第一章(Chapter 1) 什么是组合数学
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组合数学(引论)
也就是：机智+精巧。
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
第 10 页
结束
1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第 22 页
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
第4页
结束
一、一组、合组数合学数简学介简介
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
总统 副总统 财务大臣 秘书
0
1
2
2
43
2
1
一种选法 一一对应 一个四位数
组合数学中有二个常用的技巧： 1. 一一对应 2. 奇偶性
1.、一一对应
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结束
1. 一一对应
二个事件之间如计果算存：在一一对应关系，则
可用解易解的来替代第难一解轮的：。50场比赛 (一人轮空)
应用举例 第二轮： 25场比赛 (一人轮空)
决出例冠1军. 共有要10进1行个注反一多选第第第意之场少手三四五：，比场参轮轮轮每要赛比加：：：场淘。赛象1比汰63？棋3场场场赛一淘比比比必 人汰赛赛赛淘也赛汰必，((一 一一须问人 人人进要轮 轮，行空 空))
结束
3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
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3. 幻方
3. 幻方
2）麦哲里克方法 （与德拉鲁布方法类似）
将1置正中央上方，然后按向右上方的方向依次放后 继数； 到顶行后翻到底行，到达最右列后转最左列； 其余情况放正上方2格。
第4章 Burnside引理与Polya定理
4.1 群的概念 4.2 置换群 4.3 循环、奇循环与偶循环 4.4 Burnside引理 4.5 Polya定理 4.6 鸽巢原理 4.7 鸽巢原理举例 4.8 鸽巢原理的推广 4.9 Ramsey数
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一、一组、合组数合学数简学介简介
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总统 副总统 财务大臣 秘书
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一种选法 一一对应 一个四位数
《组合数学第一讲》课件
概率的乘法公式
如果事件A和B是独立的，那么P(A∩B) = P(A) × P(B)。
贝叶斯公式
用于计算在已知其他相关概率的情况下，某一事件发生的概率。
概率的应用实例
赌博游戏
概率可以用于计算赌博游戏中各种结果的可能性 。
保险业
保险公司使用概率来计算各种风险的赔付概率和 保费。
天气预报
气象学家使用概率来预测天气的发生可能性，例 如降雨的概率。
在排列中，各个元素的位置是独立的，互不影响。
排列的传递性
如果a>b且b>c，则a>c。
排列的公式与定理
排列数的定义
从n个不同元素中取出m（m≤n）个元素的所有排列的个数，记 为P(n,m)，计算公式为P(n,m)=n*(n-1)*(n-2)*...*(n-m+1)。
排列数的性质
P(n,m)=P(n,n-m)，P(n,m)=m!/[(n-m)!*m!]。
03
CATALOGUE
组合数学中的计数问题
计数原理
01 02
计数原理
在数学中，计数原理是一种基本原理，用于计算在特定条件下可能发生 的事件的数量。它通常用于组合数学中的计数问题，以确定不同排列和 组合的数量。
分类计数原理
分类计数原理是计数原理的一种，它涉及到将问题分解为几个独立的部 分，然后分别计算每个部分的可能性，最后将各部分的计数相加。
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《组合数学第一 讲》ppt课件
目录
• 组合数学简介 • 组合数学的基本概念 • 组合数学中的计数问题 • 组合数学中的排列问题 • 组合数学中的组合问题 • 组合数学中的概率问题
01
CATALOGUE
组合数学--组合数学第一章
1.2排列与组合
定义：从n个不同元素中取r个不重复的元 素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序， 称为从n个中取r个的无重组合。 组合的个数用C(n,r)表示。
1.2排列与组合
从n个中取r个的排列的典型例子是从n 个不同的球中,取出r个,放入r个不同的 盒子里,每盒1个。第1个盒子有n种选择， 第2个有n-1种选择，······，第r个有nr+1种选择。
例：长度为n的0，1符号串的数目为多少?
一一对应原理
• “一一对应”概念是一个在计数中极为 基本的概念。一一对应既是单射又是满 射。
• 如我们说A集合有n个元素 |A|=n，无非 是建立了将A中元与[1,n]元一一对应的 关系。
• 在组合计数时往往借助于一一对应实现 模型转换。
• 比如要对A集合计数，但直接计数有困难， 于是可设法构造一易于计数的B，使得A 与B一一对应。
1.2排列与组合
例 有5本不同的日文书，7本不同 的英文书，10本不同的中文书。 1)取2本不同文字的书； 2)取2本相同文字的书； 3)任取两本书
1.2排列与组合
解 1) 5×7+5×10+7×10=155; 2) C(5,2)+C(7,2)+C(10,2) =10+21+45=76; 3) 155+76=231=( 5+27+10)
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
1.7 若干等式及其组合意义
• 证2 从n个元素中取偶数个数的组合数
（包含0）,等于取奇数个数的组合数。
• r为偶数的组合和r为级数的组合之间建 立一一对应即可。
• 举例说明
1.7 若干等式及其组合意义
组合数学1.1-1.2
H | H—C—H | H—C—H | H H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H
H | H—C—H | H
n=1甲烷
n=2 乙烷
n=3 丙烷
1.2 一一对应
H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H H | H H—C H | | H—C—C—H | | H—C H | H H
第一章排列与组合
前言
组合数学经常使用的方法并不高深 复杂。最主要的方法是计数时的合理分 类和组合模型的转换。 但是，要学好组合数学并非易事， 既需要一定的数学修养，也要进行相当 的训练。
1.1 加法法则与乘法法则
1.加法法则 (分类计数法则)
完成一件事有n类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在 第二类办法中有 m2 种不同的方法……，第n类办法中有 mn 种不 同的方法，那么完成这件事共有 N =m1 +m2 ++mn种不同的方法
1.1 加法法则与乘法法则
例1-7：有a,b,c,d,e这五个字符，从中6个构成一组字符串。 要求：（1）第一个和第六个必须是子音b,c,d； （2)每一个字符串都必有a,e两个母音，且a,e不相邻； （3）相邻子音不允许相同； 求字符串数目。
例1-5：求n元布尔函数 f (x1,x 2 x n ) 的数目
1 1 1 1 1 1
b 便成为消去后余下的树T 的顶点 在余下的树T 中寻找标号最小的树叶，设为a ， 的邻接点为b
1 1 1 2
2
，从图中消去a ，和边(a , b2). 如此步骤n-2次，直到剩下一条边为止。 于是一棵树T对应于一序列
2 2
b1 , b2 ,bn2 ,
b1 , b2 ,bn2 , 是1到n的数，并且允许重复
H | H—C—H | H
n=1甲烷
n=2 乙烷
n=3 丙烷
1.2 一一对应
H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H—C—H | H H | H H—C H | | H—C—C—H | | H—C H | H H
第一章排列与组合
前言
组合数学经常使用的方法并不高深 复杂。最主要的方法是计数时的合理分 类和组合模型的转换。 但是，要学好组合数学并非易事， 既需要一定的数学修养，也要进行相当 的训练。
1.1 加法法则与乘法法则
1.加法法则 (分类计数法则)
完成一件事有n类办法，在第一类办法中有 m1 种不同的方法，在 第二类办法中有 m2 种不同的方法……，第n类办法中有 mn 种不 同的方法，那么完成这件事共有 N =m1 +m2 ++mn种不同的方法
1.1 加法法则与乘法法则
例1-7：有a,b,c,d,e这五个字符，从中6个构成一组字符串。 要求：（1）第一个和第六个必须是子音b,c,d； （2)每一个字符串都必有a,e两个母音，且a,e不相邻； （3）相邻子音不允许相同； 求字符串数目。
例1-5：求n元布尔函数 f (x1,x 2 x n ) 的数目
1 1 1 1 1 1
b 便成为消去后余下的树T 的顶点 在余下的树T 中寻找标号最小的树叶，设为a ， 的邻接点为b
1 1 1 2
2
，从图中消去a ，和边(a , b2). 如此步骤n-2次，直到剩下一条边为止。 于是一棵树T对应于一序列
2 2
b1 , b2 ,bn2 ,
b1 , b2 ,bn2 , 是1到n的数，并且允许重复
第一章 什么是组合数学
4.解：f(1)=1, f(2)=2, f(3)=3, f(4)=5, f(5)=8.
当n为偶数时：
f(n)=
当n为奇数时：
f(n)=
证明：因为f(n)为2行n列的多米诺牌覆盖的棋盘。
所以当n为偶数时：
当所有多米诺牌都竖放时，有 种方法。
当只有1个（并列2个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
(1)当切除的方格位于奇数与奇数的位置时，因为m为奇数则m-1为偶数，因此除去方格所在的行，分成的剩余棋盘的行必然为偶数。所以该部分一定能完美覆盖；而方格所在的行数为1，列数为n-1为偶数，所以该部分也能被完美覆盖。因此，当切除的方格位于奇数行奇数列交叉处时剩下的棋盘可被完美覆盖。
（2）当切除的方格位于偶数行与偶数列交叉处时，以被切除的方格为中心分割出其周围紧邻的方格作为一部分，则该部分一定能被完美覆盖，而剩余部分经过分割必然会分成行与列至少有一个偶数的各部分棋盘。因此该各部分也能被完美覆盖。因此，当切除的白色方格位于偶数行与偶数交叉处时，剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
综合（1）（2），则如果切除棋盘上的任意一个白色方格，那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
3.解：犯人不能得到自由。
假设囚室为一张8行8列且由黑白方格构成的棋盘，设左上角方格为白色，则对角位置方格也为白色。如果从左上角白色方格能够依次通过每个方格到达右下角的白色方格，则需要跨越63次，然而左上角白格到白格需要跨越偶数次。因此假设于事实矛盾。所以，犯人不能得到自由。
当只有2个（并列4个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
当只有3个（并列6个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
……
当最多只有n/2个（并列即：f(n)=
同理:当n为奇数时：
当n为偶数时：
f(n)=
当n为奇数时：
f(n)=
证明：因为f(n)为2行n列的多米诺牌覆盖的棋盘。
所以当n为偶数时：
当所有多米诺牌都竖放时，有 种方法。
当只有1个（并列2个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
(1)当切除的方格位于奇数与奇数的位置时，因为m为奇数则m-1为偶数，因此除去方格所在的行，分成的剩余棋盘的行必然为偶数。所以该部分一定能完美覆盖；而方格所在的行数为1，列数为n-1为偶数，所以该部分也能被完美覆盖。因此，当切除的方格位于奇数行奇数列交叉处时剩下的棋盘可被完美覆盖。
（2）当切除的方格位于偶数行与偶数列交叉处时，以被切除的方格为中心分割出其周围紧邻的方格作为一部分，则该部分一定能被完美覆盖，而剩余部分经过分割必然会分成行与列至少有一个偶数的各部分棋盘。因此该各部分也能被完美覆盖。因此，当切除的白色方格位于偶数行与偶数交叉处时，剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
综合（1）（2），则如果切除棋盘上的任意一个白色方格，那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖。
3.解：犯人不能得到自由。
假设囚室为一张8行8列且由黑白方格构成的棋盘，设左上角方格为白色，则对角位置方格也为白色。如果从左上角白色方格能够依次通过每个方格到达右下角的白色方格，则需要跨越63次，然而左上角白格到白格需要跨越偶数次。因此假设于事实矛盾。所以，犯人不能得到自由。
当只有2个（并列4个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
当只有3个（并列6个）多米诺牌横放，其余都竖放时，则有 种方法。
……
当最多只有n/2个（并列即：f(n)=
同理:当n为奇数时：
组合数学课件-第一章：排列与组合
积分性质
若G(x)是母函数，则它的不定积分∫G(x)dx （其中C为常数）也是母函数。
线性性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 线性组合k1*G1(x)+k2*G2(x)（k1和k2是 常数）也是母函数。
微分性质
若G(x)是母函数，则它的导数G'(x)也是母 函数。
乘积性质
若G1(x)和G2(x)是两个母函数，则它们的 乘积G1(x)*G2(x)也是母函数。
对称性
C(n,m) = C(n,n-m)，即从n个元素中取出m个元 素的组合数与从n个元素中取出n-m个元素的组 合数相等。
递推关系
C(n,m) = C(n-1,m-1) + C(n-1,m)，即当前组合 数等于前一个元素在组合中和不在组合中的两种 情况之和。
边界条件
C(n,0) = C(n,n) = 1，即从n个元素中取出0个或 n个元素的组合数均为1。
典型例题解析
例1
从10个数中任取4个数，求其中最大数为6的组合数。
解析
此问题等价于从6个数（1至6）中取4个数的组合数，即 C(6,4)。
例2
在所有的三位数中，各位数字之和等于10的三位数有 多少个？
解析
此问题可转化为从9个数字（1至9）中取3个数字的组合 数，即C(9,3)，然后考虑三个数字的全排列，即3!，因此 总共有C(9,3) × 3!个符合条件的三位数。
组合与排列的关系
组合数可以看作是从n个元素中取出m个元素进行排 列的种数除以m的阶乘，即C(n，m)=A(n，m)/m!。 因此，在计算组合数时也可以利用排列数和容斥原 理来进行计算。
THANKS
隔板法
将n个相同的元素分成r组的方法数可以用母函数表示为 C(n+r-1,r)，其中C表示组合数。
组合数学第一章
P(n, r) = n(n-1)(n-2)…(n-r+1) 球入盒模型：n个不同的球，取r个放入r个不同的 盒子里,每盒一个的方式数为P(n, r)。 ♦ 例1.7
♦ 例1.8
♦ 二、 n-元集的r-可重(线)排列 ♦ Def 1.3(n-元集的r-可重(线)排列)
Theorem 1.4 n-元集的r-可重(线)排列个数 为nr. 678 4r 4 ♦ Proof •••L•
n = p1 p2 ... pk ≥ 2
β1 β2 βk
α1
α2
αk
s | n ⇒ s = p1 p2 ... pk ,0 ≤ βi ≤ αi .
(α1 +1)(α2 +1)...(αk +1) = ∏(αi +1)
i=1 k
§1.2 (线)排列
♦ 一、 n-元集的r- (线)排列 ♦ Def 1.1(P5) ♦ 计算公式：
♦ 二、n-元集的r-可重组合 ♦ Def 1.12(n-元集的r-可重组合)
Theorem 1.15 n-元集的r-可重组合数为 C(n + r – 1, r)。 ♦ Proof ♦ (采用一一对应技巧) ♦ 假定n个不同的元素分别为1, 2, …, n.从中 可重复取r个元素的组合为：a1, a2,…, ar.
本到同等学历考试,到博士生入学考试)
♦ 20世纪40年代, 随着计算机的出现, 组合
研究焕发了青春和活力,有着广阔的应用 前景: 计算机科学、空间技术、信息处理、人工智能、
数字通信、物质结构、物理学、化学、生物学、过程 控制、经济管理、国防工业、实验设计、心理学、工 艺美术。
♦ 组合数学研究的问题： ♦ (1)存在性; ♦ (2)构造性(Design); ♦ (3)计数(?Algorithms); ♦ (4)优化。 ♦ 学习目的： – (1)组合内容; – (2)组合方法; – (3)组合技巧; – (4)组合思维.
组合数学前言
组合数学前言一、组合数学是什么呢？组合数学啊，就像是数学世界里的一个超级有趣的游乐场。
你想啊，它研究的是把东西按照不同的方式组合起来，就像玩拼图一样。
比如说，从一堆不同颜色的小方块里，能拼出多少种不一样的图案呢？这就是组合数学要思考的问题。
它可不是那种枯燥的数学哦，它充满了各种奇妙的可能性。
就像我们在生活中，要从好多不同的衣服里搭配出不同的造型，这里面就有组合数学的影子呢。
二、组合数学的有趣例子1. 有个班级要选班干部，有班长、学习委员、生活委员等好几个职位，有一群同学来参选。
那有多少种不同的选举结果呢？这就是组合数学的排列组合问题啦。
2. 我们去吃自助餐，有好多不同种类的食物，我们的盘子就那么大，那有多少种不同的食物搭配可以放在盘子里呢？这也是组合数学哦。
3. 学校要安排课程表，不同的课程在不同的时间段，要满足各种条件，像不能让体育课紧接着化学课（因为同学们可能要换衣服啥的），那有多少种合理的课程表安排呢？这也是组合数学要解决的。
4. 我们玩扑克牌，从一副牌里抽出特定的几张牌，有多少种不同的抽牌组合呢？这是组合数学里的组合数概念。
5. 把一群小朋友分成不同的小组去做游戏，有多少种分组的方式呢？这也是组合数学在生活中的体现。
6. 去旅行的时候，要从好多条旅游线路里选择几条来组成自己的旅行计划，这也涉及组合数学的思想。
7. 有不同颜色的珠子，要串成手链，有多少种不同的串法呢？这是组合数学中的排列问题。
8. 安排座位的时候，要让互相熟悉的人坐在一起，同时又要满足场地的限制，有多少种座位安排方案呢？这是组合数学在实际场景中的应用。
9. 学校有不同的社团，学生可以选择参加几个社团，那有多少种不同的选择组合呢？这也是组合数学的范畴。
10. 要给一本书的章节编号，有一定的规则，那有多少种不同的编号方式呢？这是组合数学的一个特殊应用。
11. 有不同的花，要插成不同的花束，有多少种插花的组合呢？这和组合数学密切相关。
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一,组合数学发展概述
组合数学问题在生活中随处可见: 组合数学问题在生活中随处可见: 例如: 计算下列赛制下总的比赛次数:n 计算下列赛制下总的比赛次数:n支球队参赛,每 队只能和其他队比赛一次; 创建幻方; 一笔画问题(在纸上画一个网络,用铅笔沿着网络 路线走,在笔不离开纸面且不重复线路的条件下, 一笔画出网络); 在玩扑克牌的游戏中,计算满堂红(full-house)牌 在玩扑克牌的游戏中,计算满堂红(full-house)牌 的手数,以确定出现一手满堂红的几率……等等 的手数,以确定出现一手满堂红的几率……等等 所有这些都是组合数学问题.
组合数学是计算机软件产业的基础,中国最终一 定能成为一个软件大国,但是要实现这个目标的 一个突破点就是发展组合数学.中国在软件技术 上远远落后于美国,而在组合数学上则更是落后 于美国和欧洲.如果中国只是想在软件技术上跟 着西方走,而不在组合数学上下功夫,那么中国 的软件将一直处于落后的状态.
如果我们的软件产业还是把眼光一直盯在应用软 件和第二次开发,那么我们在应用软件这个领域 也会让国外的企业抢去很大的市场. 如果我们现在在信息技术的数学基础上,大力支 持和投入,那将是亡羊补牢,犹未为晚.吴文俊 院士开创和领导的数学机械化研究,为中国在信 息技术领域占领了一个重要的阵地,有了雄厚的 数学基础,自然就有了软件开发的竞争力.这样 的阵地多几个,我们的软件产业就会产生新的局 面.
组合数学涉及到将一个集合的物体排列成满 足一些指定规则的格式. 研究排列的存在性(存在的必要和充分条件) 研究排列的计数和分类 研究研究一个已知排列的性质和结构 构造一个最优的排列 因此,组合数学可以一般地描述为:组合数学 是研究离散结构的存在,计数,分析和优化等问 题的一门科学.
组合数学是一个古老而又年轻的数学分支,据 传说,大禹在4000多年前就观察到了神龟背上的幻 方…….贾宪,北宋数学家(约11世纪)著有:《黄 帝九章细草》,《算法敩古集》(又称"古算法导 引" ),都已失传.杨辉著《详解九章算法》 (1261年)中曾引贾宪的"开方作法本源图"(即 指数为正数的二项式展开系数表 , 现称"杨辉三 角" )和"增乘方法"(求高次幂的正根法).前 者比帕斯卡(Pascal)三角形早600年,后者比霍纳 (William Geoge.Horner,1786-1837)的方法(1819年) 早770年.
美国的大学,国家研究机构,工业界,军方和情 报部门都有许多组合数学的研究中心,在研究上 投入了大量的经费.但他们得到的收益远远超过 了他们的投入,更主要的是他们还聚集了组合数 学领域全世界最优秀的人才.高层次的软件产品 处处用到组合数学,更确切地说就是组合算法. 欧洲也在积极发展组合数学,英国,法国,德国, 荷兰,丹麦,奥地利,瑞典,意大利,西班牙等 国家都建立了各种形式的组合数学研究中心. 南美国家也在积极推动组合数学的研究.澳大利 亚,新西兰也组建了很强的组合数学研究机构.
三,组合数学在国内外的状况
纵观全世界软件产业的情况,易见一个奇特的现 象:美国处于绝对的垄断地位.造成这种现象的 一个根本的原因就是计算机科学在美国的飞速发 展.当今计算机科学界的最权威人士很多都是研 究组合数学出身的.美国最重要的计算机科学系 (MIT,Princeton,Stanford,Harvard, MIT,Princeton,Stanford,Harvard, Yale, Yale,….)都有第一流的组合数学家.
四,组合数学研究工具和学习特点
组合数学主要研究工具之一为:数学归纳法.一 般来说,用数学归纳法证明一个强结果比证明一 个弱结果更容易,其技巧在于找到假设的正确平 衡来进行归纳. 学好组合数学的方法:必须具有钻研精神和敏锐 的洞察力,并会利用它们掌握我们后续阶段将要 介绍的组合数学的一般原则和方法,通过大量的 实践积累这些原则和方法的应用经验.一句话, "用组合数学解决问题一般说来和用数学解决问 题一样,你解决的问题越多,那么能够解决下一 个问题的可能性也就越大" 个问题的可能性也就越大".
二,组合数学与计算机软件
传统的计算机算法可以分为两大类,一类是组合 算法,一类是数值算法(包括计算数学和与处理 各种信息数据有关的信息学).南开大学陈永川 教授认为,近年来计算机算法又多了一类:那就 是符号计算算法.吴文俊院士开创的机器证明方 法就属于符号计算,引起了国际上的高度评价, 被称为吴方法.而国际上还有专门的符号计算杂 志.符号算法和吴方法跟代数组合学也有十分密 切的联系.
美国政府也成立了离散数学及理论计算机科学中 心DIMACS(与Princeton大学,Rutgers大学, DIMACS(与Princeton大学,Rutgers大学, AT&T 联合创办的,设在Rutgers大学),该中心 联合创办的,设在Rutgers大学),该中心 已是组合数学理论计算机科学的重要研究阵地. 美国国家数学科学研究所(Mathematical 美国国家数学科学研究所(Mathematical Sciences Research Institute,由陈省身先生创立)在1997年 Institute,由陈省身先生创立)在1997年 选择了组合数学作为研究专题,组织了为期一年 的研究活动. 日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心,理 日本的NEC公司还在美国的设立了研究中心,理 论计算机科学和组合数学已是他们重要的研究课 题,该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威. 题,该中心主任R. Tarjan即是组合数学的权威.
随着计算机网络的发展,计算机的使用已经影响 到了人们的工作,生活,学习,社会活动以及商 业活动,而计算机的应用根本上是通过软件来实 现的.在美国有这样一种说法,将来一个国家的 经济实力可以直接从软件产业反映出来. 美国及欧洲的软件之所以能领先,其关键就在于 在数学基础上他们有很强的实力,有很多杰出的 人才. 值得注意的是,印度有很好的统计和组合数学基 础,这可能也是印度的软件产业近几年有很大发 展的主要原因之一.
目前,我国在软件产业上落后与美国等西方国家, 要说出根本的原因可能并不是很简单的事,除了 技术和科学上的原因外,可能还跟我们的文化, 管理水平,教育水平,思想素质等诸多因素有关. 除去这些人文因素以外,一个最根本的原因就是 成为软件强国. 中国的软件产业的发展已向数学基础提出了急切 的需求:网络算法和分析,信息压缩,网络安全, 编码技术,系统软件,并行算法,数学机械化和 计算机推理等等.与实际应用有关的还有许多许 多需要数学基础的算法,如运筹规划,金融工程, 计算机辅助设计等.
组合数学在国外早已成为十分重要的学科,甚至 可以说是计算机科学的基础.一些大公司,如 IBM,AT&T都有全世界最强的组合研究中心. IBM,AT&T都有全世界最强的组合研究中心. Microsoft 的Bill Gates近来也在提倡和支持计算机 Gates近来也在提倡和支持计算机 科学的基础研究.例如,Bell实验室的有关线性规 科学的基础研究.例如,Bell实验室的有关线性规 划算法的实现,以及有关计算机网络的算法,由 于有明显的商业价值,并没有对外公开.美国已 经有一种趋势,就是与新的算法有关的软件是可 以申请专利的.如果照这种趋势发展,世界各国 对组合数学和计算机算法的投入和竞争必然日趋 激烈.
组合数学,又称为离散数学,但有时人们也把组合数学 和图论加在一起算成是离散数学. 计算机科学就是算法的科学,而计算机所处理的对象 是离散的数据,所以离散对象的处理就成了计算机科学的 核心,而研究离散对象的科学恰恰就是组合数学. 现代数学可以分为两大类:一类是研究连续对象的, 如分析,方程等,另一类就是研究离散对象的组合数学. 组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的地位,在 其它的学科中也有重要的应用,如计算机科学,编码和密 码学,物理,化学,生物等学科中均有重要应用.
微积分和近代数学的发展为近代的工业革命 奠定了基础, 奠定了基础,而组合数学的发展则是奠定了本世 纪的计算机革命的基础.计算机之所以可以被称 为电脑,就是因为计算机被人编写了程序,而程 序就是算法,在绝大多数情况下,计算机的算法 是针对离散的对象,而不是在作数值计算.正是 因为有了组合算法才使人感到,计算机好象是有 思维的.
组合数学引论
Introductory Combinatorics (第四版) (美) Richard A . Brualdi 著 冯舜玺 罗平 裴伟东 译 卢开澄 冯舜玺 校 主讲教师: 李向军 2008年 2008年9月 于 南 昌 大 学
第一章(Chapter 第一章(Chapter 1) 什么是组合数学? 什么是组合数学? What is Combinatorics?
由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数 由于生物学中的DNA的结构和生物现象与组合数 学有密切的联系,各国对生物信息学的研究都很 重视,这也是组合数学可以发挥作用的一个重要 领域.据说IBM也将成立一个生物信息学研究中 领域.据说IBM也将成立一个生物信息学研究中 心.由于DNA就是组合数学中的一个序列结构, 心.由于DNA就是组合数学中的一个序列结构, 美国科学院院士,近代组合数学的奠基人Rota教 美国科学院院士,近代组合数学的奠基人Rota教 授预言,生物学中的组合问题将成为组合数学的 一个前沿领域.
美国重要的国家实际室(Los Alamos国家实验 美国重要的国家实际室(Los Alamos国家实验 室,以造出第一颗原子弹著称于世),从曼哈顿 计划以来一直重视应用数学的研究,包括组合数 学的研究.据说该实验室承担过有关组合数学的 计算机模拟项目经费达三千万美元.不仅如此, 该实验室最近还在积极充实组合数学方面的研究 实力. 美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验 美国另外一个重要的国家实验室Sandia国家实验 室有一个专门研究组合数学和计算机科学的机构, 主要从事组合编码理论和密码学的研究,在美国 政府以及国际学术界都具有很高的地位.