中考数学复习考点知识与典型题型专题讲解34---动态问题
中考数学专题复习之动态问题
中考数学专题复习之动态问题1动态问题的类型及例题动态几何题已成为中考试题的一大热点题型。
在近几年各地的中考试卷中，以动点问题、平面图形的平移、翻折、旋转、剪拼问题等为代表的动态几何题频频出现在填空、选择、解答等各种题型中，考查同学们对图形的直觉能力以及从变化中看到不变实质的数学洞察力。
解决动态几何题的策略是：把握运动规律，寻求运动中的特殊位置；在“动”中求“静”，在“静”中探求“动”的一般规律。
通过探索、归纳、猜想，获得图形在运动过程中是否保留或具有某种性质。
下面就动点型、动线型、动面型等几何题作一简要分析。
一. 动点型 1. 单动点型例1. 如图1，在矩形ABCD 中，AD=12，AB=5，P 是AD 边上任意一点，PE ⊥BD ，PF ⊥AC ，E ，F 分别是垂足，求PE+PF 的长。
分析与略解：P 是AD 边上任意一点，不妨考虑特殊点的情况，即在“动”中求“静”。
当P 点在D （或A ）处时，过D 作DG ⊥AC ，垂足为G ，则PE=0，PF=DG ， 故PE+PF=DG ， 在Rt △ADC 中，13512DC AD AC 2222=+=+= 由面积公式有：1360AC DC AD DG =⋅=， 再有“静”寻求“动”的一般规律，得到PE+PF=DG=1360。
图12. 双动点型例2. （2003年吉林省）如图2，在矩形ABCD 中，AB=10cm ，BC=8cm ，点P 从A 出发，沿A →B →C →D 路线运动，到D 点停止；点Q 从D 点出发，沿D →C →B →A 路线运动，到A 停止。
若点P 、Q 同时出发，点P 的速度为每秒1cm ，点Q 的速度为每秒2cm ，a 秒时点P 、点Q 同时改变速度，点P 的速度变为每秒bcm ，点Q 的速度为每秒dcm 。
图3是点P 出发x 秒后△APD 的面积)cm (S 21与x （秒）的函数关系图象，图4是点Q 出发x 秒后△AQD 的面积)cm (S 22与x （秒）的函数关系图象。
2020年 中考数学复习 第34章 动态探究问题(专题复习讲义)
中考数学复习第34章动态探究问题（专题复习讲义）考点一动点与函数图象问题动点与函数图象问题常见的四种类型(1)三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.(2)四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.(3)圆中的动点问题:动点沿圆周运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.(4)直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,根据问题中的常量与变量之间的关系,判断函数图象.【例1】如图,正方形ABCD中,AB=8cm,对角线AC,BD相交于点O,点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,到点C,D时停止运动,设运动时间为t(s),△OEF的面积为S(cm2),则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为( )【思路点拨】由点E,F分别从B,C两点同时出发,以1cm/s的速度沿BC,CD运动,得到BE=CF=t,则CE=8-t,再根据正方形的性质得OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°,然后根据“SAS”可判断△OBE≌△OCF,所以S△OBE=S△OCF,这样S四边形OECF=S△OBC=16,于是,S=S四边形OECF-S△CEF=16- (8-t)·t,然后配方得到S= (t-4)2+8(0≤t≤8),最后利用解析式和二次函数的性质对各选项进行判断. 【自主解答】选B.根据题意BE=CF=t,CE=8-t,∵四边形ABCD为正方形,∴OB=OC,∠OBC=∠OCD=45°,∵在△OBE和△OCF中,∴△OBE≌△OCF(SAS),∴S△OBE=S△OCF,∴S四边形OECF=S△OBC=0.5×82=16,∴S=S四边形OECF -S△CEF=16- 0.5(8-t)·t= 0.5 t2-4t+16=0.5(t-4)2+8(0≤t≤8),∴S(cm2)与t(s)的函数图象为抛物线的一部分,顶点为(4,8),自变量的取值范围为0≤t≤8.【特别提醒】解答动态性问题通常是对几何图形运动过程有一个完整、清晰的认识，发掘“动”与“静”的内在联系，寻求变化规律，从变中求不变，从而达到解题目的.【知识归纳】解答函数的图象问题一般遵循的步骤(1)根据自变量的取值范围对函数进行分段.(2)求出每段的解析式.(3)由每段的解析式确定每段图象的形状.考点二图形运动与函数图象问题图形运动与函数图象问题常见的三种类型(1)线段与多边形的运动图形问题:把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.(2)多边形与多边形的运动图形问题:把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一个多边形,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.(3)多边形与圆的运动图形问题:把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形,或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆,根据问题中的常量与变量之间的关系,进行分段,判断函数图象.【例2】如图,将边长为4的正方形ABCD的一边BC与直角边分别是2和4的Rt △GEF的一边GF重合.正方形ABCD以每秒1个单位长度的速度沿GE向右匀速运动,当点A和点E重合时,正方形停止运动.设正方形的运动时间为t秒,正方形ABCD与Rt△GEF重叠部分面积为S,则S关于t的函数图象为()【思路点拨】先分三种情况,第一种情况,用含t的代数式表示BE,利用相似三角形的面积比等于相似比的平方,求出重叠部分的面积;第二种情况,重叠部分的面积等于△GEF的面积;第三种情况,类比第一种情况就可求出.然后根据t的取值范围和函数关系式画出图象,从而做出正确的选择.【标准解答】选B.第一种情况:∵BE=2-t,S△GEF= GE×GF=4,∵△BHE∽△GFE,∴2BHEGEFS2t()S2-=VV，解得S△BHE=t2-4t+4,∴S=S△GEF-S△BHE=-t2+4t(0≤t<2).第二种情况:S=S△GEF=4(2≤t<4),第三种情况:∵AE=6-t,∵△AEP∽△GEF,∴=t2-12t+36(4≤t≤6).解得S△AEP在同直角坐标系中画出以上三个函数图象,只有选项B符合题意,故选B.【特别提醒】对于用图象描述分段函数的实际问题,要抓住以下几点:(1)自变量变化而函数值不变化的图象用水平线段表示.(2)自变量变化函数值也变化的增减变化情况.(3)函数图象的最低点和最高点.考点三动点问题探索动点问题常见的四种类型(1)三角形中的动点问题:动点沿三角形的边运动,通过全等或相似,探究构成的新图形与原图形的边或角的关系.(2)四边形中的动点问题:动点沿四边形的边运动,通过探究构成的新图形与原图形的全等或相似,得出它们的边或角的关系.(3)圆中的动点问题:动点沿圆周运动,探究构成的新图形的边角等关系.(4)直线、双曲线、抛物线中的动点问题:动点沿直线、双曲线、抛物线运动,探究是否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题.【例3】如图,抛物线y=-0.5x2+mx+n与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,抛物线的对称轴交x轴于点D,已知A(-1,0),C(0,2).(1)求抛物线的解析式.(2)在抛物线的对称轴上是否存在点P,使△PCD是以CD为腰的等腰三角形,如果存在,直接写出P点的坐标,如果不存在,请说明理由.(3)点E是线段BC上的一个动点,过点E作x轴的垂线与抛物线相交于点F,当点E运动到什么位置时,四边形CDBF的面积最大?求出四边形CDBF的最大面积及此时E点的坐标.【思路点拨】(1)n=2,把点(-1,0)代入解出.(2)求出抛物线的对称轴及CD的长,若以点D为等腰三角形的顶点,P点的位置有两个,它们到点D的距离都等于CD;以点C为顶点时,P点的位置有一个.(3)把四边形CDBF的面积最大问题转化为△CBF的面积最大问题,设出点E的横坐标,分别表示出点E,F的纵坐标,找到△CBF的面积与点E横坐标之间的函数关系式,应用函数的性质解决问题.【特别提醒】(1)弄清动点与动线的运动过程是解题的关键.(2)解动态几何问题,一般采取“动中求静,静中求解”的求解策略.以相对静止的瞬间,清晰地发现量与量之间的关系,利用数形结合,从中找到解决问题的途径.(3)注意第(3)问中,分点P在x轴上方和下方两种情况讨论,避免因漏解而失分,以P,M,A为顶点的三角形与△BOC相似,注意边的对应.【知识归纳】解答动点问题的一般方法解这类题目要“以静制动”,即把动态问题,变为静态问题来解.(1)仔细读题,分析给定条件中哪些量是运动的,哪些量是不动的.针对运动的量,要分析它是如何运动的,运动过程是否需要分段考虑,分类讨论.针对不动的量,要分析它们和动量之间可能有什么关系,如何建立种关系.(2)画出图形,进行分析,尤其在于找准运动过程中静止的那一瞬间题目间各个变量的关系.如果没有静止状态,通过比例、相等等关系建立变量间的函数关系来研究.(3)做题过程中时刻注意分类讨论,不同的情况下题目是否有不同的表现,很多同学丢分就丢在没有讨论,只是想当然看出了题目所给的那一种图示方式,没有想到另外的方式,是否能想到就成了关键.考点四图形运动问题探索图形运动问题常见的两种类型(1)三角形运动问题:一个三角形相对于另一个三角形运动,根据图形中的变与不变解决问题.(2)四边形的运动问题:一个三角形相对于一个四边形运动,根据图形中的变与不变解决问题.【例4】如图,在△ABC中,∠B=45°,BC=5,高AD=4,矩形EFPQ的一边QP在BC边上,E,F分别在AB,AC上,AD交EF于点H.(1)求证：AH EF. AD BC(2)设EF=x，当x为何值时，矩形EFPQ的面积最大？并求出最大面积.(3)当矩形EFPQ面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动(当矩形的边PQ到达A点时停止运动)，设运动的时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S，求S与t的函数关系式，并写出t的取值范围.【思路点拨】(1)有“A”字形和平行线,易发现△AEF∽△ABC,再根据相似三角形对应高的比等于对应边的比是解题的关键.(2)矩形面积最大,即为求二次函数的最值问题,由(1)的结论可求出AH的表达式,进而求出HD(即FP)的表达式;再根据矩形的面积公式求出矩形EFPQ的面积和x 的函数关系式,再用配方法可得到矩形的最大面积和对应的x的值.(3)①当0≤t<2时,重合部分是六边形可分成梯形和矩形,由“A”字型发现△AMN∽△ABC,求出AM关于t的表达式,代入可得到S,t的函数关系式;②当2≤t≤4时,重合部分是△AMN.求出底MN和高AI,便可求出S,t的函数关系式.(3)当矩形EFPQ面积最大时，该矩形以每秒1个单位的速度沿射线DA匀速向上运动时，设运动的时间为t秒，矩形EFPQ与△ABC重叠部分的面积为S.。
中考数学重难点专题讲座动态几何含答案
中考数学重难点专题讲座第三讲 动态几何问题【前言】从历年中考来看，动态问题经常作为压轴题目出现，得分率也是最低的。
动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是利用多种函数交叉求解。
另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。
所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只有完全掌握，才有机会拼高分。
在这一讲，我们着重研究一下动态几何问题的解法，第一部分 真题精讲【例1】（2010，密云，一模）如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
但是解决动点问题，首先就是要找谁在动，谁没在动，通过分析动态条件和静态条件之间的关系求解。
对于大多数题目来说，都有一个由动转静的瞬间，就本题而言，M ，N 是在动，意味着BM,MC 以及DN,NC 都是变化的。
但是我们发现，和这些动态的条件密切相关的条件DC,BC 长度都是给定的，而且动态条件之间也是有关系的。
所以当题中设定MN M N t D DE AB ∥BC E ABEDABMCNED AB DE ∥AB MN ∥DE MN∥MC NC EC CD =1021035t t -=-5017t =MN NC =NF BC ⊥BC F 2MC FC =4sin 5DF C CD ∠==3cos 5C ∠=310225tt -=⨯258t =ABMCNFD MN MC =M MH CD ⊥2CN CH =()321025t t =-⨯6017t =A B MCN HD MC CN =102t t -=103t =258t =6017103MNC △423=BC x x Θ（3）过点A 作AQ ⊥BC 交CB 的延长线于点Q ，①点D 在线段BC 上运动时，∵∠BCA=45o ，可求出AQ= CQ=4．∴ DQ=4-x ， 易证△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =-， 24x CP x ∴=-+．②点D 在线段BC 延长线上运动时，∵∠BCA=45o ，可求出AQ= CQ=4，∴ DQ=4+x ． 过A 作AC AG ⊥交CB 延长线于点G ， 则ACF AGD ∆≅∆．∴ CF ⊥BD ，∴△AQD ∽△DCP ，∴CP CD DQ AQ = ， ∴44CP x x =+， 24x CP x ∴=+．【例3】（2010，怀柔，一模）已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形． （1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y 与x 的函数关系式；（3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．GA BCDE F ADM【思路分析1】本题有一点综合题的意味，但是对二次函数要求不算太高，重点还是在考察几何方面。
中考动态问题专题讲解
中考几何动态问题专题一、概述：所谓“动态问题”一般是指以几何知识和图形为背景，渗透运动变化观点的一类问题。
二、考查内容：这类问题主要是考查运动中图形的位置、数量关系。
三、问题展开方式：点动：线动：形动。
（“动”指三种形式：平移、旋转、对折或其几种综合） 四、常用知识：几何方面：全等三角形、直角三角形（勾股定理）、特殊四边形、等腰三角形（等边三角形）、相似及三角函数；代数方面：方程、函数解析式；运动中路程、时间、速度关系式：S=VT 、T=S/V 等。
五、解题策略：1.动中觅静：这里的“静”是指问题中的不变量、不变关系。
2.动静互化：抓住“静”的瞬间，使一般转化为特殊，建立等量关系，3.以动定动：建立两个变量的函数关系，通过函数关系找到变动元素的关系。
六、解题方法：第一全面仔细阅读题目，明确运动方式，全方位考察运动中的变与不变的量及其位置关系，；第二应用分类讨论思想，将在运动过程中导致图形本质发生变化的各种时刻的图形分类画出，化“动”为“静”；第三在各种“静态位置”上结合三角形、四边形进行探索，通过全等、相似及其它知识寻找各个相关量之间的数量关系，建立方程或函数解析式求解。
七、中考位置：重庆市中考热点、难点。
在压轴题第26题中出现。
八、命题目的：甄选优生。
九、解答效果：解答压轴题第26题中，得2分者，顺利进入职教中心学习；得4分者，可读松树桥中学、暨华中学和南华中学；得6分者，读渝北中学；得8分者可“拨打138”了；得8分以上者所有优秀学校的所有优秀班级你自己选吧！特别提醒：认真解读上面“二至六”，才做后面的题目；每做一道题，又结合上面“二至六”来积淀方法，提升能力。
（一）点动问题．1. (2007 江苏省连云港市变式题) 如图，在矩形OABC 中， 60cm OA =，80cm OC =．动点P 从点O 出发，以5cm/s 的速度沿O C 方向运动，到达点C 即停止．设点P 运动的时间为s t ．（1）过点P 作对角线OB 的垂线，垂足为点T ．求PT 的长y 与时间t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围；（2）在点P 运动过程中，当点O 关于直线AP 的对称点O '恰好落在对角线OB 上时，求此的运动时间t （3）探索：以A P T ，，三点为顶点的APT △的面积能否达到矩形OABC 面积的14？请说明理由．2. (2008 黑龙江省哈尔滨市) 在矩形ABCD 中，点E 是AD 边上一点，连接BE ，且∠ABE ＝30°，BE ＝DE ，连接BD ．点P 从点E 出发沿射线ED 运动，过点P 作PQ ∥BD 交直线BE 于点Q ． (1) 当点P 在线段ED 上时（如图1），求证：BE ＝PD ＋33PQ ； （2）若 BC ＝6，设PQ 长为x ，以P 、Q 、D 三点为顶点所构成的三角形面积为y ，求y 与 x 的函数关系式（不要求写出自变量x 的取值范围）；（3）在②的条件下，当点P 运动到线段ED 的中点时，连接QC ，过点P 作PF ⊥QC ，垂足为F ，PF 交对角线BD 于点G （如图2），求线段PG 的长．3. （2011江苏淮安）如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，BC=6，点P 在AB 上，AP=2.点E 、F 同时从点P 出发，分别沿PA 、PB 以每秒1个单位长度的速度向点A 、B 匀速运动，点E 到达点A 后立即以原速度沿AB 向点B 运动，点F 运动到点B 时停止，点E 也随之停止.在点E 、F 运动过程中，以EF 为边作正方形EFGH ，使它与△ABC 在线段AB 的同侧，设E 、F 运动的时间为t 秒（t ＞0），正方形EFGH 与△ABC 重叠部分面积为S .(1)当t=1时，正方形EFGH 的边长是 ；当t=3时，正方形EFGH 的边长是 ； (2)当0＜t ≤2时，求S 与t 的函数关系式；(3)直接答出：在整个运动过程中．．．．．．．，当t 为何值时，S 最大？最大面积是多少？考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；勾股定理；正方形的性质。
中考专题复习动态问题
中考专题复习：动态问题一、专题分析图形中的点、线的运动，构成了数学中的一个新问题——动态问题。
它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。
此类问题常集代数、几何知识于一体，数形结合，有很强的综合性。
动点问题是近年来在中考试卷压轴题中出现频率较高的一类问题，以函数与三角形和四边形结合的题目为主。
二、学情分析1、这类问题无论教师做了多大的努力,对学生来说都比较困难,所以一部分学生放弃作答。
2、一部分学生对动点问题从根本上不理解,勉强照猫画虎,写了不少但不得分。
3、一部分学生对动点问题有一定认识,对分类能进行简单尝试, 但不完整。
三、教法分析1、教师在教学时引导学生把动态问题变为静态问题来解,抓住变化中的“不变量”。
并从特殊位置点着手确定自变量取值范围, 对基本图形进行充分的分析,画出符合条件的各种草图分散难点、降低难度，将复杂问题简单化。
2、专题化，少而精。
如动点问题有等腰三角形分类、直角三角形分类、三角形相似分类、四边形存在性等问题，分小专题复习效果更好。
四、复习设计本节课重点来探究动态几何中的第一类型----动点问题（等腰三角形分类讨论问题）。
（一）自主解决1、在平面直角坐标系中，已知点P（－2，－1）.点T（t，0）是x轴上的一个动点。
当t 取何值时，△TOP是等腰三角形？P情况一:OP=OT情况二:PO=PT T3(-4,0)情况三:TO=TP（设计意图：引导学生总结以已知线段为边作等腰三角形时，通常要分三种情况讨论：以已知线段为腰或为底。
且以已知线段为腰时，以该腰不同顶点为顶角顶点有两种情况。
）2、如图：已知ABCD 中，AB=7，BC=4，∠A=30°(1)点P 从点A 沿AB 边向点B 运动，速度为1cm/s 。
若设运动时间为t(s)，连接PC,当t 为何值时，△PBC 为等腰三角形？)0,5();0,5(21T T -)0,45(4-TDCBA解：若△PBC 为等腰三角形 则PB=BC ∴t=3（设计意图：此题起抛砖引玉的作用，体现了从特殊到一般的数学思想。
中考数学专题——动态问题(非常全面)
（中考数学专题3） 动态几何问题【例1】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，3AD =，5DC =，10BC =，梯形的高为4．动点M 从B 点出发沿线段BC 以每秒2个单位长度的速度向终点C 运动；动点N 同时从C 点出发沿线段CD 以每秒1个单位长度的速度向终点D 运动．设运动的时间为t （秒）．D NCM B A（1）当MN AB ∥时，求t 的值；（2）试探究：t 为何值时，MNC △为等腰三角形．【例3】在△ABC 中，∠ACB=45º．点D （与点B 、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF ．（1）如果AB=AC ．如图①，且点D 在线段BC 上运动．试判断线段CF 与BD 之间的位置关系，并证明你的结论．（2）如果AB ≠AC ，如图②，且点D 在线段BC 上运动．（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P ，设AC ＝42，3=BC ，CD=x ，求线段CP 的长．（用含x 的式子表示）【例4】已知如图，在梯形ABCD 中，24AD BC AD BC ==∥，，，点M 是AD 的中点，MBC △是等边三角形．（1）求证：梯形ABCD 是等腰梯形；（2）动点P 、Q 分别在线段BC 和MC 上运动，且60MPQ =︒∠保持不变．设PC x MQ y ==，，求y与x 的函数关系式； （3）在（2）中，当y 取最小值时，判断PQC △的形状，并说明理由．【例5】已知正方形ABCD 中，E 为对角线BD 上一点，过E 点作EF BD ⊥交BC 于F ，连接DF ，G 为DF 中点，连接EG CG ，． （1）直接写出线段EG 与CG 的数量关系；（2）将图1中BEF ∆绕B 点逆时针旋转45︒，如图2所示，取DF 中点G ，连接EG CG ，，． 你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．（3）将图1中BEF ∆绕B 点旋转任意角度，如图3所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证明）A DC B P M Q 60图3图2图1FEABCDABC DEFGGFED C BA【总结】 通过以上五道例题，我们研究了动态几何问题当中点动，线动，乃至整体图形动这么几种可能的方式。
初中数学全等三角形中的动态问题(知识点例题解析)
初中数学全等三角形中的动态问题（知识点+例题解析）初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
解决动点问题常见的答题思路是：1.注意分类讨论；2.仔细探究全等三角形对应边与对应角的变化；3.利用时间表示出相应线段或边的长度，列出方程求解.【典例解析】【例1－1】（2020·周口市月考）如图，CA⊥AB，垂足为点A，AB=8，AC=4，射线BM⊥AB，垂足为点B，一动点E从A点出发以2厘米/秒的速度沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E离开点A后，运动______秒时，△DEB与△BCA全等．【例1－2】（2020·江阴市月考）已知：如图，在长方形ABCD中，AB=4，AD=6．延长BC到点E，使CE=2，连接DE，动点P从点B出发，以每秒2个单位的速度沿BC－CD－DA向终点A运动，设点P的运动时间为t秒，当t的值为_____秒时，△ABP和△DCE全等．A．1B．1或3C．1或7D．3或7【变式1－1】（2020·无锡市月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝7cm，BC＝3cm，CD为AB边上的高．点E从点B出发沿直线BC以2cm/s的速度移动，过点E作BC的垂线交直线CD于点F.(1)试说明：∠A＝∠BCD；(2)当点E运动多长时间时，CF＝AB.请说明理由．【变式1－2】（2020·河北灵寿期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B两点的坐标分别为A(0，m)、B(n，0)，且|m﹣n﹣0，点P从A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO匀速运动，设点P的运动时间为t秒．(1)求OA、OB的长；(2)连接PB，设△POB的面积为S，用t的式子表示S；(3)过点P作直线AB的垂线，垂足为D，直线PD与x轴交于点E，在点P运动的过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．【例2】（2020·惠州市月考）如图，点C在线段BD上，AB⊥BD于B，ED⊥BD于D．∠ACE＝90°，且AC ＝5cm，CE＝6cm，点P以2cm/s的速度沿A→C→E向终点E运动，同时点Q以3cm/s的速度从E开始，在线段EC上往返运动（即沿E→C→E→C→…运动），当点P到达终点时，P，Q同时停止运动．过P，Q分别作BD的垂线，垂足为M，N．设运动时间为ts，当以P，C，M为顶点的三角形与△QCN全等时，t的值为_____．【变式2－1】（2020·江阴市月考）如图，在四边形ABCD中，AD＝BC＝4，AB＝CD，BD＝6，点E从D 点出发，以每秒1个单位的速度沿DA向点A匀速移动，点F从点C出发，以每秒3个单位的速度沿C→B→C 作匀速移动，点G从点B出发沿BD向点D匀速移动，三个点同时出发，当有一个点到达终点时，其余两点也随之停止运动．（1）试证明：AD∥BC．（2）在移动过程中，小芹发现当点G的运动速度取某个值时，有△DEG与△BFG全等的情况出现，请你探究当点G的运动速度取哪些值时，△DEG与△BFG全等．【变式2－2】（2020·重庆巴南月考）如图（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．点P在cm s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它线段AB上以1/们运动的时间为t（s）．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等，请说明理由，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系；（2）如图（2），将图（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”为改“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他条件不变．设点Q的cm s，是否存在实数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若运动速度为x/不存在，请说明理由．【变式2－3】（2020·江苏兴化月考）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8．点P从点A出发，沿折线AC—CB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动，点Q从点B出发沿折线BC—CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F．设点P的运动时间为t（秒）：（1）当P、Q两点相遇时，求t的值；（2）在整个运动过程中，求CP的长（用含t的代数式表示）；（3）当△PEC与△QFC全等时，直接写出所有满足条件的CQ的长．【例3】（2020·惠州市月考）如图，在△ABC中，AB＝AC＝18cm，BC＝10cm，∠B=∠C，AD＝2BD．如果点P在线段BC上以2cm/s的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．（1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过2s后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；（2）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP 全等？（3）若点Q以（2）中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？【变式3－1】（2019·山西太原月考）如图1，在长方形ABCD中，AB=CD=5cm，BC=12cm，点P从点B 出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为ts．（1）PC=___cm；(用含t的式子表示)（2）当t为何值时，△ABP≌△DCP？．（3）如图2，当点P从点B开始运动，此时点Q从点C出发，以vcm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得某时刻△ABP与以P，Q，C为顶点的直角三角形全等？若存在，请求出v的值；若不存在，请说明理由．【变式3－2】（2020·四川成都）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为_____厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q 三点所构成的三角形全等．【习题精练】=，BC6=，线段PQ=AB，1．（2020·江苏东台月考）如图，有一个直角三角形ABC，∠C＝90°，AC10点Q在过点A且垂直于AC的射线AX上来回运动，点P从C点出发，沿射线CA以2cm/s的速度运动，问>，才能使△ABC≌△QPA全等．P点运动___________秒时(t0)2.（2020·江苏泰州月考）如图，AB =12，CA ⊥AB 于A ，DB ⊥AB 于B ，且AC =4m ，P 点从B 向A 运动，每分钟走1m ，Q 点从B 向D 运动，每分钟走2m ，P 、Q 两点同时出发，运动_______分钟后△CAP 与△PQB 全等．3．（2020·常州市月考）如图， ADC 中．∠C ＝90°，AC ＝10cm ，BC ＝5cm ．AD ⊥AC ，AB ＝PQ ，P 、Q 两点分别在AC 、AD 上运动，当AQ ＝_____时，△ABC 才能和△APQ 全等．4.（2020·江西新余期末）如图，ABC ∆中，90ACB ∠=︒，8cm AC =，15cm BC =，点M 从A 点出发沿A C B →→路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B C A →→路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F .设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为______.5.（2020·武城县月考）如图，已知四边形ABCD中，AB＝12厘米，BC＝8厘米，CD＝14厘米，∠B＝∠C，点E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以3厘米秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CD上由C点向D点运动．当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？6.（2020·盐城市盐都区月考）如图，有一个直角△ABC，∠C=90°，AC=6，BC=3，一条线段PQ=AB，P、Q两点分别在AC和过点A且垂直于AC的射线AX上运动，问：当AP=________时，才能使以点P、A、Q 为顶点的三角形与△ABC全等．7.（2020·四川青羊期中）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，∠BAC＝90°，AH是△ABC的高，AH＝4cm，BC＝8cm，直线CM⊥BC，动点D从点C开始沿射线CB方向以每秒3厘米的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线CM上以每秒1厘米的速度向远离C点的方向运动，连接AD、AE，设运动时间为t（t＞0）秒．（1）请直接写出CD、CE的长度（用含有t的代数式表示）：CD＝cm，CE＝cm；（2）当t为多少时，△ABD的面积为12cm2？（3）请利用备用图探究，当t为多少时，△ABD≌△ACE？并简要说明理由．8．（2020·郑州市月考）如图，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点A 、B 两点的坐标分别A （m ，0），B（0，n ），且|m -n -3|=0，点P 从A 出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P 运动时间为t 秒．（1）求OA 、OB 的长；（2）连接PB ，若△POB 的面积不大于3且不等于0，求t 的范围；（3）过P 作直线AB 的垂线，垂足为D ，直线PD 与y 轴交于点E ，在点P 运动的过程中，是否存在这样的点P ，使△EOP ≌△AOB ?若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．9.（2020·宜兴市月考）如图，在△ABC 中，∠BAD ＝∠DAC ，DF ⊥AB ，DM ⊥AC ，AF ＝10cm ，AC ＝14cm ，动点E 以2cm /s 的速度从A 点向F 点运动，动点G 以1cm /s 的速度从C 点向A 点运动，当一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设运动时间为t ．（1）求证：AF ＝AM ；（2）当t 取何值时，△DFE 与△DMG 全等；（3）求证：在运动过程中，不管t 取何值，都有2AED DGC S S =△△．10.（2020·江苏工业园区期末）如图①，将长方形纸片沿对角线剪成两个全等的直角三角形ABC、EDF，其中AB＝8cm，BC＝6cm，AC＝10cm．现将△ABC和△EDF按如图②的方式摆放（点A与点D、点B与点E 分别重合）．动点P从点A出发，沿AC以2cm/s的速度向点C匀速移动；同时，动点Q从点E出发，沿射线ED以acm/s（0＜a＜3）的速度匀速移动，连接PQ、CQ、FQ，设移动时间为ts（0≤t≤5）．＝3S△BQC，则a＝；（1）当t＝2时，S△AQF（2）当以P、C、Q为顶点的三角形与△BQC全等时，求a的值；（3）如图③，在动点P、Q出发的同时，△ABC也以3cm/s的速度沿射线ED匀速移动，当以A、P、Q为顶点的三角形与△EFQ全等时，求a与t的值．11.（2019·江苏期末）如图①，在ABC ∆中，12AB =cm ，20BC =cm ，过点C 作射线//CD AB ．点M 从点B 出发，以3cm /s 的速度沿BC 匀速移动；点N 从点C 出发，以a cm /s 的速度沿CD 匀速移动．点M 、N 同时出发，当点M 到达点C 时，点M 、N 同时停止移动．连接AM 、MN ，设移动时间为t (s )．(1)点M 、N 从移动开始到停止，所用时间为s ；(2)当ABM ∆与MCN ∆全等时，①若点M 、N 的移动速度相同，求t 的值；②若点M 、N 的移动速度不同，求a 的值；(3)如图②，当点M 、N 开始移动时，点P 同时从点A 出发，以2cm /s 的速度沿AB 向点B 匀速移动，到达点B 后立刻以原速度沿BA 返回．当点M 到达点C 时，点M 、N 、P 同时停止移动．在移动的过程中，是否存在PBM ∆与MCN ∆全等的情形?若存在，求出t 的值；若不存在，说明理由．图①图②12.如图，ABC 中，90ACB ∠=︒，8AC cm =，15BC cm =，点M 从A 点出发沿A →C →B 路径向终点运动，终点为B 点，点N 从B 点出发沿B →C →A 路径向终点运动，终点为A 点，点M 和N 分别以每秒2cm 和3cm 的运动速度同时开始运动，两点都要到达相应的终点时才能停止运动，分别过M 和N 作ME l ⊥于E ，NF l ⊥于F 设运动时间为t 秒，要使以点M ，E ，C 为顶点的三角形与以点N ，F ，C 为顶点的三角形全等，则t 的值为________．13.（2019·湖北襄州）在平面直角坐标系中，点A（0，5），B（12，0），在y轴负半轴上取点E，使OA＝EO，作∠CEF＝∠AEB，直线CO交BA的延长线于点D．（1）根据题意，可求得OE＝；（2）求证：△ADO≌△ECO；（3）动点P从E出发沿E﹣O﹣B路线运动速度为每秒1个单位，到B点处停止运动；动点Q从B出发沿B﹣O﹣E运动速度为每秒3个单位，到E点处停止运动．二者同时开始运动，都要到达相应的终点才能停止．在某时刻，作PM⊥CD于点M，QN⊥CD于点N．问两动点运动多长时间△OPM与△OQN全等？14.（2019·福建省惠安期中）如图，在△ABC中，BC＝8cm，AG∥BC，AG＝8cm，点F从点B出发，沿线段BC以4cm/s的速度连续做往返运动，同时点E从点A出发沿线段AG以2cm/s的速度向终点G运动，当点E到达点G时，E、F两点同时停止运动，EF与AC交于点D，设点E的运动时间为t（秒）（1）分别写出当0≤t≤2和2＜t≤4时线段BF的长度（用含t的代数式表示）；（2）当BF＝AE时，求t的值；（3）若△ADE≌△CDF，求所有满足条件的t值．15.（2020·无锡市月考）△ABC中，AB=AC=12厘米，∠B=∠C，BC=8厘米，点D为AB的中点．如果点P 在线段BC上以3厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动．若点Q 的运动速度为_____厘米/秒，△BPD与△CQP全等.16.（2020·广东龙岗期末）直角三角形ABC中，∠ACB=90°，直线l过点C．（1）当AC=BC时，如图①，分别过点A、B作AD⊥l于点D，BE⊥l于点E．求证：△ACD≌△CBE．（2）当AC=8，BC=6时，如图②，点B与点F关于直线l对称，连接BF，CF，动点M从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AC边向终点C运动，同时动点N从点F出发，以每秒3个单位的速度沿F→C→B→C→F向终点F运动，点M、N到达相应的终点时停止运动，过点M作MD⊥l于点D，过点N 作NE⊥l于点E，设运动时间为t秒．①CM=，当N在F→C路径上时，CN=．（用含t的代数式表示）②直接写出当△MDC与△CEN全等时t的值．17.（2020·青岛市黄岛区月考）如图1，直线AM AN ⊥，AB 平分MAN ∠，过点B 作BC BA ⊥交AN 于点C ；动点E 、D 同时从A 点出发，其中动点E 以2/m s 的速度沿射线AN 方向运动，动点D 以1/m s 的速度运动；已知6AC cm =，设动点D ，E 的运动时间为t ．图1备用图（1）试求∠ACB 的度数；（2）当点D 在射线AM 上运动时满足ADB S ：2BEC S = ：3，试求点D ，E 的运动时间t 的值；（3）当动点D 在直线AM 上运动，E 在射线AN 运动过程中，是否存在某个时间t ，使得ADB 与BEC 全等？若存在，请求出时间t 的值；若不存在，请说出理由．参考答案及解析初中数学中，动点问题是学习的重、难点，在三角形、矩形等一些几何图形上，设计一个或多个动点，探究全等三角形存在性问题，该类题目具有较强的综合性。
专题五 动态问题+课件+2024年中考数学专题复习(广东专版)
，
=
．
∴
=
．
∵AE=AF，∴DP=CP=1．∴点G在直线AP上
运动．当点E与点A重合时，点G与点A重合．
如图2，当点E与点B重合时，点G在BD上，
图1
点G运动路径长度为AG．过点G作GH⊥AB于点H．
图2
-返回目录-
∵四边形ABCD为菱形，∠DAB=60°，AB=2，
殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系．分析过程中，特别要
关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位
置）．动点问题一直是考试热点．
-返回目录-
【例 1】（2021·广州）如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，
AB=2，E为边AB上一个动点，延长BA到点F，使AF=AE，且CF，
DE相交于点G．
（1）求证：AA'⊥CA'；
（2）以点O为圆心，OE为半径作圆．
①如图2，☉O与CD相切，求证：AA'= 3CA'；
②如图3，☉O与CA'相切，AD=1，求☉O的面积．
-返回目录-
（1）证明：∵点A关于BD的对称点为A'，
∴E是AA'的中点，∠AEO=90°．
又∵四边形ABCD是矩形，
∴O是AC的中点．∴OE是△ACA'的中位线．∴OE∥A'C．
∴CD∥BF，BD=2．∴△CDG∽△FBG．
∴ = ，即 = ．
∵ + = = ， ∴ =
在 △ 中， =
∴GH=
，
∴ = +
∴AG=
中考数学专题 动态几何问题
中考数学专题动态几何问题【简要分析】函数是中学数学的一个重要概念．加强对函数概念、图象和性质，以及函数思想方法的考查是近年中考试题的一个显著特点．大量涌现的动态几何问题，即建立几何中元素的函数关系式问题是这一特点的体现．这类题目的三乱扣帽子解法是抓住变化中的“不变”．以“不变”应“万变”．同时，要善于利用相似三角形的性质定理、勾股定理、圆幂定理、面积关系，借助议程为个桥梁，从而得到函数关系式，问题且有一定的实际意义，因此，对函数解析式中自变量的取值范围必须认真考虑，一般需要有约束条件．动态几何综合题【典型考题例析】例1：如图2-4-37，在直角坐标系中,O是原点,A、B、C三点的坐标分别为A（18，0）、B（18，6）、C（8，6），四边形OABC是梯形．点P、Q同时从原点出发，分别作匀速运动，其中点P沿OA向终点A运动，速度为每秒1个单位，点Q沿OC、CB向终点B运动，当这两点有一点到达自己的终点时，另一点也停止运动．（1）求出直线OC的解析式．（2）设从出发起运动了t秒，如果点Q的速度为每秒2个单位，试写出点Q的坐标，并写出此时t的取值范围．（3）设从出发起运动了t秒，当P、Q两点运动的路程之和恰好等于梯形OABC的周长的一半时，直线PQ能否把梯形的面积也分成相等的两部分？如有可能，请求出t的值；如不可能，请说明理由．例2：如图2-5-40，在Rt△PMN中，∠P=900，PM=PN，MN=8㎝，矩形ABCD的长和宽分别为8㎝和2㎝，C点和M点重合，BC和MN在一条直线上．令Rt△PMN不动，矩形ABCD沿MN所在直线向右以每秒1㎝的速度移动（图2-4-41），直到C点与N点重合为止．设移动x秒后，矩形ABCD与△PMN重叠部分的面积为y㎝2．求y与x之间的函数关系式．N 图2-4-40N 图2-4-41T图2-4-44图2-4-43M T．说明：此题是一个图形运动问题，解答方法是将各个时刻的图形分别画出，将图形则“动”这“静”，再设法分别求解．这种分类画图的方法在解动态几何题中非常有效，它可帮我们理清思路，各个击破．【提高训练】1．如图2-4-45，在ABCD中，∠DAB=600，AB=5，BC=3，鼎足之势P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所以过的线段与绝无仅有AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的函数关系的变化而变化．在图2-4-46中，能正确反映y与x的函数关系的是（）A B C D2．如图2-4-47，四边形AOBC为直角梯形，OB=%AC，OC所在直线方程为2y x=，平行于OC的直线l为：2y x t=+，l是由A点平移到B点时，l与直角梯形AOBC两边所转成的三角形的面积记为S．（1）求点C的坐标．（2）求t的取值范围．（3）求出S与t之间的函数关系式．3．如图2-4-48，在△ABC中，∠B=900，点P从点A开始沿AB边向点B以1㎝/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2㎝/秒的速度移动．（1）如果P、Q分别从A、B同时出发，几秒后△PBQ的面积等于8㎝2？（2）如果P、Q分别从A、B同时出发，点P到达点B后又继续沿BC边向点C移动，点Q到达点C后又继续沿CA边向点A移动，在这一整个移动过程中，是否存在点P、Q，使△PBQ的面积等于9㎝2？若存在，试确定P、Q的位置；若不存在，请说明理由．4．如图2-4-49，在梯形ABCD中，AB=BC=10㎝，CD=6㎝，∠C=∠D=900．（1）如图2-4-50，动点P、Q同时以每秒1㎝的速度从点B出发，点P沿BA、AD、DC运动到点C停止．设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为1y（㎝2），求1y（㎝2）关于t（秒）的函数关系式．（2）如图2-4-51，动点P以每秒1㎝的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为2y（㎝2）．求2y（㎝2）关于t（秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．第二部分真题精讲【例1】如图，在梯形ABCD中，AD BC∥，3AD=，5DC=，10BC=，梯形的高为4．动点M从B点出发沿线段BC以每秒2个单位长度的速度向终点C运动；动点N同时从C点出发沿线段CD以每秒1个单位长度的速度向终点D运动．设运动的时间为t（秒）．CMB（1）当MN AB∥时，求t的值；（2）试探究：t为何值时，MNC△为等腰三角形．图2-4-47A图2-4-49【思路分析1】本题作为密云卷压轴题，自然有一定难度，题目中出现了两个动点，很多同学看到可能就会无从下手。
中考数学动态几何问题课件 (共37张PPT)
1
1
S△BCD= BD· CF= × 4× - x 2 + 3x =-x2+6x,
2 2 2
1
1
1
则S=S△OAD+S△ACD+S△BCD=4+(2x-4)+(-x2+6x)=-x2+8x=-(x-4)2+16(2<x<6), 因为a=-1<0,所以当x=4时,四边形ABCD的面积S取最大值,最大值为16.
难点突破
6、 在△ABC中，AB＝AC，∠A＝60°，点D是线段BC的中点，∠EDF＝120°，DE与线段AB 相交于点E，DF与线段AC(或AC的延长线)相交于点F. (1)如图①，若DF⊥AC，垂足为F，AB＝4，求BE的长； (2)如图②，将(1)中的∠EDF绕点D顺时针旋转一定的角度，DF仍与线段AC相交于点F.
∴ ∠BEC+ ∠AEN的值不变
难点突破
难点突破 5、如图，长方形纸片ABCD中，AB＝8，将纸片折叠，使顶点B落在边AD上的 E点处，折痕的一端G点在边BC上． (1)如图①，当折痕的另一端F在AB边上且AE＝4时，求AF的长； (2)如图②，当折痕的另一端F在AD边上且BG＝10时． ①求证：EF＝EG；②求AF的长；
由折叠知△A1DE≌△ADE, 所以A1D=AD=1.
由 A1B+A1D≥BD,得 A1B≥BD-A1D= 5-1. 故 A1B 长的最小值是 5-1.
难点突破
2、如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10 cm,BC=8 cm,点P从点A沿AC向点C以1 cm/s的速度
运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2 cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止),在运动过程中,四边 形PABQ面积的最小值为( C )
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A.1【解析】如图，作点 E 关于直线 CD 的对称点 E′，连接 AE′，交 CD 于点 F.
∵在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E 是 BC 中点， ∴BE＝CE＝CE′＝4.
3 / 33
∵AB⊥BC，CD⊥BC， ∴CF∥AB，△CE′F∽△BE′A. CE′/BE′=CF/AB 4/(8+4)=CF/6 解得 CF＝2. ∴DF＝CD－CF＝6－2＝4. 热点二：线动 【例题 2】（线动题）如图 ，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中 量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3°的速度旋转，CP 与量角器的半圆弧交于点 E，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的 读数是________．
【答案】144° 【解析】连接 OE，∵∠ACB＝90°， ∴A，B，C 在以点 O 为圆心，AB 为直径的圆上． ∴点 E，A，B，C 共圆． ∵∠ACE＝3°×24＝72°，
4 / 33
∴∠AOE＝2∠ACE＝144°. ∴点 E 在量角器上对应的读数是 144°. 【例题 3】（面动题）如图 Z10-4，将一个边长为 2 的正方形 ABCD 和一个长为 2，宽 为 1 的长方形 CEFD 拼在一起，构成一个大的长方形 ABEF.现将小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转至 CE′F′D′，旋转角为α. (1)当点 D′恰好落在 EF 边上时，求旋转角α的值； (2)如图 Z10-5，G 为 BC 中点，且 0°＜α＜90°，求证：GD′＝E′D； (3)小长方形 CEFD 绕点 C 按顺时针旋转一周的过程中，△ DCD′与△CBD′能否全等？ 若能，直接写出旋转角α的值；若不能，请说明理由．
【答案】见解析。 【解析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相 等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形、矩形的性质以
5 / 33
及三角形全 等的判定与性质． (1)∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′， ∴CD′＝CD＝2. 在 Rt△CED′中，CD′＝2，CE＝1，∴∠CD′E＝30°. ∵CD∥EF，∴∠α＝30°. （2）证明：∵G 为 BC 中点，∴CG＝1.∴CG＝CE. ∵长方形 CEFD 绕点 C 顺时针旋转至 CE′F′D′， ∴∠D′CE′＝∠DCE＝90°，CE＝CE′＝CG. ∴∠GCD′＝∠E′CD＝90°＋α.
1 / 33
3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，根据问题中的常量与变量之间的关系，判断函 数图象。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，根据问 题中的常量与变量之间的关系，判断函数图象。 三、图形运动与函数图象问题常见的三种类型： 1.线段与多边形的运动图形问题：把一条线段沿一定方向运动经过三角形或四边形， 根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 2.多边形与多边形的运动图形问题：把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过另一 个多边形，根据问题中的常量与变量之间的关系，进行分段，判断函数图象。 3.多边形与圆的运动图形问题：把一个圆沿一定方向运动经过一个三角形或四边形， 或把一个三角形或四边形沿一定方向运动经过一个圆，根据问题中的常量与变量之间 的关系，进行分段，判断函数图象。 四、动点问题常见的四种类型： 1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，通过全等或相似，探究构成的新图 形与原图形的边或角的关系。 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，通过探究构成的新图形与原图形的 全等或相似，得出它们的边或角的关系。 3.圆中的动点问题：动点沿圆周运动，探究构成的新图形的边角等关系。 4.直线、双曲线、抛物线中的动点问题：动点沿直线、双曲线、抛物线运动，探究是 否存在动点构成的三角形是等腰三角形或与已知图形相似等问题。 五、解决动态问题一般步骤： （1）用数量来刻画运动过程。因为在不同的运动阶段，同一个量的数学表达方式会发
2 / 33
生变化，所以需要分类讨论。有时符合试题要求的情况不止一种，这时也需要分类讨 论。 （2）画出符合题意的示意图。 （3）根据试题的已知条件或者要求列出算式、方程或者数量间的关系式。
专题典型题考法及解析
【例题 1】（点动题）如图，在矩形 ABCD 中，AB＝6，BC＝8，点 E 是 BC 中点，点 F 是边 CD 上的任意一点，当△AEF 的周长最小时，则 DF 的长为（ ）
中考数学复习考点知识与典型题型专题讲解 专题 34 动态问题
专题知识回顾
一、动态问题概述 1.就运动类型而言,有函数中的动点问题、图象问题、面积问题、最值问题、和差问题、 定值问题和存在性问题等。 2.就运动对象而言,几何图形中的动点问题，有点动、线动、面动三大类。 3.就图形变化而言,有轴对称（翻折）、平移、旋转（中心对称、滚动）等。 4.动态问题一般分两类，一类是代数综合方面，在坐标系中有动点，动直线，一般是 利用多种函数交叉求解。另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、 线以及整体平移翻转，对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数 学当中的重中之重，只完全掌握才能拿高分。 另一类就是几何综合题，在梯形，矩形，三角形中设立动点、线以及整体平移翻转， 对考生的综合分析能力进行考察。所以说，动态问题是中考数学当中的重中之重，只 完全掌握才能拿高分。 二、动点与函数图象问题常见的四种类型： 1.三角形中的动点问题：动点沿三角形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关 系，判断函数图 2.四边形中的动点问题：动点沿四边形的边运动，根据问题中的常量与变量之间的关 系，判断函数图象。