1.1晶格热振动

简谐振动的动力学基本特征：力与平衡位置 的位移大小成正比、方向相反。
• 原子做简谐振动时，可以用量子力学中谐振 子的简谐运动描述其振动特性
对第n个原子，考虑n-1,n+1原子对它的作用， 它的简谐振动的运动方程可写成：
d xn m 2 = β ( xn +1 + xn −1 − 2 xn ) dt
在固体物理中为了计算方便，通常选取反映晶 格周期性的原胞，该原胞是最小重复单元。也 可称固体物理原胞。 结晶学中为了反映晶格周期性和对称性，通常 取最小重复单元的几倍作为原胞，也称布拉菲 原胞（你们所学的晶胞）。 如图，为面心立方晶胞 与原胞。晶胞中有4个原 子，但原胞中只有一个 原子，因此原胞的体积 为a3/4。
莫来石轻质断热砖
1 n= hω exp −1 kT
• 晶格振动的总平均能量:
hωi 1 3 Nn E=∑ + ∑ hω i hω i i =1 2 i =1 exp −1 kT
3 Nn
8。热力学定律和函数
•热力学第一定律： Q = ∆E+A ∆E为内能的变化，系统吸收的热量为Q(放热为 负值)，对外界做功为A(外界对系统做功为负)。 •微分形式为： dQ = dE + dA
e
( E−EF ) / kT
1
+1
表示一个电子占据能量为E的能级的几率
玻色-爱因斯坦统计分布
若考虑到粒子（如光子）虽然相互不能区别,但 进入同一能量状态的粒子数不受限制 f(E) =
e
( E−EF ) / kT
1
−1
T绝对温度,k玻尔兹曼数, EF费米能级
• 声子：服从玻色-爱因斯坦统计分布，在温度为T的 热平衡中，一个声子模式的占据数是：
会显示出新的特征。
• 有两组简谐振动的运动方程，导致有两组色 散关系：
ω =
2 1
(m + M ) − m + M + 2mM cos(2qa ) mM
2 2
β
[
]
1 2
;
ω =
2 2
(m + M ) + m + M + 2mM cos(2qa ) mM
2 2
β
[
]
1 2
2
dr
2! dr
n
• 非简谐项：
1 dU 1 dU 3 n + ( 3 ) a δ + ........... + ( n ) a δ 3! dr n! dr
3
• δ很小，势能可近似为
1 dU 2 U ( r ) = U (a ) + ( 2 )a δ 2 dr
2
• 两原子间相互作用力F为： 2 dU dU ( r ) dU (r ) = −( 2 ) a δ = − βδ F =− =− dr dr dδ
简谐振动近似：格波之间相互独立，声子间无相互作用 非简谐振动：格波之间相互不独立，声子间有相互作用
声子
7。统计力学概要
统计规律: 大量偶然事件中反映出来的一种规律性 能量分布函数 ： f(E) = dN/(NdE) f(E)物理意义：在能量E附近单位能量间隔 内的粒子数占粒子总数的比率 归一化条件:
2
(n = 1,2.L, N )
一个质点的振动会影 响到其他质点振动
F＝ma
• 设方程组的解是一振幅为A，角频率为ω的简谐 振动 ：
xn = Ae
1 2
i (ωt − naq )
把它代入到运动方程组中，可得振动频率ω和波 矢q之间的关系式（称为色散关系）
β qa ω = 2 sin m 2
• 红外探测即探测目标自身 的红外发射特征，降低目 标的温度和发射率是达到 红外隐形的关键所在。通 常降低温度的隐形措施较 多，如飞机采用高函道比 的涡轮风扇发动机，坦克 采用绝热式发动机，发动 机采用特殊燃料以降低红 外辐射或改变红外辐射波 长，采用吸热、隔热材料 和涂料，采用闭合环路冷 却的控制系统等。
6。格波的能量
• 晶格振动是晶体中诸原子集体地在作振动， 其结果表现为晶格中的格波。 • 当振动微弱时，即相当于简谐近似的情况， 格波直接就是简谐波。 • 简谐波之间的相互作用可以忽略，从而可以 认为它们的存在是相互独立的，每一独立的 模式对应一个振动态。 • 晶格的周期性又给予了格波以一定的边界条 件（玻恩—卡门条件），使得独立的模式亦 即独立的振动态是分立的。
1.1 晶格热振动
1。晶格振动的物理图像
• 晶体内的原子并不是在各自的平衡位置上固 定不动的。 • 由于热运动，各原子离开了它们的平衡位置， 由于原子间的相互作用，有回到平衡位置的 趋势。这两个矛盾相互作用的结果，使每个 原子在平衡位置附近作微振动。 • 材料各种热学性能的物理本质，均与其晶格 热振动有关。
• 因此可以得到结论： • 可以用独立简谐振子的振动来表述晶体中格 波的独立模式。 • 晶格振动的总能量表述为格波的独立模式能 量之和。 • 根据量子理论，一维简谐振动的能量是量子 化的，即频率为ω的振动能量为：
1 E n = n + hω 2
• 三维晶格振动的总能量为 ：
1 E = ∑ (ni + )hϖ i 2 i =1
•玻尔兹曼( Boltzman )分布(经典统计) ： 按能量分布的统计规律 f(Ek) =
2
π
(kT)
−
3 2
⋅ Ek ⋅ e
−Ek / kT
即 f(E) = Ae-E/kT A常数 (由具体问题确定) e-E/kT 玻尔兹曼因子
量子统计学
•费米-狄拉克统计分布： 粒子(电子)是不能相互区别的，并且遵守 “ Pauli不相容原理”(原子中不可能有两个或 两个以上的电子处于同一量子态)。 f(E) =
xn = Ae
• 方程组解的意义：
i பைடு நூலகம்ωt − naq )
• 晶格中各个原子间的振动相互间都存在着 固定的位相关系，也即在晶格中存在着角 频率为ω的平面波，这种波称为格波。 • 一个格波解表示所有原子同时做频率为ω 的振动，不同原子之间有位相差。
3。一维复式格子的情形 。
对于每个原胞内含有多于一个不等价原 子的晶体，简谐振动情况怎样？
5。波矢q取值的范围
在色散关系中q是否可以任意取值？ 边界条件使得波矢q只能取N个不同的值，N 是原胞的数目。 由N个原胞组成的晶体，晶格振动波矢q的 数目=晶体原胞数； 晶格振动频率的数目（格波数）=晶体的自 由度数。
• 例如： • 一维复式格子，有2个原子，如果晶体中含 有N个原胞，自由度是2N，则有2个色散关 系，2N个格波，N个波矢。 • 金钢石结构，3维格子，一个原胞中有2个 原子，自由度是6N，则有3×2＝6个色散关 系，3×2N＝6N个格波，N个波矢。
第一章 材料的热学性能
• 材料的热学性能?
材料的热学性能主要有热容、热膨胀、热传 导、热稳定性等。
• 有什么用？
为选材、用材、改善材料热学性能、探索新 材料和新工艺等打下物理理论基础。
• 材料的热学性能和材料中什么东西有 联系？
原子振动，电子运动
查
本章内容
1.1晶格热振动(基础知识，主要引出声子 的概念） 1.2材料的热容 1.3材料的热膨胀 1.4材料的热传导 1.5材料的热稳定性
∫ f (E)dE = ∫
0
∞
∞
0
dN =1 N
速度分布函数 ： f(υ) = dN/(Ndυ) •气体分子速度分布率—— 麦克斯韦(Maxwell)分布
m 2 −mυ2 / 2kT f(υ) = 4π ⋅υ ⋅ e 2πkT
3/ 2
T…绝对温度, m…气体分子的质量, k…玻尔兹曼常数
.
β qa 原胞中只含有一个原子时： ω = 2 sin m 2
1 2
4。声学波和光学波
ω
ω2 (光学波 光学波) 光学波 ω1 (声学波 声学波) 声学波 -π/2a 0 q π/2a 一维双原子晶格的ω 一维双原子晶格的ω-q曲线
声学波：格波类似于弹性体中应变波，两种原 子振动方向相同，反映晶格原子的整体运动。 光学波：频率往往在红外光区，两种原子振动 方向相反，反映晶格原子的相对运动 。
3 nN
•能量的量子“ hω i 子 。
”称为声
ni是频率为ωi的格波模式占据的声子数。
•晶格振动的格波 晶格振动的能量是量子化的，能量激发的单元 是ħω。声子就是指格波的量子，它的能量等于 ħω。一个格波，也就是一种振动模，称为一种 声子。声子不是真实的粒子，称为“准粒子”， 它反映的是晶格原子集体运动状态的激发单元。 •使用声子的概念 不仅生动反映了晶格振动能量的量子化，而且在 分析与晶格振动有关的问题时也带来很大的方便。
附 录
• AMK显卡显存 散热片分为两种型 号，它们分别是CO－W45－10W／ 4型和CO－W48－20W／4型。散热 片的尺寸大概都是20mm×20mm， 其高度分别为10mm和20mm。散热 片由切得很精细的铝片构成，每边 都是由九个铝片做成的两个滚条组 成。
•尺 寸 为 14mmx14mmx14.5mm 的 MC14 （单颗重量8.5g），凭借着铜材质的高 导热、以及铸造工艺所造就密集铜柱将 显存散热片的散热效能提升到一个新的 高度，在官方的演示中，在同样5W热源 上和25度室温环境中，MC14凭借新工艺 带来的优势比SKIVING制显存散热片可 以多降温6.5度。售价已经达到19.95美圆 （8颗一组）
2。原子简谐振动 设原胞中只含有一个原子，做一维振动
。
a是平衡时原子间距（晶格常数）
• 两原子间的互作用势能因原子微振动而由平 衡时的U(a)变为U(a+δ)。 • 因为是微振动，δ很小，所以将U(r)在平衡点 a附近，按泰勒级数展开，得： • 简谐项： U ( r ) = U ( a ) + ( dU ) δ + 1 ( d U ) δ 2 a a 2