必修4--三角函数的化简、求值与证明

必修4—三角函数的化简、求值与证明

一、知识要点

1、三角函数式的化简：（1）常用方法：①直接应用公式进行降次、消项；②切化弦，异名化同名，异角化同角；③ 三角公式的逆用等。（2）化简要求：①能求出值的应求出值；②使三角函数种数尽量少；③使项数尽量少；④尽量使分母不含三角函数；⑤尽量使被开方数不含三角函数

2、三角函数的求值类型有三类：（1）给角求值：一般所给出的角都是非特殊角，要观察所给角与特殊角间的关系，利用三角变换消去非特殊角，转化为求特殊角的三角函数值问题；（2）给值求值：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如2(),()()ααββααβαβ=+-=++-等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论；（3）给值求角：实质上转化为“给值求值”问题，由所得的所求角的函数值结合所求角的范围及函数的单调性求得角。

3、三角等式的证明：（1）三角恒等式的证题思路是根据等式两端的特征，通过三角恒等变换，应用化繁为简、左右同一等方法，使等式两端的化“异”为“同”；（2）三角条件等式的证题思路是通过观察，发现已知条件和待证等式间的关系，采用代入法、消参法或分析法进行证明。

二、巩固练习

A 组

1、已知θ是第三象限角，且44

59

sin cos θθ+=，那么2sin θ等于---------------（ ） A

、3 B

、3- C 、23 D 、23

- 2

、函数222

y sin x x =--+的最小正周期 -------------------------------（ ） A 、2π B 、π C 、3π D 、4π

3、tan 70cos10(3tan 201)-等于 -------------------------------------------------

（ ） A 、1 B 、2 C 、－1 D 、－2

4、已知46sin (4)4m m m

αα-=

≠-，则实数m 的取值范围是＿＿＿＿＿＿。 5、设10,sin cos 2

απαα<<+=，则cos2α＝＿＿＿＿＿。 6、化简：42212cos 2cos 2.2tan()sin ()44

x x x x ππ-+-+ 7、设3177cos(),45124

x x πππ+=<<，求2sin 22sin 1tan x x x +-的值。

8、求证：

sin(2)sin 2cos().sin sin αββαβαα+-+=

9、已知11sin()cos [sin(2)cos ],022

αβααβββπ+-+-=

<<，求β的值。

10、 已知tan

2α=2，求 （I ）tan()4πα+的值； （II ）

6sin cos 3sin 2cos αααα+-的值． 11、已知函数2()2sin sin 2,[0,2].f x x x x =+∈π求使()f x 为正值的x 的集合.

12、已知函数f (x )＝－3sin 2x ＋sin x cos x ．

(Ⅰ) 求f (

256

π)的值； (Ⅱ) 设α∈(0，π)，f (2α)＝41

－2，求sin α的值． B 组 1、已知1sin()43πα-

=，则cos()4

πα+的值等于-----------------------------------（ ） A

、3 B

、3- C 、13 D 、13- 2、已知tan α、tan β

是方程240x ++=的两根，且(,)22

ππαβ∈-、，则αβ+等于 ------------------------------------------------------------------------------------------------（ ）

A 、

3π B 、23π- C 、3π或23

π- D 、3π-或23π 3、化简23cos (1sin )[2tan()]422cos ()42

x x x x ππ+---为 --------------------------------（ ） A 、sin x B 、cos x C 、tan x D 、αtan 1 4、22sin 2cos 1cos 2cos 2⋅=+αααα

-------------------------------------------------------------------（ ） (A) tan α (B) tan 2α (C) 1 (D)12

5、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-π=-0

,01),sin()(12x e x x x f x ，若2)()1(=+a f f ，则a 的所有可能值为（ ） （A ）1 （B ）22,1-

（C ）22- （D ）22,1 6、设a 为第四象限的角，若

513sin 3sin =a a ，则tan 2a =______________. 7、已知tan

2α=2，则tanα的值为 ，tan ()4πα+的值为

8、已知tan()34π

θ+=，则2sin 22cos θθ-的值为＿＿＿＿＿＿＿。

9、已知A 、B 为锐角，且满足tan tan tan tan 1A B A B =++，则cos()A B +＝＿＿.

10、求证：

21tan 1sin 2.12sin 1tan 22

αααα++=--

11、已知2sin 22sin ()1tan 42

k ααππαα+=<<+，试用k 表示sin cos αα-的值。

12、求值：)

212cos 4(12sin 312tan 30200--

13

、已知tan tan αβ=

，求(2cos 2)(2cos 2)αβ--的值。 参考答案：

A 组

1、A

2、B

3、D

4、[－1，

73] 5

、4- 6、1cos 22x 7、2875- 8、略 9、2

π 10、解：（I ）∵ tan

2α=2, ∴ 2

2tan 2242tan 1431tan 2

α

αα⨯===---; 所以tan tan tan 14tan()41tan 1tan tan 4παπααπαα+++==--=411347

13

-+=-+； （II ）由(I), tan α=－34, 所以6sin cos 3sin 2cos αααα+-=6tan 13tan 2αα+-=46()17346

3()23-+=--. 11、解：∵()1cos 2sin 2f x x x =-+

1)4

x π=-

()01)04

f x x π∴>⇔-

>sin(2)42x π⇔->- 5222444

k x k π

π

πππ⇔-+<-<+ 34

k x k πππ⇔<<+