变式教学——《利用导数研究函数单调性》教学设计

变式教学：一题多问、一题多解、一题多变教学模式——“利用导数研究函数单调性的解题课”教学设计【课例解析】1 教材的地位与作用本节课是人教版《数学（选修2-2）》第一章导数及其应用，§1.3.1函数的单调性与导数的第二课时解题课．导数是微积分的核心内容之一，它有极其丰富的实际背景和广泛应用，导数更是研究函数性质的强有力的工具，在解决函数单调性、最大值和最小值等问题时，不但避开了初等函数变形的难点，证明的繁杂，而且使解法程序化，变“巧法”为“通法”，优化解题策略、简化运算，具有较强的工具性作用．在应用导数研究函数单调性教学的过程中，体会导数的思想及其内涵．2 学情分析在本节之前学生已经学习了导数的实际背景和基本概念．学生能理解导数的数学意义、物理意义及几何意义．掌握了常函数、幂函数、正余弦函数、指数函数、对数函数的导数．掌握了导数的运算法则．已经初步了解了导数与函数单调性的关系，并能利用导数解决简单的函数单调性问题．本节课此基础上进一步运用导数解决和函数单调性有关的问题，对大多数学生来说，有足够的能力掌握本节知识．学生已经初步具有对数学问题自主探究的意识和能力，当然也存在较大的个体差异．需要在教学过程中加以个别指导．【方法阐释】采用心智数学教育方式中变式教学模式进行教学：主要分“创设情景、引入新课，自主探究、成果展示，变式训练、巩固落实，归纳总结、提升拓展”四个教学环节．对探究性问题，教师要启发引导学生按照“弄清题意—拟订计划—执行计划—反思回顾”四个解题环节独立完成．指导学生通过小组交流、成果展示等形式检查自己的思维方式和对解题步骤格式．通过问题变式，使学生经历数学问题及解决方法的推广和运用．学生已经了解和掌握了导数与函数单调性的关系，并能利用导数的知识解决简单的函数单调性问题的方法，但是对含有参数的函数的单调性问题（确定单调区间问题或已知函数的单调性确定参数范围问题等），由于教材中没有涉及，因此是一个盲点，本节课教学设计旨在搭设台阶，降低坡度，通过对问题的不断变化，进行不断探索和比较，引导学生从基础入手，通过分析、对比辨析、归纳、推理、变式教学反例分析来探究解题方法，进行问题解决，使学生形成正确的解题方法，在学习中让学生学会探究、分析，并学会合作学习．【目标定位】1知识与技能目标理解函数的单调性与其导数的关系，能利用求导的方法探求函数的单调性和单调区间．2过程与方法目标经历使用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题的求解过程．通过分析、归纳、推理、对比辨析、变式教学来探究解题方法，并能通过各类问题的解法对比，感受和掌握导数在函数单调性问题解决过程中的应用．3 情感、态度与价值观目标感受导数为解决单调性问题提供的新思路、方法和途径，激发学生探究知识的兴趣和欲望．2 教学的重点与难点本节课的重点是理解函数单调性与其导数的关系，利用导数解决求函数单调区间和已知单调区间求参数范围问题．难点是解决含参数的函数单调性问题中参数范围的确定及分类讨论等数学思想方法的运用．【课堂设计】一、创设情景、引入新课教师：我们已经学习了函数导数的计算方法和运算法则，并且知道利用导数可以求出函数的单调区间，请同学们自己动手以下探究性问题.探究性问题：求下列函数的单调区间．1．函数f(x)=x3-3x+1的单调递减区间．2．函数f(x)=x2 e x的单调区间．3．（05年北京）已知函数f(x)=-x3+3x2+9x+a，求f(x)的单调减区间.二、自主探究、成果展示学生独立解决后，小组内学生交流，相互纠正解题中出现的问题．教师：利用导数求函数的单调区间有哪几个步骤？学生1：第一步，求函数导数；第二步，建立导函数不等式，使f(x)>0的区间为原函数的增区间，使f(x)<0的区间为函数的减区间；第三步，回答单调区间．教师利用实物投影展示在巡视的过程中发现的格式步骤不全、格式步骤规范、格式步骤较多但混乱无序等学生解题过程，规范学生解题思维和书写格式．教师：第3题中的参数a对函数的增减性会不会产生影响？为什么？学生2:对函数增减性不会产生影响．从函数图像变换看，常数项a的影响就是图像形状不改变，只进行上下平移；从函数的导函数看，参数a是常数，其导数为0.不会对其导函数产生任何影响．我的思考：设计探究性问题，主要目的是使学生进一步熟练导数研究单调性的方法，规范解题格式步骤；其次，三个导函数题都与二次函数有关，且用到指数函数的性质，进一步强化二次不等式的解法和指数函数性质，让学生体会导数问题的综合性．再次，第3题中设置了参数a，在此不需单独讨论，但在老师的追问下，有些学生已经意识到有时要对a进行讨论，为下面针对参数的分类讨论埋下伏笔．三、变式训练、巩固落实适当改变探究性问题的形式，提出新的问题，进行变式训练我的思考：学生在解决这类问题时往往容易忽视函数的定义域以及使导数为零的点的处理，因此针对以上可能出现的问题，设计几个变式习题，让学生首先独立思考，出现问题，然后通过生生和师生的交流，共同分析正确的解题方法，完善对问题的全面和完整解决．变式1：求函数f(x)=0.5x2-ln x的单调区间.这是针对容易忽视定义域而设计的问题，很多学生没有考虑到定义域出现错误答案：单调增区间为(-1,0),(1,+∞)，单调减区间为(-∞,-1),(0,1)；还有同学得出单调增区间为(-1,0)∪(1,+∞)．师生剖析错因：（1）解决函数的解析式、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性等问题时，必须首先求出函数的定义域，函数的解析式和定义域是函数的两大要素.(2)函数的单调区间必须是单个的区间不能使区间的并集，也不能写成集合的形式{x|x<-1}．正确解法：原函数的定义域为(0,+∞)，单调增区间为(1,+∞)，单调减区间为(0,1).变式2：将前面第2题改编为：求函数f(x)=x2 e ax的单调区间.学生在独立解决问题时，容易忽视讨论或讨论不全，或不会进行讨论，让学生分组合作交流，各组选出代表在黑板上展示，教师可结合学生板演情况进行又针对性地讲解．正确的解答过程应为：函数的定义域为R.对函数求导f’(x)=2xe ax+ax2e ax=e ax(ax2+2x)，当a=0时，函数的单调增区间为(0,+∞)，函数的单调减区间为(-∞,0)；当a>0时，函数的单调增区间为(-∞,-2/a)和(0,+∞)，函数的单调减区间为(-2/a,0)；当a<0时，函数的单调增区间为(0,-2/a)，函数的单调减区间为(-∞,0)和(-2/a,+∞).我的思考:含有参数的数学问题既是重点又是难点，也是学生的薄弱环节，通过解决这类问题，锻炼学生的运算能力和分类讨论思想的运用能力，教学中从简单到复杂，循序渐进，学生能通过类比和对比，更容易理解和掌握．另外，a>0和a<0两种情况下，0与-2/a的大小变化学生容易忽视，教师点评时也要特别强调．变式3：求函数f(x)=√x-ln (x+1)的单调增区间.针对学生易错点：忽视使导数为零的点的讨论而造成解题不完整而设计的．还是首先让学生自己解决，交流解题方法．很多学生会出现错误答案：单调增区间为(0,1)和(1,+∞)为了说明问题，把问题特殊化．提出新的问题：我们通过函数图像或利用函数单调性的定义已经证实了函数y=x3在R上为单调增函数，请同学们利用导数再探求该函数的单调区间，看有什么发现．部分同学得到单调增区间是(-∞,0), (0,+∞)，这与以前学习的结论出现矛盾，怎样解决呢？再思考问题：我们已证明了反比例函数y=1/x的单调性，请同学们利用导数再探求该函数的单调区间，看有什么发现．所得的单调减区间是(-∞,0), (0,+∞)，与以前学习的结论相同.我的思考：遇到难以解决的问题时，往往要把问题特殊化，与我们已掌握的熟悉问题进行对比分析．比较以上两个问题，请各小组讨论，对比、总结一下规律.师生共同分析得到：当使导数等于零的解存在时，需对导数等于零的点进行如下处理：若在该点两侧的导数值符号相同，且函数在该点处连续，则将两个增减性相同的区间合并；若在该点两侧的导数值符号相同，而函数在该点处函数不连续，则不能将将两个区间合并．此题中函数在x=1处是连续的，且在x=1两侧导数的符号相同，因此，该函数的递增区间为(0,+∞).我的思考：这一组变式训练主要是通过对基础题组的解题方法、步骤的变式设置的．通过以上这组变式问题，学生注意到易错的忽视定义域、在导数为0点左右符号相同时的处理方式等方面，并能对含参数的函数进行合理的分类讨论，增加解题的正确率，锻炼学生的分析能力和解题能力．教师：我们再对问题进一步深化，采用逆向思维方式，交换题目的条件和结论，来看根据已知函数的单调性来确定参数范围．变式4:已知函数f(x)=（1/3）x3-(4a-1)x2+(15a2-2a-7)x+2在R上是增函数，求实数a的取值范围.我的思考：解决这类问题易错点是忽视参数端点的取舍，为此设计变式4，使学生在在出错体验后进行问题解决，加深对知识的掌握．在问题给出后，鼓励学生独立思考后将各自的解题思路进行交流，再在全班进行交流．教师巡视后发现学生的解题思路有以下几种：思路一：求)7215()14(2)(22'--+--=a a x a x x f ，解不等式0)('>x f⇔0)7215()14(222>--+--a a x a x由于该不等式不会解，从而受阻.思路二： 函数2)7215()14(31)(223+--+--=x a a x a x x f 在R 上是增函数⇔0)('>x f 在R 上恒成立⇔∆0<恒成立，解得实数a 的取值范围为（2，4）. 通过投影对比展示学生两种解答后，大部分学生能看到解法一不正确，解法二思路是正确的． 教师：反思一下我们的解法二，发现当a < 2或 a > 4时，∆0>，问题不成立．但a = 2或a = 4时∆= 0，情况又会怎样？学生进一步计算后发现：a = 2或a = 4时∆= 0，导函数除在一点为0外，其余各区间均大于0．同以上变式3可知，这时函数单调区间可以连续起来． 解：若函数2)7215()14(31)(223+--+--=x a a x a x x f 在R 上是增函数， 则)('x f 大于或等于零在R 上恒成立⇔∆0≤恒成立，解得实数a 的取值范围为[2，4].针对变式4中学生出现的两种思路，教师再提出问题：请同学们思考下面这个问题：变式5、（1）若函数23)(3+-=ax x x f 的单调递减区间为（2,0）求实数a 的取值范围．（2）若函数23)(3+-=ax x x f 的在区间（2,0）上单调递减，求实数a 的取值范围．我的思考：“单调递减区间为（2,0）”与“在区间（2,0）上单调递减”是两个截然不同的问题情境．设计这个变式题组，一是让学生辨析这两种不同叙述的含义，二是对变式4两种思路的进一步明晰．学生独立思考，然后进行生生交流，最后统一答案．（1）解：令导数0)('<x f ，即0332<-a x a x <⇔2，再讨论a 的符号， 当a >0时，解得a x a <<-，所以函数)(x f 的单调减区间为),(a a -，函数23)(3+-=ax x x f 的减区间为（2,0），则（2,0）),(a a -=， 所以2=a ，即4=a ；当a=0时，函数的导数0)('>x f 恒成立．所以a = 0时函数23)(3+-=ax x x f 不存在单调减区间；当0<a 时，函数的导数0)('>x f 总成立．所以0<a 时函数23)(3+-=ax x x f 不存在单调减区间，综上所述，若函数23)(3+-=ax x x f 的单调递减区间为（2,0）则4=a .（2）函数23)(3+-=ax x x f 的在区间（2,0）上单调递减函数 ⇔0)('≤x f 在区间（2,0）内恒成立⇔0332≤-a x 在区间（2,0）内恒成立⇔a x 332≤在区间（2,0）内恒成立，⇔23x 在区间（2,0）内的最大值小于等于3a ，即a 312≤所以 4≥a .该题是前面变式问题的综合展现．所以学生能很快完成问题的求解．对个别仍存在模糊认识的同学，在教师引导下，学生会很快发现问题进行纠正．我的思考：此题旨在锻炼学生的审题能力和对数学语言精确性和严密性的考查.“函数在某区间内单调”和“函数的单调区间是某区间”，前者说明所给区间是该函数单调区间的子集，后者说明所给区间恰好是函数的单调区间．因此在解题中一定要养成认真审题的好习惯．四、归纳总结、提升拓展最后，反思解题方法，归纳总结解题规律：1.如何确定函数的单调区间？在运算过程中，注意哪几个注意事项？2.函数单调的充要条件是什么？3.已知单调区间或在某个区间上单调时如何计算参数的值或范围？让学生自己通过对所解问题进行总结归纳，反思自己的问题.课外思考作业:教师设计相应的习题，进一步巩固本节课所学知识和方法．1、（05.湖南）若函数)0(,221ln )(2≠--=a x ax x x f 存在单调减区间，求实数a 的取值范围. 2、若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间（1，4）内为减函数，在区间),4(+∞上为增函数，求实数a 的值. 3、（04年全国）若函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间（1，4）内为减函数，在区间),6(+∞上为增函数，求实数a 的取值范围.4、（1）求函数2)(3+-=ax x x f 的单调区间.（2）（06年山东）求函数)1ln()1()(++-=x a ax x f ，其中1-≥a ，求)(x f 的单调区间.【教学链接】微分学的中心问题是求曲线的切线和运动物体的瞬时速度．两者殊途同归，都导致了微分学的产生．费马是较早研究曲线切线的数学家，早在1629年他已有初步设想．1637年在手稿《最大值和最小值的方法》中具体给出了求切线的方法．费马应用它的方法，解决了许多难题．虽然其方法缺乏严密性，但它具有微分学的现代标准方法形式．费马的研究给后来牛顿发明系统的微积分理论奠定了基础．牛顿曾说：“我从费马的切线作法中得到这个方法的启示，我推广了它，把它直接地并且反过来应用于抽象的方程．”牛顿于1665年11月发明正流数术（微分法），1666年5月建立反流数术（积分法）．1666年10月写成一篇总结性论文，在朋友与同事中传阅，现以《1666年10月流数简论》著称．这是历史上第一篇系统的微积分文献．将正反微分运算用于16类问题，展示了牛顿算法的普遍性与系统性．1687年，牛顿的名著《自然哲学及数学原理》出版，首次公开表述了他的微积分方法．此时距他创造微积分已过去22年．莱布尼兹与牛顿有许多相似之处，都是留名青史的哲学家，都是对多种学科有重大科学贡献的学者．其中最相似的贡献就是几乎同时各自独立发明了微积分．1666年莱布尼兹写成《论组合术》，讨论平方序列的性质．1675年发明了不定积分符号，同时注意到微分与积分必定是相反的过程，断定作为求和过程的积分是微分的逆．这一结果的得出虽稍晚于牛顿的同类结果，但是独立得到的．二者使用的方法也不同，故后人将此称为牛顿—莱布尼兹公式．随着17世纪末悬链问题（1690年），最速降线问题（1696年）以及等周问题的提出与解决．令数学界耳目一新．很快显示出微积分作为一种数学方法的强大功效．[资料来源] 梁宗巨、王青建、孙宏安.世界数学通史（下册·二）.沈阳：辽宁教育出版社.2005,1.【教有所思】（1）结合学生的实际情况，设计问题从基础入手，逐步加深难度，针对在利用导数求函数的单调性问题中常见的几类问题和解题中常见的错误设计一系列问题，环环连接，使学生始终处于积极思考和探索讨论中，形成良好的课堂氛围，为良好的课堂效果打下基础．（2）本节课中，教师始终针对学生的问题进行变换和引导，总是让学生考虑，学生讨论，锻炼学生独立解决问题的能力和合作学习的能力，形成自己的数学思想方法，更触发了学生积极思考、勤奋探索的动力，开发学生的智慧源泉，实现了举一反三的效果，同时也符合新教材课堂理念，以培养学生能力为主，学生是课堂的主体；突出数学课的特点——教会学生如何解题．（3）对问题情景的设计和对学生出现的问题进行分析研究时所采用的方式方法，仍然是教师应该进一步改善和探索研究的主题.。