关于算子方程AXB=C的实正解的一个注记
专家名著：函数方程的柯西解法
但由（88）知
代入上式即得
因而
记 最后有
（89）
当x=0时，显然有
（90）
如果令 ，就有
所以
总之，由（89），（90），（91）得，对于任何有理数x=r，函数方程（9）的解是
现在，讨论自变量是无理数的情形：x=ξ（ξ是无理数）.设ξ的精确到小数点后第i位的不足近似值和过剩近似值是αi和βi.根据f(x)的单调性[不妨假定f(x)是单调增加的.单调减小情形的论证类似]推知，
（93）
同样根据单调增加性，得知
所以由
可得
而由于 ， 是有理数，所以（93）又可写成
（94）
（93）和（94）表明 和 处于同一个区间套之内.根据区间套原理，就有
= .（95）
综合（92），（95），可知对于任何实数x，函数方程（9）的解是一次函数
（96）
现在来求由摄氏温度换算为华氏温度的关系式.
由（10）知
（99）
如果令 那末由（16）又得
所以
（100）
（98），（99），（100）表明，对于任何有理数r，满足函数方程（16）的是指数函数
对于自变量为无理数的情形，推证方法和例19，20类似，这里从略.
总之，函数方程（16）的解是指数函数
由此可见，放射性物质的衰变规律服从指数函数.进一步研究得知，1克的放射性物质经过时间x年后，剩余的放射性物质为
因为f(x)是单调的，所以不能恒等于零.从而存在着值x=c，使得 .在（110）中，令 可得
记 = 那末有
于是
令 ，可得
.
这就是说，函数方程（101）的解是对数函数.
值得指出的是，例19所讨论的函数方程（79）
是一个很重要的方程.这方程是由柯西最早加以研究的，后来就叫做柯西函数方程.我们立即就会看到，柯西函数方程在解函数方程上的作用：有许多其它函数方程，都可以通过适当方法转化为柯西函数方程，从而获得解答.试看以下例子.
关于矩阵方程AXB=C的解
关于矩阵方程AXB=C的解赵昌成【期刊名称】《郧阳师范高等专科学校学报》【年(卷),期】1994(000)002【摘要】设一般矩阵方程为AXB=C,其中A为m×n矩阵,X为n×s矩阵,B为s×t 矩阵,C为m×t矩阵,变量有n×s个,X即为: 关于矩阵方程AXB=C,有些教材用矩阵A、B的Moore—Penrose的逆给出了AXB=C有解的条件及有解时解集用Moors—Penrose逆的表示,如文选[1],本文试图不用矩阵Moore—Penrose逆的概念,仅用初等方法指出了AXB=O的解构成的解空间的维数,求其解空间的一个基的方法,对AXB=C的解给出了有类似于一般线性方程组的解结构表示。
一、关于齐次矩阵方程AXB=O的讨论定理1 齐次矩阵方程A<sub>m×n</sub>X （n×s）B（s×t）=O其中A为m×n矩阵,X为n×s矩阵,B为s×t矩阵,A、B的元素属于数域F,X为未知阵,些么（※?）式的解集M为矩阵空间F（n×s）的一个子空间,且若设秩A=r<sub>1</sub>,,秩B=r<sub>2</sub>,则M的维数为ns-r<sub>1</sub>r<sub>2</sub>。
证明（※?）的解集M构成F（n×s）的子空间是显然的。
【总页数】8页(P60-67)【作者】赵昌成【作者单位】【正文语种】中文【中图分类】O151.21【相关文献】1.矩阵方程AXB=C在对称矩阵类中有解的充要条件 [J], 夏方礼;肖翠娥2.自反矩阵下矩阵方程AXB＋CXD=E的最佳逼近解 [J], 孙合明;李庆芳;杨家稳3.矩阵方程AXB＋CYD=E的Hankel矩阵解 [J], 孙庆娟;王柄中4.矩阵方程AXB+CYD=E的Toeplitz矩阵解 [J], 孙庆娟;郭文彬;王柄中5.矩阵方程AXB=C的相容性与用“初等变换法”解矩阵方程 [J], 沈在德因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。
一类算子方程的解
Ｋ ｙｗｏｄ ： ｐ ｒｔ ｑ ａｉ ； ｏｅＰ ｎｏｅｉｖｒ ；ｏｅａｏ ｍａ ｉ；ｏ ｈ ｇｎ ｌ ｒｊｃ ｏ ｅ ｒｓ ｏ ｅ ｏ ｅ ｕ ｔ ｎ Ｍｏｒ—ｅ ｒｓ ｅｓ ｐ ｒｔ ｔｘ ｒ ｏｏ ａ ｐｏ ｔ ｎ ａｒ ｏ ｎ ｅ ｒ ｒ ｔ ｅｉ
文 献 ［ ．］ 论 了形 如 Ａ Ｂ 一 Ｘ Ａ ＝Ｃ算 子 方 程 的解 ．利 用算 子 分 块 技 巧 ， 献 ［ ］ 出 了 １２ 讨 Ｘ Ｂ 文 ３给 １× ２算子 矩 阵的 Ｍ ｏｅＰｎｏｅ逆 的矩 阵表 示 ，文献 ［ ］ 明 了算 子 方 程 Ａ ＝Ｘ ｏｒ．ｅｒｓ ４证 ＡＸ存 在解 的 充要 条 件， 文献 ［ ］ 究 了有 限维空 间 中正交 投 影特 征 值 函数 的性质 ．本 文利 用 算 子分 块 技 巧 ， 据 方 程所 ５研 根
Ｅ ｐ ｃａ ｙ ｗ ｅ ｎｏｔｏｏ ａ ｐｏ ｃｉ ｔｅｓｆｃ ｎ ａｄｎ ｃｓａ ｏｄｔ ｎ ｒ ｈ ｘｓ ｎｅｏ ｓｅｉ ｌ， ｈ ｎＢ ｉ ａ ｒ ｇｎｌ ｒ ｅｔ ｎＰ， ｈ ｕ ｉ ｔ ｎ ｅｅｓｒ ｃｎ ｉｏ ｓ ｏ ｅｅｉｅ ｃ ｆ ｌ ｓ ｈ ｊ ｏ ｉ ｅ ｙ ｉ ｆ ｔ ｔ
设 是 可分 的复 无 限维 Ｈｉｅｔ 间 ， （ ） 示 上 的 全 体 有 界 线 性 算 子．对 任 一 算 子 ｌ ｒ空 ｂ 表 Ａ∈取 ） （ ， （ 和 Ａ ， Ａ） Ｓ Ａ） 分别 表示 Ａ 的值域 、核空 间和伴 随．任给 的 闭子 空 间 ， 表 示 上 的正 交投影 ．
ｓ ｌ ｔ ｎ ｏ ｔ ｅ ｏ ｒ ｔｒ ｅ ｕ ｔ ｎ ＡＸＢ ＋ＢＸ Ａ ＝Ｃ ｎｄ ｔ ｅ ｒ ｐ ｅ ｅ ｔｔｏ ｆｓ ｌ ｔｏ ｒ ｓａ ｌｓ ｅ ｏ ｕ ｉ ｓｔ ｈ ｐｅ ａｏ ｑ ａ ｉ ｏ ｏ ａ ｈ ｅ ｒ ｓ ｎ ａｉｎ ｏ ｏｕ ｉｎｓｗｅ ｅ ｅ ｔｂ ｉｈ ｄ．
线性代数3-4、线性方程组的解的结构
- b1 2 - br 2 ,x 2 1 0 0
线性方程组 的通解
令 xr+1 = c1, xr+2 = c2, …, xn = cn-r ，则
x 1 - b1 1 c 1 - - b1 , n - r c n - r x r - br 1c1 - - br ,n - r c n - r x r +1 c1 xr+2 c2 xn cn-r - b1 1 - br 1 c1 1 0 0
前r列
后n-r列
x 1 - b1 1 x r + 1 - b1 2 x r + 2 - - b 1 , n - r x n , x 2 - b21 x r + 1 - b22 x r + 2 - - b2 ,n - r x n , x r - br 1 x r + 1 - br 2 x r + 2 - - br ,n - r x n .
- b1 1 - br 1 c1 1 0 0 - 1 0 0 + + cn-r - b1 , n - r - br ,n - r 0 0 1
不妨设 A 行最简形矩阵为
1 0 0 B 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 b1 1 b21 b r ,1 0 0 0 b1 , n - r b2 ,n - r br ,n - r 0 0 0 mn
矩阵方程AXB=C
矩阵方程C AXB =的定秩解及其最佳逼近问题第1章 绪论对于矩阵方程C AXB T =,刘瑞娟]2[利用矩阵对的商奇异值分解,得到了解非空的充要条件和解的最大(小)秩.1955年Penrose ]5[得到了C AXB =有解的充要条件和通解的表达式;1970年Lnacaster ]6[利用Kornecker 乘积和拉直映射也得到了它的一般解的条件和显式解;1976年，S.K.Mitra ]7[研究了它的Hermitian 解及非负定解的条件,并给出了两种解的表达式;1990年,戴华]8[研究了此方程在对称矩阵集合中的求解问题，利用矩阵对的广义奇异值分解得到了问题有对称解的条件和解的表达式；邓远北、彭向阳、雷渊]129[-等系统地研究了此方程在对称化矩阵、（反）对称矩阵、半正定矩阵、正交（反）对称矩阵、（反）自反矩阵集合中的等式约束解以及最小二乘解；2003年,廖安平]13[利用广义奇异值分解研究了它在对称半正定矩阵集合中的最小二乘解;2004年,彭亚新]14[用迭代法系统地研究了矩阵方程C AXB =的一般解 对称解 (反)中心对称解 (反)自反解 双对称解与对称次反对称解等问题.对于矩阵方程的定秩解问题及其最佳逼近,1972年，S ．K ．Mitra ]16[提出了线性矩阵方程(组)的定秩求解问题；于1984年，Sujit Kumar Mitra ]17[利用空间有关理论及秩的相关不等式，给出了矩阵方程组D XB C AX ==, 的极小秩及其它定秩的通解;Uhlig ]18[于1987年给出了矩阵方程 B AX =的可能秩的解；于1990年Mitra ]15[研究了矩阵方程组111C XB A = ,222C XB A = 的公共解的最小秩；Gross ]19[使用了广义逆给出了矩阵方程 B AXA =*的最大秩和最小秩的Hermitian 非负定解;Xiao Q F,Hu X Y,Zhang L ]35[于2009年研究了矩阵方程B AX =的对称最小秩解和最佳逼近解;2007年,雷渊]12[利用矩阵对的广义奇异值分解和标准相关分解研究了以下不相容矩阵方程和矩阵方组D AXB =,D BYB AXA T T =+ , [][]D C XB B XA A T T ,,= , [][]D C GXH AXB ,,=的最小二乘问题等价转换为相容矩阵方程的求解问题,并得到了相应的最小二乘解的表达式;于2009年，肖庆丰]4[对矩阵对利用广义奇异值分解，研究了矩阵方程B AX =的自反、反自反、中心对称、反中心对称矩阵的定秩求解的问题及最小秩解的最佳逼近问题，还研究了矩阵方程 B AX = 的对称、反对称矩阵反问题的定秩求解问题，并得到了相应的成果.第2章 秩约束下矩阵方程C AXB =的一般解及其最佳逼近 2.1引言秩约束下矩阵的求解问题是线性代数的重要研究课题之一.关于矩阵方程C AXB =的在秩约束下的一般解、最小秩和最小秩解的通式及其最佳逼近解、最大秩和最大秩解的通式.本章采用了RSVD 分解,对矩阵方程C AXB =的一般解的秩的情况进行了详细的分析,成功地获取了解的最大(小)秩及其定秩解的表达式.利用相应的结果,也获得了最小秩解的表达式和唯一最佳逼近解的表达式.2.2 提出问题问题I 给定矩阵m m m n n m R C R B R A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，非负整数s ，(i)求n n R X ⨯∈,使得C AXB =，且s X rank =)(; (ii)若有解,设X S }|{C AXB RX nn =∈=⨯,求M m ,~使得)(max ),(min ~X rank M X rank m XXS X S X ∈∈==,以及},)(|{~~X mS X m X rank X S ∈==.问题II 给定nn RX ⨯*∈,求~~m S X ∈使得||||min ||||~*∈*-=-X X X X mS X2.3 解决问题 2.3.1问题Ⅰ的解给定矩阵m m m n n m R C R B R A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，记:)(),(),(C rank r B rank r A rank r c b a ===[]⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡==0,,B A Crank r B C rank r A Crank r cab cb ca cab b ca b a cab r r r k r r r k -+=--=21,cb ca cab c cab a cb r r r r k r r r k --+=-+=43,引理 2.3.1 (RSVD 定理]1[)给定矩阵m m m n n m R C R B R A ⨯⨯⨯∈∈∈,,,则存在非奇异矩阵m m m m R N R M ⨯⨯∈∈,及正交矩阵n n n n OR V OR U ⨯⨯∈∈,，使得N M C N V B U M A C B T A ∑∑∑===,, (1.1)其中ca c ca r r k k r n Ar m r r k k k k I I I c ca a--⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--∑432143000000000000000000000，c cb b r m r r k k k k B r r k k r m I I I cb c cb --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=∑--4243210000000000000000000， ca cca r m r r k k k k CAB Cr m r r k k k k S I I I cb ccb --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--∑4321432100000000000000000000000000000， 其中0},,,{44211>≥≥≥=k k CAB diag S σσσσσ . 于是有如下定理:定理2.3.1 设矩阵m m m n n m R C R B R A ⨯⨯⨯∈∈∈,,分解如引理1，非负整数s ，则矩阵方程C AXB =有解n n R X ⨯∈的充要条件是:⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=--⎪⎩⎪⎨⎧===000,000321caba cb cab b ca b a cab r r r r r r r r r k k k 即， (1.2) 若矩阵方程C AXB =有解,则有(1) 矩阵方程C AXB =的通解表达式为:T CAB V Y S Y Y Y Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣=0004131141311, (1.3) 其中4131141311,,,,Y Y Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,CAB S V U ,,见引理1.(2) 矩阵方程C AXB =的解矩阵中最小秩及最小秩解为:最小秩为=~m cb ca cab c r r r r --+, (1.4) 且最小秩解为:T CAB CAB V S Y Y Y S Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00000311313131, (1.5) 其中3113,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S CAB ,,见引理1.(3) 矩阵方程C AXB =的解矩阵中最大秩及最大秩解为: 最大秩为,要考虑两种情况：第一，当},m in{},m in{},m in{b cb c c ca c c c r r r n r r r m r m r n --+--≥--时， },min{)(max 1c c cb ca cab c S X r m r n r r r r X rank M X--+--+==∈， (1.6)且相应的最大秩解为:T CAB V Y S Y Y Y Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004131141311, (1.7) 其中,4114,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取1313111Y S Y Y CAB--为行满秩或列满秩,V U S CAB ,,见引理1.第二，当},m in{},m in{},m in{b cb c c ca c c c r r r n r r r m r m r n --+--<--，},min{},min{)(max 2c ca c b cb c cb ca cab c S X r r r m r r r n r r r r X rank M X--+--+--+==∈,(1.8)且相应的最大秩解为:T CAB V Y S Y Y Y Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎢⎢⎢⎢⎣=0004131141311, (1.9) 其中,311311,,Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取4114,Y Y 为行满秩或列满秩,V U S CAB ,,见引理1.(3) 也要分两种情况:第一,对于1~M s m ≤≤,矩阵方程C AXB =的解矩阵中具有秩为s 的解为: T CAB V Y S Y Y Y Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004131141311, (1.10) 其中1441,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S C ,,见引理1,我们可以选133111,,Y Y Y使得-=--s Y S Y Y rank CAB)(1313111cb ca cab c r r r r ++-. 第二,对于2~M s m ≤≤,矩阵方程C AXB =的解矩阵中具有秩为s 的解为: T CAB V Y S Y Y Y Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004131141311, (1.11) 其中133111,,Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S C ,,见引理1,我们可以选1441,Y Y 使得-=+s Y rank Y rank )()(4114cb ca cab c r r r r ++-.证明 给定m m m n n m R C R B R A ⨯⨯⨯∈∈∈,,,RSVD 分解由引理1给出，则N XV U M N M AXB C B T A C ∑∑∑-=- N XV U M B T A C )(∑∑∑-= 令XV U Y T =,则有rank AXB C rank =-)())((N XV U M B T A C ∑∑∑- rank =)(∑∑∑-B A C Y将Y 作如下分块:⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=44434241343332312423222114131211Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y YY Y Y Y Y , 则ca cca r m r r k k k k CAB BA Cr m r r k k k k Y Y YY Y S Y Y Y I YI I Y cb c cb --⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡---------=---∑∑∑43214443423433322423224321000000000000000000000000，在上式中，由)4,3,2,4,3,2(==j i Y ij 的任意性，得到)(min )(min ∑∑∑-=-B A C Y rank AXB C rank 321k k k ++= cab cb ca r r r -+=因此，矩阵方程C AXB =是可解的0)(min =-⇔AXB C rank X⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-+=--⎪⎩⎪⎨⎧===⇔000,000321caba cb cab b ca b a cab r r r r r r r r r k k k 即(1)易知若矩阵方程C AXB =是有解,即0321===k k k 时,则解的一般表达式为T UZV X =,其中c ca c r r k r m CAB r r k r n Y S Y Y Y Y Z b cb c --⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--441311413114000,其中4131141311,,,,Y Y Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S CAB ,,见引理1. (2)记X S 为相容矩阵C AXB =的解集合,即 }|{T X UZV X X S ==;由高斯块变换，得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-00000000411413131114131141311Y S Y Y S Y Y T Y S Y Y Y Y CAB CAB CAB , 则有4)(min )(min )(min k T rank Z rank X rank ZS X X===∈，因此有，0,0,41141313111===-Y Y Y S Y Y CAB容易得知:====∈4)(min )(min ~k Z rank X rank m ZS X Xcb ca cab c r r r r --+,且最小秩解为: T CAB CAB V S Y Y Y S Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-00000311313131, 其中3113,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S CAB ,,见引理1. 记m S ~为相容矩阵C AXB =的最小秩解集合,即},~)(|{~X m S X m X rank X S ∈==(3)由(2)中的矩阵T 可得, 矩阵方程C AXB =的解矩阵中最大秩为: 要考虑两种情况：第一，当},m in{},m in{},m in{b cb c c ca c c c r r r n r r r m r m r n --+--≥--时， },min{)(max 1c c cb ca cab c S X r m r n r r r r X rank M X--+--+==∈，且相应的最大秩解为:T CAB V Y S Y Y Y Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004131141311, 其中,4114,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取1313111Y S Y Y CAB--为行满秩或列满秩,V U S CAB ,,见引理1.第二，当},m in{},m in{},m in{b cb c c ca c c c r r r n r r r m r m r n --+--<--，},min{},min{)(max 2c ca c b cb c cb ca cab c S X r r r m r r r n r r r r X rank M X--+--+--+==∈,且相应的最大秩解为:T CAB V Y S Y Y Y Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004131141311, 其中,311311,,Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵，我们总可以选取4114,Y Y 为行满秩或列满秩,V U S CAB ,,见引理1.(4) 也要分两种情况:第一,对于1~M s m ≤≤,我们可以选133111,,Y Y Y 使得 -=--s Y S Y Y rank CAB )(1313111cb ca cab c r r r r ++-,则矩阵方程C AXB =的解矩阵中具有秩为s 的解为:T CAB V Y S Y Y Y Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004131141311, 其中1441,Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S C ,,见引理1.第二,对于2~M s m ≤≤,我们可以选1441,Y Y 使得 -=+s Y rank Y rank )()(4114cb ca cab c r r r r ++-,则矩阵方程C AXB =的解矩阵中具有秩为s 的解为:T CAB V Y S Y Y Y Y U X ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0004131141311, 其中133111,,Y Y Y 是具有相应维数的任意矩阵,V U S C ,,见引理1 .证毕.第三章 矩阵方程C AXB =的自反解及其最佳逼近 3.1 引言秩约束下矩阵的求解问题是线性代数的重要研究课题之一.关于矩阵方程C AXB =的在秩约束下的对称解、最小秩和最小秩对称解的通式及其最佳逼近解、最大秩和最大秩对称解的通式.本章采用了RSVD 分解,对矩阵方程C AXB =的对称解的秩的情况进行了详细的分析,成功地获取了对称解的最大(小)秩及其定秩解的表达式.利用相应的结果,也获得了最小秩对称解的表达式和唯一最佳逼近解的表达式.3.2 提出问题问题Ⅰ给定矩阵m m m n n m C C C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,， 求)(P C X nn R⨯∈,使得C AXB =， 若有解,记X S }|{C AXB C X n n =∈=⨯问题II 给定nn CX ⨯*∈,求X S X ∈~使得||||min ||||~*∈*-=-X X X X XS X 3.3问题Ⅰ的解设C P ∈nn ⨯，且I P P P H ==2,，则称P 为广义反射矩阵.本文中的P 均为广义反射矩阵.设n n C X ⨯∈,若X 满足PXP X =,则称X 为关于P 的自反矩阵.所有关于P 的自反矩阵的全体记为X C X P C n n nn R|{)(⨯⨯∈=}PXP =. 引理3.3.1]33[ 矩阵)(P C X nn R⨯∈的充要条件是X 可以表示为: HU X X U X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210 (3.1)其中U P I rank r C X C X n p n p n p p ),(,,)()(21+=∈∈-⨯-⨯为酉矩阵且由P 唯一确定.引理3.3.2]34[ (广义奇异值分解(GSVD)) 给定l m n m C C C A ⨯⨯∈∈,，则存在酉矩阵l l n n OC V OC U ⨯⨯∈∈11,以及非奇异矩阵m m C W ⨯∈1使得∑∑==C A V W C U W A 1111, (3.2) 这里l m C n m A C C ⨯⨯∑∑∈∈,，并且()()C A r C r A r t A r r C A r k -+===)()(),(,,k m rk t t r S I rn tt r A A AA ---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--∑0000000000，,0000000000km r k t t r I S rk tk t r l C CCC ---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---+∑其中,A I 和C I 为单位矩阵,A 0和C 0为零矩阵，并且 ),,,(),,(1,1t C t A diag S diag S ββαα ==其中10,0111<≤≤<>≥≥>t t ββαα ，而.,,1,122t i i i ==+βα 3.3.1问题Ⅰ的解现在考虑问题Ⅰ，取U 如（3.1）式，记⎥⎦⎤⎢⎣⎡==2121),,(B B B U A A AU H , (3.3)其中)(,,,,)(21)(21P I rank r C B C B C A C A n m r n m r r n m r m +=∈∈∈∈⨯-⨯-⨯⨯而矩阵对),(),,(2121H H B B A A 的广义奇异值分解如下:11211121,V M A U M A A A ∑∑==, (3.4) 22222121,V M B U M B H H B H B H ∑∑==, (3.5)其中酉矩阵)()(22)()(11,,,r n r n r r r n r n r r OC V OC U OC V OC U -⨯-⨯-⨯-⨯∈∈∈∈,非奇异矩阵m m m m C M C M ⨯⨯∈∈21,,这里)(21,r n m A r m A C C -⨯⨯∈∈∑∑,并且+===)(),(),,(1111211A rank t A rank r A A rank k),()(212A A rank A rank -;∑∑-⨯⨯∈∈)(21,r n m B r m B C C H H ,并且r r B B rank k HH ==22),,(21+=)(),(112H H B rank t B ank ),()(212H H H B B rank B rank -,11111111111111000000000k m r k t t r S I r r t t r AA AA ---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--∑， 1111111111112222000000000k m r k tt r I S r k t k t r r n AA A A ---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---+-∑, 222222222211110000000000k m r k t t r S I r r t t r B B B B H HH H ---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=--∑, 22222222222222220000000000k m r k t t r I S r k t k t r r n B B B B H HHH ---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=---+-∑, 于是有以下定理:定理3.3.1给定m m m n n m C C C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,，非负整数s 和广义反射矩阵n n C P ⨯∈B U AU H ,按(3.3)式进行分块,矩阵对),(),,(2121H H B B A A 的广义奇异值分解由(3.4)(3.5)式给出,则矩阵方程C AXB =有自反矩阵解的充要条件是:)3,2,1(0),4,3,2,1(0,0,0443113======j C i C C C j i , (3.6)并且若(3.6)式成立,则矩阵方程C AXB =有自反矩阵解的一般表达式为:HHH U YV V ZU U U X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212100, (3.7) 其中11113332312312222121113112112222122111)(r r t t r Z Z Z Z S S Y S C S C S Z S C C Z t r t t r B B A A A B H H H--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=------, 1111113313231231222113121122222222r k t k t r r n C S C Y C S Y Y Y Y Y Y r k t k t r r n B A H ---+-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---+---,312221323113,,,,),3,2,1(,Y Y Y Z Z i Y Z i i =,是具有相应维数的任意矩阵,H H B B A A S S S S V V U U 2121,,,,,,,2121见(3.4)(3.5)式,1(=i C ij333223,,),2,1,2,C C C j =见①式.证明 给定m m m n n m C C C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,,由引理3.3.1，对)(P C X nn R⨯∈,有 HU X X U X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=210, 其中)()(21,p n p n p p C X C X -⨯-⨯∈∈,由)2,1(,=i B A i i 的定义,矩阵方程C AXB =有自反矩阵解等价于矩阵方程：C B X A B X A =+222111, 有一般解.下面来解矩阵方程C B X A B X A =+222111,矩阵对),(),,(2121H H B B A A 分解如(3.4),(3.5)式 令=),(21X X F C B X A B X A -+222111,有=),(21X X F C V M X V M U M X U M H B A H B A H H -+∑∑∑∑)()(22211221112211C M V X V M M U X U M H H H A H H H A H B H B -+=∑∑∑∑22211221112211∑∑∑∑---+=H HH H A H H A M CM M V X V U X U M H B H B 22112212111)(2211令H H V X V Y U X U Z 221211,==,则有)),((21X X F rank ))((221112211∑∑∑∑---+=H HH A H A M CM M Y Z M rank H B H B )(2112211∑∑∑∑---+=HH A H A CM M Y Z rank H B H B 将1211,,--CM M Y Z 作如下分块：11113332312322211312112222r r t t r Z Z Z Z Z Z Z Z Z Z t r t t r --⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=--， 111111333231232221131211222222r k t k t r r n Y Y Y Y Y Y Y Y Y Y r k t k t r r n ---+-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---+-， 111111444342413433323124232221141312111211222222k m r k t t r C C C C C C C C C C C CC C C C CM M k m r k t t r ---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=-----, ① 则有∑∑∑∑---+HH A H A CM M Y Z H B H B 211221111111144434241343333323231242323222222212114131212111122222222221111k m r k t t r C C C C C C Y C S Y C C C Y S C S Y S S Z S C Z S C C C S Z C Z k m r k t t r B A B A B A A B H H H H ---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----------+-----=---， 在上式中，由于)3,2,3,2(),2,1,2,1(====l k Y j i Z kl ij 的任意性，可知)),((m in 21X X F rank )(m in 2112211∑∑∑∑---+=HH A H A CM M Y Z rank H B H B则矩阵方程0),(21=X X F 有解的充要条件是：)3,2,1(0),4,3,2,1(0,0,0443113======j C i C C C j i .易知,若阵方程0),(21=X X F 有解,解的一般表达式为:HHH U YV V ZU U U X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212100,其中11113332312312222121113112112222122111)(r r t t r Z Z Z Z S S Y S C S C S Z S C C Z t r t t r B B A A A B H H H--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=------, 1111113313231231222113121122222222r k t k t r r n C S C Y C S Y Y Y Y Y Y r k t k t r r n B A H ---+-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---+---,312221323113,,,,),3,2,1(,Y Y Y Z Z i Y Z i i =,是具有相应维数的任意矩阵,H H B B A A S S S S V V U U 2121,,,,,,,2121见(3.4)(3.5)式,1(=i C ij333223,,),2,1,2,C C C j =见①式.3.3.2问题Ⅱ的解由问题Ⅰ的解,易知矩阵方程C AXB =的自反矩阵解集合是一个闭凸集,因此问题Ⅱ一定存在唯一的最佳逼近.因为)(P C n n R ⨯是n n C ⨯的一个子空间，令⊥⨯))((P C n n R表示)(P C nn R ⨯的正交补空间,则对任意的n n C X ⨯*∈,有***+=21X X X其中)(1P C X n n R⨯*∈,⊥⨯*∈))((2P C X n n R .因为)(1P C X nn R ⨯*∈,由引理3.3.1知: HU X X U X ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=***2211100 利用矩阵的广义奇异值分解表达式中的酉矩阵2121,,,V V U U 和引理(3.1)式中的U ,对给定的H H V X V U X U 22212111,**进行如下分块: ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=**********3332312322211312112111W W W W W W W W W U X U H,⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=**********6665645655544645442122W W W W W W W W W V X V H , (3.8)于是有如下定理:定理 2.3.2 设矩阵m m m n n m C C C B C A ⨯⨯⨯∈∈∈,,分解式为(3.4)(3.5)式,且(3.6)式成立.给定nn C X ⨯*∈,则问题Ⅱ存在唯一的最佳逼近解)(~P C X nn R⨯∈,且它可表示为:H HH U YV V ZU U U X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=212100~, (3.8) 其中,11113332312315522121113112112222122111)(r r t t r W WW W S S W S C S C S W S C C Z t r t t r B B A A A B HH H--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--****-*--*- 1111113313264231555446454422222222r k t k t r r n C S C W C S W W W W W Y r k t k t r r n B A H---+-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=---+--*-*****,312221323113,,,,),3,2,1(,Y Y Y Z Z i Y Z i i =,是具有相应维数的任意矩阵,H H B B A A S S S S V V U U 2121,,,,,,,2121见(3.4)(3.5)式,1(=i C ij333223,,),2,1,2,C C C j =见①式.证明 对于给定的n n C X ⨯*∈,有如下分解:***+=21X X X ,其中)(1P C X nn R⨯*∈,⊥⨯*∈))((2P C X n n R . 利用酉矩阵对Frobenius 范数的不变性和范数的基本性质，对于~mS X ∈,有22212212*****+-=--=-X X X X X X X X因此,*∈*∈-⇔-12~~min min X X X X mmS X S X ,而2121221001**-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-X U YV V ZU U U XX H H H 2221121210000⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡=**X X YV V ZU U HH 2222121121**-+-=X YV V X ZU U H H2222122111H H V X V Y U X U Z **-+-=22323221211213132121122111111**-**-*-+-+-+-+-=WZ WC S WZ WSC WC A B H2333323232231312221222211221)(****---+-+-+--+W Z W Z W Z WSS Y S C S H H B B A A 25623125522254212461324512244112*-*****-+-+-+-+-+-+W C S W Y W Y W Y W Y W Y A 26633265132264312**-*-+-+-+WC WSC WY H B*∈*∈-⇔-1~m in m in X X X X mXS X S X ?**--**==-==⇔31312212222123231313,)(,,1221W Z W S S Y S C S W Z W Z H H B B A A *******=======5522542146134512441133333232,,,,,,W Y W Y W Y W Y W Y W Z W Z将上式代入(3.7)式,得(3.8)式.证毕.参考文献：[1] D.L.Chu,B.D.Moor.On a variational formulation of QSVD and the RSVDL.A.A.,2000(311)：61-78[2] 刘瑞娟.几类约束矩阵方程的定秩解的问题.长沙理工大学,2008,1-43 [3] 肖庆峰.秩约束下几类矩阵方程问题及其最佳逼近问题.湖南大学数学与计量经济学院,2009,1-106[5] Penrose R.A geralized inverse for matrices.Proc Cambridge PhilosSoc,1955,5:406-413[6] Lancaster P.Explicit solutions of Linear matrix equations.SIAMReview,1970,72(4):544-566[7] Khatai C G,Mitra S K.Hermitian and nongative definite solutions oflinear matrix equations. SIAM Journal on Applied Mathematics,1976, 31(4):576-585[8] Dai H.On the symmetric solutions of linear matrix equations.LinearAlgebre and Its Application.1990,131:1-7[9] 邓远北.几类线形矩阵方程的解与PROCRUSTES 问题:[湖南大学博士论文].长沙:湖南大学数学与计量经济学院,2003,1-99[10]Peng X Y,Hu X Y,Zhang L.The reflexive and anti-reflexive solutions of the matrix equation C XB A H =. Journal of Computational and Applied Mathematics,2007,200:749-760[11]彭向阳.几类特殊约束矩阵方程问题及其最佳逼近问题:[湖南大学博士文].长沙:湖南大学数学与计量经济学院,2006,1-138[12]雷渊.求解一类矩阵最佳逼近问题的理论和算法:[湖南大学博士论文].长沙:湖南大学数学与计量经济学院,2007,1-134[13]Liao A P,Bai Z Z.Least squares solutions of D AXB =over symmetricpositive semidefinte mareices. Journal of ComputationalMathematics ,2003,21(2):175-182[14]彭亚新.求解约束矩阵方程及其最佳逼近的迭代法研究:[湖南大学博士文].长沙:湖南大学数学与计量经济学院,2004,1-142[15]Mitra S K.A pair of simultaneous linear matrix equations ,111C XB A =222C XB A = and a matrix programming problem. Linear Algebre and Its Application.1990,131:107-123[16]Mitra S K.Fixed rank solutions of linear matrix equations.SankhyaSer.A.,1972, 35: 387-392[17]Mitra S K.The matrix equation D XB C AX ==,.Linear Algebre and ItsApplication,1984,59:171-181 [18]Uhlig F .On the matrix equation BAX= with applications to the generators of controllability matrix.Linear Algebre and ItsApplication,1987,85:203-209[19]Gross J.Nonnegtive-definite and positive-definite solution to the* revisited. Linear Algebre and Its Applica- matrix equation BAXA=tion.2000,321:123-129[33]Peng Z Y,Hu X Y.The reflexive and anti-reflexive solutions of thematrix equation BAX=. Linear Algebre and Its Application,2003,375:147-155[34]Paige C C,Saunders M A.Towards a generalized singular value decom-Position.SIAM Journal on Numerical Anaysis,1981,18:398-405[35]Qing-Feng Xiao,Xi-Yan Hu,Lei Zhang.The Symmetric Minimal RankSolution of the Matrix Equation BAX= and the Optimal Approxim- ation.Electronic Journal of LINEAR Algebra.2009,(18):264-273(SCI)。
希尔伯特空间上一算子方程的解
ｏ
Ｈ
ａ
摘 要 ： 据算 子 Ａ 的 Ｍｏ ｒ— ｅ ｒ ｓ 逆 ， 希 尔伯 特 空间上给 出了一个对称 性有界 线性 算 根 ｏ ｅＰ ｎｏ ｅ 在
子 方程在 限 制条件 下有 解的充要 条件 ， 并得 到 了该 方程在 此条件 下通 解的 具体表 达式．
滨
州 Ｂ
关键 词 ： ｏ ｅ ｅ ｒ ｓ 逆 ； Ｍｏ ｒ— ｎｏ ｅ Ｐ 算子 等式 ； 尔伯 特 空间 希 文献标 识码 ： Ａ 文章 编号 ：６ ３— ６ ８ ２ １ ） ３ ０ ８ —０ １ ７ ２ １ （０ ０ ０ — ０ ２ ４
引理 ２ 设 Ａ∈ Ｌ（ ， ） 闭 的值域 ， Ｅ Ｌ Ｈ ． Ｈ Ｈ。 有 （ ） 则算 子 方程 （ ） ３ 有解 Ｅ Ｌ（ ， ） Ｈ Ｈ 当且仅 当
Ｂ 一 ～ Ｂ ， Ｉ— Ａ４ Ｂ（ （ ） Ｊ～ Ａ４ ）一 ０ ． （ ５）
此 时 方 程 （ ）的 一 般 解 的 表 达 式 为 ３
个算 子 Ａ ∈ Ｌ（ ， ） 满 足 Ａ Ａ— Ａ， 一 Ｈ Ｈ ， Ａ 则称 Ａ是广 义可逆 的 ， 且 Ａ广义 可逆 当且 仅 当Ｒ（ 是闭 的． 并 Ａ）
若存 在唯 一的算 子 ｘ ∈ Ｌ（ ， ） 足以下 ４个等 式 Ｈ。 Ｈ 满
ＡＸＡ — Ａ ， ＡＸ — Ｘ ， ＡＸ ） 一 Ａ ， Ｘ ） ＝ Ｘ ， Ｘ （ Ｘ （Ａ Ａ
解 的表 达 式 ． 此 基 础 上 ， 究 了 在 研
ＡＸＢ 一 ＢＸ Ａ 一 Ｃ （） ２
在希尔 伯特 空间上 的解 的表达 式．
１ 主要 结 论
引理 １ 设 Ａ ∈ Ｌ（ Ｈ： Ｈ ， ）是可逆 的 ， ∈ Ｌ Ｈ ） 则算 子等式 Ｂ （ ．
2022年军队文职人员招聘(数学1)考试题库(完整版)
2022年军队文职人员招聘（数学1）考试题库（完整版）一、单选题1.袋中共有5个球，其中3个新球，2个旧球，每次取1个，无放回的取2次，则第二次取到新球的概率是()。
A、3/5B、3/4C、2/4D、3/10答案：A2.A、AB、BC、CD、D答案：D3.A、0.4B、0.6C、0.5D、0.3答案：A解析：4.设函数，则f（x）有（）。
A、1个可去间断点，1个跳跃间断点B、1个可去间断点，1个无穷间断点C、2个跳跃间断点D、2个无穷间断点答案：A解析：根据函数的定义知，x＝0及x＝1时，f（x）无定义，故x＝0和x＝1是函数的间断点。
因同理故x＝0是可去间断点，x＝1是跳跃间断点。
5.A、AB、BC、CD、D答案：A 解析：6.A、AB、BC、CD、D答案：D解析：7.A、连续，偏导数存在B、连续，偏导数不存在C、不连续，偏导数存在D、不连续，偏导数不存在答案：C解析：8.A、P(X≤λ)=P(X≥λ)B、P(X≥λ)=P(X≤-λ)C、D、答案：B9.设E（X）＝1，E（Y）＝2，D（X）＝1，D（Y）＝4，ρXY＝0.6，则E（2X－Y ＋1）2＝（）。
A、5.6B、4.8C、2.4D、4.2答案：D解析：10.已知两直线的方程L1：（x－1）/1＝（y－2）/0＝（z－3）/（－1），L2：（x＋2）/2＝（y－1）/1＝z/1，则过L1且与L2平行的平面方程为（）。
A、（x－1）－3（y－2）＋（z＋3）＝0B、（x＋1）＋3（y－2）＋（z－3）＝0C、（x－1）－3（y－2）＋（z－3）＝0D、（x－1）＋3（y－2）＋（z－3）＝0答案：C解析：11.设随机变量X,Y相互独立,它们的分布函数为Fx(x),FY(y),则Z=max{X,Y)的分布函数为().A、AB、BC、CD、D答案：B解析：FZ(z)=P(Z≤z)=P(max{X,Y}≤z)=P(X≤z,Y≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)-FX(z)F Y(z)，选(B).12.设，，则（）。
解形如ax+b=c的方程教学设计新部编版
学生：会列出形如 ax±b=c 的方程，并说明自己的想法。
（2）师：解这个方程的关键是把什么看做一个整体？
先
学生：把 5x 看做一个整体。
学 （3）学生独立完成，教师巡视，个别指正，指名三名学生板演。
后
师：你会解形如 ax±b=c 的方程吗？
教
学生：独立完成。
师：教师巡视，个别指正，指名三名学生板演。
练习题的设计我注意了针对性和层次性，让学生逐渐体会解 ax±b=c 的方 程的求解过程,并会用此类方程来解决实际问题。
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
教学 1、会根据等式的基本性质解 ax±b=c 的方程。
重难 2、知道 ax±b=c 这类方程的检验过程。
点
教具 多媒体设备
学具 教学 ppt
准备
教法 先学后教 当堂训练
学法
新授型
教学过程
一、课前口算
（ ）×2=18
（ ）÷15=2
1.5×（ ）= 6
（ ）×5.6=11.2
（ ）÷3= 8
（ ）×1.5=6
精品教学教案设计 | Excellent teaching plan
教师学科教案
[ 20 – 20 学年度 第__学期 ]
任教学科：_____________ 任教年级：_____________ 任教老师：_____________
xx 市实验学校
育人犹如春风化雨，授业不惜蜡炬成灰
精品教学教案设计 | Excellent teaching plan
三、后教（议一议）
师：做完的同学认真观察板演的学生的解题过程，看是否相同，如果不同
你是怎么想的？
（1）学生评议。由学生（差、中、优）进行评议，说思路，说方法。
(期末复习精炼)人教版数学九年级上册课件：第二十一章一元二次方程复习课件
条件：一般情势中，当二次项系数含字母已知数时，必
须找出a≠0这个隐含的前提条件，避免出错.
【例1】（202X潍坊）若关于x的一元二次方程kx2-
2x+1=0有实数根，则k的取值范围是
.
易错提示：解这类题时，学生往往忽略二次项系数不为
零这一条件，而得到错误结果k≤1.
本章易错点归总
正解：∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0有实数根， ∴Δ=b2-4ac≥0，即4-4k≥0. 解得k≤1. 又∵关于x的一元二次方程kx2-2x+1=0中k≠0， ∴k≤1且k≠0. 答案:k≤1且k≠0
考点1 一元二次方程及其相关概念
5. 关于x的一元二次方程（m-1）x2+2x+m2-5m+4=0，
常数项为0，则m的值等于（ B ）
A. 1
B. 4
C. 1或4
D. 0
6. 将一元二次方程-3x2-2=-4x化成一般情势为（ A ）
A. 3x2-4x+2=0
B. 3x2-4x-2=0
C. 3x2+4x+2=0
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正解:原方程可化为3x2-5x-2=0. ∵a=3，b=-5，c=-2, ∴Δ=（-5）2-4×3×（-2）=49.
∴x= ∴x1=2， x2=
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三、当方程两边都含有某个未知数的相同因式时，在不 能保证相同因式不为0的前提下，两边同时除以这个相 同因式，得到一元一次方程求解，从而导致失根. 【例3】解一元二次方程：（3x+1）2=9x+3. 易错提示：将原方程变形得到（3x+1）2=3（3x+1）， 两边再同时除以（3x+1）得3x+1=3，从而解得x= 错误的原因有两个：一是将方程两边同时除以 （3x+1），造成了漏根，二是在不清楚3x+1的值是
一种求矩阵方程AXB=C最小二乘对称解的迭代法
一种求矩阵方程AXB=C最小二乘对称解的迭代法彭卓华【摘要】提出一种迭代法求最小二乘问题min ||AXB-C||的对称解.通过这种方法.给定初始对称矩阵X1,在没有舍入误差的情况下,经过有限步迭代,找到它的一个对称解.并且,通过选择一种特殊的初始对称矩阵,得到它的最小范数对称解X.另外,给定矩阵X0,通过求解最小二乘问题min ||AXB-C||(其中C=C-AX0B),得到它的最佳逼近对称解.【期刊名称】《赣南师范学院学报》【年(卷),期】2008(029)003【总页数】3页(P15-17)【关键词】迭代法;矩阵方程;对称解;最小范数解【作者】彭卓华【作者单位】湖南科技大学数学与计算科学学院,湖南,湘潭,411201【正文语种】中文【中图分类】O241.61 引言与预备知识用Rm×n,SRn×n和R分别表示m×n实矩阵,n×n实对称矩阵和实数的集合.Sn(Sn=(en,en-1,…e1))表示n×n反单位矩阵(ei表示n×n单位矩阵的第i列).上标T和+分别表示矩阵的转置和Moore-Penrose广义逆.设A,B∈Rm×n，定义A与B的内积为<A,B>=tract(BTA)，那么，由这种内积生成的范数，显然就是Frobenius范数，我们用‖A‖来表示.R(A)表示A的列空间，υec(·)表示拉直算子，即其中，A=(a1,a2,…an)∈Rm×n,ai∈Rm,(i=1,2,…,n)),A⊗B表示A与B的Kronecker乘积.矩阵方程问题在计算数学中是非常活跃的研究课题之一，在结构设计、生物学、电学、固体力学、动力系统、自动控制系统、振动理论等领域中有着广泛的应用[1-4].本文讨论下列两类问题:问题I 给定A∈Rm×n,B∈Rn×p和C∈Rm×p，求X∈SRn×n,使‖AXB-C‖=min.问题II 设问题I的解集合为SE，给定X0∈SRn×n,求使很多人研究了线性矩阵方程AXB=C，例如，H.Dai[5], K.E.Chu[6], F.J.HenkDon[7], J.R.Magnus[2], G.R.Morris[8]等. 他们已经找到了这个方程的解存在的充分必要条件及其表达式. 使用的方法是矩阵分解(奇异值分解(SVD)，广义奇异值分解(GSVD等).然而，在一般情况下，这些方法在子空间(比如说SRn×n)内解诸如AXB=C这样的矩阵方程问题有点困难，而且解的表达式比较复杂.Y.X.Peng[3]提出了一种解矩阵方程AXB=C对称解的迭代法，并证明了这种方法在有限步内收敛. 但是，这种方法对最小二乘问题却无能为力.问题II经常出现在实验设计中. 关于问题II，建议读者查看文献[1-4].2 用迭代法求问题I和问题II的解引进下述记号：M(X)=ATAXBBT+BBTXATA，G=ATCBT+BCTAP(X)=G-M(X),Pk=P(Xk)算法(1)输入矩阵A∈Rm×n,B∈Rn×p,C∈Rm×p和X1∈SRn×n;(2)计算R1=C-AX1B;P1=G-M(X1);Q1=M(P1);k：=1;(3)如果Rk=0或Pk=0,那么停止; 否则,k:=k+1;(4)计算Rk+1=C-AXk+1B;转3.引理1 若E∈SRn×n,H∈SRn×n,则<M(E),H>=<E,M(H)>.证明<M(E),H>=<ATAEBBT+BBTEATA,H>=<ATAEBBT,H>+<BBTEATA,H>=<E,ATAHBBT>+<E,BBTHATA>=<E,ATAHBBT+BBTHATA>=<E,M(H)>引理2[9] 对于算法中Pi和Qi，如果存在一个正整数k，对所有的i=1,2,…,k,满足Pi≠0,那么，<Pi,Pj>=0,<Qi,M(Qj)>=0(i,j=1,2,…,k,≠ij).引理3[9] 算法中的Pi和Qi,满足引理4 假定X*是问题I的一个解，那么,对任意初始对称矩阵X1, 算法中的矩阵列{Xi},{Pi}和{Qi}满足证明由引理3 容易证明.引理4表明，如果Pi≠0,那么,M(Qi)≠0(i=1,2,…),从而Qi≠0.定理1 对任意初始矩阵X1∈SRn×p, 算法经过有限步终止于问题I的一个解.证明如果Pi≠0(i=1,2,…,n2),那么,根据引理4得，M(Qi)≠0以及Qi≠0，从而由算法可得Xn2+1,Pn2+1.由引理2可知<Pi,Pn2+1>=0，(i=1,2,…,n2)而<Pi,Pj>=0，(i,j=1,2,…,n2,i≠j)故P1,P2,…,Pn2是矩阵空间SRn×n的一组正交基, 从而Pn2+1=0，即Xn2+1是问题I一个解.引理5[3] 设最小二乘问题：‖My-b‖2=min有一个解y0∈R(MT)，则y0必为此问题的唯一的极小范数解.定理2 对于问题I，若取初值X1=ATHTBT+BHA,其中H为任意p×m矩阵，特别地，取X1=0，则此算法经过有限步迭代终止于问题I的唯一的极小范数对称解. 证明由算法和定理1知，若取X1=ATHTBT+BHA(其中H为任意p×m矩阵)，则经过有限步迭代可得问题I的解X*，且X*可表示为：X*=ATYTBT+BYA，其中Y为任意p×m矩阵.下面证明X*即为问题I的极小范数解. 考虑最小二乘问题(2.1)显然，求解问题I等价于求解问题(2.1)，因此，我们只需证明X*为问题(2.1)的唯一的极小范数解即可.记υec(X)=x,υec(X*)=x*,υec(YT)=y1,υec(Y)=y2,υec(C)=c1,υec(CT)=c2,则问题(2.1)等价于下面的问题(2.2)而x*=υec(ATYTBT+BYA)=(B⊗AT)y1+(AT⊗B)y2=∈R由引理5知，x*是问题(2.2)的唯一的极小范数解，而拉直映射是同构的，因此，X*是问题(2.1)的唯一的极小范数解. 从而X*是问题I的唯一的极小范数解.对于问题II，当给定对称矩阵X0,X∈SE时，则等价于令则问题II等价于求下述问题的最小二乘解(2.3)利用此算法，取特殊初始矩阵(H为任意p×m矩阵),特别地，取可得问题(2.3)唯一极小范数解从而问题II的最佳逼近解为【相关文献】[1] Z.Y.Peng, X.Y. Hu and L. Zhang, The inverse problem of bisymmetric matrices[J]. Numerical Linear Algebra with Applications, 2004(1): 59-73.[2] J.R.Magnus, L-structured matrices and linear matrix equation[J]. Linear Multilinear Algebra Appl.1983,14:67-88.[3] Y.X. Peng, X.Y. Hu and L. Zhang, An iteration method for the symmetric solutions and the optimal appromation solution of the matrix equation AXB=C[J]. Applied Mathematics and Computation,2005,160(3): 763-777.[4] M. Baruch, Optimization Procedure to Correct Stiffness and Flexibility Matrices Using Vibration Tests[J]. AIAA J., 1978,16:1208-1210.[5] H. Dai, On the symmetric solutions of linear matrix equations[J]. Linear Algebra Appl., 1990,131: 1-7.[6] K.E.Chu,Symmetric solutions of linear matrix equations by matrix decompositions[J]. Linear Algebra Appl.,1989,119: 35-50.[7] F.J.Henk ,On the symmetric solution of a linear matrix equation[J]. Linear Algebra Appl. 1988,93:1-7.[8] G.R.Morris,P.L.Odell,Common solution for matrix equation with application[J]. Assoc. Comput. Mach. 1968,15:272-274.[9] 彭卓华，胡锡炎，张磊.一类矩阵方程的最小二乘双对称解及其最佳逼近[J].湖南大学学报，2007，34(9):78-81.。