电工学第二章 控制系统的数学模型 (第四讲)
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控制系统的数学模型课件.ppt
t
s0
..
位移定理
L[ f (t 0 )] e0s F (s)
卷积定理
t
F1(s)F2(s) L[ 0 f1(t ) f2()d] f1(t ) f2() f1(t) f2(t)
拉氏反变换（部分分式展开法）
F(s)
B(s) A(s)
b0sm b1sm1 sn a1sn1
第2章 控制系统的数学模型
本章主要内容与重点 控制系统的时域数学模型 控制系统的复域数学模型 控制系统的结构图
..
本章主要内容
本章介绍了 建立控制系统数 学模型和简化的 相关知识。包括 线性定常系统微 分方程的建立、 非线性系统的线 性化方法、传递 函数概念与应用、 方框图及其等效 变换、梅逊公式 的应用等。
dx2
x0
(x x0 )2
y
y0
f
(x)
f
(x0 )
df (x) dx x0
(x
x0 )
具有两个自变量的非线性函数的线性化
y K x
y
f
(x1, x2 )
f
(
x10
,
x
20
)
f
( x1 , x1
x
2
)
(
x1
0
a0
d dt n
n
c(t)
a1
d dt n1
n1
c(t)
aΒιβλιοθήκη 1d dtc(t)
anc(t)
b0
d dt m
自动控制原理：第二章--控制系统数学模型全
TaTLma KJe K
dMdML m dtdt
L
Tm
Ra J K eKm
——机电时间常数(秒)；
Ta
La Ra
—电动机电枢回路时间常数 (秒)
若输出为电动机的转角q ，则有
TaTm
d 3q
dt 3
Tm
d 2q
dt 2
dq
dt
1 Ke
ua
Tm J
ML
TaTm J
dM L dt
—— 三阶线性定常微分方程 9
（1）根据克希霍夫定律可写出原始方程式
（（23））式消LuLCcdd中去(titd)i中2d是utRc间2(中Cti1)变间C1量iR变dCti量idd后udt，ct，(t它)u输r与u(入tc输)(输t)出出uu微rc((tt)分)有方如程下式关系
或
T1T2
d 2uc (t) dt 2
T2
duc (t) dt
扰动输入为负载转矩ML。 （1）列各元件方程式。电动机方程式为：
TaTm
d 2w
dt 2
测输T速Km出发td为d电wt电测压机速w 反 K馈1e系ua数
Tm J
M反L馈 电TaJT压m
dM L dt
ua Kae ut Ktw e ur ut 12
（2）消去中间变量。从以上各式中消去中间变
量ua，e，ut，最后得到系统的微分方程式
线性(或线性化)定常系统在零初始条件下， 输出量的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比 称为传递函数。
令线C性(s定)=常L[c系(t统)]，由R下(s)述=Ln阶[r(微t)]分，方在程初描始述条：件为零
时[[aab，nnmbssdmdn进mt+ndn+dt行acmmbn(tm拉-r1)-(s1t氏ns)-am1变n+-1b1+…m换dd…1t+，nndd+1a1t得mm1bcs1(11到+ts)r+a关(t0b)]于0C]的RD(sM的s的a(()分s1s(分))=代sdbd为母)t1子为数cd传d多(tt多传方)r递项(项t程递函)式a式0函数c。b(0数tr) (t)
第2章 控制系统数学模型-97页PPT资料
进一步有：
Lftd
t1Fs
s
零初始条件下有：
L ftdn t s 1 nF s s 1 nf 1 0 sn 1 1f 2 0 1 sf n 0
n 个
例4 求 L[t]=?
解.
x1 x
-y 1
2.2 非线性系统微分方程模型的线性化
注意：上述几种方法只适用于一些非线性程度较低的系统， 对于某些严重的非线性，如
0
0
继电特性
饱和特性
不能作线性化处理，一般用相平面法及描述函数法进行分析。
第2章 自动控制系统数学模型
2.1 建立动态微分方程的一般方法 2.2 非线性系统微分方程模型的线性化 2.3 传递函数 2.4 系统动态结构图 2.5 自动控制系统的传递函数 2.6 信号流图
L δ t L 1 t s 1 δ 0 101 s
例3 求 L cost)(?
解. cost1snit
Lc
ost 1Lsn it
1
s
s2
2
s2
s
2
1 拉普拉斯变换
（3）积分定理
L ftd t1 sF s1 sf-10
2.1 建立动态微分方程的一般方法
例2.1 R-L-C 串联电路
d(it) ur(t)LdtR(ti)uc(t)
i(t) C duc(t) dt
Ld C 2d uc2(tt)Rd C d cu (tt)uc(t) d2 d u c 2 (tt)R L dd c(u t)tL 1u C c(t)L 1u C r(t)
1 拉普拉斯变换
（3）正弦函数
0
自动控制原理-控制系统的数学模型可编辑全文
23
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
r(t)
b1
d m1 dt m1
r(t)
bm1
d dt
r(t)
bm r (t )
c(t)是系统输出量，r(t)是系统输入量，参数是常系数。
性质：满足叠加原理
6
3. 系统微分方程的建立步骤
第一步：将系统分成若干个环节，列写各环节的 输出输入的数学表达式。
利用适当物理定律—如牛顿定律、 基尔霍夫定律、能量守恒定律等。
s2 2
n 1 2
e nt
s in( n
1 2t)
n2 s 2 2n s n 2
12
4、拉氏反变换
查表实现
f
(t )
1 2pj
s j F ( s )e st ds
s j
F(s)化成下列因式分解形式：
F (s) B(s) k(s z1)(s z2 ) (s zm ) A(s) (s s1)(s s2 ) (s sn )
设双变量非线性方程为：y f (x1，, x工2 ) 作点为
则可近似为：
y K1x1 K2x2
y0 f (x10 , x20 )
x1 x1 x10 x2 x2 x20
K1
y x1
| , K x1x10
2
x2 x20
y x2
|x1 x10
x2 x20
[注意]： ⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、饱和特 性等），它可以用泰勒级数展开。 ⑵实际的工作情况在工作点附近。 ⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非 线性情况及变量变化范围有关。
◆F(s)中具有单极点时，可展开为
F (s) c1 c2 cn
s s1 s s2
s sn
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自动控制原理 —经典部分
第二章 数学模型
1
信息与电气工程学院
控制系统的数学模型
上一节课的主要内容：
（1）留数定理（重点） （2）传递函数零极点对输出的影响（重点） （3）结构图的绘制（重点）
2
信息与电气工程学院
控制系统的数学模型
本节课的主要内容：
（1）结构图的等效变换和简化（重点） （2）信号流图的组成及性质 （3）信号流图的绘制（重点）
C (s)
U (s) G1 (s) R(s)
C(s) G2 (s)U (s)
简化为
R(s)
C(s) G2 (s)G1 (s) R(s)
C ( s) G( s) G2 ( s)G1 ( s) R( s )
C (s)
G1 ( s )G2 ( s )
两个方框串联连接的等效方框，等于各个方框传递 函数的乘积。 可扩展至n个。 6
U i ( s) U o ( s) I1 ( s) R1
I 2 (s) CR1sI1 (s) Cuc (0)
Uo (s) I1 (s) I2 (s) R2 (s)
节点为
信息与电气工程学院
信号流图为
24
控制系统的数学模型
2. 由结构图绘制信号流图
R(s)
-
E (s)
G (s)
23
信息与电气工程学院
控制系统的数学模型
U o ( s ) I1 ( s ) I 2 ( s ) R2 ( s ) uc (0) 1 I 2 (s) R1 I1 ( s ) Cs s U i ( s ) R1 I1 ( s ) U o ( s )
16
信息与电气工程学院
控制系统的数学模型
节点
R(s)
R
C (s)
K
支路增益
C (s) KR( s)
欧姆定律的信号流图表示
I
信号流图为
R U
I R
U
电流I沿支路传递并增大R倍得到电压U。
17
信息与电气工程学院
控制系统的数学模型
d
x1
1
x2
a e
b
x3
f
x4
c
g
x5
1
x5
x1 x1
信号流图中，包含5个节点，8条支路。该图可描述5个变 量的因果关系的一组代数方程。 每个方程式左端的变量取 决于右端有关变量的线性 组合；
信息与电气工程学院
控制系统的数学模型
（4）比较点前移
R(s)
G (s)
±
C (s) Q( s)
C (s) G(s) R(s) Q(s)
前向通路保持不变，前移 过来的通路变为1/G(s)
R(s)
±
E (s)
G (s)
C (s) Q( s)
E (s) R(s) Q(s)
Q(s) Q(s)G2 (s)
15
信息与电气工程学院
Hale Waihona Puke 控制系统的数学模型三、信号流图的组成及性质
信号流图起源于梅森利用图示法来描述一个或一组 线性代数方程式，它是由节点和支路组成的一种信号 传递网络。
1. 组成
节点：代表方程式中的变量，以小圆圈表示； 支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益表示方 程式中两个变量的因果关系，相当于乘法器；
Q( s )
G2 (s)
C(s) G(s) R(s) Q(s)G2 (s) 1 G2 ( s) G(s) 9
控制系统的数学模型
信息与电气工程学院
（5）比较点后移
R(s)
±
E (s) Q( s)
G (s)
C (s)
C(s) G(s) R(s) Q(s)
R(s)
G (s)
C (s) C (s)
C (s)
（7）引出点后移
R(s)
G (s)
C (s)
R(s)
G (s)
C (s)
1 C (s) G (s)
11
R(s)
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控制系统的数学模型
（8）交换或合并比较点
R1 ( s ) E1 ( s )
± ±
R3 ( s )
R3 ( s )
R1 ( s ) E1 ( s )
(3) 信号在支路上只能沿箭头方向单向传递； (4) 对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因此 信号流图不唯一。
19
信息与电气工程学院
控制系统的数学模型
3. 基本概念
(1) 源节点（输入节点）：只有信号输出的支路，没有 信号输入的支路。 (2) 阱节点（输出节点）：只有输入支路而没有输出支 路； (3) 混合节点：既有输入支路也有输出支路； (4) 前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。前向通路总增益，前向通 路上各支路增益的乘积；
R(s)
G1 ( s ) G2 ( s )
C (s)
C ( s) G( s) G1 ( s) G2 ( s) R( s )
两个方框并联连接的等效方框，等于各个方框传递 函数的代数和。 可扩展至n个。 7
信息与电气工程学院 控制系统的数学模型
（3）反馈连接方框的简化
R(s) E ( s)
信息与电气工程学院
x2 x1 ex3 果 因 x3 ax2 fx4 x4 bx3
x5 cx4 dx2 gx5
18
控制系统的数学模型
2. 性质
(1) 节点表示系统的变量。每个节点表示的变量是所有 流向该节点的信号的代数和，而从同一节点流向各支 路的信号均用该节点的变量表示； (2) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路 增益而变换成另一信号；
C1 ( s )
±
C (s)
Q( s )
C (s) C1 (s) Q(s) G(s) R(s) G2 (s)Q(s)
G2 (s) G(s)
10
Q( s)
G2 (s)
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控制系统的数学模型
（6）引出点前移
R(s)
G (s) C (s)
R(s)
G (s) G (s)
1. 由系统微分方程绘制信号流图
对微分方程进行拉氏变换（考虑初始条件）
绘制信号流图时，首先对系统的每个变量指定一个 节点，并按照变量的因果关系，从左向右顺序绘制； 然后标出支路的增益，根据方程式将各节点变量正确 连接，便可得到信号流图。
22
信息与电气工程学院
控制系统的数学模型
例2-15 绘制RC无源网络的信号流图
20
信息与电气工程学院
控制系统的数学模型
(5) 回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一 节点不多于一次的闭合通路，称为单独回路；回路增 益，回路中所有支路增益的乘积。
(6) 不接触回路：回路之中没有公共节点时，称为不接 触回路。
21
信息与电气工程学院
控制系统的数学模型
四、信号流图的绘制
信号流图可根据微分方程，也可以根据结构图按照 对应关系得到。
C (s)
B(s)
传递的信号标记在信号 线上，方框是对变量进 行运算的算子。
在结构图的信号线上用小圆圈标出传递的信号， 便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图中 的方框，便得到支路。 R ( s ) E (s) C (s)
1
G (s)
1
25
B(s)
信息与电气工程学院 控制系统的数学模型
例2-16 绘制如下结构图对应的信号流图
i2 C i1 R1
ui
i
R2
uo
微 分 方 程
uo (t ) R2 (i1 (t ) i2 (t )) 1 R1i1 (t ) i2 (t )dt C R1i1 (t ) uo (t ) ui (t )
电容初始电压uc(0)≠0
拉氏变换得
U o ( s ) I1 ( s ) I 2 ( s ) R2 ( s ) uc (0) 1 I 2 (s) R1 I1 ( s ) Cs s U ( s ) R1 I1 ( s ) U o ( s ) i
-
G3 ( s )
H 3 (s)
G4 ( s )
C (s)
H1 ( s )
13
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控制系统的数学模型
作业：P67. 2-17(c)(d)(f)
14
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C
若初始条件不为0，能否用 图示法表示？
ui
i
uo
uo (t ) R2 (i1 (t ) i2 (t )) 1 R1i1 (t ) i2 (t )dt C R1i1 (t ) uo (t ) ui (t )
3
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控制系统的数学模型
二、结构图的等效变换和简化
结构图可以表示零初始条件下系统的输入与输出的 关系，而传递函数的定义就是输出拉氏变换与输入拉 氏变换之比，所以若能把结构图转换成如下形式
U i (s)
G (s)
U o (s)
即可方便地求出系统的传递函数或系统是输出响应。 这需要结构图的等效变换和简化。
E1 ( s )
E (s)
Ka
U a (s)
Km s (Tm s 1)
m (s)
r
L( s )
K1
E2 ( s )
26
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控制系统的数学模型
注意： 由结构图绘制信号流图时应尽量精简节点的数目。 (1) 支路增益为1的相邻两个节点，一般可以合并为 一个节点，但源节点和阱节点却不能； (2) 在结构图比较点之前没有引出点（但在比较点之 后可以有引出点）时，只需在比较点后设置一个节 点便可； (3) 若在比较点之前有引出点时，就需在引出点和比 较点各设置一个节点，分别标志两个变量，它们之 间的支路增益为1。 27
第二章 数学模型
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上一节课的主要内容：
（1）留数定理（重点） （2）传递函数零极点对输出的影响（重点） （3）结构图的绘制（重点）
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本节课的主要内容：
（1）结构图的等效变换和简化（重点） （2）信号流图的组成及性质 （3）信号流图的绘制（重点）
C (s)
U (s) G1 (s) R(s)
C(s) G2 (s)U (s)
简化为
R(s)
C(s) G2 (s)G1 (s) R(s)
C ( s) G( s) G2 ( s)G1 ( s) R( s )
C (s)
G1 ( s )G2 ( s )
两个方框串联连接的等效方框，等于各个方框传递 函数的乘积。 可扩展至n个。 6
U i ( s) U o ( s) I1 ( s) R1
I 2 (s) CR1sI1 (s) Cuc (0)
Uo (s) I1 (s) I2 (s) R2 (s)
节点为
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信号流图为
24
控制系统的数学模型
2. 由结构图绘制信号流图
R(s)
-
E (s)
G (s)
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U o ( s ) I1 ( s ) I 2 ( s ) R2 ( s ) uc (0) 1 I 2 (s) R1 I1 ( s ) Cs s U i ( s ) R1 I1 ( s ) U o ( s )
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节点
R(s)
R
C (s)
K
支路增益
C (s) KR( s)
欧姆定律的信号流图表示
I
信号流图为
R U
I R
U
电流I沿支路传递并增大R倍得到电压U。
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控制系统的数学模型
d
x1
1
x2
a e
b
x3
f
x4
c
g
x5
1
x5
x1 x1
信号流图中，包含5个节点，8条支路。该图可描述5个变 量的因果关系的一组代数方程。 每个方程式左端的变量取 决于右端有关变量的线性 组合；
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（4）比较点前移
R(s)
G (s)
±
C (s) Q( s)
C (s) G(s) R(s) Q(s)
前向通路保持不变，前移 过来的通路变为1/G(s)
R(s)
±
E (s)
G (s)
C (s) Q( s)
E (s) R(s) Q(s)
Q(s) Q(s)G2 (s)
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信号流图起源于梅森利用图示法来描述一个或一组 线性代数方程式，它是由节点和支路组成的一种信号 传递网络。
1. 组成
节点：代表方程式中的变量，以小圆圈表示； 支路：连接两个节点的定向线段，用支路增益表示方 程式中两个变量的因果关系，相当于乘法器；
Q( s )
G2 (s)
C(s) G(s) R(s) Q(s)G2 (s) 1 G2 ( s) G(s) 9
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（5）比较点后移
R(s)
±
E (s) Q( s)
G (s)
C (s)
C(s) G(s) R(s) Q(s)
R(s)
G (s)
C (s) C (s)
C (s)
（7）引出点后移
R(s)
G (s)
C (s)
R(s)
G (s)
C (s)
1 C (s) G (s)
11
R(s)
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（8）交换或合并比较点
R1 ( s ) E1 ( s )
± ±
R3 ( s )
R3 ( s )
R1 ( s ) E1 ( s )
(3) 信号在支路上只能沿箭头方向单向传递； (4) 对于给定的系统，节点变量的设置是任意的，因此 信号流图不唯一。
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3. 基本概念
(1) 源节点（输入节点）：只有信号输出的支路，没有 信号输入的支路。 (2) 阱节点（输出节点）：只有输入支路而没有输出支 路； (3) 混合节点：既有输入支路也有输出支路； (4) 前向通路：信号从输入节点到输出节点传递时，每 个节点只通过一次的通路。前向通路总增益，前向通 路上各支路增益的乘积；
R(s)
G1 ( s ) G2 ( s )
C (s)
C ( s) G( s) G1 ( s) G2 ( s) R( s )
两个方框并联连接的等效方框，等于各个方框传递 函数的代数和。 可扩展至n个。 7
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（3）反馈连接方框的简化
R(s) E ( s)
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x2 x1 ex3 果 因 x3 ax2 fx4 x4 bx3
x5 cx4 dx2 gx5
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2. 性质
(1) 节点表示系统的变量。每个节点表示的变量是所有 流向该节点的信号的代数和，而从同一节点流向各支 路的信号均用该节点的变量表示； (2) 支路相当于乘法器，信号流经支路时，被乘以支路 增益而变换成另一信号；
C1 ( s )
±
C (s)
Q( s )
C (s) C1 (s) Q(s) G(s) R(s) G2 (s)Q(s)
G2 (s) G(s)
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Q( s)
G2 (s)
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（6）引出点前移
R(s)
G (s) C (s)
R(s)
G (s) G (s)
1. 由系统微分方程绘制信号流图
对微分方程进行拉氏变换（考虑初始条件）
绘制信号流图时，首先对系统的每个变量指定一个 节点，并按照变量的因果关系，从左向右顺序绘制； 然后标出支路的增益，根据方程式将各节点变量正确 连接，便可得到信号流图。
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(5) 回路：起点和终点在同一节点，而且信号通过每一 节点不多于一次的闭合通路，称为单独回路；回路增 益，回路中所有支路增益的乘积。
(6) 不接触回路：回路之中没有公共节点时，称为不接 触回路。
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四、信号流图的绘制
信号流图可根据微分方程，也可以根据结构图按照 对应关系得到。
C (s)
B(s)
传递的信号标记在信号 线上，方框是对变量进 行运算的算子。
在结构图的信号线上用小圆圈标出传递的信号， 便得到节点；用标有传递函数的线段代替结构图中 的方框，便得到支路。 R ( s ) E (s) C (s)
1
G (s)
1
25
B(s)
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例2-16 绘制如下结构图对应的信号流图
i2 C i1 R1
ui
i
R2
uo
微 分 方 程
uo (t ) R2 (i1 (t ) i2 (t )) 1 R1i1 (t ) i2 (t )dt C R1i1 (t ) uo (t ) ui (t )
电容初始电压uc(0)≠0
拉氏变换得
U o ( s ) I1 ( s ) I 2 ( s ) R2 ( s ) uc (0) 1 I 2 (s) R1 I1 ( s ) Cs s U ( s ) R1 I1 ( s ) U o ( s ) i
-
G3 ( s )
H 3 (s)
G4 ( s )
C (s)
H1 ( s )
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控制系统的数学模型
作业：P67. 2-17(c)(d)(f)
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C
若初始条件不为0，能否用 图示法表示？
ui
i
uo
uo (t ) R2 (i1 (t ) i2 (t )) 1 R1i1 (t ) i2 (t )dt C R1i1 (t ) uo (t ) ui (t )
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二、结构图的等效变换和简化
结构图可以表示零初始条件下系统的输入与输出的 关系，而传递函数的定义就是输出拉氏变换与输入拉 氏变换之比，所以若能把结构图转换成如下形式
U i (s)
G (s)
U o (s)
即可方便地求出系统的传递函数或系统是输出响应。 这需要结构图的等效变换和简化。
E1 ( s )
E (s)
Ka
U a (s)
Km s (Tm s 1)
m (s)
r
L( s )
K1
E2 ( s )
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注意： 由结构图绘制信号流图时应尽量精简节点的数目。 (1) 支路增益为1的相邻两个节点，一般可以合并为 一个节点，但源节点和阱节点却不能； (2) 在结构图比较点之前没有引出点（但在比较点之 后可以有引出点）时，只需在比较点后设置一个节 点便可； (3) 若在比较点之前有引出点时，就需在引出点和比 较点各设置一个节点，分别标志两个变量，它们之 间的支路增益为1。 27