论学习数学的三种境界
论学习数学的三种境界
论学习数学的三种境界发表时间：2012-01-04T10:24:58.100Z 来源：《少年智力开发报（课改论坛）》2011年32期供稿作者：闫照建[导读] 做数学.数学光看不做是不行的，结果就犹如入宝山而空手返。
商丘市第十五中学闫照建清代词学家王国维曾在《人间词话》说：“古今成大事业大学问者，必经过三种境界：‘昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路.’此第一境也. ‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴.’此第二境也. ‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.’此第三境也.”其实不但做大学问的人要经过这样三种境界，对于我们每一个人来讲，也是能达到这样三种境界的.比如我们学习数学，我认为也应该经历类似的三种境界：一、做数学.数学光看不做是不行的，结果就犹如入宝山而空手返。
数学必须得亲自去做才能巩固所学的知识，才能将书本知识化为独立解决问题的能力，才能提高成绩。
无论是作为学生或老师，还是作为数学家都必须经历长时间地去“做数学”这一关.这正是所谓第一境界“昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路”吗？但数学光靠做题还是不行的，因为我们学习过程中不能老搞题海战，原因是一方面这样做我们没有这么多的时间；另一方面是我们会因此失去更多的思考的时间，失去“研究数学”的机会.二、研究数学.有人看到“研究”这两个字就害怕了，认为“研究数学”只有数学家才能正如自然的美景对于所有的人都是开放的，数学王国的奇妙也绝对不是几个“数学家们”的特权！只要你善于独立思考，善于发现问题并勇于质疑，并想办法解决它，那么你就是在“研究数学”；只要你对数学抱有浓厚的兴趣，甚至如痴如醉，并坚持不懈地去探究数学世界的奥秘，那么你就是在“研究数学”；如果你善于运用数学的眼光看生活，用数学的眼光看世界，那么你就是在“研究数学”！而 “衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴” 揭示的就是这种境界.其实我们每个人都可以研究数学，并且我们每个人都可以做出前无古人的发现！发现无处不在！有的同学可能会问我们怎样研究数学呢？其实“研究数学”并不高深，而且还是有规律可寻的，我们只需要掌握几种思考问题的思维方式就可以研究数学了.首先我们可以将问题“倒过来”想.比如一道几何题，都有题设和结论的，假如题设和结论互换一下将会怎样呢？是否成立？每一个数学题都可以这样想的.如果做完题在反思的时候，倒过来这样一想，说不定你可以发现什么新定理呢！在这儿我举一个例子吧，大家都很熟悉“等腰三角形的两底角平分线相等”，当然证明这个命题也很简单，只需要利用两个三角形全等即可证明.可是我们如果倒过来想的话就会得到这样一个命题：“如果三角形的两个角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形.”这个命题是真还是假呢？其实这个命题早是在1840年，数学家莱默斯（C.L.Lehmus）就提出来了.瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863）首先给出证明，因而这个命题后来就称为＂斯坦纳—莱默斯定理＂，大家看看是不是觉得这个问题的提出确实很容易呢？其实这样的例子俯首皆是，数不胜数！有时候我们仔细想想，我们做人也应该如此，假如我们和同学或老师之间出现矛盾时，能用这种“倒过来”的思维方式，也即换位思考的方式站在别人的立场上考虑的话，我们就不会有那么多的烦恼了，那么我们的生活其实可以变得更美的！数学是思维的体操.生命在于运动，思维的精髓其实也在运动. 让我们思维“动起来”！最精彩的问题来自于运动的观点的运用！比如我们研究几何中的某个原本固定的点，你不妨让这个点运动起来试试看！会出现什么变化？我们大可不必让自己缩手缩脚，眼界开阔些，是否能让这个点运动到该边的延长线或反向延长线呢？甚至整个平面或整个空间上呢？不想尝试一下吗？现举一个例子，我们知道“等腰三角形底边上一点到两腰的距离和是一个定值”，这个定值是什么呢？如果我们让这个点动起来，运动到底边一端时就会发现距离和等于一腰上的高！我们再想下去，如果将这个点运动拓展到底边的延长线上的时候，距离和将会怎样呢？还等于一腰上的高吗？如果不相等的话，两个距离以及一腰上的高三者之间还有什么数量关系吗？如果仔细研究，你肯定会发现新的结论！三、享受数学.其实研究数学的思维方式还有很多，关键在于自己做个细心的人！俗语不是说事事留心皆学问吗？其实这句话也可以改为：事事留心皆数学！如果学习数学时能注重训练自己思维的话，数学就可以使愚钝的人变聪明，聪明的人变得更聪明！如果在做数学的同时能经常反思，你就会从做数学中提高成绩，迷上数学，陶醉在研究数学之中！在研究数学时，有些问题常常让你百思不得其解，但又不忍轻易放弃，苦苦寻觅，使你“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”后，忽然发现方法竟如此之妙！答案如此简单！这不正是感受到 “众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的心境吗？数学不仅很有趣的，更是美的！是一种体现我们人类思维之美的科学！如果你能够在“做数学”中发现数学之美，更能在“研究数学”中享受数学之美！这样你就达到了学习数学的第三种境界：最高境界------享受数学！。
浅谈学习高等数学的四种境界
浅谈学习高等数学的四种境界随着科技的发展，数学作为一门科学技术所不可缺少的核心科目，在建立一个完善的现代化教育体系中发挥着极为重要的作用。
数学是人类科学思想发展的基础，它是抽象化思维和归纳推理的传承者和支柱。
不仅如此，它还能帮助学生更好地理解自然科学发展历史，加深对自然科学的认识，进而提高学生的学习效率和学习能力。
学习高等数学是一项教育的长期目标。
在有限的时间和精力里，学生通过思考，实践和探究来掌握数学表达，模型和解决问题。
学习高等数学有四个境界：理解和背诵、联想、推理和思考、抽象思维和系统思考。
首先，理解和背诵。
这是学习高等数学最基础的境界，一般学生可以较为容易地达到。
理解的过程包括对数学公式和定义的理解，它们有助于熟悉数学原理。
同时，背诵也有助于记忆，掌握一些基本的概念，为进一步的学习打下基础。
其次，联想。
这是学习高等数学的一个重要环节。
首先，应该从实际出发，通过实践，分析和研究来解决实际问题，然后将解决这些问题的方法用抽象方法来表示，可以将实际应用知识和专业数学思维联系起来，以便把学到的知识转变成抽象思维能力，这是构建数学模型的基础。
接下来是推理和思考，即归纳推理。
归纳推理是为了让别人能够从一般原则中找到特定的规律，从而产生推理性的思维。
它不仅能够帮助学生有效地掌握概念，而且还能促进学生的独立思考和创新能力的发展。
最后是抽象思维和系统思考，这是学习高等数学中最重要的维度。
通过抽象思维对问题进行思考，可以发现其中的规律，将抽象概念转变成具体实例；而系统思考则是将问题从细致的具体范围扩展到广泛的抽象层面，以全局的视角去思考问题，以期理解数学的内在机制，体现数学的属性。
综上，学习高等数学要达到很高的学习水平，必须通过不断探索，实践和归纳，逐渐深入理解，从而掌握数学知识及抽象思维能力，从而提高数学分析能力，并拓展知识面。
只有达到这一境界，学生才能更好地掌握数学，发展科学技术，推动社会发展。
数学的五种境界
数学学习的五种境界左勤勇数学学习水平的五种层次或者说五种境界：懂、会、熟、巧、通.懂.就是刚才童鞋们谈到的那样.老师在上面讲，你在下面坐着听.听懂了，这是最低要求.如果听不懂课，后面的练习、考试当然无从谈起.万丈高楼平地起，这个环节就是打地基.当然，如果课都听不懂，那就要高度警惕了：是老师表达能力太差还是自己接受能力不好呢？还有童鞋说，不会的题我看看答案也看懂了，可是自己怎么就想不到呢？这依然属于”懂“的层次.有老师或者答案给你一个逻辑切入点，带着你往前走，最后你到了目的地.于是，你说了：这题也不难吗，我好像也能做.这是幻觉，不信换道同类型的题试试？会.会指的是没有老师指导，无同学帮助，无答案提示，不参考笔记的情况下，你自己能独立地完成解题.这个层次意味着你找到了解决问题的入口，能够清楚往下走的流程，并且顺利到达目的地.熟.在”会“的前提下，加入了解题速度的要求.一道题无时间限制，你能慢悠悠地想，慢悠悠地写，慢悠悠的算，还能检查.显然，这不是考试的状态.考试都是限时的，要求你在短时间内拟定思路、准确运算、规范表达.这就是好多童鞋的感慨：我感觉都会呀，怎么一考试都不得分呢？你是不是在时间紧迫的时候就慌了，一慌就漏洞百出了？巧.巧指的是你能从不同角度观察和分析同一道题，能够在多个解法之中选择最优解法.在限定时间内，能够准确审题，判断解法的优劣并顺利执行，的确需要相当的积累.通.武侠小说里讲的打通任督二脉，大约就是这样的状态吧.通的主要表现就是数学知识、数学方法、数学思想之间能够快速建立联系、无障碍切换.亲爱的朋友们，你在哪一层呢？可以肯定地讲，到达”熟“这个层次，高考数学就到了120分以上.。
大乘数学三境界
大乘数学三境界数学= 小乘数学+ 大乘数学。
小乘数学= 推理+计算，大乘数学= 哲学+艺术。
小乘数学是术，大乘数学是道；小乘数学是剑招，大乘数学是剑意；小乘数学是科学的工具，大乘数学是科学的女王。
治大乘数学经历三种境界。
苏武慢仙峰绝壁，攀登无数，往往到头虚老；支离破碎，细微末节，多少青春废了；鲸吞碧海，芥纳须弥，中西合璧最好，只凭这微分代数，消融那纤维同调；谁听得，千尺崖前，百丈悬冰，杜宇一声春晓？黑洞路远，夸克关深，行人原自稀少；体系我立，定理自出，此心可通天道；寻根本，识破源流，自有人间真宝。
此乃第一境界。
声声慢寻寻觅觅，冷冷清清，寂寂寞寞依依，万水千山独行，登天有计，有我美梦做伴，怎怕他晚来风急，我来也，正悦目，别有一番天地。
满室书本堆积，翻阅尽，查找蛛丝马迹，中西合璧，探索数学真谛，春风化物细雨，会心处点点滴滴，这次第，唯极乐差可比拟。
此乃第二境界。
寻寻觅觅，冷冷清清，寂寂寞寞依依。
万水千山独行，登天有计。
这是一条神奇的天路，用中国数学传统文化破解数学七十二绝技。
一、学数参禅学数浑似学参禅，一经领悟便超然。
五灯会元东方亮，光芒四射照人间。
破除迷信，张扬自我，众生平等，皆可成佛；解粘去缚，方便接引，就近取譬，随机化寻；真参实证，圆融无碍，以心传心，心心相印；因缘契合，自悟本心，明心见性，见性成佛。
禅是穷理尽性之学。
穷理于事物始生之处，研几于心意初动之时。
禅者，意也，以人意会天意，以己意会大师之意，禅的真理以心传心，心灵相通时方可传授。
禅师接引学人，讲求心心相印，因缘相契，以心传心，啐啄同时。
灵犀相通才称得上因缘相契。
禅是看入自己生命本性的艺术，从枷锁到自由的道路。
禅的真理把单调乏味的生活，索然平凡的生命，变为充满真实内容的创造性真理。
做学问是一种精神统一的修行，面壁就是面书壁，在精神上创造自己理想的世界。
疑生滞，通破疑，疑被通破则无可生滞。
禅宗张扬自我，崇尚自我，使学人确立自信，崇拜自我，打破外在权威，敢于作祖成佛。
《高等数学》第一课
《⾼等数学》第⼀课更多、更好资源和精彩⽂章请参见本⽂结尾给出的推荐阅读列表注重⼤学数学特点初等数学的研究对象基本上是不变的量，⽽⾼等数学中研究对象则是变动的量．函数关系就是变量之间的依赖关系，极限⽅法是研究变量的⼀种基本⽅法，也是⾼等数学研究的基本⼯具与⼿段．⼤学数学有以下三个显著特点。
（⼀）精确性数学从诞⽣之⽇起，以严密、简洁、精确⽽著称。
⽽《⾼等数学》（也称分析数学），更是集中体现了这⼀风格，整个分析数学都建⽴在极限的精确语⾔ε-N语⾔与ε-δ语⾔之上。
这两个语⾔的精确性，可以说是字字千⾦。
（⼆）抽象性⾼等数学中的⼀些概念具有⼀定的抽象性，如极限、可导、可积等概念。
设想⼀下，如果数学没有了抽象性，总是就⼀个问题研究⼀个问题，那么数学的发展不可能有今天这样繁荣，那么数学科学可能就成了⼀本厚厚的习题解。
（三）技巧性必须指出，任何⾼超的技巧离不开基本理论、基本思想与运算技能的辅助。
学习的境界有⼈研究孔⼦关于学习的论述，发现了学习的三境界：第⼀境界是“知之”；第⼆境界是“好之”；第三境界是“乐之”。
有的把读书三境界归纳成：为知、为⼰、为⼈三境。
有⼈⽤充满禅机语⾔来说明：第⼀境界是“看⼭是⼭，看⽔是⽔”；第⼆境界是“看⼭不是⼭，看⽔不是⽔”；第三境界是“看⼭还是⼭，看⽔还是⽔”。
也有把三境界引为企业家之⼤境界：第⼀境界是“⼤智慧”；第⼆境界是“⼤抱负”；第三境界是“⼤⼿笔”。
林林总总的三境界就是要告诉我们：第⼀要⽴志，要确⽴⼈⽣⽬标；第⼆要为实现⽬标⽽锲⽽不舍的奋⽃；第三是功夫不负有⼼⼈，最后⼀定会成功。
如何学习⾼等数学相关推荐。
学好数学的三个阶段
学好数学的三个阶段华罗庚先生在谈及数学研究时,提到了三种境界:1、依葫芦画瓢地模仿；2、利用现成的方法解决新的问题；3、提出新的思路,创造新的方法。
这对于数学的学习也是很有启发的。
数学学习的境界也可分为三个阶段：第一阶段：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
很多同学在课堂上听懂老师讲的题目之后，立刻做题，遇到不会做的地方再拿出书翻开看看，接着再做，如此反复。
这样的结果就是再遇到类似的题目，仍然束手无策，无从下手。
为什么呢？数学的学习与其他学科不同，要想真正领悟其中奥妙，首先要把书上的每一条定义、定理、公式等理会深透，绝不仅仅是一个结论。
所以，要先把其中的内涵吃透，就不会“不识庐山真面目”了。
第二阶段：欲穷千里目，更上一层楼。
数学的学习，听懂了并不意味着学会了。
听懂了只是听懂老师的解题思路，而真正意义上的学会了是不仅能正确领会老师的解题意图，而且能从老师的思路中归纳出一类方法为自己所用。
有些同学仅限于完成老师的作业，满足于跟在老师的后面，亦步亦趋，而自己不做任何的提高。
只有走在老师的前面，时时为自己的提高留足充分空间的学生才能凭借自己的实力跃上一个新层次！第三阶段：蓦然回首，却在灯火阑珊处。
经常有同学问“为什么我（的孩子）在数学上花了那么多的时间，做了那么多的题，成绩就是不见提高呢？”原因何在？首先，问题出在做题上。
有些学生、家长一看数学成绩不好，马上去书店买回一堆习题集开始做，做完这本做那本，一本连着一本，力求以做题的数量取胜。
这是错误的。
一本好的习题集都有它自己的知识结构，都会有一个由浅入深、由单一知识点向多个知识点综合的渐变过程，也就是梯度变化。
所以在做题时首先要对练习册进行认真选择，质量不高的书宁愿舍弃。
一旦选定一种练习册，就应该狠抓落实。
一定要动手，在动手的过程中既能发现隐藏的问题，又能使自己的思维集中，很多学生学数学不动手，看似用了很长时间，其实效果很差；一定要抓住错误不放松，错误的出现正是问题的暴露，改过来了也就提高了一步，所以在学数学时要舍得花时间改正错题。
刍议数学自主学习的三重境界
元。 （ ２） ， 元 角 ，还可 以完写成 元。 通过这样 的系列训 练 ，学生 习得 知识 ，能力得 到了提高 ， 形成一定 的数学 素养 。同时审题 能力 、技 巧得 到发展 ，动手操 作能力增强 。在操作 的过程 中 ，学生感受 到知识 的来龙 去脉 。 逐渐地 由具体形象思维 向抽象思 维过 渡。思维 习惯得到 了锻炼 ，
思 维 品质 得 到 提 高 。 二 、会 学—— 学生主动探 学。 学生 会学不是教 师教 出来 的 ，是主动 习得 知识 ，是靠 学生 在 一 系列 学 习活动 中独 立思 考或 与他 人合 作 获得 的知识 及 本
领 。要 求教师根 据教学 内容 与学生实际情况 ，选用指导 自学与 适时 点拨相结合 、直观演示 与学生动手操作 相结合 、个人 思考 与小组学 习相结合等方法 ，让每个学生 “ 动”起来 。 例如 ：苏教版 四下 因数 和倍数一课 自主学 习案 （ 部分 ） 。 学 习提示语 ：数学知识 ，一般都是从概念学 习起 。 我们先来学 习概念 ：倍数和 因数 。课 内小组合作完成 。 １ ． 阅读课 本第 ７ ０和 ７ １ 页内容 ， 按 照课 本上 要求 做一 做（ 用 ｌ ２个 同样 的小 正方形 片拼成一个 长方形或 正方形等 ） ， 再完 成下 作者简介 ：朱从宝 ，男 ，中高，从事小学数学教学工作 ３ ０年。
【 关键词 】自 主 学习 境界
自主学习方式 ，是提高学 生 自学能力 的重要途径 和方 法 ， 有利 于培养学 生 良好 的学 习习惯 ，激发学 习的 内在潜力 。 自主 学 习方式 ，是解放教师 ，不再 “ 填鸭 ” ，释放学生学习潜能的实 践过 程 。 自主学习方式 ，有 利于激发学 生的学习热情 ，提高学 习的积极性 和主动性 ，能够 为学生一生学 习和成长打好 坚实的
数学解题教学中的三境界:“真”、“善”、“美”
数学解题教学中的三境界：“真”、“善”、“美”经中进【期刊名称】《上海中学数学》【年(卷),期】2015(000)007【总页数】4页(P76-78,80)【作者】经中进【作者单位】211800 江苏省江浦高级中学【正文语种】中文著名数学家怀特海说过:“数学是真善美的统一.”“真善美”是一种大智慧，一门大学问.数学的真善美，既是数学研究中的重要领域，也是数学探索中追求的一个目标，还是数学待以发展的重要原动力.笔者将“真”“善”“美”作为习题教学的三个境界，结合教学实践探讨例题教学。
教学实际中，对于教师讲的很多题目，学生以为自己都懂了，但把题目稍微变化下就不会了，或者遇到相关题目，不知道从什么角度去思考问题，其实都不是真“懂”真“会”.原因之一，学习者不求甚解，不重视对发现过程、探索过程去反思，没能领悟出问题本质.原因之二，教师没能结合学生认知水平去深入研究问题，不能让学生充分地理解知识的内涵，课堂教学没能深刻地揭示出问题本质特性。
1.1 暴露思维错中求真例1 已知a>0,b>0，且a+b=1，则的最小值为．生1：∵，∴。
生。
生。
展示完上述三种解法，笔者提醒大家注意“一正二定三相等”原则，让学生上黑板补充写上“三相等”，结果发现都取不到等号。
师：一经“三相等”检验时，发现都求错了.所以，只要用到基本不等式的地方，“三相等”步骤一定要写.那么到底怎样求呢？学生沉思。
师：其实生3的解法有可取的地方。
-2.除了最后一个不等式用错了，前面的变形演算都是正确的，而且取得了很大的进展，成功地将项数减少至三项(其中有一项还为常数项-2)，只需关注的最小值即可.虽然用不了基本不等式，但是可以用函数单调性。
生4：设)，可证在单调递减，则，所以的最小值为，从而的最小值为。
说明：本道题还可以用均值代换法、三角换元法等。
1.2 层次理解调控方向例2设等差数列{an}满足以下等式=1，公差d∈(-1,0).若当且仅当n=9时，数列的前n项和Sn取最大值，则首项a1取值范围为．本题是上课时的一道例题，当时很多学生拿到题目，不知如何下手.教师启发学生整合信息，发现条件间有层次性、递进性.学生就很自然地想到先从“当且仅当n=9时，数列的前n项和Sn取最大值”这个条件入手.于是有了下面两种处理方式。
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论学习数学的三种境界
清代词学家王国维曾在《人间词话》说：“古今成大事业大学问者，必经过三种境界：…昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路.‟此第一境也. …衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴.‟此第二境也. …众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.‟此第三境也。
”其实不但做大学问的人要经过这样三种境界，对于我们每一个人来讲，也是能达到这样三种境界的。
比如我们学习数学，我认为也应该经历类似的三种境界：
一、做数学.数学光看不做是不行的，结果就犹如入宝山而空手返。
数学必须得亲自去做才能巩固所学的知识，才能将书本知识化为独立解决问题的能力，才能提高成绩。
无论是作为学生或老师，还是作为数学家都必须经历长时间地去“做数学”这一关.这正是所谓第一境界“昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路”吗？但数学光靠做题还是不行的，因为我们学习过程中不能老搞题海战，原因是一方面这样做我们没有这么多的时间；另一方面是我们会因此失去更多的思考的时间，失去“研究数学”的机会。
二、研究数学.有人看到“研究”这两个字就害怕了，认为“研究数学”只有数学家才能做到的。
其实不然，正如自然的美景对于所有的人都是开放的，数学王国的奇妙也绝对不是几个“数学家们”的特权！只要你善于独立思考，善于发现问题并勇于质疑，并想办法解决它，那么你就是在“研究数学”；只要你对数学抱有浓厚的兴趣，甚至如痴如醉，并坚持不懈地去探究数学世界的奥秘，那么你就是在“研究数学”；如果你善于运用数学的眼光看生活，用数学的眼光看世界，那么你就是在“研究数学”！而“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”揭示的就是这种境界.其实我们每个人都可以研究数学，并且我们每个人都可以做出前无古人的发现！发现无处不在！有的同学可能会问我们怎样研究数学呢？其实“研究数学”并不高深，而且还是有规律可寻的，我们只需要掌握几种思考问题的思维方式就可以研究数学了。
首先我们可以将问题“倒过来”想。
比如一道几何题，都有题设和结论的，假如题设和结论互换一下将会怎样呢？是否成立？每一个数学题都可以这样想的。
如果做完题在反思的时候，倒过来这样一想，说不定你可以发现什么新定理呢！在这儿我举一个例子吧，大家都很熟悉“等腰三角形的两底角平分线相等”，当然证明这个命题也很简单，只需要利用两个三角形全等即可证明.可是我们如果倒过来想的话就会得到这样一个命题：“如果三角形的两个角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形.”这个命题是真还是假呢？其实这个命题早是在1840年，数学家莱默斯（C.L.Lehmus）就提出来了.瑞士几何学家斯坦纳
（J.Steiner,1796~1863）首先给出证明，因而这个命题后来就称为＂斯坦纳—莱默斯定理＂，大家看看是不是觉得这个问题的提出确实很容易呢？其实这样的例子俯首皆是，数不胜数！有时候我们仔细想想，我们做人也应该如此，假如我们和同学或老师之间出现矛盾时，能用这种“倒过来”的思维方式，也即换位思考的方式站在别人的立场上考虑的话，我们就不会有那么多的烦恼了，那么我们的生活其实可以变得更美的！
数学是思维的体操。
生命在于运动，思维的精髓其实也在运动. 让我们思维“动起来”！最精彩的问题来自于运动的观点的运用！比如我们研究几何中的某个原本固定的点，你不妨让这个点运动起来试试看！会出现什么变化？我们大可不必让自己缩手缩脚，眼界开阔些，是否能让这个点运动到该边的延长线或反向延长线呢？甚至整个平面或整个空间上呢？不
想尝试一下吗？现举一个例子，我们知道“等腰三角形底边上一点到两腰的距离和是一个定
值”，这个定值是什么呢？如果我们让这个点动起来，运动到底边一端时就会发现距离和等于一腰上的高！我们再想下去，如果将这个点运动拓展到底边的延长线上的时候，距离和将会怎样呢？还等于一腰上的高吗？如果不相等的话，两个距离以及一腰上的高三者之间还有什么数量关系吗？如果仔细研究，你肯定会发现新的结论！
三、享受数学.其实研究数学的思维方式还有很多，关键在于自己做个细心的人！俗语不是说事事留心皆学问吗？其实这句话也可以改为：事事留心皆数学！如果学习数学时能注重训练自己思维的话，数学就可以使愚钝的人变聪明，聪明的人变得更聪明！如果在做数学的同时能经常反思，你就会从做数学中提高成绩，迷上数学，陶醉在研究数学之中！在研究数学时，有些问题常常让你百思不得其解，但又不忍轻易放弃，苦苦寻觅，使你“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”后，忽然发现方法竟如此之妙！答案如此简单！这不正是感受到“众
里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的心境吗？
数学不仅很有趣的，更是美的！是一种体现我们人类思维之美的科学！如果你能够在“做数学”中发现数学之美，更能在“研究数学”中享受数学之美！这样你就达到了学习数学的第三种境界：最高境界------享受数学！。