章绍辉数学建模第三章
第三章
10.
考虑3.4.3小节的“人口预报”案例，用前差公式计算美国人口的年增长率r k 与美国人口的数量x k 成二次函数关系，即
2
1-10k k k k k k
x x r ax bx c x +=
=++，k=1,2,…
通过Matlab 编程并代入实际数据拟合出二项式的系数，代码如下：
fun=@(a,x)a(1).*x.^2+a(2).*x+a(3);
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,... 92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]; r=(x(2:22)-x(1:21))./(10.*x(1:21)); a=polyfit(x(1:21),r,2)
输出结果为 a=
7.0393e-07 -2.7030e-04 3.6840e-02
即
a=7.0393?10
-7
b=-2.7030?10
-4
c=3.6840?10-2
则该假设模型为
2
1-10()k k k k k x x x ax bx c +=++，k=1,2,…
即
3211010(101)k k k k x ax bx c x +=+++，k=1,2,…
代入a,b,c 的值得
7342
17.039310 2.703010 1.3684k k k k x x x x --+=??-??+，k=1,2,…
利用Matlab 统计工具箱的非线性拟合函数nlinfit 计算参数，代码如下： M 文件fun.m
function y=fun(a,x) SizeX=size(x); y=zeros(SizeX); y(1)=a(4);
for i=2:SizeX(2)
y(i)=a(1).*y(i-1).^3+a(2).*y(i-1).^2+a(3).*y(i-1);
end
脚本
t=1790:10:2000;
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,...
92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4];
[b1,resd1]=nlinfit(t,x,@ fun,[7.0393e-7 -2.7030e-4 1.3684 3.9])
sse1=sum(resd1.^2)
x1=fun(b1,[t,2010,2020])
(x1(23:24)-x1(22:23))./x1(22:23)./10.*100
subplot(2,1,1);
plot(t,x,'k*',t,x1(1:end-2),'ks',[2010 2020],x1(end-1:end),'kp');
axis([1780,2030,0,350]);
legend('统计值','模拟值','预测值',2);
xlabel('年份');
ylabel('人口数量x_k（百万）');
title('非线性拟合美国人口增长效果图');
subplot(2,1,2);
plot(t,resd1,'k.',[1780 2030],[0 0],'k');
axis([1780,2030,-10,10]);
xlabel('年份');
ylabel('模拟误差');
title('非线性拟合美国人口增长模拟误差图');
输出结果
b1 =
5.2615e-06 -0.0021 1.3239 4.9976
resd1 =
Columns 1 through 7
-1.0976 -1.2651 -1.4034 -1.6394 -1.7244 -1.8325 -1.1541 Columns 8 through 14
0.3169 -0.6966 1.0726 2.2642 2.2108 3.5401 2.0489 Columns 15 through 21
1.6519 -7.8844 -7.8103 0.8436 4.1938 3.1885 1.0698 Column 22
-1.9798
sse1 =
203.0297 x1 =
Columns 1 through 7
4.9976 6.5651 8.6034 11.2394 14.6244 18.9325 24.3541 Columns 8 through 14
31.0831 39.2966 49.1274 60.6358 73.7892 88.4599 104.4511 Columns 15 through 21
121.5481 139.5844 158.5103 178.4564 199.8062 223.3115 250.3302 Columns 22 through 24 283.3798 327.5773 395.0407 ans =
1.5597
2.0595
即计算结果为
6332
1 5.261510 2.110 1.3239k k k k x x x x --+=??-??+，且x 1=4.9976
误差平方和为203.0297，预测2010年美国人口为327.5773百万，2020年美国人口为395.0407百万，经过计算得知预测2000年至2010年和2010年至2020年的年增长率分别为1.5597%和2.0595%，计算结果以及模拟效果图和模拟误差图表明
（1）模拟效果基本令人满意，本模型能够很好地模拟1790年至2000年美国人口的演变过程，误差平方和不算大；
（2）预测值基本合理，可能偏高，按照美国最近几十年的人口统计数据，一般推断未来20年美国人口增长率大约是1%，甚至更低，该模型得到的2000年的模拟值比实际值大 1.9798百万，预测2000年至2020年的年增长率约为 1.8096%，所以该模型对2010年和2020年的人口预报有可能偏高了一点。 11.
（1）模型一
继续考虑 3.4.3小节的“人口预报”案例，保持模型一的模型假设不变用中点公式计算美国人口的年增长率r k ，即
11(1)20k k k k k x x x
r r x N
+--=
=-，k=2,3,…
其中r 为固有增长率，N 为最大容量，则该模型为
1120(1)k
k k k x x x x r N
+-=+-
，k=2,3,… 利用MATLAB 统计工具箱非线性拟合函数nlinfit 计算上式的参数r 和N 以及初始值1x 的值，使得误差平方和达到最小值。 模型一计算和绘图的MATLAB 程序如下： M 文件fun11_1.m
function y=fun11_1(a,x) SizeX=size(x); y=zeros(SizeX); y(1)=a(3); for i=3:SizeX(2)
y(i)=y(i-2)+20.*a(1).*y(i-1).*(1-y(i-1)./a(2)); end
脚本：
t=1790:10:2000;
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,... 92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]; [b1,resd1]=nlinfit(t,x,@ fun11_1,[0.03 400 3.9]); sse1=sum(resd1.^2)
x1=fun11_1(b1,[t,2010,2020])
(x1(23:24)-x1(21:22))./x1(21:22)./20.*100
subplot(2,1,1);
plot(t,x,'k*',t,x1(1:end-2),'ks',[2010 2020],x1(end-1:end),'kp');
axis([1780,2030,0,350]);
legend('统计值','模拟值','预测值',2);
xlabel('年份');
ylabel('人口数量x_k（百万）');
title('非线性拟合美国人口增长效果图');
subplot(2,1,2);
plot(t,resd1,'k.',[1780 2030],[0 0],'k');
axis([1780,2030,-10,10]);
xlabel('年份');
ylabel('模拟误差');
title('非线性拟合美国人口增长模拟误差图');
命令窗口显示的计算结果为
b1 =
0.0231 407.2173 16.8800
resdl =
Columns 1 through 7
-12.9800 5.3000 -9.6800 2.1285 -7.3668 0.7359 -4.3194 Columns 8 through 14
3.1872 -1.0444 5.4632
4.8673 8.2848 7.8986 7.9705 Columns 15 through 21
4.6098 -
5.6425 -9.9201 -2.9563 -3.1124 -2.7517 -1.9760 Column 22
7.9476
sse1 =
872.1781
x1 =
Columns 1 through 7
16.8800 0 16.8800 7.4715 20.2668 16.3641 27.5194 Columns 8 through 14
28.2128 39.6444 44.7368 58.0327 67.7152 84.1014 98.5295 Columns 15 through 21
118.5902 137.3425 160.6201 182.2563 207.1124 229.2517 253.3760
Columns 22 through 24
273.4524 294.8538 311.0209
ans =
0.8185 0.6869
计算结果即固有年增长率r=0.0231，最大容量N=407.2173百万，初始值为16.88百万，误差平方和等于872.1781，预测2010年美国人口为294.8538百万，2020年美国人口为311.0209百万。经过计算得知预测2000年至2010年和2010至2020年的年增长率分别为0.8185%和0.6869%。
计算结果以及模拟效果图和模拟误差图如下：
结果表明：
○1模拟效果基本令人满意，本模型能够很好地模拟1790年至2000年美国人口的演变过程，误差平方和有点大；
○2预测值基本合理，可能偏低，按照美国最近几十年的人口统计数据，一般推断未来20年美国人口增长率大约是1%，甚至更低，该模型得到的2000年的模拟值比实际值小2.75百万，预测2000年至2020年的年增长率约为0.64%，所以该模型对2010年和2020年的人口预报有可能偏低了一点。
（2）模型二
继续考虑 3.4.3小节的“人口预报”案例，保持模型二的模型假设不变用中点公式计算美国人口的年增长率r k ，即
2
111
320k
a x k k k k
x x r ae a x -+--=
=+，k=2,3,… 其中r 为固有增长率，N 为最大容量，则该模型为
2
111
320()k
a x k k k x x x ae a -+-=++，k=2,3,… 利用MATLAB 统计工具箱非线性拟合函数nlinfit 计算上式的参数r 和N 以及初始值1x 的值，使得误差平方和达到最小值。 模型一计算和绘图的MATLAB 程序如下： M 文件fun11_2.m
function y=fun11_2(a,x) SizeX=size(x); y=zeros(SizeX); y(1)=a(4); for i=3:SizeX(2)
y(i)=y(i-2)+20.*y(i-1).*(a(1).*exp(-a(2).*y(i-1))+a(3)); end
脚本：
t=1790:10:2000;
x=[3.9,5.3,7.2,9.6,12.9,17.1,23.2,31.4,38.6,50.2,62.9,76.0,... 92,106.5,123.2,131.7,150.7,179.3,204,226.5,251.4,281.4]; [b1,resd1]=nlinfit(t,x,@ fun11_2,[0.03 0.02 0.01 3.9]); sse1=sum(resd1.^2)
x1=fun11_2(b1,[t,2010,2020])
(x1(23:24)-x1(21:22))./x1(21:22)./20.*100 subplot(2,1,1);
plot(t,x,'k*',t,x1(1:end-2),'ks',[2010 2020],x1(end-1:end),'kp'); axis([1780,2030,0,350]);
legend('统计值','模拟值','预测值',2); xlabel('年份');
ylabel('人口数量x_k （百万）');
title('非线性拟合美国人口增长模型二的效果图'); subplot(2,1,2);
plot(t,resd1,'k.',[1780 2030],[0 0],'k'); axis([1780,2030,-10,10]); xlabel('年份'); ylabel('模拟误差');
title('非线性拟合美国人口增长模型二的模拟误差图');
命令窗口显示的计算结果为
b1 =
0.0356 0.0234 0.0116 7.0930
resdl =
Columns 1 through 7
-3.1930 5.3000 0.1070 3.6842 0.7735 1.8811 -0.0336 Columns 8 through 14
1.2023 -
2.2277 -0.6309 -0.7132 0.2167 1.6791 2.0358 Columns 15 through 21
2.2419 -5.8416 -6.0080 2.6453 4.4037 2.3376 -0.8940 Column 22
-1.6138
sse1 =
180.8383
x1 =
Columns 1 through 7
7.0930 0 7.0930 5.9158 12.1265 15.2189 23.2336 Columns 8 through 14
30.1977 40.8277 50.8309 63.6132 75.7833 90.3209 104.4642 Columns 15 through 21
120.9581 137.5416 156.7080 176.6547 199.5963 224.1624 252.2940 Columns 22 through 24
283.0138 318.0270 356.7091
ans =
1.3027 1.3020
计算结果即初始值为7.0930百万，误差平方和等于180.8383，预测2010年美国人口为318.027百万，2020年美国人口为356.7091百万。经过计算得知预测2000年至2010年和2010至2020年的年增长率分别为1.3027%和1.3020%。
计算结果以及模拟效果图和模拟误差图如下：
结果表明：
○1模拟效果基本令人满意，本模型能够很好地模拟1790年至2000年美国人口的演变过程，误差平方和有点大；
○2预测值基本合理，可能偏高，按照美国最近几十年的人口统计数据，一般推断未来20年美国人口增长率大约是1%，甚至更低，该模型得到的2000年的模拟值比实际值小1.6138百万，而预测2000年至2020年的年增长率约为1.16%，所以
该模型对2010年和2020年的人口预报有可能偏高了一点。
数学建模讲义第一章
第一章引言 众所周知，21世纪是知识经济的时代，所谓知识经济是以现代科学技术为核心，建立在知识和信息的生产、存储、使用和消费之上的经济；是以智力资源为第一生产力要素的经济；是以高科技产业为支柱产业的经济。知识创新和技术创新是知识经济的基本要求和内在动力，培养高素质、复合型的创新人才是时代发展的需要。创新人才主要是指具有较强的创新精神、创新意识和创新能力，并能够将创新能力转化为创造性成果的高素质人才。培养创新人才，大学教育是关键，而大学的数学教育在整个大学教育，乃至在人才的培养中都起着重要的奠基作用。正如著名的数学家王梓坤院士所说：“今天的数学兼有科学和技术两种品质，数学科学是授人以能力的技术。”数学作为一门技术，现已经成为一门能够普遍实施的技术，也是未来所需要的高素质创新人才必须要具有的一门技术。随着知识经济发展的需要，创新人才的供需矛盾日趋突现，这也是全社会急呼教学改革的根本所在。因此，现代大学数学教育的思想核心就是在保证打捞学生基础的同时，力求培养学生的创新意识与创新能力、应用意识与应用能力。也就是大学数学教育应是基于传授知识、培养能力、提高素质于一体的教育理念之下的教学体系。数学建模活动是实现这一改革目标的有效途径，也正是数学建模活动为大学的数学教学改革打开了一个突破口，近几年的实践证明，这一改革方向是正确的，成效是显著的。 1.1 数学建模的作用和地位 我们培养人才的目的主要是为了服务于社会、应用于社会，促进社会的进步和发展。而社会实际中的问题是复杂多变的，量与量之间的关系并不明显，并不是套用某个数学公式或只用某个学科、某个领域的知识就可以圆满解决的，这就要求我们培养的人才应有较高的数学素质。即能够从众多的事物和现象中找出共同的、本质的东西，善于抓住问题的主要矛盾，从大量的数据和定量分析中寻找并发现规律，用数学的理论和数学的思维方法以及相关的知识去解决，从而为社会服务。基于此，我们认为定量分析和数学建模等数学素质是知识经济时代人才素质的一个重要方面，是培养创新能力的一个重要方法和途径。因此，开展数学建模活动将会在人才培养的过程中有着重要的地位和起着重要的作用。 1.1.1 数学建模的创新作用 数学科学在实际中的重要地位和作用已普遍地被人们所认识，它的生命力正在不断地增强，这主要是来源于它的应用地位。各行各业和各科学领域都在运用数学，或是建立在数学基础之上的，正像人们所说的“数学无处不在”已成为不可争辩的事实。特别是在生产实践中运用数学的过程就是一个创造性的过程，成功运用的核心就是创新。我们这里所说的创新是指科技创新，所谓的科技创新主要是指在科学拘束领域的新发明、新创造。即发明新事物、新思想、新知识和新规律；创造新理论、新方法和新成果；开拓新的应用领域、解决新的问题。大学是人才培养的基地，而创新人才的培养核心是创新思想、创新意识和创新能力的培养。传统的教学内容和教学方法显然不足以胜任这一重担，数学建模本身就是一个创造性的思维过程，从数学建模的教学内容、教学方法，以及数学建模竞赛活动的培训等都是围绕着一个培养创新人才的核心这个主题内容进行的，其内容取材于实际、方法结合于实际、结果应用于实际。总之，知识创新、方法创新、结果创新、应用创新无不在数学建模的过程中得到体现，这也正是数学建模的创新作用所在。 1.1.2 数学建模的综合作用 对于我们每一个教数学基础科的教师来说，在上第一堂课的时候，按惯例都会讲一下课
《数学模型》
《数学模型》考试大纲 适应专业：数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业 一、课程性质与目的要求 数学模型课亦称为数学建模课，它是数学与应用数学、信息与计算科学、统计学、应用统计学专业必修课或限选课，教育部1998年颁布的高等学校本科专业目录中，把“数学模型”课作为数学类专业的必开课。数学模型是架于实际问题与数学理论之间的桥梁。数学模型就是应用数学语言和方法，对于现实世界中的实际问题进行抽象、简化和假设所得到的数学结构。本课程是研究数学建模的理论、思想和方法，研究建立数学模型、简单的优化模型、数学规划模型、微分方程模型、代数方程与差分方程模型、稳定性模型、离散模型、概率模型等。 数学模型课需要用到数学分析、高等代数、微分方程、图论、概率统计、运筹学等数学知识，它是学生所学数学知识的综合应用，是培养学生综合素质以及应用数学知识解决实际问题的能力的良好课程。该课程的考试评价依据是按照课程目标、教学内容和要求，把握合适的难易程度出试卷，用笔试的方法对学生学习情况和学习成绩做出评价。 二、课程内容和考核要求 第一章建立数学模型 １、考核知识点： 数学建模的背景及重要意义、数学模型与数学建模、数学模型的分类与特点、数学建模的基本方法和步骤、数学建模举例等。 ２、考核要求： （1）理解数学建模的背景及意义、原型、模型、数学模型、数学建模等概念。 （2）理解数学模型的各种分类、数学模型的特点。 （3）理解数学建模的基本方法和步骤、通过实例初步了解数学建模的思想和方法。 第二章简单的优化模型 １、考核知识点： 存储模型、生猪的出售时机、森林救火、冰山运输等。
２、考核要求： （1）掌握应用微积分理论建立存储问题模型。 （2）理解应用微积分理论建立生猪的出售时机模型和森林灭火模型。 （3）理解应用微积分理论建立冰山运输问题模型。 第三章数学规划模型 １、考核知识点： 数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤、生产安排问题、奶制品的生产与销售等。 ２、考核要求： （1）掌握数学规划问题的基本概念、数学规划问题图解法步骤。 （2）掌握生产安排问题的模型及图解法。 （3）理解奶制品的生产与销售的模型及求解。 第四章微分方程模型 １、考核知识点： 传染病模型、正规战与游击战、药物在体内的分布与排除、香烟过滤嘴的作用等。 ２、考核要求： （1）理解传染病问题的建模及讨论。 （2）理解战争问题、房室问题的建模及讨论。 （3）了解香烟过滤嘴作用问题的建模及讨论。 第五章代数方程与差分方程模型 １、考核知识点： 量纲、量纲齐次原理、量纲分析法、差分方程的基本概念、市场经济中蛛网模型、节食与运动问题等。 ２、考核要求： （1）掌握量纲、量纲齐次原理、量纲分析法建模及解法步骤。 （2）掌握市场经济中蛛网模型及解法步骤。 （3）理解理解差分方程的基本概念、减肥问题的建模思想。 第六章稳定性模型
数学建模1例题解析
1.贷款问题 小王夫妇计划贷款20万元购买一套房子，他们打算用20年的时间还清贷款。目前，银行的利率是%/月。他们采用等额还款的方式(即每月的还款额相同)偿还贷款。 (1)在上述条件下，小王夫妇每月的还款额是多少共计付了多少利息 (2)在贷款满5年后，他们认为他们有经济能力还完余下的款额，打算提前还贷，那么他们在第6年初，应一次付给银行多少钱，才能将余下全部的贷款还清 (3)如果在第6年初，银行的贷款利率由%/月调到%/月，他们仍然采用等额还款的方式，在余下的15年内将贷款还清，那么在第6年后，每月的还款额应是多少 (4)某借贷公司的广告称，对于贷款期在20年以上的客户，他们帮你提前三年还清贷款。但条件是： (i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的1/2； (ii)因为增加必要的档案、文书等管理工作，因此要预付给借贷公司贷款总额10%的佣金。 试分析，小王夫妇是否要请这家借贷公司帮助还款。 解答： (1)贷款总月数为N=20*12=240，第240个月的欠款额为0，即。 利用式子 (元)，即每个月还款元，共还款(元)，共计付利息元。 (2)贷款5年(即5*12=60个月)后的欠款额为， 利用公式：， 所以，
(元) (3)元，即第六年初，贷款利率，所以余下的15年，每个月还款额为：(元) (4)按照借贷公司的条件(i)每半个月付款一次，但付款额不增加，即一次付款额是原付给银行还款额的，付款的时间缩短，但是前17年的付款总额不变。帮忙提前三年还清需要资金数： 。 对于条件(ii)佣金数： 分析：因为预付佣金20000元，按照银行存款利率/月，17年的存款本息为 即在第17年需要给付借贷公司的钱少于给付银行的钱。所以建议请这家借贷公司帮助还款。 2.冷却定律与破案 按照Newton冷却定律，温度为T的物体在温度为的环境中冷却的速度与温差成正比。用此定律建立相应的微分方程模型。 凌晨某地发生一起凶杀案，警方于晨6时到达案发现场，测得尸温26℃，室温10℃，晨8时又测得尸温18℃。若近似认为室温不变，估计凶杀案的发生时间。 解答： 根据Newton冷却定律，可知温度T的微分方程为：
辐射剂量数学模型在医学影像学的应用及研究进展_刘潇
·综 述· 辐射剂量数学模型在医学影像学的应用及研究进展＊ 刘 潇综述，曾勇明△审校 （重庆医科大学附属第一医院放射科 ４０００１６） 关键词：辐射剂量；医学影像学；数学模型；蒙特卡洛；仿真人体体模 ｄｏｉ：１０．３９６９／ｊ．ｉｓｓｎ．１６７１－８３４８．２０１３．１４．０３３文献标识码：Ａ文章编号：１６７１－８３４８（２０１３）１４－１６５０－０３ 随着医学的不断发展，现代医学影像技术越来越多的应用于临床实践中，尤其是在ＣＴ、ＤＳＡ的临床应用呈逐年上升趋势，辐射剂量问题已引起全世界的关注。有效实施辐射剂量检测是保证医学影像学检查合理使用的基本要求。当前，临床上主要采用影像设备的剂量测试工具来获得辐射剂量数据，并评估患者的辐射剂量，但不能前瞻性的评价和预估某一放射学检查时的辐射水平。近年来，数学模型开始应用于医学影像学领域，对研究辐射剂量的科学实验带来便利。本文就辐射剂量数学模型的临床应用及进展综述如下。 １ 辐射剂量数学模型 为了使描述更具科学性、逻辑性、客观性和可重复性，人们采用一种普遍认为比较严格的语言来描述各种现象，这种语言就是数学。使用数学语言描述的事物就称为数学模型。数学建模是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并“解决”实际问题的一种强有力的数学手段。数学建模是用数学语言描述实际现象的过程，不但包括外在形态，内在机制的描述，也包括预测，试验和解释实际现象等内容［１］。 以蒙特卡洛（Ｍｏｎｔｅ Ｃａｒｌｏ）为代表的数学模拟方法是一种通过设定随机过程，反复生成时间序列，计算参数估计量和统计量，进而研究其分布特征的方法。具体的，当系统中各个单元的可靠性特征量已知，但系统的可靠性过于复杂，难以建立可靠性预计的精确数学模型或模型太复杂而不便应用时，可用随机模拟法近似计算出系统可靠性的预计值；随着模拟次数的增多，其预计精度也逐渐增高。由于涉及时间序列的反复生成，蒙特卡洛模拟法是以高容量和高速度的计算机为前提条件的，因此，只是在近些年才得到广泛推广。蒙特卡洛模拟方法的原理是当问题或对象本身具有概率特征时，可以用计算机模拟的方法产生抽样结果，根据抽样计算统计量或者参数的值；随着模拟次数的增多，可以通过对各次统计量或参数的估计值求平均的方法得到稳定结论［２］。 在医学影像学中，基于蒙特卡洛模拟技术开发的软件的临床应用近年来有较大发展，如Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ软件包（ＶＡＭＰ Ｇｍ－ｂＨ，Ｅｒｌａｎｇｅｎ，Ｇｅｒｍａｎｙ）功能独特，目前科研中，提供快速的三维剂量分布计算，该软件可以适用于多种任务，包括普通放射学、ＣＴ、Ｃ型臂（基于平板探测器）ＣＴ等。在科研中成功的剂量分布计算已经在３０多个专业领域的国际刊物也有极好的反馈［３］。还有一些通用的软件工具常在实验研究中应用，如用来模拟辐射ＣＴ剂量沉积的基于蒙特卡洛的软件ＭＣＮＰＸ ｅｘ－ｔｅｎｄｅｄ ｖ２．６，在洛杉矶洛斯阿拉莫斯国家实验室执行模拟［４］。国内应用较广的免费软件，如Ｇｅａｎｔ４［５－６］或ＭＣＮＰ ＥＧＳ４［７］，这些软件可执行辐射剂量估算。器官剂量估算软件ＰＣＸＭＣ（ＳＴＵＫ，Ｆｉｎｌａｎｄ）是基于蒙特卡洛计算方法，用于估算人体器官所受吸收剂量（ａｂｓｏｒｂｅｄｄｏｓｅ，ＡＤ）和全身有效剂量（ｅｆｆｅｃｔｉｖｅｄｏｓｅ，ＥＤ）的常用计算软件［８］。 ２ 数学模型在ＣＴ检查中的应用 在ＣＴ检查中减少辐射剂量是医学影像研究的热点问题，常用于评价ＣＴ检查的ＥＤ通过剂量长度乘积（ｄｏｓｅ ｌｅｎｇｔｈｐｒｏｄｕｃｔ，ＤＬＰ）乘以权重因子获得［９］，但与利用仿真体模检测辐射剂量的方法比较，其值不够准确［１０］。应用数学模型软件，模拟患者的辐射剂量，可避免不必要的重复照射。通过在软件中加入ＣＴ的扫描参数及患者的性别、体质量指数（ＢＭＩ）、心率等因素，因而更具个性化。辐射剂量数学模型在ＣＴ的应用已越来越受到重视。 有研究采用数学模型评估冠状动脉造影患者接受的辐射剂量，模型模拟固定管电流下ＥＤ，与常规心电门控管电流自动调制技术接受的剂量相比较。可以得到心电门控管电流自动调制技术（预设１００ｍＡｓ）的ＥＤ为（７．１±２．１）ｍＳｖ，而模拟固定管电流（１００ｍＡｓ）下肺组织的ＥＤ为（１２．５±５．３）ｍＳｖ；并证明应用心电门控管电流自动调制技术后辐射剂量减少了５２％［１１］。 Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ软件生成的三维剂量分布是其特点，可涉及到器官剂量的估算和计算患者个体风险的ＥＤ水平。在对每个采集的参数和重建的容积数据的基础上，进行了蒙特卡洛模拟，以计算每个像素的沉积与光子相互作用方面的剂量。它可模拟现代ＣＴ系统的所有参数，比如蝶形过滤器、管电流调制、双源ＣＴ设置和动态Ｚ轴准直等。Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ软件的可视仿真体模（ＮＶＩＤＩＡ ＧＰＵ）功能，模拟一个高精度的ＣＴ检查环境，因此Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ是最快最全面的蒙特卡洛模拟软件包之一。为了确保最好的结果，Ｉｍｐａｃｔ ＭＣ已在三个不同的ＣＴ系统（西门子、ＧＥ、飞利浦公司产品）验证［１２］。 ＭＣＮＰＸ ｅｘｔｅｎｄｅｄ ｖ２．６软件能模拟以１ｋｅＶ的低能量辐射剂量为基准的剂量，这种软件可使用１２０ｋＶｐ、３００ｍＡ的条件下模拟全身ＣＴ扫描。针对普通患者，扫描范围可扩大，从头顶的底部到耻骨随意调节。利用蒙特卡洛技术模拟的人体数学模型，以现场调查（与临床应用相适应）所得的ＣＴ技术参数和几何条件为输入参数，从理论上估算了成人ＣＴ冠状动脉检查所接受各器官组织的吸收剂量［４］。一些免费软件（如Ｇｅａｎｔ４）缺乏灵活性，难以适应ＣＴ扫描技术的复杂多变，这些原因促进了开发以蒙特卡洛技术为仿真基础的应用于放射诊断的软件，尤其是与ＣＴ检查相关的应用软件［１３－１７］。 ３ 数学模型在介入治疗的应用 介入治疗是临床、医学与工程技术紧密结合，相互依存而发展起来的前沿学科，它具有微创、简便、安全等优点，为过去 ０ ５ ６ １重庆医学２０１３年５月第４２卷第１４期 ＊基金项目：重庆市卫生局科研基金资助项目（２０１０－２－０５５）。 作者简介：刘潇（１９８１～），技师，在读硕士研究生，主要从事医学影像技术研究。 △ 通讯作者，Ｔｅｌ：１３６０８３３８４８８；Ｅ－ｍａｉｌ：ｚｅｎｇ－ｙｍ＠ｖｉｐ．ｓｉｎａ．ｃｏｍ。
第5-6章：如何建立数学模型及实例
如 何 建 立 数 学 模 型 及 实 例 数学建模培训 科研处数学建模小组
第五章：如何建立数学模型 怎样撰写数学建模的论文？ 1．什么是数学模型？ 数学模型是对于现实世界的一个特定对象，一个特定目的，根据特有的内在规律，做出一些必要的假设，运用适当的数学工具，得到一个数学结构。 简单地说：就是系统的某种特征的本质的数学表达式（或是用数学术语对部分现实世界的描述），即用数学式子（如函数、图形、代数方程、微分方程、积分方程、差分方程等）来描述（表述、模拟）所研究的客观对象或系统在某一方面的存在规律。 2．什么是数学建模?数学建模是利用数学方法解决实际问题的一种 实践。即通过抽象、简化、假设、引进变量等处理过程后，将实际问题用数学方式表达，建立起数学模型，然后运用先进的数学方法及计算机技术进行求解。 观点：“所谓高科技就是一种数学技术” 注数学建模其实并不是什么新东西，可以说有了数学并需要用数学去解决实际问题，就一定要用数学的语言、方法去近似地刻划该实际问题，这种刻划的数学表述的就是一个数学模型，其过程就是数学建模的过程。数学模型一经提出，就要用一定的技术手段（计算、证明等）来求解并验证，其中大量的计算往往是必不可少的，高性能的计算机的出现使数学建模这一方法如虎添翼似的得到了飞速的发展，掀起一个高潮。 注 数学建模将各种知识综合应用于解决实际问题中，是培养和提高同学们应用所学知识分析问题、解决问题的能力的必备手段之一。 3．数学建模的一般方法和步骤建立数学模型的方法和步骤并没有一定的模 式，但一个理想的模型应能反映系统的全部重要特征：模型的可靠性和模型的使用性 建模的一般方法： ◆机理分析◆测试分析方法 机理分析：根据对现实对象特性的认识，分析其因果关系，找出反映内部机理的规律，所建立的模型常有明确的物理或现实意义。 测试分析方法：将研究对象视为一个“黑箱”系统，内部机理无法直接寻求，通过测量系统的输入输出数据，并以此为基础运用统计分析方法，按照事先确定的准则在某一类模型中选出一个数据拟合得最好的模型。测试分析方法也叫做系统辩识。 将这两种方法结合起来使用，即用机理分析方法建立模型的结构，用系统测试方法来确定模型的参数，也是常用的建模方法。在实际过程中用那一种方法建模主要是根据我们对研究对象的了解程度和建模目的来决定。机理分析法建模的具体步骤大致可见下图。
数学建模--杨桂元--第一章习题答案
第一章 1-1习题 1.设用原料A 生产甲、乙、丙的数量分别为131211,,x x x ，用原料B 生产甲、乙、丙的数量分别为232221,,x x x ，原料C 生产甲、乙、丙的数量分别为333231,,x x x ，则可以建立线性规划问题的数学模型： ?? ??? ??? ?? ?????=≥≤+--≤+--≥--≤+--≥--≤++≤++≤++++++++-+=) 3,2,1,(,00 5.05.05.004.0 6.06.00 15.015.085.008.02.02.006.06.04.012002500 2000..8.38.56.78.18.36.52.08.16.3max 33231332221232 22123121113121113332312322 21131211333231232221131211j i x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x S ij LINDO 求解程序见程序XT1-1-1。 求解结果： 1200 ,22.1482,33.473,0,78.1017,66.1526322212312111======x x x x x x 0,0,0332313===x x x ，24640max =S （元） 。 2.设用设备,,,,,32121B B B A A 加工产品Ⅰ的数量分别为54321,,,,x x x x x ,设备121,,B A A 加工产品Ⅱ的数量分别为876,,x x x ,设备22,B A 加工产品Ⅲ的数量分别为109,x x ,则目标函数为: 976321)5.08.2())(35.02())(25.025.1(max x x x x x x S -++-+++-= 4000 7200700011478340008625010000129731260001053005 1048397261x x x x x x x x x x ?-+?-+?-++?-+? -整理后得到: ??? ??? ?=≥=-=-+=--++≤≤+≤+≤++≤+-+-++---+=)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1(,00;0;0;40007;7000114;400086; 100001297;6000105..2304.19256.15.03692.115.135.04474.0375.07816.075.0max 10987654321510483972611098765 4321j x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x t s x x x x x x x x x x S j 整数 LINDO 求解的程序见程序XT1-1-2。 求解结果: 324,500,0,571,859,0,230,120010987654321==========x x x x x x x x x x 446.1155max =S 3.设自己生产甲、乙、丙的数量分别为312111,,x x x ,外协加工甲、乙、丙第数量分别为322212,,x x x （外协加工的铸造、机加工和装配的工时均不超过5000小时）,则
数学建模第二章作业答案章绍辉(新)
习题2作业讲评 1. 继续考虑 2.2节的“汽车刹车距离”案例，请问“两秒准则”和“一车长度准则”一样吗？“两秒准则”是否足够安全？对于安全车距，你有没有更好的建议？（“两秒准则”，即后车司机从前车经过某一标志开始，默数2秒之后到达同一标志，而不管车速如何. 刹车距离与车速的经验公式 20.750.082678d v v =+，速度单位为m/s ，距离单位为m ） 解答 （1）“两秒准则”表明前后车距与车速成正比例关系. 引入以下符号： D ～ 前后车距（m ）；v ～ 车速（m/s ）； 于是“两秒准则”的数学模型为22D K v v ==. 与“一车长度准则”相比是否一样，依赖于一车长度的选取. 比较2 0.750.082678d v v =+与2D v =，得： ()0.082678 1.25d D v v -=- 所以当15.12 m/s v <（约合54.43 km/h ）时，有d
v=(20:5:80).*0.44704; d2=[18,25,36,47,64,82,105,132,162,196,237,283,334 22,31,45,58,80,103,131,165,202,245,295,353,418 20,28,40.5,52.5,72,92.5,118,148.5,182,220.5,266,318,376]; d2=0.3048.*d2; k1=0.75; k2=0.082678; K2=2; d1=[v;v;v].*k1; d=d1+d2; plot([0,40],[0,K2*40],'k') hold on 51015 2025 303540 车速v （m/s ） 距离（m ） 图1
初等数学建模试题极其标准答案
1.你要在雨中从一处沿直线走到另一处，雨速是常数，方向不变。 你是否走得越快，淋雨量越少呢？ 2.假设在一所大学中，一位普通教授以每天一本的速度开始从图书 馆借出书。再设图书馆平均一周收回借出书的1/10，若在充分长的时间内，一位普通教授大约借出多少年本书？ 3.一人早上6：00从山脚A上山，晚18：00到山顶B；第二天，早 6：00从B下山，晚18：00到A。问是否有一个时刻t,这两天都在这一时刻到达同一地点？ 4.如何将一个不规则的蛋糕I平均分成两部分？ 5.兄妹二人沿某街分别在离家3公里与2公里处同向散步回家，家 中的狗一直在二人之间来回奔跑。已知哥哥的速度为3公里/小时，妹妹的速度为2公里/小时，狗的速度为5公里/小时。分析半小时后，狗在何处？ 6.甲乙两人约定中午12：00至13：00在市中心某地见面，并事先 约定先到者在那等待10分钟，若另一个人十分钟内没有到达，先到者将离去。用图解法计算，甲乙两人见面的可能性有多大？ 7.设有n个人参加某一宴会，已知没有人认识所有的人，证明：至 少存在两人他们认识的人一样多。 8.一角度为60度的圆锥形漏斗装着10 端小孔的 面积为0.5 9.假设在一个刹车交叉口，所有车辆都是由东驶上一个1/100的斜
坡，计算这种情 下的刹车距离。如果汽车由西驶来，刹车距离又是多少？ 10. 水管或煤气管经常需要从外部包扎以便对管道起保护作用。包扎时用很长的带子缠绕在管道外部。为了节省材料，如何进行包扎才能使带子全部包住管道而且带子也没有发生重叠。 :顶=1：a:b ，选坐v>0,而设语雨速 L( 1q -+v x ),v≤x Q(v)= L( v x -q +1),v>x 2.解：由于教授每天借一本书，即一周借七本书，而图书馆平均每周
数学建模典型例题
一、人体重变化 某人的食量是10467焦/天，最基本新陈代谢要自动消耗其中的5038焦/天。每天的体育运动消耗热量大约是69焦/（千克?天）乘以他的体重（千克）。假设以脂肪形式贮存的热量100% 地有效，而1千克脂肪含热量41868焦。试研究此人体重随时间变化的规律。 一、问题分析 人体重W（t）随时间t变化是由于消耗量和吸收量的差值所引起的，假设人体重随时间的变化是连续变化过程，因此可以通过研究在△t时间内体重W的变化值列出微分方程。 二、模型假设 1、以脂肪形式贮存的热量100%有效 2、当补充能量多于消耗能量时，多余能量以脂肪形式贮存 3、假设体重的变化是一个连续函数 4、初始体重为W0 三、模型建立 假设在△t时间内： 体重的变化量为W（t+△t）-W(t)； 身体一天内的热量的剩余为（10467-5038-69*W（t）） 将其乘以△t即为一小段时间内剩下的热量； 转换成微分方程为：d[W(t+△t)-W(t)]=(10467-5038-69*W(t))dt； 四、模型求解 d(5429-69W)/(5429-69W)=-69dt/41686 W(0)=W0 解得： 5429-69W=（5429-69W0）e(-69t/41686) 即： W（t）=5429/69-（5429-69W0）/5429e(-69t/41686) 当t趋于无穷时，w=81; 二、投资策略模型 一、问题重述 一家公司要投资一个车队并尝试着决定保留汽车时间的最佳方案。5年后，它将卖出所有剩余汽车并让一家外围公司提供运输。在策划下一个5年计划时，这家公司评估在年i 的开始买进汽车并在年j的开始卖出汽车，将有净成本a ij（购入价减去折旧加上运营和维修成本）ij
数学建模章绍辉版作业
数学建模章绍辉版作业集团标准化工作小组 #Q8QGGQT-GX8G08Q8-GNQGJ8-MHHGN#
第四章作业 第二题： 针对严重的交通情况，国家质量监督检验检疫局发布的国家标准，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于20mg/100ml,小于80mg/100ml 为饮酒驾车，血液中的酒精含量大于或等于80mg/100ml 的为醉酒驾车。 下面分别考虑大李在很短时间内和较长时间内（如2个小时）喝了三瓶啤酒，多长时间内驾车就会违反新的国家标准。 1、 问题假设 大李在短时间内喝下三瓶啤酒后，酒精先从吸收室（肠胃）吸收进中心室（血液和体液），然后从中心室向体外排除，忽略喝酒的时间，根据生理学知识，假设 （1） 吸收室在初始时刻t=0时，酒精量立即为 32 D ;在任意时刻，酒精从吸收室吸收进中心室的速率（吸收室在单位时间内酒精含量的减少量）与吸收室的酒精含量成正比，比例系数为1k ； （2） 中心室的容积V 保持不变；在初始时刻t=0时，中心室的酒精含量为0； 在任意时刻，酒精从中心室向体外排除的速率（中心室在单位时间内酒精含量的减少量）与中心室的酒精含量成正比，比例系数为2k ； （3） 在大李适度饮酒没有酒精中毒的前提下，假设1k 和2k 都是常量，与饮酒量 无关。 2、 符号说明 酒精量是指纯酒精的质量，单位是毫克； 酒精含量是指纯酒精的浓度，单位是毫克/百毫升； ~t 时刻（小时）； ()~x t 在时刻t 吸收室（肠胃）内的酒精量（毫克）；
0~D 两瓶酒的酒精量（毫克）； (t)~c 在时刻t 吸收室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； 2()~c t 在时刻t 中心室（血液和体液）的酒精含量（毫克/百毫升）； ~V 中心室的容积（百毫升）； 1~k 酒精从吸收室吸收进中心室的速率系数（假设其为常数）； 2~k 酒精从中心室向体外排除的速率系数（假设其为常数）； 3~k 在短时间喝下三瓶酒的假设下是指短时间喝下的三瓶酒的酒精总量除以中心室体 积，即03/2D V ；而在较长时间内（2小时内）喝下三瓶酒的假设下就特指03/4D V . 3、 模型建立和求解 （1） 酒是在很短时间内喝的： 记喝酒时刻为0t =（小时），设(0)0c =，可用()2113 212 ()k t k t k k c t e e k k --= --来计算血液中的酒精含量，此时12k k 、为假设中所示的常数，而033155.792D k V ?? == ??? . 下面用MATLAB 程序画图展示血液中酒精含量随时间变化并且利用fzero 函数和fminbnd 函数来得到饮酒驾车醉酒驾车对应的时间段，以及血液中酒精含量最高的时刻。 MATLAB 程序如下： k1=;k2=;k3=; c=@(t)(k1.*k3)./(k1-k2).*(exp(-k2.*t)-exp(-k1.*t)); f=@(t)c(t)-20; g=@(t)c(t)-80; h=@(t)-c(t); t1(1)=fzero(f,1);t1(2)=fzero(f,12), t2(1)=fzero(g,1);t2(2)=fzero(g,12) [t3,c3]=fminbnd(h,0,24) fplot(c,[0,20],'k') hold on plot([0,20],[20,20],'k',[0,20],[80,80],'k') hold off
数学建模(教案)第一章--线性规划
数学建模 第一章 线性规划 §1 线性规划 在人们的生产实践中，经常会遇到如何利用现有资源来安排生产，以取得最大经济效益的问题。此类问题构成了运筹学的一个重要分支—数学规划，而线性规划(Linear Programming 简记LP)则是数学规划的一个重要分支。自从1947年G. B. Dantzig 提出求解线性规划的单纯形方法以来，线性规划在理论上趋向成熟，在实用中日益广泛与深入。特别是在计算机能处理成千上万个约束条件和决策变量的线性规划问题之后，线性规划的适用领域更为广泛了，已成为现代管理中经常采用的基本方法之一。 1.1 线性规划的实例与定义 例1 某机床厂生产甲、乙两种机床，每台销售后的利润分别为4000元与3000元。生产甲机床需用B A 、机器加工，加工时间分别为每台2小时和1小时；生产乙机床需用C B A 、、三种机器加工，加工时间为每台各一小时。若每天可用于加工的机器时数分别为A 机器10小时、B 机器8小时和C 机器7小时，问该厂应生产甲、乙机床各几台，才能使总利润最大？ 上述问题的数学模型：设该厂生产1x 台甲机床和2x 乙机床时总利润最大，则21,x x 应满足 （目标函数） 2134m ax x x z += (1) s.t. （ 约 束 条 件 ） ?????? ?≥≤≤+≤+0 ,781022122 121x x x x x x x （2） 这里变量21,x x 称之为决策变量，（1）式被称为问题的目标函数，
精品文 （2）中的几个不等式是问题的约束条件，记为s.t.(即subject to)。上述即为一规划问题数学模型的三个要素。由于上面的目标函数及约束条件均为线性函数，故被称为线性规划问题。 总之，线性规划问题是在一组线性约束条件的限制下，求一线性目标函数最大或最小的问题。 在解决实际问题时，把问题归结成一个线性规划数学模型是很重要的一步，但往往也是困难的一步，模型建立得是否恰当，直接影响到求解。而选取适当的决策变量，是我们建立有效模型的关键之一。 1.2 线性规划的Matlab 标准形式 线性规划的目标函数可以是求最大值，也可以是求最小值，约束条件的不等号可以是小于号也可以是大于号。为了避免这种形式多样性带来的不便，Matlab 中规定线性规划的标准形式为 b Ax x c x T ≤ that such min 其中c 和x 为n 维列向量，b 为m 维列向量，A 为n m ?矩阵。 例如线性规划 b Ax x c x T ≥ that such max 的Matlab 标准型为 b Ax x c x T -≤-- that such min 1.3 线性规划问题的解的概念 一般线性规划问题的标准型为 ∑==n j j j x c z 1min (3) ∑==≤n j i j ij m i b x a 1,,2,1 s.t. (4) 可行解 满足约束条件（4）的解),,,(21n x x x x =，称为线性规
一些经典初等数学模型
初等数学模型 本章重点是：雨中行走问题、动物的身长与体重、实物交换、代表名额的分配与森林救火模型的建立过程和所使用的方法 复习要求 1．进一步理解基本建模过程，掌握类比法、图示法以及问题分析、合理假设的内涵。 2．进一步理解数学模型的作用与特点。 类比法是建立数学模型的一个常见而有力的方法.作法是把问题归结或转化为我们熟知的模型上去给以类似的解决：这个问题与我们熟悉的什么问题类似?如果有类似的问题曾被解决过，我们的建模工作便可省去许多麻烦.实际上，许多来自不同领域的问题在数学模型上看确实具有相类似的甚至相同的结构. 利用几何图示法建模.有不少实际问题的解决只要从几何上给予解释和说明就足以了，这时，我们只需建立其图模型即可，我们称这种建模方法为图示法.这种方法既简单又直观，且其应用面很宽. 1．雨中行走问题 雨中行走问题的结论是： （1）如果雨是迎着你前进的方向落下，即2 0π θ≤ ≤，那么全身被淋的雨水总量为 ? ? ? ??++=++= +=h v hr dr pwD v r h dr v pwD C C C θθθθcos sin )] cos (sin [21 这时的最优行走策略是以尽可能大的速度向前跑. （2）如果雨是从你的背后落下，即πθπ≤≤2 . 令απθ+=2 ，则2 0π α<<. 那么全身被淋 的雨水总量为 ?? ? ??+-=h v rh rd Dpw v C ααθsin cos ),( 这时你应该控制在雨中行走的速度，使得它恰好等于雨滴下落速度的水平分量. 从建模结果看，“为了少些淋雨，应该快跑”，这个一般的“常识”被基本上否定，那么根据何在？由此提出了建模目的：减少雨淋程度. 而为减少雨淋程度，便自然提出“被淋在身上的雨水量”这个目标函数C ，而C =C （v ），于是问题便归结为确定速度v ，使C （v ）最小——本模型的关键建模步骤便得以确定。 有了确定的建模目的，自然引出与C （v ）有关的量的设定与简化假设. 一般地，开始时不要面面俱到地把所有相关量都涉及到，往往只需考虑几个主要量，甚至暂时舍弃某个主要量，以求尽快建立模型.尤其对初学者，这样做有助于建模信心的增强.自不必说建模过程往往如此，更有模型尚有的进一步修改和推广的主要步骤.而一旦建立起简单模型后，其进一步的改善也相对容易多了.这就是本模型只所以建立了两个模型的原因，是符合人们的认识规律的. 另外，为了检验所建模型的合理性，建模后用较为符合实际的几组数据对模型加以检验是重要的，它既是对所建模型是否基本符合实际的检测，也是进一步完善模型的需要. 例1 在某海滨城市附近海面有一台风.据监测，当前台风中心位于城市O （如
数学建模题目及答案
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。（15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很 可能是否定的。 因此对这个问题我们假设： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设 条件成立，那么答案是肯定的。以长方 桌的中心为坐标原点作直角坐标系如图 所示，方桌的四条腿分别在A、B、C、D 处，A、、D的初始位置在与x轴平行，再 假设有一条在x轴上的线,则也与A、B，C、D平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线与x轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令() fθ为A、B离地距离之和，
()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ的连续函数。又由假设（3） ，三条腿总能同时着地， 故()f θ()g θ=0必成立（?θ）。不妨设(0)0f =(0)0g >（若(0)g 也为0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归结为： 已知()f θ,()g θ均为θ的连续函数，(0)0f =,(0)0g >且对任意θ有00()()0f g θθ=，求证存在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，与互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθθ=-，显然，()h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定理，存在0θ，00θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则 10； 10=235/1000；
数学建模习题指导
数学建模习题指导 第一章 初等模型 讨论与思考 讨论题1 大小包装问题 在超市购物时你注意到大包装商品比小包装商品便宜这种现象吗？比如洁银牙膏50g 装的每支1.50元，120g 装的每支3.00元，二者单位重量的价格比是1.2:1，试用比例方法构造模型解释这种现象。 （1）分析商品价格C 与商品重量w 的关系。 （2）给出单位重量价格c 与w 的关系，并解释其实际意义。 提示： 决定商品价格的主要因素：生产成本、包装成本、其他成本。 单价随重量增加而减少 单价的减少随重量增加逐渐降低 思考题2 划艇比赛的成绩 赛艇是一种靠浆手划桨前进的小船，分单人艇、双人艇、四人艇、八人艇四种。各种艇虽大小不同，但形状相似。T.A.McMahon 比较了各种赛艇1964—1970年四次2000m 比赛的最好成绩(包括1964年和1968年两次奥运会和两次世界锦标赛)，见下表。建立数学模型解释比赛成绩与浆手数量之间的关系。 各种艇的比赛成绩与规格 γβα++=3 2w w C w w c γβα++=-3 123 431w w c γβ--='-3 2943 4w w c γβ+=''-
第二章 线性代数模型 森林管理问题 森林中的树木每年都要有一批砍伐出售。为了使这片森林不被耗尽且每年都有所收获，每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼苗，使森林树木的总数保持不变。被出售的树木，其价值取决于树木的高度。开始时森林中的树木有着不同的高度。我们希望能找到一个方案，在维持收获的前提下，如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得最大的经济价值。 思考： 试解释为什么模型中求解得到的 为每周平均销售量会略小于模型假设中给出的1。 练习： 将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0或1时订购，使下周初的库存 达到3架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 2.将钢琴销售的存贮策略修改为：当周末库存量为0时订购本周销售量加2架；否则，不订购。建立马氏链模型，计算稳态下失去销售机会的概率和每周的平均销售量。 第三章 优化模型 讨论题 1）最优下料问题 用已知尺寸的矩形板材加工半径一定的圆盘。给出几种加工排列方法，比较出最优下料方案。 2）广告促销竞争问题 甲乙两公司通过广告竞争销售商品，广告费分别为 x 和 y 。设甲乙公司商品的售量在两公司总售量中所占份额是它们的广告费在总广告费中所占份额的函数 又设公司的收入与售量成正比，从收入中扣除广告费后即为公司的利润。试构造模型的图形，并讨论甲公司怎样确定广告费才能使利润最大。 （1）令 （2）写出甲公司的利润表达式 对一定的 y ，使 p (x ) 最大的 x 的最优值应满足什么关系。用图解法确定这个最优值。 练习1 三个家具商店购买办公桌：A 需要30张，B 需要50张，C 需要45张。这些办公桌由两个工厂供应：工厂1生产70张，工厂2生产80张。下表给出了工厂和商店的距离（单位公里） ， 857.0=n R ) (),(y x y f y x x f ++的示意图。。画出则)()()(,t f t f t f y x x t 11=-++= 。 )(t p
数学建模例题及解析
。 例１差分方程—-资金的时间价值 问题1：抵押贷款买房——从一则广告谈起 每家人家都希望有一套(甚至一栋)属于自己的住房，但又没有足够的资金一次买下，这就产生了贷款买房的问题。先看一下下面的广告（这是1991年1月1日某大城市晚报上登的一则广告）,任何人看了这则广告都会产生许多疑问,且不谈广告中没有谈住房面积、设施等等,人们关心的是：如果一次付款买这栋房要多少钱呢?银行贷款的利息是多少呢？为什么每个月要付12０0元呢？是怎样算出来的?因为人们都知道,若知道了房价(一次付款买房的价格），如果自己只能支付一部分款,那就要把其余的款项通过借贷方式来解决,只要知道利息，就应该可以算出五年还清每月要付多少钱才能按时还清贷款了,从而也就可以对是否要去买该广告中所说的房子作出决策了。现在我们来进行数学建模。由于本问题比较简单无需太多的抽象和简化。 a。明确变量、参数，显然下面的量是要考虑的： 需要借多少钱，用记; 月利率(贷款通常按复利计）用R记； 每月还多少钱用x记; 借期记为N个月。 b.建立变量之间的明确的数学关系。若用记第k个月时尚欠的款数,则一个月后（加上利息后)欠款 , 不过我们又还了x元所以总的欠款为 ｋ=0，1，２，３， 而一开始的借款为.所以我们的数学模型可表述如下 (1) c. （1)的求解。由
（2）这就是之间的显式关系。 d.针对广告中的情形我们来看（１）和（2）中哪些量是已知的。Ｎ=5年=60个月，已知;每月还款x＝１20０元，已知Ａ.即一次性付款购买价减去７０000元后剩下的要另外去借的款，并没有告诉你，此外银行贷款利率Ｒ也没告诉你,这造成了我们决策的困难.然而,由（2）可知6０个月后还清,即,从而得 (3） A和x之间的关系式，如果我们已经知道银（３)表示Ｎ=6０,x=1２00给定时0 A。例如，若Ｒ=0．01,则由(3)可算得行的贷款利息R，就可以算出0 5３94６元。如果该房地产公司说一次性付款的房价大于70０0０十53946＝12３946元的话，你就应自己去银行借款。事实上，利用图形计算器或Maｔheｍａtiｃa这样的 数学软件可把（3）的图形画出来,从而可以进行估算决策。以下我们进一步考虑下面两个问题。 注1问题1标题中“抵押贷款”的意思无非是银行伯你借了钱不还，因而要你用某种不动产（包括房子的产权）作抵押，即万一你还不出钱了，就没收你的不动产。 例题１某高校一对年青夫妇为买房要用银行贷款６000０元，月利率0.01，贷款期25年=300月，这对夫妇希望知道每月要还多少钱，25年就可还清。假设这对