结构力学主要定理
结构力学常用公式
结构力学常用公式
1.应力公式：σ=F/A，其中 F 为作用力，A 为作用面积，σ为应力。
2. 应变公式：ε = ΔL/L0，其中ΔL 为变形量，L0 为原始长度，ε为应变。
3. 弹性模量公式：E = σ/ε，其中 E 为弹性模量。
4. 餘弦定理：c = a + b - 2abcosC，其中 a，b 为两边的长度，
C 为两边之间的夹角，c 为斜边的长度。
5. 正弦定理：a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中 a，b，c 为三角形三条边的长度，A，B，C 为三角形对应的内角。
6. 面积公式：A = 1/2bh，其中 b 为底边的长度，h 为高度。
7. 矩形截面抵消矩阵算式：I = bh/12，其中 I 为矩形截面的抵消矩阵，b 为宽度，h 为高度。
8. 圆形截面抵消矩阵算式：I = πr/4，其中 I 为圆形截面的抵消矩阵，r 为半径。
9. 计算杆件最大承受力公式：Fmax = σmaxA，其中 Fmax 为杆件最大承受力，σmax 为材料的最大允许应力，A 为杆件横截面积。
10. 悬索线的张力公式：T = (Wl)/(8d)，其中 T 为悬索线的张力，W 为悬挂物的重量，l 为悬挂物的长度，d 为悬索线的跨度。
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结构力学复习范文
结构力学复习范文结构力学是研究物体在外力作用下的静力学和动力学特性的学科。
它是工程学的基础科学之一，对于工程师来说是非常重要的。
在这篇文章中，我们将复习一些关键的结构力学概念和公式。
1.静力平衡:静力平衡是结构力学的基础，它通过分析受力结构体的各个部分，使得结构体整体处于平衡状态。
静力平衡的条件是力的合力为零，力的合力矩为零。
力的合力是所有外力和内力与零点连接线的代数和，力的合力矩是所有外力和内力与零点连接线的代数和与零点的距离的乘积。
2.梁的静力学:梁是一种常见的结构物，用来承载和传递载荷。
梁的静力学分析是确定梁在给定外力作用下的内力、弯矩和剪力。
常见的梁的静力学方程有弯矩方程和剪力方程。
在梁的静力学分析中，我们通常假设梁是细长的，并且在小段上是直线的。
3.杆的静力学:杆是一种常见的结构元素，用来承受拉压载荷。
杆的静力学分析是确定杆在给定外力作用下的应力和变形。
在杆的静力学分析中，我们通常假设杆是细长的，并且在大多数情况下是均匀的。
4.桁架的静力学:桁架是由杆件和连接节点构成的结构体系，用于支撑和分散荷载。
桁架的静力学分析通常涉及到力的平衡和节点的变形。
常见的桁架的静力学方程有平衡方程和位移方程。
5.刚体平衡:刚体是一个不会变形的物体，在静力学中，我们假设结构体是刚体。
刚体平衡是指刚体在外力作用下保持平衡的条件。
刚体平衡的条件是力的合力为零，力的合力矩为零。
6.动力学:动力学是研究物体运动的学科。
在结构力学中，我们主要关注结构体在外力作用下的振动特性。
常见的动力学方程有加速度方程和位移方程。
动力学分析可以用来确定结构体的共振频率和模态形状。
这些是结构力学的一些关键概念和公式。
希望本次复习可以帮助你加深对结构力学的理解和应用。
结构力学笔记
第一章绪论1、不论设计任何结构都要经过正确的计算，才能达到安全、经济和合乎使用要求的目的。
2、活动铰支座、铰支座、固定支座和定向支座3、杆件结构的结点，通长可分为铰结点、刚结点、组合结点三种。
4、铰结点上的铰结端可以自由相对转动，因此，受荷载作用时：铰结点上个杆间夹角可以改变，与受荷前的夹角不同；各杆的铰结端不产生弯矩。
铰结点：被连接的杆件在连接处不能相对移动，但可以相对转动，可以传递力，但不能传递力矩。
木屋架的结点比较接近与铰结点。
5、刚结点上各杆的刚结端不能相对转动，即认为刚结点是一个刚体，各杆均刚结与此刚体上，因此，受荷后：刚结点上各杆间的夹角不变，各杆的刚结端旋转同一个角度；各杆的刚结端一般产生弯矩。
刚结点：被链接的杆件在连接处既不能相对移动，又不能相对转动，既可以传递力也可以传递力矩。
现浇混凝土结点通常属于这类情形。
6、若在同一个结点上，某些杆间相互刚结，而另一些杆间相互铰结，则称为组合结点或半铰结点。
7、铰结点上的铰称为完全铰或全铰。
组合结点上的铰则称为非完全铰或半铰。
8、实际结构情况复杂，往往不能考虑所有因素去做严格计算，而需去掉次要因素，以简化图式来代替，这种用以计算的简化图式，叫做结构的计算简图或计算模型。
9、确定计算简图的原则是：保证设计上需要的足够精度；使计算尽可能简单。
10、常见杆件结构类型梁（多跨静定梁、连续梁）、拱、桁架、钢架第二章平面体系的几何组成分析1、在不考虑材料应变的条件下，几何形状和位置都不能改变的体系称为几何不变体系。
在原来位置上可以运动，而发生微量位移后不能继续运动的体系，叫做瞬变体系。
可以发生非微量位移的体系称为常变体系。
常变体系和瞬变体系统称为可变体系，均不能作为建筑结构，只有几何不变体系才能用作建筑结构。
由于瞬变体系能产生很大的内力，所以不能用作建筑结构。
2、自由度：是体系运动时可以独立改变的几何参数的数目。
即确定体系位置所需的独立坐标的数目。
3、点的自由度：在平面内点的自由度等于2.4、刚片：几何不变的平面物体叫刚片。
结构力学总结
式中，n为结构的超静定次数, W为体系的计算自由度。 （2）去约束法 将多余约束去掉，使原结构转化为静定结构，则所去联系总数， 即为原结构的超静定次数。 （3）框格法 框格法计算超静定次数的公式
n 3m h
式中，m为封闭框格数,h为单铰数
n=3×5-7=8 n=3×7-13=8
3. 力法的基本概念 基本未知量：多余约束力。 基本结构：去掉多余联系后的结构。 基本方程：利用基本结构与原结构变形一致的条件建立的求解 多余约束力的方程，又称为力法的典型方程或简称力法方程。 4. 力法的思路 力法的思路是搭桥法。即：综合考虑结构的平衡条件、物理条 件和位移条件，将超静定结构的计算转化为静定结构的计算。 可见，力法计算实际上是对静定结构进行计算。
m2 - m1 + m = 0 m1 - m2 = m
m1
m2
m1=m2
绘M图的一些原则
• 凡有悬臂杆段、简支杆段，可先绘其M图 • 直杆无荷载作用杆段， M图为直线 • 剪力相等的平行杆段， M图也平行 • 含滑动连接的杆段(两平行链杆与杆段平行)，
M图为平行线 • 铰处若无集中力偶作用， M=0 • 对称性 • 区段迭加原理
（2）虚拟力的设置法：虚拟状态中的虚拟力必须取为与实际 状态所求位移相应的广义单位力，保证使虚拟状态中该虚拟 力在实际状态中所求位移上所做的虚功在数值上等于所求位 移。
5．静定结构在荷载作用下的位移计算
在荷载作用下, 结构位移计算的公式为
KP
F N FNP ds EA
k F SFSP ds GA
若
1
，则
2
N1
N2
若
1
，则
2
N1
N2,
土木工程结构力学重点公式速记
土木工程结构力学重点公式速记在土木工程结构力学中，掌握和记忆各类重要公式是非常重要的。
这些公式在分析和设计土木结构时起到了至关重要的作用。
下面是一些结构力学中的重点公式，供大家参考和学习。
1. 应力和应变1.1 线弹性应力-应变关系：σ = Eε其中，σ是应力，E是弹性模量，ε是应变。
1.2 泊松比：ν = -εt/εl其中，ν是泊松比，εt是横向应变，εl是纵向应变。
2. 梁的基本公式2.1 弯矩和剪力：弯矩： M = -EI(d^2y/dx^2)剪力： V = -EI(d^3y/dx^3)在上述公式中，M表示弯矩，V表示剪力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，y表示位移，x表示距离。
2.2 梁的挠度：δ = (F*l^3)/(3EI)其中，δ表示挠度，F表示外力，l表示梁的长度，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩。
3. 柱和压杆的公式3.1 柱的稳定性：Pcr = π^2EI/[(KL)^2]其中，Pcr表示临界压力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示杆件的有效长度系数，L表示柱的长度。
3.2 压杆的最小截面面积：Amin = (Fcr*S)/σy其中，Amin表示最小截面面积，Fcr表示临界力，S表示长度，σy表示材料屈服应力。
4. 桁架结构的公式4.1 桁架成员的力：F = (PL)/(AE)其中，F表示力，P表示外力，L表示成员长度，A表示横截面面积，E表示弹性模量。
4.2 桁架的稳定性：Ncr = (π^2EI)/[(KL)^2]其中，Ncr表示临界力，E表示弹性模量，I表示截面惯性矩，K表示杆件的有效长度系数，L表示桁架的长度。
5. 地基基础的公式5.1 承载力：q = cNc + q'Nq + 0.5γBNγ其中，q表示承载力，c表示黏土的凝聚力，Nc表示凝聚力系数，q'表示黏聚力的有效张力，Nq表示摩擦系数，γ表示土的重度，B表示基础底面积，Nγ表示重度系数。
工程力学-结构力学课件-12动量矩定理p
12-1、图示三角形薄板，质量为m ，a 、h 已知，求薄板对z 轴的转动惯量z J 。
12-2、如图所示，质量为m 的偏心轮在水平面上作平面运动。
轮子轴心为A ，质心为C ，AC = e ；轮子半径为R ，对轴心A 的转动惯量为A J ；C ，A ，B 三点在同一铅直线上。
1）当轮子只滚不滑时，若A v 已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
2）当轮子又滚又滑时，若A v ，ω已知，求轮子的动量和对地面上B 点的动量矩。
题12-2图12-3、如图所示，求下列两种情况的动量矩O L ：(a) 质量为m ，半径为R 的均质薄圆盘绕水平轴O (垂直纸面)转动的角速度为ω； (b) 质量为m ，长为l 的均质细直杆绕O 轴转动的角速度为ω。
12-4、如图：（a ）所示刚体由均质圆环与直秆焊接而成，两者质量均为m ，求绕O 轴的转动惯量；(b ）所示均质圆盘质量为1m ，绳子无重且不可伸长．与圆盘之间无相对滑动，物块A 、B 质量均为2m ，求系统对O 轴的动量矩。
（a ）（b12-5、某质点对于某定点O 的动量矩矢量表达式为：226(86)(4)t t t =++--O L i j k ，式中为t 时间，i, j, k 分别为x 、y 、z 轴向的单位矢量，求此质点上作用力对O 点的力矩的大小。
12-6、均质杆AB ，长L ；质量m ，在已知力A F ,B F (A B F F ≠)作用下，在铅垂面内作平面运动，若对端点B ，中点C 的转动惯量分别为B J ，C J ，求图示瞬时杆AB 的角加速度。
12-7、两根质量均为8kg的均质细杆固连成T字形，可绕通过O点的水平轴转动，当OAω=。
求该瞬时轴承O处的约束反力。
处于水平位置时，T形杆具有角速度4rad/s12-8、均质圆轮A质量为1m，半径为1r，以角速度ω绕杆OA的A端转动，此时将轮放置在m的另一均质圆轮B上，其半径为2r，如图所示。
轮B原为静止，但可绕其中心轴质量为2自由转动。
十六种结构力学公式
十六种结构力学公式十六种结构力学公式是在工程结构领域中广泛应用的力学公式。
结构力学公式是结构工程的基础，是工程师在进行结构工程设计和分析时必须了解和掌握的基本技能。
结构工程是建筑工程中的一个分支，主要关注建筑物或其他结构的设计、分析和建造。
结构工程需要对建筑物或其他结构的结构、力学和物理性质有深入的了解，才能确保建筑物或其他结构的结构安全和稳定。
以下是十六种结构力学公式的详细介绍。
1. 颜氏公式颜氏公式是一种用于计算杆件在受力下的位移的公式，也称为斯特鲁夫定理。
该公式使用杆件的模量、长度、截面积和载荷来计算底部的杆件位移。
2. 韦尔斯公式韦尔斯公式是一种用于计算梁在受力下的最大弯曲应力的公式。
该公式使用梁的长度、截面积、载荷和弹性模量来计算梁上的最大弯曲应力。
3. 安普洛公式安普洛公式是一种用于计算板在受力下的最大弯曲应力的公式，也称为克莱温公式。
该公式使用板的长度、宽度、厚度、载荷和弹性模量来计算板上的最大弯曲应力。
4. 克利通公式克利通公式是一种用于计算光杆在受力下的临界载荷的公式。
该公式使用光杆的长度、截面积和弹性模量来计算光杆的临界载荷。
5. 邓肯公式邓肯公式是一种用于计算杆件在受力下的临界载荷的公式。
该公式使用杆件的长度、截面积、弹性模量和有效长度系数来计算杆件的临界载荷。
6. eul公式欧拉公式是一种用于计算杆件在不同长度、截面积、模量和载荷条件下的临界载荷的公式。
该公式使用杆件的长度、截面积、弹性模量和材料的泊松比来计算杆件的临界载荷。
7. 比客定律比客定律是一种用于计算异性截面梁的转角和剪力的公式，也称为截面定理。
该定律使用梁的截面积和重心位置来计算梁的剪力和转角。
8. 最小势能定理最小势能定理是一种用于计算结构势能最小的方法，也称为虚功原理。
该定理使用结构从起始到结束所消耗的能量，即适用于弹性结构中弹性应力根据微小位移所产生的功。
9. 莫尔定理莫尔定理是一种用于计算板的振动特性的定理。
结构力学考研知识点归纳
结构力学考研知识点归纳结构力学是土木工程专业研究生入学考试的重要科目之一，它主要研究建筑结构在外力作用下的内力、变形和稳定性问题。
以下是结构力学考研的一些关键知识点归纳：基本概念和原理- 力的基本概念：力的三要素（大小、方向、作用点）。
- 静力学基本定理：平衡条件、力矩平衡等。
- 材料力学性质：弹性模量、泊松比、屈服强度等。
静定结构分析- 静定梁的内力分析：弯矩、剪力、轴力的计算。
- 静定桁架的内力分析：节点法、截面法。
- 三铰拱和悬索结构的内力分析。
超静定结构分析- 力法、位移法和弯矩分配法的原理和应用。
- 连续梁和框架结构的分析。
- 影响线的概念及其应用。
稳定性分析- 临界载荷的确定方法。
- 欧拉公式及其应用。
- 稳定性与结构形式、材料特性的关系。
能量方法- 虚功原理和最小势能原理。
- 莫尔定理和卡斯特拉诺定理。
- 能量方法在结构分析中的应用。
矩阵位移法- 局部坐标系和全局坐标系的建立。
- 刚度矩阵的组装和边界条件的处理。
- 结构的自由振动分析。
非线性问题- 材料非线性：塑性变形、破坏。
- 几何非线性：大变形问题。
- 接触非线性问题的处理方法。
结构动力分析- 单自由度和多自由度系统的振动分析。
- 地震作用下的结构响应分析。
- 随机振动和疲劳分析。
结构优化设计- 结构优化的基本概念和方法。
- 拓扑优化、形状优化和尺寸优化。
- 优化设计在实际工程中的应用。
结束语结构力学作为一门应用广泛的学科，其知识点繁多且相互关联。
考研复习时，不仅要掌握上述知识点，还要注重理论与实践的结合，通过大量的练习来加深理解。
希望以上的归纳能够帮助考生们更系统地复习结构力学，为考研做好充分的准备。
考研结构力学的知识点梳理
第一章结构的几何构造分析1 •瞬变体系：本来是几何可变，经微小位移后，又成为几何不变的体系，成为瞬变体系。
瞬变体系至少有一个多余约束。
2.两根链杆只有同时连接两个相同的刚片，才能看成是瞬较。
3.关于无穷远处的瞬较：（1）每个方向都有且只有一个无穷远点，（即该方向各平行线的交点），不同方向有不同的无穷远点。
（2）各个方向的无穷远点都在同一条直线上（广义）。
（3）有限点都不在无穷线上。
4.结构及和分析中的灵活处理：（1）去支座去二元体。
体系与大地通过三个约束相连时，应去支座去二元体；体系与大地相连的约束多于4个时，考虑将大地视为一个刚片。
（2）需要时，链杆可以看成刚片，刚片也可以看成链杆，且一种形状的刚片可以转化成另一种形状的刚片。
5.关于计算自由度：（基本不会考）（1），则体系中缺乏必要约束，是几何常变的。
（2）若，则体系具有保证几何不变所需的最少约束，若体系无多余约束，则为几何不变，若有多余约束，则为几何可变。
（3）,则体系具有多与约束。
是保证体系为几何不变的必要条件，而非充分条件。
若分析的体系没有与基础相连，应将计算出的W减去3.第二章静定结构的受力分析1.静定结构的一般性质：（1）静定结构是无多余约束的几何不变体系，用静力平衡条件可以唯一的求得全部内力和反力。
（2）静定结构只在荷载作用下产生内力，其他因素作用时，只引起位移和变形。
（3）静定结构的内力与杆件的刚度无关。
（4）在荷载作用下，如果仅靠静定结构的某一局部就可以与荷载维持平衡，则只有这部分受力，其余部分不受力。
（5）当静定结构的一个内部几何不变部分上的荷载或构造做等效变换时，其余部分的内力不变。
（6）静定结构有弹性支座或弹性结点时，内力与刚性支座或刚性节点时一样。
解放思想：计算内力和位移时，任何因素都可以分别作用，分别求解，再线性叠加，以将复杂问题拆解为简单情况处理。
2.叠加院里的应用条件是：用于静定结构内力计算时应满足小变形，用于位移计算和超静定结构的内力计算时材料还应服从胡克定律，即材料是线弹性的。
归纳总结戴维南定理
归纳总结戴维南定理
戴维南定理是一个著名的结构力学定理，它的发现是由英国工程师Adriano Davinin 1864年发明的。
它说明了一个物体的内部结构和其外部形状之间的联系。
定理指出，一个物体的内部结构是它能承受外力的能力的重要因素。
戴维南定理解释了当施加某种外力时，一个物体的内部结构如何影响它的行为。
它指出，当一个柱子的立柱连续的，它的剪切强度就大些，而反之，如果它的立柱不是连续的，就会减小剪切强度。
戴维南定理的应用也有很多，一个最重要的应用是工程设计。
它可以帮助工程师设计出能承受特定荷载和外力的构件。
该定理还有助于设计更坚固、更稳定的机械设备和建筑物。
另一个重要的应用是材料科学。
它有助于确定一个材料在特定外力作用下的疲劳行为和抗压强度。
此外，它也有助于确定一个材料在环境温度和湿度的变化下的强度变化。
总的来说，戴维南定理是一个重要的工程和材料科学原理，它指导着设计构件的大量工程设计、机械设备设计和建筑物设计，它也有助于确定一种材料的抗压强度。
它的应用是在现代工程设计中非常重要的，它也是现代科学和技术发展之重要一环。
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§11-1概述1．变形功与变形能弹性杆受拉力P作用（图11-1），当P从零开始到终值缓慢加载时，力P在其作用方向上的相应位移也由零增至而做功，称为变形功。
（11-1）与此同时弹性杆被拉长而具有做功的能力，表明杆件内储存了变形能。
单位体积储存的应变能称为应变比能（11-2）整个杆件的变形能为（11-3）如果略去拉伸过程中的动能及其它能量的变化与损失，由能量守恒原理，杆件的变形能U在数值上应等于外力做的功W，即有U=W （11-4）这是一个对变形体都适用的普遍原理称为功能原理，弹性固体变形是可逆的，即当外力解除后，弹性体将恢复其原来形状，释放出变形能而做功。
但当超出了弹性范围，具有塑性变形的固体，变形能不能全部转变为功，因为变形体产生塑性变形时要消耗一部分能量，留下残余变形。
2．应变余功与余能变形体受外力作用时的余功定义为其中P1是外力从零增加到的终值，仿照功与变形能相等的关系，将余功相应的能称为余能，用U c表示。
余功与余能相等，即可仿照前面，定义单位体积余应变能（或应变余能），称为余应变比能由此整个结构余应变能可写成应指出：余功、余应变能、余应变比能具有功的量纲，是变形体的另一能量参数，但都没有具体的物理概念，只是常力所做的功减去变力所做功余下的那部分功。
3．能量原理固体力学中运用功与能有关的基本原理统称为能量原理，由此发展出来的方法称为能量法。
能量原理是在总体上从功与能的角度考察变形体系统的受力、应力与变形的原理与方法，是进一步学习固体力学的基础，也是当今应用甚广的有限元法求解力学问题的重要基础。
4．本章内容本章只涉及能量原理在材料力学中常用的部分内容，如：变形能、互等定理、卡氏定理、虚功原理、单位载荷法及图乘法，更为深入的，如最小势能原理，最小余能原理等变分原理，可参考其它专著。
§11-2 杆件变形能计算杆件不同受力情况下的变形能。
1．轴向拉伸或压缩线弹性杆件（图11-3）拉、压杆应变比能则整个杆的变形能或（11-5）（11-6）其中，N是内力（轴力），A是截面面积，l是杆长。
对于等截面杆，内力N=P=常数，用（11-1），线弹性范围内拉压杆的变形能而杆的伸长（或缩短），上式可改写成（11-7）2．纯剪，扭转线弹性杆件（图11-4）线弹性材料纯剪应力状态杆件的应变比能为或（11-8）扭转杆的变形能（11-9）其中，T（x）是截面上的扭矩（内力）。
对于受扭转力偶矩m作用的等截面圆杆，如果杆件材料是线弹性的，则其扭转角为；扭转力偶矩m所作的功为。
则由（11-1），扭转变形能为（11-10）3．线弹性梁弯曲弹性弯曲杆的应变比能；整个杆的变形能（11-11）=（11-12）其中，M（x）是梁截面的弯矩（内力矩）。
对于弹性纯弯曲梁，其两端受弯曲力偶矩m作用，m由零开始逐渐增加到最终值，则两端截面的相对转角为θ，则弯曲力偶矩所做的功为（图11-5），则由（11-1）得杆的应变能11-13）对于纯弯曲梁常数，上式亦可由（11-8）得到。
4．广义力与广义位移对于拉压杆、扭转杆、弯曲杆的变形能可统一写成（11-14）式中P在拉伸时代表拉力，扭转时代表扭转力偶矩，弯曲时代表弯曲力偶矩，P称为广义力，而与之相应的位移δ，称为广义位移，如拉伸时它是与P相应的线位移；扭转时，它是与扭转力偶矩相应的角位移；弯曲时，它是与弯曲力偶矩相应的截面角位移θ。
更一般地说，广义力矢量与相应广义位移矢量的点积等于功。
5．非线性弹性材料的构件的变形功、变形能对于非线性弹性材料的构件（图11-1），（11-4）式仍成立，但力与位移关系，应力与应变关系应为由试验确定的曲线（图11-1），变形能与应变比能为，（11-15）例题11-1轴线为半圆形平面曲杆如图11-6，作用于A点的集中力P垂直于轴线所在平面，求P力作用点的垂直位移。
解：杆的任一截面mn位置可用圆心角φ来表示，曲杆在P力作用下，mn截面上有弯矩与扭矩为对于截面尺寸远小于半径R的曲杆（常称小曲率曲杆），可按直杆计算其变形能，微段内的变形能是整个曲杆变形能可在杆上积分，即P做的功W为, 根据（11-1）有, ,由此得:，例题11-2 图11-7简支梁中间受集中力P作用，试导出横力弯曲变形能U1和剪切变形能U2，以矩形截面梁为例比较这两变形能的大小。
解：（1）变形能计算如图11-8所示，m-n截面上内力为M(x)、Q(x)，则有, 。
弯曲变形比能又可称应变比能u1，剪切变形比能u2分别为,∴，令，并令，则有：，。
横力弯曲总应变能；对于矩形截面梁（图11-8）无量纲参数k为；对其它截面形状，同理可求得相应的k，例如圆形截面，圆管截面梁k=2。
（2）两变形能的比较图11-7简支梁，则按上式，总应变能，两应变能之比，。
矩形截面，，∴。
取，当，以上比值为0.125；当，为0.0312。
可见对细长梁，剪切应变能可以忽略不计，而短粗梁应予考虑。
例题11-3梁的材料应力—应变关系为，试求梁的变形能U及变形余能U c的表达式。
解：（1）变形能U应变比能u为，∴。
将关系，以及代入，则有：，其中。
（2）变形余能U c∴。
将代入上式。
（3）非线性应力—应变关系下，比较U与U C可见，变形能与余变形能不相等，因为它们按照定义是不同的，对线性弹性材料它们在数值上相等。
§11-3变形能普遍表达式广义力P1，P2，…，P n作用于物体（图11-9），且设按同一比例系数β从零增长到终值。
相应地物体产生变形（广义位移）δ1，δ2，…，δn，对于线性弹性材料，则变形也将按相同比例β增加，这时，外力对物体做功称为变形功，这一功以变形能储藏在物体内。
如果外力在某一中间值βP1，βP2，…，βP n时，外力有一增量dβ，此时外力将在位移增量δ1dβ,δ2dβ，…，δn dβ上做功为：外力从零到终值（即β从0到1）做的功可积分上式：=所以，物体的变形能为（11-16）对于杆件的组合变形，如图11-10，可取出微段dx来考察，截面上有弯矩M(x)，扭矩T(x)和轴力N(x)，它们可视为外力。
设两截面轴向位移为，相对扭转角为，相对转角为，微段变形能（对线弹性材料）：其中，，。
代入上式并积分，得组合变形杆件的变形能：（11-17）§11-4 互等定理1．功互等定理对于线弹性体（此物体可以代表梁，桁架，框架或其它类型结构），第一组力在第二组力引起的位移上所做的功，等于第二组力在第一组力引起的位移上所做的功，这就是功互等定理。
为证明上述定理，考察如图11-11两组力P，Q作用于线弹性物体所做的功，第一组力有m个载荷P1，P2，…，P m，第二组力有n个载荷Q1，Q2，…，Q n。
第一组力P 引起相应位移为，引起第二组力Q作用点及其方向的位移为。
第二组力Q引起相应位移为，引起第一组力P作用点及其方向的位移为。
若先将第一组力P i（i=1,2,…,m）单独作用，这组力引起其作用点沿该组力作用方向位移为(i=1,2,…,m)（称为相应位移，见图11-11（a）），其所做的功为：随后作用上第二组力Q j（j=1,2,…,n）（图11-11（b）），此时Q j在其相应位移上做功应为。
与此同时，因为P i力已存在，且已达到终值，其值不变为常力，P i在Q j产生P i作用点、P i 方向上的位移做功为故先加P后加Q时做功总和为：将加载次序反过来，先加力Q后加力P，Q j在相应位移上做功为：再加P i (i=1,2,…,m)力，P i在其相应位移做功为：同时物体上已作用有Q j且其值不变，Q j在由于P i引起的Q j作用点及方向的位移上做功为：对此加载顺序，两组力所做的总功为：由于变形能只决定于力与位移的最终值，与加力次序无关，故必有U1=U2，从而得功互等定理的表达式为：=（11-18）2．位移互等定理利用（11-18），并设两组力各只有一个力P i、Q j作用于同一物体，则有：；若，则有。
若将引起相应位移写成，将引起的相应于的位移写成，则上式又可写成常用的公式（11-19）。
此式即为位移互等定理：Pi作用点沿Pi方向由于而引起的位移，等于作用点沿方向由于Pi引起的位移。
上述互等定理中的力与位移都应理解为广义的，如果力换成力偶，则相应的位移应是转角位移，其推导不变。
例题11-4 装有尾顶针的车削工件可简化成超静定梁如图11-12，试用互等定理求解。
解：解除支座B，把工件看成悬臂梁，将切削力P及顶针反力R B作为第一组力，设想在同一悬臂梁右端作用单位力X=1，作为第二组力。
在X=1作用下悬臂梁上的P及R B作用点的相应位移分别为（图11-12（b））,第一组力在第二组力引起的位移上所做的功为：第一组力作用下，其右端B实际位移为零，所以第二组力在第一组力引起的位移上所做的功等于零。
由功互等定理有：，由此解得：。
§11-5 卡氏定理1．卡氏第一定理弹性杆件的应变能U()对于杆件上与某一载荷相应的位移（i=1,2,…,n）的变化率等于该载荷的值，即：（11-20）。
以图11-13简支梁为例，其上作用有载荷P1，P2，…，P n（广义力），其相应位移为δ1，δ2，…，δn（广义位移）。
假定载荷P i（i=1,2,…,n）同时作用，且由同一比例从零加载到终值P i（i=1,2,…,n）。
结构的变形能等于载荷作用期间所做的功，通过材料的载荷—位移关系，每个力P i 可表成为其相应位移的函数，通过积分求得的变形能是位移δ的函数，即如果此时某—位移有一增量，其余位移保持不变，则此时变形能的增量dU为: 。
当位移增大时，相应力P i将做功，而其它任何力都不做功，因为其它的位移没有改变，∴，根据（11-1）故有：。
卡氏第一定理还可通过虚位移原理导出，不受线弹性材料的限制，可用于非线性弹性材料杆件或结构。
2．卡氏第二定理线弹性杆件或杆系的应变能U（）对于作用在该杆件或杆系上的某一载荷的变化率等于该载荷相应的位移，即：（11-21）弹性结构，在外力P1，P2，…，P i，…作用下，其相应的位移为δ1，δ2，…，δi，…，结构的应变能是P1，P2，…，P i，…的函数，即设诸力中只有P i有一个增量，其余不变，则相应产生位移增量，，…，，…，此时功的增量，亦即应变能增量为（略去高阶小量）。
将原作用力P1，P2，…，P i，…作为第一组力，把看作第二组力，则由功互等定理，得：。
所以有：或；若趋近于零，则：。
这就是卡氏第二定理表达式。
对于横力弯曲，应变能用（11-12），用卡氏定理，有：对于桁架、拉、压杆，应用（11-6）（11-21a）（11-21b）例题11-5图11-14外伸梁抗弯刚度为EI，试求外伸端C的挠度f C和左端截面的转角θA。
解：外伸端C作用有集中力P，截面A作用有集中力偶矩m，根据卡氏第二定理有：。