特殊四边形培优习题精选及答案

《特殊平行四边形习题精选》

1、矩形ABCD 的对角线相交于O ，AE 平分∠BAD 交BC 于E ，∠CAE=15°，则∠BOE=________°

2、菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于O ，△AOB 的周长为33 ，∠ABC=60o，则菱形ABCD 的面积为__________

3、如图，矩形ABCD 长为a ，宽为b ，若s 1=s 2=

21

(s 3+s 4)，则s 4等于（ ） （A ）ab 83 （B ）ab 43 （C ）ab 32 （D ）ab 21

4、菱形ABCD 中，∠B=∠EAF=60°，∠BAE=20°，则∠CEF=_________°

5、点M 、N 分别在正方形ABCD 的边CD 、BC 上，，已知△MCN 的周长等于正方形ABCD 周长的一半，求∠MAN 的度数。

6、如图，将矩形纸片ABCD 沿对角线AC 折叠，使点B 落在点E 处，求证：EF=DF.

7、如图，在平行四边形ABCD 中，BC = 2AB ，E 为BC 的中点，求∠AED 的度数；

B C D

O

E B C

D E F

S1

S2

S4S3B

C D

E F

F

E

D

C

B A

8、如图，以正方形ABCD 的对角线AC 为一边，延长AB 到E ，使AE = AC ，

以AE 为一边作菱形AEFC ，若菱形的面积为29，求正方形边长；

9、如图AD 是⊿ABC 边BC 边上的高线，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、AC 的中点，求

证：四边形EDGF 是等腰梯形；

10、如图1，正方形ABCD 边长为1，G 为CD 边上的一个动点（点G 与C 、D 不重合），以CG 为一边向正方形ABCD 外作正方形GCEF ，连接DE 交BG 的延长线于点H 。 （1）求证：①△BCG ≌△DCE ；②BH ⊥DE 。

（2）当点G 运动到什么位置时，BH 垂直平分DE ？请说明理由。

11、如图，正方形ABCD 中，过D 做DE ∥AC ，∠ACE =30°，CE 交AD 于点F ，求证：AE = AF ；

12、如图，在⊿ABC 中，∠BAC = 90，AD ⊥BC 于D ，CE 平分∠ACB ，交AD 于G ，交AB 于E ，EF ⊥BC 于F ，求证：四边形AEFG 是菱形；

F

A

B D

C E

F 12题

13、如图，正方形ABCD中，F在CD上，AE平分∠BAF，E为BC中点，求证：AF = BC + CF

14、已知ΔABC 中，E、F 分别为AB、AC 的中点，CD 平分∠BCA 交EF 于D，

求证：AD⊥DC

15、已知：平行四边形ABCD 中，AB+BC=11cm，∠A=150°，平行四边形ABCD的面积是15cm2，求AB，BC。

16、如图所示，以△ABC的三边为边在BC的同侧分别作三个等边三角形△ABD、

△BCE、△ACF，猜想：四边形ADEF是什么四边形，试证明你的结论.

17、已知：P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，E、F分别为垂足.

求证：AP=EF.

18、如图,△ABC 为等边三角形，D 、F 分别为BC 、AB 上的点，且CD ＝BF ，以AD 为边作等边△ADE. (1)求证：△ACD ≌△CBF.

(2)点D 在线段BC 上何处时，四边形CDEF 是平行四边形且∠DEF=30°.

19、如图，在Rt ⊿ABC 中，∠C = 90，AC = AB ，AB = 30，矩形DEFG 的一边DE 在AB 上，顶点G 、F 分别在AC 、BC 上，若DG ：GF = 1：4，求矩形DEFG 的面积是；

20、如图，AC 、BD 是矩形ABCD 的对角线，AH ⊥BD 于H ，CG ⊥BD 于G ，AE 为∠BAD 的平分线，交GC 的延长线于E ，求证：BD = CE ；

A B

C D E F

G

答案：

1、∵AE平分∠BAD∵∠BAE=45°∴△ABE是等腰直角三角形∴BE=BA∵∠BAE = 45°,∠CAE=15°

∴∠BAO=60°∵OA=OB∴⊿ABO是等边三角形∴BA=OB=BE∴∠BEO=∠BOE∵∠EBO=∠CAD=30°∴∠BOE=75°

2、菱形对角线即角平分线∠ABC=60°可以求得∠ABO=30°，即AB=2AO，设AO=x，则AB=2x，则OB==x，即（3+）x=3+即x=1，∴菱形的对角线长为2、2，

故菱形ABCD的面积为S=×2×2=2．故答案为2．

3、解设BF=x EB=y

所以矩形ABCD面积=ab s1=1/2a(b-x) s2=1/2b(a-y) s3=1/2xy

因为s1=s2=1/2（s3+s4) 所以s1+s2=s3+s4=1/2ab所以s4=1/2ab-s3

s1=s2=1/4ab s3=1/8ab 所以s4=3/8ab

4、连AC，因为ABCD为菱形且∠B =∠EAF= 60°，∠BAE= 20°，所以AC=AD，∠FAD=∠BAD-∠BAE-∠EAF=120°-20°-60°=40°，而且，∠ACD=ADF=60°,所以三角形ACE全等于三角形ADF，所以AE=AF，又因为∠EAF= 60°，所以三角形EAF为等边三角形。所以∠AEF=60°，又因为∠CEF=180°-∠AEB-∠AEF，而∠AEB=180°-∠B-∠BAE=180°-60°-20°=100°，所以∠CEF=180°-100°-60°=20°。

5、延长MB到点E使BE=DN，连接AE，易证△ADN≌△ABE，∠DAN=∠BAE，AN=AE

∴∠EAN=90° ∵△CMN的周长等于正方形周长的一半∴MN=BM+DN=ME

∵AM=AM ∴△EAM≌△NAM ∴∠MAN=1/2∠EAN=45°

6、∵AE=AB=CD, ∠E=∠B=90°=∠D, ∠AFE=∠CFD, ∴△AFE≌△CFD, ∴EF=DF.

7、解：取AD的中点F，连接EF，∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，AD=BC，∵BC=2AB，E为BC中点，∴AB=BE，

∴∠BAE=∠AEB，∵BE=AF，∴四边形ABEF是平行四边形

∴四边形ABEF是菱形，∴AB∥EF，∴∠BAE=∠AEF，

∴∠AEF=∠AEB，同理：∠FED=∠CED，∴∠AED=∠AEF+∠FED=×180°=90°．

8、设正方形的边长为x，则AC=AE=x，菱形的面积为底×高，x?x=9，可求出x的长为3．即正方形边长为3．

9、∵E、F、G分别是BC、AB、AC的中点∴FG和EF均是⊿ABC的中位线∴FG//BC,EF//AC

∴四边形EFGC是平行四边形∴EF=CG,FG=CE∵⊿ADC是直角三角形,且DG为斜边中线

∴DG=?AC=CG∴EF=DG又∵ED=CE-CD=FG-CD＜FG,ED//FG∴四边形EDGF是等腰梯形

10、当DGEF是平行四边形时，应该满足对边相等的条件，即EF=GD 由于CEFG是正方形，故EF=CG 从而可知此时有CG=GD，即G处于CD的中点位置。证明：当G运动到CD的中点时，由于CEFG是正方形，EF//CG//CD//GD，且EF=CG=GD=CE=GF 连接GE、DF，则由于四边形DGEF的对边DG和FE 平行且相等，故DGEF为平行四边形。3).当BH垂直平分DE时，连接GE，则三角形GHD和三角形GHE 为全等的直角三角形，即有GD=GE, 另，由于GCEF为正方形，股GE=(根号下2）*CG, 从而：CD=(根号下2+1）*CG=1 可求得CG=根号下2-1 即：G运动到CD的（根号下2-1）处时，BH垂直平分DE。

11、作EG⊥AC,G∈AC,则EG＝DO[O是中心,ED‖AC],得到EG＝AC/2.

∠GCE＝30o,∴CE＝2EG＝AC,∠AEC＝（180o-30o）/2＝75o

∠AFE＝∠BCE＝45o+30o＝75o＝∠AEF.∴AE＝AF

12、∵EF⊥BC ∠BAC=90°∴△AEC与△FEC同是直角三角形且共斜边CE 又∵CE平分∠ACB ∠ACE=∠FCE ∴△AEC≌△FCE ∴AE=FE AC=FC ∵AC=FC ∠ACE=∠FCE △ACG与△FCG共边CG ∴△ACG≌△FCG ∴AG=FG 加上AE=FE ∴四边形AEFG是菱形

13、过点E作EM⊥AF，交AF于M∵AE是∠BAF的角平分线∴BE=EM故AB=AM∵E是BC的中点∴BE=EC∴EC=EM，又EF为公共边∴Rt△EFM≌Rt△EFC∴MF=FC∴AF=AM+MF=AB+FC而AB=BC （正方形的边）∴AF=BC+FC

14、证明：因为E，F为重点所以EF//BC 又CD为角C的平分线那么角EDC=角DCB=角FCD 又因为AF=DF=FC 那么设角DAF=∠1 所以∠DAF=∠ADF=∠1 设EDC=角DCB=角FCD=EDC=角DCB=角FCD=∠2 又∠DFA=2∠2 那么在三角形DAF中∠ADF+∠DAF+∠DFA=180 即2∠1+∠2=180 所以∠1+∠2=90度即∠ADF+∠FDC=90度所以AD⊥DC

15、AB=6，BC=5 或AB=5，BC=6

16、证明：四边形ADEF是平行四边形．连接ED、EF，

∵△ABD、△BCE、△ACF分别是等边三角形，∴AB=BD，BC=BE，∠DBA=∠EBC=60°．

∴∠DBE=∠ABC．∴△ABC≌△DBE．同理可证△ABC≌△FEC，∴AB=EF，AC=DE．

∵AB=AD，AC=AF，∴AD=EF，DE=AF．∴四边形ADEF是平行四边形．

17、证明：如图，连接PC，∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形，

∴∠PEC=∠PFC=∠ECF=90°，∴四边形PECF为矩形，∴PC=EF，

又∵P为BD上任意一点，∴PA、PC关于BD对称，可以得出，PA=PC，所以EF=AP．

18、（1）在△ACD和△CBF中，根据已知条件有两边和一夹角对应相等，可根据边角边来证明全等．（2）当∠DEF=30°，即为∠DCF=30°，在△BCF中，∠CFB=90°，即F为AB的中点，又因为△ACD ≌△CBF，所以点D为BC的中点．

证明：（1）由△ABC为等边三角形，AC=BC，∠FBC=∠DCA，

在△ACD和△CBF中，

，

所以△ACD≌△CBF（SAS）；

（2）当D在线段BC上的中点时，四边形CDEF为平行四边形，且角DEF=30度按上述条件作图，连接BE，在△AEB和△ADC中，AB=AC，∠EAB+∠BAD=∠DAC+∠BAD=60°，即∠EAB=∠DAC，AE=AD，∴△AEB≌△ADC（SAS），又∵△ACD≌△CBF，∴△AEB≌△ADC≌△CFB，∴EB=FB，∠EBA=∠ABC=60°，∴△EFB为正三角形，∴EF=FB=CD，∠EFB=60°，又∵∠ABC=60°，∴∠EFB=∠ABC=60°，∴EF∥BC，而CD在BC上，∴EF平行且相等于CD，∴四边形CDEF为平行四边形，∵D在线段BC上的中点，∴F在线段AB上的中点，∴∠FCD=×60°=30°则∠DEF=∠FCD=30°．

19、100

20、证明: 四边形ABCD是矩形∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90o又∵AD=DA ∴⊿BAD≌⊿CDA(SAS) ∴∠ABD=∠DCA ∵AH⊥BD ∴∠BAH=90o-∠ABD ∵∠CAD=90o-∠DCA ∴∠BAH=∠CAD ∵AE平分∠BAD ∴∠BAE=∠DAE=45o∴∠HAE=45o-∠BAH，∠CAE=45o-∠CAD ∴∠HAE=∠CAE ∵CG⊥BD ∴AH//CG ∴∠E=∠HAE ∴∠E=∠CAE ∴AC=CE ∵BD=AC【矩形对角线相等】∴BD=CE