高考数学总复习 1-2 命题及其关系 充分条件与必要条件课后演练知能检测 北师大版

(时间：60分钟，满分：80分)
一、选择题(共6小题，每小题5分，满分30分)
1．(2012年蚌埠模拟)以下三个命题：
①命题“若x ＝2则x 2
＝4”的逆否命题；
②“α＝π4
”是“sin 2α＝1”的充分不必要条件； ③命题“若q ≤1，则x 2＋2x ＋q ＝0有实根”的否命题，其中正确的命题个数是( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：①②③都是真命题，故选D.
答案：D
2．(2012年北京西城区期末)命题“若a ＞b ，则a ＋1＞b ”的逆否命题是( )
A ．若a ＋1≤b ，则a ＞b
B ．若a ＋1＜b ，则a ＞b
C ．若a ＋1≤b ，则a ≤b
D ．若a ＋1＜b ，则a ＜b
解析：“若a ＞b ，则a ＋1＞b ”的逆否命题为“若a ＋1≤b ，则a ≤b ”，故选C.
答案：C
3．(2012年日照月考)命题：“设a 、b 、c ∈R ，若ac 2>bc 2，则a >b ”及其逆命题、否命题、
逆否命题中真命题共有( )
A ．3个
B ．2个
C ．1个
D ．0个
解析：原命题的逆命题是：“若a >b ，则ac 2>bc 2”，不正确．
如c ＝0时，不成立；原命题的否命题是：“设a ，b ，c ∈R ，若ac 2≤bc 2，则a ≤b ”，不正确，如c ＝0；原命题的逆否命题与原命题等价，因为原命题真，故其逆否命题亦真，因此原命题及其逆否命题是真命题．
答案：B
4．(2012年乌鲁木齐高三二模)已知直线l ，m ，其中只有m 在平面α内，则“l ∥α”是“l
∥m ”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：若l ∥α，且m ⊂α，则l 与m 平行或异面；若l ∥m ，l 不在平面α内，而m 在平面α内，则l ∥α.综上所述，“l ∥α”是“l ∥m ”的必要不充分条件，选B. 答案：B
5．(2012年西安五校第一次模拟)“a ＜－2”是“函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点
x 0”的( )
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
解析：当a ＜－2时，由f (x )＝ax ＋3＝0得，x ＝－3a ∈⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，32⊂[－1,2]；由函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点x 0得，x 0＝－3
a
∈[－1,2]，此时a ＝3也成立．因此，“a ＜－2”是“函数f (x )＝ax ＋3在区间[－1,2]上存在零点x 0”的充分不必要条件，选A. 答案：A
6．(2012年合肥模拟)已知条件p ：(x ＋1)2>4，条件q ：x >a ，且綈p 是綈q 的充分而不必要
条件，则a 的取值范围是( )
A ．a ≥1 B．a ≤1
C ．a ≥－3
D ．a ≤－3
解析：由(x ＋1)2>4得x >1或x <－3，
∴p ：x >1或x <－3，
∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件，即p 是q 的必要不充分条件，
∴p ⇒/q ，但q ⇒p ，∴a ≥1.
答案：A
二、填空题(共3小题，每小题5分，共15分)
7．若“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，则a 的最大值为________．
解析：由x 2＞1，得x ＜－1或x ＞1，
又“x 2＞1”是“x ＜a ”的必要不充分条件，知“x ＜a ”可以推出“x 2＞1”，反之不成立，所以a ≤－1，
即a 的最大值为－1.
答案：－1
8．若命题“ax 2－2ax －3＞0不成立”是真命题，则实数a 的取值范围是________．
解析：ax 2－2ax －3≤0恒成立，
当a ＝0时，－3≤0成立；
当a ≠0时，得{ a ＜0，Δ＝4a 2＋12a ≤0，解得－3≤a ＜0， 故－3≤a ≤0.
答案：[－3,0]
9．(2012年皖南八校联考(三))“a ＞1”是“函数f (x )＝log a x －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)有两个零
点”的________条件．(从充分性和必要性两个方面作答)
解析：若函数f (x )＝log a x －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)有两个零点，即函数y ＝log a x 的图像
与直线y ＝x －2有两个交点，结合图像易知，此时a ＞1；当a ＞1时，函数f (x )＝log a x －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)有两个零点，故“a ＞1”是“函数f (x )＝log a x －x ＋2(a ＞0，且a ≠1)有两个零点”的充要条件．
答案：充要
三、解答题(共3小题，满分35分)
10．判断命题“若a ≥0，则x 2
＋x －a ＝0有实根”的逆否命题的真假．
解析：法一：写出逆否命题，再判断其真假．
逆否命题：若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0.
判断如下：
∵x 2＋x －a ＝0无实根，
∴Δ＝1＋4a ＜0，
∴a ＜－14
＜0， ∴“若x 2＋x －a ＝0无实根，则a ＜0”为真命题．
法二：利用命题之间的关系：原命题与逆否命题同真同假(即等价关系)证明． ∵a ≥0，∴4a ≥0，
∴4a ＋1＞0，
∴方程x 2＋x －a ＝0的判断式Δ＝4a ＋1＞0，
∴方程x 2＋x －a ＝0有实根，
故原命题“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”为真命题．
又因原命题与其逆否命题等价，
所以“若a ≥0，则x 2＋x －a ＝0有实根”的逆否命题为真命题．
11．设p ：关于x 的不等式a x ＞1的解集是{x |x ＜0}，q ：函数y ＝lg(ax 2－x ＋a )的定义域为R ，
如果p 和q 有且仅有一个为真，求a 的取值范围．
解析：若p 真，则0＜a ＜1；
若p 假，则a ≥1或a ≤0；
若q 真，由{ a ＞0，Δ＝1－4a 2＜0，得a ＞12
； 若q 假，则a ≤12
. 又p 和q 有且仅有一个为真，
当p 真q 假时，0＜a ≤12
； 当p 假q 真时，a ≥1.
综上，得a ∈⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12∪[1，＋∞)． 12．已知p ：{}x | { x ＋2≥0，x －10≤0，q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．若綈p 是綈q
的必要不充分条件，求实数m 的取值范围．
解析：法一：p ：{}
x | { x ＋2≥0，x －10≤0＝{x |－2≤x ≤10}，
∴綈p ：{x |x ＜－2或x ＞10}．
又由q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}得：
綈q ：{x |x ＜1－m 或x ＞1＋m ，m ＞0}． ∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，
∴綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒/綈q ，
∴{ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，
或{ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10，解得
m ≥9，
∴m 的取值范围是[9，＋∞)．
法二：p ：{}x | { x ＋2≥0，x －10≤0
＝{x |－2≤x ≤10}， q ：{x |1－m ≤x ≤1＋m ，m ＞0}．
∵綈p 是綈q 的必要不充分条件，
即綈q ⇒綈p ，但綈p ⇒/綈q ，
它等价于p ⇒q ，但q ⇒/p .
∴{ m ＞0，1－m ≤－2，1＋m ＞10，
或{ m ＞0，1－m ＜－2，1＋m ≥10， 解得m ≥9.
∴m 的取值范围是[9，＋∞)．。