等比数列的前n项和第二课时2

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人教版高中数学选择性必修第二册4.3.2等比数列的前n项和公式(2课时)

请做：课时作业（十三）
4．等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，已知 S1，2S2，3S3 成等 1
差数列，则{an}的公比为___3_____．
解析由题意得 2(2S2)＝S1＋3S3，即 4S2＝S1＋3S3，很明显公比 q≠1，则 4·a1（11－－qq2）＝a1＋3·a1（11－－qq3），解得 q＝13.
列的公比，即SS偶奇＝q. (3)若一个非常数列{an}的前 n 项和 Sn＝Aqn－A(A≠0，q≠0，
n∈N*)，则数列{an}为等比数列，即 Sn＝Aqn－A⇔数列{an}为等比数列．
(4)若数列{an}是公比为 q 的等比数列，则 Sn＋m＝Sn＋qn·Sm.
思考题 1 已知等比数列{an}，an>0，S3＝6，a7＋a8＋a9＝
A．X＋Z＝2Y C．Y2＝XZ
B．Y(Y－X)＝Z(Z－X) D．Y(Y－X)＝X(Z－X)
解析根据等比数列的性质：若{an}是等比数列，则 Sn，S2n－Sn，S3n－S2n 也成等比数列．据此 X，Y－X，Z－Y 成等比数列．故(Y－X)2＝X(Z－Y)，整理得 Y(Y－X)＝X(Z－X)．故选 D.
解得ad1＝＝31，，或da1＝＝－8，4. 因此 Sn＝12n(3n－1)或 Sn＝2n(5－n)．
探究 2 在等差数列{an}中，通常把首项 a1 和公差 d 作为基本量，在等比数列{bn}中，通常把首项 b1 和公比 q 作为基本量，列关于基本量的方程(组)是解决等差数列和等比数列问题的常用方法．
探究 3 在弄不清一个等比数列的公比是不是等于 1 时，要分两种情况讨论．(这种情况经常发生在公比 q 用字母表示时)
q＝1 时，不能用公式 Sn＝a1（11－－qqn）及 Sn＝a11－－aqnq求和； q≠1 时，也不能用公式 Sn＝na1 求和．

2.5 等比数列的前n项和(共2课时)

变式训练 1 在等比数列{an}中， Sn＝a1＋a2＋„＋an，若 S10＝5， S20＝15，则 S30＝__________.
[解析]
S10＝5，S20－S10＝10，又∵S10，S20－S10，S30
－S20 成等比数列，∴(S20－S10)2＝S10· (S30－S20)，即 100＝ 5(S30－15)．解得 S30＝35 1 2 3 [解] 设 Sn＝＋ 2＋ 3＋„＋ n， 2 2 2 2 n－1 n 1 1 2 则有 Sn＝ 2＋ 3＋„＋ n ＋ n＋1， 2 2 2 2 2 n 1 1 1 1 1 两式相减，得 Sn－ Sn＝＋ 2＋ 3＋„＋ n－ n＋1， 2 2 2 2 2 2 1 1 1－ n 2 2 n n 1 1 即 Sn＝－ n＋1＝1－ n－ n＋1. 2 1 2 2 2 1－ 2 n＋2 n ∴Sn＝2－ n－1－ n＝2－ n . 2 2 2 1
= a 1+ q ( S n - a n )
a1 anq Sn 1 q
经过计算，我们得到麦粒总数是
1 2 4 8 2 2 1(粒).
63 64
=18446744073709551615（粒）已知麦子每千粒约为40克，则折合约为 737869762948382064克≈7378.7亿吨
国王有能力满足发明者的要求吗？
分析：由于每个格子里的麦粒数都是前一个格子里的麦粒数的2倍，且共有64个格子，各个格子里的麦粒数依次是
1, 2, 2 , 2 , , 2 ,
于是发明者要求的麦粒总数就是
2
3
63
如何求出该数列的和？
63
1 2 2 2 2 2 .

等比数列前n项公式2课件

（3）求证：数列{bn }是等比数列；（4）记 dn
an bn ,求{dn }的前 n项和 Sn 。
6
探究1：
1. 等比数列通项an与前n项和Sn的关系？
{an}是等比数列
Sn Aq B
n
其中A 0, q 1, A B 0.
练习1：
若等比数列{an}中，Sn＝m· 3n＋1，则
1 1 2 例3. 求和 : ( x ) ( x 2 ) y y
练习：求数列1，x，x2，x3，…，xn，…的前n项和。
5
0.999
n个9
99
1 (x n ) y
n
1 1 2 1 3 例4：求和Sn = 2( ) 3( ) 2 2 2
练习：求和S n 1 3 2 5 2 7 2
-1 实数m＝__________.
7
探究2：
an 的前n项和, 已知Sn 是等比数列
且S10 5, S20 15.
(1).求S30 ;
35
( 2).问S10 , S20 S10 , S30 S20
是否成等比数列?
结论： S n 是等比数列an 的前n项和，
Sn≠0，
2 3
1 n n( ) 2
n 1
(2n 1) 2
a2 6, a5 18，数列{bn } 例5已知数列{an }是等差数列，
1 的前 n项和是 Tn ，且 Tn bn 1 。 2
（1）求数列{an } 的通项公式；
4 , 求{cn } 的前 n 项的和An ；（2）记 cn an an 1
2.5 等比数列的前n项和(2)

【高中数学】第4章 4.3.2 等比数列的前n项和公式(第2课时)

4.3.2 等比数列的前n 项和公式(第2课时)素养目标学科素养 1.掌握等比数列前n 项和的性质．(重点)2．能够运用所学知识解决等差数列与等比数列的综合应用问题.1.逻辑推理； 2．数学运算情境导学远望巍巍塔七层，红光点点倍加增．其灯三百八十一，请问尖头几盏灯？这首古诗给大家呈现一幅美丽夜景的同时，也留给了大家一个数学问题，你能用今天所学的知识求出这首古诗的答案吗？1．等比数列前n 项和的性质(1)若数列{a n }为非常数列的等比数列，且其前n 项和S n ＝A·q n ＋B(A ≠0，B ≠0，q ≠0，q ≠1)，则必有A ＋B ＝0；反之，若某一非常数列的前n 项和S n ＝A·q n －A(A ≠0，q ≠0，q ≠1)，则该数列必为等比数列．(2)如果公比q ≠－1或虽q ＝－1但n 为奇数时，S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 构成等比数列． (3)当等比数列{a n }的项数为偶数时，偶数项的和与奇数项的和之比S 偶S 奇＝q .2．分组求和某些数列通过适当分组，可得出两个或几个等差数列或等比数列，进而利用等差数列或等比数列的求和公式分别求和，从而得出原数列的和．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)．(1)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×⎝⎛⎭⎫13n ＋m ，则m ＝－2.(√)(2)若数列{a n }是公比q ≠1的等比数列，则其前n 项和公式可表示为－A q n ＋A(A ≠0，q ≠0且q ≠1，n ∈N *)．(√)2．若a n ＝2n －n ，则{a n }的前n 项和为2n ＋1－2－n (n ＋1)2.3．数列112，314，518，…，(2n －1)＋12n ，…的前n 项和为n 2＋1－12n .1．在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210D ．520A 解析：∵S 2＝20，S 4－S 2＝40，且(S 4－S 2)2＝S 2×(S 6－S 4)，∴S 6－S 4＝80. 又∵S 4＝60，∴S 6＝140.2．若数列{a n }是等比数列，且其前n 项和S n ＝3n ＋1－3k ，则实数k 等于________． 1 解析：∵S n ＝3n ＋1－3k ＝3×3n －3k ，∴3＝3k ，即k ＝1. 3．若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －2＋r 2，则r ＝________.－12 解析：因为S n ＝2n －2＋r 2＝14×2n ＋r 2， ∴r 2＝－14，即r ＝－12. 4．数列{2n －1}的前n 项和为________．2n ＋1－2－n 解析：S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1)＝(21＋22＋23＋…＋2n )－n ＝2n ＋1－2－n .【例1】(1)若等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21(2)在等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________.(3)等比数列{a n }共2n 项，其和为－240，且奇数项的和比偶数项的和大80，则公比q ＝________.(1)A (2)24 (3)2 解析：(1)∵{a n }为等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7,91－S 4成等比数列，由(S 4－7)2＝7×(91－S 4)，得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2， ∴S 4＝28.(2)设A ＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80， B ＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79，则AB＝q ＝3，即A ＝3B ．又A ＋B ＝S 80＝32，∴43A ＝32，解得A ＝24.即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.(3)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80，∴⎩⎪⎨⎪⎧S 奇＝－80，S 偶＝－160. ∴q ＝S 偶S 奇＝－160－80＝2.等比数列前n 项和的常用性质： (1)若共有2n 项，则S 偶∶S 奇＝q .(2)“片断和”性质：等比数列{a n }中，公比为q ，前m 项和为S m (S m ≠0)，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…，S km －S (k －1)m ，…构成公比为q m 的等比数列．在等比数列{a n }中，若前10项的和S 10＝10，前20项的和S 20＝30，则前30项的和S 30＝________.70 解析：(方法一)设数列{a n}的首项为a 1，公比为q (q ≠1)，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 10)1－q＝10，a 1(1－q20)1－q＝30.两式相除得1＋q 10＝3，∴q 10＝2. ∴a 11－q＝－10. ∴S 30＝a 1(1－q 30)1－q＝－10×(1－8)＝70.(方法二)∵S 10，S 20－S 10，S 30－S 20仍成等比数列，又S 10＝10，S 20＝30， ∴S 30－30＝(30－10)210，即S 30＝70.【例2】已知数列{a n }：a 1，a 2，a 3，…，a n ，…构成一个新数列：a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1，…，此数列是首项为1，公比为13的等比数列．求：(1)数列{a n }的通项公式； (2)数列{a n }的前n 项和S n .解：(1)a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1) ＝1＋13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －1 ＝32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n . (2)S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝32⎝⎛⎭⎫1－13＋32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫132＋…＋32⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ＝32n －34⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n ＝3(2n －1)4＋14×⎝⎛⎭⎫13n －1.如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成的，并且各独立项也可组成等差数列或等比数列，则该数列的前n 项和可考虑拆项后利用公式求解．若一数列为“1,1＋2,1＋2＋22，…，1＋2＋22＋…＋2n －1，…”，如何求其前n 项和？解：设该数列的第n 项为a n ，则 a n ＝1＋2＋22＋…＋2n －1＝1－2n 1－2＝2n －1，所以该数列的前n 项和S n ＝(21－1)＋(22－1)＋(23－1)＋…＋(2n －1) ＝(2＋22＋…＋2n )－n ＝2(1－2n )1－2－n ＝2n ＋1－n －2.探究题1 在各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1＝2，且a 2，a 4＋2，a 5成等差数列，S n 是数列{a n }的前n 项和，则S 10－S 4＝________. 解析：设数列{a n }的公比为q (q ＞0)． ∵a 2，a 4＋2，a 5成等差数列， ∴2a 4＋4＝a 2＋a 5.∴2×2×q 3＋4＝2×q ＋2×q 4. ∴q 4－2q 3＋q －2＝0. ∴(q －2)(q 3＋1)＝0. ∴q ＝2或q ＝－1(舍)．∴S 10－S 4＝2×(1－210)1－2－2×(1－24)1－2＝2 016.探究题2 在等差数列{a n }中，a 2＋a 7＝－23，a 3＋a 8＝－29. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为|a 2|的等比数列，求{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等差数列{a n }的公差为d ，依题意得a 3＋a 8－(a 2＋a 7)＝2d ＝－6，从而d ＝－3.所以a 2＋a 7＝2a 1＋7d ＝－23，解得a 1＝－1. 所以数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋2. (2)由(1)得a 2＝－4，所以|a 2|＝4.而数列{a n ＋b n }是首项为1，公比为4的等比数列，所以a n ＋b n ＝4n －1，即－3n ＋2＋b n ＝4n －1，所以b n ＝3n －2＋4n －1，于是S n ＝[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]＋(1＋4＋42＋…＋4n －1)＝n (3n －1)2＋1－4n 1－4＝n (3n －1)2＋4n －13. 探究题3 等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 1，S 3，S 2成等差数列． (1)求{a n }的公比q ； (2)若a 1－a 3＝3，求S n .解：(1)依题意有a 1＋(a 1＋a 1q )＝2(a 1＋a 1q ＋a 1q 2)，由于a 1≠0，故2q 2＋q ＝0. 又q ≠0，从而q ＝－12.(2)由(1)可得a 1－a 1⎝⎛⎭⎫－122＝3，故a 1＝4. 从而S n ＝4⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12＝83⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n .探究题4 已知正项等比数列{a n }(n ∈N *)，首项a 1＝3，前n 项和为S n ，且S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为S 3＋a 3，S 5＋a 5，S 4＋a 4成等差数列，所以有2(S 5＋a 5)＝(S 3＋a 3)＋(S 4＋a 4)，即2(a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋2a 5)＝(a 1＋a 2＋2a 3)＋(a 1＋a 2＋a 3＋2a 4)，化简得4a 5＝a 3，从而4q 2＝1，解得q ＝±12.因为a n >0，所以q ＝12，所以a n ＝3×⎝⎛⎭⎫12n －1. (2)由(1)知，na n ＝3n ⎝⎛⎭⎫12n －1.T n ＝3×1＋3×2×12＋3×3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋3n ⎝⎛⎭⎫12n －1， 12T n ＝3×1×12＋3×2×⎝⎛⎭⎫122＋…＋3(n －1)·⎝⎛⎭⎫12n －1＋3n ⎝⎛⎭⎫12n ，两式相减得 12T n ＝3×1＋3×12＋3×⎝⎛⎭⎫122＋…＋3×⎝⎛⎭⎫12n －1－3n ⎝⎛⎭⎫12n ＝3×1－⎝⎛⎭⎫12n1－12－3n ⎝⎛⎭⎫12n ＝6－6＋3n 2n. 所以T n ＝12－6＋3n2n －1.解决等差数列和等比数列的综合问题，一般不能直接套用公式，要先对已知条件转化变形，使之符合等差数列或等比数列的形式，然后利用公式求解．同时，要注意在题设条件下，寻求等差数列之间的内在联系．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，它的前n 项和为S n ，且a 1＋1，a 3＋1，a 7＋1成等比数列．(1)求{a n }的通项公式；(2)求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 的前n 项和T n .解：(1)由题意，得a 3＋1＝a 1＋5，a 7＋1＝a 1＋13，所以由(a 3＋1)2＝(a 1＋1)(a 7＋1)，得(a 1＋5)2＝(a 1＋1)(a 1＋13)，解得a 1＝3，所以a n ＝3＋2(n －1)，即a n ＝2n ＋1. (2)由(1)知a n ＝2n ＋1，则S n ＝n (n ＋2)，所以1S n ＝12⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋2，所以T n ＝12⎝⎛⎭⎫1－13＋12－14＋13－15＋…＋1n －1n ＋2＝12⎝⎛⎭⎫1＋12－1n ＋1－1n ＋2 ＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2).1．已知{a n }为等差数列，{b n }为等比数列，其公比q ≠1且b i >0(i ＝1,2，…，n )，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( ) A ．a 6>b 6B ．a 6＝b 6C ．a 6<b 6D ．a 6<b 6或a 6>b 6A 解析：由题意可得四个正数满足a 1＝b 1，a 11＝b 11，由等差数列和等比数列的性质可得a 1＋a 11＝2a 6，b 1b 11＝b 26.由基本不等式可得2a 6＝a 1＋a 11＝b 1＋b 11≥2b 1b 11＝2b 6，当且仅当b 1＝b 11时等号成立．又公比q ≠1，故b 1≠b 11，上式取不到等号，∴2a 6>2b 6，即a 6>b 6.故选A ．2．已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 1a 4＝8，a 2＋a 3＝6，则数列{a n }的前n 项和为( ) A ．2n B ．2n －1 C ．2n －1D ．2n －1－1C 解析：等比数列{a n }中，有a 1a 4＝a 2a 3＝8，而a 2＋a 3＝6，可得a 2＝2，a 3＝4或a 2＝4，a 3＝2. 根据公比q >1可知{a n }是递增数列，所以a 2＝2，a 3＝4，可得q ＝a 3a 2＝2，a 1＝a 2q ＝1，所以{a n }的前n 项和S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝1×(1－2n )1－2＝2n －1.故选C ．3．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2S 4＝a 4S 2，则S 2 019S 1＝( )A ．1B ．－1C ．2 019D ．－2 019A 解析：由题得a 1q (a 1＋a 1q ＋a 1q 2＋a 1q 3)＝a 1q 3(a 1＋a 1q )，即q (1＋q ＋q 2＋q 3)＝q 3(1＋q )，所以1＋q ＋q 2＋q 3＝q 2(1＋q )，所以q ＝－1. 所以S 2 019S 1＝a 1[1－(－1)2 019]1＋1a 1＝1.故选A ．4．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋1. (1)证明：⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是等比数列；(2)求数列{a n }的前n 项和S n .(1)证明：由a n ＋1＝3a n ＋1得a n ＋1＋12＝3⎝⎛⎭⎫a n ＋12，所以a n ＋1＋12a n ＋12＝3，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋12是首项为a 1＋12＝32，公比为3的等比数列，所以a n ＋12＝32·3n －1. (2)解：由(1)知{a n }的通项公式为a n ＝3n －12(n ∈N *)，则S n ＝⎝⎛⎭⎫312＋322＋…＋3n 2－n 2，所以S n＝3n ＋1－2n －34.1．分类讨论的思想：(1)利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论． (2)研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0,0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0,0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．2．函数的思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q ·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系．等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1·(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A(q n －1)也与指数函数相联系．3．整体思想：应用等比数列前n 项和时，常把q n ，a 11－q当成整体求解．课时分层作业(十)等比数列的前n 项和公式(第2课时)(50分钟 100分) 基础对点练基础考点分组训练知识点1 等比数列前n 项和的性质1．(5分)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a nD 解析：在等比数列{a n }中，S n ＝a 1－a n q1－q＝1－a n ×231－23＝3－2a n .2．(5分)在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝158，a 2a 3＝－98，则1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4等于( )A ．35B ．53C ．－35D ．－53D 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝158，a 2a 3＝a 21q 3＝－98，∴1a 1＋1a 2＋1a 3＋1a 4＝1a 1⎝⎛⎭⎫1＋1q ＋1q 2＋1q 3＝q 3＋q 2＋q ＋1a 1q 3＝a 1(q 3＋q 2＋q ＋1)a 21q 3＝158－98＝－53. 3.(5分)等比数列{a n }共有2n 项，它的全部项的和是奇数项的和的3倍，则公比q ＝________.2 解析：设{a n }的公比为q ，由已知可得q ≠1，则奇数项也构成等比数列，其公比为q 2，首项为a 1，S 2n ＝a 1(1－q 2n )1－q ，S 奇＝a 1[1－(q 2)n ]1－q 2.由题意得a 1(1－q 2n )1－q ＝3a 1(1－q 2n )1－q 2，∴1＋q ＝3，∴q ＝2.4.(5分)在等比数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋a 3＝1，a 4＋a 5＋a 6＝－2，则该数列的前15项的和S 15＝________.11 解析：∵S 3＝1，S 6－S 3＝－2，∴S 9－S 6＝4，S 12－S 9＝－8，S 15－S 12＝16，∴S 15＝S 3＋S 6－S 3＋S 9－S 6＋S 12－S 9＋S 15－S 12＝1－2＋4－8＋16＝11. 知识点2 分组求和5．(5分)数列12，12＋14，12＋14＋18，…，12＋14＋…＋12n 的前n 项和为( )A ．n ＋12nB ．n －1＋12nC ．n －1＋12n ＋1D ．n ＋12n －1B 解析：∵数列的通项a n ＝12＋14＋…＋12n ＝12⎝⎛⎭⎫1－12n 1－12＝1－12n ，∴前n 项和S n ＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫1－14＋…＋⎝⎛⎭⎫1－12n ＝n －⎝⎛⎭⎫12＋14＋…＋12n ＝n －1＋12n .6．(5分)设{a n }为等比数列，{b n }为等差数列，且b 1＝0，c n ＝a n ＋b n ，若数列{c n }是1,1,2，…，则数列{c n }的前10项和为( ) A ．978 B ．557 C ．467D ．979A 解析：设等比数列{a n }的公比为q ，等差数列{b n }的公差为d . ∵c n ＝a n ＋b n ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋b 1＝1，a 2＋b 2＝1，a 3＋b 3＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1，q ＝2.∴c n ＝2n －1＋(1－n )．∴{c n }的前10项和为1－2101－2＋10×(0－9)2＝978.知识点3 等差数列与等比数列的综合问题7．(5分)已知数列{a n }是以2为首项，1为公差的等差数列，{b n }是以1为首项，2为公比的等比数列，则ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝( ) A ．1 033 B ．1 034 C ．2 057D ．2 058A 解析：∵a n ＝n ＋1，b n ＝2n －1， ∴ab 1＋ab 2＋…＋ab 10＝a 1＋a 2＋a 4＋…＋a 29 ＝(1＋1)＋(2＋1)＋(22＋1)＋…＋(29＋1) ＝10＋(1＋2＋22＋…＋29)＝10＋1－2101－2＝1 033. 8．(5分)设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1＝( ) A ．2 B ．－2 C ．12D ．－12D 解析：∵S 1，S 2，S 4成等比数列，∴S 22＝S 1·S 4， ∴(2a 1－1)2＝a 1·(4a 1－6)，∴a 1＝－12.9．(5分)(多选)已知{a n }为等比数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝8a 1，且a 4与2a 5的等差中项为20，则( ) A ．a 1＝－1 B ．公比q ＝－2 C ．a 4＝8D ．S 5＝31CD 解析：∵a 2a 3＝8a 1，∴a 1q 3＝8，即a 4＝8.∵a 4＋2a 5＝40，∴a 4(1＋2q )＝40，∴q ＝2，a 1＝1. ∴S 5＝1－251－2＝31.能力提升练能力考点拓展提升10.(5分)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝2，S 6＝18，则S 10S 5等于( )A ．－3B ．5C ．－31D ．33D 解析：设{a n }的公比为q ， ∵S 3＝a 1·(1－q 3)1－q ＝2，S 6＝a 1·(1－q 6)1－q ＝18，∴1＋q 3＝9，∴q ＝2， ∴S 10S 5＝1－q 101－q5＝1＋q 5＝33. 11．(5分)设等比数列的前n 项和、前2n 项和、前3n 项和分别为A ，B ，C ，则( ) A ．A ＋B ＝C B ．B 2＝ACC ．A ＋B －C ＝B 2D ．A 2＋B 2＝A(B ＋C) D 解析：∵S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等比数列， ∴(S 2n －S n )2＝S n (S 3n －S 2n )，即(B －A)2＝A(C －B)， ∴A 2＋B 2＝A(B ＋C)．12．(5分)已知等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －1，则数列{log 2a n }的前12项和等于( ) A ．66 B ．55 C ．45D ．6A 解析：∵S n ＝2n －1，∴S n －1＝2n －1－1(n ≥2)，两式相减得a n ＝2n －1(n ≥2)．又a 1＝S 1＝1，∴a n ＝2n －1. ∴log 2a n ＝n －1.∴{log 2a n }是等差数列，首项为0，公差为1. ∴前12项和为66.13．(5分)已知{a n }是等比数列，若a 1＝1，a 6＝8a 3，数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为T n ，则T 5＝( )A ．3116B ．31C ．158D ．154A 解析：∵a 1＝1，a 6＝8a 3，∴q ＝2.∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等比数列，首项为1，公比为12，∴T 5＝1×⎝⎛⎭⎫1－1251－12＝3116.14.(5分)在等比数列{a n }中，公比q ＝2，前n 项和为S n ，若S 5＝1，则S 10＝________.33 解析：∵S 5＝a 1(1－25)1－2＝1，∴a 1＝131.∴S 10＝a 1(1－210)1－2＝131×1 023＝33.15.(5分)若等比数列{a n }的前n 项和S n ＝2×3n ＋r ，则r ＝________.－2 解析：∵S n ＝2×3n ＋r ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2×3n －2×3n －1＝4×3n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝6＋r .∵{a n }为等比数列，∴6＋r ＝4.∴r ＝－2.16.(12分)已知等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)等比数列{b n }(n ∈N *)，若b 2＝a 2，b 3＝a 5，求数列{a n ＋b n }的前n 项和T n . 解：(1)由S 3＝9，得3a 2＝9，所以a 2＝3. 又因为a 3＝5，所以公差d ＝2. 从而a n ＝a 2＋(n －2)d ＝2n －1.(2)由(1)可得b 2＝a 2＝3，b 3＝a 5＝9，所以公比q ＝3. 从而b n ＝b 2q n －2＝3n －1，则a n ＋b n ＝(2n －1)＋3n －1，分组求和可得T n ＝n 2＋12(3n －1).17.(13分)已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列，求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．证明：∵a 1，a 7，a 4成等差数列，∴2a 7＝a 1＋a 4，∴2q 6＝1＋q 3，∴q 3＝－12或q 3＝1.若q 3＝1，则2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1. ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．若q 3＝－12，则2S 3＝3a 11－q ，S 6＝34a 11－q ，S 12－S 6＝316a 11－q.∵⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫34a 11－q 2＝3a 11－q ·316a 11－q ，即S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．重难强化训练(二)等比数列 (60分钟 120分)练易错易错点1| 对等比数列的定义理解不透彻致误 [防范要诀]等比数列中任一项a n ≠0，且q ≠0. [对点集训]1.(5分)已知等比数列{a n }的前三项为a,2a ＋2,3a ＋3，则a ＝________.－4 解析：由(2a ＋2)2＝a (3a ＋3)⇒a ＝－1或a ＝－4.但当a ＝－1时，第二、三项均为零，故a ＝－1舍去，得a ＝－4.2.(10分)已知数列{a n }中a n ≠0，a 1，a 2，a 3成等差数列，a 2，a 3，a 4成等比数列，a 3，a 4，a 5的倒数成等差数列，证明：a 1，a 3，a 5成等比数列．证明：由已知，有2a 2＝a 1＋a 3，① a 23＝a 2·a 4，②2a 4＝1a 3＋1a 5.③ 由③得2a 4＝a 3＋a 5a 3·a 5，∴a 4＝2a 3·a 5a 3＋a 5.④由①得a 2＝a 1＋a 32.⑤由④⑤代入②，得a 23＝a 1＋a 32·2a 3·a 5a 3＋a 5. ∴a 3＝(a 1＋a 3)a 5a 3＋a 5，即a 3(a 3＋a 5)＝a 5(a 1＋a 3)．化简，得a 23＝a 1·a 5. 又a 1，a 3，a 5≠0，∴a 1，a 3，a 5成等比数列．易错点2| 利用等比中项时忽略判断符号致误 [防范要诀](1)等比数列中所有奇数项的符号都相同，所有偶数项的符号都相同； (2)只有同号两数才有等比中项，且有两个，它们互为相反数． [对点集训]3.(5分)如果1，a ，b ，c,16成等比数列，那么b ＝________，ac ＝________.4 16 解析：∵b 2＝1×16＝16，且b ＝1×q 2>0， ∴b ＝4.又∵b 2＝ac ，∴ac ＝16.4.(5分)等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则a 6＝________.729 解析：∵a 5a 2＝q 3＝27，∴q ＝3，∴a 6＝a 2q 4＝9×81＝729.5.(5分)已知－2，a 1，a 2，－8成等差数列，－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列，则a 2－a 1b 2＝________.12解析：∵－2，a 1，a 2，－8成等差数列， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＝－2＋a 2，2a 2＝a 1－8，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，a 2＝－6.又∵－2，b 1，b 2，b 3，－8成等比数列， ∴b 22＝－2×(－8)＝16， ∴b 2＝4或b 2＝－4.由等比数列隔项同号可得b 2＝－4， ∴a 2－a 1b 2＝－6－(－4)－4＝12.易错点3| 忽视对公比q 的讨论 [防范要诀]等比数列的公比q ≠0，数列中各项都不为零；当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ；当公比q ＝1时，S n ＝na 1. [对点集训]6.(5分)等比数列1，a ，a 2，a 3，…(a ≠0)的前n 项和S n ＝________.⎩⎪⎨⎪⎧n ，a ＝1，1－an 1－a，a ≠1 解析：当a ＝1时，S n ＝n ；当a ≠1时，S n ＝1－a n1－a . ∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ，a ＝1，1－a n 1－a，a ≠1.7.(10分)在首项为a 1且公比为q 的等比数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若S 3＝4，S 6＝36，求a n . 解：∵S 6≠2S 3，∴q ≠1.由⎩⎪⎨⎪⎧S 3＝4，S 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1－q 3)1－q ＝4，①a 1(1－q 6)1－q＝36.②由②①得1－q 61－q 3＝9，即1＋q 3＝9，∴q ＝2. 将q ＝2代入①式得a 1＝47.∴a n ＝a 1q n －1＝47×2n －1＝2n ＋17. 练疑难8．(5分)设{a n }是公比为q 的等比数列，S n 是它的前n 项和，若{S n }是等差数列，则q 等于( ) A ．1 B ．0 C ．1或0D ．－1A 解析：∵{S n }是等差数列，∴2S 2＝S 1＋S 3， ∴2(a 1＋a 2)＝a 1＋(a 1＋a 2＋a 3)，∴a 2＝a 3， ∴q ＝a 3a 2＝1.9．(5分)已知等比数列{a n }满足a 1＝14，a 3a 5＝4(a 4－1)，则a 2＝( )A ．2B ．1C ．12D ．18C 解析：∵{a n }为等比数列，∴a 3a 5＝a 24，∴a 24＝4(a 4－1)，解得a 4＝2.设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1q 3＝2，∴q 3＝8，∴q ＝2，∴a 2＝a 1q ＝14×2＝12.10．(5分)已知数列{a n }是公比为q 的等比数列，且a 1，a 3，a 2成等差数列，则公比q 的值为( ) A ．－12B ．－2C ．－1或12D ．1或－12D 解析：∵a 1，a 3，a 2成等差数列，∴2a 3＝a 1＋a 2， ∴2q 2－q －1＝0.∴q ＝1或－12.11．(5分)在数列{a n }中，已知S n ＝1－5＋9－13＋17－21＋…＋(－1)n －1(4n －3)，则S 15＋S 22－S 31的值为( ) A ．13 B ．－76 C ．46D ．76B 解析：∵S 15＝(－4)×7＋(－1)14(4×15－3)＝29，S 22＝(－4)×11＝－44，S 31＝(－4)×15＋(－1)30(4×31－3)＝61，∴S 15＋S 22－S 31＝29－44－61＝－76.12．(5分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，数列{b n }满足b n ＝ln a n ，b 3＝18，b 6＝12，则数列{b n }前n 项和的最大值等于( ) A ．126 B ．130 C ．132D ．134C 解析：∵{a n }是正项等比数列， ∴{b n }是等差数列．又∵b 3＝18，b 6＝12，∴d ＝－2，b 1＝22，∴S n ＝22n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋23n ＝－⎝⎛⎭⎫n －2322＋2324，∴当n ＝11或12时，S n 最大， ∴(S n )max ＝－112＋23×11＝132.13．(5分)已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2＝3a n (n ∈N *)，则数列{a n }的前2 019项的和S 2 019等于( )A ．31 010－2B ．31 010－3C ．32 009－2D ．32 009－3A 解析：因为a 1＝1，a 2＝3，a n ＋2a n＝3，所以S 2 019＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 019)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 018)＝1－31 0101－3＋3(1－31 009)1－3＝31 010－2.14．(5分)数列{a n }的通项公式是a n ＝n cos nπ2，其前n 项和为S n ，则S 2 020等于( )A ．1 010B ．2 020C ．504D ．0A 解析：a 1＝cos π2＝0，a 2＝2cos π＝－2，a 3＝0，a 4＝4，….∴数列{a n }的所有奇数项为0，前2 020项的所有偶数项(共1 010项)依次为－2,4，－6,8，…. 故S 2 020＝0＋(－2＋4)＋(－6＋8)＋…＋(－2 018＋2 020)＝1 010.15.(5分)在等比数列{a n }中，a 3＝4，S 3＝12，数列{a n }的通项公式a n ＝________.4或⎝⎛⎭⎫－12n －5 解析：当q ＝1时，a 3＝4， a 1＝a 2＝a 3＝4，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝12，∴q ＝1符合题意．a n ＝4. 当q ≠1时，⎩⎪⎨⎪⎧a 3＝a 1q 2＝4，S 3＝a 1(1－q 3)1－q ＝12，解得q ＝－12，a n ＝a 3q n －3＝⎝⎛⎭⎫－12n －5，故a n ＝4或a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －5. 16.(10分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，点⎝⎛⎭⎫n ，S n n (n ∈N *)均在直线y ＝x ＋12上．若b n ＝3a n ＋12，求数列{b n }的前n 项和T n .解：依题意得S n n ＝n ＋12，即S n ＝n 2＋12n .当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫n 2＋12n －⎣⎡⎦⎤(n －1)2＋12(n －1)＝2n －12；当n ＝1时，a 1＝S 1＝32，符合a n ＝2n －12，所以a n ＝2n －12(n ∈N *)，则b n ＝3a n ＋12＝32n ，由b n ＋1b n ＝32(n ＋1)32n ＝32＝9，可知{b n }为等比数列，b 1＝32×1＝9，故T n ＝9(1－9n )1－9＝9n ＋1－98.17.(12分)已知等比数列{a n }的各项均为正数，且a 2＝6，a 3＋a 4＝72.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n －n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和S n . 解：(1)设等比数列{a n }的公比为q ， ∵a 2＝6，a 3＋a 4＝72，∴6q ＋6q 2＝72，即q 2＋q －12＝0， ∴q ＝3或q ＝－4.又∵a n >0，∴q >0，∴q ＝3，a 1＝a 2q ＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2×3n －1(n ∈N *)． (2)∵b n ＝2×3n －1－n ， ∴S n＝2(1＋3＋32＋…＋3n －1)－(1＋2＋3＋…＋n )＝2×1－3n 1－3－n (1＋n )2＝3n －1－n 2＋n2.18.(13分)数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{na n }的前n 项和T n .解：(1)∵a n ＋1＝2S n ＋1，∴a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，两式相减得a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)． ∵a 2＝2S 1＋1＝5，∴a n ＝a 23n －2＝5·3n －2(n ≥2，n ∈N *)，当n ＝1，a 1＝2不满足上式，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，5·3n －2，n ≥2，n ∈N *.(2)由(1)知na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2，n ＝1，5n ·3n －2，n ≥2，n ∈N *. T n ＝2＋5·2·30＋5·3·31＋5·4·32＋5·5·33＋…＋5·(n －1)·3n －3＋5·n ·3n －2，① 3T n ＝6＋5·2·31＋5·3·32＋5·4·33＋…＋5·(n －1)3n －2＋5·n ·3n －1，② ①－②得－2T n＝6＋5(3＋32＋33＋…＋3n －2)－5n ·3n －1＝6＋5×3(1－3n －2)1－3－5n ·3n －1，∴T n ＝34＋10n －54·3n －1.高考数学：试卷答题攻略一、“六先六后”，因人因卷制宜。

学案1：4.3.2　第2课时　等比数列前n项和公式的应用

4.3.2第2课时等比数列前n项和公式的应用【新知初探】等比数列前n项和的性质(1)性质一：若S n表示数列{a n}的前n项和，且S n＝Aq n－A(Aq≠0，q≠±1)，则数列{a n}是数列．(2)性质二：若数列{a n}是公比为q的等比数列，则①在等比数列中，若项数为2n(n∈N*)，则S偶S奇＝.②在等比数列中，若项数为2n＋1(n∈N*)，则S奇－a1S偶＝q.③S m，S2m－S m，S3m－S2m，…成等比数列．思考：在数列{a n}中，a n＋1＝ca n(c为非零常数)且前n项和S n＝3n－1＋k，则实数k的取值是什么？【初试身手】1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)等比数列{a n}共2n项，其中奇数项的和为240，偶数项的和为120，则该等比数列的公比q＝2．()(2)已知等比数列{a n}的前n项和S n＝a·3n－1－1，则a＝1．()(3)若数列{a n}为等比数列，则a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6也成等比数列．()(4)若S n为等比数列的前n项和，则S3，S6，S9成等比数列．()2．设S n 为等比数列{a n }的前n 项和且S n ＝3n ＋1－A ，则A ＝( )A ．－13B ．13C ．－3D ．3 3．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 3＝8，S 6＝7，则a 7＋a 8＋a 9＝( )A ．18B ．－18C ．578D ．558 4．已知数列{a n }为等比数列，且前n 项和S 3＝3，S 6＝27，则公比q ＝________.5．在14与78之间插入n 个数，组成所有项的和为778的等比数列，则此数列的项数为________．【合作探究】[探究问题]1．在等差数列中，我们知道S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等差数列．在等比数列{a n }中，若连续m 项的和不等于0，那么S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列吗？为什么？2．若数列{a n }为项数为偶数的等比数列，且S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…，那么S 偶S 奇等于何值？【例1】 (1)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 2＝7，S 6＝91，则S 4为( )A ．28B ．32C ．21D ．28或－21(2)等比数列{a n }中，公比q ＝3，S 80＝32，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝________.[母题探究]1．(变条件)将例题(1)中的条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“正数等比数列中S n ＝2，S 3n ＝14”，求S 4n 的值．2．(变条件，变结论)将例题(1)中条件“S 2＝7，S 6＝91”改为“公比q ＝2，S 99＝56”，求a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99的值．[规律方法]1．在涉及奇数项和S 奇与偶数项和S 偶时，常考虑对其差或比进行简化运算．若项数为2n ，则S 偶S 奇＝q (S 奇≠0)；若项数为2n ＋1，则S 奇－a 1S 偶＝q (S 偶≠0)． 2．等比数列前n 项和为S n (且S n ≠0)，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 仍成等比数列，其公比为q n (q ≠－1)．类型二分组求和法【例2】在各项均为正数的等比数列{}a n 中，已知a 1＝2，8a 2＋2a 4＝a 6.(1)求数列{}a n 的通项公式；(2)设b n ＝a n ＋2n ，求数列{}b n 的前n 项和T n .[规律方法]分组转化求和法的应用条件和解题步骤(1)应用条件一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列的通项公式相加组成．(2)解题步骤[跟进训练]1．求数列214，418，6116，…，2n ＋12n ＋1，…的前n 项和S n .【例3】已知S n 是等比数列{a n }的前n 项和，S 4，S 2，S 3成等差数列，且a 2＋a 3＋a 4＝－18.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)是否存在正整数n ，使得S n ≥2 013？若存在，求出符合条件的所有n 的集合；若不存在，说明理由．[规律方法]与等差、等比数列有关的综合问题，其解题过程应注意以下方法与技巧：(1)转化思想：将非等差、等比数列转化构造成等差、等比数列，以便于利用其公式和性质解题.(2)等差(比)数列公式和性质的灵活应用.(3)当题中有多个数列出现时，既要研究单一数列项与项之间的关系，又要关注各数列之间的相互联系.[跟进训练]2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＋a n ＝5×3n －3，b n ＝a n ()4n 2－13n. (1)证明：数列{a n －2×3n }为常数列；(2)求数列{b n }的前n 项和T n .【课堂小结】1．在利用等比数列前n 项和公式时，一定要对公比q ＝1或q ≠1作出判断；若{a n }是等比数列，且a n >0，则{lg a n }构成等差数列．2．等比数列前n 项和中用到的数学思想(1)分类讨论思想：①利用等比数列前n 项和公式时要分公比q ＝1和q ≠1两种情况讨论；②研究等比数列的单调性时应进行讨论：当a 1>0，q >1或a 1<0，0<q <1时为递增数列；当a 1<0，q >1或a 1>0，0<q <1时为递减数列；当q <0时为摆动数列；当q ＝1时为常数列．(2)函数思想：等比数列的通项a n ＝a 1q n －1＝a 1q·q n (q >0且q ≠1)常和指数函数相联系；等比数列前n 项和S n ＝a 1q －1(q n －1)(q ≠1)．设A ＝a 1q －1，则S n ＝A (q n －1)与指数函数相联系． (3)整体思想：应用等比数列前n 项和公式时，常把q n ，a 11－q当成整体求解．【学以致用】1．已知等比数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，若a 2＝2，S 6－S 4＝6a 4，则a 5＝( )A ．4B ．10C ．16D ．322．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5＝( )A ．3∶4B ．2∶3C ．1∶2D ．1∶33．记S n 为数列{a n }的前n 项和．若S n ＝2a n ＋1，则S 6＝________.4．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项的和的两倍，它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为________．5．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，已知S 4＝2，S 8＝6，求a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值．【参考答案】【新知初探】等比数列前n 项和的性质(1)等比(2)①q思考：[提示] 由题知{a n }是等比数列，∴3n 的系数与常数项互为相反数，而3n 的系数为13，∴k ＝－13. 【初试身手】1．[提示] (1)S 偶S 奇＝q ＝120240＝12；(2)由等比数列前n 项和的特点知13a ＝1得a ＝3；(4)由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列知(4)错误．[答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．D [根据等比数列{a n }的前n 项和公式知S n ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1q －1q n －a 1q －1(q ≠1)，又S n ＝3n ＋1－A ＝3·3n －A ，得a 1q －1＝3＝A ，故选D.] 3．A [法一：由等比数列前n 项和的性质知S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，又a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6，则S 3，S 6－S 3，a 7＋a 8＋a 9成等比数列，从而a 7＋a 8＋a 9＝(S 6－S 3)2S 3＝18.故选A. 法二：因为S 6＝S 3＋S 3q 3，所以q 3＝S 6－S 3S 3＝－18，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝S 3q 6＝8×⎝⎛⎭⎫－182＝18.故选A.] 4．2 [q 3＝S 6－S 3S 3＝27－33＝8，所以q ＝2.] 5．5 [设此数列的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 78＝14q n ＋1，778＝14－78q 1－q ⇒⎩⎪⎨⎪⎧q ＝－12，n ＝3，故此数列共有5项．] 【合作探究】[探究问题]1．[提示] S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．∵在等比数列{a n }中有a m ＋n ＝a m q n ，∴S m ＝a 1＋a 2＋…＋a m ，S 2m －S m ＝a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a 2m ＝a 1q m ＋a 2q m ＋…＋a m q m ＝(a 1＋a 2＋…＋a m )q m ＝S m ·q m . 同理S 3m －S 2m ＝S m ·q 2m ，…，在S m ≠0时，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…仍组成等比数列．2．[提示] 由等比数列的通项公式可知S 偶S 奇＝S 奇·q S 奇＝q . 【例1】(1)A (2)24 [(1)∵{a n }为等比数列，∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也为等比数列，即7，S 4－7，91－S 4成等比数列，∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2(1＋q 2)>S 2，∴S 4＝28.(2)设S 1＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80，S 2＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 79.则S 1S 2＝q ＝3，即S 1＝3S 2. 又S 1＋S 2＝S 80＝32，∴43S 1＝32，解得S 1＝24. 即a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 80＝24.][母题探究]1．[解] 设S 2n ＝x ，S 4n ＝y ，则2，x －2，14－x ，y －14成等比数列，所以⎩⎪⎨⎪⎧ (x －2)2＝2(14－x )，(14－x )2＝(x －2)(y －14)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝6，y ＝30或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4，y ＝－40(舍去)，所以S 4n ＝30. 2．[解] 法一：∵S 99＝a 1(1－q 99)1－q＝56，q ＝2， ∴a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝a 3(1＋q 3＋q 6＋…＋q 96)＝a 1q 2·1－(q 3)331－q 3＝32. 法二：设b 1＝a 1＋a 4＋a 7＋…＋a 97，b 2＝a 2＋a 5＋a 8＋…＋a 98，b 3＝a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99，则b 1q ＝b 2，b 2q ＝b 3，且b 1＋b 2＋b 3＝56，∴b 1(1＋q ＋q 2)＝56，∴b 1＝561＋2＋4＝8， ∴b 3＝b 1q 2＝8×22＝32，即a 3＋a 6＋a 9＋…＋a 99＝32.【例2】[解] (1)设等比数列{}a n 的公比为q (q >0)，∵8a 2＋2a 4＝a 6，∴8a 1q ＋2a 1q 3＝a 1q 5，又a 1＝2，∴8＋2q 2＝q 4.解得：q 2＝4，∴q ＝2.∴a n ＝a 1q n －1＝2n ，n ∈N *.(2)由(1)知：b n ＝2n ＋2n ，∴T n ＝()21＋2＋()22＋4＋()23＋6＋…＋()2n ＋2n＝()21＋22＋23＋...＋2n ＋()2＋4＋6＋ (2)＝2()2n －1＋n ()2n ＋22＝2n ＋1＋n 2＋n －2. ∴数列{b n }的前n 项和为T n ＝2n ＋1＋n 2＋n －2，n ∈N *.[跟进训练]1．[解] S n ＝214＋418＋6116＋…＋⎝⎛⎭⎫2n ＋12n ＋1 ＝(2＋4＋6＋…＋2n )＋⎝⎛⎭⎫14＋18＋…＋12n ＋1 ＝n (2n ＋2)2＋14⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 1－12＝n (n ＋1)＋12－12n ＋1 ＝n 2＋n －12n ＋1＋12.【例3】[解] (1)设等比数列{a n }的公比为q ，则a 1≠0，q ≠0.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ S 2－S 4＝S 3－S 2，a 2＋a 3＋a 4＝－18，即⎩⎪⎨⎪⎧ －a 1q 2－a 1q 3＝a 1q 2，a 1q (1＋q ＋q 2)＝－18，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，q ＝－2. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝3×(－2)n －1.(2)由(1)有S n ＝3[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n .若存在n ，使得S n ≥2 013，则1－(－2)n ≥2 013，即(－2)n ≤－2 012. 当n 为偶数时，(－2)n ＞0，上式不成立；当n 为奇数时，(－2)n ＝－2n ≤－2 012，即2n ≥2 012，则n ≥11.综上，存在符合条件的正整数n ，且n 的集合为{n |n ＝2k ＋1，k ∈N *，k ≥5}．[跟进训练]2．[解] (1)当n ＝1时，S 1＋a 1＝5×3－3＝12，所以a 1＝6；当n ≥2时，由S n ＋a n ＝5×3n －3①，得S n －1＋a n －1＝5×3n －1－3②，①－②得，2a n －a n －1＝10×3n －1，所以a n －2×3n ＝12(a n －1－2×3n －1)，因为a 1＝6，所以a 1－2×31＝0，所以a n －2×3n ＝0，故数列{a n －2×3n }为常数列．(2)由(1)知，a n ＝2×3n ，所以b n ＝2×3n (4n 2－1)3n ＝24n 2－1＝12n －1－12n ＋1，所以T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1－13＋⎝⎛⎭⎫13－15＋⎝⎛⎭⎫15－17＋…＋⎝⎛⎭⎫12n －1－12n ＋1 ＝1－12n ＋1＝2n 2n ＋1. 【学以致用】1．C [由S 6－S 4＝a 6＋a 5＝6a 4得，(q 2＋q －6)a 4＝0，q 2＋q －6＝0，解得q ＝2或q ＝－3(舍去)，从而a 5＝a 2·23＝2×8＝16，故选C.]2．A [在等比数列{a n }中，S 5，S 10－S 5，S 15－S 10，…成等比数列，因为S 10∶S 5＝1∶2，所以S 5＝2S 10，S 15＝34S 5，得S 15∶S 5＝3∶4，故选A.] 3．－63 [法一：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ＝1时，a 1＝2a 1＋1，解得a 1＝－1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－(2a n －1＋1)，所以a n ＝2a n －1，所以数列{a n }是以－1为首项，2为公比的等比数列，所以a n ＝－2n －1，所以S 6＝－1×(1－26)1－2＝－63. 法二：n ≥2时，由S n ＝2a n ＋1得S n ＝2(S n －S n －1)＋1，∴S n ＝2S n －1－1，可得S n －1＝2(S n －1－1)．又S 1－1＝－2.∴{S n －1}是首项为－2，公比为2的等比数列，∴S 6－1＝－2×25＝－64，即S 6＝－63.]4．8 [设该等比数列的项数为2n ，依题意得S 奇＝a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2n －1，S 偶＝a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝a 1q ＋a 3q ＋…＋a 2n －1q ＝q ·S 奇，∵S 偶＝2S 奇，∴q ＝2. 又中间两项为a n 和a n ＋1，则a n ＋a n ＋1＝a 1q n －1＋a 1q n ＝2n －1＋2n ＝3×2n －1＝24， ∴2n －1＝8＝23，∴n －1＝3，解得n ＝4，∴2n ＝8.]5．[解] 由等比数列前n 项和的性质，可知S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，…，S 4n －S 4n －4，…成等比数列．由题意可知上面数列的首项为S 4＝2，公比为S 8－S 4S 4＝2，故S 4n －S 4n －4＝2n (n ≥2)，所以a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝25＝32.。

2.5.2 等比数列的前n项和(2)

an 3 2(an1 3) (n 2) 即
an 3 2 (n 2)
an1 3
∴数列{an-3}是公比为2的等比数列.
an 3 (a1 3)2n1 (3 3)2n1 3 2n an 3(2n 1).
Q an 3(2n 1) 3 2n 3 ,
Sn a1 a2 a3 L an
,
求：（I）a2，a3，a4的值及数列{an}的通项公式；
（II）a2 a4 a6 L a2n 的值.
解：
（I）由a1=1，an1
1 3
Sn
,
得
a2
1 3
S1
1 3 a1
1 3
,
a3
1 3
S2
1 3 (a1
a2 )
4 9
,
11
16
a4 3 S3 3 (a1 a2 a3 ) 27 ,
（II）a2 a4 a6 L a2n 的值.
解：（II）由（I）可知 a2 , a4 ,L
, a2n
是首项为
1 3
，
公比为( 4)2 , 项数为n的等比数列，
3
a2
a4
a6
L
a2n
1
1
( 4)2n 3
3 1 (4)2
3 [( 4 )2n 1]. 73
3
例5 设数列{an}的前n项和为Sn，若对任意的n∈N*
即
n 1 2. Sn
故 { Sn } 是以2为公比的等比数列. n
n
例3 数列{an}的前n项和记为Sn，已知
a1
1, an1
n
n
2
Sn(n
1,2,3
).
（1）数列
{ Sn n

201X年高中数学第二章数列2.5等比数列的前n项和(第2课时)数列求和新人教A版必修5

(1)若数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 an＝Sn－Sn－1.( )
(2)当 n≥2 时，n2－1 1＝12n－1 1－n＋1 1.(
)
答案：(1)× (2)√
数列{(－1)nn}的前 n 项和为 Sn，则 S2 018 等于( )
A．1 009
B．－1 009
C．2 018
D．－2 018
第二章数列
第 2 课时数列求和
第二章数列
考点
学习目标
核心素养
数列求和的几种常用掌握数列求和的几种常用
数学运算
方法
基本方法
分类讨论法求和会运数列的前 n 项和公式 Sn＝n（a12＋an）＝na1＋n（n2－1）d. (2)等比数列的前 n 项和公式当 q＝1 时，Sn＝na1；当 q≠1 时，Sn＝a1（11－－qqn）＝a11－－aqnq.
2．数列求和的三种常用方法 (1)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前 n 项和即可用此法来求，如等比数列的前 n 项和就是用此法推导的． (2)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和．
解：(1)由 a1＝3，得 2p＋q＝3，又因为 a4＝24p＋4q，a5＝25p＋5q，且 a1＋a5＝2a4，得 3＋25p＋5q＝25p＋8q，解得 p＝1，q＝1. (2)由(1)知 an＝2n＋n，所以 Sn ＝ (2 ＋ 22 ＋ … ＋ 2n) ＋ (1 ＋ 2 ＋ … ＋ n) ＝ 2n ＋ 1 － 2 ＋ n（n＋1）
【解】 (1)等比数列{bn}的公比为 q＝bb32＝93＝3，所以 b1＝bq2＝1，b4＝b3q＝27. 设等差数列{an}的公差为 d，因为 a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，所以 1＋13d＝27，即 d＝2. 所以 an＝2n－1(n＝1，2，3，…)．

等比数列的前n项和(二)

等比数列的前n 项和（二）[学习目标] 1.熟练应用等比数列前n 项和公式的有关性质解题.2.应用方程的思想方法解决与等比数列前n 项和有关的问题．知识点一等比数列的前n 项和的变式1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，当公比q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1(q n －1)q －1＝a 1－a n q 1－q ＝a 1q nq －1－a 1q －1；当q ＝1时，S n ＝na 1.2．当公比q ≠1时，等比数列的前n 项和公式是S n ＝a 1(1－q n )1－q ，它可以变形为S n ＝－a 11－q ·qn＋a 11－q ，设A ＝a 11－q，上式可写成S n ＝－Aq n ＋A .由此可见，非常数列的等比数列的前n 项和S n 是由关于n 的一个指数式与一个常数的和构成的，而指数式的系数与常数项互为相反数．当公比q ＝1时，因为a 1≠0，所以S n ＝na 1是n 的正比例函数(常数项为0的一次函数)．思考在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)且前n 项和S n ＝3n －1＋k ，则实数k 等于________．答案－13解析由题{a n }是等比数列， ∴3n 的系数与常数项互为相反数，而3n 的系数为13，∴k ＝－13.知识点二等比数列前n 项和的性质1．连续m 项的和(如S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m )仍构成等比数列．(注意：q ≠－1或m 为奇数) 2．S m ＋n ＝S m ＋q m S n (q 为数列{a n }的公比)．3．若{a n }是项数为偶数、公比为q 的等比数列，则S 偶S 奇＝q .思考在等比数列{a n }中，若a 1＋a 2＝20，a 3＋a 4＝40，则S 6等于( ) A ．140 B ．120 C ．210 D ．520答案 A解析 S 2＝20，S 4－S 2＝40，∴S 6－S 4＝80， ∴S 6＝S 4＋80＝S 2＋40＋80＝140.题型一等比数列前n 项和的性质例1 (1)等比数列{a n }中，S 2＝7，S 6＝91，则S 4＝______.(2)等比数列{a n }共有2n 项，其和为－240，且(a 1＋a 3＋…＋a 2n －1)－(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝80，则公比q ＝____. 答案 (1)28 (2)2解析 (1)∵数列{a n }是等比数列， ∴S 2，S 4－S 2，S 6－S 4也是等比数列，即7，S 4－7,91－S 4也是等比数列， ∴(S 4－7)2＝7(91－S 4)，解得S 4＝28或S 4＝－21.又∵S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝a 1＋a 2＋a 1q 2＋a 2q 2 ＝(a 1＋a 2)(1＋q 2)＝S 2·(1＋q 2)＞0， ∴S 4＝28.(2)由题S 奇＋S 偶＝－240，S 奇－S 偶＝80， ∴S 奇＝－80，S 偶＝－160， ∴q ＝S 偶S 奇＝2.跟踪训练1 (1)设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6S 3＝3，则S 9S 6等于( )A ．2 B.73 C.83 D ．3答案 B解析方法一因为数列{a n }是等比数列，所以S 6＝S 3＋q 3S 3，S 9＝S 6＋q 6S 3＝S 3＋q 3S 3＋q 6S 3，于是S 6S 3＝(1＋q 3)S 3S 3＝3，即1＋q 3＝3，所以q 3＝2.于是S 9S 6＝1＋q 3＋q 61＋q 3＝1＋2＋41＋2＝73.方法二由S 6S 3＝3，得S 6＝3S 3.因为数列{a n }是等比数列，且由题意知q ≠－1，所以S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等比数列，所以(S 6－S 3)2＝S 3(S 9－S 6)，解得S 9＝7S 3，所以S 9S 6＝73.(2)一个项数为偶数的等比数列，各项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求通项公式．解设数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，全部奇数项、偶数项之和分别记为S 奇、S 偶，由题意知S 奇＋S 偶＝4S 偶，即S 奇＝3S 偶． ∵数列{a n }的项数为偶数，∴q ＝S 偶S 奇＝13.又a 1·a 1q ·a 1q 2＝64，∴a 31·q 3＝64，即a 1＝12. 故所求通项公式为a n ＝12·⎝⎛⎭⎫13n －1. 题型二等比数列前n 项和的实际应用例2 小华准备购买一台售价为5 000元的电脑，采用分期付款方式，并在一年内将款全部付清．商场提出的付款方式为：购买2个月后第1次付款，再过2个月后第2次付款，…，购买12个月后第6次付款，每次付款金额相同，约定月利率为0.8%，每月利息按复利计算，求小华每期付款金额是多少．解方法一设小华每期付款x 元，第k 个月末付款后的欠款本利为A k 元，则： A 2＝5 000×(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0082－x ， A 4＝A 2(1＋0.008)2－x ＝5 000×1.0084－1.0082x －x ， …A 12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x ＝0，解得x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810＝5 000×1.008121－(1.0082)61－1.0082≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．方法二设小华每期付款x 元，到第k 个月时已付款及利息为A k 元，则： A 2＝x ；A 4＝A 2(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082)； A 6＝A 4(1＋0.008)2＋x ＝x (1＋1.0082＋1.0084)； …A 12＝x (1＋1.0082＋1.0084＋1.0086＋1.0088＋1.00810)． ∵年底付清欠款，∴A 12＝5 000×1.00812，即5 000×1.00812＝x (1＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810)， ∴x ＝ 5 000×1.008121＋1.0082＋1.0084＋…＋1.00810≈880.8.故小华每期付款金额约为880.8元．跟踪训练2 从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设，并以此发展旅游产业．根据规划，本年度投入800万元，以后每年投入将比上年减少15，本年度当地旅游收入估计为400万元，由于该项建设对旅游业的促进作用，预计今后的旅游业收入每年会比上年增长14.设n 年内(本年度为第一年)总投入为a n 万元，旅游业总收入为b n 万元，写出a n ，b n的表达式．解第1年投入800万元，第2年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15万元，…，第n 年投入800×⎝⎛⎭⎫1－15n －1万元，所以总投入a n ＝800＋800×⎝⎛⎭⎫1－15＋…＋800× ⎝⎛⎭⎫1－15n －1＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n (万元)．同理，第1年收入400万元，第2年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14万元，…，第n 年收入400×⎝⎛⎭⎫1＋14n －1万元．所以总收入b n ＝400＋400×⎝⎛⎭⎫1＋14＋…＋400× ⎝⎛⎭⎫1＋14n －1＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1.综上，a n ＝4 000×⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫45n ，b n ＝1 600×⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1. 题型三新情境问题例3 定义：若数列{A n }满足A n ＋1＝A 2n ，则称数列{A n }为“平方数列”．已知数列{a n }中，a 1＝2，点(a n ，a n ＋1)在函数f (x )＝2x 2＋2x 的图象上，其中n 为正整数． (1)证明：数列{2a n ＋1}是“平方数列”，且数列{lg(2a n ＋1)}为等比数列；(2)设(1)中“平方数列”的前n 项之积为T n ，则T n ＝(2a 1＋1)(2a 2＋1)·…·(2a n ＋1)，求数列{a n }的通项及T n 关于n 的表达式；(3)对于(2)中的T n ，记b n ＝log 2a n ＋1T n ，求数列{b n }的前n 项和S n ，并求使S n ＞4 024的n 的最小值．(1)证明由条件得a n ＋1＝2a 2n ＋2a n ，2a n ＋1＋1＝4a 2n ＋4a n ＋1＝(2a n ＋1)2.∴数列{2a n ＋1}是“平方数列”．∵lg(2a n ＋1＋1)＝lg(2a n ＋1)2＝2lg(2a n ＋1)，且lg(2a 1＋1)＝lg 5≠0， ∴lg (2a n ＋1＋1)lg (2a n ＋1)＝2，∴{lg(2a n ＋1)}是首项为lg 5，公比为2的等比数列． (2)解 ∵lg(2a 1＋1)＝lg 5，∴lg(2a n ＋1)＝2n －1lg 5.∴2a n ＋1＝125n -，∴a n ＝12(125n -－1)．∵lg T n ＝lg(2a 1＋1)＋lg(2a 2＋1)＋…＋lg(2a n ＋1) ＝lg 5(1－2n )1－2＝(2n －1)lg 5， ∴T n ＝25n－1.(3)解 ∵b n ＝log 12n a +T n ＝lg T nlg (2a n ＋1)＝(2n－1)lg 52n －1lg 5＝2n －12n －1＝2－⎝⎛⎭⎫12n －1， ∴S n ＝2n －⎣⎡⎦⎤1＋12＋⎝⎛⎫122＋…＋⎝⎛⎫12n －1 ＝2n －1－⎝⎛⎭⎫12n1－12＝2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n.由S n ＞4 024，得2n －2＋2⎝⎛⎭⎫12n ＞4 024，即n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013.当n ≤2 012时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＜2 013；当n ≥2 013时，n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＞2 013. ∴n 的最小值为2 013.跟踪训练3 把一个边长为1正方形等分成九个相等的小正方形，将中间的一个正方形挖掉(如图(1))；再将剩余的每个正方形都分成九个相等的小正方形，并将中间的一个正方形挖掉(如图(2))；如此继续下去，则：(1)图(3)共挖掉了________个正方形；(2)第n 个图形共挖掉了________个正方形，这些正方形的面积和是________．答案 (1)73 (2)8n －17 1－⎝⎛⎭⎫89n解析 (1)8×9＋1＝73.(2)设第n 个图形共挖掉a n 个正方形，则a 1＝1，a 2－a 1＝8，a 3－a 2＝82，…，a n －a n －1＝8n －1(n ≥2)，所以a n ＝1＋8＋82＋…＋8n －1＝8n －17(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1也满足上式，所以a n ＝8n －17.原正方形的边长为1，则这些被挖掉的正方形的面积和为1×⎝⎛⎭⎫132＋8×⎝⎛⎭⎫134＋82×⎝⎛⎭⎫136＋…＋8n －1×⎝⎛⎭⎫132n ＝19[1－⎝⎛⎭⎫89n ]1－89＝1－⎝⎛⎭⎫89n .1．等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝1，a 4＝4，则a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n 等于( ) A ．2n－1 B.4n －13C.1－(－4)n 5D.1－(－2)n 32．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数n (n ∈N *)等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．63．等比数列{a n }的前m 项和为4，前2m 项和为12，则它的前3m 项和是( ) A ．28 B ．48 C ．36 D ．524．已知数列{a n }是等比数列，S n 是其前n 项的和，a 1，a 7，a 4成等差数列．求证：2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．一、选择题1．等比数列{a n }的前n 项和为S n ，且4a 1,2a 2，a 3成等差数列．若a 1＝1，则S 4等于( ) A ．7 B ．8 C ．15 D ．162．等比数列{a n }的首项为1，公比为q ，前n 项的和为S ，由原数列各项的倒数组成一个新数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项的和是( )A.1S B ．Sq n －1 C ．Sq 1－n D.q n S3．已知等比数列{a n }的前3项和为1，前6项和为9，则它的公比q 等于( ) A.12B ．1C ．2D ．4 4．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n －1(a 是不为零的常数且a ≠1)，则数列{a n }( ) A ．一定是等差数列 B ．一定是等比数列C ．或者是等差数列，或者是等比数列D ．既非等差数列，也非等比数列5．设数列{x n }满足log 2x n ＋1＝1＋log 2x n (n ∈N *)，且x 1＋x 2＋…＋x 10＝10，记{x n }的前n 项和为S n ，则S 20等于( ) A ．1 025 B ．1 024 C ．10 250D ．20 2406．已知等比数列{a n }的首项为8，S n 是其前n 项的和，某同学经计算得S 1＝8，S 2＝20，S 3＝36，S 4＝65，后来该同学发现其中一个数算错了，则该数为( ) A ．S 1 B ．S 2 C ．S 3 D ．S 47．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若8a 2＋a 5＝0，则下列式子中数值不能确定的是( ) A.a n ＋1a n －1B.S 5S 3C.S 5a 3D.S n ＋1S n二、填空题8．在数列{a n }中，已知对任意正整数n ，有a 1＋a 2＋…＋a n ＝3n －1，则a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 2n ＝________.9．等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，S 3＝2，S 6＝6，则a 10＋a 11＋a 12＝________.10．设正项等比数列{a n }的首项a 1＝12，前n 项和为S n ，且210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，则公比q ＝________.11．设f (x )是定义在R 上的恒不为零的函数，且对任意的实数x ，y ，都有f (x )·f (y )＝f (x ＋y )．若a 1＝12，a n ＝f (n )(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和S n ＝________.三、解答题12．数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝t ，点(S n ，a n ＋1)在直线y ＝2x ＋1上，其中n ∈N *. (1)若数列{a n }是等比数列，求实数t 的值；(2)设各项均不为0的数列{c n }中，所有满足c i ·c i ＋1＜0的整数i 的个数称为这个数列{c n }的“积异号数”，令c n ＝na n －4na n (n ∈N *)，在(1)的条件下，求数列{c n }的“积异号数”．13．某市为控制大气PM2.5的浓度，环境部门规定：该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨，否则将采取紧急限排措施．已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨，通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施，此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%.同时，因为经济发展和人口增加等因素，每年又新增加大气主要污染物排放量m(m＞0)万吨．(1)从2014年起，该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列{a n}，求相邻两年主要污染物排放总量的关系式；(2)证明：数列{a n－10m}是等比数列；(3)若该市始终不需要采取紧急限排措施，求m的取值范围．当堂检测答案1．答案 B解析由a 1a 2a 3＝1得a 32＝1， ∴a 2＝1，又∵a 4＝4， ∴a 4a 2＝4. ∴数列a 2，a 4，a 6，…，a 2n 是首项为1，公比为4的等比数列．∴a 2＋a 4＋a 6＋…＋a 2n ＝1－4n 1－4＝4n －13.2．答案 D解析设每天植树棵数为{a n }，则{a n }是等比数列， ∴a n ＝2n (n ∈N *，n 为天数)．由题意得2＋22＋23＋…＋2n ≥100， ∴2n －1≥50， ∴2n ≥51， ∴n ≥6.∴需要的最少天数n ＝6. 3．答案 A解析易知S m ＝4，S 2m －S m ＝8， ∴S 3m －S 2m ＝16， ∴S 3m ＝12＋16＝28.4．证明设等比数列{a n }的公比为q ，由题意得2a 7＝a 1＋a 4，即2a 1·q 6＝a 1＋a 1·q 3， ∴2q 6－q 3－1＝0.令q 3＝t ，则2t 2－t －1＝0， ∴t ＝－12或t ＝1，即q 3＝－12或q 3＝1.当q 3＝1时，2S 3＝6a 1，S 6＝6a 1，S 12－S 6＝6a 1， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．当q 3＝－12时，2S 3＝2×a 1(1－q 3)1－q ＝2a 1×321－q ＝3a 11－q，S 6＝a 1(1－q 6)1－q ＝3a 141－q ， S 12－S 6＝a 7(1－q 6)1－q ＝a 1·q 6(1－q 6)1－q ＝a 14×341－q ， ∴S 26＝2S 3·(S 12－S 6)， ∴2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．综上可知，2S 3，S 6，S 12－S 6成等比数列．课时精练答案一、选择题1．答案 C解析由题意得4a 2＝4a 1＋a 3，∴4(a 1q )＝4a 1＋a 1·q 2，∴q ＝2，∴S 4＝1·(1－24)1－2＝15. 2．答案 C解析易知数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 也是等比数列，首项为1，公比为1q ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1－(1q )n 1－1q＝q (1－q n )(1－q )q n ＝1－q n 1－q ·1q n －1＝S qn －1＝S ·q 1－n . 3．答案 C解析 S 3＝1，S 6＝9，∴S 6－S 3＝8＝a 4＋a 5＋a 6＝q 3(S 3)＝q 3，∴q 3＝8，∴q ＝2.4．答案 B解析当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(a －1)·a n －1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝a －1，也满足上式．∴a n ＝(a －1)·a n －1，n ∈N *. ∴a n ＋1a n＝a ，为常数．∴数列{a n }一定是等比数列．5．答案 C解析 ∵log 2x n ＋1＝1＋log 2x n ＝log 2(2x n )，∴x n ＋1＝2x n ，且x n ＞0，∴{x n }为等比数列，且公比q ＝2，∴S 20＝S 10＋q 10S 10＝10＋210×10＝10 250，故选C.6．答案 C解析由题S 1正确．若S 4错误，则S 2、S 3正确，于是a 1＝8，a 2＝S 2－S 1＝12，a 3＝S 3－S 2＝16，与{a n }为等比数列矛盾，故S 4＝65.若S 3错误，则S 2正确，此时，a 1＝8，a 2＝12.∴q ＝32，∴S 4＝a 1(1－q 4)1－q ＝8⎣⎡⎦⎤1－(32)41－32＝65，符合题意． 7．答案 D解析由8a 2＋a 5＝0，得8a 2＋a 2q 3＝0，∵a 2≠0，∴q 3＝－8，∴q ＝－2，∵a n ＋1a n －1＝q 2＝4， S 5S 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1(1－q 3)1－q＝1－q 51－q 3＝113， S 5a 3＝a 1(1－q 5)1－q a 1q 2＝1－q 5q 2(1－q )＝114，而D 中S n ＋1S n ＝1－q n ＋11－q n 与n 有关，故不确定．二、填空题8．答案 12(9n －1) 解析 {a n }的首项为2，公比为3，∴{a 2n }也为等比数列，首项为4，公比为9，∴{a 2n }的前n 项和为4(1－q n )1－q＝12(9n －1) 9．答案 16解析方法一 ∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列， ∴(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)．又∵S 3＝2，S 6＝6，∴S 9＝14.再由S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，即(S 9－S 6)2＝(S 6－S 3)·(S 12－S 9)，求出S 12－S 9＝16，即a 10＋a 11＋a 12＝16.方法二由S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9成等比数列，此数列首项为S 3＝2，公比q ′＝S 6－S 3S 3＝6－22＝2，得S 12－S 9＝2×23＝16. 10．答案 12解析由210S 30－(210＋1)S 20＋S 10＝0，得210(S 30－S 20)＝S 20－S 10.又S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等比数列，∴S 30－S 20S 20－S 10＝q 10＝(12)10. 又{a n }为正项等比数列，∴q ＝12. 11．答案 1－12n 解析令x ＝n ，y ＝1，则f (n )·f (1)＝f (n ＋1)，又a n ＝f (n )，∴a n ＋1a n ＝f (n ＋1)f (n )＝f (1)＝a 1＝12， ∴数列{a n }是以12为首项，12为公比的等比数列， ∴S n ＝12(1－12n )1－12＝1－12n . 三、解答题12．解 (1)由题意，当n ≥2时，有⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1＝2S n ＋1a n ＝2S n －1＋1，两式相减，得a n ＋1－a n ＝2a n ，即a n ＋1＝3a n (n ≥2)，所以，当n ≥2时{a n }是等比数列，要使n ≥1时{a n }是等比数列，则只需a 2a 1＝2t ＋1t＝3，从而得出t ＝1.(2)由(1)得，等比数列{a n }的首项为a 1＝1，公比q ＝3，∴a n ＝3n －1， ∴c n ＝na n －4na n ＝n ·3n －1－4n ·3n 1＝1－4n ·3n 1， ∵c 1＝1－41＝－3，c 2＝1－42×3＝13， ∴c 1c 2＝－1＜0，∵c n ＋1－c n ＝4n ·3n －1－4(n ＋1)·3n ＝4(2n ＋3)n (n ＋1)·3n＞0， ∴数列{c n }递增．由c 2＝13＞0得，当n ≥2时，c n ＞0. ∴数列{c n }的“积异号数”为1.13．(1)解由已知得，a 1＝40×0.9＋m ，a n ＋1＝0.9a n ＋m (n ≥1)．(2)证明由(1)得：a n ＋1－10m ＝0.9a n －9m ＝0.9(a n －10m )，所以数列{a n －10m }是以a 1－10m ＝36－9m 为首项，0.9为公比的等比数列．(3)解由(2)得a n －10m ＝(36－9m )·0.9n －1，即a n ＝(36－9m )·0.9n －1＋10m . 由(36－9m )·0.9n －1＋10m ≤55，得 m ≤55－36×0.9n －110－9×0.9n －1＝5.5－4×0.9n 1－0.9n ＝ 1.51－0.9n ＋4 恒成立(n ∈N *)，解得m ≤5.5，又m ＞0，综上可得m ∈(0,5.5]．。

4.3.2等比数列的前n项和公式-2

(1)求从正方形 ABCD开始，连续10个正方形的面积之和；
(2)如果这个作图过程可以一直继续下去 ,那么所有这些正方形的面积
之和将趋于多少？所有四边形周长之和将趋于多少？
解：设正方形ABCD的面积为a1,后续各正方形的面积依次为
a2 , a3,an ,,则 a1 25.
由于第k 1个正方形的顶点分别是第k个正方形各边的中点 ,
3.方程思想、分类思想.
4.3.2 等比数列的前n项和公式(2) 数列应用题分组求和
例4. 如图,正方形ABCD的边长为5cm,取正方形
ABCD各边的中点 E, F,G, H,作第2个正方形EFGH , 然后再取正方形 EFGH各边的中点 I, J , K, L,作第3个
正方形IJKL,依此方法一直继续下去 .
所以, (1)中的递推公式可以化为
cn1 1250 1.08(cn 1250 ).
例6. 某牧场今年初牛的存栏数为 1200,预计以后
每年存栏数的增长率为 8%,且在每年年底卖出100 头牛.设牧场从今年起每年年初的计划存栏数依次
为c1, c2 , c3,.
(1)写出一个递推公式 , 表示cn1与cn之间的联系;
(3)求Sn c1 c2 c3 c10的值(精确到1).
解：(1)由题意,得c1 1200,并且
cn1 1.08cn 100 .
(2)将cn1 k r(cn k)化为
cn1 rcn rk k.
可得kr
1.08, rk 100.
解这个方程组 ,得
r 1.08, k 1250.
所以
1 ak1 2 ak .
因此,
an
是以25为首项,
1 2
为公比的等比数列.

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2 n 1
3.求和：（a 1) (a 2) ...... (a n)
2 n
变式：
1 1 1 1 求1 ,2 ,3 ， ......,n n 的前 n项和。 2 4 8 2
思考：
等比数列中 a1 a 2 a3 2, a4 a5 a 6 16, 求：a7 a8 a9
已知{an }中，an1 2an , a2 3, 求S6 .
题型二灵活设项求解等比数列
1、三个数成等比数列，其积为512，如果第一个数与第三个数各减去2，则这三个数成等差数列，求这三个数．
变式：
2、有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和是12，求这四个数．
结论：
等比数列 {an }中， S n , S 2 n S n , S3n S 2 n成等比数列。
自主探究：
1、等比数列的前7项的和为48，前14项的和为60，求前21项的和。
变式：
已知等比数列 {an }的前n项和为S n , 若S30 13S10， S10 S30 140 ，求S 20.
2n 8, 即此数列共有8项.
等比数列前n项和的性质
1.若G.P an 有2n项, 则 :
推导过程:
a2 1 q 2 n 1 q
2 S偶
, S奇
a1 1 q 2 n 1 q
2
,
a2 q. S奇 a1
巩固练习
1 1.已知等比数列的公比为q , 且a1 +a3 +a5 + +a99 60 2 则S100 ________ .
an ，a1 a2 a3 10 2、等比数列
a1 a2 a3 a4 a5 a6 14, 求a7 a8 a9
合作探究：
例1:已知一个项数时偶数的等比数列的首项为1,其奇数项的和为85,偶数项的和为170,求这个数列的公比和项数.
解 : 设此数列的公比为q, 项数为2n. S偶 170 则q= 2. S奇 85 a1 1 q 2 n 1 q 2n 又 S奇 85, 即 85. 2 2 1 q 1 q
课前检测：
等比数列 {a n }中，（ 1 ）a1 3, q 4, n 5.求S 5 1 1 (2)a1 8, q , a n , 求S n 2 2
自主探究： 1 2 3 4 n 1.求和 ... n 2 4 8 16 2
2.等比数列 {an }中, 求1 2 x 3x ....... nx
等比数列的前n项和（二）
有关的性质
【学习目标】 1．学生能熟练的运用等比数列和的性质解决相关题型,并且在练习中比较传统方法和利用性质在解题中的妙用。 2．学生利用等比数列的通项公式和和公式推导奇偶数项的性质，并且能熟练的利用相关的公式。 3、通过自主探究，使学生理解并掌握几种常见求和方法在具体问题中的灵活运用。 4、通过题型二，学生能灵活利用题目条件设未知量