高考数学一轮复习专题二不等式3基本不等式与不等式的综合应用专题检测含解析新人教A版

基本不等式与不等式的综合应用专题检测1.(2020山东师大附中第一次月考,12)下列不等式一定成立的是( ) A.lg (x 2+14)>lg x (x >0) B.sin x +1sin x ≥2(x ≠k π,k ∈Z) C.x 2+1≥2|x |(x ∈R) D.1x 2+1>1(x ∈R)答案 C 本题主要考查应用基本不等式求最值,考查的核心素养是逻辑推理.对于A,由于x 2+14≥2√x 2·14=x ,当且仅当x =12时,取“=”,故A 不正确;对于B,当x ∈(π,2π)时,sin x <0,sin x +1sin x ≤-2,故B 不正确;对于C,x 2+1-2|x |=(|x |-1)2≥0恒成立,故C 正确; 对于D,当x =0时,1x 2+1=1,故D 不正确.2.(2020西南四省八校9月联考,12)若x >0,y >0,x +2y =1,则xx2x +x 的最大值为 ( ) A.14 B.15 C.19 D.112 答案 C xx 2x +x =12x +1x,∵x >0,y >0,x +2y =1,∴1x +2x =(1x +2x )·1=(1x +2x )(x +2y )=5+2x x +2xx≥5+2√2x x ·2x x =5+4=9,当且仅当{2x x =2xx ,x +2x =1,即x =y =13时,取“=”,∴12x +1x≤19,故xx 2x +x的最大值为19,选C . 3.(2020山东青岛期初调研,8)函数f (x )=x 2+x +2x +4x 2(x >0)的最小值为 ( )A.4+2√2B.4√2C.8D.√2+2 答案 A ∵x >0,∴f (x )=x 2+x +2x +4x 2=x 2+4x 2+x +2x ≥2√x 2·4x 2+2√x ·2x =4+2√2,当且仅当{x 2=4x 2,x =2x ,即x =√2时取“=”,∴f (x )min =4+2√2,故选A .4.(2018福建厦门外国语中学模拟,10)已知实数a >0,b >0,1x +1+1x +1=1,则a +2b 的最小值是( )A.3√2B.2√2C.3D.2答案 B ∵a >0,b >0,∴a +1>1,b +1>1,又∵1x +1+1x +1=1,∴a +2b =[(a +1)+2(b +1)]-3=[(a +1)+2(b +1)]·(1x +1+1x +1)-3=1+2(x +1)x +1+x +1x +1+2-3≥2√2(x +1)x +1·x +1x +1=2√2,当且仅当2(x +1)x +1=x +1x +1时取“=”,故选B .5.(2018河北大名一中月考)已知关于x 的不等式x 2-4ax +3a 2<0(a <0)的解集为(x 1,x 2),则x 1+x 2+xx1x 2的最大值是 ( )A.√63B.2√33C.4√33D.-4√33答案 D 由题意知x 1,x 2是方程x 2-4ax +3a 2=0的两根. 由根与系数的关系得x 1x 2=3a 2,x 1+x 2=4a ,∴x 1+x 2+x x 1x 2=4a +13x ,∵a <0,∴-(4x +13x )≥2√4x ·13x=4√33,即4a +13x≤-4√33,当且仅当4a =13x,即a =-√36时,取“=”,故x 1+x 2+x x1x 2的最大值为-4√33.故选D.6.(2019晋冀鲁豫名校期末联考,10)已知函数f (x )=x 2e x,若a >0,b >0,p =f (x 2+x 22),q =f ((x +x 2)2),r =f (ab ),则( )A.q ≤r ≤pB.q ≤p ≤rC.r ≤p ≤qD.r ≤q ≤p 答案 D 因为x 2+x 22-(x +x 2)2=2x 2+2x 24-x 2+x 2+2xx 4=(x -x )24≥0,所以x 2+x 22≥(x +x 2)2,又x +x 2≥√xx (a >0,b >0),所以(x +x 2)2≥ab.易得函数f (x )=x 2e x在(0,+∞)上单调递增,所以f (ab )≤f ((x +x 2)2)≤f (x 2+x 22),即r ≤q ≤p.7.(2020河南濮阳第二次检测,9)已知a >2,b >2,则x 2x -2+x 2x -2的最小值为 ()A.2B.4C.6D.16答案 D 因为a >2,b >2,所以a -2>0,b -2>0. 令x =b -2,y =a -2,则x >0,y >0. 原式=(x +2)2x+(x +2)2x≥2√(x +2)2x·(x +2)2x =2√[xx +2(x +x )+4]2xx≥2√(xx +4√xx +4)2xx =2√(√xx +√xx)2=2√(√xx √xx4)2≥2√(2√√xx ·√xx+4)2=16.当且仅当x =y =2时取等号.故选D .思路分析 利用换元思想,设x =b -2,y =a -2,则x >0,y >0,将原式化为(x +2)2x+(x +2)2x,两次使用基本不等式求解.8.(2019新疆昌吉教育共同体联考,9)在1和17之间插入(n -2)个数,使这n 个数成等差数列,若这(n -2)个数中第一个为a ,第(n -2)个为b ,当1x +25x 取最小值时,n 的值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9答案 D 由已知得a +b =18,则1x +25x =(1x +25x )×x +x 18=118(1+25+x x +25xx)≥118×(26+10)=2,当且仅当b =5a 时取等号,此时a =3,b =15,可得n =9.故选D.9.(2019辽宁沈阳东北育才学校五模,9)已知函数f (x )=2x -12x +1+x +sin x ,若正实数a ,b 满足f (4a )+f (b -9)=0,则1x +1x 的最小值是 ( )A.1B.92 C.9 D.18答案 A 因为f (x )=2x -12x +1+x +sin x ,所以f (-x )=2-x -12-x +1-x -sin x =-(2x -12x +1+x +sin x )=-f (x ),所以函数f (x )为奇函数,易知f (x )单调递增,又正实数a ,b 满足f (4a )+f (b -9)=0,所以4a +b -9=0,所以1x +1x =19(1x +1x )(4a +b )=194+x x +4x x +1=19(5+x x +4xx)≥19×(5+2√4)=1,当且仅当x x =4xx,即b =2a =3时,取等号.故选A .10.(2020黑龙江道里检测,10)设a ,b ,c ,d 均为大于零的实数,且abcd =1,令m =a (b +c +d )+b (c +d )+cd ,则a 2+b 2+m 的最小值为( )A.8B.4+2√3C.5+2√3D.4√3 答案 B ∵a ,b ,c ,d 均大于零且abcd =1,m =a (b +c +d )+b (c +d )+cd ,∴a 2+b 2+m =a 2+b 2+(a +b )(c +d )+ab +cd ≥2ab +2√xx ·2√xx +ab +cd =4+3ab +cd ≥4+2√3xxxx =4+2√3,当且仅当a =b ,c =d ,3ab =cd ,即a =b =(13)14,c =d =314时取等号,∴a 2+b 2+m 的最小值为4+2√3.故选B . 11.(多选题)(2020山东烟台期中,11)下列结论正确的是 ( )A.若a >b >0,c <d <0,则一定有x x >xx B.若x >y >0,且xy =1,则x +1x >x2x >log 2(x +y ) C.设{a n }是等差数列,若a 2>a 1>0,则a 2>√x 1x 3D.若x ∈[0,+∞),则ln(1+x )≥x -18x 2答案 AC 对于A,∵c <d <0,∴-c >-d >0,∴-1x >-1x >0, 又∵a >b >0,∴-x x >-x x >0,∴x x >xx ,故A 正确;对于B,∵x >y >0,且xy =1,∴可取x =2,y =12,此时x +1x =4,x2x =124=18,log 2(x +y )=log 252>log 22=1,故不满足x +1x >x2x >log 2(x +y ),故B 不正确;对于C,∵{a n }是等差数列,∴a 2=x 1+x 32.又∵a 3-a 2=a 2-a 1>0,∴a 3>a 2>a 1>0,∴x 1+x 32>√x 1x 3,即a 2>√x 1x 3,故C 正确;对于D,令f (x )=ln(1+x )-x +18x 2,x ≥0,则f'(x )=11+x -1+14x =1-(1+x )+14x (1+x )1+x=14x 2-34x 1+x=x 2-3x4(1+x ),x >0,令f'(x )>0,可得x >3,令f'(x )<0,可得0<x <3,因此函数f (x )=ln(1+x )-x +18x 2在[0,3)上为减函数,在[3,+∞)上为增函数, ∵f (0)=ln1-0+0=0,∴当x ∈(0,3]时,f (x )<0恒成立,故当x ∈[0,+∞)时,ln(1+x )≥x -18x 2不恒成立,故D 不正确,故选AC .12.(2019湖北黄冈元月调研,15)若关于x 的不等式x +4x -x ≥5在x ∈(a ,+∞)上恒成立,则实数a 的最小值为 . 答案 1解析 关于x 的不等式x +4x -x ≥5在x ∈(a ,+∞)上恒成立,即x -a +4x -x ≥5-a 在x ∈(a ,+∞)上恒成立,由x >a 可得x -a >0,则x -a +4x -x ≥2√(x -x )·4x -x =4,当且仅当x -a =2,即x =a +2时,上式取得最小值4,则5-a ≤4,可得a ≥1,故a 的最小值为1. 13.(2020上海复旦大学附中9月综合练,8)已知x 2+2x +2x ≤4x 2-x+1对于任意的x ∈(1,+∞)恒成立,则a 的取值范围是 . 答案 [-3,1] 解析 由已知x 2+2x +2x ≤4x 2-x+1对于任意的x ∈(1,+∞)恒成立可知,a 2+2a +2≤4x -1+x 对于任意的x ∈(1,+∞)恒成立,令g (x )=4x -1+x ,x >1,则g (x )=4x -1+x -1+1≥2√4x -1·(x -1)+1=5,当且仅当x =3时取“=”,∴a 2+2a +2≤g (x )min =5,∴a 2+2a -3≤0,∴-3≤a ≤1,故答案为[-3,1].14.(2019安徽黄山八校联考,16)不等式(a cos 2x -3)sin x ≥-3对任意x ∈R 恒成立,则实数a 的取值范围是 . 答案 [-32,12]解析 令g (x )=(a cos 2x -3)sin x ,sin x =t ,-1≤t ≤1,则原函数化为g (t )=(-at 2+a -3)t ,即g (t )=-at 3+(a -3)t ,由-at 3+(a -3)t ≥-3整理得(t -1)[-at (t +1)-3]≥0,由t -1≤0知,-at (t +1)-3≤0,即a (t 2+t )≥-3,当t =0,-1时该不等式恒成立,当0<t ≤1时,0<t 2+t ≤2,a ≥(-3x 2+x )max=-32;当-1<t <0时,-14≤t 2+t <0,a ≤(-3x 2+x)min=12,从而可知-32≤a ≤12.。