三角函数的概念与化简计算

三角函数的概念与化简计算

一、主要知识点

1.三角函数的定义

①三角函数定义:利用直角坐标系，可以把直角三角形中的三角函数推广到任意角的三角数.在α终边上任取一点(,)P x y （与原点不重合），记22||r OP x y ==+，则 sin y r α=，cos x r α=，tan y x α= 2.各象限角的各种三角函数值符号:

(纵坐标y 的符号) (横坐标x 的符号)

3.主要特殊角的三角函数值（背）

4.诱导公式：奇变偶不变，符号看象限（学会判断符号方法）

5.两角和与差公式

βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+ βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=- βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+ βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- β

αβαβαtan tan 1tan tan )tan(-+=+ βαβαβαtan tan 1tan tan )tan(+-=- 6.二倍角公式

αααcos sin 22sin = ααααα2222sin 211cos 2sin cos 2cos -=-=-= αα

α2tan 1tan 22tan -= 2

cos 12sin αα

-±= 2cos 12cos αα+±= 7.常见变形：

sin cos 2sin()4

x x x π±=±；sin 3cos 2sin()3x x x π±=±；3sin cos 2sin()6x x x π±=±； tan()(1tan tan )tan tan αβαβαβ+-=+；221cos 1cos cos ,sin 2222

αααα+-==等. 二、题型分类

热点一 三角函数的概念

sin y

r α=cos x

r α=tan y

x

α=

1.若α是第二象限角，且3

2sin =α，=αcos （ ） A.31 B.31- C.3

5 D.35- 2.若cos 0,θ>sin 20,θ<且θ则角的终边所在象限是（ ）

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

3.角α的终边过点P （－4k ，3k ）(k ＜0}，则cos α的值是（ ） A. 3 5 B.45 C.-35 D.-4

5

热点二 诱导公式的应用

4.若3sin 5

α=

，则①0sin(180)__;α-=②sin()___;πα+=③sin()__;α-=④sin(7)___;πα-=⑤0cos(90)___;α-=⑥cos()___;2πα+=⑦3cos()__;2

πα+=⑧0cos(270)__.α-= 5.)32011sin(π-= 6.化简：①cos(3)tan(3)___;παπα-+=

___,=其中α为第四象限角. ③21sin(2)sin()2cos ()___.αππαα+-+--= 7.化简)4sin()2

3sin()

8cos()2cos()5sin(πθπθθπθππθ------- 热点三 平方公式与商式的应用

8.已知,2tan =θ求下列各式的值：①θ

θθθcos 9sin 4cos 3sin 2--②θθcos sin 9.化简︒-1180sin 12的结果是（ ）

A.cos100°

B.cos80°

C.sin80°

D.cos20°

10.若sin x ＝5m 3m +-，cos x ＝5

m m 24+-, 则m 的值是（ ） A.0 B.8 C.0或8 D.3

11.设θ为第二象限角，若tan(+)4πθ=12

，则sin cos θθ+=_________. 12.若α

为第三象限角，则 ）

A.-3

B.-1

C.1

D.3

热点四 和与差的公式的应用

13.cos105°的值为（ ） A. 6 ＋ 2 4 B. 6 － 2 4 C. 2 － 6 4 D.－ 6 － 2

4

14.cos24°cos36°-cos66°cos54°的值等于( )

A.0

B.21

C.2

3 D.-21 15.若tan θ+1tan θ

=4,则sin2θ=（ ） A.15 B.14 C.13 D.12

16.若ABC ∆的内角A 满足2sin 23

A =,则sin cos A A +=( ) A.31 B.3

15 C.315- D. 315± 17.sin 12π-3cos 12

π的值是（ ） A.0 B.-2 C.2 D.52sin 12

π 18.函数y=sinxcosx+3cos 2x －

23 的最小正周期是（ ） A.π B.2π C.4π D.2

π

19.函数()(1)cos f x x x =+的最小正周期为（ ）

A.2π

B.32π

C.π

D.2

π

21.已知函数()12f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,x ∈R . (Ⅰ) 求6f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值；(Ⅱ) 若3cos 5θ=,3,22πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,求23f πθ⎛⎫+ ⎪⎝

⎭．

22.已知函数22π()cos ()sin 6

f x x x =--． (Ⅰ)求π()12f 的值；(Ⅱ)若对于任意的π[0,]2

x ∈，都有()f x c ≤，求实数c 的取值范围．