高考真题文科数学解析分类汇编16：选考内容

高考文科试题解析分类汇编：选考内容1.【2012高考陕西文15】（不等式选做题）若存在实数x 使|||1|3x a x -+-≤成立，则实数a 的取值范围是 .【答案】42≤≤-a .【解析】不等式3|1|||≤-+-x a x 可以表示数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和小于等于3，因为数轴上的点x 到点a 和点1的距离之和最小时即是x 在点a 和点1之间时，此时距离和为|1|-a ，要使不等式3|1|||≤-+-x a x 有解，则3|1|≤-a ，解得42≤≤-a .2.【2012高考陕西文15】（几何证明选做题）如图，在圆O 中，直径AB 与弦CD 垂直，垂足为E ，EF DB ⊥，垂足为F ，若6AB =，1AE =，则DF DB ⋅= .【答案】5.【解析】5,1,6=∴==EB AE AB .连接AD ，则AED ∆∽DEB ∆，BE DE DE AE =∴, 5=∴DE , 又DFE ∆∽DEB ∆,DBDE DE DF =∴,即52==⋅DE DB DF . 3.【2012高考陕西文15】（坐标系与参数方程）直线2cos 1ρθ=与圆2cos ρθ=相交的弦长为 . 【答案】3.【解析】直线1cos 2=θρ与圆θρcos 2=的普通方程为1)1(1222=+-=y x x 和，圆心到直线的距离为21211=-，所以弦长为3)21(122=-. 4.【2012高考天津文科13】如图，已知AB 和AC 是圆的两条弦，过点B 作圆的切线与AC 的延长线相交于D .过点C 作BD 的平行线与圆交于点E ,与AB 相交于点F ,3AF =,1FB =,32EF =,则线段CD 的长为 .【答案】34 【解析】如图连结BC ，BE ，则∠1=∠2，∠2=∠A1A ∠=∠∴，又∠B=∠B ，CBF ∆∴∽ABC ∆，ACCF AB CB BC BF AB CB ==∴,,代入数值得BC=2，AC=4，又由平行线等分线段定理得FB AF CD AC =,解得CD=34. 5.【2012高考湖南文11】某制药企业为了对某种药用液体进行生物测定，需要优选培养温度，实验范围定为29℃~63℃.精确度要求±1℃.用分数法进行优选时，能保证找到最佳培养温度需要最少实验次数为_______.【答案】７【解析】用分数法计算知要最少实验次数为7.【点评】本题考查优选法中的分数法，考查基本运算能力.6.【2012高考湖南文10】在极坐标系中，曲线1C ：sin )1ρθθ+=与曲线2C ：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，则a =_______.【答案】2【解析】曲线1C 1y +=，曲线2C 的普通方程是直角坐标方程222x y a +=，因为曲线C 1：sin )1ρθθ+=与曲线C 2：a ρ=(0)a >的一个交点在极轴上，所以1C 与x 轴交点横坐标与a 值相等，由0,2y x ==，知a ＝2. 【点评】本题考查直线的极坐标方程、圆的极坐标方程，直线与圆的位置关系，考查转化的思想、方程的思想，考查运算能力；题型年年有，难度适中.把曲线1C 与曲线2C 的极坐标方程都转化为直角坐标方程，求出与x 轴交点，即得.7.【2012高考广东文14】（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 和2C的参数方程分别为x y θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩（θ为参数，02πθ≤≤）和122x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩（t 为参数），则曲线1C 和2C 的交点坐标为 .【答案】(2,1)【解析】 2212:5(,0),:1C x y x y C y x +=≥=- 解得：交点坐标为(2,1).8【2012高考广东文15】（几何证明选讲选做题）如图3所示，直线PB 与圆O 相切于点B ， D 是弦AC 上的点，PBA DBA ∠=∠. 若AD m =，AC n =，则AB = .【解析】,PBA DBA ACB BAD CAB BAD CAB ∠=∠=∠∠=∠⇒∆∆得：2AB AD AB AC AD mn AB AC AB=⇔=⨯=⇔=9．【2012高考新课标文22】（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为△ABC 边AB ，AC 的中点，直线DE 交△ABC 的外接圆于F ，G 两点，若CF//AB ，证明：FG(Ⅰ)CD=BC ；(Ⅱ)△BCD ∽△GBD【命题意图】本题主要考查线线平行判定、三角形相似的判定等基础知识，是简单题.【解析】(Ⅰ) ∵D ，E 分别为AB,AC 的中点，∴DE ∥BC ，∵CF ∥AB ， ∴BCFD 是平行四边形，∴CF=BD=AD ，连结AF ，∴ADCF 是平行四边形，∴CD=AF ，∵CF ∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC ；(Ⅱ) ∵FG ∥BC ，∴GB=CF ，由(Ⅰ)可知BD=CF ，∴GB=BD,∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD ∽△GBD.10.【2012高考新课标文23】(本小题满分10分)选修4—4；坐标系与参数方程已知曲线C 1的参数方程是⎩⎨⎧==ϕϕsin 3cos 2y x (φ为参数)，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标；(Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围.【命题意图】本题考查了参数方程与极坐标，是容易题型.【解析】(Ⅰ)由已知可得(2cos,2sin )33A ππ，(2cos(),2sin())3232B ππππ++， (2cos(),2sin())C ππππ++，33(2cos(),2sin())2D ππππ++， 即A(1，B 1），C （―1，D 1），(Ⅱ)设(2cos ,3sin )P ϕϕ，令S =2222||||||||PA PB PC PD +++， 则S =2216cos 36sin 16ϕϕ++=23220sin ϕ+，∵20sin 1ϕ≤≤，∴S 的取值范围是[32,52].11.【2012高考新课标文24】（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数f (x ) = |x + a | + |x －2|.(Ⅰ)当a =－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(Ⅱ)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1,2]，求a 的取值范围.【命题意图】本题主要考查含绝对值不等式的解法，是简单题. 【解析】(Ⅰ)当3a =-时，()f x =25,21, 2325,3x x x x x -+≤⎧⎪<<⎨⎪-≥⎩，当x ≤2时，由()f x ≥3得253x -+≥，解得x ≤1；当2＜x ＜3时，()f x ≥3，无解；当x ≥3时，由()f x ≥3得25x -≥3，解得x ≥8，∴()f x ≥3的解集为{x |x ≤1或x ≥8}；(Ⅱ) ()f x ≤|4|x -⇔|4||2|||x x x a ---≥+，当x ∈[1,2]时，|||4||2|x a x x +≤---=42x x -+-=2，∴22a x a --≤≤-，有条件得21a --≤且22a -≥，即30a -≤≤，故满足条件的a 的取值范围为[－3,0].12.【2012高考辽宁文22】(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图，⊙O 和⊙/O 相交于,A B 两点，过A 作两圆的切线分别交两圆于C ，D 两点，连接DB 并延长交⊙O 于点E 。

证明(Ⅰ)AC BD AD AB ⋅=⋅；(Ⅱ) AC AE =。

【命题意图】本题主要考查圆的切线的性质、三角形相似的判断与性质，考查推理论证能力和数形结合思想，重在考查对平面几何基础知识、基本方法的掌握，难度较小。

证明：（1）由AC 与O 相切于A ，得=CAB ADB ∠∠，同理=ACB DAB ∠∠，所以ACB DAB ∆∆ 。

从而=AC AB AD BD，即=AC BD AD AB ……4分 （2）由AD 与O 相切于A ，得=A E D B A D∠∠，又=A D E B D A ∠∠，得E A D A B D ∆∆ 从而=AE AD AB BD，即=AE BD AD AB ，综合（1）的结论，=AC AE ……10分 13.【2012高考辽宁文23】(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标xOy 中，圆221:4C x y +=，圆222:(2)4C x y -+=。

(Ⅰ)在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆12,C C 的极坐标方程，并求出圆12,C C 的交点坐标(用极坐标表示)；(Ⅱ)求圆12C C 与的公共弦的参数方程。

【命题意图】本题主要考查点的极坐标表示、圆的极坐标方程、参数方程的表示及参数方程与一般方程的转换、解方程组的知识，难度较小。

【解析】圆1C 的极坐标方程为=2ρ，圆2C 的极坐标方程为=4cos ρθ，解=2=4cos ρρθ⎧⎨⎩得=2,=3πρθ±，故圆1C 与圆2C 交点的坐标为2,,2,-33ππ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ……5分注：极坐标系下点的表示不唯一（2）（解法一）由=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，得圆1C 与圆2C 交点的直角坐标为((,故圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1=x y t ⎧≤⎨⎩（或参数方程写成=1=x y y y ⎧≤⎨⎩ … 10分（解法二）将=1x 代入=cos =sin x y ρθρθ⎧⎨⎩，得cos =1ρθ，从而1=cos ρθ 于是圆1C 与圆2C 的公共弦的参数方程为=1-=tan 33x y ππθθ⎧≤≤⎨⎩ 【点评】本题要注意圆221:4C x y +=的圆心为)0,0(半径为21=r ，圆222:(2)4C x y -+=的圆心为)0,2(半径为22=r ，从而写出它们的极坐标方程；对于两圆的公共弦，可以先求出其代数形式，然后化成参数形式，也可以直接根据直线的参数形式写出。

14.【2012高考辽宁文24】(本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲已知()|1|()f x ax a R =+∈，不等式()3f x ≤…的解集为{|2x -剎≤1x ≤…｝。

(Ⅰ)求a 的值；(Ⅱ)若|()2()|2x f x f k -≤…恒成立，求k 的取值范围。

【命题意图】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用.【解析】(Ⅰ)由+13ax ≤得-42ax ≤≤，又()3f x ≤的解集为{}-21x x ≤≤，所以 当0a ≤时，不合题意 当>0a 时，42-x a a≤≤，得=2a …5分 (Ⅱ)记()()=-22x h x f x f ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则()1,-11=-4-3,-1<<-21-1,-2x h x x x x ⎧⎪≤⎪⎪⎨⎪⎪≥⎪⎩， 所以()1h x ≤，因此1k ≥ ……10分 【点评】本题主要考查分段函数、不等式的基本性质、绝对值不等式及其运用，考查分类讨论思想在解题中的灵活运用，第(Ⅰ)问，要真对a 的取值情况进行讨论，第(Ⅱ)问要真对)2(2)(x f x f -的正负进行讨论从而用分段函数表示，进而求出k 的取值范围。