特殊四边形培优及答案
特殊四边形练习题及答案
1．如图所示，将一张边长为8的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在BC的中点E处，点A落在点F处，折痕为MN，则线段MN的长为（）
2
A．10 B．45 C．89 D．21
2．如图2，在一张矩形纸片ABCD中，AB=4，BC=8，点E，F分别在AD，BC上，将纸片ABCD沿直线EF折叠，点C落在AD上的一点H处，点D落在点G处，下列结论：①四边形CFHE是菱形；②EC平分∠DCH；③线段BF的取值范围为3≤BF≤4；④当点H与点A重合时，EF=2．其中结论正确的个数是（）．
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
3．如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE．将△ADE沿AE对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连接AG、CF．则下列结论：①△ABG≌△AFG；②BG=CG；
③AG∥CF；④S△EGC=S△AFE；⑤∠AGB+∠AED=145°．其中正确的个数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
4．如图，正方形ABCD的面积为4，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为（）
A．2 B．3 C． D
5．如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为（）
A．5 B．4 C．3 D．2
6．如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为
A1 B．
5 D．
5
2
7．如图，正方形ABCD的边长是4cm，点G在边AB上，以BG为边向外作正方形GBFE，连接AE、AC、CE，则△AEC的面积是 cm2。
8．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是．学校的一块菱形花园两对角线的长分别是6m和8m，则这个花园的面积为．
9．如图，将矩形纸片ABCD折叠，使边AB、CD均落在对角线BD上，得折痕BE、BF，则∠EBF= ．
10．如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为．
11．如图，在矩形ABCD 中，AB=4，BC=6，若点P 在AD 边上，连接BP 、PC ，△BPC 是以PB 为腰的等腰三角形，则PB 的长为 ．
12．如图，菱形ABCD 中，对角线AC=6，BD=8，M 、N 分别是BC 、CD 的中点，P 是线段BD 上的一个动点，则PM+PN 的最小值是 ．
13．在
ABCD 中，ABCD
S
24=，AE 平分∠BAC ，交BC 于E. 沿AE 将△ABE 折叠，点B
的对应点为F ，连结EF 并延长交AD 于G ，EG 将
ABCD 分为面积相等的两部分. 则
ABE S ?= .
14．如图，矩形ABCD 中，AD=10，AB=8，点P 在边CD 上，且BP=BC ，点M 在线段BP 上，点N 在线段BC 的延长线上，且PM=CN ，连接MN 交BP 于点F ，过点M 作ME ⊥CP 于E ，则EF= .
15．如图，已知菱形AMNP 内接于△ABC ，M 、N 、P 分别在AB 、BC 、AC 上，如果AB ＝21 cm ，CA ＝15cm ，求菱形AMNP 的周长.（6分）
变式1图
P
N
M
C B A
16．（本题8分）如图，四边形ABCD 是正方形，BE ⊥BF ，BE=BF ，EF 与BC 交于点G.
（1）求证：ABE CBF △≌△；
（2）若50ABE ∠=°，求EGC ∠的大小．
17．如图，菱形ABCD 中，E 、F 分别是边AD ，CD 上的两个动点（不与菱形的顶点重合），
且满足CF=DE ，∠A=60°．
（1）写出图中一对全等三角形：____________________． （2）求证：△BEF 是等边三角形； （3）若菱形ABCD 的边长为2，设△DEF 的周长为m ，则m 的取值范围为 （直接写出答案）； （4）连接AC 分别与边BE 、BF 交于点M 、N,且∠CBF ＝15o，试说明：222AM CN MN =+ 18．如图所示，点O 是菱形ABCD 对角线的交点，CE ∥BD ，EB ∥AC ，连接OE ，交BC 于F ． （1）求证：OE=CB ；
（2）如果OC: OB=1：2，
ABCD 的面积．
A
D
C
E G
B
F
19．已知：如图，在中，O为对角线BD的中点，过点O的直线EF分别交AD，BC于E，F两点，连结BE，DF．
（1）求证：△DOE≌△BOF．
（2）当∠DOE等于多少度时，四边形BFDE为菱形?请说明理由．
20．如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为D，AE∥BC，DE∥AB．
证明：（1）AE=DC；
（2）四边形ADCE为矩形．
=90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D,交21．如图,已知:在四边形ABFC中，ACB
AB于点E,且CF=AE
（1）试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形;
（2）当∠A的大小满足什么条件时,四边形BECF是正方形?请回答并证明你的结论.（特别提醒:表示角最好用数字）
22．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线BD＝16，点O是直线BD上的动点，OE ⊥AB于E，OF⊥AD于F．
（1）对角线AC的长是，菱形ABCD的面积是；
（2）如图1，当点O在对角线BD上运动时，OE＋OF的值是否发生变化？请说明理由；（3）如图2，当点O在对角线BD的延长线上时，OE＋OF的值是否发生变化？若不变，请说明理由，若变化，请探究OE、OF之间的数量关系，并说明理由．
23．如图，在四边形ABCD 中，点H 是BC 的中点，作射线AH ，在线段AH 及其延长线上分别取点E ，F ，使EH=FH ，连接BE ，CF ． （1）求证：△BEH ≌△CFH ．
（2）当BH 与EH 满足什么关系时，四边形BFCE 是矩形？ 请说明理由．
24．（1）如图，正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，∠EAF=45°，延长CD 到点G ，使DG=BE ，连结EF ，AG ．求证：EF=FG ． （2）如图，等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，点M ，N 在边BC 上，且∠MAN=45°，若BM=1，CN=3，求MN 的长．
25．如图，在正方形ABCD 中，E 、F 分别是AB 、BC 上的点，且AE=BF ．求证：CE=DF ．
图
1
图2
26．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别为AB，AC边上的中点，连接DE，将△ADE绕点E旋转180°得到△CFE，连接AF，AC．
（1）求证：四边形ADCF是菱形；
（2）若BC=8，AC=6，求四边形ABCF的周长．
27．
【问题情境】如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM．
【探究展示】
（1）证明：AM=AD+MC；
（2）AM=DE+BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．
【拓展延伸】
（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）、（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明．
28．如图，矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为32cm，求AE的长．
29．如图，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm．点P从点D出发向点A运动，运动到点A即停止；同时点Q从点B出发向点C运动，运动到点C即停止．点P、Q的速度都是1cm/s．连结PQ，AQ，CP.设点P、Q运动的时间为t（s）.
（1）当t 为何值时，四边形ABQP 是矩形． （2）当t 为何值时，四边形AQCP 是菱形．
（3）分别求出（2）中菱形AQCP 的周长和面积．
30．把一个含45°角的直角三角板BEF 和一个正方形ABCD 摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点B 重合，联结DF ，点M ，N 分别为DF ，EF 的中点，联结MA ，MN ． （1）如图1，点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 上，请判断MA ，MN 的数量关系和位置关系，直接 写出结论；
（2）如图2，点E ，F 分别在正方形的边CB ，AB 的延长线上，其他条件不变，那么你在（1）中得到的两个结论还成立吗？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．
B
F
N
M
E C
D
A F
C
B
E
M
N
A
D
图1 图2
31．如图，已知正方形ABCD ，AC 、BD 相交于点O ，E 为AC 上一点，AH ⊥EB 交EB 于点H ，AH 交BD 于点F ．
（1）若点E 在图1
的位置，判断OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论；
（2）若点E 在AC 的延长线上，请在图2中按题目要求补全图形，判断OE 与OF 的数量关系，并证明你的结论．
32．提出问题：如图1，将三角板放在正方形ABCD 上，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交边DC 与点E ，求证：PB=PE
分析问题：学生甲：如图1，过点P 作PM ⊥BC ，PN ⊥CD ，垂足分别为M ，N 通过证明两三角形全等，进而证明两条线段相等．
学生乙：连接DP ，如图2，很容易证明PD=PB ，然后再通过“等角对等边”证明PE=PD ，就可以证明PB=PE 了．
解决问题：请你选择上述一种方法给予证明．
问题延伸：如图3，移动三角板，使三角板的直角顶点P 在对角线AC 上，一条直角边经过点B ，另一条直角边交DC 的延长线于点E ，PB=PE 还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．
33．如图1，在正方形ABCD 中，E 是AB 上一点，F 是AD 延长线上一点，且DF=BE ． （1）求证：CE=CF ；
（2）在图1中，若G 在AD 上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD 成立吗？为什么？ （3）根据你所学的知识，运用（1）、（2）解答中积累的经验，完成下列各题： ①如图2，在直角梯形ABCD 中，AD ∥BC （BC ＞AD ），∠B=90°，AB=BC=12，E 是AB 的中点，且∠DCE=45°，求DE 的长； ②如图3，在△ABC 中，∠BAC=45°，AD ⊥BC ，BD=2，CD=3，则△ABC 的面积为 _________ （直接写出结果，不需要写出计算过程）．
34．在正方形ABCD 中，点F 是BC 延长线上一点，过点B 作BE ⊥DF 于点E ，交CD 于点G ，连接CE.
（1）若正方形ABCD 边长为3，DF=4，求CG 的长； （2）求证：EF+EG=2CE.
35．（1）图①是将线段AB 向右平移1个单位长度，图②是将线段AB 折一下再向右平移
G
E
A
B
C
D
F
1个单位长度，请在图③中画出一条有两个折点的折线向右平移1个单位长度的图形﹒ （2）若长方形的长为a ，宽为b ，请分别写出三个图形中除去阴影部分后剩余部分的面积﹒
（3）如图④，在宽为10m ，长为40m 的长方形菜地上有一条弯曲的小路，小路宽为1m ，求这块菜地的面积﹒
36．如图，菱形ABCD 中，点E,M 在A,D 上，且CD=CM ，点F 为AB 上的点，且∠ECF=12
∠B
（1）若菱形ABCD 的周长为8，且∠D=67.5°，求△MCD 的面积。 （2）求证：BF=EF-EM
37．如图，已知正方形ABCD 的边长是2，E 是AB 的中点，延长BC 到点F 使CF ＝AE ． （1）求证：ADE △≌CDF △．
（2）把DCF △向左平移，使DC 与AB 重合，得ABH △，AH 交ED 于点G ．请判断AH 与ED 的位置关系，并说明理由. （3）求AG 的长．
38．已知正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，点E 、F 分别是OB 、OC 上的动点， （1）如果动点E 、F 满足BE=CF （如图）：
①写出所有以点E 或F 为顶点的全等三角形（不得添加辅助线）； ②证明：AE ⊥BF ；
（2）如果动点E 、F 满足BE=OF （如图），问当AE ⊥BF 时，点E 在什么位置，并证明你的结论．
G
F
H E
D
A
B
C
39．如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AC=12cm，点E从点A出发沿AB以每秒1cm的速度向点B运动，同时点D从点C出发沿CA以每秒2cm的速度向点A运动，运动时间为t秒（0＜t＜6），过点D作DF⊥BC 于点F．
（1）试用含t的式子表示AE、AD的长；
（2）如图①，在D、E运动的过程中，四边形AEFD是平行四边形，请说明理由；
（3）如图②，连接DE，当t为何值时，△DEF为直角三角形？
（4）如图③，将△ADE沿DE翻折得到△A′DE，试问当t为何值时，四边形AEA′D为菱形？
40．如图，M、N是正方形ABCD边AB、CD上两动点，连接MN，将四边形BCNM沿MN折叠，使点B落在AD边上点E处、点C落在点F.
（1）求证：BE平分∠AEF；
（2）求证：C△EDG=2AB（注：C△EDG表示△EDG的周长）
41．如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB=6cm，AD=2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/ 秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/ 秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动。设运动的时间为t ，问：
（1）当t=1秒时，四边形BCQP面积是多少？
（2）当t 为何值时，点P 和点Q 距离是3cm ？
（3）当t= 时， 以点P 、Q 、D 为顶点的三角形是等腰三角形.（直接写出答案）
42．如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ． （1）求证：①△ABG ≌△AFG ； ②BG ＝GC ； （2）求△FGC 的面积.
A
B C D E F
G
参考答案
1．B 【解析】
试题分析：如图，连接ME ，作MP ⊥CD 交CD 于点P ，
由四边形ABCD 是正方形及折叠性知，AM=MF ，EN=DF ，EF=ND ，∠MFE=∠BAD=90°，
在Rt △ECN 中，CE 2+CN 2=EN 2
， ∵AB=BC=CD=DA=8，E 为BC 的中点 ∴CE=4， ∴42+CN 2=（8-CN ）2 解得CN=3，
在Rt △MFE 中，MF 2+FE 2=ME 2
，
在Rt △MBE 中，BE 2+BM 2=ME 2
，
∴MF 2+FE 2=BE 2+BM 2
，
∴MF 2+82=42+（8-MF ）2
解得，MF=1， ∴AM=PD=1，
∴NP=CD-CN-PD=8-3-1=4，
在Rt △MPN 中，MN=54482222=+=+PN MP
故选：B ．
考点：1、翻折变换（折叠问题）；2、勾股定理． 2．C 【解析】
试题分析：先判断出四边形CFHE 是平行四边形，再根据翻折的性质可得CF=FH ，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出①正确；根据菱形的对角线平分一组对角线可得∠BCH=∠ECH ，然后求出只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，判断出②错误；点H 与点A 重合时，设BF=x ，表示出AF=FC=8-x ，利用勾股定理列出方程求解得到BF 的最小值，点G 与点D 重合时，CF=CD ，求出BF=4，然后写出BF 的取值范围，判断出③正确；过点F 作FM ⊥AD 于M ，求出ME ，再利用勾股定理列式求解得到EF ，判断出④正确． ∵FH 与CG ，EH 与CF 都是矩形ABCD 的对边AD 、BC 的一部分， ∴FH ∥CG ，EH ∥CF ，
∴四边形CFHE 是平行四边形， 由翻折的性质得，CF=FH ， ∴四边形CFHE 是菱形，（故①正确）； ∴∠BCH=∠ECH ，
∴只有∠DCE=30°时EC 平分∠DCH ，（故②错误）； 点H 与点A 重合时，设BF=x ，则AF=FC=8-x ，
在Rt △ABF 中，AB 2+BF 2=AF 2
，
即42+x 2=（8-x ）2
， 解得x=3，
点G 与点D 重合时，CF=CD=4， ∴BF=4，
∴线段BF 的取值范围为3≤BF ≤4，（故③正确）；
过点F 作FM ⊥AD 于M ， 则ME=（8-3）-3=2， 由勾股定理得， EF=5224222
2
=+=
+ME MF ，
（故④正确）； 综上所述，结论正确的有①③④共3个．
故选：C ．
考点：1.翻折变换（折叠问题）；2.勾股定理的应用；3.菱形的判定与性质． 3．C 【解析】
试题分析：解：①正确． 理由：
∵AB=AD=AF ，AG=AG ，∠B=∠AFG=90°， ∴Rt △ABG ≌Rt △AFG （HL ）； ②正确． 理由： EF=DE=
3
1
CD=2，设BG=FG=x ，则CG=6﹣x ． 在直角△ECG 中，根据勾股定理，得（6﹣x ）2
+42
=（x+2）2
， 解得x=3．
∴BG=3=6﹣3=GC ； ③正确． 理由：
∵CG=BG ，BG=GF ， ∴CG=GF ，
∴△FGC 是等腰三角形，∠GFC=∠GCF ． 又∵Rt △ABG ≌Rt △AFG ；
∴∠AGB=∠AGF ，∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°﹣∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF ， ∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF ，
∴AG ∥CF ； ④正确． 理由：
∵S △GCE =
21GC ?CE=21
×3×4=6， ∵S △AFE =21AF ?EF=2
1
×6×2=6，
∴S △EGC =S △AFE ；
⑤错误．
∵∠BAG=∠FAG ，∠DAE=∠FAE ， 又∵∠BAD=90°， ∴∠GAF=45°，
∴∠AGB+∠AED=180°﹣∠GAF=135°． 故选：C ．
考点：1、翻折变换（折叠问题）；2、全等三角形的判定与性质；3、正方形的性质；4、勾股定理 4．A ． 【解析】
试题分析：连接BD ，与AC 交于点F ．
∵点B 与D 关于AC 对称， ∴PD=PB ，
∴PD+PE=PB+PE=BE 最小． ∵正方形ABCD 的面积为4， ∴AB=2．
又∵△ABE 是等边三角形， ∴BE=AB=2．
∴所求最小值为2． 故选A ．
考点：1.轴对称-最短路线问题；2.正方形的性质． 5．B 【解析】
试题分析：如图，过点O 作OM ⊥CE 于M ，作ON ⊥DE 交ED 的延长线于N ，
∵∠CED=90°，
∴四边形OMEN 是矩形， ∴∠MON=90°，
∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠COD=90° OC=OD ，
∴∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM ， ∴∠COM=∠DON ，
又∵∠N=∠CMO=90°， ∴△COM ≌△DON （AAS ）， ∴OM=ON ，
∴四边形OMEN 是正方形，
设正方形ABCD 的边长为2a ，则OC=OD=2
2
×2a=2a ， ∵∠CED=90°，∠DCE=30°， ∴DE=
2
1
CD=a ， ∴CE=()a a a DE CD 322
22
2
=-=
-，
∴S 四边形OCED =
21a ?3a+21?（2a ）?（2a ）=2
1
×（226+）2，
∴a 2
=1，
∴S 正方形ABCD =（2a ）2=4a 2
=4×1=4． 故选B ．
考点：1、正方形的性质；2、全等三角形的判定与性质；3、勾股定理． 6．A
【解析】如图，取AB 的中点E ，连接OE 、DE 、OD ，
∵OD≤OE+DE，
∴当O 、D 、E 三点共线时，点D 到点O 的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1，∴OE=AE=1
2
AB=1。
DE==
==
∴OD 1。故选A 。
考点：矩形的性质，直角三角形斜边上的中线性质，三角形三边关系，勾股定理。
7．8
【解析】
试题分析：如图，把图形补全成矩形，设正方形GBFE的边长为x，求出矩形HFCD的面积等
于4（x+4），再求出△EFC、△ACD、△AHE的面积分别为x（x+4）、×4×4、x（4﹣x），△AEC的面积等于矩形HFCD的面积减去△EFC、△ACD、△AHE的面积，整理即可。
如图，图形补全成矩形HFCD，设正方形GBFE的边长为x，则
S矩形HFCD=4（x+4），S△EFC=x（x+4）、S△ACD=×4×4、S△AHE=x（4﹣x），
∵△AEC的面积=S矩形HFCD﹣S△EFC﹣S△ACD﹣S△AHE，
=4（x+4）﹣x（x+4）﹣×4×4﹣x（4﹣x），
=4x+8﹣x（x+4+4﹣x），
=8cm2。
故答案为：8
考点：1.正方形的性质；2.三角形的面积。
8．菱形，24m2．
【解析】
试题分析：如答图，矩形ABCD中，点A、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接AC、BD，
在△ABD中，∵AH=HD，AE=EB，∴EH=1
2BD．
同理FG=1
2BD，HG=
1
2AC，EF=
1
2AC．
又∵在矩形ABCD中，AC=BD，∴EH=HG=GF=FE．∴四边形EFGH为菱形．
∴这个花园的面积是1
2×6m×8m=24m2．
考点：1．矩形的性质；2．三角形中位线定理；3．菱形的判定与性质． 9．45°． 【解析】
试题分析：∵四边形ABCD 是矩形， ∴∠ABC=90°．
根据折叠可得∠ABE=∠EBD=12∠ABD ，∠DBF=∠FBC=1
2∠DBC ，
∵∠ABE+∠EBD+∠DBF+∠FBC=∠ABC=90°， ∴∠EBD+∠DBF=45°，即∠EBF=45°． 考点：1．翻折变换（折叠问题）；2．矩形的性质． 10．5 【解析】
试题分析：∵四边形ABCD 是正方形，AC 为对角线， ∴∠AFE=45°， 又∵EF ⊥AC ，
∴∠AFE=90°，∠AEF=45°， ∴EF=AF=3，
∵△EFC 的周长为12， ∴FC=12﹣3﹣EC=9﹣EC ，
在RT △EFC 中，EC 2=EF 2+FC 2
，
∴EC 2=9+（9﹣EC ）2
， 解得EC=5．
考点：1、正方形的性质；2、勾股定理；3、等腰直角三角形． 11．5或6 【解析】
试题分析：如图，在矩形ABCD 中，AB=CD=4，BC=AD=6．
如图1，当PB=PC 时，点P 是BC 的中垂线与AD 的交点，则AP=DP=2
1
AD=3． 在Rt △ABP 中，由勾股定理得 PB=
5432222=+=+AB AP ；
如图2，当BP=BC=6时，△BPC 也是以PB 为腰的等腰三角形． 综上所述，PB 的长度是5或6．
考点：1、矩形的性质；2、等腰三角形的判定；3、勾股定理 12．5 【解析】
试题分析：作M 关于BD 的对称点Q ，连接NQ ，交BD 于P ，连接MP ，此时MP+NP 的值最小，连接AC ，
∵四边形ABCD 是菱形， ∴AC ⊥BD ，∠QBP=∠MBP ， 即Q 在AB 上， ∵MQ ⊥BD ， ∴AC ∥MQ ，
∵M 为BC 中点， ∴Q 为AB 中点，
∵N 为CD 中点，四边形ABCD 是菱形， ∴BQ ∥CD ，BQ=CN ，
∴四边形BQNC 是平行四边形， ∴NQ=BC ，
∵四边形ABCD 是菱形， ∴CP=
21AC=3，BP=2
1
BD=4， 在Rt △BPC 中，由勾股定理得：BC=5， 即NQ=5，
∴MP+NP=QP+NP=QN=5，
考点： 1、菱形的性质；2、轴对称-最短路线问题 13．4. 【解析】
试题分析：根据题意，AE 平分∠BAC ，交BC 于E ，沿AE 将△ABE 折叠，点B 的对应点为F ， ∴点F 在对角线AC 上，且ABE AFE S S ??=.
∵EG 将ABCD 分为面积相等的两部分， ∴点F 为对角线AC 的中点. ∴AFE CFE S S ??=（等底同高）. ∵ABCD
S
24=，∴ABE AFE CFE ABC ABCD
11
1
S S S S S
24436
6
????=====?=.
考点：1.折叠问题；2.平行四边形的性质；3. 折叠对称的性质. 14
．
【解析】
试题分析：通过作平行线构造全等，然后运用三角形全等及等腰三角形的性质即可推出EF 是PB 的一半，只需求出PB 长就可以求出EF 长． 试题解析：作MQ ∥AN ，交PB 于点Q ，如图．
∵AP=AB ，MQ ∥AN ，
∴∠APB=∠ABP ，∠ABP=∠MQP ． ∴∠APB=∠MQP ． ∴MP=MQ ．
∵MP=MQ ，ME ⊥PQ ， ∴PE=EQ=
1
2
PQ ． ∵BN=PM ，MP=MQ ， ∴BN=QM ． ∵MQ ∥AN ，
∴∠QMF=∠BNF ． 在△MFQ 和△NFB 中，
QMF BNF QFM BFN QM BN ∠=∠∠=∠=??
???
∴△MFQ ≌△NFB ．
三角形培优训练100题集锦
E D F C B A 三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围. 2、如图，△ABC中，E、F分别在AB、AC上，DE⊥DF，D是中点，试比较BE+CF与EF的大小.
浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练(二)
浙教版八下数学第五章：特殊平行四边形培优训练（二） 一．选择题 1.如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，BC 的垂直平分线EF 交BC 于点D ，交AB 于点E ，且BE=BF ，添加一个条件，仍不能证明四边形BECF 为正方形的是（ D ） A ．BC=AC B ．CF ⊥BF C ．BD=DF D ．AC=BF 2.如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 为边AD 的中点，延长MD 至点E ，使ME=MC ，以DE 为边作正方形DEFG ，点G 在边CD 上，则DG 的长为（ D ） A ．13- B ．35- C ．15+ D ．15- 3.下列命题中，真命题是（ C ） A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相垂直的四边形是菱形 C ．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D ．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 4.如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=80°，AB 的垂直平分线交对角线AC 于点F ，垂足为E ，连接DF ，则∠CDF 等于（ C ） A ．50° B ．60° C ．70° D ．80° 5.如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使点C 和点C′重合，若AB=2，则C′D 的长为（ B ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6.如图，在△ABC 中，AC=BC ，点D 、E 分别是边AB 、AC 的中点，将△ADE 绕点E 旋转180°得△CFE ，则四边形ADCF 一定是（ A ） A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 梯形 7.如图，在?ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF ．则四边形AECF 是（ C ） A.梯形 B. 矩形 C. 菱形 D. 正方形 8.如图，正方形ABCD 中，点E 、F 分别在BC 、CD 上，△AEF 是等边三角形，连接AC 交EF 于G ，下列结论：①BE=DF ，②∠DAF=15°，③AC 垂直平分EF ，④BE+DF=EF ，
浙教版八年级上册数学第2章《特殊三角形》培优测试卷及答案
浙教版八年级上册数学第2章《特殊三角形》培优测试卷 考试时间：120分钟满分：120分 一、选择题（本大题有12小题，每小题3分，共36分） 下面每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的. 1.将一根长24cm的筷子置于底面直径为5cm，高为12cm的圆柱水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为h，则h的取值范围是（） A. 12cm≤h≤19cm B. 12cm≤h≤13cm C. 11cm≤h≤12cm D. 5cm≤h≤12cm 2.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周醉算经》中早有记载。如图1，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按图2的方式放置在最大正方形内.若知道图中阴影部分的面积，则一定能求出（） A. 直角三角形的面积 B. 最大正方形的面积 C. 较小两个正方形重叠部分的面积 D. 最大正方形与直角三角形的面积和 （第1题）（第2题）（第3题） 3.如图，在△ABC中，∠ABC=45°，AB=3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE=1，连接DE，将△AED 沿直线沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得到△AEF，连接DF，过点D作DG⊥DE交BE于点G.则四边形DFEG的周长为（） A. 8 B. C. D. . 4.如图，BM是△ABC的角平分线，D是BC边上的一点，连接AD，使AD=DC，且∠BAD=120°，则∠AMB=（） A. 30° B. 25° C. 22.5° D. 20° （第4题）（第5题）（第6题） 5.如图，C为线段AE上一动点（不与A、E重合），在AE同侧分别作等边△ABC和等边△CDE，AD 与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ，以下五个结论：①AD=BE； ②PQ∥AE；③CP=CQ；④BO=OE；⑤∠AOB=60°，恒成立的结论有（） A. ①③⑤ B. ①③④⑤ C. ①②③⑤ D. ①②③④⑤ 6.如图，已知AB=A1B，A1B1=A1A2，A2B2=A2A3，A3B3=A3A4…，若∠A=70°，则∠A n﹣1A n B n﹣1（n＞2）的度数为（） A. B. C. D. 7.如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点得△ABC，则AC边上的高是（）． A. B. C. D. 8.如图，在Rt△ABC中，∠CBA=90°，∠CAB的角平分线AP和∠ACB外角的平分线CF相交于点D，AD交CB于点P，CF交AB的延长线于点F，过点D作DE⊥CF交CB的延长线于点G，交AB的延长
特殊的平行四边形培优测试
1．下列说法正确的有（） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形②对角线相等的四边形是矩形 ③对角线互相垂直的四边形是菱形④对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形⑤对角线相等的平行四边形是矩形 2．若一个多边形的内角和等于720，则这个多边形的边数是（） 3．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=900；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是 ( ) A、①④?⑥ B、①③?⑤ C、①②?⑥ D、②③?④ 4．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（） 5．菱形的周长为8cm，高为1cm，则菱形两邻角度数比为（） 6．如图边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（）。 7.如图，菱形OABC的一边OA在x轴上，将菱形OABC绕原点 O顺时针旋转75°至OA’B’C’的位置.若OB=C=120°，则点B’的坐标为 . 8.如图，点P是矩形ABCD的边AD的一个动点，矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，那么点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是． 6题图7题图8题图 9.如图,E为正方形ABCD的边AB上的一点,AE=3,BE=1,P为AC上的动点,则PB+PE的最小值为_________. 10.如图：菱形ABCD中，AB=2，∠B=120°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是_________ ． 11.如图，菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，M、N分别是BC、CD的中点，P是线段BD上的一个动点，则PM+PN 的最小值是．
金老师教育-中考数学总复习：28特殊三角形--知识讲解(附培优提高题练习含答案解析)
中考总复习：特殊三角形—知识讲解（提高） 【考纲要求】 【高清课堂：等腰三角形与直角三角形考纲要求】 1．了解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的概念，会识别这三种图形；理解等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定． 2. 能用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的性质和判定解决简单问题． 3. 会运用等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识解决有关问题． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、等腰三角形 1.等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 2．性质： (1)具有三角形的一切性质； (2)两底角相等(等边对等角)； (3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)； (4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°． 要点诠释：等边三角形中高线，中线，角平分线三线合一，共有三条. 3．判定： (1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)； (2)三个角都相等的三角形是等边三角形； (3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形． 要点诠释： (1)腰、底、顶角、底角是等腰三角形特有的概念； (2)等边三角形是特殊的等腰三角形． 考点二、直角三角形 1.直角三角形：有一个角是直角的三角形叫做直角三角形． 2．性质： (1)直角三角形中两锐角互余； (2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半； (3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°； (4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； (5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形；
一次函数与特殊四边形的存在性问题(培优拓展)
一次函数与特殊四边形的存在性问题 （培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） （2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由．
3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点． （1）试说明CE平分∠BED； （2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动． （1）当OA=时，求点C的坐标． （2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积． （3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
特殊四边形培优习题精选(适合家教)
《特殊四边形习题精选》 1、矩形ABCD 的对角线相交于O ,AE 平分∠BAD 交BC 于E ,∠CAE=15°,则∠BOE=________° 2、菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ,△AOB 的周长为33 ,∠ABC=60o,则菱形ABCD 的面积为__________ 3、如图,矩形ABCD 长为a ,宽为b ,若s 1=s 2= 21(s 3+s 4,则s 4等于( (A ab 83 (B ab 43 (C ab 32 (D ab 21 4、菱形ABCD 中,∠B=∠EAF=60°,∠BAE=20°,则∠CEF=_________° 5、点M 、N 分别在正方形ABCD 的边CD 、BC 上,,已知△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半,求∠MAN 的度数。 6、如图,将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在点E 处,求证:EF=DF. 7、如图,在平行四边形ABCD 中,BC = 2AB ,E 为BC 的中点,求∠AED 的度数; B C D O E B C D E F S1S2 S4S3B C D E F F E D
C B A 8、如图,以正方形ABCD 的对角线AC 为一边,延长AB 到E ,使AE = AC , 以AE 为一边作菱形AEFC ,若菱形的面积为29,求正方形边长; 9、如图AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线,E 、F 、G 分别是AB 、BC 、AC 的中点,求证:四边形EDGF 是等腰梯形; 10、如图1,正方形ABCD 边长为1,G 为CD 边上的一个动点(点G 与C 、D 不重合,以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ,连接DE 交BG 的延长线于点H 。 (1求证:①△BCG ≌△DCE ;②BH ⊥DE 。 (2当点G 运动到什么位置时,BH 垂直平分DE ?请说明理由。 11、如图,正方形ABCD 中,过D 做DE ∥AC ,∠ACE =30°,CE 交AD 于点F ,求证:AE = AF ;
四边形培优题
四边形培优题 1、矩形ABCD 的两条对角线相交于点O ，，AD=2，则AC 的长是（ ） 2、顺次连接矩形四边中点所得四边形是（ ） 3、如图，在矩形ABCD 中，AB =2，BC =4，对角线AC 的垂直平分线分别交AD 、AC 于点E 、O ，连接CE ，则CE 的长为（ ） 3题 4、如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） 5、 如图，CD 与BE 互相垂直平分，AD ⊥DB ,∠BDE =700，则∠CAD = 0. 6、如图1，在矩形ABCD 中，动点P 从点B 出发，沿BC ，CD ，DA 运动至点A 停止．设点P 运动的路程为x ，△ABP 的面积为y ，如果y 关于x 的函数图象如图2所示，则△ABC 的面积是（ ） 7、如图，O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点，M 是AD 的中点，若AB=5，AD=12，则四边形ABOM 的周长为__________ 8、如图，在给定的一张平行四边形纸片上作一个菱形．甲、乙两人的作法如下： 甲：连接AC ，作AC 的垂直平分线MN 分别交AD ，AC ，BC 于M ，O ，N ，连接AN ，CM ，则四边形ANCM 是菱形．乙：分别作∠A ，∠B 的平分线AE ，BF ，分别交BC ，AD 于E ，F ，连接EF ，则四边形ABEF 是菱形．根据两人的作法可判断（ ） A ． 甲正确，乙错误 B ． 乙正确，甲错误 C ． 甲、乙均正确 D ． 甲、乙均错误 9、（2013?河南）如图，矩形ABCD 中，AB =3，BC =4，点 E 是BC 边上一点，连接AE ，把∠B 60AOD ∠=A B C D E O y x 图 1 O D C P 4 9 图 2 N M F E D C B A 4题
培优专题等腰三角形含答案
9、等腰三角形【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC中，D是AC的中点，E为BC 延长线上一点，且CE＝CD，DM⊥BC，垂足为M。求证：M是BE的中点。 分析：欲证M是BE的中点，已知DM⊥BC，所以想到连结BD，证 1∠ABC，而由CE＝CD，BD＝ED。因为△ABC是等边三角形，∠DBE＝ 2 1∠ACB，所以∠1＝∠E，从而问题得证。 又可证∠E＝ 2 证明：因为三角形ABC是等边三角形，D是AC的中点
平行四边形培优讲义新打印版
平行四边形培优讲义新 打印版 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
平边四边形知识点 一．知识框架 二．知识概念 平行四边的定义：两线对边分别平行的四边形叫做平行四边形，平行四边形不相邻的两顶点连成的线段叫做它的对角线。 平行四边形的性质：平行四边形的对边相等,对角相等,对角线互相平分。 平行四边形的判别方法： 两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 两条对角线互相平分的四边形是平行四边形。 三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半。 矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫矩形。矩形是特殊的平行四边形。 矩形的性质：具有平行四边形的性质，且对角线相等，四个角都是直角。（矩形是轴对称图形，有两条对称轴） 矩形的判定：有一个内角是直角的平行四边形叫矩形(根据定义)。 对角线相等的平行四边形是矩形。 四个角都相等的四边形是矩形。 推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 菱形的定义：一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 菱形的性质：具有平行四边形的性质,且四条边都相等,两条对角线互相垂直平分,每一条对角线平分一组对角。 菱形的判别方法：一组邻边相等的平行四边形是菱形。 对角线互相垂直的平行四边形是菱形。 四条边都相等的四边形是菱形。 S菱形=1/2×ab（a、b为两条对角线）或底×高 正方形的定义：一组邻边相等的矩形叫做正方形。 正方形的性质：正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质。（正方形是轴对称图形，有四条对称轴） 正方形常用的判定： 有一个内角是直角的菱形是正方形； 邻边相等的矩形是正方形；
三角形培优解析
有同学问我：“我听课能听懂，但是不会做题，这是怎么回事？”其实这样的同学大多数问题就出在这里：(1)你只听懂了浅层次的知识，没有深入，所掌握的东西达不到应用的高度；(2)有的同学浅尝辄止，会了一点就认为都会了，比如一个例题老师讲3种方法，他听懂一种就不再听其他解法了；(3)听懂了知识，但是没记住，或没弄明白怎么应用；(4)缺乏数学思想和数学方法的指导，像方程思想、分类讨论思想等都是重要的数学思想和方法；另外，还有些同学因为信心不足，认为数学很难，没有兴趣学，这样就失去了入门的过程，因此更没法深入。 知识点透析： 一.三角形的有关概念 1.三角形的概念包涵三层含义： （1）不在同一条直线上；（2）三条线段；（3）首尾顺次相连. 2.平时所说的三角形的角是指三角形的内角。 3.在表示三角形时，三个字母没有先后顺序，只要三个字母相同就表示同一个三角形。 二．三角形的分类 1.三角形的两种分类方法是各自独立的，但是同一个三角形可以同属于两种不同类别，例如，等腰直角三角形既是等腰三角形，又是直角三角形。 2.等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形也叫正三角形。 3.在等腰三角形中，若没有指明腰和底边或顶角和底角，则解题时要分类讨论。 三.三角形的高 1.三角形的高是一条线段，即顶点到对边的垂直线段。 2.任意三角形都有三条高。 四．三角形的中线 1.三角形的中线是一条线段，即顶点到其对边中点之间的线段。 2.三角形的一条中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形。 五.三角形的角平分线 1.三角形的角平分线是线段，不是直线，不是射线。 2.一个三角形有三条角平分线，他们在三角形的内部，且交于一点。 六．三角形的稳定性 三角形的稳定性说明三角形三条边的长度确定后，其形状和大小也随之确定。 七．三角形的内角和定理 1.三角形内角和定理适用于任意三角形。 2.在三角形中，已知任意两个角，可以求出第三个角。 3.已知三角形中三个内角的关系，可以求出各个内角的度数，通常利用方程的知识来解决。 4.直角三角形的两锐角互余。 八．三角形的外角 1.在三角形的每个顶点处都有两个外角，这个两个外角相等。 2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，特别注意“不相邻”。 3.三角形的一个外角大于与它不相邻的每一个内角。 九．多边形 1.多边形是由不在同一直线上的线段首尾顺次相连接组成的封闭图形，多边形的边数大于等于3，有几条边就是几边形。 2.用大写字母表示多边形时，字母必须按顺/逆时针的顺序排列。 3.正多边形必须具备的两个条件： （1）边相等（2）角相等。二者缺一不可。
三角形培优训练100题集锦(学生用)
三角形培优训练专题 【三角形辅助线做法】 图中有角平分线，可向两边作垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。 线段垂直平分线，常向两端把线连。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。 【常见辅助线的作法有以下几种】 1、遇到等腰三角形，可作底边上的高，利用“三线合一”的性质解题，思维模式是全等变换中的“对折”。 2、遇到三角形的中线，倍长中线，使延长线段与原中线长相等，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“旋转”。 3、遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。 4、过图形上某一点作特定的平分线，构造全等三角形，利用的思维模式是全等变换中的“平移”或“翻转折叠”。 5、截长法与补短法，具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，是之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明。这种作法，适合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目。 6、 已知某线段的垂直平分线，那么可以在垂直平分线上的某点向该线段的两个端点作连线，出一对全等三角形。 7、特殊方法：在求有关三角形的定值一类的问题时，常把某点到原三角形各顶点的线段连接起来，利用三角形面积的知识解答。 1、已知，如图ABC ?中，5=AB ，3=AC ，求中线AD 的取值范围。 分析：本题的关键是如何把AB ，AC ，AD 三条线段转化到同一个三角形当中。 解:延长AD 到E ，使DA DE =，连接BE 又∵CD BD =，CDA BDE ∠=∠ ∴()SAS CDA BDE ???，3==AC BE ∵BE AB AE BE AB +- (三角形三边关系定理) 即822 AD ∴41 AD 2、如图，ABC ?中，E 、F 分别在AB 、AC 上，DF DE ⊥，D 是中点，试比较CF BE +与 EF 的大小。 证明：延长FD 到点G ，使DF DG =，连接BG 、EG ∵CD BD =，DG FD =，CDF BDG ∠=∠ ∴CDF BDG ??? E C A B D A
人教版《特殊平行四边形》培优
人教版八年级下册第18章《特殊平行四边形》典型考题精讲精练 一：知识精析： 1.矩形： （1）定义：有一个角是的平行四边形叫矩形 （2）性质：矩形的四个角都是；矩形的对角线且互相平分；矩形既 是图形，又是对称图形；矩形具有平行四边形的性质 （3）判定：有一个角是的平行四边形是矩形；或者对角线的平行四边形是矩形；或者有角是直角的四边形是矩形 2.菱形： （1）定义：有一组相等的平行四边形叫做菱形 （2）性质：菱形的条边都相等；菱形的对角线互相，并且每一条对角线一组对角；菱形是对称图形，也是对称图形 （3）判定：一组相等的平行四边形是菱形；或者对角线的平行四边形是菱形；或者条边都相等的四边形是菱形 （4）菱形的面积：菱形的面积等于两条对角线乘积的 3.正方形： (1) 定义：有一组的平行四边形叫做正方形 （2）性质：两组对边分别平行，四条边都相等、相邻两边互相垂直；四个角都是直角；对角线互相垂直、对角线相等且互相平分；正方形即是轴对称图形，也是中心对称图形（3）判定：一组邻边相等的是正方形；或者有一个角是直角的是正方形；或者对角线互相垂直平分且相等的是正方形；或者四条边都相等且有一个角是直角的是正方形 4.方法与技巧：关联中点、角平分线、线段垂直平分线、等腰三角形、直角三角形等核心 知识点，常以面积、周长、角度等计算或线段位置及数量关系命制考题；或命制成开放性命题如补充条件、翻折、剪拚等动手操作探究性考题，涉及对称、等积法、配方法、分类、转化、数形结合、方程与函数等数学思想方法的考查。 二：类题精讲： 类型一：勾股模型相关的计算与分类思想 典例1：.（2017·哈尔滨）四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，AB＝6，对角线AC与BD 相交于点O，点E在AC上，若OE CE的长．
四边形培优综合题
特殊的平行四边形 教学目标：菱形、矩形、正方形都是特殊的平行四边形，它们除了具有平行四边形的性质外，各自都有相应的特性，如菱形四边相等、对角线互相垂直，且平分对角；矩形四个角都是直角且对角线相等；正方形是最特殊的平行四边形，它具有菱形和矩形的所有特性，可以说是菱形、矩形的完美结合体，也是最基本的正多边形之一．梯形是现实生活中比较常见的图形之一，也是考查平行四边形和直角三角形非常好的载体，因此在中考数学测试和初中数学竞赛中这些特殊的四边形都是考查的重要内容． 教学内容：（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形菱形：有一组邻边相等的平行四边形。正方形：有一个角是直角并且有一组邻边相等的平行四边形。 （注：矩形、菱形、正方形的定义既是性质又是判定） （2）矩形的性质：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；矩形是轴对称图形 菱形性质：菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角正方形的性质：正方形既是矩形又是菱形，它具有矩形和菱形的全部性质 （3）矩形的判定：有三个角是直角的平行四边形是矩形；对角线相等的平行四边形是矩形菱形的判定：四边都相等的四边形是菱形；对角线互相垂直的平行四边形是菱形 正方形的判定：先判定是矩形，再判定是菱形；或者先判定是菱形，再判定是矩形 （4）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；菱形的面积等于对角线乘积的一半 教学重点：让学生在多种题目中区分每种特殊四边形的考点，学到解题的关键所在，会应用。教学过程： 一、例题赏析 例1 如果将长方形纸片ABCD，沿EF折叠，如图，延长C′E交AD于H，连结GH，那么EF 与GH互相垂直平分吗？ 分析要说明EF与GH互相垂直平分，只须说明四边形FGEH是菱形即可． 解：∵FH`∥GE，FG∥EH， ∴四边形FGEH为平行四边形，由题意知： △GEF≌△HFE． ∴FG=FH，EG=EH． ∴四边形GEHF为菱形． ∴EF、GH互相垂直平分． 例2 矩形一边长为5，另一边长小于4，将矩形折起来，使两对角顶点重合，?如图，若折痕EF 长为6，求另一边长． 分析关键弄清“折痕”特点，即在对角线的中垂线上．此问题转化为就矩形ABCD 中，已知AD=5，过对角线AC的中点O作AC的垂线EF，分别交AD于F，BC于E，若EF=6，求 AB的长的问题． 解：设AB=x，BE=y，连结AE．则AE=CE=5-y． 在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，即x2+y2=（5-y）2． 得y= 2 25 10 x - ，AE=5-y= 2 25 10 x + ． 又在Rt△AOE中，AO=1 2 AC= 2 25 2 x + ，EO= 1 2 EF= 6 2 ．
八年级下册数学特殊平行四边形培优试题
八年级(下）特殊平行四边形培优 一.选择题(共13小题） 1.(2014?达州)如图,在四边形ＡBCD中，∠A+∠D=α，∠ABＣ的平分线与∠BCＤ的平分线交于点P，则∠P=( ） Ａ.９0°﹣α?B.９0°+α?C．?Ｄ．360°﹣α 2．（２０12?河南模拟）如图，DE是△ABC的中位线,F是ＤＥ的中点，CＦ的延长线交ＡＢ于点G,则S△ＣEF:Ｓ△ＤGF等于（） Ａ．2：１B．3:1 C.４：1 D.５:1 ３.(20０５?湖州）如图,在等边△AＢC中，Ｍ、N分别是边AＢ，ＡC的中点,D为MN上任意一点,BD,CD的延长线分别交于AB，AC于点Ｅ,Ｆ.若=6,则△ABＣ的边长为( ) Ａ.B．C．?D．1 ４．（2002?无锡）已知:四边形ABＣＤ中，AB=２，CD＝3，M、N分别是AＤ,BC的中点,则线段ＭN的取值范围是（）
A．1＜MN＜5?B.１＜ＭN≤5 Ｃ.＜MＮ＜ D. 9、等腰三角形 【知识精读】 （－）等腰三角形的性质 1. 有关定理及其推论 定理：等腰三角形有两边相等； 定理：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）。 推论1：等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边，这就是说，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 推论2：等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°。等腰三角形是以底边的垂直平分线为对称轴的轴对称图形； 2. 定理及其推论的作用 等腰三角形的性质定理揭示了三角形中边相等与角相等之间的关系，由两边相等推出两角相等，是今后证明两角相等常用的依据之一。等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角的平分线“三线合一”的性质是今后证明两条线段相等，两个角相等以及两条直线互相垂直的重要依据。 （二）等腰三角形的判定 1. 有关的定理及其推论 定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”。） 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。 推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。 2. 定理及其推论的作用。 等腰三角形的判定定理揭示了三角形中角与边的转化关系，它是证明线段相等的重要定理，也是把三角形中角的相等关系转化为边的相等关系的重要依据，是本节的重点。 3. 等腰三角形中常用的辅助线 等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问 题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。 【分类解析】 例1. 如图，已知在等边三角形ABC 中，D 是AC 的中点，E 为BC 延长线上一点，且CE ＝CD ，DM ⊥BC ，垂足为M 。求证：M 是BE 的中点。 A D 1 B M C E 分析：欲证M 是BE 的中点，已知DM ⊥BC ，所以想到连结BD ，证BD ＝ED 。因为△ABC 是等边三角形，∠DBE ＝21∠ABC ，而由CE ＝CD ，又可证∠E ＝2 1 ∠ACB ，所以∠1＝∠E ，从而问题得证。 证明：因为三角形ABC 是等边三角形，D 是AC 的中点 所以∠1＝ 2 1 ∠ABC 又因为CE ＝CD ，所以∠CDE ＝∠E 所以∠ACB ＝2∠E 即∠1＝∠E 所以BD ＝BE ，又DM ⊥BC ，垂足为M 所以M 是BE 的中点 （等腰三角形三线合一定理） 例2. 如图，已知：ABC ?中，AC AB =，D 是BC 上一点，且CA DC DB AD ==，，求BAC ∠的度数。 A B C D 浙教版八年级上册第二单元特殊三角形培优题 1.如图,在△ABC 中,∠BAC=120°,AD ⊥BC 于D,且AB+BD=DC,则∠C 的大小是( ) A.20° B.25° C.30° D.45° 2.如图,已知AB=AC,AP=BQ,O=BO=CO,∠AQO=16°,则∠CPO 等于 ( )度. A.16 B.32 C.45 D.46 3.已知△ABC 的三边的长分别为a,b,c,且+c a a b c b c b a ++=-，则△ABC 一定是( ) A. 等边三角形 B.腰长为a 的等腰三角形 C.底边长为a 的等腰三角形 D.等腰直角三角形 4.如图，已知OP 平分∠AOB ，∠AOB=60°，CP=2，CP ∥OA ，PD ⊥OA 于点D ，PE ⊥OB 于点E ．如果点M 是OP 的中点，则DM 的长是（ ） A 、2 B 、 C 、 D 、 5.如图，在ABC ?中，点D 是BC 边上的一点，,E F 分别是AD ，BE 的中点，连结CE ，CF ，若5CEF S ?=，则ABC ?的面积为（ ） A .15 B .20 C .25 D .30 6.如图，在Rt ABC ?中，90ACB ∠=?，3AC =，4BC =，点D 在AB 边上，AD AC =，AE CD ⊥，垂足为F ，与BC 交于点E ，则BE 的长是（ ） A .1.5 B .2.5 C .83 D .103 7.我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）所示）.图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成的.记图中正方形ABCD ，正方形EFGH ，正方形MNKT 的面积分别为1S ，2S ，3S ，若4EF =，则123S S S ++的值是（ ） A .32 B .38 C .48 D .80 8.如图，BD 平分∠ABC，E ，F 分别为线段BC ，BD 上的动点，AB ＝8，△ABC 的面积为20，求EF ＋CF 的最小值________． 9.如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC=CE,∠1=∠2=∠3，则DE 的长等于____的长. 第2章特殊三角形培优提高卷 一、选择题。（本题有10个小题，每小题3分，共30分） 1．如图，等腰直角△ABC中AB=AC，将其按下图所示的方式折叠两次，若DA’=1，给出下列说法：①DC’平分∠BDA’；②BA’长为；③△BC’D是等腰三角形；④△CA’D的周长等于BC的长．其中正确的有﹙﹚ A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．在如图所示的正方形网格中，网格线的交点成为格点．已知A，B是两个格点，如果点C 也是图中的格点，且使△ABC为等腰直角三角形，则点C的个数是﹙﹚ A．6个B．7个C．8个D．9个 (第2题) (第3题) (第4题) 3．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论： ①∠CDF=α；②A1E=CF；③DF=FC；④BE=BF．其中正确的有﹙﹚ A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③ 4．如图，△ABC中，AB=20㎝，AC=12㎝，点P从点B出发以3㎝/s的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以2㎝/s的速度想点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是（） A.2.5s； B.3s; C.3.5s; D.4s 请你帮他找来﹙ ﹚ A ．13，12，12 B ．12，12，8 C ．13，10，12 D ．5，8，4 6．如图，△ABC 中BD 、CD 平分∠ABC 、∠ACB ，过D 作直线平行于BC ，交AB 、AC 于E 、F ，当∠A 的位置及大小变化时，线段EF 和BE +CF 的大小关系﹙ ﹚ A ．EF =BE +CF B ．EF ＞BE +CF C ．EF ＜BE +CF D ．不能确定 (第6题) (第7题) (第8题) 7．如图，Rt △ABC 中，∠ACB =90°，BC =3，AC =4，AB 的垂直平分线DE 交BC 的延长线于点E ，则CE 的长为﹙ ﹚ A ． 67 B ．65 C ．35 D ．3 4 8．如图，在四边形ABCD 中，∠BAD =∠ADC =90°，AB =AD =22，CD =2，点P 在四边形ABCD 的边上．若点P 到BD 的距离为 2 3 ，则点P 的个数为﹙ ﹚ A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 9．如图，在△ABC 中，∠ACB =90°，∠B =30°，AC =1，AC 在直线l 上．将△ABC 绕点A 顺时针旋转到位置①，可得到点P 1，此时AP 1=2；将位置①的三角形绕点P 1顺时针旋转到位置②，可得到点P 2，此时AP 2=23；将位置②的三角形绕点P 2顺时针旋转到位置③，可得到点P 3，此时AP 3=33；…，按此规律继续旋转，直到得到点P 2014为止，则P 1P 2014=﹙ ﹚ A ．2012＋3 B ．2013＋3 C ．2014＋3 D ．2015＋3 1.如图，等腰梯形 ABCD 中，AB // CD ,对角线 S 、 P 、Q 分别是 OD 、OA 、BC 的中点。 求证：△ PQS 是等边三角形； 2 <2>如图，四边形 ABCD 求证：AE = AF 。 2 <3>过正方形ABCD 的顶点 作菱形CAF e,求证：AE 及AF 三等分/ BAC (2) AB = 8, CD = 6，求 S PQS 的值。 (3) S PQS : S AOD =4 : 5，求 CD ： AB 的值。 丿O / / K- / P C S 2 <1>如图， 求证：CE = CF o 四边形ABCD 为正方形，DE // AC , AE = AC , AE 与CD 相交于F . E AC 、BD 相交于点 O ,/ ACD = 60°，点 (1) 为正方形，DE // AC , 且CE = CA ，直线EC 交DA 延长线于 3.如图，ABM为直角，点C为线段BA的中点，点D是射线BM上的一个动点(不与点B重合)，连结AD，作BE AD，垂足为E，连结CE，过点E作EF CE，交BD 于F ? (1)求证：BF FD ; (2) A在什么范围内变化时，四边形ACFE是梯形，并说理； (3) A在什么范围内变化时，线段DE上存在点G，满足条件DG - DA，并说理。 4.如图所示，在△ ABC中，分别以AB AC BC为边在BC的同侧作等边△ ABD等边△ ACE 等边△ BCF (1)求证：四边形DAEF是平行四边形； (2)探究下列问题：(只填满足的条件，不需证明) ①当△ ABC满足___________________________ 条件时，四边形DAEF1矩形; ②当△ ABC满足__________________________ 条件时，四边形DAEF1菱形； ③当△ ABC满足_________________________ 条件时，以D A E、F为顶点的四边形 不存在. 5.如图, E、F分别是正方形ABCD的边AB、BC上的点，且 上取一点G,使AG = AD , EG与DF相交于点H。求证：AH = AD。 特殊平行四边形专项训练）（一） B卷（20分填空题每题3分） 1.一个多边形除一个内角外其余内角的和为1510°，则这个多边形的边数是_________. 2.如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…A n分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是_________ 3.如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿 直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是______ 4.菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为_____________ ． 第2题第3题第4题 5.在平面直角坐标系xoy中，边长为a（a为大于0的常数）的正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点P，顶点A在x轴正半轴上运动，顶点B在y轴正半轴上运动（x轴的正半轴、y轴的正半轴都不包含原点O），顶点C、D都在第一象限． （1）当∠BAO=45°时，求点P的坐标; (2)求证：无论点A在x轴正半轴上、点B在y轴正半轴上怎样运动，点P 都在∠AOB的平分线上； （3）设点P到x轴的距离为h，请直接说出h的取值范围．（8分） 6.如图，已知点E ，F 分别是□ABCD 的边BC ，AD 上的中点，且∠BAC =90°．（10分） （1）求证：四边形AECF 是菱形； （2）若∠B =30°，BC =10，求菱形AECF 面积． 7.如图，矩形ABCD 中，AB =8，AD =6，点E 、F 分别在边CD 、AB 上．（12分） （1）若DE =BF ，求证：四边形AFCE 是平行四边形； （2）若四边形 AFCE 是菱形，求菱形AFCE 的周长． 8. 如图，四边形ABCD 中，∠A =∠ABC =90°，AD =1，BC =3，E 是边CD 的中点，连接BE 并延长与AD 的延长线相交于点F ． （1）求证：四边形BDFC 是平行四边形； （2）若△BCD 是等腰三角形，求四边形BDFC 的面积．（12分） 已知：在ABC △中，AB AC a ==，M 为底边BC 上的任意一点，过点M 分别作AB 、AC 的平行线交AC 于点P ，交AB 于点Q 。 （1）求四边形AQMP 的周长；（用含a 的代数式表示）培优专题等腰三角形(含答案)
浙教版八年级上册 第二章 特殊三角形 培优练习
浙教版八年级数学上册第二章：特殊三角形 培优检测卷(含答案)
特殊平行四边形培优提高练习
特殊平行四边形专项培优训练