无限长单位脉冲响应IIR
数字信号处理滤波器设计
逼近——在滤波器设计中逼近是一个重要的环节。逼近就是给定所要求 的滤波器性能后，去寻找一个物理可实现的系统函数，使它的频率特性 尽可能近似所要求的滤波器特性，也就是指对理想特性进行逼近，最后
脉冲响应不变法让数字滤波器的脉冲响应和模拟滤波器
的脉冲响应在采样点上完全一样。即： hn ha nT
单位脉冲响应不变法的设计思想：使 数字滤波器从时域去模仿模拟滤波器。
H a s L1 ha t 采样 ha nT hn Z变换 Hz
2．脉冲响应不变法设计的系统的频率响应
E
H e jwi H d e jwi
2 最小
i 1
第二步：进行迭代运算，确定最优系数
N
ai z i
H z
i0 N
1 bi z i
i 1
DF的传递函数
通过改变 Hz的系数 ai、 bi，分别计算均方误差E ， 经过多次迭代运算，寻找一组系数 ai、 bi，使得均方误差
利用模拟滤波器设计数字滤波器， 首先利用模拟滤波器的现成结果， 在S平面设计出符合要求的模拟滤波
器的传递函数H a s ，再通过一定的
映射关系，得到数字滤波器的传递
函数 Hz 。
二. 最常用的几种模拟原型低通滤波器的逼近方法
在进行IIR 数字滤波器的设计时， 要逼近模拟原型低通滤波器， 模拟低通滤波器通常仅考虑幅频特性，习惯上以幅度平方函数来表示 模特性。
即要求
② 是因果稳定的映射
指 H a s 的因果稳定性通过映射后， Hz 仍应保持因果
稳定。
§4.2 脉冲响应不变法
matlab iir滤波 相位补偿
matlab iir滤波相位补偿IIR滤波器（Infinite Impulse Response，无限脉冲响应滤波器）是一种常用的数字滤波器。
相比于FIR滤波器（Finite Impulse Response，有限脉冲响应滤波器），IIR滤波器具有更少的延迟和更高的滤波效果。
然而，IIR滤波器的非线性特性会导致滤波后的信号出现相位失真的问题，因此需要进行相位补偿。
相位补偿是通过引入额外的滤波器来抵消IIR滤波器的相位延迟，从而实现相位平滑的目的。
相位补偿的方法一般可以分为基于滤波器设计和基于信号处理的两种方式。
一种常用的基于滤波器设计的相位补偿方法是构造一个反向传递函数的滤波器。
该滤波器的输入为滤波前的信号，输出为相位补偿后的信号，两者相减得到经过IIR滤波后的信号。
在Matlab中，可以使用fir2函数（用于设计线性相位FIR滤波器）或者iirnotch函数（用于设计IIR陷波滤波器）来实现这种滤波器的设计。
另一种基于信号处理的相位补偿方法是使用相位均衡技术。
相位均衡是通过对滤波后的信号进行频域操作，使其具有良好的频响特性和相位特性。
常用的相位均衡方法包括等化、预加重和后加重等。
等化是对滤波后的信号进行频率响应的校正，使其满足特定的相位规律。
预加重和后加重是通过对滤波后的信号进行高通滤波和低通滤波来调整其相位特性。
在Matlab中，可以使用freqz函数来进行频响分析，使用filter函数来进行滤波和相位均衡操作。
除了直接的相位补偿方法，还有一些间接的方法可以实现相位补偿的效果。
例如，通过对滤波后的信号进行时频分析，可以得到其时间和频率的关系，从而得到相位补偿的函数。
另外，通过模拟系统的频率响应，可以近似地计算出滤波器的相位特性，然后根据相位特性进行相位补偿。
Matlab中的Signal Processing Toolbox提供了丰富的函数和工具，可以方便地进行频域分析和信号处理操作。
总之，IIR滤波器的相位补偿是确保滤波后的信号具有良好相位特性的必要步骤。
第5章无限长单位脉冲响应(IIR)数字滤波器的设计方法
|ω|≤ωp
在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即
| H ( e jω ) |≤ δ 2
ωs≤|ω|≤π
式中，ωp, ωs分别为通带截止频率和阻带截止频率，它们都是 数字域频率。幅度响应在过渡带（ωs-ωp）中从通带平滑地下降 到阻带，过渡带的频率响应不作规定。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.2 滤波器的技术指标 理想滤波器(如理想低通滤波器)是非因果的， 其单位脉冲响 应从-∞延伸到+∞， 因此，无论用递归还是非递归方法， 理想滤 波器是不能实现的， 但在概念上极为重要。 一般来说，滤波器的性能要求往往以频率响应的幅度特性的 允许误差来表征。以低通滤波器为例，如图5-2（称容限图）所 示， 频率响应有通带、 过渡带及阻带三个范围（而不是理想的 陡截止的通带、阻带两个范围）。图中δ1为通带的容限，δ2为阻 带的容限。
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
无限长单位脉冲响应（IIR） 第5章 无限长单位脉冲响应（IIR） 数字滤波器的设计方法
5.1 基本概念 5.2 IIR滤波器设计的特点 滤波器设计的特点 5.3 常用模拟低通滤波器的设计方法 5.4 用脉冲响应不变法设计 用脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器 数字滤波器 5.5 用双线性变换法设计IIR数字滤波器 用双线性变换法设计 数字滤波器 5.6 设计 设计IIR滤波器的频率变换法 滤波器的频率变换法 5.7 Z平面变换法 平面变换法
第5章 无限长单位脉冲响应（IIR）数字滤波器的设计方法
5.1.3 FIR型滤波器和 型滤波器 型滤波器和IIR型滤波器 型滤波器和 数字滤波器按单位脉冲响应h(n)的时域特性可分为无限长脉 冲响应IIR（Infinite Impulse Response）滤波器和有限长脉冲响应 FIR（Finite Impulse Response）滤波器。 IIR滤波器一般采用递归型的实现结构。其N阶递归型数字滤 波器的差分方程为
第三章 无限长单位脉冲响应1
N
根据理想采样序列拉氏变换与模拟信号拉氏变换的关系
1 2 ˆ ( s) Ha Ha s j T m T m ˆ ① 理想采样 ha(t )的拉氏变换 H a (s) 与模拟信号 ha (t )
的拉氏变换
H a (s)
之间的关系。
ˆ ② 理想采样 ha(t )的拉氏变换 H a (s) 与采样序列 h (n)的 Z 变换 H (z ) 之间存在的 S 平面与 Z 平面的映射关系。
i 1
N
A
(1 ci z 1 ) (1 d i z 1 )
i 1 i 1 N
M
一般M N
2）最优化设计方法
分两步：
a) 确定一种最优准则，如最小均方误差准则 | H (e j ) | ，即使设计出的实际频率响应的幅度特性 j （与所要求的理想频率响应 | H d (e ) | 的均方 2 误差最小， M
1 i 1 N
u (t )
单位阶跃
对ha(t)采样得到数字滤波器的单位脉冲响应序列
h(n) ha(nT ) Ai e
i 1
N
si nT
u(n) Ai (e ) u (n)
siT n i 1
N
再对h(n)取Z变换，得到数字滤波器的传递函数：
H ( z ) Ai e
H z z e ST
1 ˆ ( s) H s j 2 m Ha a T m T
He
j
1 2m H a j j T m T
正如第一章的采样定律中所讨论的， 如果模拟滤波器的频响带限于折叠频率 ΩS/2 以内， 即
数字滤波器的设计步骤：
基于FPGA的IIR数字滤波器设计
摘要数字信号处理在科学和工程技术等许多领域中得到了广泛的应用，其中数字滤波器是现代数字信号处理系统的重要组成部分。
无限长单位冲激响应（IIR）数字滤波器是非常重要的一类滤波器，与有限长单位冲激响应（FIR）数字滤波器相比，IIR能够以较低的阶次获得较高的频率选择特性从而得到了广泛的应用。
本课题采用一种基于现场可编程门阵列（FPGA）的IIR数字滤波器的设计方案。
首先基于IIR数字滤波器的相关理论知识，研究了IIR数字滤波器的常用设计方法，并分析了各种IIR数字滤波器的实现结构等基本理论，由分析结果确定了所要设计的IIR数字滤波器的实现结构。
然后基于FPGA的结构特点，研究了IIR数字滤波器的FPGA设计与实现，并通过Quartus Ⅱ设计平台，采用自顶向下的模块化设计思想，将整个IIR数字滤波器分为：时序控制、延时、补码乘加和累加四个功能模块。
分别对各模块进行VHDL语言描述，并进行了仿真和综合。
仿真结果表明，本设计的IIR数字滤波器运算速度较快，系数改变灵活，有较好的参考价值。
关键词:数字滤波器；无限长单位冲激响应；现场可编程门阵列；VHDL硬件描述语言ABSTRACTDigital signal processing is widely used in lots of fields, such as in science and project technique, Digital filter is one of the important contents of digital signal process. Infiinite impulse response units (IIR) digital filter is a very important type of filters. With its good characteristic of frequency selection in lower order in comparison with finite impulse response (FIR), IIR digital filter is widely applied in modern signal processing systems. This subject is a IIR digital filter design based on the using of field programmable gate array (FPGA). Firstly, based on the analysis of IIR basic realization architectures and the related theoretic analysis, the design methods of IIR sigital filter has been discussed and the structures of a variety of IIR digital filter which can be realized has been analysised. For the results of the theoretical analysis, the final architecture and realization of IIR digital has been decided, Based on the structural characteristics of FPGA, the FPGA design and realization of IIR digital filter has been researched. By used the design plant of Quartus Ⅱ, we adopt blocking method named “Top-down ” and divide the entire IIR digital filter into four blocks, which are Clock control, Time delay, Multiply-addition and Progression. After described with VHDL，we do emulate and synthesis to each block. The result shows that, the introduced IIR digital filter runs fast, and the coefficient changes agility. It has high worth for consulting.Key Words: Digital filter; infinite impulse response units; field programmable gate array; VHDL hardware description language目录1器件简介 (1)2 IIR数字滤波器的相关理论 (4)2.1 IIR滤波器的基本理论 (4)2.1.1 IIR数字滤波器的幅频特性 (5)2.1.2 IIR数字滤波器的相频特性 (7)2.2 IIR数字滤波器的实现结构 (7)2.2.1 直接型结构 (7)2.2.2 级联型结构 (8)2.2.3并联型结构 (10)2.3 数字滤波器的有限字长效应理论 (10)2.3.1 数字表示 (11)2.3.2 输入量化 (12)2.3.3 系数量化 (13)2.3.4 乘积量化 (17)2.3.5 极限环 (19)3 IIR数字滤波器的分析设计 (21)3.1 IIR数字滤波器的模拟转换设计法 (21)3.2 IIR数字滤波器的S-Z变换设计 (21)3.2.1标准Z变换 (22)3.2.2双线性Z变换 (24)3.3 IIR数字滤波器的零极点累试法 (25)3.4 优化设计法 (25)3.5 IIR数字滤波器的硬件实现方案 (25)4 EDA技术和可编程逻辑器件 (30)4.1 电子设计自动化EDA技术 (30)4.2 可编程逻辑器件 (30)4.2.1 FPGA概要 (31)4.2.2 FPGA设计语言 (31)4.2.3 FPGA开发环境 (32)5 IIR数字滤波器的设计与仿真结果分析 (33)5.1 各模块的设计与仿真结果分析 (33)5.1.1 时序控制模块的设计与仿真结果分析 (33)5.1.2 延时模块的设计与仿真结果分析 (34)5.1.3 补码乘加模块的设计与仿真结果分析 (35)5.1.4 累加模块的设计与仿真结果分析 (36)5.1.5 顶层模块设计 (36)5.2 IIR数字滤波器的仿真与结果分析 (37)5.2.1 IIR数字滤波器的系统设计 (37)5.2.2 IIR数字滤波器的系统仿真与结果分析 (38)5.2.3 高阶IIR数字滤波器的实现 (39)6 IIR数字滤波器的硬件实现 (40)6.1 IIR数字滤波器的硬件实现平台 (40)6.1.1 硬件结构 (40)6.1.2器件介绍 (41)6.1.3 JTAG链简介 (43)6.1.4 FPGA的配置 (44)6.2 IIR数字滤波器的VHDL设计 (45)6.2.1 接口定义 (45)6.2.2 综合与仿真 (45)6.3 数字滤波器的实现 (45)结束语 (46)参考文献 (47)致谢 (48)附录1 各模块VHDL程序 (49)1器件简介数字滤波器是具有一定传输选择特性的数字信号处理装置,其输入、输出均为数字信号,实质上是一个由有限精度算法实现的线性时不变离散系统。
基于MATLAB的IIR数字滤波器设计与仿真
基于MATLAB的IIR数字滤波器设计与仿真一、概述在现代数字信号处理领域中，数字滤波器扮演着至关重要的角色。
其通过对输入信号的特定频率成分进行增强或抑制，实现对信号的有效处理。
无限脉冲响应（IIR）数字滤波器因其设计灵活、实现简单且性能优良等特点，得到了广泛的应用。
本文旨在基于MATLAB平台，对IIR数字滤波器的设计与仿真进行深入研究，以期为相关领域的研究与应用提供有益的参考。
IIR数字滤波器具有无限长的单位脉冲响应，这使得其在处理信号时能够展现出优秀的性能。
与有限脉冲响应（FIR）滤波器相比，IIR滤波器在实现相同性能时所需的阶数更低，从而减少了计算复杂度和存储空间。
在需要对信号进行高效处理的场合，IIR滤波器具有显著的优势。
MATLAB作为一款功能强大的数学软件，提供了丰富的函数和工具箱，使得数字滤波器的设计与仿真变得简单而高效。
通过MATLAB，我们可以方便地实现IIR滤波器的设计、分析和优化，从而满足不同应用场景的需求。
本文将首先介绍IIR数字滤波器的基本原理和特性，然后详细阐述基于MATLAB的IIR数字滤波器的设计方法和步骤。
接着，我们将通过仿真实验验证所设计滤波器的性能，并对其结果进行分析和讨论。
本文将总结IIR数字滤波器设计与仿真的关键技术和注意事项，为相关领域的研究人员和工程师提供有益的参考和启示。
1. IIR数字滤波器概述IIR（Infinite Impulse Response）数字滤波器是数字信号处理中常用的一类滤波器，它基于差分方程实现信号的滤波处理。
与FIR （Finite Impulse Response）滤波器不同，IIR滤波器具有无限长的单位脉冲响应，这意味着其输出不仅与当前和过去的输入信号有关，还与过去的输出信号有关。
这种特性使得IIR滤波器在实现相同的滤波效果时，通常具有更低的计算复杂度，从而提高了处理效率。
IIR滤波器的设计灵活多样，可以根据不同的需求实现低通、高通、带通和带阻等多种滤波功能。
第三章 IIR滤波器设计方法.ppt
u的单位圆内部必须对应于z 的单位圆内部。 3）G(z -1) 必须是全通函数。 为使两个函数的频率响应满足一定的变换要求，z 平面的
单位圆应映射到 u 平面的单位圆上，若以 e jθ 和 e jω 分别表 示u平面和z 平面的单位圆，则由上式为
波器为
Ha
(s)
1
1
s
解 首先确定上下边界频率
T 2f
fs
1 2f1 / fs 2 105/ 1000 0.21
2 2f2 / fs 2 95/ 1000 0.19
求中心频率
coso
sin(0.21 0.19 ) sin0.21 sin0.19
解：确定数字频域的上下边带的角频率
1 2f1 / f s 0.55 2 2f 2 / f s 0.45 3 2f 3 / f s 0.6
T 2f
fs
求中心频率：
cos0
sin0.45 0.55
sin 0.45 sin 0.55
0.9695(z2 1.6188z 1) z2 1.5695z 0.9390
17
3.4 从低通数字滤波器到各种数字滤波器的 频率变换
前面讨论由模拟低通滤波器原型来设计各种数字滤波器 的方法，该设计方法同样也可直接在数字域上进行。
数字低通滤波器 原型函数Hp(z)
变换
各种数字滤 波器的H(z)
2
0.6 0.2
cos(
)
a
2
0.6 0.2
第3章 无限长单位脉冲响应(IIR)滤波器的设计方法
ˆ H a ( s)
[ha (t ) (t nT )]e
n
st
dt
n
h
ha (t ) (t nT )e st dt
nsT
n
a
(nT )e
n
h(n )e nsT
H ( z)
ut e e u nT e u n e u n
nT 3nT
T n 3T n
1 1 H ( z) 1 T 1 z e 1 z 1e 3T
z (e e ) 1 z 1 (e T e 3T ) e 4T z 2
数字滤波器的设计步骤： 1）按照实际需要确定滤波器的性能要求。 2）用一个因果稳定系统的 H(z) 或 h(n) 去逼近这个 性能要求，即求 h(n) 的表达式。 确定系数 a i 、 bi 或零极点 c i 、 d，以使滤波器 i 满足给定的性能要求——第三章、四章讨论 3）用一个有限精度的运算去实现这个系统函数。包 括 选择运算结构：如级联型、并联型、卷积型、频 率采样型以及快速卷积（FFT）型等; 选择合适的字长和有效数字的处理方法等(第五 章)。
这时数字滤波器的频响才能不失真地重现模拟滤 波器的频响（存在于折叠频率ΩS/2以内）
H (e
j
1 ) Ha ( j ) T T
但任何一个实际的模拟滤波器，其频响都不可能 是真正带限的，因此不可避免地存在频谱的交叠， 即混淆，如图，这时，数字滤波器的频响将不同于 原模拟滤波器的频响而带有一定的失真。模拟滤波 器频响在折叠频率以上衰减越大，失真则越小，这 时，采用脉冲响应不变法设计的数字滤波器才能得 到良好的效果。
基于MATLAB的FIR和IIR数字滤波器的设计
基于MATLAB的FIR和IIR数字滤波器的设计一、本文概述随着数字信号处理技术的飞速发展，数字滤波器作为其中的核心组件，已经广泛应用于通信、音频处理、图像处理、生物医学工程等诸多领域。
在数字滤波器中，有限脉冲响应（FIR）滤波器和无限脉冲响应（IIR）滤波器是最常见的两种类型。
它们各自具有独特的优点和适用场景，因此，对这两种滤波器的深入理解和设计掌握是工程师和研究人员必备的技能。
本文旨在通过MATLAB这一强大的工程计算工具，详细介绍FIR 和IIR数字滤波器的设计原理、实现方法以及对比分析。
我们将简要回顾数字滤波器的基本概念和分类，然后重点阐述FIR和IIR滤波器的设计理论，包括窗函数法、频率采样法、最小均方误差法等多种设计方法。
接下来，我们将通过MATLAB编程实现这些设计方法，并展示如何根据实际应用需求调整滤波器参数以达到最佳性能。
本文还将对FIR和IIR滤波器进行性能对比，分析它们在不同应用场景下的优缺点，并提供一些实用的设计建议。
我们将通过几个典型的应用案例，展示如何在MATLAB中灵活应用FIR和IIR滤波器解决实际问题。
通过阅读本文，读者将能够深入理解FIR和IIR数字滤波器的设计原理和实现方法，掌握MATLAB在数字滤波器设计中的应用技巧，为未来的工程实践和研究工作打下坚实的基础。
二、FIR滤波器设计有限脉冲响应（FIR）滤波器是一种数字滤波器，其特点是其脉冲响应在有限的时间后为零。
因此，FIR滤波器是非递归的，没有反馈路径，从而保证了系统的稳定性。
在设计FIR滤波器时，我们主要关注的是滤波器的阶数、截止频率和窗函数的选择。
在MATLAB中，有多种方法可以用来设计FIR滤波器。
其中，最常用的方法是使用fir1函数，该函数可以设计一个线性相位FIR滤波器。
该函数的基本语法是b = fir1(n, Wn)，其中n是滤波器的阶数，Wn是归一化截止频率，以π为单位。
该函数返回一个长度为n+1的滤波器系数向量b。
FIR滤波器和IIR滤波器原理及实现
FIR滤波器和IIR滤波器原理及实现FIR和IIR滤波器是数字信号处理中常用的滤波器类型，用于从输入信号中提取或抑制特定频率成分。
它们分别基于有限脉冲响应（FIR）和无限脉冲响应（IIR）的原理设计而成。
下面将分别介绍FIR和IIR滤波器的原理及实现方式。
一、FIR滤波器H(z)=b0+b1•z^(-1)+b2•z^(-2)+...+bM•z^(-M)其中，b0、b1、..、bM是FIR滤波器的系数，M为滤波器的阶数。
1.确定滤波器的设计要求，包括通带和阻带的边界频率、通带和阻带的衰减要求等。
2.根据设计要求，选择合适的滤波器设计方法，如FIR滤波器可以通过窗函数设计、频率采样法设计等。
3.根据设计方法计算得到滤波器的系数，即b0、b1、..、bM。
4.将计算得到的系数应用到差分方程中，实现滤波器。
5.将输入信号通过差分方程进行滤波处理，得到输出信号。
二、IIR滤波器IIR滤波器是一种具有无限长度的单位脉冲响应的滤波器，它具有反馈回路，可以实现对信号频率的持续平滑。
IIR滤波器的离散时间系统函数可以表示为：H(z)=[b0+b1•z^(-1)+b2•z^(-2)+...+bM•z^(-M)]/[1+a1•z^(-1)+a2•z^(-2)+...+aN•z^(-N)]其中，b0、b1、..、bM和a1、a2、..、aN分别为IIR滤波器的前向和反馈系数，M和N分别为前向和反馈滤波器的阶数。
实现IIR滤波器的步骤如下：1.确定滤波器的设计要求，选择合适的滤波器类型（低通、高通、带通、带阻等）。
2.根据设计要求，选择合适的设计方法（脉冲响应不变法、双线性变换法等）。
3.根据设计方法计算得到滤波器的系数，即b0、b1、..、bM和a1、a2、..、aN。
4.将计算得到的系数应用到差分方程中，实现IIR滤波器。
5.将输入信号通过差分方程进行滤波处理，得到输出信号。
IIR滤波器的优点是可以实现较窄的通带和截止频率，具有良好的频率响应特性，但由于反馈回路的存在，容易出现稳定性问题，设计和实现相对较为复杂。
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第5章 无限长单位脉冲响应（IIR ） 数字滤波器的设计方法5.1 基本概念5.1.1 选频滤波器的分类可分为低通、高通、带通、带阻和全通满足奈奎斯特采样定理时，信号的频率特性只能限带于|ω|<π的范围。
5.1.2 滤波器的技术指标在通带内，幅度响应以最大误差±δ1逼近于1，即1111 δδωω+<≤-≤）（jw P e H在阻带内，幅度响应以误差小于δ2而逼近于零，即2 ,δπωω≤≤≤）（jw S e H1)()ωj e H (π1 δ阻带过渡带ωπ2 δ通带11δ+11δ-sw p wN 为奇数时实轴上有极点，N 为偶数时实轴上没有极点。
要称为稳定的滤波器)s (H a 表示为：∏=-Ω=Nk k N Ca )s s ()s (H 1方法2:,s s p A A P 、、由模拟ΩΩc ,Ω→N c ,Ω→N⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ+=Ω-Ω=ΩNa P j H A 2c p 2p )(11lg 10)(lg 10 －＝在 ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ΩΩ+=Ω-Ω=ΩN a P j H A 2c S 2S )(11lg 10)(lg 10 －＝在 ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡ΩΩ--=)(lg 2])110()110(lg[s p 1010sp A A N NA sc s 210110-Ω=Ω（通带指标改善）或 NA Pc P 210110-Ω=Ω（阻带指标改善）方法3: )()(s H s H a aN →NN N aN ss a s a s a s H ++++=--1122111)( caN a s s s H s H Ω'=→)()( 例 1 导出三阶巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数， 设Ωc ＝2 rad/s 。
解 幅度平方函数是62)2/(11|)(|Ω+=Ωj H 令Ω2=-s 2即s =j Ω，则有)2/(11)()(66s s H s H a a -=-π⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+=612212k j k es k =1, 2, …, 6会产生频率混叠，适合低通、带通滤波器的设计，不适合高通、带阻滤波器的设计。
5.5 用双线性变换法设计IIR 数字滤波器5.5.1. 变换原理)2tan(21T T Ω=ΩT s e z 1=平面映射：平面1S S →)2(21T tg T Ω⋅=Ω 通过欧拉公式，可得：222211112T j Tj T jTjee ee .T j Ω-ΩΩ-Ω+-=Ω 11s ΩΩ=j j s ＝令TS TS e e T S 1111.2--+-=T S e Z Z S 11=→平面的映射：平面5.5.2.逼近情况11112--+-⋅=Z Z T SS TS T S T S T Z -+=-+=222121 双线性变换1111.2s )1--+-==z z T e Z jw时，代入)2tan(211.2s Ω==+-=j wT j e e T jwjw 则： 平面单位圆平面虚轴映射到说明：z ss 2s 2j s )2-+=ΩTT Z 代入＋＝将σ j 2j 2Ω--Ω+=σσTT Z ＋则 2222)2()2(Ω+-Ω++=σσTT Z 0 1z =σ＝ 0 1z >>σ 0 1z <<σ 说明：稳定的模拟滤波器双线性变换后仍是的数字滤波器5.5.3优缺点优点：避免了频响的混叠失真缺点：频率非线性幅频响应分段常数型 5.5.4 模拟滤波器数字化方法直接代入法一.数字化方法 间接代入法表格法1.直接代入法1111)()(--+-==z z s s H z H2.间接代入法)2tan(2c c Cc w T C Ω=Ω'Ω=二、模拟低通滤波器到数字高通滤波器频率之间的关系1111---+=ZZ C S jw e Z =Ω= ,j s 令：上式)2cot(w C -=Ω )2cot(wC -=Ωπω=→=Ω0 0=→∞=Ωω例6：设计一个巴特沃思高通数字滤波器，其通带截止频率为c f ＝3kHz,阻带截止频率kHz f st 2=，通带衰减不大于3dB ，阻带衰减不小于14 Db,采样频率kHz f s 10=。
解：1)数字频率：π=π=π=π=402602.T f w .T f w st st c c2)求C ： 因归一化376121.wtan C ,c c c =Ω=Ω＝3)低通原型st Ω：89412.wcot C st st ==Ω4)求阶数：14110202-≤ΩΩ+-=Ω])(lg[j (H lg Ncst st a N=2.4909314 取N=35)313211132055693.0420116.05717848.01)331(099079.011)()(2211)(-------+++-+-=-+==+++=z z z z z z z z c s s H z H s s s s H a a5.6.3 模拟低通滤波器变为数字带通滤波器 一.模拟低通到数字带通的变换 低通→带通)(112Ω-ΩΩΩ+Ω→h hcs s s11112--+-⋅=Z Z T S⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=---22111Z Z EZ D S h h T TE ΩΩ+⎪⎭⎫⎝⎛ΩΩ-⎪⎭⎫⎝⎛=1212222 1122Ω-ΩΩΩ+Ω=h h c)TT (D [][]012121212cos 2sin sin )sin(2/)(cos 2/)(cos 2w w w w w w w w w E =++=-+=)2cot(12w w D c -Ω= )2tan 2(tan 212w w T c -=Ω 22111|)()(----+-==ZZ EZ D s s H z H a 1)/(2)/(2)/(1)(23+Ω+Ω+Ω=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Ω=c c c c a a s s s s H s H N464222222221143331211112112111|)()(22-----------+=+-+-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+==--z z z z z z z z z z s H z H z zT s a二、模拟低通滤波器到数字带通滤波器频率之间的关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=---22111Z Z EZ D S jw e Z =Ω= ,j s 令：上式www Dsin cos cos 0-=Ω00w w =→=Ωπ=→∞=Ωw 0=→-∞=Ωw例 7 采样频率为f s=100kHz, T =10 μs ，要求设计一个三阶巴特沃思数字带通滤波器，其上、下边带的 3dB 截止频率分别为f 2=37.5 kHz ，f 1=12.5 kHz 。
解 首先求出所需数字滤波器在数字域的各个临界频率。
通带的上、下边界截止频率为: 1)1=2πf 1T =2π×12.5×103×10×10-6=0.25πω2=2πf 2T =2π×37.5×103×10×10-6=0.75π 2) 228tan 83tan 22tan 2tan 212⨯=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΩT T T c ππωω TT T D c 44cot 4225.075.0cot 42cot 12=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω=πππωω0)4/cos()2/cos(2]2/)25.075.0cos[(]2/)25.075.0cos[(2]2/)cos[(]2/)cos[(21212==-+=-+=ππππππωωωωE2222111411------+=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-=z z T z z Ez D s 3)1221)(23+++=s s s s H N a3 dB 截止频率为Ωc=4/T 的三阶巴特沃思滤波器的系统函数为5.6.4 模拟低通滤波器变为数字带阻滤波器 一.模拟低通到数字带阻滤波器的变换 低通→带阻 hh cs s s ΩΩ+Ω-ΩΩ→121)( 11112--+-⋅=Z Z T S⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+--=---2112111Z Z E Z D S h h T TE ΩΩ+⎪⎭⎫⎝⎛ΩΩ-⎪⎭⎫⎝⎛=12121222 ))T ()()T (D h h cΩΩ+Ω-ΩΩ=121122 [][]0121212121cos 2sin sin )sin(22/)(cos 2/)(cos 2w w w w w w w w w E =++=-+=)2tan(12w w D c -Ω=)2tan 2(tan 2tan .2tan21212w w w w T c -=Ω 2112111|)()(---+--==Z Z E Z D s s H z H a 二、模拟低通滤波器到数字带阻滤波器频率之间的关系⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=---2112111Z Z E Z D S jw e Z =Ω= ,j s 令：上式1cos cos sin w w wD -=Ωπ,00=→=Ωw 0w w =→±∞=Ω例 8 要设计一个带阻数字滤波器，其采样频率为f s=1 kHz ，要求滤除100Hz 的干扰，其3 dB的边界频率为95 Hz 和105 Hz ，原型归一化低通滤波器为 ss H N a +=11)(解 首先求出所需数字滤波器在数字域的上、下边界频率为:ππππωππππω21.0100010522219.0100095222222111=⨯====⨯===s s f f T f f f T f模拟低通的截止频率 ：032.32)095.0tan()105.0tan()105.0tan()095.0tan(22tan 2tan 2tan 2tan 21221⨯≈-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΩT T T c ππππωωωω c c c c D Ω=Ω=⎪⎭⎫⎝⎛-Ω=⎪⎭⎫ ⎝⎛-Ω=03143.0)01.0tan(219.021.0tan 2tan 121πππωω6188.1)01.0cos()2.0cos(2]2/)19.021.0cos[(]2/)19.021.0cos[(2]2/)cos[(]2/)cos[(212121==-+=-+=ππππππωωωωE。