第二章单自由度系统自由振动).ppt
2-单自由度自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
31
给出初始条件：t＝0时 x x0 , x v0
则可确定系数B和D B v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
D v0 ( 2 1)n x0 2n 2 1
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
不大，特别是当阻尼很小（<<1）时，可
以忽略阻尼对振动频率和周期的影响。
第2章 单自由度系统自由振动
2.5 具有黏性阻尼的振动系统
40
2.6 对数衰减率
振幅衰减的快慢程度可用相邻振幅 的比值来表示，称为衰减率或减幅率或 减缩率；也可以用衰减率的自然对数来 表示，称为对数衰减率。
第2章 单自由度系统自由振动
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
22
P15例2-3-2 利用能量法求纯滚动圆盘 系统作微幅振动的固有频率。
第2章 单自由度系统自由振动
2.3 能量法
23
2.4 瑞利法
一般不考虑弹性元件的质量对振动系统的 影响，若这些质量不可忽略的时候，“瑞利法” 的思想，是将这些弹性元件所具有的多个集中 质量或分布质量简化到系统的集中质量上去， 从而变成典型的单自由度振动系统。
T 2 n
周期是系统振动一次所需要的时间，单位 为秒（s）。
周期的倒数称为频率，是系统每秒钟振动 的次数,单位为1/秒(1/s)或赫兹(Hz)。记作 f
f 1 n T 2
第2章 单自由度系统自由振动
2.2 自由振动系统
13
固有频率n和频率 f 只相差常数2，因
此经常通称为固有频率。是振动分析中极
已知质量为m，弹簧的刚 度系数为k。取质量的静平衡 位置为坐标原点,当重物偏离 x 时,利用牛顿定律可得到运 动微分方程：
第二章单自由度系统自由振动)
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
正弦型激励 周期激励 任意激励
k
kx m x
m
F(t)
mx kx F0 sin t
p2 k m
x p2x F0 sin t
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x
iAei(t )
振幅
A
x02
x0 p
2
初相位
arctan px0
x0
固有圆频率 p k m
(rad/s)
固有频率 f p 1 k
2 2 m
(HZ)
固有周期 T 1 2 m (s)
f
k
例题2.7 某仪器中一元件为等截面悬臂梁，梁的质 量可忽略。在梁的自由端由磁铁吸住两个集中质量 m1、m2。梁在静止时，断电使m2突然释放，求随 后m1的振动。
单自由度系统(自由振动)
第二章 单自由度系统的自由振动本章以阻尼弹簧质量系统为模型,讨论单自由度系统的自由振动。
§2-1 无阻尼系统的自由振动无阻尼单自由度系统的动力学模型如图1.1所示。
设质量为m ，单位是kg 。
弹簧刚度为K ，单位是N ／m ，即弹簧单位变形所需的外力。
弹簧在自由状态位置如图中虚线所示。
当联接质量块后，弹簧受重力W=mg 作用而产生拉伸变形∆：，同时也产生弹簧恢复力K ∆，当其等于重力W 时，则处于静平衡位置，即 W=K ⋅∆若系统受到外界某种初始干扰，使系统静平衡状态遭到破坏．则弹簧力不等于重力，这种不平衡的弹性恢复力，便使系统产生自由振动。
首先建立座标，为简便起见，可选静平衡位置为座标原点，建立铅垂方向的座标x ，从原点算起，向下为正，向上为负，表示振动过程中质量块的位置。
现设质量m 向下运动到x ，此时弹簧恢复力为K(∆+x)，显然大于重力W ，由于力不平衡，质量块在合力作用下，将产生加速度运动，故可按牛顿运动定律(作用于一个质点上所有力的合力，等于该质点的质量和沿合力方向的加速度的乘积)，建立运动方程，取与x 正方向一致的力、加速度、速度为正，可列如下方程 改写为 0=+kx xm (1-1-1 令mkp =2(1-1-2)单自由度无阻尼系统自由振动运动方程为02=+x p x(1-1-3)设方程的特解为 ste x =将上式代入(1-1-3)处特征方程及特征根为ips p s ±==+2,1220则(1-1-3)的通解为ptD pt C e C e C x ipt ipt sin cos 11+=+=- (1-1-4)C 、D 为任意积分常数，由运动的初始条件确定，设t=0时00,x xx x == （1-1-5）()x m x k W F=+∆-=∑量位静平衡位置 一自由度弹簧—质量系统 ∆==k mgW xx)则pt pxpt x x sin cos 00 += （1-1-6）经三角变换，又可表示为)sin(α+=pt A x（1-1-7）其中 001220,x px tg p x x A -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=α （1-1-8） 自由振动的振幅A 和初相位角α与系统的参数和初始条件有关。
第二章(第2,3节)单自由度系统的自由振动
2
R r 2 2
圆柱体的势能为相对于最低位置O的重力势能。 若选圆柱体中心C在运动过程中的最低点为零势能 点，则系统的势能为 2 U W ( R r )( 1 cos ) 2W ( R r ) sin
2
2.2 能量法
例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1）
2.2 能量法
例题：用能量法求解系统的振动微分方程与固有频率（例2.2-1）
例2.2-1 有一个重量为W，半径为r的实心圆柱体， 在半径为R的圆柱形面上无滑动地滚动，如图2.2-1所示。 假设该滚动的圆柱体进行简谐运动，试求它绕平衡位置作 微小摆动时的固有频率n。 解：圆柱体在摆动时 有两种运动：移动和滚动。 设坐标如图2.2-1示。 摆动时圆柱体中心C点的速度 及圆柱体的角速度分别为
1 k 1 k1 1 k2 1 kn
图 2.3-2
k
i 1
n
1
i
(2.3-2)
2.3 等效刚度系数
串、并联弹簧的等效刚度的计算
图2.3-2(b)是两个并联弹簧，刚度系 数分别为k1和k2。两个弹簧所受的力分别 为k1xB、k2xB 根据静力平衡条件得： F k 1 x B k 2 x B
2.3 等效刚度系数
串、并联弹簧的等效刚度的计算
图2.3-2(a)是两个串联弹簧，刚度系数分 别为k1和k2。B点的位移及等效刚度系数为
xB F k1 F k2
k
F xB
k1k 2 k1 k 2
串联弹簧的作用使系统中的弹簧刚度降低。
如果有n个弹簧串联，刚度系数分别为k1, k2, …, kn，则等效刚度系数k应满足关系式
0723第二章单自由度振动系统(讲)
第二章单自由度系统振动§1-1 概述单自由度系统的振动理论是振动理论的理论基础。
(1)尽管实际的机械都是弹性体或多自由度系统，然而要掌握多自由度振动的基本规律，就必须先掌握单自由度系统的振动理论。
此外，(2)许多工程技术上的具体振动系统在一定条件下，也可以简化为单自由度振动系统来研究。
[举例如下：]例如：(1)悬臂锤削镗杆；(2)外圆磨床的砂轮主轴；(3)安装在地上的床身等。
[力学模型的简化方法]若忽略这些零部件中的镗杆、主轴和转轴的质量，只考虑它们的弹性。
忽略那些支承在弹性元件上的镗刀头、砂轮、床身等惯性元件的弹性，只考虑它们的惯性。
把它们看成是只有惯性而无弹性的集中质点。
于是，实际的机械系统近似地简化为单自由度线性振动系统的动力学模型。
在实际的振动系统中必然存在着各种阻尼，故模型中用一个阻尼器来表示。
阻尼器由一个油缸和活塞、油液组成。
汽车轮悬置系统等等。
[以上为工程实际中的振动系统]单自由度振动系统——指用一个独立参量便可确定系统位置的振动系统。
所有的单自由度振动系统经过简化，都可以抽象成单振子，即将系统中全部起作用的质量都认为集中到质点上，这个质点的质量m 称为当量质量，所有的弹性都集中到弹簧中，这个弹簧刚度k称为当量弹簧刚度。
以后讨论中，质量就是指当量质量，刚度就是指当量弹簧刚度。
在单自由度振动系统中，质量m、弹簧刚度k、阻尼系数C是振动系统的三个基本要素。
有时在振动系统中还作用有一个持续作用的激振力P。
应用牛顿运动定律，作用于一个质点上所有力的合力等于该质点的质量和该合力方向的加速度的乘积。
（牛顿运动定律） （达伦培尔原理）现取所有与坐标x 方向一致的力、速度和加速度为正，则：kx x C t P xm --= ωsin 0 (牛顿运动定律) （达伦培尔原理：在一个振动体上的所有各力的合力必等于零）（动静法分析：作用在振动体上的外力与设想加在此振动体上的惯性力组成平衡力系）上式经整理得，t P kx x C xm ωsin 0=++ （2.1） 该式就是单自由度线性振动系统的运动微分方程式的普遍式。
第二讲单自由度系统自由振动
m
k/2
k/2
l a
单自由度系统自由振动
解法1：
广义坐标
平衡位置1
零平衡位置1
m
k/2
k/2
动能 势能
T 1 I2 1 ml22
2
2
V 2 1 1 k a2 mgl 1 cos
22
1 ka2 2 1 mgl 2 sin 2
静平衡位置
W
W
振动解：
x(t)
x0
cos(0t)
x0
0
sin(
0t)
x
x(t)
v
0
s in(0t )
1.28
sin(19.6t)
(cm)
单自由度系统自由振动
振动解：
x(t)
v
0
s in(0t )
1.28
sin(19.6t)
( cm)
v
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起
(t
)
0
c
os0t
0 0
sin
0t
单自由度系统自由振动
由上例可看出，除了选择了坐标不同之外，角振动与直线
振动的数学描述是完全相同的。如果在弹簧质量系统中将 m 、k 称为广义质量及广义刚度，则弹簧质量系统的有关结论
完全适用于角振动。以后不加特别声明时，弹簧质量系统是
广义的 。
弹簧原长位置
x
k xdx
0
mgx 1 kx2
k
2
0
静平衡位置
x
mxx mgx kxx 0
mx kx mg
振动理论-第2章 单自由度系统的自由振动
c
l
解：梁重物处的静变形为
st
Wc2 (l c)2 3lEI
则：
3lEI k c2 (l c)2
1g f
2 st
例3. 已知：升降机吊笼，以等速 v0 下降，钢丝绳视为弹簧，
若A端突然停止，求钢绳所受到的最大应力。
W 10000lbf l 62 ft A 2.5in2 E 15106lbf / in2
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
平行串联、并联弹簧的等效刚度
4 等效质量和等效刚度
例1 A suspension system of a freight truck with a parallel-spring arrangement. Find the equivalent spring constant of the suspension if each of the three helical springs is made of G 80109 N / m2
(boom) to deform by an amount x2 x cos 45 and the spring k1
Eat 3 4b3
kr
AE l
d2E
4l
1 keq
1 kb
1 kr
4b3 Eat 3
4l d2
E
keq
E 4
at3d 2
d 2b3 lat3
4 等效质量和等效刚度
斜拉弹簧在某个位移方向上的等效弹簧刚度
Fx F cos F 为弹簧的伸长量
第2章 单自由度系统的自由振动
25第2章 单自由度系统的自由振动2.1 无阻尼系统的自由振动设有质量为m 的物块(可视为质点)挂在弹簧的下端，弹簧的自然长度为l 0,弹簧刚度为k ，如不计弹簧的质量，这就构成典型的单自由度系统，称之为弹簧质量系统如图2-1所示。
工程中许多振动问题都可简化成这种力学模型。
例如，梁上固定一台电动机，当电机沿铅直方向振动时，梁和电机组成一个振动系统，如不计梁的质量，则它在该系统中的作用相当于一根无重弹簧，而电机可视为集中质量。
于是这个系统可简化成如图2-1所示的弹簧质量系统。
2.1.1自由振动方程以图2-1所示的弹簧质量系统为研究对象。
取物块的静平衡位置为坐标原点O ，x 轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。
当物块在静平衡位置时，由平衡条件∑F x = 0，得到st δk mg = （A ）st δ称为弹簧的静变形。
当物块偏离平衡位置为x 距离时，物块的运动微分方程为mxkx &&=− （2-1） 将式（2-1）两边除以m ，并令mkp =n （2-2） 则式（2-1）可写成02n =+x p x && （2-3）这就是弹簧质量系统置之只在线弹性力－kx 的作用下所具有的振动微分方程，称之为无阻尼自由振动的微分方程，是二阶常系数线性齐次方程。
由微分方程理论可知，式（2-3）的通解为t p C t p C x n 2n 1sin cos +=其中C 1和C 2为积分常数，由物块运动的起始条件确定。
设0=t 时，x x xx ==00，&&。
可解得 C x 10= n02p xC &=t p p xt p x x n n0n 0sin cos &+= （2-4） 式（2-4）亦可写成下述形式)sin(n α+=t p A x （2-5）26 其中⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=)arctan()(00n 2n020x x p p x x A &&α （2-6） 式（2-4）、（2-5）是物块振动方程的两种形式，称为无阻尼自由振动，简称自由振动。
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在简谐振动中，加速度的方向与位移的方向相反，大小与位移的大 小成正比，始终指向静平衡位置。
④简谐振动的合成
（2）周期振动的谐波分析
f (t) f (t nT) n 0, 1, 2,L
2
基频
T
一个周期函数如果满足如下条件，就可以展成傅立叶级数。
（1）在一个周期内连续或只有有限个间断点，且间断点的左右极限都存在；
1 1 1 L k k1 k2
k k1 k2 L
（2）等效质量
k1
d2 l
k2
x
0
②能量法
T+U=常数
d T U 0
dt
例题2-2 （教材例题2.11）
半径为r、重力为 mg的圆柱体在半径为R 的圆柱面内滚动而不滑 动，如图所示。试求圆 柱体绕其平衡位置作微 小振动的微分方程。
&& 2g 0
3(R r)
2、等效振动系统及外界激励
在工程上为便于研究，常把一些较为复杂的振动系统进行简化，以便 当作运动坐标方向上只存在一个质量和弹簧来处理，经简化后得到的质量 和刚度，分别成为原系统的等效质量和等效刚度。
第一章 概论
一、振动及其研究的问题 1、振动 2、振动研究的问题 振动隔离 在线控制 工具开发 动态性能分析 模态分析
第一章 概论
二、振动分类及研究振动的一般方法 1、振动分类：振动分析、振动环境预测、系统识别 2、研究振动的一般方法 （1）理论分析方法
建立系统的力学模型、建立运动方程、求解方程得到响应 （2）实验研究方法 （3）理论与实验相结合的方法
同样，实际振动系统不可避免地存在阻力，因而在一定时间内自由振 动会逐渐衰减，直至完全消失。振系中阻力有各种来源，如干摩擦、流体 阻力、电磁阻力、材料内阻力等，统称阻尼。
在这些阻尼中，只有粘性阻尼是线性阻尼，它与速度成正比，易于数 学处理，可以大大简化振动分析问题的数学求解，因而通常均假设系统的 阻尼为粘性阻尼。对于其他比较复杂的实际阻尼，则被转化为等效粘性阻 尼来处理。
（1）等效刚度
通常用能量法求复杂系统的等效刚度，即按实际系统要转化的弹簧 的弹性势能与等效系统弹簧势能相等的原则来求系统的等效刚度。
拉压刚度 弯曲刚度 扭转刚度
kD
EA l3
3EI
kB l13
kC
GI p l2
弹簧的串、并联
ke k1 k2
1 11
ke k1 k2
串联弹簧的刚度 并联弹簧的刚度
T
f (t) cos( jt)dt
0
bj
2 T
T
f (t)sin( jt)dt
0
Aj
j
a
2 j
arctan
ba2jj bj
例题1－1 对方波信号
f (t) FF00
0tT 2
T tT 2
进行谐波分析。
f (t) 4F0 sin jt
j1,3,5,L
j
4F0
sin t
1 sin 3t
3
输出和输入的傅氏变换之比等于频率响应函数H (（) 频响函数）
物理特性
模态特性
响应特性
力学模型: 质量、刚度、阻尼
模态模型: 固有频率、模态矢量 模态质量、刚度、阻尼
响应模型: 位移、速度、加速度
时域模型：微分方程描述
频域模型：传递函数描述 频率特性描述
汽车振动学
第二章 单自由度系统的振动
一、单自由度振动系统 1、振动微分方程的建立 2、振动等效系统及外界激励
②旋转矢量表示法
③复数表示法
z Acos(t ) iAsin(t )
z Aei(t )
eit cost i sin t eit cost i sin t
x Im( Aei(t) ) Asin(t )
x&
iAei(t )
i(t )
Ae 2
&x& A2ei(t) A e2 i(t )
四、单自由度系统在周期性激励作用下的受迫振动 1、谐波分析与叠加原理 2、傅立叶（Fourier）级数法
五、单自由度系统在任意激励作用下的受迫振动 1、脉冲响应函数法或杜哈梅（Duhamel）积分法 2、傅立叶（Fourier）变换法 3、拉普拉斯（Laplas）变换法
一、单自由度振动系统 1、单自由度系统及其振动微分方程建立 2、振动等效系统及外界激励 3、振动微分方程的求解
1、单自由度系统及其振动微分方程建立 （1）单自由度振动系统
（2）单自由度系统振动方程的建立方法 ①牛顿第二定律或达朗贝尔原理
f m&x& f m&x& 0 M J&& M J&& 0
例题2-1 （教材例题2.10） 建立如图所示振动系统的振动微分方程。
ml&x&
b2 l
cx&
a2 l
二、单自由度系统的自由振动 1、无阻尼系统的自由振动 2、有阻尼系统的自由振动
三、单自由度系统在简谐激励作用下的受迫振动 1、简谐激励下的受迫振动响应及频谱分析 2、受迫振动的复数求解法－－单位谐函数法 3、支座简谐激励（位移激励）引起的振动与被动隔振 4、偏心质量（力激励）引起的振动与主动隔振 5、测振传感器的原理
1 sin 5t
5
L
（3）振动的频谱分析 频率特性分析是经典控制理论中研究与分析系统特性的主要方法。利用此方
法可以将系统传递函数从复域引到具有明显物理概念的频域来分析系统的特性。
将频率特性分析方法用于振动分析，成为频谱分析。 引入频谱分析的重要性在于：
①可将任意激励函数分解为叠加的谐波信号，即可将周期激励函数分解为叠加 的频谱离散的谐波信号，可将非周期激励函数分解为叠加的频谱连续的谐波信 号。 ②对于无法用分析法求得传递函数或微分方程的振动系统，可以通过实验求 出系统的频率特性，进而得到系统的传递函数或微分方程。
三、 汽车上的振动问题 四、简谐振动、谐波分析及频谱分析
1、简谐振动 2、谐波分析 3、频谱分析
（1）简谐振动 ①函数表示法
x Asin(t ) Asin(2 t ) Asin(2ft )
x
A cos(t
)
T
A sin(t
)
2
x A 2 sin(t ) A 2 sin(t )
（2）在一个周期内，具有有限个极大、极小点。
f (t)
a0 2
a1 cost a2 cos 2t L
b1 sin t b2 sin 2t L
=
a0 2
a j
j 1
cos(
jt) bj
sin(
jt)
a0 2
j 1
Aj
sin(
jt j )
其中
a0
2 T
T
f (t)dt
0
2
aj T