小学数学统计与概率教学

《小学数学统计与概率教学》

一、教学目的：通过本章的学习，使学生明确小学数学统计与概率的教育价值，了解其内容构成及目标要求，了解儿童学习统计与概率知识的主要特征，掌握小学数学统计与概率教学的过程与方法。

二、教学重点、难点

重点是小学数学统计与概率教学的过程与方法；难点是小学数学统计与概率教学设计。

三、教学内容：小学数学统计与概率教学概述、儿童学习统计与概率知识的主要特征、小学数学统计与概率教学的过程与方法。

§9.1 小学数学统计与概率教学概述

传统的小学数学课程体系中，只是在高年级编了一些简单的统计图表的知识，并且往往主要是将其当作工具性知识来学习的，因而也就将重点放在一些诸如绘制统计图表等的操作技能。而实际上，这部分知识不仅仅是一种技术，更是认识现实世界与处理日常生活的一种思想方法。

9.1.1 “统计与概率”内容的教育价值

（一）有助于培养学生以随机的观点来理解世界，形成正确的世界观和方法论在以信息和技术为基础的社会里，数据日益成为一种重要的信息。为了更好地理解世界，人们必须学会处理各种信息，尤其是数字信息，收集、整理与分析信息的能力已经成为信息时代每一个公民基本素养的一部分。日常生活中，我们经常会听到“某地区受灾面积达到50%”“估计第三世界人口的增长率为每年4%”“这场足球赛，巴西队赢的可能性比较大”“坐火车旅游比较安全”“今天长沙地区的降水概率为60%”“买医疗保险对我有利”等语言，这实际上就是人们对客观世界中某些现象的一种描述，其中都涉及大量的数据。面对这些数据，人们就要作出分析和判断。也就是说，人们常常需要对大量纷繁复杂的信息作出恰当的选择与判断。随着社会的不断发展，统计与概率的思想方法将越来越重要。统计与概率所提供的“运用数据进行推理”的思考方法已经成为现代社会一种普遍适用并且强有力的思维方式。因此，义务教育阶段使学生熟悉统计与概率的基本思想方法，从而使他们逐步形成统计观念，进而形成尊重事实、用数据说话的态度。不仅如此，让学生了解随机现象，将有助于他们形成科学的世界观与方法论。

（二）有助于发展学生解决问题的能力

在学习统计与概率的过程中，将会涉及解决问题、计算、推理，以及整数、分数、比值等知识，这实际上是在学习新知识的同时复习和运用过去的旧知识，发展学生解决问题的能力。

（三）有助于培养学生对数学的积极情感体验

统计与概率这一领域的内容对学生来说是充满趣味和吸引力的。动手收集与呈现数据是一个活动性很强并且充满挑战和乐趣的过程，做概率游戏本身就是对思维的一种挑战，也是一个非常有趣的过程，这有助于培养学生对数学的积极情感体验。

9.1.2 “统计与概率”的内容构成及目标要求

统计与概率是随着新一轮基础教育课程改革，在小学数学课程标准中重新组织进去的一个模块，尤其是增加了“概率”部分，因此，与传统的“统计初步”内容有着根本性的区别。

（一）课程内容

“统计与概率”的课程内容，在数学意义上是一个整体，它们都是通过对数据的收集、整理、分析与描述，获得一些整体性规律的认识，从而帮助人们对某些事件作出合理

的推断与科学的预测。因此，两者在知识上构成相互关联的关系，例如，要认识某些随机现象，就必须运用某些统计的知识；而选用适当的方法收集一些数据，并对其进行统计学的处理后，人们就有可能从一些随机现象中寻找到某些规律性的认识。可见，它们都是将重心放在对数据意义的认识以及对数据收集的处理的能力上面。因此，在小学数学课程结构中，通常将这两部分内容融合在一起。

具体地看，小学数学课程内容结构中的“统计与概率”主要有如下一些基本部分构成：（1）知道数据在描述、分析、预测以及解决一些日常生活中的现象与问题的价值。（2）学会一些简单的数据收集、整理、分析、处理和利用的基本的能力。

（3）会解读和制作一些简单的统计图表。

（4）认识一些随机现象，并能运用适当的方法来预测这些随机现象发生的可能性。（二）目标要求

《数学课程标准》将“统计与概率”这部分知识的基本目标，按课程目标和内容目标两个部分分别予以表述。

1．课程目标

《数学课程标准》将课程目标按学段来表述，其中涉及“统计与概率”内容的，在小学阶段，分为两个学段的目标。

（1）第一学段（1~3年级）。《数学课程标准》指出：“对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验，掌握一些简单的数据处理技能；初步感受不确定现象。”

在这段文字的表述中，呈示着四个目标方向。第一，低年级的儿童学习统计与概率知识，以直观的活动为主，思考是伴随在诸如分类、排列等操作活动和直观观察之中的；第二，是以借助具体的操作和日常生活的例子，来获得数据的收集、整理和分析等过程体验为主的；第三，通过对实例的尝试性的操作活动逐步形成一些初步的数据处理技能；第四，以学生的经验为基础，并通过简单的尝试性试验来初步感受事件发生的确定性和不确定性。

（2）第二学段（4~6年级）。《数学课程标准》指出：“经历收集、整理、描述和分析数据的过程，掌握一些数据处理的技能；体验事件发生的等可能性、游戏规则的公平性，能计算一些简单事件发生的可能性。”

在这段文字的表述中，呈示着三个目标方向。第一，中、高年级儿童的概率与统计知识学习，以直观的活动为主，同时还以体验为基本目标；第二，通过诸如抛硬币等操作活动来认识所谓的等可能性；第三，通过诸如掷骰子等操作活动来计算一些简单事件发生的可能性。

2．内容目标

与课程目标一样，小学数学中的“统计与概率”的内容目标也是分学段来描述的。（1）第一学段（1~3年级）。从课程内容看，第一学段的儿童将主要学习：能按照给定的标准或自己选择某个标准对物体进行比较、排列和分类，并在这种活动中体验活动结果在同一标准下的一致性与在不同标准下的多样性；知道可以从报刊、杂志、电视等媒体中获取数据信息，从而对数据的收集、整理、描述和分析过程有所体验；能通过实例认识统计表和象形统计图与条形统计图，能根据统计图表中的数据提出问题并回答简单的问题，或能根据简单的问题，使用适当的方法（包括计数、测量、实验等）收集数据，并将这些数据记录在统计表中，并能完成相应的图表；通过丰富的实例来了解平均数的意义，会求结果为整数的简单的平均数；能初步体验到有些事件发生是确定的，而有些则是不确定的，而且能知道事件发生的可能性是有大小的，并能对一些事件发生的可能性作出简单的描述。

（2）第二学段（4~6年级）。从课程内容看，第二学段的儿童将主要学习：经历简单的收集、整理、描述和分析数据的过程，初步体会数据可能会产生误差，并能根据实

际问题设计简单的调查表；通过实例认识折线统计图，根据需要选择不同的统计图来直观和有效地表示数据，并能解释统计结果；通过实例了解平均数、中位数、众数的意义，同时会求出并解释实际结果的意义，还能根据具体的问题选择适当的统计量来表示数据的不同特征；体验事件发生的等可能性以及游戏的公平性，会求一些简单事件发生的可能性或按要求设计一个方案；能对简单事件发生的可能性作出预测，并阐述自己的理由。

9.1.3 儿童学习统计与概率知识的主要特征

在开始学习之前，大部分儿童在描述一个现象的时候，往往简单地通过对现象的直观认识来描述，他们往往还会通过收集数据，并利用数据对这些现象进行更为精确的描述或预测。而儿童的统计与概率思想的形成，不仅有赖于他们对知识的学习，还有赖于遵循他们发展规律的教学组织。

（一）统计思想的形成

统计思想的本质是从局部观察到的资料的统计特征来推断整个系统的状态，或去判定某一论断能以多大的概率来保证其准确性，它是一种由局部推断整体的思想方法，是一种探知某个系统的规律性的科学。儿童在形成统计思想方法的过程中，主要会表现出如下一些特征：

（1）儿童的统计思想是在操作活动中逐步形成的。例如，一个学龄前的儿童，面对由许多香蕉和苹果组成的一堆水果时，在开始的时候，可能只会采用先数出香蕉的个数，再数出苹果个数的方法来比较哪种水果多。但是，当这些水果的数量足够多的时候，慢慢地，他可能就会想到将这些水果先分开来，然后再分别去数。随着经验的增长，他可能逐渐会想到将这些水果分类对应排列起来，于是，对这个儿童来说，基本的统计思想就产生了。

（2）儿童对数据的分析与利用能力的发展是一个渐进的过程，对一个学龄前的儿童来说，数字往往只是表示单个物体量的一个符号，并不用来描述自己观察到的现象。因此，数字之间往往是不相关的。例如，他可能关注到，有一个小朋友一天里吃了1个水果，吃了5块巧克力糖。然而，在他眼里，这些只不过就是一些静止的和不关联的数字，他也只是获得了一些事实。可是，对于一个低年级的小学生来说，他可能已经能从这两个似乎不关联的数字中，推断出“这个小朋友可能偏爱巧克力糖而不太喜欢水果”这样的结论来。而对于一个更高年级的儿童来说，他可能已经会从中受到启示，然后通过某些调查获取数据的方式，去选择类似“在校园里究竟是卖水果好些，还是卖巧克力糖好些”这样的行为了。

（3）在儿童的经验里，往往是通过对一组单一数据的比较，来作出简单的且具有唯一性的判断。当他们在最初接触到一组复杂数据的时候，往往就会采用经验中的方法来作出判断或无法作出判断。例如，小明一分钟拍了20下皮球，小红一分钟拍了25下皮球。这样的数据说明了什么？对于这个问题，一个学龄前的儿童也能作出准确的回答。可是，许多低年级的学生，面对如下一组数据的时候（表9-1），可能就不容易作出判断：“有A、B、C三个班举行长跑比赛，每个班级选出10人，其结果如下。现在你将如何确定这三个班级长跑比赛成绩的好坏？能不能排出这三个班级长跑比赛的名次并说明理由？

低年级的儿童来说，这些可能都是比较困难的。因为在儿童的经验中，收集的样本常常都是可以穷尽的总数，例如问一下班级的所有同学，就知道班级里有29个同学不喜欢穿运动鞋，因为班级里有35位同学，所以就可以得到这样的结论：班级里大部分同学都不喜欢穿运动鞋。可是，是不是全校同学中，也是大部分同学都不喜欢穿运动鞋呢？当学生调查另一个班级并发现只有9个人（班级人数也是35人）不喜欢穿运动鞋的时候，他们就会发现，这个结论并不适用于现在这个班级。当然，学生可能还是可以通过全部数据的调查来回答这个问题的，可是，当问及是整个城市中的同龄学生的时候呢？一个比较好的办法就是通过选择适当的对象和合适的范围进行调查，然后来推测。然而，这对一个儿童来说是比较困难的。因为他们的经验往往还不能有效地支持他们作出这种合适的选择。

（5）儿童主要是从“大、小”开始认识数的，因而，对低年级的儿童说，他们往往对数据的“最大”或“最小”比较敏感，当他们对一组数据进行排序的时候，最关注的是“谁大”或“谁小”这样的数据特征，而还不能将这一组数据作为一个描述现象的整体来看待。到了中、高年级，儿童已经开始知道，面对一组数据，不仅需要关注单个数据的特征，还要关注整个数据组的特征。例如，通过调查A、B、C、D、E、F、G等七位同学在一年内上电影院看电影的情况后，得知分别为：7次、5次、7次、9次、2次、7次和11次。对一个低年级的儿童来说，他们所能描述的可能就是E同学每年上电影院的次数最少，而G同学每年上电影院的次数最多。而对于一个中、高年级的儿童来说，他们可能已经会关注到，数据主要集中在“7”的周围，而且，相对于一年的时间来说，同学们每年上电影院看电影的次数是不多的。因而，对于他们来说，认识“平均数”、“众数”等的意义就比较容易了。

（二）对事件发生的可能性的认识

虽然在现实世界中存在着大量的确定现象与不确定现象，但是，对于儿童来说，他们要真正认识事件发生的确定性以及事件发生的可能性大小等概念，还是有一个发展过程的，在这个过程中，儿童主要会表现出如下一些特点：

（1）对儿童来说，对事件可能与不可能发生的情况，在低年级的时候已经经常遇到了。但是，他们还不能对事件发生的可能性情况作出一些预测。例如，面对一个一年级的学生，你将10个红球放入一个布袋，然后问他，现在老师随便从里面摸出一个球来，你能猜出是什么颜色吗？他当然能作出准确的回答，当你再问他，有没有可能摸出一个黑球来，他当然也能作出准确的回答。可是，当你将5个红球和5个黑球放入布袋，再问他相同问题的时候，他就可能无法对结果作出准确的表述了，因为在他看来，这个问题是无法回答的。

（2）儿童对可能性的认识，主要源于他们的生活经验，因而在作出判断的时候，他们所处的环境与所经历的生活起着相当大的作用。例如，对于股市涨跌的可能性判断，对儿童来说是缺乏经验的，但对于自己能否在考试中取得好成绩，他们却能预测。又如，对生活在南方的儿童来说，对于“明天是否会下雪”这个问题，其回答与生活在北方的儿童可能是不同的。

（3）儿童对事件发生的可能性大小以及等可能性的认识，需要通过大量的操作活动来建立。例如，只有当儿童自己反复抛掷一枚硬币，然后通过对记录的数据进行统计与观察，才有可能发现正面朝上与反面朝上的次数这两个数据逐渐接近，因而有可能体

验到这两者发生的可能性是一样的。当然，这里还包含着一个基本的极限思想的问题，因为还需要学生懂得，只有当事件的频数（抛掷硬币的次数）趋向无限大时，正面朝上与反面朝上的机会是相等的。又如，问一个一年级的学生类似“当你一打开电视机，在5分钟内就会看到广告节目的可能性有多大”这样的问题时，他们往往只会凭借经验的模糊印象给出某些猜测。而对于高年级的学生来说，他们可能已经会想到，先去统计一小时内广告节目出现的频率，然后依据收集到的数据作出判断。

§9.2 小学数学统计与概率教学的过程与方法

小学数学统计与概率的教学，必须注重儿童的日常经验，必须从儿童的生活出发，在儿童充分活动的基础上，在一个具体情境中的活动中去体验，去认识，去建构。因此，不能将这部分知识的学习，单纯当作统计量的计算、统计图表的制作以及概念识记等活动来组织。

9.2.1 统计知识的教学

按新的课程标准要求，小学阶段的儿童学习统计知识，从数学活动看，主要应经历如下一些学习：对数据的统计活动有初步的体验；解读和制作简单的统计图表；在活动中获得对一些简单的统计量（如平均数、众数、中数等）的意义理解；等等。

在这些学习内容的教学组织中，一般地看，有如下一些策略可以重点给予关注。（一）注重儿童的生活经验

内容的组织与呈现要充分考虑到儿童已有的日常经验与他们的现实生活，使儿童在现实的和经验的活动中去获得初步的体验。

例如，分类、排列和比较是统计的基础活动，但对初期接触数学学习的儿童来说，他们参与这类活动的对象不宜是些抽象的数据，而是一些具有现实意义的实物。因此，在组织教学的时候，应较多地考虑选择什么样的合适的情境，能更好地激发儿童投入到分类、排列和比较等这样的数学活动中去？一些比较有效的做法是，向儿童呈现一堆杂乱的物品，让他们去尝试进行分类，在分类活动的过程中，他们逐渐学会了如何将这些物品按一定的规则标准进行排列，并逐渐理解了按不同的规则标准就会有不同的分类结果，为今后对数据整理与分析的学习打下基础。

又如，儿童对统计全过程的理解可能是有困难的，因为他们习惯的是面对已经给定的甚至是已经被处理过的一些数据进行思考和判断。因此，可以根据儿童的日常经验和兴趣，去设计并呈现一些特定情境下的现实问题，让他们通过自己的多次尝试去不断体验。一些比较好的方式是设计诸如“班级要组织‘六一’联欢会，买些什么样的水果更好呢？”等情境，开始时，儿童们可能会依照自己的喜好随意判断，但是，多次的交流后就会体验到这样是不行的，因为联欢会是大家一起参加的活动。于是，他们就会尝试着先调查每一个人的口味和喜好。可是，面对一大堆杂乱的数据怎么办呢？这时已经构建的分类与排列思想就会提供帮助，他们可能就会将调查得来的那些数据（甚至可能是代表具体实物的图片）贴在教室的黑板上，于是就构成了一幅象形统计图。接下来，学生们可能就会进一步讨论，喜欢哪一种水果的同学多些？同学们比较喜欢的集中在哪几种水果？喜欢哪一种（和几种）水果的同学最少？于是，不仅帮助学生对“购买水果”的行为选择提供了帮助，而且对统计与统计量的意义也提供了理解上的帮助。

再如，在统计量中，描述数据集中趋势的特征的一个重要的概念就是“平均数”，如何来组织这个内容帮助儿童理解它的意义就显得非常重要。一些比较好的方式是，向学生呈现诸如“小明身高是1.4米，他根本还会游泳。那么，他到一个平均水深1.2米的游泳池中，会不会有生命危险？”“小强所在的班级平均身高是1.5米，而小明所在的班级平均身高是1.4米。能不能判断小强和小明谁更高些？”。等具有现实意义的

实际问题，让学生通过多次辨识来真正理解平均数的意义。

（二）强化数学活动

课程所组织的教学要有利于学生的动手操作，使他们在经历一个数学活动的过程中去体验和理解知识的内在意义。因此在教学组织的过程中，不要将一些统计知识简单地当作对那些表示概念的词汇的识记，或者将它简单地当作一种程序性的技能来反复操练，而要尽可能地用一些活动来组织，以增加学生在学习过程中的体验。

例如，统计图表的制作不只是一个简单的技能问题，而是有制作过程中体验和理解统计图表意义的问题。即不是一个简单的数据堆砌的过程，而是一个对数据理解的过程。当向学生呈现“调查一下自己出生时到六个月后，每个月体重变化的情况”这样一个问题时，对儿童来说，就不是一个简单的数据获得的问题，更重要的是如何处理这些数据的问题。一个最简单的方法，就是将这些数据列成一张统计表（表9-2）

趋势。于是，学生可能就会去进一步尝试将这些数据用条形统计图的方式呈现出来。可是，这样的图虽然直观地反映了在不同月份的体重的不同，但还是不能反映某种变化的规律性趋势。因而，学生可能就会再进行尝试，将这些数据用另外一种方式呈现出来。就这样，在一定的时间段内，自己体重的变化情况被用更合适的方式呈现了出来（折线统计图）。因为折线统计图能够明显反映出从出生到1月，以及从5月到6月，是两个体重增长最快的时段。

（三）将知识运用于现实情境

儿童对统计知识的学习，重点并不是能记住几个概念，能计算几个习题，能制作几个统计图表，关键是要能学会一些初步的和简单的统计思想和统计方法，能将知识运用于现实情境。因为，一些普通的数学规则（知识）和特殊情境之间是有区别的，通常在特殊的情境中往往并不明确显示那些数学的规则性的成分。所以，在现实情境中发展儿童的数学素养是一个重要的途径。儿童可以在这些问题解决的过程中，有效地获取知识和技能，增进理解；运用数学知识发现和解决一系列现实生活问题；处理由课程其他领域或其他学科提出的问题；对数学内部的规律和原理进行探索研究等。

例如，小明和小东进行投篮筐比赛，他们约定比赛六次，每次都是投掷10次，投进一次记1分，没有投进记0分。由于种种原因，小东比小明少投了一次。他们投掷的结果如下（表9-3）。你将如何比较他们投篮的成绩？能不能解释一下你的依据？

次。但是，显然这样比较不合理，因为小东少投掷了一次。如果按平均每次投中率来算，两个平均成绩，一个是5分，一个是4.8分，几乎相等。但是，从比赛的角度看，小明成绩的离散程度很大，而小东的成绩主要都分布在5分左右，按这样的趋势算，如果小东第六次也投了，很有可能就会比小明的成绩高些。同样的，如果比赛不是投掷6次，而是投掷10次，那么，小东的成绩可能就会更好些。

又如，学生应当了解收集与分析信息的价值，懂得如何去收集信息，如何去解读这些信息，是这部分内容学习的一项任务。因此，可以设计一些实地调查的任务，譬如调查每天上午7：30到8：00这30分钟内，经过学校门口的机动车辆的情况。学生就需要分析，为什么要选择早上的这段时间去调查？将这些机动车辆如何进行分类更能说明问题？要调查多少天才比较合理？得到的数据应如何来整理？从这些调查获得的数据中，可以获得什么样的解释？等等。

9.2.2 概率知识的教学

按《数学课程标准》要求，小学阶段的儿童学习概率知识，从数学活动看，主要应经历如下一些学习：对不确定现象有初步的体验；知道事件发生的可能性有大小，并能体验事件发生的等可能性和游戏规则的公平性；能在活动中计算一些简单事件发生的可能性；等等。

在这些学习内容的教学组织中，一般的看，有如下一些策略可以重点予以关注。（一）活动的体验性

儿童对现实世界的不确定现象是通过大量符合日常生活经验的和有趣的活动来获得体验的。在开始学习这部分内容前，经验已经支持了学生对一些诸如“肯定”、“经常”、“偶尔”、“不可能”等词汇的理解与运用，一个比较好的教学组织策略就是，设计一些有趣的日常生活情境，让学生通过活动去进一步体验这些不确定事件的存在以及一些事件发生的可能性的大小。

例如，组织一些让学生去尝试判断事件发生的可能性活动，诸如“下周一本地气温下降”、“小明外语朗诵成绩全班第一”、“从装满红球的袋子里摸出的都是红颜色的球”、“天阴沉沉的，马上要下雨了”、“小明有自己的父母”等来让学生体验有些事件的发生是确定的，而有些事件的发生是不确定的。需要指出的是，在组织这类活动的时候，要注意儿童的经验和已有的知识基础在里面起到了很大的作用，因此，像对“水加热到100摄氏度时就会沸腾”的判断，对一个低年级的儿童来说，可能就缺乏经验与知识的支持。

又如，让儿童去反复抛掷一个三面写有数字4，其他三面分别写有数字1、2、3的正方体骰子，他可能就会体验到，每一次抛掷骰子后，正面朝上的数字是不确定的，但是，正面朝上的数字是4的可能性要大些。

再如，让学生通过收集一些“民谚故事”，来了解为什么有“燕子低飞蛇过道，大雨马上要来到”这样的民谚，知道通过多次反复的观察，总结出一些带有规律性结果，则有些事件发生的可能性是可以预测的。例如，前面所说的小明和小东投篮比赛的事件便是如此。还可以设计一些“调查一下两支球队以往多次比赛胜负的情况，预测下一次比赛谁可能会获胜”的活动，来增加学生的体验。

（二）游戏的引导性

大量的实践表明，利用游戏来引导儿童体验事件发生的可能性以及等可能性是一个非常有效的策略。喜欢游戏是儿童的天性，很多时候，儿童是在游戏中体验与建构数学知识的。因为游戏不仅能激发儿童的思维，还能促进儿童策略性知识的形成。

例如，设计一个“摸豆”游戏：预先在布袋中放入有色小豆（如三红七蓝），让两组儿童来做这种摸豆的游戏。每组在地上划一条长10米的线，等分成10格，上面分别标上1到10。每组分别让一个儿童站在5上面。规则是两个组的参赛学生依次去摸一粒豆，并猜豆子的颜色，猜对的，所在组的那个儿童就朝数字大的方向走一格，猜错的，所在组的那个儿童就朝数字小的方向走一格，看哪一组先到10。此外，让每一个组将每一次摸的颜色记录下来，到游戏结束后，再让各组猜袋子里各色豆子的数目，猜对的再得奖。这是概率和数据相结合的游戏，它贯穿课改的精神，让儿童体验和了

解“可能事件”、“必然事件”、“机遇”等观念。

（三）方案的尝试设计

所谓方案设计，实际上就是将知识运用于现实情境的一种策略。儿童可以通过这种将知识运用于现实情境的活动，进一步体验知识的内在涵义，并进一步体验知识对现实生活的价值。

例如，小明和小光玩跳棋游戏，他们决定用掷骰子的方法来确定谁先走。规则是，两人各掷骰子一次，哪一个骰子朝上面的数字大，谁就先走。小光的骰子上面有1、6、8各点，每点两个面。而小明的骰子上面有3、5、7各点，也是每点两个面。你认为他们用这样的骰子来决定谁先走合理吗？如果你认为不合理，可以做怎样的改进？

又如，运动鞋厂在元旦的时候想进行一次产品促销活动，他们设想，每一位顾客在购鞋时，每购得一双鞋，都可以参加一次摸彩。又考虑到产品的成本以及销售的利润，因此，希望顾客在每10次的摸彩中，最多只能有3个人中奖。请你为他们设计一个方案（包括摸彩的用具和方法，如：相同质地但颜色不同的小纸卡；每种不同用具的个数；不同的转盘等）。