2020年全国高考理科数学试题分类汇编18：坐标系与参数方程
2020年高考全国Ⅰ卷坐标系与参数方程试题分析与教学建议
2020年高考全国Ⅰ卷坐标系与参数方程试题分析与教学建议*广州市第十六中学(510000)陈丹霞摘要本文根据2020年高考全国Ⅰ卷数学选做22题广东省文理考生的作答情况,对该试题的题目、解法及典型错误进行分析,并由此提出中学生计算能力的提升策略与教学建议.关键词高考数学;坐标系与参数方程;数学运算;分析;建议2021年起广东省高考数学将采用新课标卷,不分文理,坐标系与参数方程模块作为选修内容,即将在明年的高考新课标卷中被取消.尽管如此,今年试卷中对应于该模块的选做题(全国Ⅰ卷第22题)所体现的“试题源于课本并注重基础、蕴含数形结合和转化化归的数学思想、体现数学运算和逻辑推理的学科核心素养”,却仍将是未来高考考核范畴的重要组成部分.笔者有幸参加了2020年广东省高考评卷工作,以下结合选做22题的解析和考生的典型错误分析,就如何在教学过程中进行规范性数学表述与提高数学计算能力等,谈谈个人的认识与思考,不足之处敬请批评指正.一、试题呈现与解析高考真题(2020年高考全国I 卷文理科第22题)在直角坐标系xOy 中,曲线C 1的参数方程为x =cos k ty =sin k t(t 为参数).以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为4ρcos θ−16ρsin θ+3=0.(1)当k =1时,C 1是什么曲线?(2)当k =4时,求C 1与C 2的公共点的直角坐标.问题分析试题考查学生对含字母的参数方程与直线极坐标方程的掌握情况,以及能否通过方程组解出公共点坐标的能力,更考查学生对参数方程这一章节的概念理解;同时,考查了学生数形结合、转化化归思想方法的运用与运算求解、逻辑推理的能力.第一问求曲线是什么,考生只要对参数方程的参数和常数理解正确,正确代入k =1,就可以得到常见的圆的参数方程,也可通过参数方程与普通方程的转化得出C 1是什么样的曲线.第一个问题的提出,考察的是基础知识,也为第二问k =4作了铺垫.第二问是求当k =4时,两曲线的公共点坐标,考察的是基本技能.考生只要利用数形结合的思想方法,就知道应该将求公共点坐标的问题转化为求方程组的解.而很多考生因为没有见过这么高次幂的参数方程形式,无法获知是哪种曲线或者无法实现降幂消元,便望而却步.实际上,这一问的解题思路很多,学生只要抓住问题本质,愿意尝试,有一定的数学计算能力,定能将问题解决.解答第一问解法1.当k =1时,C 1:x =cos ty =sin t(t为参数),故曲线C 1是以原点(0,0)为圆心,以1为半径的圆.第一问解法2.当k =1时,C 1: x =cos t,y =sin t,(t 为参数),由cos 2t +sin 2t =1消参得x 2+y 2=1,故曲线C 1是以原点(0,0)为圆心,以1为半径的圆.点评第一问源于课本,属于基础题.在选修4-4课本23页,写道“ x =r cos θ,y =r sin θ,(θ为参数)是圆心在原点O ,半径为r 的圆的参数方程.”因此,学生只要代入k =1,并对参数方程进行识别,就可以得到正确的结论.即使不能直接由参数方程判断,在选修4-4课本25页,又写道“将曲线的参数方程化为普通方程,有利于识别曲线的类型”.这就给学生解决问题提供了第二种方法,也是学生更为熟悉的解法.不仅如此,课本25页例3及习题2.1第4题提出同样的问题“将下列参数方程化为普通方程,并说明它们各表示什么曲线”的问题.因此学生只要通过方程的辨别,完整描述出曲线的位置与形状,即可完成第一问.第二问解法1.当k =4时,由C 1:x =cos 4ty =sin 4t(t 为参数)可得√x =cos 2t,√y =sin 2t,(t 为参数)消去参数t 得C 1的直角坐标方程为√x +√y =1.由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.联立 √x +√y =1,4x −16y +3=0,消元得一元二次方程12y +8√y −7=0,解得√x =12,√y =12,或*本文是广州市越秀区科技计划项目(教育卫生专项)《中学数学计算能力提升的有效策略研究》(项目编号2018-JY-025)的研究成果之一.√x =136,√y =−76.(舍去),所以x =14,y =14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).点评第二问高于课本,属于中档题.解法1通过开方运算将4次方化成熟悉的三角函数式,实现曲线C 1的参数方程转化成普通方程,借助互化公式将直线的极坐标方程转化为直角坐标方程,进而通过联立两个直角坐标方程,消元,解得方程组的解,又通过变量的取值范围限制,最终得到唯一的交点坐标.实际上,消去不同的元,我们可以得到不同的一元二次方程,如:12x −32√x +13=0或144y 2−232y +49=0或144x 2−712x +169=0.这里着重考察了学生的数学运算求解能力,如何消参、如何消元、如何解一元二次方程,每一步都要求学生抓住问题本质,并且有清晰的解题方向,拥有良好的计算能力.事实上,我们通过曲线C 1的直角坐标方程√x +√y =1进行变形,可得到方程x 2−2xy +y 2−2x −2y +1=0.这是一个以直线y =x 为对称轴的抛物线方程.又由于在变形过程中,扩大了变量的取值范围,因此曲线C 1普通方程的另一种表达是x 2−2xy +y 2−2x −2y +1=0(0 x 1,0 y 1),也即曲线是抛物线的一部分.由此通过数形结合的方法(如图1所示),我们可以验证直线与曲线只有唯一公共点.图1第二问解法2.由x =ρcos θ,y =ρsin θ可得C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.当k =4时,将C 1:x =cos 4ty =sin 4t (t 为参数)代入C 2方程可得4cos 4t −16sin 4t +3=0.因为cos 2t +sin 2t =1,所以12cos 4t −32cos 2t +13=0,解得cos 2t =12或136(舍去),所以x =cos 4t =14,y =sin 4t =14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).点评解法2通过直角坐标系下参数方程与普通方程的联立,整理出关于sin 2t 或cos 2t 的一元二次方程,求解得sin 2t 或cos 2t ,从而回代参数方程,得到公共点的直角坐标.相对解法1而言,计算量更小.但要求学生能理解直角坐标系下,参数方程与普通方程只是不同的表达方式,依旧可以合二为一.当然,无论解法1还是解法2,解一元二次方程都是解决本问的一个必要途径,学生可以通过十字相乘法或公式法得到方程的根.这里,仍需注意变量的取值范围.第二问解法3.C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.当k =4时,C 1: x =cos 4ty =sin 4t(t 为参数).由二倍角公式cos 2t =cos 2t +12,sin 2t =1−cos 2t2得4x =(cos 2t +1)2和4y =(1−cos 2t )2.代入4x −16y +3=0得(cos 2t +1)2−4(1−cos 2t )2+3=0,化简得3(cos 2t )2−10cos 2t =0,解得cos 2t =0或cos 2t =103(舍去),所以x =cos 4t =14,y =sin 4t =14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).点评解法3先通过二倍角公式将变量x,y 用同一个元cos 2t 表示,再将两曲线方程进行联立,得到关于cos 2t 的一个一元二次方程,从而解得公共点坐标.数学运算讲究的是统一,这样处理,从一开始就将两个变量统一起来,也不失为一个好的想法.当然,易错点在于代入后的展开化简及有没有分类讨论,若直接将化简后的一元二次方程中的cos 2t 约去,没有讨论cos 2t =0的情况,就会造成错解.考生在考试过程中,必须熟悉每一步的运算法则,并且计算正确,才能得到最终正解.第二问解法4.由C 1的直角坐标方程为√x +√y =1且x =ρcos θ,y =ρsin θ,可得√ρcos θ+√ρsin θ=1.联立√ρcos θ+√ρsin θ=1,4ρcos θ−16ρsin θ+3=0,消去ρ得13sin θ−6√cos θsin θ−7cos θ=0,即(13√sin θ+7√cos θ)(√sin θ−√cos θ)=0.从而√sin θ=√cos θ,θ=π4,故极坐标系下交点坐标P (ρ,θ)=(√24,π4).此时,x =ρcos θ=14,y =ρsin θ=14.故直角坐标系下交点坐标P (x,y )=(14,14).点评解法4利用极坐标系解决问题.这里需要将C 1的参数方程先转化成普通方程,再利用互化公式,写成极坐标方程.联立过程应采用消去极径ρ更好,进而由sin θ与cos θ的关系,得到交点的极坐标,最后回归直角坐标,回答问题.此解法中,需要注意参数方程中参数t 与极坐标方程中极角θ的定义不同.笔者在评卷过程中发现,不少考生会将参数t换成熟悉的字母θ,便直接利用极坐标解决问题,这是知识性的错误.因此,还需不断强调概念教学,渗透数学的符号化定义.第二问解法5.C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.将C 1:x =cos 4ty =sin 4t (t 为参数)代入4x −16y +3=0,得4cos 4t −16sin 4t +3=0.将3=3(cos 2t +sin 2t )2=3(cos 4t +2cos 2t sin 2t +sin 4t )代入,得4cos 4t −16sin 4t +3cos 4t +6cos 2t sin 2t +3sin 4t =0,即7cos 4t +6cos 2t sin 2t −13sin 4t =0,同除以cos 4t 可得13tan 4t −6tan 2t −7=0,解得tan 2t =1或tan 2t =−713(舍去).所以sin 2t =12,cos 2t =12,所以x =cos 4t =14,y =sin 4t =14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).第二问解法6.当k =4时,有C 1:x =cos 4t,y =sin 4t,(t 为参数),由x =ρcos θ,y =ρsin θ,可得C 2的直角坐标方程为4x −16y +3=0.从而C 2的参数方程为x =−34+4u,y =u,u 为参数.联立得方程组cos 4t =−34+4u,sin 4t =u,消去参数u得cos 4t =−34+4sin 4t ,令a =sin 2t 可得12a 2+8a −7=0,所以a =sin 2t =12.从而x =cos 4t =(1−a )2=14,y =sin 4t =a 2=14.故C 1与C 2的公共点的直角坐标为(14,14).点评解法5利用三角函数平方关系得齐次式,利用三角函数商数关系化弦为切,从而得到关于tan 2t 的一元二次方程,最终将问题解决.本解法对考生三角函数模块的公式使用与化“1”的解题技巧要求较高,计算量偏大.解法6给出了将直角坐标系下两组参数方程联立的思路.虽较少用,但对于学生理解两个不同坐标系(直角坐标系与极坐标系)的不同方程形式,以及它们是否能直接产生联系,起到一定的作用.解法5和6在评卷时并不多见,在此列出,供大家教学参考.二、考生答题情况分析1答题情况综述本题是选做题之一,分值为10分,有六分之五的考生选做,考生基本能读懂问题.第一问大部分学生能代入k =1并回答曲线是圆;第二问学生主要采用解法1和解法2,大部分考生能写出直线C 2的普通方程并与曲线C 1联立.但考生的计算能力有待提高,往往只能表达出联立的步骤,并不能实现消元;或者能够通过消元得到一元二次方程,却无法解得方程的正解.通过典型错误的统计,可以发现学生对这一模块的知识掌握情况并不乐观,主要体现在基本概念不清晰、基本方法不熟练,运算能力、表达能力等方面的欠缺.因此,在数学基本概念的理解教学上,在提高学生的数学计算能力上,我们任重而道远.2典型错误分析(1)第一问曲线描述正确但不完整在抽样统计中,有24%的考生只回答“圆”或“半径为1的圆”或“圆心在原点的圆”.反映了考生不知道描述一条曲线不能仅仅说明形状,还应该包含这条曲线的关键要素.也就是说描述应该产生一个唯一确定的结果,即能根据曲线的文字描述将曲线还原.体现了考生的规范意识有所欠缺.(2)第一问曲线描述不正确或没有回答问题部分考生转化参数方程时,得到错误曲线y =x tan t 或x 2+y 2=t 2,并回答曲线是“直线”或“椭圆、双曲线”等.这部分考生有的不知道如何消参,有的对参数的理解错误,造成转化过程并没有消去参数t ;也有的认为cos t 是cos 乘t ;还有的是对于常见曲线方程的形式不能给出正确判断.反映出考生的基本概念不清晰.(3)第二问参数方程C 1无法正确消参在抽样统计中,也有22%的考生卡在如何消去参数这个步骤.大部分考生只代入k =4,或者尝试用x −y =cos 2t −sin 2t 就没有后续,或者消参后得到错误的方程x +y =1.究其原因,是考生对三角恒等式的运用不熟练,不能观察出√x =cos 2t 与√y =sin 2t 或者不懂得进一步化成cos 2t 完成消元,进而消参.也有部分考生错用cos 2t +sin 2t =1.体现考生观察能力不佳,解题的基本方法没有掌握.(4)不会求解方程组√x +√y =1,4x −16y +3=0.在抽样统计中,有14%的考生懂得通过联立求交点坐标,却不知道如何求解方程组.考生的心理素质有待提高,很多学生看到根号就懵了.对代入消元法解方程组没有掌握到位,以至于只能表达出联立步骤.部分考生能通过消元法得到一个一元二次方程,却无法正确使用十字相乘法或公式法求解得方程的根.这正体现了考生的数学运算的学科核心素养的欠缺.(5)写出4cos 4t −16sin 4t +3=0后不会消元在抽样统计中,约有13%考生看到四次方就不知所措,实际上反映出考生指数运算不过关,不知道可以把cos 4t 看成(cos 2t )2,并利用cos 2t +sin 2t =1实现消元,化成一个一元二次方程.指数运算的不过关还体现在二倍角公式的使用错误,有些考生将x =cos 4t =(cos 2t +12)2y =sin 4t =(1−cos 2t 2)2写成错误形式 x =cos 4t =cos 22t +12,y =sin 4t =1−cos 22t 2,实属不该.(6)书写过程出现符号错误或结果出现增根等有考生将直线的方程4x −16y +3=0写成错误形式4x −6y +3=0,4x −16y +3,4x +16y +3=0或2x −16y +3=0等.这种错误属于考生的非智力因素失分,应尽量避免粗心导致的符号或系数的抄错.有的考生将√x +√y =1变形错误得到x 2+y 2+2√xy =1或x 2+y 2=1等,体现的是对完全平方公式的使用不熟练.也有考生回答公共点坐标为(14,14)或(16936,4936),并没有舍去增根,是作答过程中缺乏严谨性.三、教学建议由于2021年起广东省高考数学采用新课标卷,不分文理,取消选做题,因此本模块学习不再作为新课程标准要求的教学内容.但基于以上试题呈现与问题分析,结合解法研究及考生典型错误分析,不难发现考生运算能力薄弱与数学基本概念不清晰是导致高考数学失分的一个重要因素.2017版《普通高中数学课程标准》指出数学学科核心素养包括:数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析.数学运算是指在明晰运算对象的基础上,依据运算法则解决数学问题的素养.笔者针对数学运算这一核心素养,结合中学数学计算能力的提升策略,给出如下教学建议.1立足运算对象,实现知识迁移,讲好数学运算法则数学运算是解决数学问题的基本手段.学生在学习数学的过程中,几乎都是在利用数学运算解决各种问题,从低年级实数的加减乘除运算到高年级的集合、指对数、三角函数、向量、概率等,运算不断拓展与深化.然而,很多学生只知其一不知其二,甚至只会通过记背公式的方式进行数学运算,导致无法熟练掌握运算法则,容易出现计算错误.数学教育家傅种孙提出:知其然,知其所以然,何由以知其所以然!在教学过程中,学生要真正掌握知识本身,教师应该做好第一步,让学生“知其然,知其所以然”.教学中,教师应该立足运算对象,首先让学生了解我们的运算对象是什么.例如在讲集合的运算前,学生可以从一类事物的实例了解集合提出的背景,再对研究对象的概念进行剖析,让学生理解何为集合,接着从集合的基本关系出发定义集合的运算.而不是草率地把集合的概念抛出,接着类比实数的运算给出集合的交并补运算.教师只有带着学生一步一步探索知识本身,重视知识的生成过程,学生清楚地知道其来龙去脉,才能形成自己的知识框架,才能拥有自己的思维模式,才能将运算真正理解透彻.其次是运算法则的讲解,如何讲好?实际上就是如何让学生接受一个新的事物,并能将其纳入自己的知识体系,融会贯通.讲一个新的概念,特别是数学概念,往往是比较抽象的,学生难免会产生认知冲突,甚至无法理解与接受.如何做好教学工作,使得新旧知识产生联系,又能使学生明确他们之间的区别,尤为重要.人教版数学书写道“数学中,引进一个新的概念或法则时,总希望它与已有的概念或法则相容”.因此,讲好运算法则,需要注重知识的迁移,通常运用类比、归纳、公式的正向与逆向使用对比等方法.如有理数指数幂运算性质,是可以从整数指数幂的运算性质类比得到的,它们是相容的;又如向量的加法运算,是从物理的合力概念而来,由位移的合成到向量的加法归纳得出向量的加法运算法则;再如十字相乘法解一元二次方程,先将二次项和常数项分别进行多次因式分解,再逆向交叉相乘验证,直至配凑出正确的因式.除了注重知识的迁移,笔者认为,还需要注重运算性质的推导.例如数列的性质,对于等差数列{a n },∀m,n,p,q ∈N ∗,若m +n =p +q ,则a m +a n =a p +a q .不能要求学生只记忆“下标和相等,两项和相等”,建议从等差数列的通项公式出发,推导证明得出公式的正确性,学生在理解的基础上,才能更好地进行数列的运算.高考始终围绕基本知识和基本技能进行考核,题目只是考核的形式和载体,教学中应立足基础,注重迁移,不能过度地以题为本,否则容易导致学生学习和备考中的高强度和低效率,产生厌学情绪.2板书详细解答,强化变式训练,提升学生计算能力学生计算能力的提升需要教师的言传身教,无论计算的难易、步骤的繁简,教师若能事无巨细,条理清晰,详细板书计算过程,一定可以给学生起到良好的示范作用.学生在解答的过程中,也会模仿老师的做法,规划好草稿区域,尽量细化每一步运算,不断深化自己的计算功力.如若教师在授课过程中,不愿意用黑板或白板书写详细解答过程,只依赖课件或者通过投影进行答案的展示,则很难让学生感受到数学解题过程中需要注意的细节问题,包括解题思路、书写规范、计算过程等.当然,教师还需要强化变式训练,让学生能够在有限的题型训练中,获取更多的思维碰撞,实现计算的灵活性.计算并不是一条路走到黑,而是可以有多种途径选择,如何明确2020年高考全国I 卷不等式选讲试题分析及备考建议广东省深圳中学(518001)周峻民摘要本文对2020年高考全国I 卷文理第23题进行分析与点评,并对2021年高考备考提出建议.关键词高考;选做题;不等式;分析;点评;建议1试题呈现题目(2020年高考全国I 卷文理第23题)已知函数f (x )=|3x +1|−2|x −1|.(1)画出y =f (x )的图像;(2)求不等式f (x )>f (x +1)的解集.该题以分段一次函数的作图与解不等式为载体,体现数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想方法,渗透直观想象、逻辑推理、数学运算等核心素养的考查.自己的计算方向,简化运算,降低计算错误率是学生提升计算能力的重要环节.正如本试题解答所提及的解一个一元二次方程,我们有公式法、十字相乘法、配方法等,在解题的过程中,我们会依据方程的特点,选用最合适的方法.例如对于方程12cos 4t −32cos 2t +13=0采用十字相乘法更佳,对于方程3(cos 2t )2−10cos 2t =0采用提公因式法更加,对于方程12y +8√y −7=0采用十字相乘法或公式法均可.3作业精细批改,强化检验意识,培养良好计算习惯《普通高中数学课程标准》指出高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握,更关注数学学科核心素养的形成和发展,制定科学合理的学业质量要求,促进学生在不同学习阶段数学学科核心素养水平的达成.评价既要关注学生学习的结果,更要重视学生学习的过程.笔者认为,学生计算能力的培养,是在掌握了数学运算法则之后对该法则的使用中不断实现的.在现阶段的教学形式上,作业与考试是反馈学生学习效果的最佳手段,也是教师在阶段性评价上能帮助学生更好地掌握运算法则的重要途径.很多时候,学生在计算上出现的错误,我们并不能一概而论;学生对法则的掌握程度也是不相同的;甚至我们不能想象在高考中学生也会出现抄错数字的低级错误.事实上,任何计算过程都难免出错,例如错位相减法求和运算中,很多学生不能得到正确的运算结果,有的学生是乘公比后作差时最后一项符号出现错误,有的学生是等比公式使用时指数书写错误,有的学生是化简时系数计算错误等等,这些都需要教师更为细致地点拨,才能助力学生核心素养的发展.因此,要减少在运算法则的进一步使用中出现计算错误,教师在批改作业时应尽可能精细,若能用红笔圈出错误步骤,在课后一对一辅导找出错误原因,并指明更正方向;同时在学生广泛涉猎题型和题目的基础上,教师有计划有目的地安排少量典型题目展开精解和细评活动,将是有益的;甚至可以要求学生尽可能以最少的笔墨不失严谨地将解题过程展现出来,先让学生之间相互批改共同进步,后由教师课上进行权威点评.在作业批改过程中,对表达过程的这种严苛要求,将促使学生能清晰地知道自己每个步骤在做什么(所依据的是题目中的什么条件和课本中的哪些命题结论),从而实现对相关知识和计算方法的严谨梳理.培养学生养成良好的计算习惯,还需要强化学生的检验意识.事实上,计算结果正确与否,只需代入验算即可.然而许多教师在教学过程中却“重头轻脚”,只想着如何将运算法则讲好讲细,如何在训练中使学生熟练掌握运算法则,却忽略了验算这一重要的计算习惯.同样的,不少学生极力展示解答问题的过程和步骤,甚至到了啰嗦冗余的地步,但却不愿花费仅约十分之一的时间去对所得计算结果进行验证,错失纠错机会.例如解一元二次方程12y +8√y −7=0时,将结果√y =12代入验证,即可确定其正确性;而把√y =136代入验证,等式不成立即为错解.因此,只要学生能够有意识的进行计算的检验,就可以有效发现自己的计算错误,减少失分.只有在教学过程中做好细节,积累经验,不断探索,才能实现计算能力的稳步提升,培养学生良好的数学运算核心素养.参考文献[1]中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(2017年版2020年修订)[S].北京:人民教育出版社,2020.[2]钟进均.2017年高考课标卷数学选做题答题情况分析及备考建议[J].中学数学研究(华南师范大学版),2017(9):39-44.[3]刘龙标.2019年高考全国Ⅰ卷坐标系与参数方程试题评析和备考建议[J].中学数学研究(华南师范大学版),2019(9):41-45.。
2020年高考试题分类汇编(坐标系与参数方程)
2020年高考试题分类汇编（坐标系与参数方程）
1.（2020·全国卷Ⅰ）在直角坐标系xoy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin k k x t y t
⎧=⎨=⎩（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为
4cos 16sin 30ρθθ-+=.
（Ⅰ）当1k =时，1C 是什么曲线？
（Ⅱ）当4k =时，求1C 与2C 的公共点的直角坐标.
2.（2020·全国卷Ⅱ）已知曲线1C ，2C 的参数方程分别为1C ：224cos 4sin x y θθ
⎧=⎨=⎩（θ为参数），2C ：
11x t t y t t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
（t 为参数）. （Ⅰ）将1C ，2C 的参数方程化为普通方程；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，设1C ，2C 的交点为P ，求圆心在极轴上，且过极点和P 的圆的极坐标方程.
3.（2020·全国卷Ⅲ）在直角坐标系xoy 中，曲线C 的参数方程为2
2223x t t y t t ⎧=--⎨=-+⎩（t 为参数且1t ≠）.C 与坐标轴交于A ，B 两点. （Ⅰ）求AB ；
（Ⅱ）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求直线AB 的极坐标方程.。
2020年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标I)(有详细解析)
2020年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标I）班级：___________姓名：___________得分：___________一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若z=1+i，则−2z|=()A. 0B. 1C.D. 22.设集合A={−40}，B={x|2x+a0}，且A B={x|−2x1}，则a=()A. −4B. −2C. 2D. 43.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥.以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A. B. C. D.4.已知A为抛物线C:=2px(p>0)上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=()A. 2B. 3C. 6D. 95.某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(，)(i=1，2，，20)得到下面的散点图：由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A. y=a+bxB. y=a+C. y=a+D. y=a+b x6.函数f(x)=−的图像在点(1,f(1))处的切线方程为()A. y=−2x−1B. y=−2x+1C. y=2x−3D. y=2x+17.设函数f(x)=(x+)在[−，]的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为()A. B. C. D.8.(x+y2)(x+y)5的展开式中x3y3的系数为()xA. 5B. 10C. 15D. 209.已知(0,)，且3cos2α−8cosα=5，则=()A. B. C. D.10.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，为ABC的外接圆，若的面积为4，AB=BC=AC=，则球O的表面积为()A. 64B. 48C. 36D. 3211.已知M:+−2x−2y−2=0，直线l:2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，且切点为A，B，当|PM||AB|最小时，直线AB的方程为()A. 2x−y−1=0B. 2x+y−1=0C. 2x−y+1=0D. 2x+y+1=012.若2a+log2a=4b+2log4b，则()A. a>2bB. a<2bC. a>D. a<二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.若x，y满足约束条件则z=x+7y的最大值为__________．14.设，为单位向量，且||=1，则||=__________．15.已知F为双曲线C:−=1(a>0,b>0)的右焦点，A为C的右顶点，B为C上的点且BF垂直于x轴.若AB的斜率为3，则C的离心率为__________．16.如图，在三棱锥P−ABC的平面展开图中，AC=1，AB=AD=，AB AC，AB AD，CAE=，则FCB=__________．三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.设{}是公比不为1的等比数列，为，的等差中项．(1)求{}的公比;(2)若=1，求数列{}的前n项和．18.如图，D为圆锥的顶点，O是圆锥底面的圆心，AE为底面直径，AE=AD．ABC是底面的内接正三角形，P为DO上一点，PO=DO．(1)证明：PA平面PBC;(2)求二面角B−PC−E的余弦值．19.甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，预定赛制如下：累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首次比赛的两个人，另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人淘汰;当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束．经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为．(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率．20.已知A，B分别为椭圆E:+=1(a>1)的左、右顶点，G为E的上顶点，=8，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D，(1)求E的方程;(2)证明：直线CD过定点．21.已知函数f(x)=+−x．(1)当a=1时，讨论f(x)的单调性;(2)当x0时，f(x)+1，求a的取值范围．22.[选修4−4:坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为(t为参数).以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为4−16+3=0．(1)当k=1时，是什么曲线?(2)当k=4时，求与的公共点的直角坐标．23.[选修4−4:坐标系与参数方程]已知函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|．(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集．答案和解析1. D解：由z =1+i 得z 2=2i ，2z =2+2i ，|z 2−2z |=|2i −(2+2i)|=2．2. B解：由已知可得A ={x|−2⩽x ⩽2}，B ={x|x ⩽−a2}， 又因为A ∩B ={x|−2⩽x ⩽1}， 所以−a2=1，从而a =−2,3. C解：如图，设正四棱锥的高为h ，底面边长为a,侧面三角形底边上的高为ℎ′， 则由题意可得{ℎ2=12aℎ′ℎ2=(ℎ′)2−(a2)2,故(ℎ′)2−(a2)2=12aℎ′，化简可得4(ℎ′a )2−2(ℎ′a )−1=0,解得ℎ′a=1±√54．负值舍去可得ℎ′a=1+√544.C解：设点A的坐标为(x,y)，由点A到y轴的距离为9，可得x=9,由点A到点C的焦点的距离为12，可得x+p2=12解得p=6．5.D解：用光滑的曲线把图中各点连接起来，由图象的走向判断，此函数应该是对数函数类型的，故应该选用的函数模型为y=a+bln x．6.B解：先求函数的导函数f′(x)=4x3−6x2，则由函数的几何意义可知在点(1,f(1))的切线斜率为k=f′(1)=−2．又因为f(1)=−1，则切线方程为y−(−1)=−2(x−1)，则y=−2x+1．7.C解：由图可知f(−4π9)=cos(−4π9w+π6)=0，所以−4π9w+π6=π2+kπ(k∈Z),化简可得w=−3+9k4(k∈Z)，又因为T<2π<2T，即2π|w|<2π<4π|w|，所以1<|ω|<2，当且仅当k=−1时1<|ω|<2，所以w=32，所以最小正周期T=2π|w|=4π3．8.C解：(x+y)5的展开式通项为C5r x5−r y r，r=0，1，2，3，4，5，则(x+y2x )(x+y)5的展开式有xC5r x5−r y r，y2xC5r x5−r y r，取r=3和r=1时可得10x3y3，5x3y3，合并后系数为15，9.A解：∵3cos2α−8cosα=5，∴3(2cos2α−1)−8cosα=5，即3cos2α−4cosα−4=0，(3cosα+2)(cosα−2)=0，α∈(0,π)，即cosα=−23，又α∈(0,π)，sinα>0，∴sinα=√1−cos2α=√53，10.A解：由圆O1的面积为4π=πr2，故圆O1的半径ρ=2，∵AB=BC=AC=OO1，则三角形ABC是正三角形，=2r=4，得AB=OO1=2√3，由正弦定理：ABsin60∘由R2=r2+OO12，得球O的半径R=4，表面积为4πR2=64π，11.D解：圆M方程化为：(x−1)2+(y−1)2=4，圆心M(1,1)，半径r=2，根据切线的性质及圆的对称性可知，则|PM|⋅|AB|=4S△PAM=2|PA|⋅|AM|，要使其值最小，只需|PA|最小，即|PM|最小，此时，=√5，|PA|=√|PM|2−|AM|2=1，∴|PM|=√5(x−1)，联立l的方程解得P(−1,0)，过点M且垂直于l的方程为y−1=12以P为圆心，|PA|为半径的圆的方程为(x+1)2+y2=1，即x2+y2+2x=0，结合圆M的方程两式相减可得直线AB的方程为2x+y+1=0，12.B解：根据指数及对数的运算性质，4b+2log4b=22b+log2b，∵log2(2b)=log2b+1>log2b，∴22b+log2(2b)>22b+log2b=2a+log2a，根据函数f(x)=2x+log2x是定义域上的增函数，由f(2b)>f(a)，得a<2b，13.1解：根据约束条件画出可行域为：由z=x+7y得y=−17x+17z，平移直线y=−17x，要使z最大，则y=−17x+17z在y轴上的截距最大，由图可知经过点A(1,0)时截距最大，此时z=1，14.√3解：|a⃗+b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =2+2a⃗⋅b⃗ =1，a⃗⋅b⃗ =−12，|a⃗−b⃗ |2=a⃗2+b⃗ 2−2a⃗⋅b⃗ =2−2a⃗⋅b⃗ =3，∴|a⃗−b⃗ |=√3．15.2解：由题意可知，B在双曲线C的右支上，且在x轴上方，∵BF垂直于x轴，把x=c代入x2a2−y2b2=1，得y=b2a，∴B点坐标为(c,b2a)，又A点坐标为(a,0)，∴k AB=b2a−0c−a=3，化简得b2=3ac−3a2=c2−a2，即2a2−3ac+c2=0，解得c=2a或c=a(舍)，故e=ca=2．16.−14解：由已知得BD=√2AB=√6，∵D、E、F重合于一点，∴AE=AD=√3，BF=BD=√6，∴△ACE中，由余弦定理得，∴CE=CF=1，BC²=AC²+AB²，BC=2，∴在△BCF中，由余弦定理得．17.解：⑴设等比数列{a n}的公比为q(q≠1)，由题意知：2a1=a2+a3，即2a1=a1q+a1q2，所以q2+q−2=0，解得q=−2．(2)若a1=1，则a n=(−2)n−1，所以数列{na n}的前n项和为T n=1+2×(−2)+3×(−2)2+⋯+n(−2)n−1，则−2T n=−2+2×(−2)2+3×(−2)3+⋯+n(−2)n，两式相减得3T n=1+(−2)+(−2)2+(−2)3+(−2)n−1−n(−2)n=1−(−2)n1−(−2)−n(−2)n=1−(3n+1)(−2)n3，所以T n=1−(3n+1)(−2)n9．18.(1)证明：不妨设⊙O的半径为1，则AO=OB=OC=1，AE=AD=2，AB=BC=CA=√3，DO=√DA2−OA2=√3，PO=√66DO=√22，PA=PB=PC=√PO2+AO2=√62，在△PAC中，PA2+PC2=AC2，故PA⊥PC，同理可得PA⊥PB，PB∩PC=P，PB，PC⊂平面PBC，∴PA ⊥平面PBC ．(2)解：以OE ，OD 所在直线分别为y ，z 轴，圆锥底面内垂直于OE 的直线为x 轴，建立如图所示的空间直角坐标系O −xyz ，则有B (√32,12,0),C (−√32,12,0),P (0,0,√22),E (0,1,0)， BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−√3,0,0),CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,12,0),CP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(√32,−12,√22)， 设平面PBC 的法向量为n 1⃗⃗⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1)，则{BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0CP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ =0，解得n 1⃗⃗⃗⃗ =(0,√2,1)， 同理可得平面PCE 的法向量n 2⃗⃗⃗⃗ =(√2,−√6,−2√3)， 由图形可知二面角B −PC −E 为锐角，则cosθ=|n 1⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅n 2⃗⃗⃗⃗⃗ |n 1⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|n 2⃗⃗⃗⃗⃗ ||=2√55， 故二面角B −PC −E 的余弦值为2√55．19. 解：(1)甲连胜四场只能是前四场全胜，则P =(12)4=116．(2)设甲输掉一场比赛为事件A ，乙输掉一场比赛为事件B ，丙输掉一场比赛为事件C ， 四场比赛能结束为事件N ，则P(N)=P(ABAB)+P(ACAC)+P(BABA)+P(BCBC)=116×4=14所以需要进行第五场比赛的概率为P =1−P(N)=1−14=34(3) 丙获胜的概率为：P =P (ABAB )+P(BABA)+P(ABACB)+P(BABCA)+P(ABCAB)+P(ABCBA) +P(BACAB)+P(BACBA)+P(ACABB)+P(ACBAB)+P(BCABA)+P(BCBAA) =(12)4×2+(12)5×10=716．20. 解：由题意A (−a,0),B (a,0),G (0,1),AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,1),GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(a,−1), AG ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅GB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a 2−1=8⇒a 2=9⇒a =3， ∴椭圆E 的方程为x 29+y 2=1．(2)由(1)知A (−3,0),B (3,0),P (6,m )，则直线PA 的方程为y =m 9(x +3)，联立{y =m 9(x +3)x 29+y 2=1⇒(9+m 2)x 2+6m 2x +9m 2−81=0,由韦达定理−3x C =9m 2−819+m 2⇒x C =−3m 2+279+m 2，代入直线PA 的方程y =m 9(x +3)得，y C =6m9+m 2，即C (−3m 2+279+m 2,6m9+m 2)，直线PB的方程为y=m3(x−3)，联立{y=m3(x−3)x29+y2=1⇒(1+m2)x2−6m2x+9m2−9=0,由韦达定理3x D=9m2−91+m2⇒x D=3m2−31+m2，代入直线PA的方程y=m3(x−3)得，y D=−2m1+m2，即D(3m2−31+m2,−2m1+m2)，∴直线CD的斜率k CD=6m9+m2−−2m1+m2−3m2+279+m2−3m2−31+m2=4m3(3−m2)，∴直线CD的方程为y−−2m1+m2=4m3(3−m2)(x−3m2−31+m2)，整理得y=4m3(3−m2)(x−32)，∴直线CD过定点(32,0)．21.解：(1)当a=1时，f(x)=e x+x2−x，f′(x)=e x+2x−1，记g(x)=f′(x)，因为g′(x)=e x+2>0，所以g(x)=f′(x)=e x+2x−1在R上单调递增，又f′(0)=0，得当x>0时f′(x)>0，即f(x)=e x+x2−x在(0,+∞)上单调递增；当x<0时f′(x)<0，即f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减．所以f(x)=e x+x2−x在(−∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增．(2)①当x=0时，a∈R；②当x>0时，f(x)≥12x3+1即a≥12x3+x+1−e xx2，令ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2，ℎ′(x)=(2−x)(e x−12x2−x−1)x3记m(x)=e x−12x2−x−1，m′(x)=e x−x−1令q(x)=e x−x−1，因为x>0，所以q′(x)=e x−1>0，所以m′(x)=q(x)=e x−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m′(x)=e x−x−1> m′(0)=0所以m(x)=e x−12x2−x−1在(0,+∞)上单调递增，即m(x)=e x−12x2−x−1>m(0)=0，故当x∈(0,2)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(0,2)上单调递增；当x∈(2,+∞)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)=12x3+x+1−e xx2在(2,+∞)上单调递减；所以[ℎ(x)]max=ℎ(2)=7−e24，所以a≥7−e24，综上可知，实数a的取值范围是[7−e24,+∞)．22.解：(1)当k=1时，曲线C1的参数方程为{x=costy=sint，化为直角坐标方程为x2+y2=1，表示以原点为圆心，半径为1的圆．(2)k=4时，曲线C1的参数方程为{x=cos 4ty=sin4t，化为直角坐标方程为√x+√y=1，曲线C2化为直角坐标方程为4x−16y+3=0，联立{√x+√y=14x−16y+3=0，解得{x=14y=14,所以曲线C1与曲线C2的公共点的直角坐标为(14,14 )．23.解：(1)函数f(x)=|3x+1|−2|x−1|=，图像如图所示：(2)函数f(x+1)的图像即为将f(x)的图像向左平移一个单位所得，如图，联立y=−x−3和y=5x+4解得交点横坐标为x=−，原不等式的解集为．。
2020年高考理科数学及答案解析(全国Ⅲ卷)
2020年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（含答案解析）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}A B x x =-=≤，，则A B = A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}0,1,2【答案】A 【难度】容易 【点评】本题考查集合之间的运算关系，即包含关系.在高一数学强化提高班上学期课程讲座1，第一章《集合》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算.在高考精品班数学（理）强化提高班中有对集合相关知识的总结讲解. 2．若(1i)2i z +=，则z = A ．1i -- B ．1+i -C ．1i -D ．1+i【答案】D 【难度】容易【点评】本题考查复数的计算。
在高二数学（理）强化提高班下学期，第四章《复数》中有详细讲解，其中第02节中有完全相同类型题目的计算。
在高考精品班数学（理）强化提高班中有对复数相关知识的总结讲解。
3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【答案】C 【难度】容易【点评】本题在高考数学（理）提高班讲座 第十四章《概率》中有详细讲解，在寒假特训班、百日冲刺班中均有涉及。
2008-2020高考理数全国1卷分类汇编--选考题 参数方程和极坐标
2008-2020高考理数全国1卷分类汇编--选考题参数方程和极坐标1（2011）(23)(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为2cos 22sin x y αα=⎧⎨=+⎩（α为参数） M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =,P 点的轨迹为曲线C 2(Ⅰ)求C 2的方程(Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与C 1的异于极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB .2(2014)23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程已知曲线C ：22149x y +=，直线l ：222x t y t =+⎧⎨=-⎩（t 为参数）. （Ⅰ）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；（Ⅱ）过曲线C 上任一点P 作与l 夹角为o 30的直线，交l 于点A ，求||PA 的最大值与最小值.3(2015)（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系O χγ中。
直线1C :χ=-2，圆2C ：()()22121χγ-+-=,以坐标原点为极点， χ轴的正半轴为极轴建立极坐标系。
（I ）求1C ，2C 的极坐标方程； （II ） 若直线3C 的极坐标方程为()4R πθρ=∈，设2C 与3C 的交点为M ,N ,求2C MN 的面积4（2016）（23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩⎨⎧+==,sin 1,cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ．（Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程； （Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公共点都在3C 上，求a ．5(2017)22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为3cos ,sin ,x y θθ=⎧⎨=⎩（θ为参数），直线l 的参数方程为4,1,x a t t y t =+⎧⎨=-⎩（为参数）. （1）若a =−1，求C 与l 的交点坐标；（2）若C 上的点到la.6（2018）22．[选修4－4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xO y 中，曲线1C 的方程为||2y k x =+. 以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为22cos 30ρρθ+-=.（1）求2C 的直角坐标方程；（2）若1C 与2C 有且仅有三个公共点，求1C 的方程.x7 (2019) 22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为（t 为参数）．以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为．（1）求C 和l 的直角坐标方程；（2）求C 上的点到l 距离的最小值．2221141t x t ty t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，2cos sin 110ρθθ+=。
2020学年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理及答案解析
2020年普通高等学校招生全国统一考试(新课标Ⅲ卷)数学理一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A={x|x﹣1≥0}，B={0，1，2}，则A∩B=( )A.{0}B.{1}C.{1，2}D.{0，1，2}解析：∵A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1}，B={0，1，2}，∴A∩B={x|x≥1}∩{0，1，2}={1，2}.答案：C2.(1+i)(2﹣i)=( )A.﹣3﹣iB.﹣3+iC.3﹣iD.3+i解析：(1+i)(2﹣i)=3+i.答案：D3.中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )A.B.C.D.解析：由题意可知，如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，小的长方体，是榫头，从图形看出，轮廓是长方形，内含一个长方形，并且一条边重合，另外3边是虚线，所以木构件的俯视图是A.答案：A4.若sinα=13，则cos2α=( ) A.89 B.79C.﹣79D.﹣89解析：∵sinα=13，∴cos2α=1﹣2sin 2α=192719-⨯=. 答案：B5.(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为( )A.10B.20C.40D.80解析：由二项式定理得(x 2+2x )5的展开式的通项为：()()5210315522rrr rr rr xT Cx C x--+==，由10﹣3r=4，解得r=2，∴(x 2+2x )5的展开式中x 4的系数为5222C =40.答案：C6.直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，则△ABP 面积的取值范围是( ) A.[2，6] B.[4，8]232，D.[2232，] 解析：∵直线x+y+2=0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点， ∴令x=0，得y=﹣2，令y=0，得x=﹣2，∴A(﹣2，0)，B(0，﹣2)，4+4=22∵点P 在圆(x ﹣2)2+y 2=2上，∴设P ()2co 2s sin 2θθ+，，∴点P 到直线x+y+2=0的距离：()2sin 42cos sin 242222d πθθθ+++++==，∵()sin 4πθ+∈[﹣1，1]，∴d= ()22sin 44πθ++∈[232，]， ∴△ABP 面积的取值范围是：[11222223222⨯⨯⨯⨯，，6].答案：A7.函数y=﹣x 4+x 2+2的图象大致为( )A.B.C.D.解析：函数过定点(0，2)，排除A ，B.函数的导数f′(x)=﹣4x 3+2x=﹣2x(2x 2﹣1)，由f′(x)＞0得2x(2x 2﹣1)＜0，得x ＜﹣或0＜x ＜，此时函数单调递增，排除C.答案：D8.某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，DX=2.4，P(x=4)＜P(X=6)，则p=( ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 解析：某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ，看做是独立重复事件，满足X ～B(10，p)，P(x=4)＜P(X=6)，可得()()644466101011C p p C p p --＜，可得1﹣2p ＜0.即12p ＞. 因为DX=2.4，可得10p(1﹣p)=2.4，解得p=0.6或p=0.4(舍去). 答案：B9.△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.若△ABC 的面积为2224a b c +-，则C=( )A.2πB.3πC.4πD.6π解析：∵△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c.△ABC 的面积为2224a b c +-，∴S △ABC =222s 1in 42a b c ab C +-=，∴sinC=2222a b c bc +-=cosC ，∵0＜C ＜π，∴C=4π.答案：C10.设A ，B ，C ，D 是同一个半径为4的球的球面上四点，△ABC 为等边三角形且面积为则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为( )A.B.C.D.543解析：△ABC 为等边三角形且面积为93，可得2393AB ⨯＝，解得AB=6，球心为O ，三角形ABC 的外心为O′，显然D 在O′O 的延长线与球的交点如图：()222362342323O C OO '=='=-=，，则三棱锥D ﹣ABC 高的最大值为：6，则三棱锥D ﹣ABC 体积的最大值为：31361833=答案：B11.设F 1，F 2是双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的左，右焦点，O 是坐标原点.过F 2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P ，若|PF 1|=6|OP|，则C 的离心率为( )A.5B.2C.3D.2解析：双曲线C ：22221y x a b -=(a ＞0.b ＞0)的一条渐近线方程为b y x a =， ∴点F 2到渐近线的距离22bcd b a b ==+，即|PF 2|=b ，∴2222222cos bOP OF PF c b a PF O c =-=-=∠=，， ∵|PF 16|OP|，∴|PF 16a ，在三角形F 1PF 2中，由余弦定理可得|PF 1|2=|PF 2|2+|F 1F 2|2﹣2|PF 2|·|F 1F 2|COS ∠PF 2O ，∴6a 2=b 2+4c 2﹣2×b ×2c ×bc =4c 2﹣3b 2=4c 2﹣3(c 2﹣a 2)，即3a 2=c 2， 即3a=c ，∴3c e a ==.答案：C12.设a=log 0.20.3，b=log 20.3，则( ) A.a+b ＜ab ＜0 B.ab ＜a+b ＜0 C.a+b ＜0＜ab D.ab ＜0＜a+b解析：∵a=log 0.20.3=lg 0.3lg 5-，b=log 20.3=lg 0.3lg 2，∴()5lg 0.3lg lg 0.3lg 5lg 2lg 0.3lg 0.32lg 2lg 5lg 2lg 5lg 2lg 5a b -+-=＝＝，10lg 0.3lg lg 0.3lg 0.33lg 2lg 5lg 2lg 5ab ⋅-⋅＝＝，∵105lg lg 32＞，lg 0.3lg 2lg 5＜，∴ab ＜a+b ＜0.答案：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)，c =(1，λ).若c ∥(2a b +)，则λ=____. 解析：∵向量a =(1，2)，b =(2，﹣2)， ∴2a b +=(4，2)，∵c =(1，λ)，c ∥(2a b +)，∴142λ＝， 解得λ=12.答案： 1214.曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2，则a=____.解析：曲线y=(ax+1)e x ，可得y′=ae x +(ax+1)e x，曲线y=(ax+1)e x在点(0，1)处的切线的斜率为﹣2， 可得：a+1=﹣2，解得a=﹣3. 答案：﹣315.函数f(x)=cos(3x+6π)在[0，π]的零点个数为____.解析：∵f(x)=cos(3x+6π)=0， ∴362x k πππ+=+，k ∈Z ，∴x=193k ππ+，k ∈Z ，当k=0时，x=9π，当k=1时，x=49π，当k=2时，x=79π，当k=3时，x=109π，∵x ∈[0，π]，∴x=9π，或x=49π，或x=79π，故零点的个数为3. 答案：316.已知点M(﹣1，1)和抛物线C ：y 2=4x ，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点.若∠AMB =90°，则k=____.解析：∵抛物线C ：y 2=4x 的焦点F(1，0)， ∴过A ，B 两点的直线方程为y=k(x ﹣1)，联立()241y x y k x ⎪-⎧⎪⎨⎩＝＝可得，k 2x 2﹣2(2+k 2)x+k 2=0， 设A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则212242k x x k ++=，x 1x 2=1， ∴y 1+y 2=k(x 1+x 2﹣2)=4k ，y 1y 2=k 2(x 1﹣1)(x 2﹣1)=k 2[x 1x 2﹣(x 1+x 2)+1]=﹣4，∵M(﹣1，1)，∴MA =(x 1+1，y 1﹣1)，MB =(x 2+1，y 2﹣1)， ∵∠AMB=90°=0，∴0MA MB ⋅= ∴(x 1+1)(x 2+1)+(y 1﹣1)(y 2﹣1)=0，整理可得，x 1x 2+(x 1+x 2)+y 1y 2﹣(y 1+y 2)+2=0，∴24124420k k ++--+=，即k 2﹣4k+4=0，∴k=2. 答案：2三、解答题：共70分。
(完整)2020年高考理科数学《坐标系与参数方程》
又 d(α)＝
＝
2
π 2 sin α＋ 3 － 2 ，当且仅当
α＝
2kπ＋
π 6(k∈
Z)时，
d(α)取得最小值，
最小值为 2，此时点 P 的直角坐标为 ( 3 , 1 ) . 22
【思维点拨】 1.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，
求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程
后求解 .当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程
22 5 当 sin( θ＋α)＝－ 1 时， |PA|取得最大值，最大值为 5 ；
当 sin( θ＋α)＝ 1 时， |PA|取得最小值，最小值为
25 5.
【易错点】 参数方程要变形使用 . 【思维点拨】 1.将参数方程化为普通方程的过程就是消去参数的过程，
常用的消参方法有代入消参、
参、三角恒等式消参等，往往需要对参数方程进行变形，为消去参数创造条件
（2）面积为
1 2.
【解析】 (1)因为 x＝ ρcos θ，y＝ ρsin θ，所以 C1 的极坐标方程为 ρcos θ＝－ 2， C2 的极坐标方程为 ρ2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋ 4＝ 0.
π (2) 将 θ＝ 4代入
ρ2－ 2ρcos θ－ 4ρsin θ＋4＝ 0，
得 ρ2－ 3 2ρ＋ 4＝ 0，解得 ρ1＝ 2 2，ρ2＝ 2.故 ρ1－ ρ2＝ 2，即 |MN |＝ 2.
y＝ 2－ 2t
(1) 写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程；
(2) 过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30°的直线，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值 .
【答案】（
1） 2x＋ y－ 6＝ 0；（2）最大值为
【高考冲刺】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题(含答案解析)
【高考复习】2020年高考数学(理数) 坐标系与参数方程 大题1.在平面直角坐标系xOy 中，⊙O 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)，过点(0，-2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ，B 两点．(1)求α的取值范围；(2)求AB 中点P 的轨迹的参数方程．2.平面直角坐标系xOy 中，倾斜角为α的直线l 过点M(-2，-4)，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρsin 2θ=2cos θ. (1)写出直线l 的参数方程(α为常数)和曲线C 的直角坐标方程；(2)若直线l 与C 交于A ，B 两点，且|MA|·|MB|=40，求倾斜角α的值．3.在直角坐标系xOy 中，已知倾斜角为α的直线l 过点A(2,1)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρ=2sin θ，直线l 与曲线C 分别交于P ，Q 两点．(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程；(2)若|PQ|2=|AP|·|AQ|，求直线l 的斜率k.4.在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝3sin α(α为参数)，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=3 2. (1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)若点M 在曲线C 1上，点N 在曲线C 2上，求|MN|的最小值及此时点M 的直角坐标．5.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)．在以O 为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l ：ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4= 2.(1)若l 与曲线C 没有公共点，求t 的取值范围；(2)若曲线C 上存在点到l 的距离的最大值为62＋2，求t 的值．6.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3＋2cos α，y ＝2＋2sin α(α为参数)，直线C 2的方程为y=33x ，以O 为极点，以x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． (1)求曲线C 1和直线C 2的极坐标方程；(2)若直线C 2与曲线C 1交于P ，Q 两点，求|OP|·|OQ|的值．7.在平面直角坐标系中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)．以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12.直线l 与曲线C 交于A ，B 两点． (1)求直线l 的直角坐标方程；(2)设点P(1,0)，求|PA|·|PB|的值．8.在平面直角坐标系中，直线l 的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t(t 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ2＋2ρsin θ-3=0.(1)求直线l 的极坐标方程；(2)若直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|AB|.9.在极坐标系中，曲线C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，在以极点为原点O ，极轴为x 轴正半轴(两坐标系取相同的单位长度)的直角坐标系xOy 中，曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)． (1)求曲线C 1的直角坐标方程与曲线C 2的普通方程；(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，若M ，N 分别是曲线C 1和曲线C 3上的动点，求|MN|的最小值．10.在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1过点P(a ，1)，其参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t(t 为参数，a ∈R )，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0．(1)求曲线C 1的普通方程和曲线C 2的直角坐标方程；(2)已知曲线C 1和曲线C 2交于A ，B 两点，且|PA|=2|PB|，求实数a 的值．答案解析1.解：(1)⊙O 的直角坐标方程为x 2＋y 2=1.当α=π2时，l 与⊙O 交于两点．当α≠π2时，记tan α=k ，则l 的方程为y=kx- 2.l 与⊙O 交于两点需满足21＋k2<1，解得k<-1或k>1， 即α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π4或α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2.综上，α的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4.(2)l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝tcos α，y ＝－2＋tsin α⎝⎛⎭⎪⎫t 为参数，π4<α<3π4. 设A ，B ，P 对应的参数分别为t A ，t B ，t P ，则t P =t A ＋t B 2，且t A ，t B 满足t 2-22tsin α＋1=0.于是t A ＋t B =22sin α，t P =2sin α.又点P 的坐标(x ，y)满足⎩⎨⎧x ＝t P cos α，y ＝－2＋t P sin α，所以点P 的轨迹的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝22sin 2α，y ＝－22－22cos 2α⎝⎛⎭⎪⎫α为参数，π4<α<3π4.2.解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2＋tcos α，y ＝－4＋tsin α(t 为参数)，ρsin 2θ=2cos θ，即ρ2sin 2θ=2ρcos θ，将x=ρcos θ，y=ρsin θ代入得曲线C 的直角坐标方程为y 2=2x.(2)把直线l 的参数方程代入y 2=2x ，得t 2sin 2α-(2cos α＋8sin α)t ＋20=0， 设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由一元二次方程根与系数的关系得，t 1＋t 2=2cos α＋8sin αsin 2α，t 1t 2=20sin 2α， 根据直线的参数方程中参数的几何意义，得|MA |·|MB|=|t 1t 2|=20sin 2α=40，得α=π4或α=3π4.又Δ=(2cos α＋8sin α)2-80sin 2α>0，所以α=π4.3.解：(1)由题意知直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋tcos α，y ＝1＋tsin α(t 为参数)，因为ρ=2sin θ，所以ρ2=2ρsin θ，把y=ρsin θ，x 2＋y 2=ρ2代入得x 2＋y 2=2y ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2=2y.(2)将直线l 的参数方程代入曲线C 的方程，得t 2＋(4cos α)t ＋3=0，由Δ=(4cos α)2-4×3>0，得cos 2α>34，由根与系数的关系，得t 1＋t 2=-4cos α，t 1t 2=3. 不妨令|AP|=|t 1|，|AQ|=|t 2|，所以|PQ|=|t 1-t 2|，因为|PQ|2=|AP|·|AQ|，所以(t 1-t 2)2=|t 1|·|t 2|，则(t 1＋t 2)2=5t 1t 2，得(-4cos α)2=5×3，解得cos 2α=1516，满足cos 2α>34，所以sin 2α=116，tan 2α=115，所以k=tan α=±1515.4.解：(1)由曲线C 1的参数方程可得曲线C 1的普通方程为x 29＋y23=1，由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4=32，得ρcos θ-ρsin θ=6， ∴曲线C 2的直角坐标方程为x-y-6=0.(2)设点M 的坐标为(3cos β，3sin β)， 点M 到直线x-y-6=0的距离d=|3cos β－3sin β－6|2=⎪⎪⎪⎪⎪⎪23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3＋62=6＋23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π32，当sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫β－π3=-1时，|MN|有最小值，最小值为32-6， 此时点M 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫332，－32.5.解：(1)因为直线l 的极坐标方程为ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4=2， 即ρcos θ＋ρsin θ=2，所以直线l 的直角坐标方程为x ＋y-2=0.因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝tcos α，y ＝sin α(α为参数，t>0)，所以曲线C 的普通方程为x 2t2＋y 2=1(t>0)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x 2t2＋y 2＝1，消去x 得，(1＋t 2)y 2-4y ＋4-t 2=0，所以Δ=16-4(1＋t 2)(4-t 2)<0，又t>0， 解得0<t<3，故t 的取值范围为(0，3)． (2)由(1)知直线l 的方程为x ＋y-2=0，故曲线C 上的点(tcos α，sin α)到l 的距离d=|tcos α＋sin α－2|2，故d max =t 2＋1＋22=62＋2，解得t=± 2.又t>0，∴t= 2.6.解：(1)曲线C 1的普通方程为(x-3)2＋(y-2)2=4，即x 2＋y 2-23x-4y ＋3=0，则曲线C 1的极坐标方程为ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0.∵直线C 2的方程为y=33x ，∴直线C 2的极坐标方程为θ=π6(ρ∈R)．(2)设P(ρ1，θ1)，Q(ρ2，θ2)，将θ=π6(ρ∈R)代入ρ2-23ρcos θ-4ρsin θ＋3=0得，ρ2-5ρ＋3=0， ∴ρ1ρ2=3，∴|OP|·|OQ|=ρ1ρ2=3. 7.解：(1)由ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π3=12得ρcos θcos π3-ρsin θsin π3=12， 即12ρcos θ-32ρsin θ=12， 又ρcos θ=x ，ρsin θ=y ，∴直线l 的直角坐标方程为x-3y-1=0.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos α，y ＝sin α(α为参数)得曲线C 的普通方程为x 2＋4y 2=4，∵P(1,0)在直线l 上，故可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32t ＋1，y ＝12t (t 为参数)，将其代入x 2＋4y 2=4得7t 2＋43t-12=0，∴t 1·t 2=-127，故|PA|·|PB|=|t 1|·|t 2|=|t 1·t 2|=127.8.解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t ，y ＝2t 消去t 得，y=2x ，把⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入y=2x ，得ρsin θ=2ρcos θ，所以直线l 的极坐标方程为sin θ=2cos θ.(2)因为ρ2=x 2＋y 2，y=ρsin θ，所以曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2＋2y-3=0，即x 2＋(y ＋1)2=4.圆C 的圆心C(0，-1)到直线l 的距离d=55，所以|AB|=24－d 2=2955.9.解：(1)∵C 1的极坐标方程是ρ=244cos θ＋3sin θ，∴4ρcos θ＋3ρsin θ=24， ∴4x ＋3y-24=0，故C 1的直角坐标方程为4x ＋3y-24=0．∵曲线C 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ，∴x 2＋y 2=1，故C 2的普通方程为x 2＋y 2=1．(2)将曲线C 2经过伸缩变换⎩⎨⎧ x′＝22x ，y′＝2y后得到曲线C 3，则曲线C 3的参数方程为⎩⎨⎧x′＝22cos α，y′＝2sin α(α为参数)．设N(22cos α，2sin α)，则点N 到曲线C 1的距离d=|4×22cos α＋3×2sin α－24|5=|241sin (α＋φ)－24|5=24－241sin (α＋φ)5其中φ满足tan φ=423．当sin(α＋φ)=1时，d 有最小值24－2415，所以|MN|的最小值为24－2415．10.解：(1)C 1的参数方程为⎩⎨⎧x ＝a ＋2t ，y ＝1＋2t ，消参得普通方程为x-y-a ＋1=0，C 2的极坐标方程为ρcos 2θ＋4cos θ-ρ=0，两边同乘ρ得ρ2cos 2θ＋4ρcos θ-ρ2=0，得y 2=4x ．所以曲线C 2的直角坐标方程为y 2=4x ． (2)曲线C 1的参数方程可转化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋22t ，y ＝1＋22t (t 为参数，a ∈R )，代入曲线C 2：y 2=4x ，得12t 2-2t ＋1-4a=0，由Δ=(-2)2-4×12×(1-4a)>0，得a>0，设A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，由|PA|=2|PB|得|t 1|=2|t 2|，即t 1=2t 2或t 1=-2t 2，当t 1=2t 2时，⎩⎨⎧ t 1＝2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=136；当t 1=-2t 2时，⎩⎨⎧t 1＝－2t 2，t 1＋t 2＝22，t 1·t 2＝2(1－4a )，解得a=94，综上，a=136或94．。
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2020年全国高考理科数学试题分类汇编18：
坐标系与参数方程
一、选择题
1 ．（2013年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题
（纯WORD 版））在极坐标系中,圆=2cos p θ的垂直于极
轴的两条切线方程分别为
（
）
A ．=0()cos=2R θρρ∈和
B ．=()cos=22R πθρρ∈和
C ．=()cos=12
R πθρρ∈和 D ．=0()cos=1R θρρ∈和
【答案】B 二、填空题
2 ．（2013年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题
（含答案））已知圆的极坐标方程为4cos ρθ=, 圆心为C,
点P 的极坐标为4,3π⎛⎫
⎪⎝⎭
, 则|CP| = ______. 【答案】23
3 ．（2013年高考上海卷（理））在极坐标系中,曲线cos 1ρθ=+与
cos 1
ρθ=的公共点到极点的距离为__________
【答案】15
2
+
.
4 ．（2013年高考北京卷（理））在极坐标系中,点(2,6
π)到直
线ρsin θ=2的距离等于_________.
【答案】1
5 ．（2013年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题
（含答案））在直角坐标系xOy 中,以原点O 为极点,x 轴的
正半轴为极轴建立极坐标系.若极坐标方程为cos 4ρθ=的直线与曲线
2
3x t y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数)相交于
,A B
两点,则
______
AB =
【答案】16
6 ．（2013年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷
（纯WORD 版））(坐标系与参数方程选讲选做题)已
知曲线C 的参数方程为
2cos 2sin x t
y t
⎧=⎪⎨=⎪⎩(为参数),C 在点()1,1处
的切线为,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则的极坐标方程为_____________.
【答案】
sin 24πρθ⎛
⎫
+
= ⎪⎝
⎭
7 ．（2013年高考陕西卷（理））C. (坐标系与参数方程选做
题) 如图, 以过原点的直线的倾斜角θ为参数, 则圆
220
y x x +-=的参数方程为______ .
θ
P O
y
x
【答案】R
y x ∈⎩
⎨
⎧⋅==θθθθ
,sin cos cos 2
8 ．（2013年高考江西卷（理））(坐标系与参数方程选做题)
设曲线C 的参数方程为
2x t
y t
=⎧⎨=⎩(为参数),若以直角坐标
系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则曲线c 的极坐标方程为__________
【答案】2
cos
sin 0ρθθ-=
9 ．（2013年高考湖南卷（理））在平面直角坐标系xoy 中,若
,3cos ,
:(t )C :2sin x t x l y t a y ϕϕ
==⎧⎧⎨⎨=-=⎩⎩为参数过椭圆
()ϕ为参数的
右顶点,则常数a 的值为________.
【答案】3
10．（2013年高考湖北卷（理））在直角坐标系xOy 中,椭圆C 的
参数方程为
cos sin x a y b θ
θ=⎧⎨
=⎩
()0a b ϕ>>为参数，.在极坐标系(与直角
坐标系xOy 取相同的长度单位,且以原点O 为极点,以x
轴正半轴为极轴)中,直线与圆O 的极坐标方程分别为
2sin 42
m πρθ⎛⎫
+
= ⎪⎝
⎭()m 为非零常数与b ρ=.若直线经过椭圆C 的焦
点,且与圆O 相切,则椭圆C 的离心率为___________.
【答案】63
三、解答题
11．（2013年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）
（纯WORD 版含答案））选修4—4;坐标系与参数方程
已知动点,P Q 都在曲线2cos :2sin x C y β
β
=⎧⎨
=⎩
(β为参数上,对应参数分别为βα=与)20(2πααβ<<=,M 为PQ 的中点. (Ⅰ)求M 的轨迹的参数方程;
(Ⅱ)将M 到坐标原点的距离d 表示为α的函数,并判断M 的轨迹是否过坐标原点.
【答案】
12．（2013年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题
（WORD 版））选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xoy 中以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立坐标系.圆1
C ,直线2
C 的极坐标方程分别为
4sin ,cos 2 2.4πρθρθ⎛
⎫
==-
= ⎪⎝
⎭
.
(I)求1
C 与2
C 交点的极坐标;
(II)设P 为1
C 的圆心,Q 为1
C 与2
C 交点连线的中点.已知直
线PQ 的参数方程为
()3312
x t a t R b y t ⎧=+⎪∈⎨=+⎪⎩为参数,求,a b 的值.
【答案】
13．（2013年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题
（纯WORD 版））坐标系与参数方程:在平面直角坐标
系中,以坐标原点为极点,x 轴的非负半轴为极轴建立坐标系.已知点A 的极坐标为(2,)4
π
,直线的极坐标方程
为cos()4a πρθ-=,且点A 在直线上. (1)求a 的值及直线的直角坐标方程;
(2)圆c 的参数方程为1cos sin x y α
α
=+⎧⎨
=⎩
,(α为参数),试判断直线与圆的位置关系.
【答案】解:(Ⅰ)由点(
2,)4
A π
在直线cos()4
a πρθ-=上,可得2a = 所以直线的方程可化为cos sin 2ρθρθ+= 从而直线的直角坐标方程为20x y +-= (Ⅱ)由已知得圆C 的直角坐标方程为2
2(1)1
x y -+=
所以圆心为(1,0),半径1r =
以为圆心到直线的距离212
d =
<,所以直线与圆相交
14．（2013年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数
学）（已校对纯WORD 版含附加题））C.[选修4-4:坐标系
与参数方程]本小题满分10分.
在平面直角坐标系xoy 中,直线的参数方程为⎩
⎨
⎧=+=t
y t x 21
(为参数),曲线C 的参数方程为
⎩⎨
⎧==θ
θtan 2tan 22y x (θ为参数),试求直
线与曲线C 的普通方程,并求出它们的公共点的坐标.
【答案】C 解:∵直线的参数方程为⎩⎨
⎧=+=t
y t x 21
∴消去参数后得直线的普通方程为022=--y x ① 同理得曲线C 的普通方程为x
y
22
= ②
①②联立方程组解得它们公共点的坐标为)2,2(,)1,2
1(- 15．（2013年高考新课标1（理））选修4—4:坐标系与参数
方程 已知曲线C 1的参数方程为45cos 55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩
(为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 2的极坐标方程为2sin ρθ=. (Ⅰ)把C 1的参数方程化为极坐标方程; (Ⅱ)求C 1与C 2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π).
【答案】将
45cos 55sin x t y t
=+⎧⎨
=+⎩消去参数,化为普通方程
22(4)(5)25
x y -+-=,
即1
C :2
2810160x
y x y +--+=,将cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩
代入2
2810160
x y x y +--+=得,
28cos 10sin 160ρρθρθ--+=,
∴1
C 的极坐标方程为2
8cos 10sin 160
ρρθρθ--+=;
(Ⅱ)2
C 的普通方程为2
220x
y y +-=,
由
222281016020
x y x y x y y ⎧+--+=⎪⎨+-=⎪⎩解得11
x y =⎧⎨=⎩或02
x y =⎧⎨
=⎩,∴1
C 与2
C 的交点的极
坐标分别为(
2,
4π
),(2,)2
π.。