2.2一元二次方程的解法3
2、关于x的一元二次方程x² -mx-5=0。 当m 满足什么条件时，方程的两根
为互为相反数？
用公式法解一元二次方程的步骤:
一般地,对于一元二次方程ax 2 bx c 0（a≠0）, 如果b 4ac 0
2
1、把方程化成一般形式，并写出a，b，c的值. 2、求出b2-4ac的值. 3、代入求根公式 :
2
并模仿解一般形式的一元二次方程
ax bx c 0
2
2 x2 12 x 2 0
步骤
两边同 除以a
移项 两边同时 加上( b )2
2a
ax2 bx c 0(a 0)
x2
x
2
2
x 6x 1 0
2
b c x 0 a a
x 6x 1
2
b c x a a
知识回顾：
“配方法”解方程的基本步骤：
1.化1: 把二次项系数化为1; 2.移项: 把常数项移到方程的右边; 3.配方: 方程两边同加一次项系数 一半的平方; 4.变形: 化成 ( x + m ) = a 5.开平方，求解
2
一起用配方法解下面这 个一元二次方程吧~
2 x 12 x 2 0
x 6x 9 1 9
2
b b 2 c b 2 x x( ) ( ) a 2a a 2a
b 2 b 2 4ac (x ) 2a 4a 2
( x 3) 10
2
整理
x 3 10
x 10 3
开方
b b2 4ac 2 x b 4ac 0 2 2a 4a
解（1）原方程即为 2 x 3x 1 0 a 2, b 3, cac 3 4 2 1 17
x 3
3
2
4 2 1
2 2
3 17 4
3 17 3 17 x1 , x2 4 4
,那么方程的两个根为 x
b b2 4ac 2a
这个公式叫做一元二次方程的求根公式. 利用求根公式，我们可以 由一元二次方程的系数
a，b，c 的值，直接求得方程的根.这种解一元二次方
程的方法叫做公式法.
b b2 4ac x 2a
4、写出方程的解x1与x2.
(b2 4ac 0, a 0)
b2 4ac 3 0
方程没有实数根
方程根的情况：
1、当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等 的实数根；
2
2、当 b 4ac 0 时，方程有两个相等的 实数根；
2
3、当 b 4ac 0 时，方程没 有实数根.
2
用公式法解下列一元二次方程：
2 2 1 x x 0 3 3
3 1 x 3 1, 1 2 2
即 x1 4, x2 2.
1、小结一下解一元二次方程的几种方法？
解一元二次方程一般有以下四种方法：直接开 平方法、因式分解法、配方法、求根公式法。
2、这节课我们学习的解法，你会了吗？
公式
b b 4ac x 2a
2
求解步骤
1、用公式法解方程 4 x 2 12 x 3 0 ，得到（A ）
练习
用适当的方法解下列一元二次方程 1、x（2x-7）=2x 3、x² -5x=-4 2、x² +4x=3 4、2x² -3x-1=0
解得
b b2 4ac x 2a
一般地，对于一元二次方程
ax bx c 0(a 0) ，
2
2 b 如果 4ac 0 ，那么方程的两个根为
x
b
b 4ac 2a
2
这种解一元二次方程的方法叫做公式法。 这个公式叫做一元二次方程的求根公式。
用公式法解下列一元二次方程：
2 3x
2
2
3 -6x
(3) x x 1 0
下列一元二次方程根的个数：
(1)2x 5x 3 0
2
b 4ac 1 0, 方程有两个不相等的根
2
2 3x
2
2
3 6x
b 4ac 0, 方程有两个相等的根
2
(4) x x 1 0
用公式法解一元二次方程：
1 2 x ( x 1) ( x 2) 2
解
1 2 2 去括号，得 x x x 4 x 4 ， 2 1 2 x 3x 4 0 ， 化简，得 2 1 1 2 2 a , b 3, c 4, b 4ac 3 4 4 1, 2 2
A
3 6 x 2
B D
3 6 x 2
C
3 2 3 x 2
3 2 3 x 2
2、用公式法解下列方程：
3x 4 x 1 0
2
3y 1 2 3y
2
3、选择恰当的方法解下列方程：
1 x(2 x 7) 2 x
2 (2 x 1)
2
2
3 x 1
(1)2x 5x 3 0
2
解（1）对方程
2
， 2 x2 5x 3 0
2
a 2, b 5, c 3,
b 4ac 5 4 2 3 1,
5 1 5 1 x , 2 2 4 5 1 3 5 1 x1 , x2 1. 4 2 4
2
4、 关于x的一元二次方程ax bx c 0(a 0) 当a，b，c 满足什么条件时，方程的两根为互
为相反数？
探索发现
X1= X2=
1、从两根的代数式结构上有什么特点？ 2、根据这种结构可以进行什么运算？ 你发现了什么？
智力挑战
1、 m取什么值时，方程 x2+(2m+1)x+m2-4=0有 两个相等的实数解
运用公式法解一元二次方程的的解步骤：
（1）把方程化为一般形式，• 确定a、b、c的值； （2）求出的 b 2 4ac 值； （3）若 b2 4ac 0 ，把a、b、c及
b 2 4ac 的值代入一元二次方程的求根
公式，求出方程的根；若 b 4ac 0 ，
2
此时方程无实数解。
用公式法解下列一元二次方程：
【学海风暴】2016湘教版九年级数学上册(同步导练)2.2一元二次方程的解法
2.2一元二次方程的解法一元二次方程的四种解法：解一元二次方程需根据方程特点选用适当方法，一般情况下：（1）首先看能否用平方根的意义或因式分解法；（2）不能用以上方法的可考虑公式法；（3）除特别指明外，一般不用配方法.基础导练1.一元二次方程x2-4x+2=0的根是.2.已知x=1是一元二次方程x2+m x+n=0的一个根，则m+n的值是.3.一元二次方程x2+5x+6=0的根是.4.方程x2-x-12=0的解是.5.下列方程中，不能用平方根的意义求解的是( )A.x2-3=0B.(x-1)2-4=0C.x2+2x=0D.(x-1)2=(2x+1)26.用配方法解一元二次方程x2-2x-3=0时，方程变形正确的是( )A.(x-1)2=2B.(x-1)2=4C.(x-2)2=1D.(x-2)2=77.方程4(x-3)2+x(x-3)=0的根为( )A.x=3B.x=C.x1=-3，x2=D.x1=3，x2=8.方程x2+x-1=0的根是( )A.1-B.C.-1+D.能力提升9.阅读材料：对于任何实数，我们规定符号的意义是=ad-bc.例如：=1×4-2×3=-2,=(-2)×5-4×3=-22.(1)按照这个规定请你计算的值；(2)按照这个规定请你计算：当x2-4x+4=0时，的值.10.已知△ABC的两边长分别为2和3，第三边长是方程(x2-2x)-5(x-2)=0的根，求△ABC的周长.11.分解因式x2+2x-1.参考答案基础导练1.x1=2+，x2=2-2.-13.x1=-2，x2=-3 4.x1=4，x2=-3 5.C 6.B 7.D 8.D能力提升9. (1)=5×8-6×7=-2.（2）由x2-4x+4=0得x=2，==3×1-4×1=-1.10.原方程可化为x(x-2)-5(x-2)=0，∴(x-5)(x-2)=0，∴x1=5，x2=2.∵三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，∴第三边的长x的取值范围是1<x<5，∴x=2，∴△ABC的周长为2+3+2=7.11..解：x2+2x-1=x2+2x+1-1-1= (x+1)2-2= (x+1+) (x+1-)。
《一元二次方程的解法》教案
2课 题教 学目 标教 学设 想2.2 一元二次方程（1）1、掌握因式分解法解一元二次方程的基本步骤.2、会用因式分解法解一元二次方程.【教学重点】用因式分解法解一元二次方程.【教学难点】例 3 方程中含有无理系数，需将常数项 2 看成( 2 ) ，才能分解因式，是本节教学的难点.教 学 程 序 与 策 略一、复习引入1、将下列各式分解因式：(1)y 2 - 3 y (2)4 x 2 - 9(3)(3x - 4)2 - (4 x - 3)2 (4) x 2 - 2 2 x + 2教师指出：把一个多项式化成几个整式的积的形式叫做因式分解.2、你能利用因式分解解下列方程吗？（例 1）(1)x 2 - 3x = 0(2)25 x 2 = 16请中等学生上来板演，其余学生写在练习本上，教师巡视.之后教师指出：像上面这种利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法.（板书课题）二、新课学习1、归纳因式分解法解一元二次方程的步骤：教师首先指出：当方程的一边为 0，另一边容易分解成两个一次因式的积时，用因式分解法求解方程比较方便.然后归纳步骤：（板书）① 若方程的右边不是零，则先移项，使方程的右边为零；② 将方程的左边分解因式；③ 根据若 M·N=0，则 M=0 或 N=0，将解一元二次方程转化为解两个一元一次方程.2、讲解例 2.（1）解下列一元二次方程：(1)(x - 5)(3x - 2) = 10(2) x - 2 = x ( x - 2) (3)(3x - 4)2 = (4 x - 3)2教师在讲解中不仅要突出整体的思想：把 x-2 及 3x-4 和 4x-3 看成整体，还要突出化归的思想：通过因式分解把一元二次方程转化为一元一次方程来求解.并且教师要认真板演，示范表述格式，强调两个一元一次方程之间的连结词要1 2用“或”，而不能用“且.（2）想一想：将第（ ），（2），（3）题的解分别代人原方程的左、右两边，等式成立吗？教 学 程 序 与 策 略（3）归纳用因式分解法解的一元二次方程的基本类型：①先变形成\一般形式，再因式分解：②移项后直接因式分解.在选择方法时通常可先考虑移项后能否直接分解因式，然后再考虑化简后能否分解因式.讲解例 3. 解方程 x 2 = 2 2 x - 2在本例中出现无理系数，要注意引导学生将将常数项 2 看成 ( 2 )，另外对于方程中出现两个相等的根，教师要做好板书示范.3、补充例 4 若一个数的平方等于这个数本身，你能求出这个数吗？首先让学生设出未知数，列出方程（ x 2 = x ），再让学生求解.根据学生的求解情况强调：对于此类方程不能两边同时约去 x ，因为这里的 x 可以是 0.三、巩固练习课本第 31 页课内练习.四、体会和分享能说出你这节课的收获和体验让大家与你分享吗？先由学生自由发言，教师再投影演示：1、能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是 0，另一边可以分解成两个一次因式的积；2、用分解因式法解一元二次方程的一般步骤：（1）将方程的右边化为零；（2）将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；（3）令每一个因式为零，得到两个一元一次方程；（4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.3、用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为 0，那么这两个因式中至少有一个等于0.4、用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为零；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.5、数学思想：整体思想和化归思想.五、课后作业1、书本作业题2、作业本教后反思课题教学目标教学设想2.2一元二次方程的解法（2）(1)理解直接开平方法解一元二次方程的依据是平方根的意义。
2022年九年级数学上册第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程第1课时直接开平方法与配方法
0,
1 3
y
2
1
5,
①
1 y 1 5, ②
3
1 y 1 5, ③
3
y 3 5 1, ④
解：不对，从开始错，应改为
1 3
y
1
5,
y1 3 5 3, y2 3 5 3.
5.解下列方程：
1 x2 4x 4 5
x 22 解5, ： x 2 5,
x 2 5, x 2 5,
第二章 一元二次方程
2.2用配方法求解一元二次方程
（第1课时 直接开平方法与配方法(1)）
学习目标
1.会用直接开平方法解形如(x+m)2＝n (n>0)的方程. （重点） 2.理解配方法的基本思路.（难点） 3.会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程. （重点）
复习引入
导入新课
1.如果 x2=a,则x叫作a的 平方根 .
(B) (x-2)2=4,解方程，得x-2=2,x=4
(C)
4(x-1)2=9,解方程，得4(x-1)=
±3,
1
x1=4
;
x2=
7 4
(D) (2x+3)2=25,解方程，得2x+3=±5, x1= 1;x2=-4
2.填空:
(1)方程x2=0.25的根是 x1=0.5,x2=-0.5 . (2)方程2x2=18的根是x1＝3,x2＝-3 . (3)方程(2x-1)2=9的根是x1＝2,x2＝－1 .
的实数根 x1 p ，x2 p ；
(2)当p=0 时，方程(I)有两个相等的实数根 x1 x2 =0；
(3)当p<0 时,因为任何实数x，都有x2≥0 ，所以
方程(I)无实数根.
一元二次方程-2023年中考数学第一轮总复习课件(全国通用)
典例精讲
一元二次方程的解法
知识点二
【例2】(1)一元二次方程x2-x=0的根是_x_1_=_0_,_x_2=_1__.
(2)已知等腰三角形的三边分别为a,b,4,且a,b是关于x的一元二次方程
x2-12x+m+2=0的两个根,则m的值为( A )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
(1)x(x-1)=0,
一元二次方程的解法
解方程：
(1)2(x-3)=3x(x-3). x1=3，x2=2/3
(2)2x2-4x-1＝0.
x1
2 2
6 ，x2
2 2
6
(3)x2-4x+1=0(用配方法求解)； (4)x2-6x+9=(5-2x)2.
x1 2 3，x2 2 3
x1=2，x2=8/3
查漏补缺
当堂训练
根的判别式
b2 4ac 2a
(b2-4ac≥0)
步骤
①将方程化成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式；②计算Δ；
③若Δ≥0,利用求根公式解方程；若Δ＜0,则原方程无解.
理论 若ab=0,则_a_=_0_或__b_=_0_. 因式分 ①利用因式分解把方程化为两个一次式的乘积等于0；
解法 步骤②使这两个一次式分别等于0,得两个一元一次方程； ③求出两个一元一次方程的解,即一元二次方程的解.
(2)已知关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根x1,x2,则 D ()
A.x1+x2＜0 B.x1x2＜0 C.x1x2＞-1 D.x1x2＜1 (3)关于x的7一/4元二次方程x2-4x+m=0的两实数根分别为x1,x2,且x1+3x2=5, 则m的值是_____.
2.2一元二次方程的解法3
解二次项系数是1的一元二次方法。
完善“配方法”解方程的基本步骤：
1、把二次项系数化为1(方程的两边同时除以二次项
系数a)
2、把常数项移到方程的右边; 3、把方程的左边配成一个完全平方式; 4、利用开平方法求出原方程的两个解.
★一除、二移、三配、四化、五解.
例1、用配方法解下列一元二次方程
(1) 2x2+4x-5=0
1、一元二次方程的一般形式：
ax bx c 0 (a 0) 2 ax 二次项， a 二次项系数
2Hale Waihona Puke bx 一次项， b一次项系数
c
常数项
2、一元二次方程的解法： （1）因式分解法 （2）直接开平方法 （3）配方法
开平方法解一元二次方程：
一般地，对于形如：
x a
2
或
mx n
2
3、一次聚会,出席的每位代表和其他代表各握
一次手,统计结果表明,一共握手45次,问参加
聚会的代表有多少人?
解：设参加的代表有x人，则
x( x 1) 45 2
a
的一元二次方程（a≠0)，都可用开平方法 直接
得出它的两个解或者将它转化为两个一元一
次方程进行求解.
例如：
x 7
2
2 x 1
2
25
配方法解一元二次方程:
一般地，形如：x
2
bx c 0 的方程可用配方法。
移项:把常数项移到方程的右边; 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方; 开方:根据平方根意义,方程两边开平方; 求解:解一元一次方程;
(2) 3x2-4x-7=0
例2、用配方法解下列方程:
1 2 5 (1) 2 x x 3 3
2.2一元二次方程的解法(3)导学案
2.2 一元二次方程的解法（3）班级__________________ 姓名__________________〖学习目标〗1．理解一元二次方程求根公式的推导过程；2．会用公式法解一元二次方程。
〖学习重点与难点〗重点：用公式法解一元二次方程。
难点：一元二次方程的求根公式的推导过程比较复杂，涉及多方面的知识和能力，是本节学习的难点。
一、温故知新（把握时间，看看你的复习情况）1．用配方法解下列一元二次方程：（1） x x 10152=+ （2） 0311232=+-x x2．你能用配方法一元二次方程的一般形式)0(02≠=++a c bx ax吗？请写出你的步骤。
3．填一填：⑴03522=+-x x ⑵x x 4142-=+解：=a _____，=b ______，=c _______。
解：=a _____，=b _____，=c _____。
=-ac b 42_______ =-ac b 42_______ ∴=-±-=a ac b b x 242____________ ∴=-±-=aac b b x 242__________ ∴=1x ___________，=2x ___________ ∴=1x =2x ___________二、例题精讲（先思考，然后和老师一起完成）例4 用公式法解下列一元二次方程：⑴03522=+-x x ⑵x x 4142-=+⑶0212432=--x x ⑷0222=++x x例5 解方程： 2)2()121(-=-x x x三、巩固练习1．用公式法解下列方程：⑴0432=-+x x ⑵0432=-x ⑶141212=-x x ⑷0222=+-x x总结1：观察以上你所解的方程，方程根的情况与ac b 42-的值的关系如何？答：当042>-ac b 时，方程有_____________________________；当042=-ac b 时，方程有_____________________________；当042<-ac b 时，方程_____________________________。
湘教版九年级数学上册课件：2.2 一元二次方程的解法 (共35张PPT)
反过来，如果d和h是方程 x2 + bx + c = 0 的两 个根，则方程的左边可以分解成
x2 + bx + c = (x - d )(x – h)= 0.
我们已经学习了用配方法、公式法和因式分解法 解一元二次方程，在具体的问题中，我们要根据方 程的特点，选择合适的方法来求解.
如何选择合适的方法来解一元二次方程呢？
x b b2 4ac ( b2 - 4ac ≥0) 2a
我们通常把这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
由求根公式可知， 一元二次方程的根由方程的系
数a，b，c 决定， 这也反映出了一元二次方程的根与 系数a，b，c之间的一个关系.
运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二 次方程的根，这种解一元二次方程的方法叫作公式法.
第2章 一元二次方程
2.2 一元二次方程的解法
2.2 一元二次方程的解法 —配方法
教学重、难 点
教 学 重 点 ： 运 用 开 平 方 法 解 形 如 （ x+m ） 2=n(n≥0)
的方程；领会降次—转化的数学思想.
教学难点：通过根据平方根的意义解形如 x2=n 的方 程，将知识迁移到根据平方根的意义解形如(x+m)2 = n(n≥0)的方程.
用配方法解一元二次方程的一般步骤:
移项:把常数项移到方程的右边； 配方:方程两边都加上一次项系数一半的平方； 开方:根据平方根意义，方程两边开平方； 求解:解一元一次方程； 定解:写出原方程的解.
例 市区内有一块边长为15米的正方形绿地，经城市规 划，需扩大绿化面积，预计规划后的正方形绿地面积将 达到289平方米，这块绿地的边长增加了多少米？
解：这里 a 1 b 7 c 18
2.2一元二次方程的解法-3lj
用配方法解下列方程: 用配方法解下列方程
1 2 1 (1 ) x − x − = 0 4 2 2 (2)3x − x + 3 = 0
一元二次方程的一般形式是什么？＋ ＝ （ ）
请用配方法解该一元二次方程： 请用配方法解该一元二次方程： 方程两边同除以 a b 2 移项，得 x + x = － a 移项， a b b 2 b c ( b )2 ( )2 2 方程的两边同加上 2a ，得 x + x + ( 2a ) = − + 2a 2 a a b 2 b − 4ac 即 (x + 2a ) = 为什么要设定 4a 2 2 2 2 − 4ac b bb－4ac≥0 x + b = − b − 4ac 2－4ac≥0，可得 若b ， x+ = 或
1、下列方程有实数根的是（ 下列方程有实数根的是（ ） B、 A 、 2 x 2＋x ＋1 ＝0 B 、 x 2－x －1 ＝0 6x＋10＝ D、 C、x2－6x＋10＝0 D 、 x 2＋1 ＝x
你掌握了哪些解一元二次方程的方法？ 想一想：你掌握了哪些解一元二次方程的方法？
因式分解法，直接开平方法，配方法， 因式分解法，直接开平方法，配方法，公式法 请用多种方法解方程： 例5 请用多种方法解方程：
1 x ( x − 1) = (x − 2) 2 2
解方程： 例2 解方程：
去括号,得 解 :去括号 得 去括号
1 x 2–x 2 1 2
2 1 x x − 1 = (x − 2 ) 2
= x2–4x+4 4x+4
公 式 法
化简,得 化简 得 ∴a=
1 2
x2 – 3x+4 =0
高中数学沪教版(上海)高一第一学期第二章2.2 一元二次不等式解法(3)教案
一元二次不等式解法（3）教学设计说明（一）教学内容分析：一元二次不等式的解法既是二次函数的下位概念，也是同位概念一元二次方程的延续。
它的求解过程中要贯穿与二次函数图像、一元两次方程之间的内在联系，即利用对应的函数图像帮助确定一元二次不等式的解集，并由对应方程的根，确定解集区间的端点，使“数”与“形”有机结合。
本节课是一元二次不等式解法的第三节课，即一元二次不等式的应用，其中一方面是结合二次函数的图像对一元二次不等式解集为R 的情况进行了规律性的总结；另一方面更重要的是会用一元二次不等式解决实际问题，学会确定量与量之间的关系，并能用“符号语言”和“图形语言”将实际问题抽象成数学问题，对后继的函数建模起到铺垫作用。
（二）教学目标：1. 知识与技能： 掌握一元二次不等式在0∆>，0∆=，0∆<情况下的解法，能够利用一元二次不等式解决实际问题。
2. 过程与方法：体会一元二次不等式，一元二次方程和二次函数之间的内在联系，从中领悟“数形结合”，“化归”等数学思想方法，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并加以解决的全过程，使学生从中感受到用不等式模型解决实际问题的必要性和趣味性。
3. 情感、态度、价值观：通过对一元二次不等式解法的总结培养学生的归纳总结能力；在实际问题的应用中，培养学生的理解问题，分析问题，探究问题, 解决问题的能力,提升学生的思维品质；在师生对话中培养学生的数学表达能力，同时通过题目情景的创设激发学生学习数学的兴趣。
（三）教学重难点：1. 重点：能把简单的实际问题抽象成数学问题，并建立一元二次不等式的模型求解。
2. 难点：能把简单的实际问题抽象成一元二次不等式的模型。
（四）学情分析上课的对象是七宝中学高一的学生，是市重点学校，学生的数学基础较好。
（五）课堂教学设计的依据：依据教学内容，教学的重难点及学情，本堂课的流程为：先结合二次函数的图像对一元二次不等式解集为R的情况进行了规律性总结，然后重点解决实际问题。
专题2.2.2 一元二次方程的解法(公式法、因式分解法)(原卷版)
专题2.2.2 一元二次方程的解法（2）【学习目标】1. 理解一元二次方程求根公式的推导过程，了解公式法的概念，能熟练应用公式法解一元二次方程；2. 正确理解因式分解法的实质，熟练运用因式分解法解一元二次方程；3. 能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题的多样性．【要点梳理】要点一、公式法解一元二次方程1.一元二次方程的求根公式 一元二次方程，当时，.2.一元二次方程根的判别式一元二次方程根的判别式：． ①当时，原方程有两个不等的实数根； ②当时，原方程有两个相等的实数根； ③当时，原方程没有实数根.3.用公式法解一元二次方程的步骤 用公式法解关于x的一元二次方程的步骤： ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）； ③求出的值； ④若，则利用公式求出原方程的解； 若，则原方程无实根.要点诠释：（1）虽然所有的一元二次方程都可以用公式法来求解，但它往往并非最简单的，一定要注意方法的选择.（2）一元二次方程，用配方法将其变形为：.①当时，右端是正数．因此，方程有两个不相等的实根：.② 当时，右端是零．因此，方程有两个相等的实根：.③ 当时，右端是负数．因此，方程没有实根.要点二、因式分解法解一元二次方程1.用因式分解法解一元二次方程的步骤 （1）将方程右边化为0； （2）将方程左边分解为两个一次式的积； （3）令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； （4）解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解.2.常用的因式分解法 提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等.要点诠释：（1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积；（2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；（3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式.20 (0)ax bx c a ++=¹2224()24b b ac x a a -+=240b ac D =->1,2x =240b ac D =-=1,22bx a =-240b ac D =-<【典型例题】类型一、公式法解一元二次方程1 用公式法解方程：22310x x +-=．举一反三：【变式】用公式法解方程：（1）x 2﹣3x ﹣2=0． （2）类型二、判断一元二次方程的解2．关于x 的一元二次方程2(3)10x k x k +-+-=根的情况，下列说法正确的是（ ）A ．有两个不相等的实数根B ．有两个相等的实数根C ．无实数根D ．无法确定举一反三：【变式】定义新运算a b *，对于任意实数a ，b 满足()()1a b a b a b *=+--，其中等式右边是通常的加法、减法、乘法运算，例如43(43)(43)1716*=+--=-=，若x k x *=（k 为实数） 是关于x 的方程，则它的根的情况是（ ）A ．有一个实根B ．有两个不相等的实数根C ．有两个相等的实数根D ．没有实数根类型三、因式分解法解一元二次方程3．解方程：（1）24120x x +-=．（2）()()2454x x +=+．举一反三：【变式】（1）（x+8）2-5(x+8)+6=0（2）2221x x +=3(21)42x x x +=+一元二次方程的解法（2）（专项练习）一、选择题1．已知关于x 的一元二次方程()21210k x x -+-=有解，则k 的取值范围是（ ）A ．0k >B ．2k £C ．2k £且1k ¹D ．0k ≥且1k ¹2．以x =为根的一元二次方程可能是（ ）A ．240x x c --=B ．240x x c +-=C ．240x x c -+=D ．240x x c ++=3．小刚在解关于x 的方程()22200ax bx a -+=¹时，将其抄成了2220ax bx ++=，得到一个解是x =-2，则原方程的根的情况是（ ）A ．不存在实数根B ．有两个实数根C ．有一个根是2x =-D ．不确定4．如图，一次函数y =-3x +4的图象交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，点P 在线段AB 上（不与点A ，B 重合），过点P 分别作OA 和OB 的垂线，垂足为C ，D ．若矩形OCPD 的面积为1时，则点P 的坐标为（ ）A ．（13，3）B ．（12，2）C ．（12，2）和（1，1）D ．（13，3）和（1，1）5．在解一元二次方程x 2+px +q ＝0时，小红看错了常数项q ，得到方程的两个根是﹣3，1．小明看错了一次项系数P ，得到方程的两个根是5，﹣4，则原来的方程是（ ）A ．x 2+2x ﹣3＝0B ．x 2+2x ﹣20＝0C ．x 2﹣2x ﹣20＝0D ．x 2﹣2x ﹣3＝06．直线y x a =+不经过第二象限，则关于x 的方程2210ax x ++=实数解的个数是（ ）.A ．0个B ．1个C ．2个D ．1个或2个7．将4个数a ，b ，c ，d 排成2行，2列，两边各加一条竖线，记成a b c d ，并规定a bad bc c d=-，例如2 4234121 3=´-´=，则 33 1x x x =--的根的情况为（ ）A ．只有一个实数根B ．有两个相等的实数根C ．有两个不相等的实数根D ．没有实数根8．关于x 的方程x （x ﹣1）＝3（x ﹣1），下列解法完全正确的是（ ）A ．AB ．BC ．CD ．D9．已知226A x x n =++，222423B x x n =+++，下列结论正确的个数为( )①若226A x x n =++是完全平方式，则3n =±；②B－A 的最小值是2；③若n 是0A B +=的一个根，则2216549n n +=；④若()()202220192A A --=，则()()22202220194A A -+-=A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．对于二次三项式22x mxy x +-（m 为常数），下列结论正确的个数有（ ）①当1m =-时，若220x mxy x +-=，则2x y -=②无论x 取任何实数，等式223x mxy x x +-=都恒成立，则()225x my +=③若226x xy x +-=，228y xy y +-=，则1x y +=④满足()()22220x xy x y xy y +-+--£的整数解(),x y 共有8个A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个11．在数轴上原点两侧两点A 、B ，其中点A 表示的数是a ，点B 表示的数是2a a +，如果A ，B 两数的绝对值相等，那么a 的值是（ ）A ．0或2B ．0C ．2D ．-212．已知两个关于x 的一元二次方程22:0:0M ax bx c N cx bx a ++=++=，，其中0ac a c ¹¹，．下列结论错误的是（ ）A ．若方程M 有两个相等的实数根，则方程N 也有两个相等的实数根B ．若方程M 有一个正根和一个负根，则方程N 也有一个正根和一个负根C ．若5是方程M 的一个根，则15是方程N 的一个根D ．若方程M 和方程N 有一个相同的根，则这个根一定是1x =二、填空题13．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边长，若方程2()20a c x bx a c -+++=有两个相等的实数根，则△ABC 是 _______ 三角形．14．关于x 的方程()2251x m +=+无实数解，则m 的取值范围________．15．数学活动课上，小云和小王在讨论张老师出示的一道代数式求值问题：已知实数,a b 同时满足2222,22a a b b b a +=++=+，求代数式b a a b +的值．结合他们的对话，请解答下列问题：（1）当a b =时，a 的值是__________．（2）当a b ¹时，代数式b aa b+的值是__________．16．已知()()2222142x y x y ++-=，则22x y +的值是___________．17．实数a ，n ，m ，b 满足a ＜n ＜m ＜b ，这四个数在数轴上对应的点分别为A ，N ，M ，B ，若2AM BM AB =×，2BN AN AB =×，则称m 为a ，b 的“大黄金数”，n 为a ，b 的“小黄金数”，当b －a ＝4时，m n -=_______．18．已知矩形的长和宽分别为a 和b ，如果存在另外一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的三分之一，则a ，b 应该满足的条件为 __________．19．若关于x 的一元二次方程210ax bx ++=有两个相等的实数根，则2224ab a a b -+的值为________．20．对于实数m ，n ，先定义一种断运算“Ä”如下：22m m n m n m n n m n m n ì++≥Ä=í++<î，当时，当时，若(2)10x Ä-=，则实数x 的值为_____________．三、解答题21．用适当的方法解下列方程：(1)x 2－x －1＝0；(2)3x (x －2)＝x －2；(3)x 2－＋1＝0；(4)(x ＋8)(x ＋1)＝－12．22．已知关于x 的方程x 2﹣（m +2）x +（2m ﹣1）＝0．(1)求证：方程恒有两个不相等的实数根．(2)若此方程的一个根是1，请求出方程的另一个根，并求以此两根为边长的直角三角形的面积．23．（1）a ，b 两个实数在数轴上的对应点如图所示．用“<”或“>”填空：a _______b ，ab _______0；（2）在初中阶段我们已经学习了一元二次方程的三种解法，他们分别是配方法、公式法和因式分解法，请从下列一元二次方程中任选两个，并解这两个方程．①x 2+2x −1=0；②x 2−3x =0；③x 2−4x =4；④x 2−4=0．24．已知关于x 的一元二次方程()()220a c x bx a c +++-=，其中a 、b 、c 分别为△ABC 三边的长．(1)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC 的形状，并说明理由；(2)如果△ABC 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．25．阅读与思考：整式乘法与因式分解是方向相反的变形．由(x ＋p )(x ＋q )＝x 2＋(p ＋q )x ＋pq 得x 2＋(p ＋q )x ＋pq ＝(x ＋p )(x ＋q )．利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．例如：将式子x 2＋3x ＋2分解因式．分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2．所以x 2＋3x ＋2＝x 2＋(1＋2)x ＋1×2．解：x 2＋3x ＋2＝(x ＋1)(x ＋2)．请仿照上面的方法，解答下列问题(1)分解因式：x 2＋5x －24＝________________________；(2)若x 2＋px ＋6可分解为两个一次因式的积，则整数p 的所有可能值是____________；(3)利用上面因式分解方法解方程：x 2－4x －21=0．26．阅读材料：把代数式267x x --因式分解，可以分解如下：22676997x x x x --=-+--()2316x =--()()3434x x =-+-- ()()17x x =+-(1)探究：请你仿照上面的方法，把代数式287x x -+因式分解．(2)拓展：当代数式22230x xy y +-=时，求xy的值．27．如果一元二次方程的两根相差1，那么该方程称为“差1方程”．例如x 2＋x ＝0是“差1方程”．(1)判断下列方程是不是“差1方程”，并说明理由；①x 2﹣5x ﹣6＝0；②x 2＋1＝0；(2)已知关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x ﹣m ＝0（m 是常数）是“差1方程”，求m 的值；(3)若关于x 的方程ax 2＋bx ＋1＝0（a ，b 是常数，a ＞0）是“差1方程”，设t ＝10a ﹣b 2，求t 的最大值．。