集合与常用逻辑用语高考真题

集合与常用逻辑用语高考真题

1．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ文)已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，x∈A}，则A∩B ＝()

A．{1,4} B．{2,3}

C．{9,16} D．{1,2}

解析：选A.∵A＝{1,2,3,4}，B＝{x|x＝n2，x∈A}，

∴B＝{1,4,9,16}，∴A∩B＝{1,4}．

2．(2013·高考新课标全国卷Ⅰ理)已知集合A＝{x|x2－2x>0}，B＝{x|－5

C．B?A D．A?B

解析：选B.∵A＝{x|x>2或x<0}，B＝{x|－5

∴A∩B＝{x|－5

3．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ理)已知集合M＝{x|(x－1)2<4，x∈R}，N＝{－1,0,1,2,3}，则M∩N＝()

A．{0,1,2} B．{－1,0,1,2}

C．{－1,0,2,3} D．{0,1,2,3}

解析：选A.集合M＝{x|－1

4．(2013·高考新课标全国卷Ⅱ文)已知集合M＝{x|－3

A．{－2，－1,0,1} B．{－3，－2，－1,0}

C．{－2，－1,0} D．{－3，－2，－1}

解析：选C.M∩N＝{－2，－1,0}，故选C.

5．(2013·高考大纲全国卷理)设集合A＝{1,2,3}，B＝{4,5}，M＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈B}，则M中元素的个数为()

A．3 B．4

C．5 D．6

解析：选B.由题意可知，集合M＝{5,6,7,8}，共4个元素．

6．(2013·高考大纲全国卷文)设全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，则?U A＝()

A．{1,2} B．{3,4,5}

C．{1,2,3,4,5} D．?

解析：选B.∵U＝{1,2,3,4,5}，A＝{1,2}，∴?U A＝{3,4,5}．

7．(2013·高考山东卷理)已知集合A＝{0,1,2}，则集合B＝{x－y |x∈A, y∈A}中元素的个数是()

A．1 B．3

C．5 D．9

解析：选C.当x＝0，y＝0时，x－y＝0；当x＝0，y＝1时，x－y＝－1；

当x＝0，y＝2时，x－y＝－2；当x＝1，y＝0时，x－y＝1；

当x＝1，y＝1时，x－y＝0；当x＝1，y＝2时，x－y＝－1；

当x＝2，y＝0时，x－y＝2；当x＝2，y＝1时，x－y＝1；

当x＝2，y＝2时，x－y＝0.根据集合中元素的互异性知，B中元素有0，－1，－2,1,2，共5个．

8．(2013·高考山东卷文)已知集合A，B均为全集U＝{1,2,3,4}的子集，且?U(A∪B)＝{4}，B＝{1,2}，则A∩?U B＝()

A．{3} B．{4}

C．{3,4} D．?

解析：选A.∵U＝{1,2,3,4}，?U(A∪B)＝{4}，

∴A∪B＝{1,2,3}．又∵B＝{1,2}，∴{3}?A?{1,2,3}．

又?U B＝{3,4}，∴A∩?U B＝{3}．

9．(2013·高考浙江卷理)设集合S＝{x|x>－2}，T＝{x|x2＋3x－4≤0}，则(?R S)∪T＝()

A ．(－2,1]

B ．(－∞，－4]

C ．(－∞，1]

D ．[1，＋∞)

解析：选C.因为S ＝{x |x >－2}，所以?R S ＝{x |x ≤－2}．而T ＝{x |－4≤x ≤1}，所以(?R S )∪T ＝{x |x ≤－2}∪{x |－4≤x ≤1}＝{x |x ≤1}．

10．(2013·高考浙江卷文)设集合S ＝{x |x >－2}，T ＝{x |－4≤x ≤1}，则S ∩T ＝( )

A ．[－4，＋∞)

B ．(－2，＋∞)

C ．[－4,1]

D ．(－2,1]

解析：选D.S ∩T ＝{x |x >－2}∩{x |－4≤x ≤1}＝

{x |－2

11．(2013·高考北京卷理)已知集合A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}，则A ∩B ＝( )

A ．{0}

B ．{－1,0}

C ．{0,1}

D ．{－1,0,1}

解析：选B.∵A ＝{－1,0,1}，B ＝{x |－1≤x <1}且1?B ，

∴A ∩B ＝{－1,0}．

12．(2013·高考天津卷理)已知集合A ＝{x ∈R ||x |≤2}，B ＝{x ∈R |x ≤1}，则A ∩B ＝( )

A ．(－∞，2]

B ．[1,2]

C ．[－2,2]

D ．[－2,1]

解析：选D.由已知得A ＝{x |－2≤x ≤2}，于是A ∩B ＝{x |－2≤x ≤1}．

13．(2013·高考福建卷文)若集合A ＝{1,2,3}，B ＝{1,3,4}，则A ∩B 的子集个数为( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．16

解析：选C.A ∩B ＝{1,3}，其子集有?，{1}，{3}，{1,3}，共4个．

14．(2013·高考辽宁卷文)已知集合A ＝{0,1,2,3,4}，B ＝{x ||x |<2}，则A ∩B ＝( )

A ．{0}

B ．{0,1}

C ．{0,2}

D ．{0,1,2}

解析：选B.B ＝{x ||x |<2}＝{x |－2

15．(2013·高考辽宁卷理)已知集合A ＝{x |0

A ．(0,1)

B ．(0,2]

C ．(1,2)

D ．(1,2]

解析：选D.因为A ＝{x |0

所以A ∩B ＝{x |1

16．(2013·高考湖南卷文)已知集合U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，B ＝{2,6,8}，则(?U A )∩B ＝________.

解析：∵U ＝{2,3,6,8}，A ＝{2,3}，∴?U A ＝{6,8}．

∴(?U A )∩B ＝{6,8}∩{2,6,8}＝{6,8}．

答案：{6,8}

17．(2013·高考江西卷理)已知集合M ＝{1,2，z i}，i 为虚数单位，N ＝{3,4}，M ∩N ＝{4}，则复数z ＝( )

A ．－2i

B ．2i

C ．－4i

D ．4i

解析：选C.因为M ＝{1,2，z i}，N ＝{3,4}，由M ∩N ＝{4}，得4∈M ，所以z i ＝4，所以z ＝－4i.

18．(2013·高考江西卷文)若集合A ＝{x ∈R |ax 2＋ax ＋1＝0}中只有一个元素，则a ＝( )

A ．4

B ．2

C ．0

D ．0或4

解析：选A.当a ＝0时，方程化为1＝0，无解，集合A 为空集，不符合题意；当a ≠0时，由Δ＝a 2－4a ＝0，解得a ＝4.

19．(2013·高考湖北卷理)已知全集为R ，集合A ＝????

??x | ????12x ≤1，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}，则A ∩?R B ＝( )

A ．{x |x ≤0}

B ．{x |2≤x ≤4}

C ．{x |0≤x <2或x >4}

D ．{x |0

解析：选C.A ＝????

??x | ????12x ≤1＝{x |x ≥0}，B ＝{x |x 2－6x ＋8≤0}＝{x |2≤x ≤4}，所以?R B ＝{x |x <2或x >4}，于是A ∩?R B ＝{x |0≤x <2或x >4}．

20．(2013·高考湖北卷文)已知全集U ＝{1,2,3,4,5}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3,4}，则B ∩?U A ＝( )

A ．{2}

B ．{3,4}

C ．{1,4,5}

D ．{2,3,4,5}

解析：选B.∵U ＝{1,2,3,4,5}，A ＝{1,2}，

∴?U A ＝{3,4,5}，

∴B ∩?U A ＝{2,3,4}∩{3,4,5}＝{3,4}

21．(2013·高考四川卷文)设集合A ＝{1,2,3}，集合B ＝{－2,2}，则A ∩B ＝( )

A ．?

B ．{2}

C ．{－2,2}

D ．{－2,1,2,3}

解析：选B.A ∩B ＝{1,2,3}∩{－2,2}＝{2}，故选B.

22．(2013·高考四川卷理)设集合A ＝{x |x ＋2＝0}，集合B ＝{x |x 2－4＝0}，则A ∩B ＝( )

A ．{－2}

B ．{2}

C ．{－2,2}

D ．?

解析：选A.∵A ＝{x |x ＋2＝0}，∴A ＝{－2}．

∵B ＝{x |x 2－4＝0}，∴B ＝{－2,2}．

∴A ∩B ＝{－2}．故选A.

23．(2013·高考重庆卷文)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则?U (A ∪

B )＝( )

A ．{1,3,4}

B ．{3,4}

C ．{3}

D ．{4}

解析：选D.∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，

∴?U (A ∪B )＝{4}．

24．(2013·高考重庆卷理)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，则?U (A ∪

B )＝( )

A ．{1,3,4}

B ．{3,4}

C ．{3}

D ．{4}

解析：选D.∵A ＝{1,2}，B ＝{2,3}，∴A ∪B ＝{1,2,3}，

∴?U (A ∪B )＝{4}．

25．(2013·高考广东卷)设集合M ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，N ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则M ∪N ＝( )

A ．{0}

B ．{0,2}

C ．{－2,0}

D ．{－2,0,2}

解析：选D.集合M ＝{0，－2}，N ＝{0,2}，故M ∪N ＝{－2,0,2}，故选D.

26．(2013·高考广东卷文)设集合S ＝{x |x 2＋2x ＝0，x ∈R }，T ＝{x |x 2－2x ＝0，x ∈R }，则S ∩T ＝( )

A ．{0}

B ．{0,2}

C ．{－2,0}

D ．{－2,0,2}

解析：选A.集合S ＝{0，－2}，T ＝{0,2}，故S ∩T ＝{0}，故选A.

27．(2013·高考安徽卷文)已知A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{－2，－1，0,1}，则(?R A )∩B ＝

( )

A ．{－2，－1}

B ．{－2}

C ．{－1,0,1}

D ．{0,1}

解析：选A.因为集合A ＝{x |x >－1}，所以(?R A )＝{x |x ≤－1}，

则(?R A )∩B ＝{x |x ≤－1}∩{－2，－1,0,1}＝{－2，－1}．

28．(2013·高考新课标全国卷文Ⅰ)已知命题p ：?x ∈R,2x <3x ；命题q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2，则下列命题中为真命题的是( )

A ．p ∧q

B ．綈p ∧q

C ．p ∧綈q

D ．綈p ∧綈q

解析：选B.

当x ＝0时，有2x ＝3x ，不满足2x <3x ，

∴p ：?x ∈R,2x <3x 是假命题．

如图，函数y ＝x 3与y ＝1－x 2有交点，即方程x 3＝1－x 2有解，

∴q ：?x ∈R ，x 3＝1－x 2是真命题．

∴p ∧q 为假命题，排除A.

∵綈p 为真命题，∴綈p ∧q 是真命题．选B.

29．(2013·高考山东卷理)给定两个命题p 、q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ?綈p 但綈p q ，其逆否命题为p ?綈q 但綈q p ，∴p 是綈q 的充分不必要条件．

30．(2013·高考山东卷文)给定两个命题p 、q .若綈p 是q 的必要而不充分条件，则p 是綈q 的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.若綈p 是q 的必要不充分条件，则q ?綈p 但綈p q ，其逆否命题为p ?綈q 但綈q p ，∴p 是綈q 的充分不必要条件．

31．(2013·高考浙江卷理)已知函数f (x )＝A co s (ωx ＋φ)(A >0，ω>0，φ∈R )，则“f (x )是奇

函数”是“φ＝π2

”的( ) A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B.若f (x )是奇函数，则f (0)＝0，所以co s φ＝0，所以φ＝π2＋k π(k ∈Z )，故φ＝π2

不成立；

若φ＝π2，则f (x )＝A co s (ωx ＋π2)＝－As in(ωx )，f (x )是奇函数．所以f (x )是奇函数是φ＝π2

的必要不充分条件．

32．(2013·高考浙江卷文)若α∈R ，则“α＝0”是“s in α

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.若α＝0，则s in α＝0，co s α＝1，所以s in α

但当α＝－π2

时，有s in α＝－1<0＝co s α，此时α≠0.所以α＝0是s in α

33．(2013·高考北京卷文)“φ＝π”是“曲线y ＝s in(2x ＋φ)过坐标原点”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.当φ＝π时，y ＝s in(2x ＋φ)＝s in(2x ＋π)＝－s in 2x ，此时曲线y ＝s in(2x ＋φ)必过原点，但曲线y ＝s in(2x ＋φ)过原点时，φ可以取其他值，如φ＝0.因此“φ＝π”是“曲线y ＝s in(2x ＋φ)过坐标原点”的充分而不必要条件．

34．(2013·高考天津卷文)设a ，b ∈R ，则“(a －b )·a 2<0”是“a

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充要条件

D ．即不充分也不必要条件

解析：选A.由不等式的性质知(a －b )·a 2<0成立，则a

35．(2013·高考天津卷理)已知下列三个命题：

①若一个球的半径缩小到原来的12，则其体积缩小到原来的18

； ②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；

③直线x ＋y ＋1＝0与圆x 2＋y 2＝12

相切． 其中真命题的序号是( )

A ．①②③

B ．①②

C ．①③

D ．②③

解析：选C.对于命题①，设球的半径为R ，则43π????R 23＝18·43πR 3，故体积缩小到原来的18

，命题正确；对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：

1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；对于命题③，圆x 2＋y 2＝12

的圆心(0,0)到直线x ＋y ＋1＝0的距离d ＝12＝22

，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确． 36．(2013·高考福建卷文)设点 P (x ，y )，则“x ＝2且y ＝－1”是“点P 在直线l ：x ＋y －1＝0上”的( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.当x ＝2且y ＝－1时，满足方程x ＋y －1＝0，即点P (2，－1)在直线l 上．点P ′(0,1)在直线l 上，但不满足x ＝2且y ＝－1，∴“x ＝2且y ＝－1”是“点P (x ，y )在直线l 上”的充分而不必要条件．

37．(2013·高考福建卷理)已知集合A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，则“a ＝3”是“A ?B ”的

( )

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.∵A ＝{1，a }，B ＝{1,2,3}，A ?B ，∴a ∈B 且a ≠1，∴a ＝2或3，∴“a ＝3”是“A ?B ”的充分而不必要条件．

38．(2013·高考陕西卷文)设全集为R, 函数f (x )＝1－x 的定义域为M, 则?R M 为( )

A ．(－∞，1)

B ．(1，＋∞)

C ．(－∞，1]

D ．[1，＋∞)

解析：选B.函数f (x )的定义域M ＝(－∞，1]，则?R M ＝(1，＋∞)．

39．(2013·高考湖南卷)“1

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选A.设A ＝{x |1

40．(2013·高考辽宁卷)下面是关于公差d>0的等差数列{a n }的四个命题：

p 1：数列{a n }是递增数列；p 2：数列{na n }是递增数列；

p 3：数列{a n n

}是递增数列；p 4：数列{a n ＋3n d}是递增数列． 其中的真命题为( )

A ．p 1，p 2

B ．p 3，p 4

C ．p 2，p 3

D ．p 1，p 4

解析：选D.因为d>0，所以a n ＋1>a n ，所以p 1是真命题．因为n ＋1>n ，但是a n 的符号不知道，所以p 2是假命题．同理p 3是假命题．由a n ＋1＋3(n ＋1)d －a n －3n d ＝4d>0，所以p 4是真命题．

41．(2013·高考陕西卷理)设全集为R ，函数f (x )＝1－x 2的定义域为M ，则?R M 为( )

A ．[－1,1]

B ．(－1,1)

C ．(－∞，－1]∪[1，＋∞)

D ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)

解析：选D.由1－x 2≥0，知－1≤x ≤1，

∴M ＝[－1,1]，∴?R M ＝(－∞，－1)∪(1，＋∞)．

42．(2013·高考湖北卷)在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次．设命题p 是“甲降落在指定范围”，q 是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为( )

A ．(綈p )∨(綈q )

B ．p ∨(綈q )

C ．(綈p )∧(綈q )

D ．p ∨q

解析：选A.依题意得綈p ：“甲没有降落在指定范围”，綈q ：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少有一位学员没有降落在指定范围”可表示为(綈p )∨(綈q )．

43．(2013·高考四川卷)设x ∈Z ，集合A 是奇数集，集合B 是偶数集．若命题p ：?x ∈A,2x ∈B ，则( )

A ．綈p ：?x ∈A,2x ?

B B ．綈p ：?x ?A,2x ?B

C ．綈p ：?x ?A,2x ∈B

D ．綈p ：?x ∈A,2x ?B

解析：选D.命题p 是全称命题：?x ∈A,2x ∈B ，则綈p 是特称命题：?x ∈A,2x ?B .故选

D.

44．(2013·高考重庆卷理)命题“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定为( )

A ．对任意x ∈R ，都有x 2<0

B ．不存在x ∈R ，使得x 2<0

C ．存在x 0∈R ，使得x 20≥0

D ．存在x 0∈R ，使得x 20<0 解析：选D.因为“?x ∈M ，p (x )”的否定是“?x ∈M ，綈p (x )”，故“对任意x ∈R ，都有x 2≥0”的否定是“存在x 0∈R ，使得x 20<0”．

45．(2013·高考安徽卷)“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选B.当x ＝0时，显然(2x －1)x ＝0；当(2x －1)x ＝0时，x ＝0或x ＝12

，所以“(2x －1)x ＝0”是“x ＝0”的必要不充分条件．

46．(2013·高考陕西卷)设a ，b 为向量，则“|a·b |＝|a||b|”是“a ∥b ”的( )

A ．充分不必要条件

B ．必要不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

解析：选C.若|a ·b |＝|a ||b |，

若a ，b 中有零向量，显然a ∥b ；

若a ，b 均不为零向量，则

|a ·b |＝|a ||b ||co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，

∴|co s 〈a ，b 〉|＝1，

∴〈a ，b 〉＝π或0，

∴a ∥b ，即|a ·b |＝|a ||b |?a ∥b .

若a ∥b ，则〈a ，b 〉＝0或π，

∴|a ·b |＝||a ||b |co s 〈a ，b 〉|＝|a ||b |，

其中，若a ，b 有零向量也成立，

即a ∥b ?|a ·b |＝|a ||b |.

综上知，“|a ·b |＝|a ||b |”是“a ∥b ”的充分必要条件．

47．(2013·高考江苏卷理)集合{－1,0,1}共有________个子集． 解析：由于集合中有3个元素，故该集合有23＝8(个)子集． 答案：8

48．(2013.高考湖南卷)对于E ＝{a 1，a 2，...，a 100}的子集X ＝{a i 1，a i 2，...，a i k }，定义X 的“特征数列”为x 1，x 2，...，x 100，其中x i 1＝x i 2＝...＝x i k ＝1，其余项均为0.例如：子集{a 2，a 3}的“特征数列”为0,1,1,0,0， 0

(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”的前3项和等于________．

(2)若E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100满足p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1,1≤i ≤99；E 的子集Q 的“特征数列” q 1，q 2，…，q 100满足q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1,1≤j ≤98，则P ∩Q 的元素个数为________．

解析：(1)子集{a 1，a 3，a 5}的“特征数列”中共有3个1，其余均为0，该数列为1,0,1,0,1,0,0，…，0.故该数列前3项的和为2.

(2)E 的子集P 的“特征数列”p 1，p 2，…，p 100中，由于p 1＝1，p i ＋p i ＋1＝1(1≤i ≤99)，因此集合P 中必含有元素a 1.

又当i ＝1时，p 1＋p 2＝1，且p 1＝1，故p 2＝0.同理可求得p 3＝1，p 4＝0，p 5＝1，p 6＝0，….故E 的子集P 的“特征数列”为1,0,1,0,1,0,1,0，…，1,0，即P ＝{a 1，a 3，a 5，a 7，…，a 99}．

E 的子集Q 的“特征数列”q 1，q 2，…，q 100中，由于q 1＝1，q j ＋q j ＋1＋q j ＋2＝1(1≤j ≤98)，因此集合Q 中必含有元素a 1.

又当j ＝1时，q 1＋q 2＋q 3＝1，当j ＝2时，q 2＋q 3＋q 4＝1，当j ＝3时，q 3＋q 4＋q 5＝1，…，故q 1＝1，q 2＝q 3＝0，q 4＝1，q 5＝q 6＝0，q 7＝1，….

所以E 的子集Q 的“特征数列”为1,0,0,1,0,0,1,0,0，…，0,1，即Q ＝{a 1，a 4，a 7，a 10，…，a 100}．因为100＝1＋(n －1)×3，故n ＝34.所以集合Q 中有34个元素，其下标为奇数的有17个．

因此P ∩Q ＝{a 1，a 7，a 13，a 19，…，a 97}，共有17个元素． 答案：(1)2 (2)17

49．(2013·高考重庆卷)对正整数n ，记I n ＝{1,2，…，n }，P n ＝????

??m k m ∈I n ，k ∈I n . (1)求集合P 7中元素的个数；

(2)若P n 的子集A 中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A 为“稀疏集”，求n 的最大值，使P n 能分成两个不相交的稀疏集的并．

解：(1)当k ＝4时，????

??m k m ∈I 7中有3个数与I 7中的3个数重复，因此P 7中元素的个数为7×7－3＝46.

(2)先证：当n ≥15时，P n 不能分成两个不相交的稀疏集的并．若不然，设A ，B 为不相交的稀疏集，使A ∪B ＝P n ?I n .不妨设I ∈A ，则因为1＋3＝22，故3?A ，即3∈B .同理，6∈A,10∈B ，又推得15∈A ，但1＋15＝42，这与A 为稀疏集矛盾．

再证P 14符合要求．当k ＝1时，????

??m k m ∈I 14＝I 14可分成两个稀疏集之并，事实上，只要取A 1＝{1,2,4,6,9,11,13}，B 1＝{3,5,7,8,10,12,14}，则A 1，B 1为稀疏集，且A 1∪B 1＝I 14.

当k ＝4时，集合????

??m

k m ∈I 14中除整数外剩下的数组成集??????12，32，52，…，132，可求解为下面两稀疏集的并：A 2＝??????12，52，92，112，B 2＝??????32，72，132. 当k ＝9时，集合????

?

m k ???m ∈I 14中除正整数外剩下的数组成集??????13，23，43，53，…，133，143，可分解为下面两稀疏集的并：A 3＝??????13，43，53，103

，133， B 3＝????

??23，73，83，113，143. 最后，集合C ＝????

??m k m ∈I 14，k ∈I 14，且k ≠1，4，9中的数的分母均为无理数，它与P 14中的任何其他数之和都不是整数，因此，令A ＝A 1∪A 2∪A 3∪C ，B ＝B 1∪B 2∪B 3，则A 和B 是不相交的稀疏集，且A ∪B ＝P 14.

综上可知，所求n 的最大值为14.

注：对P 14的分析方法不是唯一的．