2015届高三数学理科数列大题训练(20题)(含答案)
高三数学理科数列大题训练（20题）
1．已知数列}{n a 、}{n b 的各项均为正数，且对任意*N ∈n ，都有n a ，n b ，1+n a 成等差数列，n b ，1+n a ，1+n b 成等比数列，且101=a ，152=a ． （1）求证：数列}{n b 是等差数列； （2）求数列}{n a 、}{n b 的通项公式； （3）设n n a a a S 1
1121+++=
，如果对任意*N ∈n ，不等式n
n n a b S a -
2．在数列{}n a ，{}n b 中，13a =,15b =,142n n b a ++=,142
n n a b ++=（*
n N ∈）. （1）求数列{}n n b a -、{}n n a b +的通项公式；
（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，若对任意*
n N ∈，都有(4)[1,3]n p S n -∈，求实数p 的取值范围.
3．已知数列}{n a 的前n 项和为n S ，且4=+n n a S ，∈n N *
（1）求数列}{n a 的通项公式；
（2）已知32+=n c n （∈n N *
），记=n d n C n a c log +(0>C 且1≠C )，是否存在这样的常数C ，使得
数列}{n d 是常数列，若存在，求出C 的值；若不存在，请说明理由. （3）若数列}{n b ，对于任意的正整数n ，均有
22
21123121+-??
? ??=++++--n a b a b a b a b n
n n n n 成立，求证：数列}{n b 是等差数列；
4．已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，13
,2
a =
数列{}n b 是等比数列，且11b a =，2334,b a b a =-=，数列{}n b 的前n 项和为n S ，记点*(,),n n n Q b S n N ∈．
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）证明：点123n Q Q Q Q 、、、、、在同一直线l 上，并求出直线l 方程； （3）若1
n n
A S
B S ≤-≤对*n N ∈恒成立，求B A -的最小值．
5．已知数列{}n a 的首项为1，记12
12()k
n
n n k n n n
f n a C a C a C a C =++
++
+(*N n ∈). （1）若{}n a 为常数列，求(4)f 的值；
（2）若{}n a 为公比为2的等比数列，求()f n 的解析式；
（3）是否存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*
N n ∈都成立?若存在，求出数列{}n a 的通
项公式；若不存在，请说明理由．
6．已知a >0且a ≠1，数列{}n a 是首项与公比均为a 的等比数列，数列{}n b 满足b n =a n ?lg a n (n ∈N*)． （1）若a=3，求数列{b n }的前n 项和S n ；
（2）若对于n ∈N*，总有1+ 7．已知各项均不为零的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()141n n n S a a n N *+=?+∈，其中11a =. （1）求证：135,,a a a 成等差数列； （2）求证：数列{}n a 是等差数列； （3）设数列{}n b 满足()1 21n b n n N a *=+∈，且n T 为其前n 项和，求证：对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立. 8．设数列{}n a 的首项1a 为常数，且)(231*+∈-=N n a a n n n ． （1）证明：? ?? ???- 53n n a 是等比数列； （2）若2 3 1=a ，{}n a 中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由． （3）若{}n a 是递增数列，求1a 的取值范围． 9．已知数列{}n a （*N n ∈，146n ≤≤）满足1a a =， 1,115,1,1630,1 ,3145,n n d n a a n n d +? ?? -=????≤≤≤≤≤≤其中0d ≠，*N n ∈学科网． （1）当1a =时，求46a 关于d 的表达式，并求46a 的取值范围； （2）设集合{|,,,,116}i j k M b b a a a i j k i j k *==++∈< ①若13a =，1 4d =，求证：2M ∈； ②是否存在实数a ，d ，使18，1，53 40 都属于M ？若存在，请求出实数a ，d ；若不存在，请说明理由． 10．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，若1564a a =，5348S S -=. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）对于正整数,,k m l （k m l <<），求证：“1m k =+且3l k =+”是“5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列”成立的充要条件； （3）设数列{}n b 满足：对任意的正整数n ，都有12132 1 n n n n a b a b a b a b --++++ 13246n n +=?--，且集合*|,n n b M n n N a λ?? =≥∈???? 中有且仅有3个元素，试求λ的取值范围. 11．设函数()() 2x f x m x = +，方程()f x x =有唯一解，数列{}n a 满足 ()()1n n f a a n N *+=∈，且()123f a = ，数列{}n b 满足()43.n n n a b n N a *-=∈ （1）求证：数列1n a ?? ? ??? 是等差数列； （2）数列{}n c 满足()1 1 n n n c n N b b *+= ∈?，其前n 项和为n S ，若存在n N *∈，使 ()1 42 n kS n k = +∈R 成立，求k 的最小值； （3）若对任意* n N ∈ ，使不等式 12111111n t b b b ?? ???? +++ ? ??????? ?? L 成立，求实数t 的最大值． 12．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足12a =-，1320n n a S +++=（* n ∈N ）. （1）求2a ，3a 的值； （2）求数列{}n a 的通项公式； （3）是否存在整数对(,)m n ，使得等式2 48n n a m a m -?=+成立？若存在，请求出所有满足条件的 (,)m n ；若不存在，请说明理由. 13．已知数列{}n a 为等差数列，12a =，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列， 且2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+对任意的n *∈N 恒成立. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在,p q *∈N ，使得2 22()2020p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件 的,p q ；若不存在，说明理由. （3）是否存在非零整数λ ，使不等式112111(1)(1)(1)cos 2n n a a a a πλ+- -??????-< 对一切n *∈N 都成立？若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由. 14．已知数列{}n a 为等差数列，满足142()n n a a n n * ++=+∈N ，其前n 和为n S ，数列{}n b 为等比数列，且 2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+对任意的n *∈N 恒成立. （1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）是否存在,p q *∈N ，使得2 22()392p q a b +-=成立，若存在，求出所有满足条件的,p q ；若不存在，说明理由； （3）记集合| ,n n S M n n b λ*??=≥∈???? N ，若M 中共有5个元素，求实数λ的取值范围. 15．将数列{}n a 中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表： 9 8 7 6 51321 a a a a a a a a a 已知表中的第一列数 ,,,521a a a 构成一个等差数列，记为{}n b ，且10,452==b b ，表中每一行正中间的一个数731,,a a a …构成数列{}n c ,其前n 项和为n S ． （1）求数列{}n b 的通项公式； （2）若上表中，从第二行起．每一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且 13a = 1． ①求n S ； ②记},)1(|{*N n C n n M n ∈≥+=λ若集合M 的元素个数为3．求实数λ的取值范围． 16．已知首项大于0的等差数列{}n a 的公差1d =，且 1223112 3 a a a a +=． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若数列{}n b 满足：11b =-，2b λ=，1 11(1)n n n n n b b n a -+--=+ ，其中2n ≥． ①求数列{}n b 的通项n b ； ②是否存在实数λ，使得数列}{n b 为等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由． 17．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且22a =，515S =，数列{}n b 满足：112 b = ，11 ()2n n n b b n N n +++= ∈，记数列{}n b 的前n 项和为n T . （1）求数列{}n a 的通项公式n a 及前n 项和公式n S ； （2）求数列{}n b 的通项公式n b 及前n 项和公式n T ； （3）记集合2(2T ) {|,}2 n n S M n λn N n +-=≥∈+，若M 的子集个数为16，求实数λ的取值范围。 18．设向量)2 3 2()2(-+==x n x x ，， ，+∈N n ，函数x f ?=)(在]10[，上的最小值与最大值的和为n a ，数列}{n b 的前n 项和n S 满足：n b S n n =+4 )(+∈N n （1）求n a （2）证明数列{}1-n b 为等比数列，并求出n b 的表达式； （3）令)1(-?-=n n n b a c ，试问：在数列}{n c 中，是否存在正整数k ，使得对于任意的正整数n ，都 有k n c c ≤成立？证明你的结论。 19．各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知点()() 1,n n a a n N *+∈在函数3y x =的图象上，且 326.S = （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）在1n n a a +与之间插入n 个数，使这2n +个数组成公差为n d 的等差数列，求数列1n d ?? ???? 的前n 项和n T ，并求使1 840 55327 n n n T -+≤?成立的最大正整数.n 20．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，数列{}n b 是等比数列，151,12b a = -恰为42 1 S b 与的等比中项，圆( )(2 2 2:22C x n y n -+=，直线:l x y n +=，对任意n N * ∈，直线l 都与圆C 相切. （1）求数列{}{}n n a b ，的通项公式； （2）若1n =时，{}111111111,2...,1111 12 n n n n n c n c c b b b b --=+ ≥=+++++时，的前n 项和为n T ，求证：对任意2n ≥，都有12 n n T > + 高三数学理科数列大题训练（20题）参考答案 1．（1）由已知，12++=n n n a a b ①，12 1++=n n n b b a ②， ……………………（1分） 由②可得11++=n n n b b a ③ ……………………（2分） 将③代入①，得对任意2≥n ，* N ∈n ，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即n n n b b b +=-12, 所以，}{n b 是等差数列． ………………………（4分） （2）设数列}{n b 的公差为d ，由101=a ，152=a ，得2 25 1=b ，182=b ，……（1分） 所以，2251= b ，232=b ，2 2 12=-=b b d ， ………………………（2分） 所以)4(2 2 )1(22225)1(1+=-+=?-+=n n d n b b n ，2)4(2+=n b n ．…（4分） 由已知，当2≥n 时，2 ) 4)(3(1++==-n n b b a n n n ，而101=a 也满足此式．……（5分） 所以数列}{n a 、}{n b 的通项公式为：2) 4)(3(++=n n a n ，2 )4(2+=n b n ． ………（6分） （3）由（2），得?? ? ??+-+=++=4131 2)4)(3(21n n n n a n ， ……………………（1分） 则??? ??+-=????????? ??+-+++?? ? ??-+??? ??-=4141 24131615151412n n n S n ， …………（2分） 不等式n n n a b aS -<22化为34241414++- ? ??+-n n n a ， …………………（3分） （以下有两种解法） 解法一：不等式化为08)63()1(2<--+-n a n a ， ……………………………（4分） 设8)63()1()(2--+-=n a n a n f ，则0)( 当01<-a ，即1 1(2) 2(3<--- =a a x ， )(n f 关于n 递减，只需 0154)1(<-=a f ，解得4 15 < a ，故1 n n n a 38622+++<对任意* N ∈n 恒成立，即n n n a 38312+++<，…（5分） 设n n n n f 383)(2++=，任取1n 、*2N ∈n ，且21n n <，则2 222 12112138 3383)()(n n n n n n n f n f ++-++=- 0) 3)(3(]24)(83)[(22 2121212112>+++++-=n n n n n n n n n n ，故)(n f 关于n 递减． ……………………（6分） 又0)(>n f 且0)(lim =∞→n f n ，所以138 312 >+++n n n 对任意*N ∈n 恒成立，所以1≤a ． 因此，实数a 的取值范围是]1,(-∞． ………………………（8分） 2．解：（1）因为122n n b a +=+，122 n n a b +=+，111 ()2n n n n b a b a ++-=--， 即数列{}n n b a -是首项为2，公比为1 2 -的等比数列， 所以1 12()2n n n b a --=?-.…………………………………………………………3分 111()42 n n n n a b a b +++=++，111 8(8)2n n n n a b a b +++-=+-，1180a b +-=， 所以，当* n N ∈时，80n n a b +-=，即8n n a b +=.…………………………6分 （2）由18 12()2 n n n n n a b b a -+=?? ?-=?-?? 得114()2n n b -=+-，214[1()]32n n S n =+--， 21(4)[1()]32n n p p S n -=--，211[1()]332 n p ≤--≤， 因为1 1()02 n -->，所以 1 23 1131()1()2 2 n n p ≤ ≤ ----.………………………8分 当n 为奇数时，11 111()1() 22 n n = --+随n 的增大而增大， 且n n p )2 1(13 32)21(11+≤ ≤+，2321≤≤p ，323≤≤p ；………………………10分 当n 为偶数时，11 111()1() 22 n n = ---随n 的增大而减小， 且n n p )2 1(13 32)21(11-≤ ≤-，33234≤≤p ，292≤≤p . 综上，32≤≤p .…………………………………………………………………13分 3．（1）114a a -=，所以21=a …………………………1分 由4=+n n a S 得2≥n 时，411=+--n n a S ……2分 两式相减得，12-=n n a a ， 2 1 1=-n n a a ，……3分 数列}{n a 是以2为首项，公比为2 1的等比数列，所以n n a -=22（* N n ∈）……5分 （2）由于数列}{n d 是常数列 n d =n C n a c log +2log )2(32C n n -++=………………6分 =2log 2log 232C C n n -++2log 23)2log 2(C C n ++-=为常数………………7分 只有02log 2=-C ,………………8分；解得2=C ,………………9分 此时7=n d ……10分 (3)222112 3121+-?? ? ??=++++--n a b a b a b a b n n n n n ……① 1=n ，1232111-=-= a b ，其中21=a ，所以2 1 1-=b …………11分 当2≥n 时，2 1 211 11332 211+- ? ? ? ??=++++-----n a b a b a b a b n n n n n ……②……12分 ②式两边同时乘以21得，41212123121+-?? ? ??=++++---n a b a b a b a b n n n n n ……③13分 ①式减去③得，431--= n a b n ，所以83 8--=n b n ……14分 且8 1 1-=-+n n b b ……15分 所以数列}{n b 是以21-为首项，公差为8 1 -的等差数列。……16分 4．解（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ，由题设可得 213 32122233303822q d q q d d d q ??=-+=-??=-?????? ?=???=-+=????或 因为数列{}n a 是公差不为0的等差数列，所以12q =- ，即1 31()22 n n b -=-……………4分 （2）113()3112 (,)12222n n n n n n n n x Q b s Q y -? =-?-?????=??即为（(-)，1-(-)）,令得1-(-)330x y -+=， 即点123n Q Q Q Q 、、、、、，在同一条直线330x y -+=上。……………8分 （3） 131 (1()) (1)1221()1121()2 n n n n a q S q ---== =-----，…………………………………9分 令1 n n t S S =- ，0n S >，t 随着n S 的增大而增大………………10分 当n 为奇数时，11()2n n S =+在奇数集上单调递减，31,2n S ??∈ ???，50,6t ?? ∈ ???……………12分 当n 为偶数时，11()2n n S =-在偶数集上单调递增，3,14n S ??∈????，7,012t ?? ∈-????…………14分 min 712t ∴=- ，max 56t =，1n n A S B S ≤-≤，[]75,,126A B ?? ∴-????? 即B A -的最小值是 17 12 ……………………………………………16分 5．解:（1）∵{}n a 为常数列，∴1n a =()n N +∈. ∴1 2 3 4 4444(4)15f C C C C =+++=……………4分 （2）∵{}n a 为公比为2的等比数列，∴12n n a -=()n N +∈.……………6分 ∴123 1()242n n n n n n f n C C C C -=+++ +， ∴12233 12()12222n n n n n n f n C C C C +=++++ +，(12)3n n +=……………8分 故31 ()2 n f n -= . ……………10分 （3）假设存在等差数列{}n a ，使得()1(1)2n f n n -=-对一切*N n ∈都成立，设公差为d ，则 121121()k n n n n k n n n n n f n a C a C a C a C a C --=++++ ++ ……………12分 且1 21 121()n n k n n n n k n n n f n a C a C a C a C a C --=++++++， 相加得 12 1 112()2()()k n n n n n n n f n a a a C C C C --=+++++++， ∴12 111()()2 k n n n n n n n a a f n a C C C C --+=+ ++++ + 11(22)2 n n n a a a -+=+ -[]11(1)2(2)(21)n n d n d -=+-++--. ∴[] 1 ()1(2)2(2)2 n f n d n d --=-++-(1)2n n =-恒成立， 即02)2)(2()2(1=--+--n n d d n N +∈恒成立，∴2d =.……………15分 故{}n a 能为等差数列，使得()1(1)2n f n n -=-对一切n N +∈都成立，它的通项公式为 21n a n =-....................... 16分 （也可先特殊猜想，后一般论证及其它方法相应给分） 6．(1) 由已知有n n a 3=，3lg 3lg n n n n n a a b ?== 3lg ]33)1(33323[132n n n n n S ?+-++?+?+=- ， 3lg ]33)1(323[3132+?+-++?+=n n n n n S ， 所以3lg )333333(21132+-?-+++++=-n n n n n S ， 3lg 34 )12(3lg 431 +?-+= n n n S . ………………………………………………………7分 (2) 1+ 所以???<-+<0)1(0lg n a n a 或???>-+>0 )1(0 lg n a n a 即?? ???+<<<110n n a a 或?????+>>11n n a a 对任意n ∈N*成立， 且2111≥+> n n ，所以21 0<a ……………………………………………14分 7．（1）解：141n n n S a a +=+ ①；1141n n n S a a --=+ ②；①－②得114n n a a +--=，得证； （2）解：由11a =，得23a =，结合第（1）问结论，即可得{}n a 是等差数列； （3）解：根据题意，2 2log 21n n b n =-，22462log 13521 n n T n =????-…； 要证2122log log (21)n n T a n +>=+ ，即证246213521 n n ????>-… 当1n = 时，2> 假设当n k = 时，246213521 k k ????>-…成立； 当1n k =+ 时， 24622222135212121k k k k k k ++?????>-++ …=； >2(22)(21)(23)k k k +>++，展开后显然成立， 所以对任意正整数n ，不等式212log n n T a +>恒成立； 8．证明：（1）因为()()111352135 ++- =--n n n n a a ，所以数列35n n a ??-????是等比数列；……3分 （2）35n n a ?? -??? ?是公比为－2，首项为139510a -=的等比数列． 通项公式为1 113339(2)(2)55510 n n n n n a a --??=+--=+- ???， …………………4分 若{}n a 中存在连续三项成等差数列，则必有122n n n a a a ++=+， 即121 1)2(10 953)2(10953])2(10953[2++-+-++-+=-+n n n n n n 解得4n =，即456,,a a a 成等差数列． ………………………………………7分 （3）如果1n n a a +>成立，即11113333(2)(2)5555n n n n a a +-????+-->+-- ? ?????对任意自然数均成立． 化简得 n n a )2)(53 (31541--->? …………………………………………9分 当n 为偶数时n a )2 3(154531- >, 因为n n p )2 3(15453)(-= 是递减数列，所以0)2()(max ==p n p ， 即01>a ； ……………………………………………………………10分 当n 为奇数时，n a )23(154531+< ,因为n n q )2 3 (15453)(+=是递增数列， 所以1)1()(min ==q n q ，即11 16115a d =+，311615a d =+，461 1615()a d d =++． ………………………2分 因为0d ≠，21d d + ≥，或21 d d -+≤， 所以46(,14][46,)a ∈-∞-+∞． ………………………4分 （2）①由题意1134n n a -=+，116n ≤≤，3 14i j k b ++-=+． ……………6分 令3 124 i j k ++-+ =，得7i j k ++=． 因为,,i j k * ∈N ，116i j k <<≤≤， 所以令1,2,4i j k ===，则2M ∈． ………………………8分 ②不存在实数a ，d ，使18，1，53 40同时属于M ． ………………………9分 假设存在实数a ，d ，使18，1，53 40 同时属于M ． (1)n a a n d =+-，∴3(3)b a i j k d =+++-， 从而{|3,342,}M b b a md m m Z ==+∈≤≤． ………………………11分 因为18，1，53 40同时属于M ，所以存在三个不同的整数,,x y z （[],,3,42x y z ∈）， 使得13,831,53 3,40a xd a yd a zd ?+=??+=???+=? 从而7(),86(),5y x d z x d ?-=????-=?? 则 35 48 y x z x -=-． ………………………13分 因为35与48互质，且y x -与z x -为整数， 所以||35,||48y x z x --≥≥，但||39z x -≤，矛盾． 所以不存在实数a ，d ，使18，1，53 40都属于M ． ………………………16分 10．解：（1） 数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，∴2 15364a a a ==，38a ∴=， 又 5348S S -=，2458848a a q q ∴+=+=，2q ∴=，3822n n n a -∴=?=； (4) 分 （2）（ⅰ）必要性：设5,,k m l a a a 这三项经适当排序后能构成等差数列， ①若25k m l a a a ?=+，则10222k m l ?=+，1022m k l k --∴=+，11522m k l k ----∴=+， 1 121,2 4m k l k ----?=?∴?=?? 13m k l k =+?∴?=+?. (6) 分 ②若25m k l a a a =+，则22522m k l ?=?+，1225m k l k +--∴-=，左边为偶数，等式不成立， ③若25l k m a a a =+，同理也不成立， 综合①②③，得1,3m k l k =+=+，所以必要性成立. …………8分 （ⅱ）充分性：设1m k =+，3l k =+， 则5,,k m l a a a 这三项为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ，调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数 列， 所以充分性也成立. 综合（ⅰ）（ⅱ），原命题成立. …………10分 （3）因为11213213246n n n n n a b a b a b a b n +--+++ +=?--， 即1 2 3 112122223246n n n n n b b b b n +--+++ +=?--，（*） ∴当2n ≥时，1231123122223242n n n n n b b b b n ----+++ +=?--，（**） 则（**）式两边同乘以2，得2 3 4 1123122223284n n n n n b b b b n +---+++ +=?--，（***） ∴（*）－（***），得242n b n =-，即21(2)n b n n =-≥， 又当1n =时，2 1232102b =?-=，即11b =，适合21(2)n b n n =-≥，21n b n ∴=- (14) 分 212n n n b n a -∴ =，111212352222n n n n n n n b b n n n a a ------∴-=-=， 2n ∴=时，110n n n n b b a a --- >，即2121 b b a a >； 3n ∴≥时，11 0n n n n b b a a ---<，此时n n b a ?????? 单调递减， 又 1112b a =，2234b a =，3358b a =，44716b a =，71 162 λ∴<≤. ……………16分 11．解：（1）因为()() 2x f x m x = +，方程()f x x =有唯一解， 所以 () .2x x m x =+ 即()()22100mx m x m +-=≠有唯一解. 所以2 4410.m m ?=-+= 所以1 .2 m = …………………… 2分 所以().22 x f x x = + 所以().122 n n n n a f a a a += =+ 所以.11220n n n n a a a a +++-= 所以.12210n n a a ++ -= 所以.1111 2 n n a a +-= …………………… 3分 因为()123f a = ，所以.1122 23 a a =+ 所以.11a = 所以数列1n a ?????? 首项为1，公差为1 2的等差数列. …………………… 4分 （2） 由（Ⅰ）得 111 .22 n n a =+ 所以2.1n a n = + 因为43n n n a b a -= ，所以2 1.n b n =- 所以()()111111.212122121n n n c b b n n n n +?? = ==- ??-+-+?? 所以11111112335 2121n S n n ?? = -+-++ - ?-+?? 111.22121 n n n ??=-= ? ++?? …………………… 7分 因为142n kS n =+，所以217 44172.2n n k n n n + +==++ 所以1725422k ≥+=，当且仅当4n n =，即2n =时等号成立. 所以k 的最小值是25 .2 …………………… 9分 （3）因为 12111111n t b b b ≤ ?? ???? +++ ? ??????? ?? L 所以111111b b b t ?? ? ??? +++ ? ???≤L 令()111111b b b g n ?? ???? +++ ? ???=L …………………… 10分 因为 1121102121 n n b n n +=+=>-- ，所以()0.g n > …………………… 11分 所以()()11 1b g n g n ?+ += 1.= = > …………………… 13分 所以()g n 是递增数列 . 所以()() 1g n g ≥= 所以t ≤ 所以t . …………………… 14分 12．解：（1）当1n =得21320a S ++=，解得24a =，………………………………………1分 当2n =得32320a S ++=，2122S a a =+=， 解得38a =-，…………………………………………………………………………………3分 （2）当2n ≥时，11()3()0n n n n a a S S +--+-=， 即1()30n n n a a a +-+=，12n n a a +=-（2n ≥），…………………………………………4分 另由212a a =-得12n n a a +=-， 所以数列{}n a 是首项为2-，公比为2-的等比数列，……………………………………5分 (2)n n a ∴=-.…………………………………………………………………………………6分 （2）把(2)n n a =-代入248n n a m a m -?=+中得2(2)(2)48n n m m --?-=+， 即2(2)8(2)4n n m --=-+，……………………………………………………………………………7分 2(2)1688(2)4(2)4(2)4 n n n n m --+∴==--+-+-+，…………………………………………8分 要使m 是整数，则须有8 (2)4 n -+是整数， (2)4n ∴-+能被8整除，……………………………………………………………………9分 当1n =时，(2)42n -+=， 8 4(2)4 n =-+，此时2m =-，……………………………10分 当2n =时，(2)48n -+=， 8 1(2)4 n =-+，此时1m =，………………………………11分 当3n =时，(2)44n -+=-， 8 2(2)4 n =--+，此时14m =-，………………………12分 当4n ≥，(2)420n -+≥，8 (2)4 n -+不可能是整数，…………………………………13分 综上所求，所求满足条件的整数对有(2,1)-，(1,2)，(14,3)-.………………………14分 13．（1）法1：设数列{}n a 的公差为d ，数列{}n b 的公比为q 。 因为2112233(1)24()n n n a b a b a b a b n n +*+++???+=-?+∈N 令1,2,3n =分别得114a b =，112220a b a b +=，11223368a b a b a b ++=，又12a = 所以112233 2,2 1648 a b a b a b ==??=??=?即2 2 (2)(2)163440(22)(2)48d q d d d q +=??--=?+=?…………………2分 得11236 d q ? =-? ??=?或2222d q =?? =? 经检验2,2d q ==符合题意，2 ,63 d q =- =不合题意，舍去。 所以2,2n n n a n b ==. ……………………………4分 法2：因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+ ① 对任意的n *∈N 恒成立 则1112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=?≥ 又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=?∈N ………………2分 由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+，则1 2n n n b kn b +?=+， 因{}n b 为等比数列，则 12[(1)](1)() n n b n k n b q b n kn b --+==-+（为常数） 即2(2)(22)0qk k n bq kq b k n qb -+--+-=恒成立 所以2,0q b ==，又12a =，所以2k =，故2,2n n n a n b ==．………4分 （2）假设存在,p q *∈N 满足条件，则244)22020q p +-=（ 化简得22485012q p p -+-= ……………………………6分 由p *∈N 得248501p p +-为奇数，所以2 2 q -为奇数，故2q = 得22485011242510p p p p +-=?+-= ……………………8分 故22 p -±= ，这与p *∈N 矛盾，所以不存在满足题设的正整数,p q ．……10分 （3）由2n a n =，得11cos cos(1)(1)2 n n a n π π++=+=-， 设n b = ，则不等式等价于1 (1) n n b λ+-< . 11n n b b +====> ∵0n b >， ∴1n n b b +>，数列{}n b 单调递增. ……………………………12分 假设存在这样的实数λ，使得不等式1 (1) n n b λ+-<对一切n *∈N 都成立，则 ① 当n 为奇数时，得min 1() n b b λ<==； ……………………………14分 ② 当n 为偶数时，得min 2()n b b λ -<== λ>……………16分 综上，λ?∈ ?，由λ是非零整数，知存在1λ=±满足条件．……18分 14．（1）法1：由142()n n a a n n *++=+∈N 得12236,10a a a a +=+= 所以31242a a d d -==?=，所以12a = 故2,n a n = ……………………………2分 因为2112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+ ① 对任意的n *∈N 恒成立 则1 112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+（2n ≥） ② ①-②得12(2)n n n a b n n +=?≥ 又114a b =，也符合上式，所以12()n n n a b n n +*=?∈N 所以2n n b = ……………………………4分 法2：由于{}n a 为等差数列，令n a kn b =+， 又142()n n a a n n * ++=+∈N ， 所以(1)2242()kn b k n b kn b k n k *++++=++=+∈N 所以24,222,0k k b k b =+=?==故2n a n = ………………2分 因为2 112233(1)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+ ① 对任意的n * ∈N 恒成立 则1 112233-1-1(2)24n n n a b a b a b a b n ++++???+=-?+（2n ≥） ② ①-②得1 2 (2)n n n a b n n +=?≥ 又114a b =，也符合上式，所以1 2 ()n n n a b n n +*=?∈N 所以2n n b = ……………………………4分 （2）假设存在,p q *∈N 满足条件，则244)2392q p +-=（ 化简得2324472q p p -+-= ……………………………6分 由p *∈N 得22447p p +-为奇数，所以32q -为奇数，故3q = 得22244712240p p p p +-=?+-= ……………………8分 故46()p p ==-或舍去 所以存在满足题设的正整数=4,=3p q ． ……………………………10分 （3）易得2 n S n n =+，则22 n n n S n n b +=， ……………………12分 下面考察数列2()2n n n f n +=的单调性， 因为2211 (1)1(1)(2) (1)()222 n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-=……………14分 所以3n ≥时，(1)()f n f n +<，又(1)1,f =3(2)(3)2f f == ，5(4),4f =15 (5),16 f = 21 (6),32 f = ……………………………16分 因为M 中的元素个数为5，所以不等式 ,n n S n b λ*≥∈N 解的个数为5， 故λ的取值范围是2115,3216?? ?? ?. ……………………………18分 15． 16．解：（1）（法一）： 数列{}n a 的首项10a >，公差1d =， ∴1(1)n a a n =+-， 11 111 n n n n a a a a ++=- ，………………………………………2分 12231223 111111 ()()a a a a a a a a ∴ +=-+-131********a a a a =-=- =+，……………3分 整理得211230a a +-=解得11a =或13a =-（舍去）．……………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =．……………………………………… 5分 （法二）：由题意得 131223123112 3 a a a a a a a a a ++==，…………………………………1分 数列{}n a 是等差数列，∴1322a a a +=，……………………………2分 ∴ 212322 3 a a a a =，即133a a =．………………………………………………………3分 又 10,1a d >=， ∴11(2)3a a +=，解得11a =或13a =-（舍去） ．…………………………………4分 因此，数列{}n a 的通项n a n =．………………………………………5分 （2）①1 11(1)n n n n b b n n -+--=+， 11(11(1)(1) n n n n nb n b ++-∴ =+--）．……………………………………………………6分 令(1(1)n n n n b c -= -），则有2c λ=，11n n c c +=+(2)n ≥． ∴当2n ≥时，2(2)2n c c n n λ=+-=-+，(21 n n n b n λ-+= -)(-1)．………8分 因此，数列{}n b 的通项1, 1, (2,(2).1n n n b n n n λ-=?? =?-+≥? -?)(-1)．………………………9分 ② 11b =-，2b λ=，312 b λ +=- ，………………………………………10分 ∴若数列{}n b 为等比数列，则有2213b b b =，即21(1)()2 λ λ+=--， 解得1λ=或1 2 λ=-．…………………………………………………………11分 当12λ=-时，(252)21n n n b n n -= ≥-)(-1)（（），+1n n b b 不是常数，数列{}n b 不是等比数列， 当1λ=时，11b =-，(1)(2)n n b n =-≥，数列{}n b 为等比数列． 所以，存在实数1λ=使得数列{}n b 为等比数列．………………………………14分 17．解析：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由题意得11 251015a d a d +=??+=?，解得111a d =??=?，∴n a n =，∴22n n n S +=。 （2）由题意得111 2n n b n b n ++=?， 叠乘得121121112()( )21212n n n n n n n b b b n n n b b b b b n n ----=????=???=--. 由题意得231232222 n n n T =++++ ① 234111********* n n n n n T +-=+++++ ② ②—① 得：111 11(1) 11111222112248222212 n n n n n n n n T +++-+=++++-=-=--- ∴2 22 n n n T +=- （3）由上面可得22(2T )22n n n S n n n -+=+，令2()2n n n f n +=， 则(1)1f =，3(2)2f =，3(3)2f =，5(4)4f =，15 (5)16f =。 下面研究数列2()2 n n n f n +=的单调性， ∵2211 (1)1(1)(2) (1)()222n n n n n n n n n f n f n +++++++-+-=-= ， ∴3n ≥时，(1)()0f n f n +-<，(1)()f n f n +<，即()f n 单调递减。 ∵集合M 的子集个数为16，∴M 中的元素个数为4， ∴不等式22 n n n λ+≥，n N + ∈解的个数为4， ∴15116 λ<≤ 18． []{}k n n 5C C n k C C 5n C C 5n n ≤=∴>>>>=<<<<<>==> =+-=-=∴-=+≥===+-=-+++-=∴∴+-=-++=-++=?=++++-------，都有数，使得对于任意的正整 或存在正整数即时，，当时，当时，则当） （）（）（） （） （）（）（的等比数列 ，公比为是以数列），（，即，时，当得，令上为增函数，，在函数对称轴为）（）解：（655,5 45554)1(545 4)1(),1()(5 41,545454154 541115415 1 54441142, 5 1 14)(1 3)4(1)3(10)(,2 4 3 4)2 3 2(2)()(87654321161111111111112 C C C C C C C c c n c c n n n c c n c b a c III b b b b b b b b b b S S b n b S n b n b S II n n a x f n x x n x x n x x b a x f I n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n 20． 设等比数列{}n b 的公比为q ,所以1 1 112 n n n b b q q --== 51a -恰为4S 与 2 1 b 的等比中项549,16a S ==,212b q =,所以 21 (91)641612q -==? ,解得12q =………………………7分 所以111 ()2 n n n b b q -==……………………8分 (Ⅱ) 2n ≥时,12122223 1111111 ...(1)( )()22122122232 n n T c c c =+++=++++++++++++ 111 11 ...( ...)21222n n n --++ ++++ 而2n ≥时,1 1111111 ......21222222n n n n n n n c --=+++>+++++………………………10分 112(21)121 222 n n n n n ----+=== 所以12111 ...1 (222) n n T c c c =+++>+ +++ 12 n =+ ……………………………12分 说明:本问也可用数学归纳法做. 2017届高三复习：数列大题训练50题 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n = 12111 23(1)n a a n a +++ + . 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+-y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++=n N n a n a n a n a n n f n 且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15． 求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列； （2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111 ,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ? ??? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -+++ 的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N*)，满足向 量1+n n A A 与向量n n C B 共线，且点B n (n,b n ) (n ∈N*)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12 高中数学数列专题大题组卷 一．选择题（共9小题） 1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7 C．6 D． 3．数列{a n}的前n项和为S n，若a1=1，a n+1=3S n（n≥1），则a6=（） A．3×44B．3×44+1 C．44D．44+1 4．已知数列{a n}满足3a n+1+a n=0，a2=﹣，则{a n}的前10项和等于（）A．﹣6（1﹣3﹣10）B．C．3（1﹣3﹣10）D．3（1+3﹣10）5．等比数列{a n}的前n项和为S n，已知S3=a2+10a1，a5=9，则a1=（）A．B．C．D． 6．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 7．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3 B．4 C．5 D．6 8．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（） A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D． 9．设{a n}是等差数列，下列结论中正确的是（） A．若a1+a2＞0，则a2+a3＞0 B．若a1+a3＜0，则a1+a2＜0 C．若0＜a 1＜a2，则a2D．若a1＜0，则（a2﹣a1）（a2﹣a3）＞0 二．解答题（共14小题） 10．设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列． 1.（本题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ,且34-=n n a S (1,2,)n =， （1）证明:数列{}n a 是等比数列； （2）若数列{}n b 满足1(1,2,)n n n b a b n +=+=，12b =，求数列{}n b 的通项公式． ; 2.（本小题满分12分） 等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9.a a a a a +== 1.求数列{}n a 的通项公式. 2.设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ?? ???? 的前项和. … 3.设数列{}n a 满足21112,32n n n a a a -+=-= （1） 求数列{}n a 的通项公式； （2） 令n n b na =，求数列的前n 项和n S 。 ~ 4.已知等差数列{a n}的前3项和为6，前8项和为﹣4． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式； （Ⅱ）设b n=（4﹣a n）q n﹣1（q≠0，n∈N*），求数列{b n}的前n项和S n． % 5.已知数列{a n}满足，，n∈N×． （1）令b n=a n+1﹣a n，证明：{b n}是等比数列； （2）求{a n}的通项公式． { 、 ~ 、 1.解：（1）证：因为34-=n n a S (1,2,)n =，则3411-=--n n a S (2,3,)n =， 所以当2n ≥时，1144n n n n n a S S a a --=-=-， 整理得14 3 n n a a -=． 5分 由34-=n n a S ，令1n =，得3411-=a a ，解得11=a ． 所以{}n a 是首项为1，公比为4 3 的等比数列． 7分 （2）解：因为14 ()3 n n a -=， ' 由1(1,2,)n n n b a b n +=+=，得114 ()3 n n n b b -+-=． 9 分 由累加得)()()(1231`21--++-+-+=n n n b b b b b b b b 一．解答题（共30小题） 1．（2012?上海）已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足．（1）设c n=3n+6，{a n}是公差为3的等差数列．当b1=1时，求b2、b3的值； （2）设，．求正整数k，使得对一切n∈N*，均有b n≥b k； （3）设，．当b1=1时，求数列{b n}的通项公式． 2．（2011?重庆）设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2，a3=a2+4． （Ⅰ）求{a n}的通项公式； ( （Ⅱ）设{b n}是首项为1，公差为2的等差数列，求数列{a n+b n}的前n项和S n． 3．（2011?重庆）设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n（n∈N*）． （Ⅰ）若a1，S2，﹣2a2成等比数列，求S2和a3． （Ⅱ）求证：对k≥3有0≤a k≤． 4．（2011?浙江）已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a（a∈R）设数列的前n 项和为S n，且，，成等比数列． （Ⅰ）求数列{a n}的通项公式及S n； ` （Ⅱ）记A n=+++…+，B n=++…+，当a≥2时，试比较A n与B n的大小． 5．（2011?上海）已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6，b n=2n+7（n∈N*）．将集合{x|x=a n，n∈N*}∪{x|x=b n，n∈N*}中的元素从小到大依次排列，构成数列c1，c2， （1）写出c1，c2，c3，c4； （2）求证：在数列{c n}中，但不在数列{b n}中的项恰为a2，a4，…，a2n，…； （3）求数列{c n}的通项公式． 6．（2011?辽宁）已知等差数列{a n}满足a2=0，a6+a8=﹣10 * （I）求数列{a n}的通项公式； （II）求数列{}的前n项和． 7．（2011?江西）（1）已知两个等比数列{a n}，{b n}，满足a1=a（a＞0），b1﹣a1=1，b2﹣a2=2，b3﹣a3=3，若数列{a n}唯一，求a的值； （2）是否存在两个等比数列{a n}，{b n}，使得b1﹣a1，b2﹣a2，b3﹣a3．b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在，求{a n}，{b n}的通项公式；若不存在，说明理由． 8．（2011?湖北）成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5． （I）求数列{b n}的通项公式； ] （II）数列{b n}的前n项和为S n，求证：数列{S n+}是等比数列． 9．（2011?广东）设b＞0，数列{a n}满足a1=b，a n=（n≥2） （1）求数列{a n}的通项公式； （4）证明：对于一切正整数n，2a n≤b n+1+1． 2020年高考理科数学《数列》题型归纳与训练 【题型归纳】 等差数列、等比数列的基本运算 题组一 等差数列基本量的计算 例1 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 1=1，公差d =2，S n ＋2?S n =36，则n = A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 【答案】D 【解析】解法一：由题知()21(1) 2 1n S na d n n n n n n ==+-=-+，S n ＋2=(n ＋2)2，由S n ＋2?S n =36得，(n ＋2)2?n 2=4n ＋4=36，所以n =8. 解法二：S n ＋2?S n =a n ＋1＋a n ＋2=2a 1＋(2n ＋1)d =2＋2(2n ＋1)=36，解得n =8.所以选D ． 【易错点】对S n ＋2?S n =36，解析为a n ＋2，发生错误。 题组二 等比数列基本量的计算 例2 在各项均为正数的等比数列{a n }中，若28641,2a a a a ==+，则a 6的值是________． 【答案】4 【解析】设公比为q (q ≠0)，∵a 2=1，则由8642a a a =+得6422q q q =+，即42 20q q --=，解得q 2=2， ∴4 624a a q ==. 【易错点】忘了条件中的正数的等比数列. 【思维点拨】 等差（比）数列基本量的计算是解决等差（比）数列题型时的基础方法，在高考中常有所体现，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也会出现在解答题的第一问中，属基础题.等差(比)数列基本运算的解题思路： (1)设基本量a 1和公差d (公比q )． (2)列、解方程组：把条件转化为关于a 1和d (q )的方程(组)，然后求解，注意整体计算，以减少运算量． 高考新课标数学数列大题精选50题（含答案、知识卡片） 一．解答题（共50题） 1．（2019?全国）数列{a n}中，a1＝，2a n+1a n+a n+1﹣a n＝0． （1）求{a n}的通项公式； （2）求满足a1a2+a2a3+…+a n﹣1a n＜的n的最大值． 2．（2019?新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．已知S9＝﹣a5． （1）若a3＝4，求{a n}的通项公式； （2）若a1＞0，求使得S n≥a n的n的取值范围． 3．（2019?新课标Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1＝1，b1＝0，4a n+1＝3a n﹣b n+4，4b n+1＝3b n﹣a n﹣4．（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n﹣b n}是等差数列； （2）求{a n}和{b n}的通项公式． 4．（2019?新课标Ⅱ）已知{a n}是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2+16．（1）求{a n}的通项公式； （2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和． 5．（2018?新课标Ⅱ）记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a1＝﹣7，S3＝﹣15．（1）求{a n}的通项公式； （2）求S n，并求S n的最小值． 6．（2018?新课标Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，na n+1＝2（n+1）a n，设b n＝．（1）求b1，b2，b3； （2）判断数列{b n}是否为等比数列，并说明理由； （3）求{a n}的通项公式． 7．（2018?新课标Ⅲ）等比数列{a n}中，a1＝1，a5＝4a3． （1）求{a n}的通项公式； （2）记S n为{a n}的前n项和．若S m＝63，求m． 8．（2017?全国）设数列{b n}的各项都为正数，且． （1）证明数列为等差数列； （2）设b1＝1，求数列{b n b n+1}的前n项和S n． 9．（2017?新课标Ⅱ）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，等比数列{b n}的前n项和为T n，a1＝﹣1，b1＝1，a2+b2＝2． （1）若a3+b3＝5，求{b n}的通项公式； （2）若T3＝21，求S3． 高考数学数列大题训练 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 解析： (1)设该等差数列为{}n c ，则25a c =，33a c =，42a c =Q 533222()c c d c c -==- ∴2334()2()a a a a -=-即：223111122a q a q a q a q -=- ∴12(1)q q q -=-，Q 1q ≠， ∴121, 2q q ==，∴1164()2n a -=g (2)121log [64()]6(1)72n n b n n -==--=-g ，{}n b 的前n 项和(13)2n n n S -= ∴当17n ≤≤时，0n b ≥，∴(13)2 n n n n T S -== （8分） 当8n ≥时，0n b <，12789n n T b b b b b b =+++----L L 789777()()2n n n S b b b S S S S S =-+++=--=-L (13)422 n n -=- ∴(13)(17,)2(13)42(8,)2 n n n n n T n n n n -?≤≤∈??=?-?-≥∈??**N N 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 解：（1）由151241=+=-a a a n n 及知,1234+=a a 解得：,73=a 同理得.1,312==a a （2）由121+=-n n a a 知2211+=+-n n a a 数列综合练习题 一．选择题（共23小题） 1．已知函数f（x）=，若数列{a n}满足a n=f（n）（n∈N*），且{a n}是递增数列，则实数a的取值范围是（） A．[，4）B．（，4）C．（2，4） D．（1，4） 2．已知{a n}是递增数列，且对任意n∈N*都有a n=n2+λn恒成立，则实数λ的取值范围是（）A．（﹣，+∞）B．（0，+∞）C．[﹣2，+∞）D．（﹣3，+∞） 3．已知函数f（x）是R上的单调增函数且为奇函数，数列{a n}是等差数列，a11＞0，则f（a9）+f（a11）+f（a13）的值（） A．恒为正数B．恒为负数C．恒为0 D．可正可负 4．等比数列{a n}中，a4=2，a7=5，则数列{lga n}的前10项和等于（） A．2 B．lg50 C．10 D．5 5．右边所示的三角形数组是我国古代数学家杨辉发现的，称为杨辉三角形，根据图中的数构成的规律，a所表示的数是（） A．2 B．4 C．6 D．8 6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m，a n，使得=4a1，则+的最小值为（） A．B．C．D． 7．已知，把数列{a n}的各项排列成如图的三角形状，记A（m，n）表示第m行的第n个数，则A（10，12）=（） A．B．C．D． 8．设等差数列{a n}满足=1，公差d∈（﹣1，0），若当且仅当n=9时，数列{a n}的前n项和S n取得最大值，则首项a1的取值范围是（） A．（π，）B．[π，]C．[，]D．（，） 9．定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x），如果对于任意给定的等比数列{a n}，{f （a n）}，仍是等比数列，则称f（x）为“等比函数”．现有定义在（﹣∞），0）∪（0，+∞）上的如下函数： ①f（x）=3x，②f（x）=，③f（x）=x3，④f（x）=log2|x|， 则其中是“等比函数”的f（x）的序号为（） A．①②③④B．①④C．①②④D．②③ 10．已知数列{a n}（n∈N*）是各项均为正数且公比不等于1的等比数列，对于函数y=f（x），若数列{lnf（a n）}为等差数列，则称函数f（x）为“保比差数列函数”．现有定义在（0，+∞）上的三个函数：①f（x）=；②f（x）=e x；③f（x）=；④f（x）=2x，则为“保比差数列函数”的是（） A．③④B．①②④C．①③④D．①③ 11．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，则a n=（） A．B．3n﹣2 C．D．n﹣2 12．已知数列{a n}满足a1=2，a n+1﹣a n=a n+1a n，那么a31等于（） A．﹣B．﹣C．﹣D．﹣ 13．如果数列{a n}是等比数列，那么（） A．数列{}是等比数列B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lga n}是等比数列D．数列{na n}是等比数列 14．在数列{a n}中，a n+1=a n+2，且a1=1，则=（）A．B．C．D． 15．等差数列的前n项，前2n项，前3n项的和分别为A，B，C，则（） A．A+C=2B B．B2=AC C．3（B﹣A）=C D．A2+B2=A（B+C） 16．已知数列{a n}的通项为a n=（﹣1）n（4n﹣3），则数列{a n}的前50项和T50=（） 数列 20．（本小题满分12分） 已知等差数列{}n a 满足：22,5642=+=a a a ，数列{}n b 满足n n n na b b b =+++-12122 ，设数列{}n b 的前n 项和为n S 。 （Ⅰ）求数列{}{}n n b a ,的通项公式； （Ⅱ）求满足1413< （1）求这7条鱼中至少有6条被QQ 先生吃掉的概率； （2）以ξ表示这7条鱼中被QQ 先生吃掉的鱼的条数，求ξ的分布列及其数学期望E ξ． 18．解：（1）设QQ 先生能吃到的鱼的条数为ξ QQ 先生要想吃到7条鱼就必须在第一天吃掉黑鱼，()177 P ξ== ……………2分 QQ 先生要想吃到6条鱼就必须在第二天吃掉黑鱼，()61667535 P ξ==?= ……4分 故QQ 先生至少吃掉6条鱼的概率是()()()1166735P P P ξξξ≥==+== ……6分 （2）QQ 先生能吃到的鱼的条数ξ可取4,5,6,7,最坏的情况是只能吃到4条鱼:前3天各吃掉1条青鱼,其余3条青鱼被黑鱼吃掉,第4天QQ 先生吃掉黑鱼,其概率为 64216(4)75335P ξ==??= ………8分 ()6418575335 P ξ==??=………10分 所以ξ的分布列为（必须写出分布列, 否则扣1分） ……………………11分 故416586675535353535 E ξ????= +++=，所求期望值为5． (12) 20.∵a 2=5，a 4+a 6=22，∴a 1+d=5，（a 1+3d ）+（a 1+5d ）=22， 解得：a 1=3，d=2． ∴12+=n a n …………2分 在n n n na b b b =+++-1212 2 中令n=1得：b 1=a 1=3， 又b 1+2b 2+…+2n b n+1=（n+1）a n+1， ∴2n b n+1=（n+1）a n+1一na n ． ∴2n b n+1=（n+1）（2n+3）－n （2n+1）=4n+3， 高考数学数列大题专题 1. 已知等比数列432,,,}{a a a a n 中分别是某等差数列的第5项、第3项、第2项，且1,641≠=q a 公比 （Ⅰ）求n a ；（Ⅱ）设n n a b 2log =，求数列.|}{|n n T n b 项和的前 2.已知数列}{n a 满足递推式)2(121≥+=-n a a n n ，其中.154=a （Ⅰ）求321,,a a a ； （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式； （Ⅲ）求数列}{n a 的前n 项和n S 3．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且有12a =，11353n n n n S a a S --=-+(2)n ≥ （1）求数列n a 的通项公式； （2）若(21)n n b n a =-，求数列n a 的前n 项的和n T 。 4.已知数列{n a }满足11=a ，且),2(22*1N n n a a n n n ∈≥+=-且． （Ⅰ）求2a ，3a ；（Ⅱ）证明数列{n n a 2}是等差数列； （Ⅲ）求数列{n a }的前n 项之和n S 5.已知数列{}n a 满足31=a ，1211-=--n n n a a a . （1）求2a ，3a ，4a ； （2）求证：数列11n a ??? ?-?? 是等差数列，并写出{}n a 的一个通项。 622,,4,21121+=-===++n n n n n b b a a b a a . 求证： ⑴数列{b n +2}是公比为2的等比数列； ⑵n a n n 221-=+； ⑶4)1(2221-+-=++++n n a a a n n Λ. 7. .已知各项都不相等的等差数列}{n a 的前六项和为60，且2116a a a 和为 的等比中项. （1）求数列}{n a 的通项公式n n S n a 项和及前； （2）若数列}1{,3),(}{11n n n n n b b N n a b b b 求数列且满足=∈=-*+的前n 项和T n . 2020年高考数学 大题专项练习 数列 三 1.已知数列{a n }满足a n+1=λa n +2n (n ∈N *，λ∈R)，且a 1=2． (1)若λ=1，求数列{a n }的通项公式； (2)若λ=2，证明数列{n n a 2 }是等差数列，并求数列{a n }的前n 项和S n ． 2.设数列{}的前项和为 .已知=4，=2+1，.（1）求通项公式 ；（2）求数列{}的前项和. 3.已知数列{a n }是等差数列，a 2=6，前n 项和为S n ，数列{b n }是等比数列，b 2=2，a 1b 3=12，S 3＋b 1=19. (1)求{a n }，{b n }的通项公式； (2)求数列{b n cos(a n π)}的前n 项和T n . 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 5＋a 13=34，S 3=9. (1)求数列{a n }的通项公式及前n 项和公式； (2)设数列{b n }的通项公式为b n =，问：是否存在正整数t ，使得b 1，b 2，b m (m≥3，m an an ＋t ∈N)成等差数列？若存在，求出t 和m 的值；若不存在，请说明理由． 5.已知数列满足：，。数列的前n 项和为,且 .⑴求数列、的通项公式；⑵令数列满足，求其前n 项和为 6.已知{a n }是递增数列，其前n 项和为S n ，a 1>1，且10S n =(2a n ＋1)(a n ＋2)，n ∈N *. (1)求数列{a n }的通项a n ； (2)是否存在m ，n ，k ∈N *，使得2(a m ＋a n )=a k 成立？若存在，写出一组符合条件的m ，n ，k 的值；若不存在，请说明理由． 《时间序列》练习题及解答 一、单项选择题 从下列各题所给的4个备选答案中选出1个正确答案，并将其编号（A、B、C、D）填入题干后面的括号内。 1、构成时间数列的两个基本要素是（）。 A、主词和宾词 B、变量和次数 C、时间和指标数值 D、时间和次数 2、最基本的时间数列是（）。 A、时点数列 B、绝对数数列 C、相对数数列 D、平均数数列 3、时间数列中，各项指标数值可以相加的是（）。 A、相对数数列 B、时期数列 C、平均数数列 D、时点数列 4、时间数列中的发展水平（）。 A、只能是总量指标 B、只能是相对指标 C、只能是平均指标 D、上述三种指标均可以 5、对时间数列进行动态分析的基础指标是（）。 A、发展水平 B、平均发展水平 C、发展速度 D、平均发展速度 6、由间断时点数列计算序时平均数，其假定条件是研究现象在相邻两个时点之间的变动为（）。 A、连续的 B、间断的 C、稳定的 D、均匀的 7、序时平均数与一般平均数的共同点是（）。 A、两者均是反映同一总体的一般水平 B、都是反映现象的一般水平 C、两者均可消除现象波动的影响 D、共同反映同质总体在不同时间上的一般水平 8、时间序列最基本的速度指标是（）。 A、发展速度 B、平均发展速度 C、增长速度 D、平均增长速度 9、根据采用的对比基期不同，发展速度有（）。 A、环比发展速度与定基发展速度 B、环比发展速度与累积发展速度 C、逐期发展速度与累积发展速度 D、累积发展速度与定基发展速度 10、如果时间序列逐期增长量大体相等，则宜配合（）。 A、直线模型 B、抛物线模型 C、曲线模型 D、指数曲线模型 该商场第二季度平均完成计划为（）。 A、100%124%104% 108.6% 3 ++ = B、 506278 108.6% 506278 100%124%104% ++ = ++ C、 506278 100%124%104%92.1% 506278 ++ = ++ D、50100%62124%78104% 109.5% 506278 ?+?+? = ++ 12、增长速度的计算公式为（）。 2018高考数学专题---数列大题训练（附答案） 1 ．数列{n a }的前n 项和为n S ，且满足11a =，2(1)n n S n a =+. （1）求{n a }的通项公式； （2）求和T n = 12 111 23(1)n a a n a +++ +. 2 ．已知数列}{n a ，a 1=1，点*))(2,(1N n a a P n n ∈+在直线012 1 =+- y x 上. （1）求数列}{n a 的通项公式； （2）函数)2*,(1 111)(321≥∈++++++++= n N n a n a n a n a n n f n 且 ，求函数)(n f 最小值. 3 ．已知函数x ab x f =)( (a ，b 为常数)的图象经过点P （1，8 1）和Q （4，8） (1) 求函数)(x f 的解析式； (2) 记a n =log 2)(n f ,n 是正整数，n S 是数列{a n }的前n 项和，求n S 的最小值。 4 ．已知y ＝f (x )为一次函数，且f (2)、f (5)、f (4)成等比数列，f (8)＝15． 求n S ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (n )的表达式． 5 ．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1n n S c ca =+-，其中c 是不等于1-和0的实常数. （1）求证: {}n a 为等比数列； （2）设数列{}n a 的公比()q f c =，数列{}n b 满足()()111,,23 n n b b f b n N n -==∈≥，试写出1n b ?? ???? 的通项公式，并求12231n n b b b b b b -++ +的结果. 6 ．在平面直角坐标系中,已知A n (n,a n )、B n (n,b n )、C n (n -1,0)(n ∈N *)，满足向量1+n n A A 与向量n n C B 共线， 且点B n (n,b n ) (n ∈N *)都在斜率为6的同一条直线上. (1)试用a 1,b 1与n 来表示a n ; (2)设a 1=a ,b 1=-a ,且12 强力推荐人教版数学高中必修5习题 第二章 数列 1．{a n }是首项a 1＝1，公差为d ＝3的等差数列，如果a n ＝2 005，则序号n 等于( )． A ．667 B ．668 C ．669 D ．670 2．在各项都为正数的等比数列{a n }中，首项a 1＝3，前三项和为21，则a 3＋a 4＋a 5＝ ( )． A ．33 B ．72 C ．84 D ．189 3．如果a 1，a 2，…，a 8为各项都大于零的等差数列，公差d ≠0，则( )． A ．a 1a 8＞a 4a 5 B ．a 1a 8＜a 4a 5 C ．a 1＋a 8＜a 4＋a 5 D ．a 1a 8＝a 4a 5 4．已知方程(x 2－2x ＋m )(x 2－2x ＋n )＝0的四个根组成一个首项为 41的等差数列，则 ｜m －n ｜等于( )． A ．1 B ．43 C ．21 D ． 8 3 5．等比数列{a n }中，a 2＝9，a 5＝243，则{a n }的前4项和为( ). A ．81 B ．120 C ．168 D ．192 6．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003·a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )． A ．4 005 B ．4 006 C ．4 007 D ．4 008 7．已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列, 则a 2＝( )． A ．－4 B ．－6 C ．－8 D ． －10 8．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若 35a a ＝95，则59S S ＝( )． A ．1 B ．－1 C ．2 D ．2 1 9．已知数列－1，a 1，a 2，－4成等差数列，－1，b 1，b 2，b 3，－4成等比数列，则 21 2b a a 的值是( )． A ．21 B ．－21 C ．－21或21 D ．4 1 数列综合练习题 一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分。 1、数列 的一个通项公式是 （ ） A. B ． C ． D ． 2、若两数的等差中项为6，等比中项为10，则以这两数为根的一元二次方程是（ ） A 、010062=+-x x B 、0100122=++x x C 、0100122=--x x D 、0100122=+-x x 3、已知-9,a 1,a 2,-1四个实数成等差数列，-9,b 1,b 2,b 3,-1五个实数成等比数，则b 2(a 2-a 1)=（ ）A.8 B.-8 C.±8 D. 4、已知数列{}n a 是等比数列，若,a a a a 41813229=+则数列{}n a 的前30项的和 =30T （ ） A 、154， B 、15 2， C 、1521??? ??， D 、153， 5、已知等比数列{a n }的公比为2, 前4项的和是1, 则前8项的和为 ( ) A ．15. B ．17. C ．19. D ．21 6、已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若45818,a a S =-=则 （ ） （A ）18 （B ）36 （C ）54 （D ）72 7、已知方程0)2)(2(22=+-+-n x x m x x 的四个根组成一个首项为4 1的等差数列，则 |m －n|= （ ）A ．1 B ．43 C ．21 D ．8 3 8、等差数列{a n }中，a 1+a 2+…+a 50＝200，a 51+a 52+…+a 100＝2700，则a 1等于( ) A ．－1221 B ．－21．5 C ．－20．5 D ．－20 9、设 {a n }是由正数组成的等比数列, 且公比q = 2, 如果a 1 · a 2 · a 3 · … · a 30 = 230, 那么a 3 · a 6 · a 9 · … · a 30 = ( ) A ．210. B ．215. C ．220. D ．216. 10、某人从1999年9月1日起，每年这一天到银行存款一年定期a 元，且每年到期的存款将本和利再存入新一年的一年定期，若年利率r 保持不变，到2003年9月1日将所有的存款和利息全部取出，他可取回的钱数为 A 、()51r a + B 、()()[]r r r a --+115 C 、 ()41r a + D 、()[] 115-+r r a 二、 填空题：本大题共4小题；每小题4分，共16分。 12)1(3++-=n n n a n n 12)3()1(++-=n n n a n n 121)1()1(2--+-=n n a n n 12)2()1(++-=n n n a n n ?--,924,715,58 ,18 9 数列大题训练三答案精 选文档 TTMS system office room 【TTMS16H-TTMS2A-TTMS8Q8- 《数列》专题训练三 1．2a ,5a 是方程2x 02712=+-x 的两根, 数列{}n a 是公差为正的等差数列，数列{}n b 的前n 项和为n T ,且n T 2 1 1-=n b ()*∈N n . (Ⅰ)求数列{}n a ,{}n b 的通项公式; (Ⅱ)记n c =n a n b ,求数列{}n c 的前n 项和n S . 解：(Ⅰ)由27,125252==+a a a a .且0>d 得9,352==a a 232 5=-= ∴a a d ,11=a ()*∈-=∴N n n a n 12 在n n b T 211-=中,令,1=n 得.321=b 当2≥n 时,T n =,211n b -112 1 1---=n n b T , 两式相减得n n n b b b 21211-=-,()2311≥=∴-n b b n n ()*-∈=??? ??=∴N n b n n n 3 2 31321 . (Ⅱ)()n n n n n c 3243212-=?-=, ?? ? ??-++++=∴n n n S 3123533 31232 ,??? ??-+-+++=+132312332333123n n n n n S , ??????--??? ??++++=∴+132312313131231232n n n n S =2????? ???????---??? ??-?++-1131231131191231n n n =11344343123131312+++-=??? ??---+n n n n n , n n n S 3 2 22+- =∴ 2．已知数列}{n a 满足且01=a *)(),1(2 1 21N n n n S S n n ∈++=+ （1）求*);(,2:,,132N n n a a a a n n ∈+=+并证明 （2）设*),(1N n a a b n n n ∈-=+求证：121+=+n n b b ； （3）求数列*)}({N n a n ∈的通项公式。（4分） 解答：（1）由已知1212+=S S ,即1,122121=+=+a a a a 3223+=S S ，即,3)(221321++=++a a a a a 有43=a 由)1(2121++=+n n S S n n ，有)2()1(2 1 21≥-+=-n n n S S n n )1(2 1 )1(21)(211--++-=-∴-+n n n n S S S S n n n n ， 即)2(,21≥+=+n n a a n n 同时，,11212=+=a a *)(,21N n n a a n n ∈+=∴+ （2）由（1）：n a a n n +=+21，有1212++=++n a a n n 1)(2112+-=-∴+++n n n n a a a a 121+=+n n b b 即 高考文科数学数列高考 题 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】 数列专题复习 一、选择题 1.(广东卷)已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = ( ) A. 2 1 B. 2 2 C. 2 2.（安徽卷）已知 为等差数列， ， 则 等于 A. -1 B. 1 C. 3 3.（江西卷）公差不为零的等差数列 {}n a 的前n 项和为n S .若4a 是37a a 与的等 比中项, 832S =,则10S 等于( ) A. 18 B. 24 C. 60 D. 90 4（湖南卷）设n S 是等差数列{}n a 的前 n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等 于【 】 A ．13 B ．35 C ．49 D ． 63 5.（辽宁卷）已知{}n a 为等差数列，且 7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝ ( ) （A ）－2 （B ）－12 （C ）12 （D ）2 6.（四川卷）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等 比中项，则数列的前10项之和是 ( ) A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 7.（湖北卷）设,R x ∈记不超过x 的最大 整数为[x ],令{x }=x -[x ]，则 {215+}，[215+],215+ ( ) A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 8.（湖北卷）古 希腊人常用小石 子在沙滩上摆成 数列应用题专题训练 高三数学备课组 以数列知识作为背景的应用题是高中应用题中的常见题型，要正确快速地求解这类问题，需要在理解题意的基础上，正确处理数列中的递推关系。 一、储蓄问题 对于这类问题的求解，关键是要搞清：(1)是单利还是复利；(2)存几年。 单利是指本金到期后的利息不再加入本金计算。设本金为P元，每期利率为r，经过n期，按单利计算的本利和公式为Sn=P(1+nr)。 复利是一种计算利率的方法，即把前一期的利息和本金加在一起做本金，再计算下一期的利息。设本金为P，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，则复利函数式为y=P(1+r)x。 例1、（储蓄问题）某家庭为准备孩子上大学的学费，每年6月30日在银行中存入2000元，连续5年，有以下两种存款的方式： (1)如果按五年期零存整取计，即每存入a元按a(1+n·6.5%)计本利(n为年数)； (2)如果按每年转存计，即每存入a元，按(1+5.7%)n·a计算本利(n为年数)。 问用哪种存款的方式在第六年的7月1日到期的全部本利较高？ 分析：这两种存款的方式区别在于计复利与不计复利，但由于利率不同，因此最后的本利也不同。 解：若不计复利，5年的零存整取本利是 2000(1+5×0.065)+2000(1+4×0.065)+…+2000(1+0.065)=11950； 若计复利，则 2000(1+5%)5+2000(1+5%)4+…+2000(1+5%)≈11860元。 所以,第一种存款方式到期的全部本利较高。 二、等差、等比数列问题 等差、等比数列是数列中的基础，若能转化成一个等差、等比数列问题，则可以利用等差、等比数列的有关性质求解。 例2、（分期付款问题）用分期付款的方式购买家用电器一件，价格为1150元。购买当天先付150元，以后每月这一天都交付50元，并加付欠款的利息，月利率为1%。若交付150元以后的第 高中数学数列练习题及答案解析 第二章数列 1．{an}是首项a1＝1，公差为d＝3的等差数列，如果an＝005，则序号n等于． A．667B．668C．669D．670 2．在各项都为正数的等比数列{an}中，首项a1＝3，前三项和为21，则a3＋a4＋a5＝． A．33B．7C．84D．189 3．如果a1，a2，…，a8为各项都大于零的等差数列，公差d≠0，则． A．a1a8＞a4a5B．a1a8＜a4a5C．a1＋a8＜a4＋a5D．a1a8＝a4a5 4．已知方程＝0的四个根组成一个首项为 ｜m－n｜等于． A．1B．313C．D．8421的等差数列，则 5．等比数列{an}中，a2＝9，a5＝243，则{an}的前4项和为. A．81 B．120 C．1D．192 6．若数列{an}是等差数列，首项a1＞0，a003＋a004＞0，a003·a004＜0，则使前n项和Sn＞0成立的最大自然数n是． A．005B．006C．007D．008 7．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a3，a4成等比数列, 则a2＝． A．－4B．－6C．－8D．－10 8．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若 A．1B．－1 C．2D．1 a2?a1的值是． b2a5S5＝，则9＝． a3S599．已知数列－1，a1，a2，－4成等差数列，－1，b1，b2，b3，－4成等比数列，则 A．11111B．－C．－或D．2222 210．在等差数列{an}中，an≠0，an－1－an＋an＋1＝0，若S2n－1＝38，则n＝． 第 1 页共页 A．38B．20 C．10D．9 二、填空题 11．设f＝1 2?x，利用课本中推导等差数列前n项和公式的方法，可求得f＋f＋…＋f＋…＋ f＋f的值为12．已知等比数列{an}中， 若a3·a4·a5＝8，则a2·a3·a4·a5·a6＝． 若a1＋a2＝324，a3＋a4＝36，则a5＋a6＝． 若S4＝2，S8＝6，则a17＋a18＋a19＋a20＝. 82713．在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，2017届高三复习：数列大题训练50题及答案
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