三角形式分别是: z 1＝r 1( cos θ1＋isin θ1),z 2＝r 2( cos θ2＋isin θ2), 则z 1z 2＝r 1(cos θ1＋isin θ1)r 2(cos θ2＋isin θ2)＝□01r 1r 2[cos( θ1－θ2)＋isin( θ1－θ2)]( z 2≠0),这就是说,两个复数相除,商的模等于□02被除数的模除以除数的模所得的商,商的辐角等于□03被除数的辐角减去除数的辐角所得的差．几何意义:两个复数z 1,z 2相除,可以先画出z 1,z 2对应的向量OZ 1→,OZ 2→,将向量OZ 1→按顺时针方向旋转θ2( 若θ2<0,则按逆时针方向旋转|θ2|),再把模变为原来的1r 2倍,所得向量OZ →就表示商z 1z 2.复数除法实质也是向量的□04旋转和伸缩．1．复数三角形式的乘法公式推广z 1z 2z 3…z n ＝r 1( cos θ1＋isin θ1)·r 2( cos θ2＋isin θ2)·…·r n ( cos θn ＋isin θn )＝r 1r 2…r n [cos( θ1＋θ2＋…＋θn )＋isin( θ1＋θ2＋…＋θn )]．2．复数的乘方运算( 棣莫佛定理) [r ( cos θ＋isin θ)]n ＝r n ( cos nθ＋isin nθ)．即复数的n ( n ∈N *)次幂的模等于模的n 次幂,辐角等于这个复数的辐角的n 倍,这个定理称为棣莫佛定理．1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”) ( 1)在复数范围内,1的立方根是1.( )( 2)z z －＝|z |2.( )( 3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3·3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝6i.( )答案 ( 1)× ( 2)√ ( 3)√ 2．做一做( 1)把z ＝2－i 对应的向量OZ →,按顺时针方向旋转π2,所得向量对应的复数的代数形式为________．( 2)( 1＋3i)2019＝________.( 3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6＝________. 答案 ( 1)－1－2i ( 2)－22019 ( 3)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6题型一 复数三角形式的乘法运算 例1 计算下列各式:( 1)2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π12＋isin π12·3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 5π6＋isin 5π6;( 2)3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋isin π6·7⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4;( 3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3－4. [详解] ( 1)原式＝6⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋5π6＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12＋5π6＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π12＋isin 11π12.( 2)原式＝21⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋3π4＝21⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π12＋isin 11π12.( 3)原式＝1⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π34 ＝116⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3＝116⎝ ⎛⎭⎪⎫－12－32i ＝－12＋32i16＝－132＋332i.( 1)积的模等于模的积,积的辐角等于辐角之和． ( 2)复数三角形式乘法运算注意向量旋转的方向．( 3)做复数乘法运算时,三角形式和代数形式可以交替使用,但是结果一般保留代数形式．( 1)如果向量OZ →对应复数4i,OZ →逆时针旋转45°后再把模变为原来的2倍,得到向量OZ 1→,那么与OZ 1→对应的复数是________;( 2)计算( 1＋3i)6.答案 ( 1)－4＋4i ( 2)见详细解析 详细解析 ( 1)OZ →＝4i ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2,OZ 1→＝42⎝ ⎛⎭⎪⎫cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋π4＝42⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＋22i ＝－4＋4i.( 2)原式＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π36＝26⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 6π3＋isin 6π3＝26.题型二 复数三角形式的除法运算 例2 计算( 1＋i)÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4. [详解] 因为1＋i ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4,所以原式＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π43⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4 ＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝⎛⎭⎪⎫π4－3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－3π4＝23⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2 ＝63( 0－i) ＝－63i.( 1)商的模等于被除数的模除以除数的模,商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角．( 2)结果一般保留代数形式．( 3)商的辐角主值不一定等于被除数的辐角主值减去除数的辐角主值所得的差．实际上,arg z 1z 2与arg z 1,arg z 2的关系是:arg z 1z 2＝arg z 1－arg z 2＋2k π( k ∈Z )．计算:( 1)[6( cos70°＋isin70°)]÷[3( cos40°＋isin40°)]; ( 2)⎣⎢⎡⎦⎥⎤8⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 2π3＋isin 2π3÷⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6. 解 ( 1)原式＝2()cos30°＋isin30°＝3＋i. ( 2)原式＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π2＋isin π2＝4i.题型三 复数乘、除运算几何意义的应用例3 如图所示,已知平面内并列八个全等的正方形,利用复数证明:∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝π4.[证明] 如图,建立平面直角坐标系( 复平面)．∠1＝arg( 3＋i), ∠2＝arg( 5＋i), ∠3＝arg( 7＋i),∠4＝arg( 8＋i)．所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4就是乘积( 3＋i)( 5＋i)( 7＋i)( 8＋i)的辐角．而( 3＋i)( 5＋i)( 7＋i)( 8＋i)＝650( 1＋i),所以arg[( 3＋i)( 5＋i)( 7＋i)( 8＋i)]＝π4, 又因为∠1,∠2,∠3,∠4均为锐角, 于是0<∠1＋∠2＋∠3＋∠4<2π, 所以∠1＋∠2＋∠3＋∠4＝π4.复数乘、除运算的几何意义是数形结合的体现,利用复数的几何意义解题要充分挖掘题目中的已知条件．设复数z 1,z 2对应的向量为OZ 1→,OZ 2→,O 为坐标原点,且z 1＝－1＋3i,若把OZ 1→绕原点逆时针旋转4π3,把OZ 2→绕原点顺时针旋转3π4,所得两向量恰好重合,求复数z 2.解 依题意( －1＋3i)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3＝z 2cos 3π4＋isin 3π4.∴z 2＝( －1＋3i)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 4π3＋isin 4π3⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 3π4＋isin 3π4＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋4π3＋3π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＋4π3＋3π4＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos 11π4＋isin 11π4＝－2＋2i.1.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π410＝( ) A ．i B ．－i C.22＋22iD.22－22i答案 A详细解析 ⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π410＝cos 10π4＋isin 10π4＝cos 5π2＋isin 5π2＝cos π2＋isin π2＝i.故选A.2．若复数z ＝i1＋i ,则它的三角形式为( )A.12⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 B.2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 C.22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 D.22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4－isin π4答案 C 详细解析 ∵z ＝i 1＋i＝12＋12i,∴|z |＝22,复数z 对应的点是⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12,位于第一象限,所以arg z ＝π4.故选C.3.⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π6⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π3＋isin π3＝( ) A ．i B ．－i C ．1 D ．－1答案 A详细解析 原式＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＋π3＝cos π2＋isin π2＝i.4．计算2÷⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4＝________. 答案2－2i详细解析 解法一:原式＝222＋22i＝2·(1－i )22(1＋i )(1－i )＝2(1－i )2＝2－2i.解法二:原式＝2(cos0＋isin0)⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π4＋isin π4 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋isin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝2×22＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22i＝2－2i.5．求复数z ＝1＋⎝⎛⎭⎪⎫3＋i 27的模． 解 因为32＋i 2＝cos π6＋isin π6,所以⎝⎛⎭⎪⎫3＋i 27＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos π6＋isin π67＝cos 7π6＋isin 7π6 ＝－32－12i, 故z ＝1－32－12i, |z |＝ ⎝⎛⎭⎪⎫1－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝2－3＝4－232＝(3－1)22＝3－12＝6－22.。
高中数学人教a版必修二讲义：第一章 1.1 第一课时 棱柱、棱锥、棱台的结构特征
空间几何体的结构第一课时棱柱、棱锥、棱台的结构特征预习课本P2～4，思考并完成以下问题[新知初探] 1．空间几何体2．空间几何体的分类3．棱柱、棱锥、棱台的结构特征[小试身手]1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)用一个平面去截棱锥，棱锥底面和截面之间的部分是棱台()(2)棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面()(3)棱台的底面是两个相似的正方形()(4)棱台的侧棱延长后必交于一点()答案：(1)×(2)×(3)×(4)√2．有两个面平行的多面体不可能是()A．棱柱B．棱锥C．棱台D．以上都错解析：选B棱柱、棱台的上、下底面是平行的，而棱锥的任意两面均不平行．3．关于棱柱，下列说法正确的有________(填序号)．(1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱；(2)棱柱的侧棱长相等，侧面都是平行四边形；(3)各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．解析：(1)不正确，反例如图所示．(2)正确，由棱柱定义可知，棱柱的侧棱相互平行且相等，所以侧面均为平行四边形．(3)不正确，上、下底面是菱形，各侧面是全等的正方形的四棱柱不一定是正方体．答案：(2)[典例]下列关于棱柱的说法中，错误的是()A．三棱柱的底面为三角形B．一个棱柱至少有五个面C．若棱柱的底面边长相等，则它的各个侧面全等D．五棱柱有5条侧棱、5个侧面，侧面为平行四边形[解析] 显然A正确；底面边数最少的棱柱是三棱柱，它有五个面，故B正确；底面是正方形的四棱柱，有一对侧面与底面垂直，另一对侧面不垂直于底面，此时侧面并不全等，所以C错误；D正确，所以选C.[答案] C[活学活用]下列说法错误的是()A．多面体至少有四个面B．棱柱的两个底面是全等的多边形C．长方体、正方体都是棱柱D．三棱柱的侧面为三角形解析：选D三棱柱的底面是三角形，其侧面一定是平行四边形，故D错误.棱锥、棱台的结构特征[典例](1)①由五个面围成的多面体只能是四棱锥；②仅有两个面互相平行的五面体是棱台；③两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台；④有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．A．0个B．1个C．2个D．3个(2)下列说法正确的有________个．①有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．②正棱锥的侧面是等边三角形．③底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥．[解析](1)由五个面围成的多面体还可能是三棱台、三棱柱等，故①错；三棱柱是只有两个面平行的五面体，故②错．如图，可知③④错误．(2)①不正确．棱锥的定义是：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥．而“其余各面都是三角形”并不等价于“其余各面都是有一个公共顶点的三角形”，故此说法是错误的．如图所示的几何体满足此说法，但它不是棱锥，理由是△ADE和△BCF无公共顶点．②错误．正棱锥的侧面都是等腰三角形，不一定是等边三角形．③错误．由已知条件知，此三棱锥的三个侧面未必全等，所以不一定是正三棱锥．如图所示的三棱锥中有AB＝AD＝BD＝BC＝CD.满足底面△BCD为等边三角形．三个侧面△ABD，△ABC，△ACD都是等腰三角形，但AC长度不一定，三个侧面不一定全等．[答案](1)A(2)0判断棱锥、棱台的2个方法(1)举反例法：结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点[活学活用]用一个平面去截一个三棱锥，截面形状是()A．四边形B．三角形C．三角形或四边形D．不可能为四边形解析：选C如果截面截三棱锥的三条棱，则截面形状为三角形(如图①)，如果截面截三棱锥的四条棱则截面为四边形(如图②)．[典例] 如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？[解]由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱，棱锥，棱台的定义，可把侧面展开图还原为原几何体，如图所示．所以①为五棱柱，②为五棱锥，③为三棱台．[活学活用]1．下列四个平面图形中，每个小四边形都是正方形，其中可以沿相邻正方形的公共边折叠围成一个正方体的是()解析：选C将四个选项中的平面图形折叠，看哪一个可以围成正方体．2．水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如图是一个正方体的表面展开图(图中数字写在正方体的外表面上)，若图中“0”上方的“2”在正方体的上面，则这个正方体的下面是()A．1 B．7C．快D．乐解析：选B由题意，将正方体的展开图还原成正方体，1与乐相对，2与7相对，0与快相对，所以下面是7.层级一学业水平达标1．下面的几何体中是棱柱的有()A．3个B．4个C．5个D．6个解析：选C棱柱有三个特征：(1)有两个面相互平行；(2)其余各面是四边形；(3)侧棱相互平行．本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征，而①②③④⑤符合，故选C.2．下面图形中，为棱锥的是()A．①③B．①③④C．①②④D．①②解析：选C根据棱锥的定义和结构特征可以判断，①②是棱锥，③不是棱锥，④是棱锥．故选C.3.如图，能推断这个几何体可能是三棱台的是()A．A1B1＝2，AB＝3，B1C1＝3，BC＝4B ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝3C ．A 1B 1＝1，AB ＝2，B 1C 1＝1.5，BC ＝3，A 1C 1＝2，AC ＝4D ．AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，CA ＝C 1A 1解析：选C 根据棱台是由棱锥截成的进行判断．选项A 中A 1B 1AB ≠B 1C 1BC ，故A 不正确；选项B 中B 1C 1BC ≠A 1C 1AC ，故B 不正确；选项C 中A 1B 1AB＝B 1C 1BC ＝A 1C 1AC，故C 正确；选项D 中满足这个条件的可能是一个三棱柱，不是三棱台．故选C.4．一个棱锥的各棱长都相等，那么这个棱锥一定不是( )A ．三棱锥B ．四棱锥C ．五棱锥D ．六棱锥解析：选D 由题意可知，每个侧面均为等边三角形，每个侧面的顶角均为60°，如果是六棱锥，因为6×60°＝360°，所以顶点会在底面上，因此不是六棱锥．5．下列图形中，不能折成三棱柱的是( )解析：选C C 中，两个底面均在上面，因此不能折成三棱柱，其余均能折为三棱柱．6．四棱柱有________条侧棱，________个顶点．解析：四棱柱有4条侧棱，8个顶点(可以结合正方体观察求得)．答案：4 87．一个棱台至少有________个面，面数最少的棱台有________个顶点，有________条棱．解析：面数最少的棱台是三棱台，共有5个面，6个顶点，9条棱．答案：5698．一棱柱有10个顶点，其所有的侧棱长的和为60 cm，则每条侧棱长为________cm.解析：该棱柱为五棱柱，共有5条侧棱，每条侧棱长都相等，∴每条侧棱长为12 cm.答案：129．根据下列关于空间几何体的描述，说出几何体的名称：(1)由6个平行四边形围成的几何体；(2)由7个面围成的几何体，其中一个面是六边形，其余6个面都是有一个公共顶点的三角形；(3)由5个面围成的几何体，其中上、下两个面是相似三角形，其余3个面都是梯形，并且这些梯形的腰延长后能相交于一点．解：(1)这是一个上、下底面是平行四边形，4个侧面也是平行四边形的四棱柱．(2)这是一个六棱锥．(3)这是一个三棱台．10.如图，已知三棱台ABC-A′B′C′.(1)把它分成一个三棱柱和一个多面体，并用字母表示；(2)把它分成三个三棱锥，并用字母表示．解：(1)作B′E∥AA′交AB于点E，C′D∥AA′交AC于点D，如图，连接ED，则分成一个三棱柱AED-A′B′C′和一个多面体C′B′EBCD.(2)如图，平面AB′C′和平面AB′C能把三棱台分成三个三棱锥，分别为三棱锥B′-AA′C′，三棱锥B′-ACC′，三棱锥B′-ABC.层级二应试能力达标1．关于空间几何体的结构特征，下列说法不正确的是()A．棱柱的侧棱长都相等B．四棱锥有五个顶点C．三棱台的上、下底面是相似三角形D．有的棱台的侧棱长都相等解析：选B根据棱锥顶点的定义可知，四棱锥仅有一个顶点．故选B.2．下列说法正确的是()A．棱柱的底面一定是平行四边形B．棱锥的底面一定是三角形C．棱锥被平面分成的两部分不可能都是棱锥D．棱柱被平面分成的两部分可能都是棱柱解析：选D棱柱与棱锥的底面可以是任意多边形，A、B不正确．过棱锥的顶点的纵截面可以把棱锥分成两个棱锥，C不正确．3．下列图形经过折叠可以围成一个棱柱的是()解析：选D A、B、C中底面图形的边数与侧面的个数不一致，故不能围成棱柱．故选D.4. 五棱柱中，不同在任何侧面，且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱共有对角线（）A.20条B.15条C.12条D.10条解析：选D由题意，知五棱柱的对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，故从一个顶点出发的对角线有2条，所以五棱柱共有对角线2×5=10(条).故选D.5.一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.解析：将平面图形翻折，折成空间图形，可得∠ABC＝60°.答案：60°6．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________．(写出所有正确结论的编号)①矩形；②不是矩形的平行四边形；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；④每个面都是等边三角形的四面体；⑤每个面都是直角三角形的四面体．解析：在正方体ABCD-A1B1C1D1上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是：①矩形，如四边形ACC1A1；③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体，如A-A1BD；④每个面都是等边三角形的四面体，如A-CB1D1；⑤每个面都是直角三角形的四面体，如A-A1DC，故填①③④⑤.答案：①③④⑤7.如图在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P.问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？(2)若正方形边长为2a，则每个面的三角形面积为多少？解：(1)如图折起后的几何体是三棱锥．(2)S △PEF ＝12a 2，S △DPF ＝S △DPE ＝12×2a ×a ＝a 2， S △DEF ＝32a 2.8.如图，已知长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCEF 把这个长方体分成两部分，各部分几何体的形状是什么？解：(1)是棱柱．是四棱柱．因为长方体中相对的两个面是平行的，其余的每个面都是矩形(四边形)，且每相邻的两个矩形的公共边都平行，符合棱柱的结构特征，所以是棱柱．(2)各部分几何体都是棱柱，分别为棱柱BB 1F -CC 1E 和棱柱ABFA 1-DCED 1.。
人教A版高中数学必修二讲义第八章 8.4 8.4.2
8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系知识点一 空间中直线与直线的位置关系 1．空间两条直线的位置关系有且只有三种⎩⎪⎨⎪⎧共面直线⎩⎨⎧□01相交直线：在同一平面内，□02有且只有一个公共点.□03平行直线：在同一平面内，□04没有公共点.□05异面直线：□06不同在任何一个平面内，□07没有公共点.2．异面直线的画法知识点二 空间中直线与平面的位置关系知识点三空间中平面与平面的位置关系1．位置关系:有且只有两种:①两个平面平行——□01没有公共点;②两个平面相交——□02有一条公共直线．2．符号表示:两个平面α,β平行,记为α∥β;两个平面α,β相交于直线l,记为□03α∩β＝l.3．图示:两个平面α,β平行,如图①所示;两个平面α,β相交于直线l,如图②所示．1．正确理解异面直线的定义异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定义中“任何”两字,它指空间中的所有平面,因此异面直线也可以理解为:在空间中找不到一个平面,使其同时经过a,b两条直线．例如,如图所示的长方体中,棱AB和B1C1所在的直线既不平行又不相交,找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．2．两个平面位置关系的画法( 1)两个平行平面的画法画两个平行平面时,要注意把表示平面的平行四边形画成对应边平行．( 2)两个相交平面的画法①先画表示两个平面的平行四边形的相交两边,如图( a)．②再画出表示两个平面交线的线段,如图( b)．③过图( b)中线段的端点分别引线段,使它们平行于图( b)中表示交线的线段,如图( c)．④画出图( c)中表示两个平面的平行四边形的第四边( 被遮住的线,可以画成虚线,也可以不画),如图( d)．3．判断直线与平面及平面与平面的位置关系常用定义法和反证法．1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)两条直线若不是异面直线,则必相交或平行．( )( 2)两条直线无公共点,则这两条直线平行．( )( 3)若直线a在平面α外,则a∥α.( )( 4)若直线与平面不相交,则直线与平面平行．( )( 5)若a∥b,b⊂α,则a平行于α内的无数条直线．( )答案( 1)√( 2)×( 3)×( 4)×( 5)√2．做一做( 1)如图所示,用符号语言可表示为( )A．α∩β＝l B．α∥β,l∈αC．l∥β,l⊄αD．α∥β,l⊂α( 2)如果两条直线a和b没有公共点,那么a与b的位置关系是________．( 3)过直线l外一点P,有________个平面与l平行．( 4)已知点A∉α,则过点A与平面α有公共点的直线与平面α一定________．( 5)过平面α外一点P,有________个平面与α平行．答案( 1)D( 2)平行或异面( 3)无数( 4)相交( 5)一题型一空间两条直线位置关系的判断例1已知a,b,c是三条直线,如果a与b是异面直线,b与c是异面直线,那么a 与c有怎样的位置关系?并画图说明．[详解]直线a与直线c的位置关系可以是平行、相交、异面．如图( 1)( 2)( 3)．判定两条直线是异面直线的方法( 1)定义法:由定义判断两条直线不可能在同一平面内．( 2)重要结论:连接平面内一点与平面外一点的直线,和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α,B∈α,l⊂α,B∉l⇒AB与l是异面直线( 如图)．如图,已知正方体ABCD－A1B1C1D1,判断下列直线的位置关系:( 1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________;( 2)直线A1B与直线B1C的位置关系是________;( 3)直线D1D与直线D1C的位置关系是________;( 4)直线AB与直线B1C的位置关系是________．答案( 1)平行( 2)异面( 3)相交( 4)异面详细解析首先看两直线是否有交点,判断是否是相交,然后在没有交点的两直线中判断这两直线是否在一个平面内,如果不在,则两直线异面．本题中直线D1D与直线D1C相交于D1点,所以( 3)应该填“相交”;直线A1B 与直线D1C在平面A1BCD1中,且没有交点,则两直线“平行”,所以( 1)应该填“平行”;点A1,B,B1在一个平面A1BB1内,而C不在平面A1BB1内,则直线A1B与直线B1C“异面”．同理,直线AB与直线B1C“异面”．所以( 2)( 4)都应该填“异面”.题型二直线与平面的位置关系例2下列命题中,正确命题的个数是( )①如果a,b是两条平行直线,那么a平行于经过b的任何一个平面;②如果直线a和平面α满足a∥α,那么a与平面α内的任何一条直线平行;③如果直线a,b满足a∥α,b∥α,则a∥b;④如果直线a,b和平面α满足a∥b,a∥α,b⊄α,那么b∥α;⑤如果平面α的同侧有两点A,B到平面α的距离相等,则AB∥α.A．0 B．1 C．2 D．3[详细解析]如图,在正方体ABCD－A′B′C′D′中,AA′∥BB′,AA′在过BB′的平面ABB′A′内,故命题①不正确;AA′∥平面BCC′B′,BC⊂平面BCC′B′,但AA′不平行于BC,故命题②不正确;AA′∥平面BCC′B′,A′D′∥平面BCC′B′,但AA′与A′D′相交,所以③不正确;④中,假设b与α相交,因为a∥b,所以a与α相交,这与a∥α矛盾,故b∥α,即④正确;⑤显然正确．故答案为C.[答案] C直线与平面位置关系的判断方法( 1)空间中直线与平面只有三种位置关系:直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．( 2)在判断直线与平面的位置关系时,这三种情形都要考虑到,避免疏忽或遗漏．另外,我们可以借助空间几何图形,把要判断关系的直线、平面放在某些具体的空间图形中,以便于正确作出判断,避免凭空臆断．下列说法中,正确的个数是( )①如果两条平行直线中的一条和一个平面相交,那么另一条直线也和这个平面相交;②一条直线和另一条直线平行,则它和经过另一条直线的任何平面都平行;③经过两条异面直线中的一条直线,有一个平面与另一条直线平行;④两条相交直线,其中一条与一个平面平行,则另一条一定与这个平面平行．A．0 B．1 C．2 D．3答案 C详细解析①正确;②错误,如图所示,l1∥m,而m⊂α,l1⊂α;③正确;④错误,直线还可能与平面相交．由此可知,①③正确．故选C.题型三平面与平面的位置关系例3已知正方体ABCD－A1B1C1D1,在图甲中,E,F分别是D1C1,B1B的中点,请画出图甲、图乙中有阴影的平面与平面ABCD的交线,并给出证明．[详解]在图甲中,过点E作EN平行于BB1交CD于点N,连接NB,并延长交EF的延长线于点M,连接AM,则AM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．在图乙中,延长DC,过点C1,作C1M∥A1B交DC的延长线于点M,连接BM,则BM即为有阴影的平面与平面ABCD的交线．证明如下:在图甲中,因为直线EN∥BF,所以B,N,E,F四点共面,EF与BN相交,交点为M.又因为M∈EF,且M∈NB,而EF⊂平面AEF,NB⊂平面ABCD,所以M是平面ABCD与平面AEF的公共点．又因为点A是平面AEF和平面ABCD的公共点,故AM所在直线为两平面的交线．在图乙中,C1M与DC的延长线交于点M,所以M∈DC.又因为DC⊂平面ABCD,所以M∈平面ABCD,而C1M∥A1B,所以C1,M,B,A1四点共面,所以M∈平面A1C1B.即点M是平面A1C1B与平面ABCD的公共点,又因为点B也是两平面的公共点,所以BM所在直线即为两平面的交线．平面与平面的位置关系的判断方法( 1)平面与平面的位置关系有两种,平行和相交,相交的判断主要是以基本事实3为依据找出一个交点,平面与平面平行的主要特点是没有公共点．( 2)牢牢抓住其特征和定义,把文字语言或符号语言转化,结合空间想象全方位、多角度思考,特别是特殊情况,要学会举反例否定．如图所示,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,M,N分别是A1B1,BB1的中点,则下列直线与平面、平面与平面的位置关系是什么?( 1)AM所在的直线与平面ABCD的位置关系;( 2)CN所在的直线与平面ABCD的位置关系;( 3)AM所在的直线与平面CDD1C1的位置关系;( 4)平面AMD1与平面BNC的位置关系．解( 1)AM所在的直线与平面ABCD相交．( 2)CN所在的直线与平面ABCD相交．( 3)AM所在的直线与平面CDD1C1平行．( 4)平面AMD1与平面BNC相交.题型四直线与平面位置关系的证明例4求证:两条平行线中的一条直线与已知平面相交,则另一条直线也与该平面相交．[证明]已知:直线a∥b,a∩α＝P,求证:直线b与平面α相交．证明:如图所示,∵a∥b,∴a与b确定平面β,∵a∩α＝P,∴平面α和平面β相交于过点P的直线l.∵在平面β内l与两条平行直线a,b中的一条直线a相交,∴l必与b相交．设b∩l＝Q,又b不在平面α内,∴直线b和平面α相交．证明直线与平面相交的方法证明直线与平面相交,按定义需证明直线b与平面α有且只有一个公共点,即①直线b与平面α有公共点;②直线b与平面α只有一个公共点．此类问题常转化为平面问题解决．证明直线与平面相交,也常用反证法．求证:若一条直线经过平面内的一点,又经过平面外的一点,则此直线与该平面相交．证明已知:A∈α,A∈a,B∉α,B∈a.求证:直线a与平面α相交．如右图所示,假设直线a与平面α不相交,即a∥α,或a⊂α.假设a∥α,则A∉α,这与已知条件A∈α矛盾．假设a⊂α,则B∈α,这与已知条件B∉α矛盾．∴假设不成立,∴直线a与平面α相交.题型五线面、面面相交问题例5在直三棱柱( 侧棱垂直于底面)ABC－A1B1C1中,E,F分别为A1B1,B1C1的中点．求证:平面ACC1A1与平面BEF相交．[证明]∵在矩形AA1B1B中,E为A1B1的中点,∴AA1与BE不平行,则AA1,BE的延长线相交于一点,设此点为G,∴G∈AA1,G∈BE.又AA1⊂平面ACC1A1,BE⊂平面BEF,∴G∈平面ACC1A1,G∈平面BEF,∴平面ACC1A1与平面BEF相交．判断或证明平面与平面的位置关系时主要考虑平面与平面有无公共点,如果没有公共点,则两平面平行;如果可以找到一个公共点,则两平面相交．如图,在正方体ABCD－A1B1C1D1中,E是AA1的中点,画出过D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线,并说明理由．解如图,取AB的中点F,连接EF,A1B,CF.∵E是AA1的中点,∴EF∥A1B.在正方体ABCD－A1B1C1D1中,A1D1∥BC,A1D1＝BC,∴四边形A1BCD1是平行四边形．∴A1B∥CD1,∴EF∥CD1.∴E,F,C,D1四点共面．∵E∈平面ABB1A1,E∈平面D1CE,F∈平面ABB1A1,F∈平面D1CE,∴平面ABB1A1∩平面D1CE＝EF.∴过D1,C,E的平面与平面ABB1A1的交线为EF.1．如果一条直线与两条异面直线中的一条相交,那么它与另一条直线之间的位置关系是( )A．平行B．相交C．异面D．可能平行、可能相交、可能异面答案 D详细解析可以利用长方体的棱所在的直线找到平行、相交、异面的情况．2．已知直线a∥平面α,P∈α,那么过点P且平行于直线a的直线( )A．只有一条,不在平面α内B．有无数条,不一定在平面α内C．只有一条,且在平面α内D．有无数条,一定在平面α内答案 C详细解析过点P和直线a可确定唯一一个平面,在这个平面内,过点P可作直线与直线a平行,且这条直线唯一,而且这条直线在平面α内．故选C.3．平面α与平面β,γ都相交,则这三个平面的交线可能有________条．答案1或2或3详细解析当α过β,γ的交线时,三平面有一条交线．当β∥γ时,有两条交线．当α与β,γ两两相交且不交于同一条直线时,有三条交线．4．下列命题正确的有________．①若直线与平面有两个公共点,则直线在平面内;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;③若直线l与平面α相交,则l与平面α内的任意直线都是异面直线;④若两条异面直线中的一条与一个平面平行,则另一条直线一定与该平面相交;⑤若直线l与平面α平行,则l与平面α内的直线平行或异面;⑥若平面α∥β,直线a⊂α,直线b⊂β,则直线a∥b.答案①⑤详细解析对于②,直线l也可能与平面相交;对于③,直线l与平面内不过交点的直线是异面直线,而与过交点的直线相交;对于④,另一条直线可能在平面内,也可能与平面平行;对于⑥,两平行平面内的直线可能平行,也可能异面．故①⑤正确．5．如图,在长方体ABCD－A1B1C1D1中,指出B1C,D1B所在直线与各个面所在平面的关系．解B1C所在直线与各面所在平面的关系是:B1C在平面BB1C1C内,B1C∥平面AA1D1D,与平面ABB1A1,平面CDD1C1,平面ABCD,平面A1B1C1D1都相交．直线D1B与各个面都相交．。
教案-高中数学必修2讲义
19
20
截面问题
21
22
23
空间中的平行关系(一)
一.线线关系&线线平行 1.平行公理:过直线外一点有且只有一条直线与这条 直线平行. 2.平行传递性:平行于同一直线的两条直线互相平行.
二.空间几何体的三视图 1.正视图: 光线从几何体的前面向后面正投影. 2.侧视图: 光线从几何体的左面向右面正投影. 3.俯视图: 光线从几何体的上面向下面正投影.
三.常见几何体的三视图 1.棱柱 2.棱锥 3.棱台 4.圆柱 5.圆锥 6.圆台 7.球
12
四.常见几何体的直观图 斜二测画法
13
多面体 一.几何体 只考虑形状与大小,不考虑其它因素的空间部分 叫做一个几何体,比如长方体,球.
三.棱柱 1.结构性质:两个底面为全等多边形,对应边互相平行, 侧面都是平行四边形,侧棱平行且相等. 2.分类: (1)底面边数:三棱柱,四棱柱,五棱柱… (2)侧棱与底面:垂直—直棱柱;不垂直—斜棱柱. 3.公式 侧面积,表面积(全面积),体积.
33
34
空间中的垂直关系(二)
三.面面垂直 定义: 如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直, 又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线 互相垂直,就称这两个平面互相垂直.
例1 下列说法正确的有____. (1)若一条直线垂直于一个平面,则垂直于这条直线 的另一条直线必平行于这个平面. (2)若一条直线平行于一个平面,则它和这个平面内 的任何直线都不垂直. (3)平行于同一平面的两条直线可能垂直. (4)垂直于同一条直线的两条直线平行. (5)垂直于同一个平面的两个平面垂直.
高中数学必修二基础精品讲义
4
例 2、如图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A．
B．
C．
D．
例 3、判断下列说法是否正确． （1）棱柱的各个侧面都是平行四边形； （2）一个 n（n≥3）棱柱共有 2n 个顶点； （3）棱柱的两个底面是全等的多边形； （4）如果棱柱有一个侧面是矩形，则其余各侧面也都是矩形．
例 4、如果一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体一定是棱锥．这种说法是否正确？如果正确说明 理由；如果不正确，举出反例．
为原来的一半．画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了平面图形的直观图． 线表示看不见的部分．画完直观图后还应注意检验．
典例分析
考点一:简单几何体的结构特征 例 1、给出下列命题中正确的是（ ）
A．棱柱被平面分成的两部分可以都是棱柱 C．棱柱的底面一定是平行四边形
B．底面是矩形的平行六面体是长方体 D．棱锥的底面一定是三角形
（三）三视图 三视图的概念：把一个空间几何体投影到一个平面上，可以获得一个平面图形，但是只有一个平面图形很 难把握几何体的全貌，因此我们需要从多个角度进行投影，这样才能较好地把握几何体的形状和大小．通 常，我们总是选择三种投影．
（1）光线从几何体的前面向后面正投影，得到的投影图叫做几何体的正视图；
3
y＇轴，两轴交于点 O＇，且使∠x＇O＇y＇=45°（或 135°），它们确定的平面表示水平面． （2）已知图形中，平行于 x 轴、y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x＇轴、y＇轴的线段，并使
它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同． （3）已知图形中，平行于 x 轴或 z 轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于 y 轴的线段，长度变
的几何体； 常见的组合体有三种：①多面体与多面体的组合；②多面体与旋转体的组合；③旋转体与旋转体的组
高中数学讲义(人教A版必修二)：第26讲 平面(教师版)
第26课平面课程标准课标解读1.了解平面的表示方法，点、直线与平面的位置关系.2.掌握关于平面基本性质的三个基本事实.3.会用符号表示点、直线、平面之间的位置关系．1.前面我们从整体的角度认识了柱体、锥体、台体、球等简单几何体的结构特征，接下来从局部的角度来认识构成空间几何体的基本元素一点、直线、平面之间的位置关系，从而进一步认识空间图形，提高空间想象能力.2.本节内容的安排是首先让学生认识新的几何元素“平面”及其性质，其次让学生经历将自然语言转化为图形语言和符号语言的过程，最后让学生在直观感受的基础上形成三个基本事实和三个推论，初步体会欧几里得公理化体系，为后续学习做好准备因此本节内容具有极其重要的地位与价值3.本节内容所涉及的主要核心素养有：直观想象、逻辑推理等知识精讲知识点01平面1．平面的概念几何中所说的“平面”，是从课桌面、黑板面、平静的水面等这样的一些物体中抽象出来的．类似于直线向两端无限延伸，几何中的平面是向四周无限延展的．2．平面的画法画法我们常用矩形的直观图，即平行四边形表示平面当平面水平放置时，常把平行四边形的一边画成横向当平面竖直放置时，常把平行四边形的一边画成竖向一个平面的一部分被另一个平面挡住，被挡住的部分画成虚线或不画图示3.平面的表示法图①的平面可表示为平面α、平面ABCD、平面AC或平面BD.【即学即练1】反思感悟知识点02点、直线、平面之间的基本位置关系及语言表达文字语言符号语言图形语言A在l上A∈lA在l外A∉lA在α内A∈αA在α外A∉αl在α内l⊂αl在α外l⊄αl，m相交于A l∩m＝Al，α相交于A l∩α＝Aα，β相交于lα∩β＝l【即学即练2】知识点03平面的基本性质及作用1．三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面A，B ，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使A ，B ，C ∈α基本事实2如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A ∈l ，B ∈l ，且A ∈α，B ∈α⇒l ⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线P ∈α且P ∈β⇒α∩β＝l ，且P ∈l2.三个推论推论内容图形推论1经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面【即学即练3】给出以下四个命题：①不共面的四点中，其中任意三点不共线；②若点A ，B ，C ，D 共面，点A ，B ，C ，E 共面，则点A ，B ，C ，D ，E 共面；③若直线a ，b 共面，直线a ，c 共面，则直线b ，c 共面；④依次首尾相接的四条线段必共面．其中正确的有________．(填序号)答案①解析①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面，这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确；②如图，两个相交平面有三个公共点A ，B ，C ，但A ，B ，C ，D ，E 不共面；③显然不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．考法01图形语言、文字语言、符号语言的相互转换【典例1】若点A在直线b上，b在平面β内，则点A、直线b、平面β之间的关系可以记作()A．A∈b，b∈βB．A∈b，b⊂βC．A⊂b，b⊂βD．A⊂b，b∈β答案B解析直线和平面都是由点组成的集合，所以A∈b，b⊂β.反思感悟用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面，几条直线及相互之间的位置关系，试着用文字语言表示，再用符号语言表示．【变式训练】如图所示，用符号语言可表述为()B．α∩β＝m，n∉α，m∩n＝AC．α∩β＝m，n⊂α，A⊂m，A⊂nD．α∩β＝m，n∉α，A∈m，A∈n答案A解析由题图知α∩β＝m，n⊂α且m∩n＝A，A∈m，A∈n.考法02点、线共面【典例2】已知直线a∥b，直线l与a，b都相交，求证：过a，b，l有且只有一个平面．证明如图所示，∵a∥b，∴过a，b有且只有一个平面α.设a∩l＝A，b∩l＝B，∴A∈α，B∈α，且A∈l，B∈l，∴l⊂α，即过a，b，l有且只有一个平面．反思感悟证明点、线共面问题的常用方法(1)先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平面内，即用“纳入法”．(2)先由其中一部分点、线确定一个平面α，其余点、线确定另一个平面β，再证平面α与β重合，即用“同一法”．【变式训练】如图所示，l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内．证明方法一(纳入法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴B∈l2.又∵l2⊂α，∴B∈α.同理可证C∈α.∵B∈l3，C∈l3，∴l3⊂α.∴直线l1，l2，l3在同一平面内．方法二(同一法)∵l1∩l2＝A，∴l1和l2确定一个平面α.∵l2∩l3＝B，∴l2和l3确定一个平面β.∵A∈l2，l2⊂α，∴A∈α.∵A∈l2，l2⊂β，∴A∈β.同理可证B∈α，B∈β，C∈α，C∈β.∴不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内，∴平面α和β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．考法03证明点共线、线共点问题【典例3】)如图，已知平面α，β，且α∩β＝l，设在梯形ABCD中，AD∥BC，且AB⊂α，CD⊂β.求证：AB，CD，l共点．证明如图，∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∴AB与CD必交于一点，设AB交CD于点M.则M∈AB，M∈CD，又∵AB⊂α，CD⊂β，∴M∈α，M∈β，又∵α∩β＝l，∴M∈l，∴AB，CD，l共点．【变式训练】如图，在四边形ABCD中，已知AB∥CD，直线AB，BC，AD，DC分别与平面α相交于点E，G，H，F.求证：E，F，G，H四点必定共线．证明∵AB∥CD，∴AB，CD确定一个平面β，∵AB∩α＝E，E∈AB，E∈α，∴E ∈β，∴E 在α与β的交线l 上．同理，F ，G ，H 也在α与β的交线l 上，∴E ，F ，G ，H 四点必定共线．反思感悟(1)点共线与线共点的证明方法①证明多点共线通常用基本事实3，即两相交平面交线的唯一性．通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，然后证明其他点也在其上．②证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于两点，再证点重合，从而得三线共点．(2)利用3个基本事实及推论，证明点共线及线共点问题，提升逻辑推理素养．分层提分题组A 基础过关练一、单选题1．已知：空间四边形ABCD 如图所示，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，G 、H 分别是BC 、CD 上的点，且13CG BC ，13CH DC，则直线FH 与直线EG （）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直∵四边形ABCD 是空间四边形，EF 为三角形ABD 的中位线//EF BD 且12EF BD又∵11.33CG BC CH DC ，CHG CDB ∽，且//HG BD 2．下列命题中正确的是（）A ．三点确定一个平面B ．两两相交且不共点的三条直线确定一个平面C ．圆的一条直径与圆上一点可确定一个平面D ．四边形可确定一个平面【答案】B【分析】根据确定平面的依据，判断选项.【详解】A.由确定平面的依据可知，不共线的三点确定一个平面，故错误；B.两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，故正确；C.根据确定平面的依据，直线和直线外一点确定一个平面，所以应改为圆的一条直径和圆上除直径端点外的一点，可确定一个平面，故错误；D.空间四边形，四点不在同一个平面，故错误；故选：B3．已知四个选项中的图形棱长都相等，且P ，Q ，R ，S 分别是所在棱的中点，则这四个点不共面的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【分析】利用空间中平行关系的转化可判断ABC 正确，根据异面直线的定义可判断D 错误.【详解】在A 图中，分别连接,,,PS QR AB CD ，由正方体可得四边形ABCD 为矩形，则//AB CD ，因为,P S 为中点，故//PS AB ，则//PS QR ，所以,,,P S R Q 四点共面.在B 图中，设,E F 为所在棱的中点，分别连接,,,,,PS SR RF FQ EQ PE ，由A 的讨论可得//PS ER ，故,,,P S E R 四点共面，同理可得//ER QF ，故//PS QF ，同理可得//EP RF ，//SR EQ 故F 平面PRS ，Q 平面PRS ，所以,,,,,P S R Q E F 六点共面.在C 图中，由,P Q 为中点可得//PQ AB ，同理//RS AB ，故//PQ RS ，所以,,,P S R Q 四点共面.在D图中，,故选：D.4．给出以下四个命题：①依次首尾相接的四条线段必共面；②过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面；③空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角必相等；④垂直于同一直线的两条直线必平行.其中正确命题的个数是（）A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】用空间四边形对①进行判断；根据公理2对②进行判断；根据空间角的定义对③进行判断；根据空间直线位置关系对④进行判断.【详解】①中，空间四边形的四条线段不共面，故①错误.②中，由公理2知道，过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面，故②正确.③中，由空间角的定义知道，空间中如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补，故③错误.④中，空间中，垂直于同一直线的两条直线可相交，可平行，可异面，故④错误.故选：B【点睛】本小题考查空间点，线，面的位置关系及其相关公理，定理及其推论的理解和认识；考查空间想象能力，推理论证能力，考查数形结合思想，化归与转化思想.5．在空间中，下列命题中正确的是（）A．对边相等的四边形一定是平面图形B ．四边相等的四边形一定是平面图形C ．有一组对边平行且相等的四边形是平面图形D ．有一组对角相等的四边形是平面图形【答案】C【分析】根据平面的基本性质，由能够确定平面的四个条件，一个一个地进行分析，能够得到正确答案．【详解】对边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对边相等，但不是平面图形．故A 不正确；四边相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的四边相等，但不是平面图形．故B 不正确；有一组对边平行的四边形一定是平面图形，因为平行线确定一个平面，故C 正确；有一组对角相等的四边形不一定是平面图形，例如正四面体的对角相等，但不是平面图形．故D 不正确．故选：C6．平面内8条直线没有四条直线共点，最多三条直线平行，至少有几个交点（）A ．9个B ．10个C ．11个D ．12个【答案】C【分析】根据已知条件，可以有二组三条直线平行，再分析如何增加两条直线使交点最少，作图即可求解.【详解】因为最多三条直线平行，可以有二组三条直线平行，如图123////l l l ，456////l l l ，这6条线共有9个交点，如图交点分别为,,,,,,,,A B C D E F G H M ，若要使交点最少可以使7l 过两组平行线的三个交点，此时没有增加新的交点，因为平面内8条直线没有四条直线共点，8l 不能过三条线的公共点，比如不能过图中的,,A E M ，由于不能过点E 为了保证交点最少，8l 可以过两条直线的交点，最少增加2个新的交点，如图点,O P ，所以至少有9211 个交点，故选：C.二、多选题7．已知直线a ，b 和平面 ，且a ，//b ，则a 与b 的关系可以为（）A ．平行B ．相交C ．异面D ．垂直【答案】BCD【分析】根据,a b 是否共面，讨论a ，//b 时,a b 之间的位置关系即可.【详解】当,a b 共面，若a ，//b 则a b r r 且,a b 相交；当,a b 不共面，若a ，//b 则a b r r 且,a b 不相交，即异面垂直关系；故选：BCD8．下列结论中正确的是（）A ．若两个平面有一个公共点，则它们有无数个公共点B ．若已知四个点不共面，则其中任意三点不共线C ．若点A 既在平面 内，又在平面 内，则 与 相交于b ，且点A 在b 上D ．任意两条直线不能确定一个平面【答案】ABC【分析】由基本事实3可判断选项A ，B 和选项C ；由两条直线平行或相交，可以确定一个平面，判断出选项D ．【详解】由基本事实3可知，若两个不重合的平面有一个公共点，则它们相交于过这一点的一条直线，有无数个公共点，因此选项A 正确；选项B 正确；选项C 符合基本事实3，因此选项C 正确；若两条直线平行或相交，则可以确定一个平面，因此选项D 错误．故选：ABC三、填空题9．用一个平面去截几何体，如果截面是三角形，那么这个几何体可能是下面各项中的哪几种：___________（填序号）.①棱柱；②棱锥；③棱台；④圆柱；⑤圆锥；⑥圆台.【答案】①②③⑤【分析】根据多面体和旋转体的特征去分析截面形状即可.【详解】对于棱柱、棱锥和棱台，总存在过一个顶点出发的三条棱，在这三条棱上各取一个靠近顶点的点，经过这三个点的截面即为三角形，①②③正确；作圆锥的轴截面即可得三角形截面，⑤正确；对于圆柱和圆台，无法作出三角形截面，④⑥错误.故答案为：①②③⑤.10．如图所示．1111ABCD A B C D 是正方体，O 是11B D 的中点，直线1AC 交平面11AB D 于点M ，给出下列结论：①A 、M 、O 三点共线；②A 、M 、O 、1A 不共面：③A 、M 、C 、O 共面；④B 、1B 、O 、M 共面，其中正确的序号为_________．【答案】①③【分析】由公理1判断①，由公理2判断②和③，用反证法判断④【详解】连接11AC ，因为O 是11B D 的中点，所以11O AC ，平面11AB D 与平面11AAC C 有公共点A 与O ，则平面11AB D ∩平面11AA C C AO ，对于①，11,M CA CA 平面11AAC C ，则M 平面11AAC C ，因为M 平面11AB D ，则M AO ，即A ，M ，O 三点共线，所以①正确，对于②③，由①知A ，M ，O 三点共线，所以A ，M ，O ，1A 共面，A ，M ，C ，O 共面，所以②错误，③正确；对于④，连接BD ，则1,,B B O 都在平面11BB D D 上，若M 平面11BB D D ，则直线OM 平面11BB D D ，所以A 平面11BB D D ，显然A 平面11BB D D ，所以④错误，故答案为：①③11．在棱长为4的正方体1111ABCD A B C D 中，,E F 分别是BC 和11C D 的中点，经过点,,A E F 的平面把正方体1111ABCD A B C D 截成两部分，则截面与11BCC B 的交线段长为________.12．已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______．①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28；②M 的面积最大值为334；③M 的周长为定值．【答案】②③【分析】根据1B D 平面11A BC ，1B D 平面1ACD ，分点E 与1A 或1D 重合和点E 与 11A D 不重合，两种情况讨论求解判断.【详解】如图所示：1B D 平面11A BC ，1B D 平面①当点E 与1A 或1D 重合时，M 周长为32，面积为32，在平面②当点E 与 11A D 不重合时，设∴2EJ t ， 21EF t ，∴ 212EF EJ t t 同理可得：2FG GH ，HI 故M 的周长为定值32．M 的面积为 11222S t 232212t t，当12t 时，1S 取得最大值334M 在平面ABCD 上投影的面积 22221111311,22224S t t t t，由①②知M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是13,24，M 的面积最大值为334，M 的周长为定值故答案为：②③四、解答题13．已知三角形ABC 的三个顶点都在平面 上，求证：该三角形的内心I 也在平面 上．【答案】证明见解析【分析】根据平面的基本性质分析证明.【详解】记A 的平分线与BC 交于点D ，则I AD ．∵B ，C ，∴BC ．又D BC ，∴D ．∵A ，∴AD ，∵I AD ，∴I ．14．如图，四边形ABCD 和四边形ABEF 都是梯形，且//BC AD ，//BE FA 且12BC AD ，12BE FA ，,G H 分别为,FA FD 的中点．(1)求证：四边形BCHG 是平行四边形．(2),,,C D F E 四点是否共面？为什么？题组B 能力提升练一、单选题1．若点Q 在直线b 上，b 在平面 内，则Q ，b ， 之间的关系可记作（）A ．Q bB ．Q bC ．Q bD ．Q b【答案】B【分析】利用空间中点、线、面之间关系的符号表示即可求解.【详解】因为点Q (元素)在直线b (集合)上,所以Q b .又因为直线b (集合)在平面 (集合)内,所以b .所以Q b .故选：B2．两个平面能把空间分成几个部分（）A ．2或3B ．3或4C ．3D ．2或4【答案】B【分析】分别判断两个平面的平行和相交时，分空间的情况即可的答案.【详解】若两个平面平行，此时两个平面把空间分成3个平面，若两个平面相交，此时两个平面把空间分成4个平面，故两个平面能把空间分成3个或4个部分.故选:B【点睛】关键点点睛：本题的关键是要考虑到两个平面的位置关系.3．如图，在长方体1111ABCD A B C D 中，点G 为正方形ABCD 的中心，点E 为11A D 的中点，点F 为AE 的中点，则（）A ．C 、E 、F 、G 四点共面，且CG 与EF 平行B ．C 、E 、F 、G 四点共面，且CE 与FG 相交C ．C 、E 、F 、G 四点共面，且CE 与FG 平行D ．C 、E 、F 、G 四点不共面【答案】C【分析】连接AC 、CE 、FG ，分析可知G 为AC 的中点，判断出CG 与EF 相交，结合中位线的性质可得出结论.【详解】连接AC ，因为G 为正方形ABCD 的中心，则G 为AC 的中点，因为AC AE A ，F 为AE 的中点，故C 、E 、F 、G 四点共面，且CG 与EF 相交，连接CE 、FG ，因为F 、G 分别为AE 、AC 的中点，则//CE FG ，故选：C.4．如图，在正方体1111ABCD A B C D 中，M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，则经过M 、N 、P 的平面与正方体1111ABCD A B C D 相交形成的截面是一个（）A ．三角形B ．平面四边形C ．平面五边形D ．平面六边形【答案】D 【分析】分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F HE ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11AC 、AC 、NE 、1A B ，先证明、、、H P M F 四点共面，再证明N 平面HPMF ，P 平面HPMF 可得答案.【详解】如图，分别取11A D 、AB 、1C C 的中点、、F H E ，连接MF 、FN 、NH 、HP 、PE 、EM 、11AC 、AC 、NE 、1A B ，且M 、N 、P 分别是棱11C D 、1AA 、BC 的中点，所以11//A C FM 、//HP AC ，且11//AC AC ，所以//HP FM ，即、、、H P M F 四点共面，因为11//=，F BP F BP A A ，所以四边形1A FPB 是平行四边形，所以1//A B FP ，又因为1//A B NH ，得//NH FP ，且FP 平面HPMF ，H 平面HPMF ，所以NH 平面HPMF ，得N 平面HPMF ，因为11//=，M H MC B C BH ，所以四边形1C MHB 是平行四边形，所以1//C B MH ，又因为1//C B EP ，得//MH EP ，又MH 平面HPMF ，P 平面HPMF ，所以PE 平面HPMF ，得E 平面HPMF ，所以、、、、、H P E M F N 六点共面，平面六边形HPEMFN 即为经过M 、N 、P 与正方体1111ABCD A B C D 相交形成的截面，故选：D.5．已知正方体ABCD A B C D体所得的多边形的周长为（）D．A．B．C．所以六边形MNPGFE即为面MNP截正方体所得的多边形，又M，N，P分别是棱AA 、AB、BC的中点，易知：所以截面为正六边形，故周长为62.故选：C6．在正方体1111ABCD A B C D 中，1BB 和11C D 的中点分别为M ，N .如图，若以A ，M ，N 所确定的平面将正方体截为两个部分，则所得截面的形状为（）A ．六边形B ．五边形C ．四边形D ．三角形【答案】B 【分析】根据平面的性质，延长线段到正方体的表面，找到平面与正方体棱的交点，连接起来即可判断.【详解】如图，延长11,AM A B 相交于点P ，连接PN 并延长，与11B C 相交于点E ，与11A D 的延长线相交于点Q ，连接AQ ，与1DD 相交于点F ，连接,NF ME ，则五边形AMENF 即为截面.故选：B.【点睛】本题主要考查平面的基本性质，属于基础题.二、多选题7．下列是基本事实的是（）A ．经过两条相交直线，有且只有一个平面B ．过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面C ．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面D ．如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内【答案】ABCD【分析】利用平面的基本性质判断.【详解】A.经过两条相交直线，有且只有一个平面，是性质的推论，故正确；B.过不在一条直线上的三个点，有且只有一个平面是性质本身，故正确；C.经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面是性质的推论，故正确；D.如果一条直线上的两个点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内是性质本身，故正确.故选：ABCD8．如图，在所有棱长均为2的正三棱柱111ABC A B C -中，点M 是棱BC 的中点， 101CN CC ，过点B 作平面 与平面AMN 平行，则（）A ．当12时， 截正三棱柱111ABC A B C -B ．当1 时， 截正三棱柱111ABC A B C -的截面面积为152C ． 截正三棱柱111ABC A B C -的截面为三角形，则 的取值范围为10,2D ．若1,12 ，则 截正三棱柱111ABC A B C -的截面为四边形所以115,22,BD DC BC B ：1 时，过B 作与面AMN 所以1122,3,BA EA BE C ：由B 知：1 时，平面 与D ：若G 为1CC 中点，当N 在GC 利用平面的基本性质画出平面结合上述分析：1G C 过程中，截面为四边形，正确；故选：ABD三、填空题9．互相平行的四条直线，每两条确定一个平面，最多可确定____________个平面；【答案】6【分析】当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，结合正方体，即可得出答案.【详解】解：当4条直线中任意三条直线都不共面时，每两条确定一个平面，平面最多，如图正方体的四条侧棱，所以最多可确定6个面.故答案为：6.10．一个平面可将空间分成____________个部分，两个平面最多可将空间分成____________个部分，三个平面最多可将空间分成____________个部分．【答案】248【分析】由平面的性质可借助图形说明．【详解】因为平面是无限延展的，所以一个平面可把空间分成2部分；两个平面平行时，可把空间分成3部分，两个平面相交时，可把空间分成4部分，；综上可知，两个平面最多可把空间分成4部分.三个平面互相平行时，可把空间分成4部分；三个平面中恰有两个平面平行时，可把空间分成6部分，如图（1）；三个平面两两相交于一条直线时，可把空间分成6部分，如图（2）；三个平面两两相交于三条直线且三条直线互相平行，可把空间分成7部分，如图（3）；三个平面两两相交于三条直线，且三条直线交于一点，可把空间分成8部分，如图（4）；综上可知，三个平面最多可把空间分成8部分.故答案为：①2；②4；③8.11．已知四棱锥P ABCD 的8条棱长都相等，任取其中3条棱的中点作平面，截该四棱锥所得的平面图形可能是______（写出所有正确结论的序号）.①等腰三角形；②等腰梯形；③正方形；④正五边形.PA PC ∵，则PO AC ，同理可得故22OA PA PO PB 因为平面四边形ABCD 的四条边相等，故四边形点E 、F 、G 为BP 、AB 对于②：如图所示：分别取PB 、PC 、AB 的中点所以：构成的平面EFG 交CD 因为四边形ABCD 为菱形，则又因为E 、H 分别为AB 、故四边形BCHE 为平行四边形，则所以，//FG EH 且FG EH 对于③，如上图，分别取PA 由已知条件可知KF FG 因为AB AD ，则KF MK 对于各个棱的中点，构成的多边形也不可能得到正五边形，故故答案为：①②③.12．已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1，E 为线段11A D 上的点，过点E 作垂直于1B D 的平面截正方体，其截面图形为M ，下列命题中正确的是______．①M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是17,28；②M 的面积最大值为334；③M 的周长为定值．1B D 平面11A BC ，1B D 平面①当点E 与1A 或1D 重合时，M 周长为32，面积为32，在平面②当点E 与 11A D 不重合时，设∴2EJ t ， 21EF t ，∴ 212EF EJ t t 同理可得：2FG GH ，HI 故M 的周长为定值32．当12t 时，1S M 在平面ABCD 上投影的面积 22221111311,22224S t t t t，由①②知M 在平面ABCD 上投影的面积取值范围是13,24，M 的面积最大值为334，M 的周长为定值故答案为：②③四、解答题13．根据下列符号表示的语句，说明点、线、面之间的位置关系，并画出相应的图形．(1)A ，B ；(2)l ，m A ∩，A l ；(3)P l ，P ，Q l ，Q ．【答案】(1)详情见解析(2)详情见解析(3)详情见解析【分析】（1）（2）（3）根据空间中点、线、面的位置关系画出图形.（1）解：点A 在平面 上，点B 不在平面 上，如下图所示：（2）解：直线l 在平面 上，直线m 与平面 相交于点A ，且点A 不在直线l 上，如下图所示：．（3）解：直线l 经过平面 外一点P 和平面 上一点Q ，如下图所示：题组C 培优拔尖练1．如图，已知ABC 的三个顶点都不在平面 内，它的三边,,AB BC AC 延长后分别交平面 于点,,P Q R ,求证：,,P Q R 三点在同一条直线上．【答案】证明见解析【分析】根据公理3，平面ABC 与平面 必相交于一条直线，设为直线l ，结合平面的性质，即可求解.【详解】证明：由已知AB 的延长线交平面 于点P ，根据公理3，平面ABC 与平面 必相交于一条直线，设为直线l ，因为P 直线AB ，所以P 平面ABC ，又因为AB P ，所以P 平面 ，所以P 是平面ABC 与平面 的公共点．因为平面ABC l ，所以P l ．同理可得：Q l 且R l ．所以,,P Q R 三点在同一条直线上．2．已知空间四边形ABCD 中，,E H 分别是,AB AD 的中点，,F G 分别是,BC CD 上的点，且23CF CG CB CD .求证：（1）,,,E F G H 四点共面；（2）三条直线,,EF GH AC 交于一点.3．如图，已知直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ，11AA ，AB ，2AC ，E ，F 分别为棱1CC ，BC 的中点，G 为线段1AA 的中点（1）试在图中画出过E ，F ，G 三点的平面截该棱柱所得的多边形，并求出该多边形的周长；（2）该截面分三棱柱成两部分，求其中较小那部分几何体的体积.取AB 中点M ，连接MF 、MG 则////GE AC ME ，即M F G 、、、则梯形EFMG 为所求截面的多边形则12,12EG AC MF AC ，2223122MG AM AG222234BC AB AC 22221722EF CE CF 所以该多边形EFMG 的周长为1（2）连接AF ，GF ，4．如图，在三棱柱111ABC A B C -中，112B P PA ，112C Q QA ．求证：直线1AA ，BP ，CQ 相交于一点．5．如图，正方体1111ABCD A B C D 的棱长为4cm ，M N ，分别是11A B 和1CC 的中点．(1)画出过点D M N 、、的平面与平面11BB C C 及平面11AA B B 的两条交线；(2)设过D M N 、、的平面与11B C 交于点P ，求PM +PN 的值．如图示：平面DRMPN 与平面11BB C C 的交线为PN ，平面（2）由N 为1CC 的中点，易得1 △DCN N EC △，所以DC 因为11C MB P P E △∽△，所以11112142MB B P EC C P ，得1C P 所以12C N ，128433C P，114433 B P ，所以6410493 PN ，16213493PM ．所以102133PM PN．。
高中数学必修第二册讲义
高中数学必修二（人教A 版2019)同步讲义与练习6.1平面向量的概念 1 6.2.1向量的加法运算 9 6.2.2向量的减法运算 15 6.2.3向量的数乘运算 20 6.2.4向量的数量积 25 6.3.1平面向量基本定理 30 6.3.2平面向量加、减运算的坐标表示 35 6.3.3平面向量数乘运算的坐标表示 39 6.3.4平面向量数量积的坐标表示 44 6.4.1平面向量的几何、物理应用 48 6.4.2余弦定理 53 6.4.3正弦定理 57 6.4.4余弦定理、正弦定理应用举例 61微专题:平面向量数量积的综合应用 69第六章章末复习 70第六章章末练习1 73第六章章末练习2 76第六章章末测试卷 787.1.1数系的扩充和复数的概念 82 7.1.2复数的几何意义 87 7.2.1复数的加、减运算及其几何意义 91 7.2.2复数的乘、除运算 95第七章章末复习 99第七章章末测试卷 101期中检测试卷（前两章） 1048.1.1棱柱、棱锥、棱台 107 8.1.2圆柱、圆锥、圆台、球、简单组合体 115 8.2 立体图形的直观图 123 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 129 8.3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积 135 8.4.1平 面 140 8.4.2 空间点、直线、平面之间的位置关系 147 8.5.1 直线与直线平行 153 8.5.2 直线与平面平行 160 8.5.3 平面与平面平行 167 8.6.1 直线与直线垂直 174 8.6.2 直线与平面垂直 181 8.6.3 平面与平面垂直 191第八章微专题1 与球有关的内切、外接问题 199第八章微专题2 求二面角的平面角的常见解法 200第八章章末复习 201第八章章末练习1 207第八章章末练习2 209第八章章末检测试卷 213 9.1.1 简单随机抽样 219 9.1.2分层随机抽样 225 9.2.1总体取值规律的估计 231 9.2.2总体百分位数的估计 240 9.2.3总体集中趋势的估计 249 9.2.4总体离散程度的估计 256第九章章末复习 261第九章章末练习 265第九章测试卷 269 10.1.1有限样本空间与随机事件 276 10.1.2事件的关系和运算 282 10.1.3古典概型 288 10.1.4概率的基本性质 293 10.2事件的相互独立性 298 10.3频率与概率 304第十章微专题：古典概型的应用 311第十章章末复习 312第十章章末练习 316第十章末检测试卷 318期末检测试卷(一) 322期末检测试卷(二) 3276.1平面向量的概念知识点一 向量的概念1.向量：既有大小又有方向的量叫做向量.2.数量：只有大小没有方向的量称为数量.知识点二 向量的几何表示1.有向线段：具有方向的线段叫做有向线段，它包含三个要素：起点、方向、长度，如图所示.以A 为起点、B 为终点的有向线段记作AB ，2.向量的表示(1)几何表示：向量可以用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的大小，有向线段的方向表示向量的方向.(2)字母表示：向量可以用字母a ，b ，c ，⋯表示(印刷用黑体a ，b ，c ，书写时用a ，b ，c ).3.模、零向量、单位向量向量AB 的大小，称为向量AB 的长度(或称模)，记作|AB |.长度为0的向量叫做零向量，记作0；长度等于1个单位长度的向量，叫做单位向量.1.思考 “向量就是有向线段，有向线段就是向量”的说法对吗？知识点三 相等向量与共线向量1.平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.(1)记法：向量a 与b 平行，记作a ∥b .(2)规定：零向量与任意向量平行.2.相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量.3.共线向量：由于任一组平行向量都可以平移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量.要注意避免向量平行、共线与平面几何中的直线、线段的平行和共线相混淆.2.思考: (1)平行向量是否一定方向相同？(2)不相等的向量是否一定不平行？(3)与任意向量都平行的向量是什么向量？(4)若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？3.如果|AB |>|CD |，那么AB >CD .()4.若a ，b 都是单位向量，则a =b .()5.力、速度和质量都是向量.()6.零向量的大小为0，没有方向.()一、向量的概念【例1】.(多选)下列说法错误的有()A.向量AB 与向量BA 的长度相等B.两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同C.零向量都是相等的D.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等【跟踪训练1.1】.下列说法中正确的是()A.数量可以比较大小，向量也可以比较大小B.方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小C.向量的大小与方向有关D.向量的模可以比较大小二、向量的几何表示及应用【例2】.一辆汽车从A 点出发向西行驶了100km 到达B 点，然后又改变方向，向西偏北50°的方向走了200km 到达C 点，最后又改变方向，向东行驶了100km 到达D 点.(1)作出向量AB ，BC ，CD ；(2)求|AD |.【跟踪训练2.1】.在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b =a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |=5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？三、相等向量与共线向量【例3】.如图所示，△ABC 的三边均不相等，E ，F ，D 分别是AC ，AB ，BC 的中点.(1)写出与EF 共线的向量；(2)写出模与EF 的模相等的向量；(3)写出与EF 相等的向量.【跟踪训练3.1】.如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心.(1)与OA 的模相等的向量有多少个？(2)是否存在与OA 长度相等、方向相反的向量？若存在，有几个？(3)与OA 共线的向量有几个？四、特殊向量的作用【例4】.给出下列命题：①若a ∥b ，则a 与b 的方向相同或相反；②若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；③若两个模相等的向量互相平行，则这两个向量相等；④若a =b ，b =c ，则a =c ，其中正确的是.(填序号)1.在同一平面内，把所有长度为1的向量的起点固定在同一点，这些向量的终点形成的轨迹是()A.单位圆B.一段弧C.线段D.直线2.(多选)下列说法错误的有()A.共线的两个单位向量相等B.相等向量的起点相同C.若AB ∥CD ，则一定有直线AB ∥CDD.若向量AB ，CD 共线，则点A ，B ，C ，D 必在同一直线上3.若|AB |=|AD |且BA =CD ，则四边形ABCD 的形状为()A.平行四边形 B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形4.如图所示，设O 是正方形ABCD 的中心，则下列结论正确的有.(填序号)①AO =OC ；②AO ∥AC ；③AB 与CD 共线；④AO =BO .5.已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB 是平行向量，与BC 是共线向量，则m =________.1.给出下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤路程；⑥功；⑦加速度.其中是向量的有()A.4个 B.5个C.6个D.7个2.(多选)下列命题中错误的有()A.温度含零上和零下温度，所以温度是向量B.向量的模是一个正实数C.向量a 与b 不共线，则a 与b 都是非零向量D.若|a |>|b |，则a >b3.设O 是△ABC 的外心，则AO ，BO ，CO 是()A.相等向量 B.模相等的向量 C.平行向量 D.起点相同的向量4.如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则两腰上的向量AB 与DC 的关系是()A.AB =DCB.|AB |=|DC |C.AB >DCD.AB <DC5.下列说法正确的是()A.若a ∥b ，则a =b B.若|a |=|b |，则a =b C.若a =b ，则a 与b 共线 D.若a ≠b ，则a 一定不与b 共线6.若A 地位于B 地正西方向5km 处，C 地位于A 地正北方向5km 处，则C 地相对于B 地的位移的大小是km ，方向是.7.已知在边长为2的菱形ABCD 中，∠ABC =60°，则|BD |=.8.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD =120°，则以下说法正确的是.(填序号)①与AB 相等的向量只有1个(不含AB )；②与AB 的模相等的向量有9个(不含AB )；③BD 的模恰为DA 的模的3倍；④CB 与DA 不共线.9.如图所示，在四边形ABCD 中，AB =DC ，N ，M 分别是AD ，BC 上的点，且CN =MA ，求证：DN =MB .10.一辆消防车从A 地去B 地执行任务，先从A 地向北偏东30°方向行驶2千米到D 地，然后从D 地沿北偏东60°方向行驶6千米到达C 地，从C 地又向南偏西30°方向行驶2千米才到达B 地.(1)画出AD ，DC ，CB ，AB ；(2)求B 地相对于A 地的位移.11.如图所示，四边形ABCD ，CEFG ，CGHD 是全等的菱形，则下列结论中不一定成立的是()A.|AB |=|EF |B.AB 与FH 共线C.BD 与EH 共线D.CD =FG12.在如图所示的半圆中，AB 为直径，点O 为圆心，C 为半圆上一点，且∠OCB =30°，|AB |=2，则|AC |=.13.已知在四边形ABCD 中，BC =AD 且|AB |=|BD |=|BC |=2，则该四边形内切圆的面积是.14.一艘海上巡逻艇从港口向北航行了30km ，这时接到求救信号，在巡逻艇的正东方向40km 处有一艘渔船抛锚需救助.试求：(1)巡逻艇从港口出发到渔船出事点所航行的路程；(2)巡逻艇从港口出发到出事地点之间的位移.15.设O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO ，BO 相等的向量；(2)找出与AO共线的向量；(3)找出与AO模相等的向量；(4)向量AO 与CO是否相等？16.如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成，方格纸中有两个定点A ，B .点C 为小正方形的顶点，且|AC|= 5.(1)画出所有的向量AC ；(2)求|BC|的最大值与最小值.6.2.1向量的加法运算知识点一 向量加法的定义及其运算法则1.向量加法的定义求两个向量和的运算，叫做向量的加法.2.向量求和的法则向量求和的法则三角形法则已知非零向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB=a ，BC=b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a +b ，即a +b =AB +BC =AC.这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则.对于零向量与任意向量a ，规定a +0 =0+a =a平行四边形法则以同一点O 为起点的两个已知向量a ，b 为邻边作▱OACB ，则以O 为起点的对角线OC就是a 与b 的和.把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则1.思考 |a +b |与|a |，|b |有什么关系？知识点二向量加法的运算律交换律a +b =b +a 结合律(a +b )+c =a +(b +c )2.0 +a =a +0=a .()3.AB +BC =AC .()4.AB +BA =0 .()5.AB +BC >AC .()6.|AB |+|BC|=|AC |.()一、向量加法法则【例1】.(1)如图①所示，求作向量a +b .(2)如图②所示，求作向量a +b +c .【跟踪训练1.1】.如图所示，O 为正六边形ABCDEF 的中心，化简下列向量.(1)OA +OC =；(2)BC +FE =；(3)OA +FE=.二、向量加法运算律的应用【例2】.化简：(1)BC +AB ；(2)DB +CD +BC ；(3)AB +DF +CD +BC +FA .【跟踪训练2.1】.已知正方形ABCD 的边长等于1，则|AB +AD +BC +DC |=.三、向量加法的实际应用【例3】.河水自西向东流动的速度为10km/h ，小船自南岸沿正北方向航行，小船在静水中的速度为103km/h ，求小船的实际航行速度.【跟踪训练3.1】.如图，用两根绳子把重10N 的物体W 吊在水平杆子AB 上，∠ACW =150°，∠BCW =120°，求A 和B 处所受力的大小.(绳子的重量忽略不计)1.化简CB +AD+BA 等于()A.DBB.CAC.CDD.DC2.下列等式不正确的是()①a +(b +c )=(a +c )+b ；②AB +BA=0；③AC =DC +AB +BD .A.②③B.②C.①D.③3.在四边形ABCD 中，AC =AB +AD，则()A.四边形ABCD 一定是矩形B.四边形ABCD 一定是菱形C.四边形ABCD 一定是正方形D.四边形ABCD 一定是平行四边形4.如图，四边形ABCD 是梯形，AD ∥BC ，对角线AC 与BD 相交于点O ，则OA +BC +AB +DO等于()A.CDB.DCC.DAD.DO5.已知向量a 表示“向东航行3km ”，b 表示“向南航行3km ”，则a +b 表示.1.化简AE +EB +BC等于()A.ABB.BAC.0D.AC2.如图，在正六边形ABCDEF 中，BA +CD +EF等于()A.0B.BEC.ADD.CF3.若正方形ABCD 的边长为1，则|AB +AD|等于()A.1B.2C.3D.224.已知四边形ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是()A.AB +BC =CAB.AB +AC =BCC.AC +BA =ADD.AC +AD =DC5.(多选)下列说法错误的有()A.如果非零向量a 与b 的方向相同或相反，那么a +b 的方向必与a 或b 的方向相同B.在△ABC 中，必有AB +BC +CA =0C.若AB +BC +CA=0，则A ，B ，C 一定为一个三角形的三个顶点D.若a ，b 均为非零向量，则|a +b |=|a |+|b |6.已知AB =a ，BC =b ，CD =c ，DE =d ，AE =e ，则a +b +c +d =________.7.在菱形ABCD 中，∠BAD =60°，|AB |=1，则|BC +CD |=________.8.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是AC 和BD 的交点.(1)AB +AD +CD =________；(2)AC +BA +DA =________.9.如图，已知在▱ABCD 中，O 是两条对角线的交点，E 是CD 的一个三等分点(靠近D 点)，求作：(1)AO +AC ；(2)DE +BA.10.在静水中船的速度为20m /min ，水流的速度为10m /min ，如果船从岸边出发沿垂直于水流的航线到达对岸，求船行进的方向.11.在矩形ABCD 中，|AB |=4，|BC |=2，则向量AB +AD +AC 的长度为()A.25B.45C.12D.612.若在△ABC 中，AB =AC =1，|AB +AC |=2，则△ABC 的形状是()A.正三角形B.锐角三角形C.斜三角形D.等腰直角三角形13.已知点G 是△ABC 的重心，则GA +GB +GC =.14.如图所示，已知电线AO 与天花板的夹角为60°，电线AO 所受拉力|F 1|=24N ，绳BO 与墙壁垂直，所受拉力|F 2|=12N .则F 1和F 2的合力为N .15.如图所示，P ，Q 是△ABC 的边BC 上两点，且BP =QC .求证：AB +AC =AP +AQ.16.如图，已知D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，AC ，AB 的中点，求证：AD +BE +CF =0 .6.2.2向量的减法运算知识点一 相反向量1.定义：与向量a 长度相等，方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作-a .2.性质(1)零向量的相反向量仍是零向量.(2)对于相反向量有：a +(-a )=(-a )+a =0 .(3)若a ，b 互为相反向量，则a =-b ，b =-a ，a +b =0 .知识点二 向量的减法1.定义：向量a 加上b 的相反向量，叫做a 与b 的差，即a -b =a +(-b )，因此减去一个向量，相当于加上这个向量的相反向量，求两个向量差的运算，叫做向量的减法.2.几何意义：在平面内任取一点O ，作OA =a ，OB=b ，则向量a -b =BA ，如图所示.3.文字叙述：如果把两个向量的起点放在一起，那么这两个向量的差是以减向量的终点为起点，被减向量的终点为终点的向量.1.思考 若a ，b 是不共线向量，|a +b |与|a -b |的几何意义分别是什么？2.相反向量就是方向相反的向量.()3.向量AB 与BA是相反向量.()4.a -b =b -a .()5.两个相等向量之差等于0.()一、向量的减法运算【例1】.如图，已知向量a ，b ，c 不共线，求作向量a +b -c .【跟踪训练1.1】.如图所示，O 为△ABC 内一点，OA =a ，OB =b ，OC =c .求作：b +c -a .二、向量减法法则的应用【例2】.(1)化简：(AD -BM)+(BC -MC )=________.(2)如图，P ，Q 是△ABC 的边BC 上的两点，且BP =QC，则化简AB +AC -AP -AQ 的结果为()A.0B.BPC.PQD.PC【跟踪训练2.1】.如图，已知O 为平行四边形ABCD 内一点，OA =a ，OB =b ，OC=c ，则OD =.1.在△ABC 中，若BA =a ，BC=b ，则CA 等于()A.aB.a +bC.b -aD.a -b2.化简OP -QP +PS +SP等于()A.QPB.OQC.SPD.SQ3.已知在四边形ABCD 中，DB -DA=AC -AD ，则四边形ABCD 一定是()A.平行四边形B.菱形C.矩形D.正方形4.下列等式成立的个数是()①a +b =b +a ；②a -b =b -a ；③0-a =-a ；④-(-a )=a ；⑤a +(-a )=0.A.5B.4C.3D.25.(多选)下列各向量运算的结果与AC相等的有()A.AO +OCB.AO -OCC.OA -OCD.OC -OA1.如图所示，在▱ABCD 中，AB =a ，AD =b ，则用a ，b 表示向量AC 和BD分别是()A.a +b 和a -bB.a +b 和b -aC.a -b 和b -aD.b -a 和b +a2.AB -CB -DC +DE等于()A.ABB.AEC.BED.CD3.下列各式中，恒成立的是()A.AB =BAB.a -a =0C.AB -AC =BCD.AB -CB +CA =04.(多选)下列四个式子中可以化简为AB的是()A.AC +CD -BDB.AC -CBC.OA +OBD.OB -OA5.如图，在四边形ABCD 中，设AB =a ，AD =b ，BC =c ，则DC 等于()A.a -b +cB.b -(a +c )C.a +b +cD.b -a +c6.OB -OA -OC -CO =.7.若菱形ABCD 的边长为2，则|AB -CB +CD|=.8.在边长为1的正三角形ABC 中，|AB -BC |的值为.9.如图，已知a ，b ，求作a -b .10.如图所示，已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ，BC =b ，AC =c ，试求：|a -b +c |.11.若|AB |=5，|AC |=8，则|BC|的取值范围是()A.[3,8]B.(3,8)C.[3,13]D.(3,13)12.平面上有三点A ，B ，C ，设m =AB +BC ，n =AB -BC ，若m ，n 的长度恰好相等，则()A.A ，B ，C 三点必在同一直线上B.△ABC 必为等腰三角形且∠ABC 为顶角C.△ABC 必为直角三角形且∠ABC =90°D.△ABC 必为等腰直角三角形13.已知OA =a ，OB =b ，若|OA |=12，|OB |=5，且∠AOB =90°，则|a -b |=.14.如图所示，O 是平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 的交点，设AB =a ，DA =b ，OC =c .证明：b +c -a =OA.15.设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，且|BC |=4，|AB +AC |=|AB -AC |，则|AM |=.16.如图，在五边形ABCDE 中，若四边形ACDE 是平行四边形，且AB =a ，AC =b ，AE =c ，试用a ，b ，c 表示向量BD ，BC ，BE ，CD及CE .6.2.3向量的数乘运算知识点一 向量数乘的定义实数λ与向量a 的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa ，其长度与方向规定如下：(1)|λa |=|λ||a |.(2)λa (a ≠0)的方向当λ>0时，与a 的方向相同；当λ<0时，与a 的方向相反.特别地，当λ=0时，λa =0.当λ=-1时，(-1)a =-a .知识点二 向量数乘的运算律1.(1)λ(μa )=(λμ)a .(2)(λ+μ)a =λa +μa .(3)λ(a +b )=λa +λb .特别地，(-λ)a =-λa =λ(-a )，λ(a -b )=λa -λb .2.向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算，对于任意向量a ，b ，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a ±μ2b )=λμ1a ±λμ2b .知识点三 向量共线定理向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b =λa .1.思考 向量共线定理中为什么规定a ≠0?2.若向量b 与a 共线，则存在唯一的实数λ使b =λa .()3.若b =λa ，则a 与b 共线.()4.若λa =0 ，则a =0 .()5.|λa |=λ|a |.()一、向量的线性运算【例1】.若a =2b +c ，化简3(a +2b )-2(3b +c )-2(a +b )等于( )A.-aB.-bC.-cD.以上都不对【跟踪训练1.1】.若3(x +a )+2(x -2a )-4(x -a +b )=0，则x =.【跟踪训练1.2】.计算：(a +b )-3(a -b )-8a .二、用已知向量表示其他向量【例2】.如图，在▱ABCD 中，E 是BC 的中点，若AB =a ，AD =b ，则DE 等于()A.12a -b B.12a +b C.a +12b D.a -12b 【跟踪训练2.1】.在△ABC 中，若点D 满足BD=2DC ，则AD 等于()A.13AC +23AB B.53AB -23AC C.23AC -13ABD.23AC+13AB 三、向量共线的判定及应用【例3】.设a ，b 是不共线的两个向量.(1)若OA =2a -b ，OB =3a +b ，OC =a -3b ，求证：A ，B ，C 三点共线；(2)若8a +k b 与k a +2b 共线，求实数k 的值.【跟踪训练3.1】.已知向量e 1，e 2不共线，如果AB =e 1+2e 2，BC =-5e 1+6e 2，CD =7e 1-2e 2，则共线的三个点是.四、三点共线的常用结论【例4】.典例 如图所示，在△ABC 中，点O 是BC 的中点.过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M ，N ，若AB =mAM ，AC =nAN，则m +n 的值为()A.1B.2C.3D.41.下列运算正确的个数是()①(-3)·2a =-6a ；②2(a +b )-(2b -a )=3a ；③(a +2b )-(2b +a )=0.A.0B.1C.2D.32.如图，已知AM 是△ABC 的边BC 上的中线，若AB =a ，AC =b ，则AM 等于()A.12(a -b ) B.-12(a -b ) C.12(a +b ) D.-12(a +b )3.设P 是△ABC 所在平面内一点，BC +BA =2BP，则()A.PA +PB =0B.PC +PA =0C.PB +PC =0D.PA +PB +PC =04.化简4(a -3b )-6(-2b -a )=.5.设e 1与e 2是两个不共线向量，AB =3e 1+2e 2，CB =k e 1+e 2，CD=3e 1-2k e 2，若A ，B ，D 三点共线，则k =.1.下列说法中正确的是()A.λa 与a 的方向不是相同就是相反B.若a ，b 共线，则b =λaC.若|b |=2|a |，则b =±2aD.若b =±2a ，则|b |=2|a |2.(多选)下列各式计算正确的有()A.(-7)6a =-42aB.7(a +b )-8b =7a +15bC.a -2b +a +2b =2aD.4(2a +b )=8a +4b3.设e 1，e 2是两个不共线的向量，若向量m =-e 1+k e 2(k ∈R )与向量n=e 2-2e 1共线，则()A.k =0B.k =1C.k =2D.k =124.下列各组向量中，一定能推出a ∥b 的是()①a =-3e ，b =2e ；②a =e 1-e 2，b =e 1+e 22-e 1；③a =e 1-e 2，b =e 1+e 2+e 1+e 22.A.①B.①②C.②③D.①②③5.已知m ，n 是实数，a ，b 是向量，则下列说法中正确的是()①m (a -b )=m a -m b ；②(m -n )a =m a -n a ；③若m a =m b ，则a =b ；④若m a =n a ，则m =n .A.②④B.①②C.①③D.③④6.已知向量a ，b 满足|a |=3，|b |=5，且a =λb ，则实数λ的值是.7.14(a +2b )-16(5a -2b )+14a =.8.设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD =12AB ，BE =23BC .若AB =a ，AC =b ，则DE =.(用a ，b 表示)9.计算：(1)6(3a -2b )+9(-2a +b )；(2)6(a -b +c )-4(a -2b +c )-2(-2a +c ).10.设a ，b 是两个不共线的非零向量，若向量2k a +b 与8a +k b 的方向相反，求k 的值.11.设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB +FC 等于()A.BCB.12ADC.ADD.12BC 12.在△ABC 中，已知D 是AB 边上的一点，若CD =13CA +λCB，则λ等于()A.13B.23C.12D.3413.如果实数p 和非零向量a 与b 满足p a +(p +1)b =0，则向量a 和b .(填“共线”或“不共线”)14.已知在△ABC 中，点M 满足MA +MB +MC =0 ，若存在实数m 使得AB +AC =mAM成立，则m =.15.已知在四边形ABCD 中，AB =a +2b ，BC =-4a -b ，CD =-5a -3b ，求证：四边形ABCD 为梯形.16.设a ，b ，c 为非零向量，其中任意两向量不共线，已知a +b 与c 共线，且b +c 与a 共线，则b 与a +c 是否共线？请证明你的结论.6.2.4向量的数量积知识点一 两向量的夹角与垂直1.夹角：已知两个非零向量a 和b ，O 是平面上的任意一点，作OA =a ，OB=b ，则∠AOB =θ(0≤θ≤π)叫做向量a 与b 的夹角(如图所示).当θ=0时，a 与b 同向；当θ=π时，a 与b 反向.2.垂直：如果a 与b 的夹角是π2，则称a 与b 垂直，记作a ⊥b .知识点二 向量数量积的定义非零向量a ，b 的夹角为θ，数量|a ||b |c os θ叫做向量a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b =|a ||b |c os θ，规定：零向量与任一向量的数量积等于0.1.思考 若a ≠0 ，且a ·b =0，是否能推出b =0 .知识点三 投影向量在平面内任取一点O ，作OM =a ，ON =b ，过点M 作直线ON 的垂线，垂足为M 1，则OM 1就是向量a 在向量b 上的投影向量.设与b 方向相同的单位向量为e ，a 与b 的夹角为θ，则OM 1与e ，a ，θ之间的关系为OM 1=|a |c os θe.知识点四 平面向量数量积的性质设向量a 与b 都是非零向量，它们的夹角为θ，e 是与b 方向相同的单位向量.则(1)a ·e =e·a =|a |·c os θ.(2)a ⊥b ⇔a ·b =0.(3)当a ∥b 时，a ·b =|a ||b |，a 与b 同向，-|a ||b |，a 与b 反向.特别地，a ·a =|a |2或|a |=a ·a .(4)|a ·b |≤|a ||b |.知识点五 平面向量数量积的运算律1.a ·b =b ·a (交换律).2.(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律).3.(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).2.思考 若a ·b =b ·c ，是否可以得出结论a =c ?3.向量a 在向量b 上的投影向量一定与b 共线.()4.若a ·b <0，则a 与b 的夹角为钝角.()5.向量的数量积运算满足(a ·b )·c =a ·(b ·c ).()6.已知a ≠0 ，且a ·c =a ·b ，则b =c .()一、求两向量的数量积【例1】.已知正三角形ABC 的边长为1，求：(1)AB ·AC ；(2)AB ·BC ；(3)BC ·AC .【跟踪训练1.1】.已知|a |=4，|b |=7，且向量a 与b 的夹角为120°，求(2a +3b )·(3a -2b ).二、向量的模和夹角的计算问题【例2】.已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则|a +2b |=.【跟踪训练2.1】.已知非零向量a ，b 满足|a |=1，且(a -b )·(a +b )=34.①求|b |；②当a ·b =-14时，求向量a 与a +2b 的夹角θ的值.【跟踪训练2.2】.已知|a |=|b |=2，(a +2b )·(a -b )=-2，求a 与b 的夹角.三、与垂直有关的问题【例3】.已知非零向量m ，n 满足4|m |=3|n |，m 与n 夹角的余弦值为13，若n ⊥(tm +n )，则实数t 的值为()A.4B.-4C.94D.-94【跟踪训练3.1】.已知向量a ，b ，且|a |=1，|b |=2，(a +2b )⊥(3a -b )，求向量a 与b 夹角的大小.1.对于任意向量a ，b ，c ，下列命题中正确的是()A.|a ·b |=|a ||b |B.|a +b |=|a |+|b |C.(a ·b )c =a (b ·c )D.|a |=a 22.(多选)已知两个单位向量e 1，e 2的夹角为θ，则下列结论正确的是()A.e 1在e 2方向上的投影向量为c os θe 2B.e 21=e 22C.(e 1+e 2)⊥(e 1-e 2)D.e 1·e 2=13.设e 1和e 2是互相垂直的单位向量，且a =3e 1+2e 2，b =-3e 1+4e 2，则a ·b 等于()A.-2B.-1C.1D.24.已知向量a ，b 满足|a |=2，|b |=1，a ·b =1，则向量a 与a -b 的夹角为_.5.已知|a |=3，|b |=5，且a ·b =12，与b 同向的单位向量为e ，则向量a 在向量b 的方向上的投影向量为.1.已知|a |=1，|b |=2，a 与b 的夹角为π3，则a ·b 等于()A.1B.2C.3D.42.在等腰直角三角形ABC 中，若∠C =90°，AC =2，则BA ·BC的值等于( )A.-2B.2C.-22D.223.已知a ，b 方向相同，且|a |=2，|b |=4，则|2a +3b |等于()A.16B.256C.8D.644.已知|a |=8，与a 同向的单位向量为e ，|b |=4，a ，b 的夹角为120°，则向量b 在向量a 方向上的投影向量为()A.4eB.-4eC.2eD.-2e5.设向量a ，b 满足|a +b |=10，|a -b |=6，则a ·b 等于()A.1B.2C.3D.56.已知在△ABC 中，AB =AC =4，AB ·AC =8，则△ABC 的形状是.7.已知a ⊥b ，|a |=2，|b |=3，且3a +2b 与λa -b 垂直，则λ=.8.已知向量OA ⊥AB ，|OA |=3，则OA ·OB =.9.已知向量a ，b 的夹角为60°，且|a |=2，|b |=1，若c =2a -b ，d =a +2b ，求：(1)c ·d ；(2)|c +2d |.10.已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且c os α=13，向量a =3e 1-2e 2与b =3e 1-e 2的夹角为β，求β的余弦值.11.在△ABC 中，AB =6，O 为△ABC 的外心，则AO ·AB等于()A.6B.6C.12D.1812.已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC =60°，则BD ·CD等于()A.-32a 2B.-34a 2 C.34a 2 D.32a 213.已知平面上三点A ，B ，C 满足|AB |=3，|BC |=4，|CA |=5，则AB ·BC +BC ·CA+CA ·AB的值等于()A.-7B.7C.25D.-2514.已知a 是平面内的单位向量，若向量b 满足b ·(a -b )=0，则|b |的最小值为，最大值为.15.已知a，b是单位向量，a·b=0，若向量c满足|c-b-a|=1，则|c|的取值范围为()A.[2-1，2+1]B.[2-1，2+2]C.[1，2+1]D.[1，2+2]16.已知平面上三个向量a，b，c的模均为1，它们相互之间的夹角均为120°.(1)求证：(a-b)⊥c；(2)若|k a+b+c|>1(k∈R)，求k的取值范围.6.3.1平面向量基本定理知识点 平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a =λ1e 1+λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一个基底.()2.{0 ，e}可以作为基底.()3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.()4.若e 1，e 2是同一平面内两个不共线向量，则λ1e 1+λ2e 2(λ1，λ2为实数)可以表示该平面内所有向量.()一、平面向量基本定理的理解【例1】.(多选)设{e 1，e 2}是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中，能作为基底的是()A.e 1+e 2和e 1-e 2B.3e 1-4e 2和6e 1-8e 2C.e 1+2e 2和2e 1+e 2D.e 1和e 1+e 2【跟踪训练1.1】.已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x -4y )a +(2x -3y )b =6a +3b ，则x -y =.二、用基底表示向量【例2】.如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB =2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD =a ，AB =b ，试用{a ，b }为基底表示DC ，EF ，FC .延伸探究 1.本例中若取BC 的中点G ，则AG =.2.本例中若EF 的中点为H ，试表示出BH .【跟踪训练2.1】.如图，在正方形ABCD 中，设AB =a ，AD =b ，BD =c ，则以{a ，b }为基底时，AC 可表示为，以{a ，c }为基底时，AC 可表示为.1.设点O 是平行四边形ABCD 两对角线的交点，下列向量组：①AD 与AB ；②DA 与BC ；③CA 与DC ；④OD 与OB .其中可作为该平面其它向量基底的是()A.①②B.①③C.①④D.③④2.如果{e 1，e 2}是平面α内所有向量的一个基底，那么下列说法正确的是()A.若存在实数λ1，λ2使λ1e 1+λ2e 2=0，则λ1=λ2=0B.对空间任意向量a 都可以表示为a =λ1e 1+λ2e 2，其中λ1，λ2∈RC.λ1e 1+λ2e 2(λ1，λ2∈R )不一定在平面α内D.对于平面α内任意向量a ，使a =λ1e 1+λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对3.给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量.其中，说法正确的为()A.①②B.②③C.①③D.①②③4.在△ABC 中，若AD =12(AB +AC )，则下列关系式正确的是()A.BD =2CDB.BD =CDC.BD =3CDD.CD =2BD 5.如图，▱ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，AB =a ，AD =b ，试用基底{a ，b }表示MC，MA ，MB .1.如图所示，用向量e 1，e 2表示向量a -b 为()A.-4e 1-2e 2B.-2e 1-4e 2C.e 1-3e 2D.3e 1-e 22.如图所示，在矩形ABCD 中，BC =5e 1，DC =3e 2，则OC 等于()A.12(5e 1+3e 2) B.12(5e 1-3e 2) C.12(3e 2-5e 1) D.12(5e 2-3e 1)3.如图，在△ABC 中，AD =13AC ，BP =23BD ，若AP =λAB +μAC，则λμ等于()A.32B.23C.3D.134.设{a ，b }为基底，已知向量AB =a -k b ，CB =2a +b ，CD=3a -b ，若A ，B ，D 三点共线，则实数k 的值等于()A.2B.-2C.10D.-105.(多选)若{e 1，e 2}是平面内的一个基底，则下列四组向量不能作为平面向量的基底的是()A.{e 1-e 2，e 2-e 1}B.2e 1-e 2，e 1-12e 2C.{2e 2-3e 1，6e 1-4e 2}D.{e 1+e 2，e 1+3e 2}6.已知e 1，e 2不共线，a =e 1+2e 2，b =2e 1+λe 2，要使{a ，b }能作为平面内的一个基底，则实数λ的取值范围为.7.已知λ1>0，λ2>0，{e 1，e 2}是一个基底，且a =λ1e 1+λ2e 2，则a 与e 1，a 与e 2.(填“共线”或“不共线”)8.已知向量a 在基底{e 1，e 2}下可以表示为a =2e 1+3e 2，若a 在基底{e 1+e 2，e 1-e 2}下可表示为a =λ(e 1+e 2)+μ(e 1-e 2)，则λ=，μ=.9.已知G 为△ABC 的重心，设AB =a ，AC =b .试用a ，b 表示向量AG.10.在△ABC 中，点D ，E ，F 依次是边AB 的四等分点，试以CB =e 1，CA =e 2表示CF .11.若OP 1=a ，OP 2=b ，P 1P =λPP 2(λ≠-1)，则OP 等于()A.a +λbB.λa +(1-λ)bC.λa +bD.11+λa +λ1+λb 12.已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 是△ABC 的重心，动点P 满足OP =1312OA +12OB +2OC，则点P 一定为()A.AB 边中线的中点B.AB 边中线的三等分点(非重心)C.△ABC 的重心D.AB 边的中点13.已知a =e 1+e 2，b =2e 1-e 2，c =-2e 1+4e 2(e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量)，则c =.(用a ，b 表示)14.如图，在△MAB 中，C 是边AB 上的一点，且AC =5CB ，设MA =a ，MB=b ，则MC =.(用a ，b 表示)15.已知单位圆O 上的两点A ，B 及单位圆所在平面上的一点P ，OA 与OB 不共线.(1)在△OAB 中，若点P 在AB 上，且AP =2PB，若AP =rOB +sOA ，求r +s 的值；(2)点P 满足OP=mOA +OB (m 为常数)，若四边形OABP 为平行四边形，求m 的值.16.如图，平面内有三个向量OA ，OB ，OC ，其中OA 与OB 的夹角为120°，OA 与OC 的夹角为30°，且|OA |=|OB |=1，|OC |=2 3.若OC =λOA +μOB(λ，μ∈R )，求λ+μ的值.6.3.2平面向量加、减运算的坐标表示知识点一 平面向量的正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.知识点二 平面向量的坐标表示1.在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a =x i +y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a =(x ，y ).2.在直角坐标平面中，i =(1,0)，j =(0,1)，0=(0,0).1.思考 点的坐标与向量坐标有什么区别和联系？知识点三 平面向量加、减运算的坐标表示设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，数学公式文字语言表述向量加法a +b =(x 1+x 2，y 1+y 2)两个向量和的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和向量减法a -b =(x 1-x 2，y 1-y 2)两个向量差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的差已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB=(x 2-x 1，y 2-y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标.2.零向量的坐标是(0,0).()3.两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同.()4.当向量的始点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标.()5.向量可以平移，平移前后它的坐标发生变化.()。
人教版高中数学必修二全册完整教案
人教版高中数学必修二全册完整教案第一章直线与函数1.1 直线的方程1.1.1 直线的斜率- 定义直线的斜率- 计算直线的斜率的公式- 利用斜率求直线上两点的坐标1.1.2 斜率的性质- 平行线的斜率相等- 垂直线的斜率的乘积为-11.2 一次函数1.2.1 一次函数的概念- 定义一次函数- 一次函数的图像特征1.2.2 一次函数的性质- 一次函数的图像是一条直线- 一次函数的零点和函数值1.3 函数的概念与性质1.3.1 函数的定义- 定义函数的概念- 函数的自变量和因变量1.3.2 函数的性质- 函数的奇偶性- 函数的单调性- 函数的周期性第二章二次函数2.1 二次函数的概念2.1.1 二次函数的定义- 定义二次函数- 二次函数的特征2.1.2 二次函数的图像- 二次函数的开口方向- 二次函数的对称轴2.2 二次函数的图像与性质2.2.1 二次函数图像的平移- 二次函数图像的平移规律- 利用平移法画出二次函数的图像2.2.2 二次函数的最值- 二次函数的最值与对称轴的关系- 求解二次函数的最值2.3 一元二次方程2.3.1 一元二次方程的概念- 定义一元二次方程- 一元二次方程的解的概念2.3.2 二次方程的解法- 利用因式分解法求解一元二次方程- 利用配方法求解一元二次方程第三章数据统计与概率3.1 统计的基本概念3.1.1 总体与样本- 定义总体和样本的概念- 总体与样本的区别和联系3.1.2 统计量- 定义统计量- 常用的统计量3.2 统计图3.2.1 条形图与折线图- 绘制条形图和折线图的步骤- 根据统计图分析数据3.2.2 饼图与频数分布直方图- 绘制饼图和频数分布直方图的步骤- 利用饼图和频数分布直方图分析数据3.3 概率与概率统计3.3.1 概率的定义和性质- 定义概率的概念- 概率的性质和运算法则3.3.2 随机变量和概率分布- 定义随机变量- 描述随机变量的概率分布这份文档包含了《人教版高中数学必修二》全册的完整教案。
人教A版高中数学必修二讲义第八章 8.6 8.6.3 第2课时
第2课时平面与平面垂直的性质知识点平面与平面垂直的性质定理平面与平面垂直的其他性质与结论( 1)如果两个平面互相垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．即α⊥β,A∈α,A∈b,b⊥β⇒b⊂α.( 2)如果两个平面互相垂直,那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面．即α⊥β,γ∥β⇒γ⊥α.( 3)如果两个平面互相垂直,那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内．即α⊥β,b⊥β⇒b∥α或b⊂α.( 4)如果两个相交平面都垂直于第三个平面,那么它们的交线垂直于第三个平面,即α∩β＝l,α⊥γ,β⊥γ⇒l⊥γ.( 5)三个两两垂直的平面的交线也两两垂直,即α⊥β,α∩β＝l,β⊥γ,β∩γ＝m,γ⊥α,γ∩α＝n⇒l⊥m,m⊥n,l⊥n.1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”)( 1)如果两个平面垂直,那么一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．( )( 2)如果两个平面垂直,那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内．( )( 3)平面α⊥平面β,平面β⊥平面γ,则平面α⊥平面γ.( )答案( 1)×( 2)√( 3)×2．做一做( 1)在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中,已知平面AA1C1C⊥平面ABCD,且AB＝BC,AD＝CD,则BD与CC1( )A．平行B．共面C．垂直D．不垂直( 2)如图所示,平面α⊥平面β,α∩β＝l,点A∈平面α,AB⊥l,垂足为B,C∈平面β,若AB＝3,BC＝4,则AC＝________.答案( 1)C( 2)5题型一面面垂直性质的应用例1如图所示,P是四边形ABCD所在平面外的一点,四边形ABCD是∠DAB ＝60°且边长为a的菱形．侧面P AD为正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.( 1)若G为AD边的中点,求证:BG⊥平面P AD;( 2)求证:AD⊥PB.[证明]( 1)如图,连接PG,BD,∵四边形ABCD是菱形且∠DAB＝60°,∴△ABD是正三角形,∵G为AD的中点,∴BG⊥AD.又平面P AD⊥平面ABCD,且平面P AD∩平面ABCD＝AD,BG⊂平面ABCD, ∴BG⊥平面P AD.( 2)由( 1)可知BG⊥AD,由P AD为正三角形,G为AD的中点,∴PG⊥AD.又PG∩BG＝G,∴AD⊥平面PBG,∴AD⊥PB.应用面面垂直证明线面垂直应注意的问题( 1)证明线面垂直,一种方法是利用线面垂直的判定定理,再一种方法是利用面面垂直的性质定理,本题已知面面垂直,故可考虑面面垂直的性质定理．利用面面垂直的性质定理,证明线面垂直的问题时,要注意以下三点:①两个平面垂直;②直线必须在其中一个平面内;③直线必须垂直于它们的交线．( 2)在应用线面平行、垂直的判定和性质定理证明有关问题时,在善于运用转化思想的同时,还应注意寻找线面平行、垂直所需的条件．如图,在三棱锥V－ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC＝BC＝2,O,M分别为AB,VA的中点．( 1)求证:VB∥平面MOC;( 2)求证:平面MOC⊥平面VAB;( 3)求三棱锥V－ABC的体积．解( 1)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点,∴OM∥VB.∵VB⊄平面MOC,OM⊂平面MOC,∴VB∥平面MOC.( 2)证明:∵AC＝BC,O为AB的中点,∴OC⊥AB.又平面VAB⊥平面ABC,且平面VAB∩平面ABC＝AB,OC⊂平面ABC, ∴OC⊥平面VAB.∵OC⊂平面MOC,∴平面MOC⊥平面VAB.( 3)在等腰直角△ACB中,AC＝BC＝2,∴AB＝2,OC＝1,∴S△VAB＝34AB2＝ 3.∵OC⊥平面VAB,∴V三棱锥C－VAB＝13OC·S△VAB ＝13×1×3＝33,∴V三棱锥V－ABC＝V三棱锥C－VAB＝33.题型二线面垂直与面面垂直的综合应用例2如图,在四棱锥P－ABCD中,底面ABCD是∠DAB＝60°且边长为a的菱形,侧面P AD为正三角形,且其所在平面垂直于底面ABCD.( 1)求证:AD⊥PB;( 2)若E为BC边的中点,则能否在棱上找到一点F,使平面DEF⊥平面ABCD?并证明你的结论．[详解]( 1)证明:设G为AD的中点,连接PG,BG,如图．∵△P AD为正三角形,∴PG⊥AD.在菱形ABCD中,∠DAB＝60°,G为AD的中点,∴BG⊥AD.又BG∩PG＝G,∴AD⊥平面PGB.∵PB⊂平面PGB,∴AD⊥PB.( 2)当F为PC的中点时,满足平面DEF⊥平面ABCD.证明如下:在△PBC中,FE∥PB.在菱形ABCD中,GB∥DE.又FE⊂平面DEF,DE⊂平面DEF,EF∩DE＝E,PB⊂平面PGB,GB⊂平面PGB,PB∩GB＝B,∴平面DEF∥平面PGB.由( 1)得PG⊥平面ABCD,而PG⊂平面PGB,∴平面PGB⊥平面ABCD,∴平面DEF⊥平面ABCD.( 1)空间中的垂直关系有线线垂直、线面垂直、面面垂直,这三种关系不是孤立的,而是相互关联的．它们之间的转化关系如下:线线垂直判定定理线面垂直定义线面垂直判定定理性质定理面面垂直( 2)空间问题化成平面问题是解决立体几何问题的一个基本原则,解题时,要抓住几何图形自身的特点,如等腰( 边)三角形的三线合一、中位线定理、菱形的对角线互相垂直等．还可以通过解三角形,产生一些题目所需要的条件,对于一些较复杂的问题,注意应用转化思想解决问题．如图,A,B,C,D为空间四点,在△ABC中,AB＝2,AC＝BC＝2,等边三角形ADB 以AB为轴转动．( 1)当平面ADB⊥平面ABC时,求CD;( 2)当△ADB转动时,是否总有AB⊥CD?证明你的结论．解( 1)如图,取AB的中点E,连接DE,CE,因为△ADB是等边三角形,所以DE ⊥AB.当平面ADB⊥平面ABC时,因为平面ADB∩平面ABC＝AB,所以DE⊥平面ABC,又CE⊂平面ABC,所以DE⊥CE.由已知可得DE＝3,EC＝1.在Rt△DEC中,CD＝DE2＋EC2＝2.( 2)当△ADB以AB为轴转动时,总有AB⊥CD.证明:①当D在平面ABC内时,因为AC＝BC,AD＝BD,所以C,D都在线段AB的垂直平分线上,即AB⊥CD.②当D不在平面ABC内时,由( 1)知AB⊥DE.又因为AC＝BC,所以AB⊥CE.又因为DE,CE为相交直线,所以AB⊥平面CDE.由CD⊂平面CDE,得AB⊥CD.综上所述,总有AB⊥CD.1．若α⊥β,α∩β＝l,点P∈α,P∉l,则下列命题中正确的为( )①过点P垂直于l的平面垂直于β;②过点P垂直于l的直线垂直于β;③过点P垂直于α的直线平行于β;④过点P垂直于β的直线在α内．A．①③B．②④C．①②④D．①③④答案 D详细解析当过点P垂直于l的直线不在α内时,l与β不垂直,故②不正确;①③④正确．2．已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β＝m,n⊂α,要使n⊥β,则应增加的条件是( )A．m∥n B．n⊥mC．n∥αD．n⊥α答案 B详细解析根据平面与平面垂直的性质定理判断．已知直线m,n和平面α,β,若α⊥β,α∩β＝m,n⊂α,应增加条件n⊥m,才能使n⊥β.3．如图,四边形ABCD中,AD∥BC,AD＝AB,∠BCD＝45°,∠BAD＝90°,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,构成几何体A－BCD,则在几何体A－BCD中,下列结论正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC答案 D详细解析由已知得BA⊥AD,CD⊥BD,又平面ABD⊥平面BCD,∴CD⊥平面ABD,从而CD⊥AB,故AB⊥平面ADC.又AB⊂平面ABC,∴平面ABC⊥平面ADC.4．如图,在三棱锥P－ABC内,侧面P AC⊥底面ABC,且∠P AC＝90°,P A＝1,AB ＝2,则PB＝________.答案 5详细解析因为侧面P AC⊥底面ABC,交线为AC,∠P AC＝90°( 即P A⊥AC),所以P A⊥平面ABC,所以P A⊥AB,所以PB＝P A2＋AB2＝1＋4＝ 5.5．如图所示,在三棱锥P－ABC中,E,F分别为AC,BC边的中点．( 1)求证:EF∥平面P AB;( 2)若平面P AC⊥平面ABC,且P A＝PC,∠ABC＝90°.求证:平面PEF⊥平面PBC.证明( 1)∵E,F分别为AC,BC边的中点,∴EF∥AB.又EF⊄平面P AB,AB⊂平面P AB,∴EF∥平面P AB.( 2)∵P A＝PC,E为AC的中点,∴PE⊥AC.又平面P AC⊥平面ABC, PE⊂平面P AC,∴PE⊥平面ABC,∴PE⊥BC.又F为BC的中点,∴EF∥AB.∵∠ABC＝90°,∴AB⊥BC,∴BC⊥EF.∵EF∩PE＝E,∴BC⊥平面PEF.∵BC⊂平面PBC,∴平面PEF⊥平面PBC.。
人教A版高中数学必修二讲义第七章 7.1 7.1.2
7.1.2 复数的几何意义知识点一 复平面的相关概念如图,点Z 的横坐标是a ,纵坐标是b ,复数z ＝a ＋b i 可用点Z ( a ,b )表示．这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做□01复平面,x 轴叫做□02实轴,y 轴叫做□03虚轴．复数集C 中的数与复平面内的点建立了一一对应关系,即复数z ＝a ＋b i一一对应复平面内的点Z ( a ,b )．知识点二 复数的向量表示如图,设复平面内的点Z 表示复数z ＝a ＋b i,连接OZ ,显然向量OZ →是由□01点Z唯一确定的;反过来,点Z 也可以由向量□02OZ→唯一确定．复数集C 中的数与复平面内以原点为起点的向量建立了一一对应关系( 实数0与零向量对应),即复数z ＝a ＋b i一一对应平面向量OZ→.这是复数的另一种几何意义,并且规定相等的向量表示□03同一个复数． 知识点三 复数的模的定义公式向量OZ→的模叫做复数z ＝a ＋b i 的模或绝对值,记作□01|z |或□02|a ＋b i|,即|z |＝|a＋b i|＝a 2＋b 2( a ,b ∈R )．如果b ＝0,那么z ＝a ＋b i 是一个实数□03a ,它的模等于□04|a |( a 的□05绝对值)． 知识点四 共轭复数一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫做互为□01共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫□02共轭虚数．1．复数的向量表示( 1)任何一个复数z ＝a ＋b i 与复平面内一点Z ( a ,b )对应,而任一点Z ( a ,b )又可以与以原点为起点,点Z ( a ,b )为终点的向量OZ→对应,这些对应都是一一对应,即( 2)这种对应关系架起了联系复数与详细解析几何的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决( 即数形结合法),增加了解决复数问题的途径．讨论复数的运算性质和应用时,可以在复平面内,用向量方法进行．2．共轭复数的性质( 1)两个共轭复数的对应点关于实轴对称． ( 2)实数的共轭复数是它本身,即z ＝z －⇔z ∈R . 利用这个性质,可以证明一个复数是实数． ( 3)z z －＝|z |2＝|z －|2∈R . z 与z －互为实数化因式．1．判一判( 正确的打“√”,错误的打“×”) ( 1)在复平面内,对应于实数的点都在实轴上．( ) ( 2)在复平面内,虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．( ) ( 3)复数的模一定是正实数．( )( 4)两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件．( ) 答案 ( 1)√ ( 2)× ( 3)× ( 4)× 2．做一做( 1)若OZ →＝( 0,－3),则OZ →对应的复数为________． ( 2)复数z ＝1－4i 位于复平面上的第________象限． ( 3)复数3i 的模是________．( 4)复数5＋6i 的共轭复数是________． 答案 ( 1)－3i ( 2)四 ( 3)3 ( 4)5－6i题型一 复平面内复数与点的对应例1 在复平面内,若复数z ＝( m 2－m －2)＋( m 2－3m ＋2)i 对应点( 1)在虚轴上;( 2)在第二象限;( 3)在直线y ＝x 上,分别求实数m 的取值范围．[详解] 复数z ＝( m 2－m －2)＋( m 2－3m ＋2)i 的实部为m 2－m －2,虚部为m 2－3m ＋2.( 1)由题意得m 2－m －2＝0,解得m ＝2或m ＝－1.( 2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2－m －2<0，m 2－3m ＋2>0，∴⎩⎪⎨⎪⎧－1<m <2，m >2或m <1，∴－1<m <1.( 3)由已知得m 2－m －2＝m 2－3m ＋2,∴m ＝2.复数集与复平面内所有的点所成的集合之间存在着一一对应关系．每一个复数都对应着一个有序实数对,复数的实部对应着有序实数对的横坐标,而虚部则对应着有序实数对的纵坐标,只要在复平面内找到这个有序实数对所表示的点,就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．实数m 取什么值时,复数z ＝( m 2＋5m ＋6)＋( m 2－2m －15)i. ( 1)对应的点在x 轴上方;( 2)对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上． 解 ( 1)由题意得m 2－2m －15>0, 解得m <－3或m >5,所以当m <－3或m >5时,复数z 对应的点在x 轴上方． ( 2)由题意得( m 2＋5m ＋6)＋( m 2－2m －15)＋4＝0,解得m ＝1或m ＝－52,所以当m ＝1或m ＝－52时, 复数z 对应的点在直线x ＋y ＋4＝0上. 题型二 复平面内复数与向量的对应例2 已知平行四边形OABC 的三个顶点O ,A ,C 对应的复数分别为0,3＋2i,－2＋4i,试求:( 1)AO→表示的复数;( 2)CA →表示的复数;( 3)点B 对应的复数．[详解] 由题意得O 为原点,OA →＝( 3,2),OC →＝( －2,4)．( 1)∵AO→＝－OA →＝－( 3,2)＝( －3,－2) ∴AO→表示的复数为－3－2i. ( 2)∵CA→＝OA →－OC →＝( 3,2)－( －2,4)＝( 5,－2), ∴CA→表示的复数为5－2i. ( 3)∵OB→＝OA →＋OC →＝( 3,2)＋( －2,4)＝( 1,6), ∴OB→表示的复数为1＋6i, 即点B 对应的复数为1＋6i.复数与平面向量一一对应是复数的另一个几何意义,利用这个几何意义,复数问题可以转化为平面向量来解决,平面向量问题也可以用复数方法来求解．( 1)复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA →与OB →,则向量AB →表示的复数是________;( 2)在复平面内,O 为原点,向量OA →对应复数为－1＋2i,则点A 关于直线y ＝－x对称点为B ,向量OB→对应复数为________．答案 ( 1)－6－8i ( 2)－2＋i详细解析 ( 1)因为复数4＋3i 与－2－5i 分别表示向量OA→与OB →,所以OA →＝( 4,3),OB→＝( －2,－5),又AB →＝OB →－OA →＝( －2,－5)－( 4,3)＝( －6,－8),所以向量AB →表示的复数是－6－8i.( 2)点A ( －1,2)关于直线y ＝－x 对称的点为B ( －2,1),所以OB→＝－2＋i.题型三 复数模的综合应用例3 设z ∈C ,则满足条件|z |＝|3＋4i|的复数z 在复平面上对应的点Z 的集合是什么图形?[详解] 由|z |＝|3＋4i|得|z |＝5.这表明向量OZ→的长度等于5,即点Z 到原点的距离等于5.因此满足条件的点Z 的集合是以原点O 为圆心,以5为半径的圆．巧用复数的几何意义解题( 1)复平面内|z |的意义我们知道,在实数集中,实数a 的绝对值,即|a |是表示实数a 的点与原点O 间的距离．那么在复数集中,类似地,有|z |是表示复数z 的点Z 到坐标原点间的距离．也就是向量OZ→的模,|z |＝|OZ →|.( 2)复平面内任意两点间的距离设复平面内任意两点P ,Q 所对应的复数分别为z 1,z 2,则|PQ |＝|z 2－z 1|. 运用以上性质,可以通过数形结合的方法解决有关问题．设z ∈C ,且满足下列条件,在复平面内,复数z 对应的点Z 的集合是什么图形? ( 1)1<|z |<2; ( 2)|z －i|<1.解 ( 1)根据复数模的几何意义可知,复数z 对应的点Z 的集合是以原点O 为圆心,以1和2为半径的两圆所夹的圆环,不包括环的边界．( 2)根据模的几何意义,|z －i|＝1表示复数z 对应的点到复数i 对应的点( 0,1)的距离为1.∴满足|z －i|＝1的点Z 的集合为以( 0,1)为圆心,以1为半径的圆内的部分( 不含圆的边界)．1．已知a ∈R ,且0<a <1,i 为虚数单位,则复数z ＝a ＋( a －1)i 在复平面内所对应的点位于( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限答案 D详细解析 ∵0<a <1,∴a >0且a －1<0,故复数z ＝a ＋( a －1)i 在复平面内所对应的点( a ,a －1)位于第四象限．故选D ．2．复数z ＝( a 2－2a )＋( a 2－a －2)i 对应的点在虚轴上,则( ) A ．a ≠2或a ≠1 B ．a ≠2且a ≠1 C ．a ＝0 D ．a ＝2或a ＝0答案 D详细解析 由点Z 在虚轴上可知,点Z 对应的复数是纯虚数和0,∴a 2－2a ＝0,解得a ＝2或a ＝0.3．已知复数z ＝1＋2i( i 是虚数单位),则|z |＝________. 答案5详细解析 因为z ＝1＋2i,所以|z |＝12＋22＝ 5. 4．已知复数z ＝3＋a i,且|z |<5,则实数a 的取值范围是________． 答案 －4<a <4 详细解析 |z |＝32＋a 2<5,解得－4<a <4.5．如果复数z ＝( m 2＋m －1)＋( 4m 2－8m ＋3)i( m ∈R )对应的点在第一象限,求实数m 的取值范围．解 因为复数z 对应的点在第一象限,所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1>0，4m 2－8m ＋3>0，解得m <－1－52或m >32.所以实数m 的取值范围为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－1－52∪⎝⎛⎭⎪⎫32，＋∞.。