平面向量简单练习题汇编
绝密★启用前2013-2014
学年度???学校5月月考卷
试卷副标题
考试范围：xxx ；考试时间：100分钟；命题人：xxx
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明
一、选择题（题型注释）
1．已知三点)143()152()314(--，，、，，、，，λC B A 满足⊥，则λ的值 ( ) A 、14 B 、-14 C 、7 D 、-7 2．已知)2 , 1(-=，52||=，且//，则=( )
A ．)4 , 2(-
B ．)4 , 2(-
C ．)4 , 2(-或)4 , 2(-
D ．)8 , 4(- 3．已知向量a ，b 是夹角为60°的两个单位向量，向量a ＋λb (λ∈R)与向量a －2b 垂直，则实数λ的值为( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．0
4．已知点(6,2)A ，(1,14)B ，则与AB u u u r
共线的单位向量为（ ）
A ．512(,)1313-
或512(,)1313- B ．512(,)1313- C ．125(,)1313-或125(,)1313- D ．512(,)1313
-
5．已知1,2,()0a b a b a ==+=r r r r r
g ，则向量b r 与a r 的夹角为（ ）
A ．30°
B ．60°
C ．120°
D ．150°
6．设向量(0,2),==r r a b ，则,r r
a b 的夹角等于（ ）
A.
3π B. 6π C.32π D. 6
5π 7．若向量()x x 2,3+=和向量()1,1-=→
b 平行，则 =+→
→
b a （ ）
A 、10
B 、
2
10
C 、2
D 、22
8．已知()()0,1,2,3-=-=，向量b a +λ与b a 2-垂直，则实数λ的值为( ).
A.17-
B.17
C.16
- D.1
6
9．设平面向量(1,2)a =r ，(2,)b y =-r ，若向量,a b r r
共线，则3a b +r r =（ ）
（A ） （B （C （D
10．平面向量a r 与b r 的夹角为60o
，(2,0)a =r ，1b =r ，则2a b +r r =
A
B ．
C ．4
D ．12
11．已知向量()1,2=a ，()1,4+=x b ，若b a //，则实数x 的值为 （A ）1
（B ）7
（C ）10-
（D ）9-
12．设向量)2,1(=→
a ，)1,(x
b =→
，当向量→
→
+b a 2与→
→
-b a 2平行时，则→
→?b a 等于
A ．2
B ．1
C ．
25 D ．2
7 13．若1,2,,a b c a b c a ===+⊥r r r r r r r
且，则向量a b r u r 与的夹角为（ ）
A. 30o
B. 60o
C. 120o
D. 150o
142= ，2||= 且（b a -）⊥a ，则a 与b 的夹角是 （ ）
A.
6π B.4π C.3π
D.π12
5 15．已知向量AB u u u r
＝(cos120°，sin120°)，AC u u u r ＝(cos30°，sin30°)，则△ABC 的形状
为
A ．直角三角形
B ．钝角三角形
C ．锐角三角形
D ．等边三角形
16．已知向量(,1)a m =r ,(1,)b n =r
,若a r ∥b r ,则22m n +的最小值为
A.0
B. 1
C.2
D. 3
17．下列向量中，与(3,2)垂直的向量是（ ）． A ．(3,2)- B ．(2,3) C ．(4,6)-
D ．(3,2)-
18．设平面向量(3,5),(2,1),2a b b ==--=r r r r
则a （ ）
A ．（7,3） B.(7,7) C.(1,7) D.(1,3) 19．已知向量)1,1(=a ，),2(n =b ，若b a ⊥，则n 等于
A ．3-
B ．2-
C ．1
D ．2
20． 已知向量,a b r r
满足0,1,2,a b a b ?===r r r r 则2a b -=r r （ ）
A. 0
B.22
C. 4
D. 8
21．设向量a r =（1.cos θ）与b r
=（-1， 2cos θ）垂直，则cos2θ等于 （ ）
A 、
2
2 B 、12 C 、0 D 、-1 22．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与()
2b a --r r
共线，则λ=（ ）
A ．0
B ．－1
C ．－2
D ．1
2
-
23．化简
AC -u u u r BD +u u u r CD -u u u r AB u u u r = 24．已知下列命题中真命题的个数是（ ）
（1）若k R ∈，且0kb =r r ，则0k =或0b =r r
， （2）若0a b ?=r r ，则0a =r r 或0b =r r
，
（3）若不平行的两个非零向量b a ,，满足||||b a =，则0)()(=-?+b a b a ，
（4）若a 与b 平行，则||||a b a b =?r r
g
. A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
25．如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别是DC ，BC 的中点，那么=EF u u u r
（ ）
A.1122
AB AD u u u
r u u u r + B.1122AB AD -u u u r u u u r - C.1122
AB AD -u u u
r u u u r + D.1122
AB AD u u u
r u u u r - 26．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )且a ∥b ，则2a ＋3b ＝
A ．(－5,－10)
B ．(－4,－8)
C ．(－3,－6)
D ．(－2,－4)
27．设,,a b r r 满足1||||1,,2
a b a b ===-r r r r g 则|2|a b +=r r （ ）
2357
28．已知平面内三点(2,2),(1,3),(7,)A B C x BA AC ⊥u u u r u u u r
满足，则x 的值为( )
A ．3
B ．6
C ．7
D ．9
29．已知向量a r =(1,2)-，=(,2)x ，若⊥，则||=（ ）
A 5
B ．5
C ．5
D ．20
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人 得分
二、填空题（题型注释）
30．若2
(2,3),(4,5),a b x x a =-=-r r r 若∥b r ，则x ＝ ．
31．已知向量a (1,2)=，b (3,2)=-,若向量b a k +与b a 3+平行，则k =______.
32．边长为2的等边△ABC 中，AB BC ?=u u u r u u u r
33．已知向量a 和向量b 的夹角为135°，|a|＝2，|b|＝3，则向量a 和向量b 的数量积a ·b ＝________．
34．若(3,4)AB =u u u r
，A 点的坐标为(2,1)--，则B 点的坐标为.
35．已知向量a r =(12
-x ,x +2),b r =(x ,1)，若//a b r r ，则x =.
36．已知向量a=（1，3-），则与a 反向的单位向量是
37．若向量a r ，b r 的夹角为120°，|a r |＝1，|b r |＝3，则|5a r －b r
|＝ .
38．已知12,e e u r u u r 为相互垂直的单位向量,若向量12e e λ+u r u u r 与12e e λ+u r u u r 的夹角等于0
60,则实
数λ=_____.
39．若向量BA u u u r
＝(2，3)，CA u u u r ＝(4，7)，则BC uuu r ＝________．
40．在平面直角坐标系xOy 中,已知向量a=(1,2),a-b=(3,1),c=(x,3),若(2a+b)∥c,
则x= .
41．已知向量)3,1a =
r ，()0,1b =-r
，(3c k =r ．若()
2a b -r r 与c r 共线，则
k =________.
42．已知A (1,2)，B (3,4)，C (－2,2)，D (－3,5)，则向量AB u u u r
在向量CD uuu r 上的投影为
______．
43．已知向量),3,2(),4,2(-=-=k k 若,⊥=b .
44．设向量(4sin ,3)a α=r ，(2,3cos )b α=r
，且//a b r r ，则锐角α为________． 45．已知A(4,1,3)、B(2,－5,1),C 为线段AB 上一点, 且3AB AC =u u u r u u u r
, 则C 的坐标为
_____________
46．已知向量p ()1,2=-,q (),4x =,且//p q ，则?p q 的值为 ．
47．()π,m 2=与()a ,n 1=共线，则=a .
48．已知向量)2,4(=→
a ，向量)3,(x
b =→
，且→
→b a //，则=x .
49．已知四点(1,2),(3,4),(2,2),(3,5)A B C D --，则向量AB uuu r 在向量CD uuu r
方向上的射影
是的数量为 ．
50．设向量与的夹角为θ，)1,2(=，)54(2，=+，则θcos 等于 ．
51．已知向量a r , b r ，其中2||,2||==b a ρρ，且a b a ρ
ρρ⊥-)(，则向量a r 和b r 的夹角
是 .
52．已知向量a r 与向量b r 的夹角为60°，若向量2c b a =-r r r ，且b c ⊥r r ，则||
||
a b r
r 的值为
______
53． 已知向量
(1,2),(1,1),,a k b k a b ==+⊥r r
r r 若则实数k 等于______. 54． 已知向量=（-1，2），=（3，m ），若⊥，则m =___________.
55．已知平面向量(1,2)a =r ， (2,)b m =-r
， 且a r //b r ，则23a b +r r ＝ .
56．已知(1,)a k =-r ，(4,2)b =-r 且a b +r r 与a r
垂直，则k 的值为__________.
57．已知向量(
)52,5,2,1=-=?=
等于
58．已知向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r
，若()a c -r r ∥b r ，则k= .
59．若)1,2(=是直线l 的一个方向向量，则l 的倾斜角的大小为 （结果用反三角函数值表示）.
60． 已知向量(1,0)a =r ，(2,1)b =-r ，(,1)c x =r
，)(b a c ρρρ+⊥，则
=x .
61．设3a =r ，5b =r
，若a r //b r ，则a b ?=r r ． 62．若
||2,||4,(),a b a b a a b ==+⊥r r r r r r r 且则与的夹角是 。 63． 设向量a=(t ，-6)，b=(—3，2)，若a//b ，则实数t 的值是________
三、解答题（题型注释）
64．已知4||=，2||=，且a 与b 夹角为120°求
（1）)()2(b a b a +?-； （2）|2|b a -； （3）a 与b a +的夹角
65．已知单位向量→
a ，→
b 满足3)2()32(=+?-→
→→→b a b a 。 求→
a ?→
b ；
(2) 求→
→
-b a 2的值。
66．（11分）已知向量(cos ,sin )a αα=r ，(cos ,sin )b ββ=r
，5
a b -=r r ．
（Ⅰ）求cos()αβ-的值；
（Ⅱ）若02
π
α<<
，02
π
β-
<<，且5
sin 13
β=-
，求sin α． 67．（本小题满分12分）已知)sin ,(cos )),cos(
),2
(sin(x x b x x a -=-+=ρρππ
，函数b a x f ρρ?=)(.
（1）求函数()f x 的最小正周期；
（2）在ABC ?中，已知A 为锐角，()1f A =,2,3
BC B π
==,求AC 边的长.
68．（本小题满分14分）
已知向量(,1),(sin ,cos )a m b x x ==v v
，()f x a b =?v v 且满足()12
f π=.
(1)求函数()y f x =的解析式；
(2)求函数()y f x =的最小正周期、最值及其对应的x 值；
(3)锐角ABC ?中，若(
)12
f A π
=，且2AB =，3AC =，求BC 的长．
69．已知向量)2
3,(cos ),1,(sin x x =-=． ⑴当x b a tan ,//求时的值；
⑵求x f ?+=)()(的最小正周期和单调递增区间 70．(本小题满分l2分)(注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．) 已知ABC ?的三个顶点的坐标为)0,(),0,0(),4,3(m C B A - （I ）若0=?→
→
AC AB ，求m 的值； （II ）若5=m ，求A sin 的值.
71．设非零向量=)(x x 2,，=)(2,3x -，且，的夹角为钝角，求x 的取值范围
参考答案
1．C 【解析】
试题分析：由题()()245113262,,,,AB =----=---u u u v ，()1117,,AC λ=---u u u v
，
又⊥，
()()()()()21612170λ-?+--+-?=，解得7λ=.
考点：向量的端点坐标与向量坐标的关系，两向量垂直的坐标运算. 2．C 【解析】
试题分析：设(,)b x y =r
，∴20
y x +=?=，∴24x y =??=-?或24x y =-??=?，所以选C. 考点：1.向量共线的充要条件；2.向量的模.
3．D
【解析】由题意可知a·b ＝|a ||b |cos 60°＝1
2
，而(a ＋λb )⊥(a －2b )，故(a ＋λb )·(a －2b )＝0，即a 2＋λa·b －2a·b －2λb 2
＝0，从而可得1＋2
λ－1－2λ＝0，即λ＝0.
4．A 【解析】
试题分析：因为点(6,2)A ，(1,14)B ，所以(5,12)AB =-u u u r ，||13AB =u u u r
，
与AB u u u r 共线的单位向量为1512
(5,12)(,)131313||
AB AB ±=±-=±-u u u r
u u u
r . 考点：向量共线.
5．C 【解析】
试题分析：因为，1,2,()0a b a b a ==+=r r r r r g ，所以，a b ?r r =－1，cos ,||||
a b
a b a b ?<>=r r
r r r r =12-，
向量b r 与a r
的夹角为120°，选C 。
考点：平面向量的数量积、夹角计算。
点评：简单题，对于向量,a b r r ，cos ,||||
a b
a b a b ?<>=r r
r r r r 。
6．A 【解析】
试题分析：
∵(0,2),==r r a b ，
∴1
cos ,2?<>==
=?r r
r r r r a b a b a b
，∴,r r a b 的夹角等于
3
π
，故选A 考点：本题考查了数量积的坐标运算
点评：熟练运用数量积的概念及坐标运算求解夹角问题是解决此类问题的关键，属基础题 7．C 【解析】
试题分析：根据题意，由于向量()x x a 2,3+=和向量()1,1-=→
b 平行，则可知x+3=-2x,x=-1,
(2,2)a →∴=- ,故可知=+→→b
a == ,故选
C.
考点：向量的数量积
点评：解决的关键是根据向量的数量积的性质，以及向量的共线概念来求解，属于基础题。 8．A 【解析】 试题分析：因为
()()3,2,1,03-+=a b b a =-=-∴=-??r r r r
g （1）203，
向量+λ与2-垂
直则可知得到|b|=1,-2=133(12)20a a b a b λλλ+++--=r r r r r r g |（）（）,故
解得实数λ的值为1
7-
,故选A.
考点：向量的垂直运用
点评：解题的关键是利用数量积为零，结合向量的平方就是模长的平方，来得到求解，属于基础题。 9．A 【解析】
试题分析：因为平面向量(1,2)a =r ，(2,)b y =-r ，且向量,a b r r
共线，所以y=－4，
(2,4)b =--r ，,a b r r
反向。
所以3a b +r r
===故
选A.
考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，共线向量的条件，数量积，模的计算。 点评：简单题，计算平面向量模时，常常运用“化模为方”的手段。 10．B 【解析】
试题分析：根据题意 ，平面向量a r 与b r
的夹角为60o ，(2,0)a =r ，1b =r
则对于
|2|
a b
→→
+====，故选B. 考点：向量的数量积
点评：根据向量的数量积性质，一个向量的模的平方就是其向量的平方，来求解，属于基础题.
11．A
【解析】
试题分析：因为向量()1,2
=，()1
,4+
=x，且//，
所以2（x+1）-1×4=0，x=1,故选A.
考点：本题主要考查平面向量的坐标运算，共线向量的条件。
点评：简单题，两向量平行，对应坐标成比例。
12．C
【解析】
试题分析：
→
→
+b
a2=（1+2x,4）,
→
→
-b
a
2=(2-x,3),因为向量
→
→
+b
a2与
→
→
-b
a
2平行，所以()()1
31+2-42-=0,x=
2
x x所以，所以
1
=,1
2
b
??
?
??
r
，所以
→
→
?b
a
15
=1+21=
22
??。
考点：向量的加减运算；向量的数量积；向量平行的条件。
点评：熟记向量平行和垂直的条件，设
()()
1,12,2
=,=
a x y
b x y
r r
：
非零向量垂直的充要条件：1212
=0+=0
a b a b x x y y
⊥???
r r r r
；
向量共线的充要条件：1221
=-x=0
a b a b x y y
λ
⊥??
r r r r
。
13．C
【解析】
试题分析：因为c a
⊥
r r
，所以=0
c a?
r r
，即
2
(+)=0,+=0=-1
a b a a b a b a
???
r r r r r r r r
所以，即，
所以向量a b
r u r
与夹角的余弦值
-11
cos===-
122
a b
a b
α
?
?
r r
r r。所以向量a b
r u r
与的夹角为120o。考点：向量的数量积；向量数量积的性质；向量的夹角；向量垂直的条件。
点评：熟记向量的夹角公式: cos=
a b
a b
α
?
r r
r r.向量夹角的取值范围为[]
0,π。
14．B
【解析】
试题分析：因为（b
a-）⊥a，所以0
)
(2=
?
-
=
?
-，所以2
=
?，所以a与b
,
2
2
2
2
2
=
?
=所以与的夹角是
4
π
.
考点：本小题主要考查向量夹角的求解和向量数量积的计算，考查学生的运算求解能力.
点评：向量的数量积是一个常考的内容，要熟练掌握，灵活应用. 15．A
【解析】解：因为AB=AC,且AB
u u u r
AC=
u u u r
，故三角形为直角三角形，选A
16．C
【解析】解：因为向量(,1)
a m
=
r
,(1,)
b n
=
r
,若a
r
∥b
r
，可见1
=
mn，那么
2222
+≥=
m n mn，选C
17．C
【解析】解：与(3,2)垂直的向量是设为（x,y）,则利用数量积为零可知3x+2y=0,那么代入
答案验证可知，满足题意的只有C成立。
18．A
【解析】解：因为(3,5),(2,1),2(3,5)(4,2)(7,3)
==--=--=
r r r r
则a
a b b，选A
19．B
【解析】1210,2
a b n n
⊥??+?=∴=-
r r
.
20．B
【解析】解：因为
0,1,2,
|2|
?===
∴-====
r r r r
r r
a b a b
a b
选B
【答案】：C
【解析】：22
,0,12cos0,cos22cos10.
a b a bθθθ
⊥∴?=∴-+=∴=-=
r r r r
Q正确的是C.
点评：此题主要考察平面向量的数量积的概念、运算和性质，同时考察三角函数的求值运算.
22．D
【解析】解：因为设a
r
与b
r
是两个不共线向量，且向量a b
λ
+
r r
与()2
b a
--
r r
共线，所以必然
有
1
(2)21,
2
+=-∴==-=-
r r r r
a b t a b t t
λλ，选D
23．
【解析】解：因为AC-
u u u r
BD+
u u u r
CD-
u u u r
AB
u u u r
=
()()0
+-+=-=
u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r r
AC CD AB BD AD AD
24．C
【解析】解：命题1利用实数与向量的乘法运算可知，显然成立
命题2中，数量积为零，不一定为零向量，错误 命题3中，利用向量的数量积运算结果可知成立 命题4中，共线时可能同向也可能反向，所以错误 25．D
【解析】解：因为11=22
u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
EF EC CF AB AD +=-,选D
26．B
【解析】由a ∥b 得1-2＝m
2
，∴m ＝－4，∴2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．故选B ．
27．B
28．C
【解析】因为(1,1)BA =-u u u r ,(5,2)AC x =-u u u r
,BA AC ⊥u u u r u u u r ,所以5-20x +=,解得7x =,故选
C. 29．B
【解析】Θ⊥
b ,4,04=∴=-∴x x .52242
2=+=故选B. 30．2或3
【解析】
试题分析：因为//a b r r
，所以222(5)34,560,x x x x x ?-=-?-+==2或3.
考点：向量平行坐标表示 31．
13
【解析】
试题分析：依题意可得(3,22)ka b k k +=-+r r ，3(19,26)(8,8)a b +=-+=-r r
，又因为向
量k +与3+平行，所以8(3)(8)(22)0k k ---+=即310k -=，解得1
3
k =. 考点：1.平面向量的坐标运算；2.平面向量平行的判定与性质. 32．-2 【解析】
试题分析：2)2
1
(22)3cos(-=-??=-=?π
π 考点：向量的数量积，向量的夹角
33．－
【解析】a·b＝|a|·|b|cos135°＝2×3×2??
- ? ???
＝－. 34．(1,3)
【解析】
试题分析：设(,)B x y ，则有((2),(1))(2,1)(3,4)AB x y x y =----=++=u u u r
，所以
2314x y +=??+=?，解得1
3
x y =??
=?，所以(1,3)B . 考点：平面向量的坐标运算. 35．2
1
-=x 【解析】
试题分析：由已知．2
(1)1(2)0x x x -?-+?=，解得，2
1-=x . 考点：平面向量的坐标运算. 36． )2
3
,21(- 【解析】
试题分析：()3,1-=的反向向量为()
3,1-=-,所以其单位向量
为
????
??-=23,21a
.
考点：向量的单位向量的计算. 37．7 【解析】
试题分析：由已知得222
1525102510139492a b a a b b ??
-=-?+=-???-+= ???
r r r r r r ，所以
57a b -=r r
.
考点：向量模的运算、向量的数量积. 38．32± 【解析】
试题分析：因为12,e e u r u u r 为相互垂直的单位向量,则不妨设12,e e u r u u r
分别为直角坐标系中x,y 轴的
正方向的单位向量,则向量12e e λ+u r u u r 与12e e λ+u r u u r 的坐标为()(),1,1,λλ,因为向量12e e λ+u r u u r
与12e e λ+u r u u r
的夹角等于060,所以由向量内积的定义可得
()(
)
1212
12121cos6022e e e e e e e e λλλλλ++=?=
?=±++u r u u r u r u u r g u r u u r u r u u
r g 故填2 考点：向量内积 单位向量
39．(－2，－4)
【解析】BC uuu r ＝BA u u u r ＋AC u u u r ＝BA u u u r －CA u u
u r ＝(－2，－4)．
40．-1
【解析】由a=(1,2),a-b=(3,1)得b=(-4,2),故2a+b=2(1,2)+(-4,2)=(-2,6). 由(2a+b)∥c 得6x=-6,解得x=-1. 41．1 【解析】
试题分析：由向量)3,1a =
r
，()0,1b =-r
，得(
)
23,3a b -=
r r ，由()
2a b -r r
与c r 共线得，
3330k =，解得1k =．
考点：向量共线的充要条件． 42210
【解析】由于AB u u u r ＝(2,2)，CD uuu r ＝(－1,3)，则有| AB u u u r |＝2，|CD uuu r |10AB u u u r ·CD
uuu r ＝4，设向量AB u u u r 与CD uuu r 的夹角为θ，则cos θ＝AB CD AB CD ?u u u r u u u r
u u u r u u u r 2210?5
AB u u u r 在CD uuu r 上的投影为| AB u u u r |cos θ210
.
435【解析】
试题分析：两向量()()1122,,,a x y b x y ==r r
垂直，满足条件12120x x y y +=，可得4k =，公式22
b x y =+r .
考点：向量垂直坐标表示以及向量模的公式. 44．
4
π 【解析】
试题分析：因为//a b r r
，所以4sin 3cos 23αα?=?，所以sin 21α=，因为α为锐角．所
以4
π
α=
.
考点：1.向量的平行；2.解三角方程. 45．(
103, －1, 73
) 【解析】
试题分析：设),,(z y x C ，又)3,1,4(A ,)1,5,2(-B ,可得)2,6,2(---=,
)3,1,4(---=z y x ，又3AB AC =u u u r u u u r ，??
?
??-=--=--=-2936332
123z y x ，解得
310=
x ，37,1=-=z y ，故
则C 的坐标为)3
7
,1,310(-. 考点：空间向量的数乘运算
点评：本题考查空间向量的数乘运算，及向量相等的充分条件，解题的关键是根据向量数乘运算的坐标表示，建立起关于点C 的坐标的方程，此过程利用到了向量的数乘运算，向量相等的坐标表示，本题有一定的综合性，属于知识性较强的题． 46．10- 【解析】
试题分析：因为//p q ，所以由420x +=得：2x =-，则q (2,4)-，10?=-p q 。 考点：向量的数量积；向量平行的判定定理
点评：本题用到向量平行的结论：//a b a b λ?=r r r r
。在向量中，还有另一个重要的结论： 0a b a b ⊥??=r r r r
。
47．
2
π 【解析】
试题分析：因为，()π,m 2=与()a ,n 1=共线，所以，1,22
a a ππ==。 考点：本题主要考查平面向量共线的条件。 点评：简单题，两向量共线，对应坐标成比例。 48．6 【解析】
试题分析：由于向量)2,4(=→
a ，向量)3,(x
b =→
，，那么由于→
→b a //，则可知12-2x=0,x6，故可知答案为6.
考点：向量共线
点评：解决的关键是向量共线的坐标表示，属于基础题。
49
．
【解析】
试题分析：因为(1,2),(3,4),(2,2),(3,5)A B C D --，所以()=2,2AB u u u r ，()=-1,3CD u u u r
，
AB u u u r
CD u u u r ，所以
2123cos ,5AB CD AB CD AB CD
?-+??==
=u u u r u u u r
u u u r u u u r u u u r u u u r ，所以
向量AB uuu r 在向量CD uuu r
方向上的射影的数量为cos ,=55
AB AB CD u u u r u u u r u u u r 。 考点：平面向量的数量积；向量射影的概念；向量的坐标。
点评：注意向量的投影和向量的射影的区别和联系，不同点：向量的投影是一个实数；向量的射影是一个向量；相同点：向量投影与向量射影的数量是等价的； 50．
45
【解析】
试题分析：因为已知中θ为向量a 与b 的夹角，且由)1,2(=a ，)54(2，=+b a ，设
(,)(22,12)(4,5)224,1251,2
b x y x y x y x y =∴++=∴+=+=∴==r
因此可知4
(1,2)cos 5
||||b a b b a θ=∴===r r
r g r u u r g 故答案为
4
5
考点：本试题主要是考查了向量的数量积的运用。
点评：解决该试题的关键是能利用向量的坐标，以及数量积公式，得到向量的夹角的表示。体现了向量的数量积坐标运算的应用，属于基础题。 51．
4
π
； 【解析】
试题分析：因为向量a r , b r ，其中2||,2||==b a ρρ，且a b a ρ
ρρ⊥-)(，
所以()0a b a -?=r r r
，即220,cos ,|||a a b a b a b a -?=<>==r r r r r
r r r
=2，又,[0,]b a π<>∈r r ，所以向量a r 和b r 的夹角是4
π。 考点：本题主要考查向量的数量积，向量的垂直。 点评：简单题，两向量垂直，它们的数量积为0. 52．1 【解析】
试题分析：由于向量a r 与向量b r 的夹角为60°，并且有b c ⊥r r ，2c b a =-r r r
则可知 20220(2)02,60||2||||cos60||||
=-=∴=<>=∴==∴=r r r r r r r r r r g g g Q r r u u r r r u u r
g b c b b a b a b a b b b a b b a ，因此可知||
||a b r r =1，故答案为1. 考点：本试题主要考查了向量的数量积的公式以及性质的运用。
点评：解决该试题的关键是能利用非零向量垂直的充要条件数量积为零。那么结合数量积公
式得到模长的比值关系，是一道基础试题。 53．13
-
【解析】因为a b ⊥r r ,所以1
1(1)210,3
k k k ?++?=∴=-.
54．4
【解析】(4,2),0,142(2)0,4AB OB OA m OA AB m m =-=-⊥=∴-?+?-=∴=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
Q .
55．(4,8)--；
【解析】由a r //b r 可知m=-4,，则23a b +r r
＝(4,8)--.
56．3或1-
【解析】因为b a +与a 垂直，所以0)(=?+a b a ，
0=?b a ，所以
0)24(12=--++k k ，整理得0322=--k k ，解得3=k 或1-=k 。
57．5
【解析】2222220,220,52520,25,||5a b a a b b b b b -=∴-?+=∴-?+===r r r r r r r r r
.
58．5
【解析】解：因为向量(3,1)a =r ，(1,3)b =r ，(,7)c k =r
，若()(3,6)-=--r r a c k ∥(1,3)=r b
则得到3（3-k ）+6=0，k=5. 59．
2
1
arctan
【解析】 2
1=
l k ，所以l 的倾斜角的大小为2
1
arctan .
60．
1
3
【解析】解：因为向量
(1,0)a =r
，
(2,1)b =-r ，(,1)c x =r
，
1c (a b)(x,1)(3,1)03x 1,x 3
⊥+∴-=∴==r r r g
61．15±
【解析】cos015cos 15a b a b a b π?=?=?=-r r r r r r
或，故填15±
62．
23πθ=
【解析】解: 因为
||2,||4,(),()0
140||||cos 4cos 2
23
==+⊥∴+=∴+=∴==-∴=-r r r r r r r r g r r r r r r g g g r r 且则与的夹角为
a b a b a a b a a b a b a b a b θθπ
63． 9
【解析】考查平面向量的坐标运算及共线性质。由2t-18=0可以解t=9. 64
．1122=6
π
θ（） （（3）
【解析】
试题分析：（1）根据题意，由于4||=a ，2||=b ，且与夹角为120°，那么可知
221(2)()216822
=--=--4-=12a b a b a b a b -?+??r r r r r r r r g （）
（2）|2|-
（3）根据题意，由于与+的夹角公式为，cos<,+>=()||||
a b a
a b a +=+r r r
g r r u u r g
2 ,故可
知=
6
πθ。
考点：向量的数量积
点评：主要是考查两个向量的数量积公式的应用，求向量的模，属于中档题．
65．（1）21
-=?∴→
→
b a （2）72=-→→b a
【解析】
试题分析：解：
（1）由条件336242
2
=-?-?+→→
→
→
→
→b b a b a a ，即3344=-?-→
→b a ， 2
1
-=?∴→
→
b a .6分
=-→→
22b a 2
244→→
→
→+?-b b a a 7)2
1
(414=-?-+=，
所以72=-→
→b a 13分
考点：向量的数量积
点评：主要是考查了向量的数量积的做坐标运算以及性质的运用，属于基础题。 66．（Ⅰ）35；（Ⅱ）33
65
. 【解析】
试题分析：（Ⅰ）||1,||1a b ==r r
Q 又24||5a b -=r r
4
3225
5a b a b ∴-?=
∴?=r r r r 即3cos cos sin sin 5
αβαβ+=
()3
cos 5
αβ∴-= ……………5分
（法二） (cos ,sin )a αα=r Q ， (cos ,sin )b ββ=r
，
()cos cos sin sin a b αβαβ∴-=--r r
，．
255
a b -=r r Q ， ()
()2
2
25
cos cos sin sin 5
αβαβ∴
-+-=
， 即 ()422cos 5αβ--=
， ()3cos 5αβ∴-=． （Ⅱ）0,0,02
2
π
π
αβαβπ<<
-
<<∴<- ()3cos 5αβ-=Q ， ()4 sin .5αβ∴-= 5sin 13β=- Q ， 12cos 13 β∴=， ()()()sin sin sin cos cos sin 412353351351365 ααββαββαββ ∴=-+=-+-??????=?+?-= ???……………11分 考点：向量的数量积；和差公式；向量数量积的性质。 点评：我们经常通过凑角来应用三角函数公式来解题，常见凑角： ()()=+-,=+-ααβββαβα 、 、 、 等。 67．（1）T π=；（2）6AC =。 【解析】 试题分析：(1) 由题设知()sin()cos sin cos() 2 f x x x x x π π=+--……2分 5．平面向量（含解析） 一、选择题 【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) A ．(-7,-4) B ．(7,4) C ．(-1,4) D ．(1,4) 【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+( ) A ． B ． 21 C ．2 1 D ． 二、填空题 【2017，13】已知向量()1,2a =-，(),1b m =，若向量a b +与a 垂直，则m = ． 【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______． 【2012，15】15．已知向量a ，b 夹角为45°，且||1a =，|2|10a b -=，则||b =_________． 【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数， 若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编 4．平面向量 一、选择题 （2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（ ） A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b （2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 （2014·4）设向量b a ,满足10||=+b a ，6||=-b a ，则=?b a （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 二、填空题 （2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. （2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?=uu u r uu u r _______. （2012·15）已知向量a ，b 夹角为45o，且|a |=1，|2-a b |b |= . （2011·13）已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量a +b 与向量k a -b 垂直，则k = . 数 学 平面向量 平面向量的概念及其线性运算 1．★★(2014·辽宁卷L) 设a ，b ，c 是非零向量，已知命题p ：若a ·b ＝0，b ·c ＝0，则a ·c ＝0，命题q ：若a ∥b ，b∥c ，则a∥c ，则下列命题中真命题是 ( ) A ．p ∨q B ．p ∧q C ．)()(q p ?∧? D ．)(q p ?∨ 2．★★(·新课标全国卷ⅠL) 已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB → 与AC → 的夹角为________． 3．★★(2014·四川卷) 平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ．1 D ．2 4. ★★ (2014·新课标全国卷ⅠW)设D 、E 、F 分别为△ABC 的三边BC 、CA 、AB 的中点，则=+FC EB （ ） A ． B. 21 C. D. 2 1 5. ★★(2014福建W)设M 为平行四边形ABCD 对角线的交点，O 为平行四边形ABCD 所在平面内任意一点，则OD OC OB OA +++等于 （ ） A ．OM B. OM 2 C. OM 3 D. OM 4 6. ★★（2011浙江L ）若平面向量,αβ满足1,1a β=≤，且以向量,αβ为邻边的 平行四边形的面积为 1 2 ，则α与β的夹角θ的取值范围是 。 7. ★★（2014浙江 L ）记,max{,},x x y x y y x y ≥?=? 三年高考真题分类汇编 平面向量 五年高考真题分类汇编 平面向量 1．（19全国1文理）已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为（ ） A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 2．（19全国2理）已知AB u u u r =(2,3)，AC u u u r =(3，t )，BC uuu r =1，则AB BC ?u u u r u u u r =（ ） A ．-3 B ．-2 C ．2 D ．3 3．（19全国2文）已知向量a =(2，3)，b =(3，2)，则|a –b |=（ ） A B ．2 C ． D ．50 4．（19全国3理）已知a ，b 为单位向量，且a ·b =0 ，若2=c a ，则cos ,<>=a c 23 5．（19全国3文）已知向量(2,2),(8,6)==-a b ，则cos ,<>= a b 6.（19天津文理）在四边形ABCD 中，,5,30AD BC AB AD A ==∠=?∥， 点E 在线段CB 的延长线上，且AE BE =，则BD AE ?=u u u r u u u r 1- 7．（18浙江）已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为π 3 ，向量b 满足b 2?4e ·b +3=0，则|a ?b |的最小值是（ ） A 1 B C ．2 D ．2 8．（18天津文）在如图的平面图形中， 已知 1.2,120OM ON MON ==∠=o , 2,2,BM MA CN NA ==u u u u r u u u r u u u r u u u r 则·BC OM u u u r u u u u r 的值为（ ） （A ）15- （B ）9- （C ）6- （D ）0 9．（18天津理）如图，在平面四边形ABCD 中，AB BC ⊥，AD CD ⊥，120BAD ∠=?，1AB AD ==. 若点E 为边CD 上的动点，则?uu u r uur AE BE 的最小值为 （ ） 平面向量 一、平面向量的基本概念： 1.向量：既有大小又有方向的量叫做________.我们这里的向量是自由向量，即不改变大小和方向可以平行移动。 向量可以用_________来表示.向量的符号表示____________________. 2.向量的长度：向量的大小也是向量的长度（或_____），记作_________. 3.零向量：长度为0的向量叫做零向量，记作________. 4.单位向量：__________________________. 5.平行向量和共线向量：如果向量的基线平行或重合，则向量平行或共线；两个非零向量方向相同或相反.记作________规定：___________________. 注意：理解好共线（平行）向量。 6.相等向量：_______________________. 例：下列说法正确的是_____ ①有向线段就是向量，向量就是有向线段； ②,,a == 则c a = ；③,//,//a a // ④若CD AB =，则A ，B ，C ，D 四点是平行四边形的四个顶点； ⑤所有的单位向量都相等； 二、向量的线性运算： （一）向量的加法： 1.向量的加法的运算法则：____________、_________和___________. （1）向量求和的三角形法则：适用于任何两个向量的加法，不共线向量或共线向量；模长之间的不等式关系_______________________；“首是首，尾是尾，首尾相连” 例1.已知AB=8，AC=5，则BC 的取值范围__________ 例2.化简下列向量 （1）+++ （2）)()()(+++++ （2）平行四边形法则：适用不共线的两个向量，当两个向量是同一始点时，用平行四边形法则； a + 是以a ，b 为邻边的平行四边形的一条对角线，如图： 例1.（09 ）设P 是三角形ABC 所在平面内一点，BP BA BC 2=+，则 A.0=+PB PA B.0=+PC PA C.0=+PB PC D.0=++PC PB PA 例2.（13四川）在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，AO AD AB λ=+ ，则.______=λ （3）多边形法则 2.向量的加法运算律：交换律与结合律 （二）向量的减法： 减法是加法的逆运算，A.PB PA OB OA BA -=-= （终点向量减始点向量） 平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A． B． C． D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A． B． C． D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（） A． B． C． D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D 满足||=1，则|++|的取值范围是（） A．[4，6] B．[﹣1，+1] C．[2，2] D．[﹣1，+1] 9．（2014?桃城区校级模拟）设向量，满足，，＜＞=60°，则||的最大值等于（） A．2 B． C． D．1 10．（2014?天津）已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD=120°，点E、F分别在边BC、DC上，=λ，=μ，若?=1，?=﹣，则λ+μ=（） A． B． C． D． 11．（2014?安徽）设，为非零向量，||=2||，两组向量，，，和，，，，均由2个和2个排列而成，若?+?+?+?所有可能取值中的最小值为4||2，则与的夹角为（） A． B． C． D．0 平面向量高考试题精选(含详细答案) 平面向量高考试题精选(一) 一．选择题（共14小题） 1．（2015?河北）设D为△ABC所在平面内一点，，则（） A．B． C．D． 2．（2015?福建）已知，若P点是△ABC所在平面内一点，且，则 的最大值等于（） A．13 B．15 C．19 D．21 3．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（） A．20 B．15 C．9 D．6 4．（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量，满足=2，=2+，则下列结论正确的是（） A．||=1 B．⊥C．?=1 D．（4+）⊥ 5．（2015?陕西）对任意向量、，下列关系式中不恒成立的是（） A．||≤|||| B．||≤|||﹣||| C．（）2=||2D．（）?（）=2﹣2 6．（2015?重庆）若非零向量，满足||=||，且（﹣）⊥（3+2），则与的夹角为（）A．B．C．D．π 7．（2015?重庆）已知非零向量满足||=4||，且⊥（）则的夹角为（）A．B．C．D． 8．（2014?湖南）在平面直角坐标系中，O为原点，A（﹣1，0），B（0，），C（3，0），动点D满足||=1，则|++|的取值范围是（） 12．（2014?四川）平面向量=（1，2），=（4，2），=m+（m∈R），且与的夹角等于与的夹角，则m=（） A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2 13．（2014?新课标I）设D，E，F分别为△ABC 的三边BC，CA，AB的中点，则+=（）A．B．C．D． 14．（2014?福建）设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则等于（）A．B．2 C．3 D．4 二．选择题（共8小题） 15．（2013?浙江）设、为单位向量，非零向量=x+y，x、y∈R．若、的夹角为30°，则的最大值等于． 一、多选题1．题目文件丢失！ 2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c = C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向 D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? 3．在RtABC 中，BD 为斜边AC 上的高，下列结论中正确的是（ ） A ．2 AB AB AC B ．2 BC CB AC C ．2AC AB BD D ．2 BD BA BD BC BD 4．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ．8+33 B ．83161+ C ．8﹣33 D ．83161- 5．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八边形ABCDEFGH ，其中1OA =，则下列结论正确的有（ ） A ．2 2 OA OD ?=- B ．2OB OH OE +=- C ．AH HO BC BO ?=? D ．AH 在AB 向量上的投影为22 - 6．在△ABC 中,若cos cos a A b B =,则△ABC 的形状可能为( ) A ．直角三角形 B ．等腰三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等边三角形 7．在△ABC 中，AB ＝AC ，BC ＝4，D 为BC 的中点，则以下结论正确的是（ ） A ．BD AD AB -= B ．1 ()2 AD AB AC = + C ．8BA BC ?= D ．AB AC AB AC +=- 8．已知a 、b 是任意两个向量，下列条件能判定向量a 与b 平行的是（ ） A ．a b = B ．a b = C ．a 与b 的方向相反 D ．a 与b 都是单位向量 9．有下列说法，其中错误的说法为（ ）． A ．若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c B ．若PA PB PB P C PC PA ?=?=?，则P 是三角形ABC 的垂心 C ．两个非零向量a ，b ，若a b a b -=+，则a 与b 共线且反向 D ．若a ∥b ，则存在唯一实数λ使得a b λ= 10．已知正三角形ABC 的边长为2，设2AB a =，BC b =，则下列结论正确的是（ ） A ．1a b += B ．a b ⊥ C ．() 4a b b +⊥ D ．1a b ?=- 11．（多选）若1e ，2e 是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是（ ） A ．()12,e e λμλμ+∈R 可以表示平面α内的所有向量 B ．对于平面α中的任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数λ，μ有无数多对 C ．1λ，1μ，2λ，2μ均为实数，且向量1112e e λμ+与2212e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使() 11122122e e e e λμλλμ+=+ D ．若存在实数λ，μ，使120e e λμ+=，则0λμ== 12．如图所示，梯形ABCD 为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ） A ．A B D C = B ．AB D C = C ．AB DC > D ．BC AD ∥ 平面向量高考经典试题 一、选择题 1．（全国1文理）已知向量(5,6)a =-，(6,5)b =，则a 与 b A ．垂直 B ．不垂直也不平行 C ．平行且同向 D ．平行且反向 2、（山东文5）已知向量(1)(1)n n ==-，，，a b ，若2-a b 与 b 垂直，则=a （ ） A ．1 B C ．2 D ．4 3、（广东文4理10）若向量,a b 满足||||1a b ==，,a b 的夹角为60°，则a a a b ?+?=______； 答案：3 2 ； 4、（天津理10） 设两个向量22(2,cos )a λλα=+-和(, sin ),2 m b m α=+其中,,m λα为实数.若2,a b =则m λ 的取值范围是 ( A.[6,1]- B.[4,8] C.(,1]-∞ D.[1,6]- 5、（山东理11）在直角ABC ?中，CD 是斜边AB 上的高，则下列等式不成立的是 （A ）2 AC AC AB =? （B ） 2 BC BA BC =? （C ）2AB AC CD =? （D ） 2 2 ()() AC AB BA BC CD AB ???= 6、（全国2 理5）在?ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD =2DB ， CD =CB CA λ+3 1 ,则λ= (A) 3 2 (B) 3 1 (C) - 3 1 (D) - 3 2 7、（全国2理12）设F 为抛物线y 2=4x 的焦点，A 、B 、C 为该抛物线上三点，若 FC FB FA ++=0，则|FA|+|FB|+|FC|= (A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3 8、（全国2文6）在ABC △中，已知D 是AB 边上一点，若 1 23 AD DB CD CA CB λ==+，，则λ=（ ） A ．23 B ．13 C ．1 3 - D ．2 3 - 9（全国2文9）把函数e x y =的图像按向量(2)=，0a 平移，得到()y f x =的图像，则()f x =（ ） A ．e 2x + B ．e 2x - C ．2 e x - D ．2 e x + 10、（北京理4）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 11、（上海理14）在直角坐标系xOy 中，,i j 分别是与x 轴，y 轴平行的单位向量，若直角三角形ABC 中，2AB i j =+，3AC i k j =+，则k 的可能值有 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 12、（福建理4文8）对于向量，a 、b 、c 和实数，下列命题中真命题是 A 若 ，则a ＝0或b ＝0 B 若 ，则λ＝0或a ＝0 C 若＝，则a ＝b 或a ＝－b D 若 ，则b ＝c 13、（湖南理4）设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-a b a b 的图象是一条 新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 5．平面向量（含解析） 一、选择题 【2015，2】2．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量(4,3)AC =--u u u r ，则向量BC =u u u r ( ) A ．(-7,-4) B ．(7,4) C ．(-1,4) D ．(1,4) 【2014，6】设D ,E ,F 分别为ΔABC 的三边BC ,CA ,AB 的中点，则=+FC EB ( ) A ．AD B ． AD 21 C ．BC 2 1 D ．BC 二、填空题 【2017，13】已知向量()1,2a =-r ，(),1b m =r ，若向量a b +r r 与a r 垂直，则m = ． 【2016，13】设向量()1x x +,a =，()12,b =，且⊥a b ，则x = ． 【2013，13】已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，c ＝ta ＋(1－t )b ．若b ·c ＝0，则t ＝______． 【2012，15】15．已知向量a r ，b r 夹角为45°，且||1a =r ，|2|a b -=r r ||b =r _________． 【2011，13】 已知a 与b 为两个不共线的单位向量，k 为实数，若向量+a b 与向量k -a b 垂直，则k = ． 2011—2017年新课标全国卷2文科数学试题分类汇编 4．平面向量 一、选择题 （2017·4）设非零向量，a b ，满足+=-a b a b 则（ ） A ．a ⊥b B. =a b C. a ∥b D. >a b （2015·4）向量a = (1，-1)，b = (-1，2)，则(2a +b )·a =（ ） A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 （2014·4）设向量b a ρρ,满足10||=+b a ρρ，6||=-b a ρρ，则=?b a ρρ（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．5 二、填空题 （2016·13）已知向量a =(m ,4)，b =(3,-2)，且a ∥b ，则m =___________. （2013·14）已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE BD ?=uu u r uu u r _______. 2020年高考数学平面向量专题练习 一、选择题 1、P是双曲线上一点，过P作两条渐近线的垂线，垂足分别为A,B 求的值（） A. B. C. D. 2、向量,，若，且，则x＋y的值为（） A．－3 B．1 C．－3或1 D．3或1 3、已知向量满足，若，则向量在方向上的投影为A． B． C．2 D．4 4、．如图，为等腰直角三角形，，为斜边的高，为线段的中点，则 （） A．B． C．D． 5、在平行四边形中，，若是的中点，则（） A. B. C. D. 6、已知向量，且，则（） A. B. C. D. 7、已知是边长为2的等边三角形，D为的中点，且，则( ) A. B.1 C. D. 3 8、在平行四边形ABCD中，，则该四边形的面积为 A． B． C．5 D．10 9、下列命题中正确的个数是（） ⑴若为单位向量，且，=1，则=；⑵若=0，则=0 ⑶若，则；⑷若，则必有；⑸若，则 A．0 B．1 C．2 D．3 10、如图，在扇形中，，为弧上且与不重合的一个动点，且，若存在最大值，则的取值范围为（） 二、填空题 11、已知向量与的夹角为120°,且,则____. 12、若三点满足，且对任意都有，则的最小值为________. 13、已知，，则向量在方向上的投影等于___________. 14、.已知，是夹角为的两个单位向量，，，若，则实数的值为 __________. 15、已知向量与的夹角为120°，，，则________. 16、已知中，为边上靠近点的三等分点，连接为线段的中点，若 ， 则__________． 17、已知向量为单位向量，向量，且，则向量的夹角为. 18、在矩形ABCD中，已知E，F分别是BC，CD上的点，且满足，。若 (λ，μ∈R)，则λ＋μ的值为。 三、简答题 19、已知平面直角坐标系中，向量，，且. （1）求的值；（2）设，求的值． 20、已知向量＝(sin，cos﹣2sin)，＝(1，2)． （1）若∥，求的值； （2）若，0＜＜，求的值． 21、已知向量，．(1)若在集合中取值，求满足的概率；(2)若 在区间[1,6]内取值，求满足的概率. 22、在平面直角坐标系xOy中，已知向量， （1）求证：且； （2）设向量，，且，求实数t的值． 高考数学平面向量的概念与运算 一、选择题 1．(2018全国卷Ⅰ)在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB =( ) A ．31 44AB AC - B ．13 44AB AC - C ．31 44AB AC + D ．1344 AB AC + 【答案】 2．(2018北京)设a ，b 均为单位向量，则“ 33-=+a b a b ”是“a ⊥b ”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】 3．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ， 1?=-a b ，则(2)?-=a a b ( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 【答案】 4．(2017北京)设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0? 一、多选题1．题目文件丢失！ 2．若a →，b →，c → 是任意的非零向量，则下列叙述正确的是（ ） A ．若a b →→ =，则a b →→ = B ．若a c b c →→→→?=?，则a b →→ = C ．若//a b →→，//b c →→，则//a c →→ D ．若a b a b → → → → +=-，则a b →→ ⊥ 3．已知ABC 的三个角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若cos cos A b B a =，则该三角形的形状是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰直角三角形 D ．等腰或直角三角形 4．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 5．已知在平面直角坐标系中，点()10,1P ，()24,4P .当P 是线段12PP 的一个三等分点 时，点P 的坐标为（ ） A ．4,23?? ??? B ．4,33?? ??? C ．()2,3 D ．8 ,33?? ??? 6．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 7．以下关于正弦定理或其变形正确的有（ ） A ．在ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin B ：sin C B ．在ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b C ．在ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin B 都成立 平面向量高考真题精选（一） 一．选择题（共20小题） 1．（2017?新课标Ⅱ）设非零向量，满足|+|=|﹣|则（） A．⊥B．||=||C．∥D．||＞|| 2．（2017?新课标Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则?（+）的最小值是（） A．﹣2 B．﹣ C．﹣ D．﹣1 3．（2017?浙江）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD交于点O，记I1=?，I2=?，I3=?，则（） A．I1＜I2＜I3B．I1＜I3＜I2C．I3＜I1＜I2D．I2＜I1＜I3 4．（2017?新课标Ⅲ）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（） A．3 B．2 C．D．2 5．（2016?四川）已知正三角形ABC的边长为2，平面ABC内的动点P，M满足||=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 6．（2016?新课标Ⅱ）已知向量=（1，m），=（3，﹣2），且（+）⊥，则m=（） A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．8 7．（2016?天津）已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D、E分别是边AB、 BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE=2EF，则?的值为（）A．﹣ B．C．D． 8．（2016?山东）已知非零向量，满足4||=3||，cos＜，＞=．若⊥（t+），则实数t的值为（） A．4 B．﹣4 C．D．﹣ 9．（2016?四川）在平面内，定点A，B，C，D满足==，?=?=?=﹣2，动点P，M满足=1，=，则||2的最大值是（） A．B．C． D． 10．（2016?新课标Ⅲ）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 11．（2015?新课标Ⅰ）设D为△ABC所在平面内一点，，则（）A．B． C．D． 12．（2015?新课标Ⅰ）已知点A（0，1），B（3，2），向量=（﹣4，﹣3），则向量=（） A．（﹣7，﹣4）B．（7，4） C．（﹣1，4）D．（1，4） 13．（2015?四川）设向量=（2，4）与向量=（x，6）共线，则实数x=（）A．2 B．3 C．4 D．6 14．（2015?山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（）A．﹣a2B．﹣a2C．a2 D．a2 15．（2015?四川）设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N 一、多选题 1．正方形ABCD 的边长为1，记AB a =，BC b =，AC c =，则下列结论正确的是 （ ） A ．() 0a b c -?= B ．() 0a b c a +-?= C ．()0a c b a --?= D ．2a b c ++= 2．已知,,a b c 是同一平面内的三个向量，下列命题中正确的是（ ） A ．||||||a b a b ?≤ B ．若a b c b ?=?且0b ≠，则a c = C ．两个非零向量a ，b ，若||||||a b a b -=+，则a 与b 共线且反向 D ．已知(1,2)a =，(1,1)b =，且a 与a b λ+的夹角为锐角，则实数λ的取值范围是 5,3??-+∞ ??? 3．在ABC 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 2sin c A =，且 02 C << π ，4b =，则以下说法正确的是（ ） A ．3 C π = B ．若72 c = ，则1 cos 7B = C ．若sin 2cos sin A B C =，则ABC 是等边三角形 D ．若ABC 的面积是4 4．在ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，已知 cos cos 2B b C a c =-， ABC S = △b = ） A ．1cos 2 B = B ．cos 2 B = C ．a c += D ．a c +=5．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，ABC 的面积为S .下列 ABC 有关的结论，正确的是（ ） A ．cos cos 0A B +> B ．若a b >，则cos2cos2A B < C ．24sin sin sin S R A B C =，其中R 为ABC 外接圆的半径 D ．若ABC 为非直角三角形，则tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++= 历年平面向量高考试 题汇集 高考数学选择题分类汇编 1．【2011课标文数广东卷】已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实 数，(a ＋λb)∥c ，则λ＝( ) A.14 B .1 2 C ．1 D ．2 2．【2011·课标理数广东卷】若向量a ，b ，c 满足a ∥b 且a ⊥c ，则c·(a ＋2b)＝( ) A ．4 B ．3 C ．2 D ．0 3．【2011大纲理数四川卷】如图1－1，正六边形ABCDEF 中，BA →＋CD →＋EF →＝ ( ) A ．0 B.BE → C.AD → D.CF → 4．【2011大纲文数全国卷】设向量a ，b 满足|a|＝|b|＝1，a·b ＝－1 2，则|a ＋2b|＝( ) A. 2 B. 3 C. 5 D.7 . 5．【2011课标文数湖北卷】若向量a ＝(1,2)，b ＝(1，－1)，则2a ＋b 与a －b 的夹角等于( ) A ．－π4 B.π6 C.π4 D.3π4 6．【2011课标理数辽宁卷】若a ，b ，c 均为单位向量，且a·b ＝0，(a －c)·(b －c)≤0，则|a ＋b －c|的最大值为( ) A.2－1 B ．1 C. 2 D ．2 【解析】 |a ＋b －c|＝(a ＋b －c )2＝a 2＋b 2＋c 2＋2a·b －2a·c －2b·c ，由于a·b ＝0，所以上式＝3－2c·(a ＋b )，又由于(a －c)·(b －c)≤0，得(a ＋b)·c ≥c 2＝1，所以|a ＋b －c|＝3－2c·(a ＋b )≤1，故选B. 7．【2011课标文数辽宁卷】已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k)，a·(2a －b)＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 6 . （ 2015?重庆）若非零向量 S 满足|叫 --I - 夹角为（ ) 7T ~2 C . 平面向量高考试题精选（一） 一 ?选择题（共14小题） 1. （ 2015?可北）设D ABC 所在平面内一点，’-：’丨，则（ ） 2.（ 2015?畐建）已知忑匚心 I A B 1^-- I AC I 二t ，若P 点是△ ABC 所在平面内一点, 且7p- 4-4^-，则PB-PC 的最大值等于( ) |AB| |AC| A . 13 B . 15 C . 19 D . 21 3. （2015?四川）设四边形 ABCD 为平行四边形，『：|=6, $ >|=4,若点M 、N 满足卩", 则川-【」；=（ ) A . 20 B . 15 C . 9 D . 6 4. （2015?安徽）△ ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量 …，满足「丨，=2“，U 「=2i+.?, 则下列结论正确的是（ ） A .卩 |=1 B . -ah C . ?，=1 D . （4 |+[ ■）丄 5. （ 2015?陕西）对任意向量 I 、烏下列关系式中不恒成立的是（ ） A .丨「忡计| '| B .丨-：冋十卩，|| ―* ―? —? ――* —S- —* C .（日 + b ） 2=|旦+ b |2 D . （n+b ） ? （,-￥）=耳2—H 2 A . B . 7. （ 2015?重庆）已知非零向量 辽， b 满足l b |叫|,且且 丄 （ 2 a + b ）则呂与b 的夹角 为（ ) A 7T A.— B . — C . — D . — 3 2 3 6 & ( 2014?湖南)在平面直角坐标系中， O 为原点，A (- 1, 0), B (0 ,(5), C ( 3, 0), 动点D 满足「|=1,则| ；+飞+ 一丁|的取值范围是( ) A ? [4, 6] B . [ . - 1 , l'i+1] C . [2 一；，2 ? ] D . [. - - 1 , +1] 9. （ 2014?桃城区校级 模拟）设向量；，E , 7满足 |十币|二 1,二?二—斗 v ；, g ■；> =60°则|岀的最大值等于（ ） A . 2 B . C ..二 D . 1 中的最小值为4|.『，则d 与「的夹角为（ ） (1, 2), b = (4, 2), C =m 3+bi (m€R ),且 d 与占的夹角等 —? — 于 与?■的夹角，贝U m=( ) A . - 2 B . - 1 C . 1 D . 2 13. （2014?新课标I ）设D , E , F 分别为△ ABC 的三边BC , CA , AB 的中点，则卜?+卜’= 10. 上, 11. （2014?安徽）设1丨，为非零向量，|l ，|=2|.i|,两组向量??-.,「，「，― <■和 ?」，丁；，均由2个：和2个排列而成，若 + 巧 12. （2014?四川）平面向量?■<= （2014?天津）已知菱形 ABCD 的边长为2, / BAD=120 °点E 、F 分别在边 BC 、DC 廿尸（ B . D . 2021年高考数学试题汇编平面向量 （北京4） 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ， 那么（ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ．π 6 C ．π3 D ．π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量1322 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若22=a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 3 6x y ??=+ ??? 的图象按向量π24 ?? =-- ??? ， a 平移，则平移后所得图象的解析式为（ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ??=+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ，a 在b 上的投影为52 2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227??- ?? ? ， C ．227? ?- ?? ? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r 一、多选题 1．在ABC ?中,内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c 若,2,6 A a c π ===则角C 的大小 是( ) A ． 6 π B ． 3 π C ． 56 π D ． 23 π 2．已知点()4,6A ，33,2 B ??- ?? ? ，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ） A ．14,33?? ??? B ．97,2?? ??? C ．14,33?? - - ??? D ．(7，9) 3．在ABC 中，AB =1AC =，6 B π =，则角A 的可能取值为（ ） A ． 6 π B ． 3 π C ． 23 π D ． 2 π 4．已知向量()1,0a =，()2,2b =，则下列结论正确的是（ ） A ．()25,4a b += B ．2b = C ．a 与b 的夹角为45° D ．() //2a a b + 5．已知ABC ?是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是AC 、AB 上的两点，且 AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则下列说法正确的是（ ） A ．1A B CE ?=- B ．0OE O C += C ．3OA OB OC ++= D ．ED 在BC 方向上的投影为 76 6．ABC 中，2AB =，30ACB ∠=?，则下列叙述正确的是（ ） A ．ABC 的外接圆的直径为4. B ．若4A C =，则满足条件的ABC 有且只有1个 C ．若满足条件的ABC 有且只有1个，则4AC = D ．若满足条件的ABC 有两个，则24AC << 7．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对边分别为a ，b ，c ，b ＝15，c ＝16，B ＝60°，则a 边为（ ） A ． B ． C ．8 D ． 8．ABC 中，4a =，5b =，面积S =c =（ ） A B C D ．9．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2中的正八最新全国卷-高考—平面向量试题带答案
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