行列式的定义和性质及若干应用论文
行列式的计算技巧及其应用毕业论文【范本模板】
本科生毕业论文(设计)题目: 行列式的计算技巧及应用学生姓名：谢芳学号: 201210010133专业班级：数学与应用数学12101班指导教师：颜亮完成时间： 2016 年 5 月目录摘要.。
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1 关键词.。
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1 0、前言。
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1 1、基础知识及预备引理.。
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2 1.1行列式的由来及定义。
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..2 1.2行列式的性质。
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3 1。
3拉普拉斯定理及范德蒙德行列式的定义....。
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4 2、行列式的计算方法。
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.4 2。
1定义法。
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..4 2.2利用行列式的性质（化三角型）计算.。
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5 2.3拆行(列）法...。
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6 2。
4加边法（升阶法）。
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.6 2。
5范德蒙德行列式的应用。
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.7 3、n阶行列式的计算。
范德蒙行列式及应用论文
范德蒙行列式及应用论文范德蒙行列式，又称范德蒙行列，是数学中的一个重要概念，它在线性代数、向量空间、微积分等领域有着广泛的应用。
范德蒙行列式由荷兰数学家范德蒙（Vandermonde）首先提出，它的定义和性质在很多数学分支中都发挥了重要的作用，特别是在矩阵理论、数论、代数学等领域，范德蒙行列式都有着深远的影响。
范德蒙行列式的定义是：对于给定的n个不同的数a1,a2,...,an，范德蒙行列式定义为：a1 a2 ... ana1^2 a2^2 ... an^2a1^3 a2^3 ... an^3... ... ... ...a1^n a2^n ... an^n即为由这些数按照一定顺序排列而成的矩阵行列式，其中ai^k表示ai的k次幂。
范德蒙行列式的值可以通过列主元化简为非零值，从而成为一个n阶矩阵行列式。
范德蒙行列式的应用非常广泛，下面我们来谈谈范德蒙行列式在数学中的一些重要应用。
首先，在线性代数中，范德蒙行列式是矩阵的一个重要特征，它可以用来描述矩阵的性质和结构。
通过范德蒙行列式，我们可以判断矩阵的秩、可逆性、行列式值等信息，进而用于解线性方程组、矩阵变换、特征值特征向量的求解等问题。
其次，在微积分中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
在多元函数的求导、积分、微分方程的求解过程中，常常需要用到雅可比行列式，而雅可比行列式与范德蒙行列式有着密切的关系。
通过范德蒙行列式，我们可以求解多元函数的偏导数、雅可比行列式的值，从而解决相关的微分方程和积分问题。
另外，在数论中，范德蒙行列式也有着重要的应用。
由于范德蒙行列式的特殊性质，它经常出现在数论中的不同问题中，例如组合数学、数列求和、多项式插值等方面。
通过范德蒙行列式，我们可以推导出一些数学定理和结论，解决一些数论问题。
除了以上提到的领域外，范德蒙行列式还在代数学、几何学、概率论、信号处理、图论等领域有着重要的应用。
它不仅是数学理论研究的基础，还是许多工程技术问题的解决工具。
行列式的性质及应用论文
行列式的性质及应用论文行列式是线性代数中的重要概念，它具有许多重要的性质和广泛的应用。
本文将从性质和应用两个方面来探讨行列式的相关内容。
首先，我们来讨论行列式的性质。
行列式是一个标量，它可以表示矩阵所围成的平行四边形的面积或者体积。
行列式的计算可以通过拉普拉斯展开定理、三角矩阵法和克拉默法则等方法来进行。
下面是行列式的一些重要性质：1. 行列式的性质一：行列式的值与行列式的转置值相等。
即，对于一个n阶方阵A，有det(A) = det(A^T)。
2. 行列式的性质二：行列式的值等于它的任意两行（或两列）互换后的值的相反数。
即，如果将矩阵A的第i行和第j行进行互换，那么有det(A) = -det(A')，其中A'是矩阵A进行行互换后的矩阵。
3. 行列式的性质三：如果矩阵A的某一行（或某一列）的元素全为零，则行列式的值为零。
即，如果A的某一行（或某一列）所有元素都为零，则有det(A) = 0。
4. 行列式的性质四：行列式的某一行（某一列）的元素都乘以一个常数k，等于用该行（该列）的元素乘以k的行列式的值。
即，如果将矩阵A的第i行的所有元素都乘以k，那么有det(A) = k * det(A')，其中A'是矩阵A进行行数乘k后的矩阵。
行列式的这些性质使得我们可以通过简单的操作来计算复杂矩阵的行列式，从而简化线性代数的运算。
接下来，我们来探讨行列式的应用。
行列式在数学和工程中有广泛的应用，下面举几个例子：1. 线性方程组的解：行列式可以用来求解线性方程组的解。
对于一个n阶方阵A和一个n维向量b，如果det(A)≠0，那么方程组有唯一解；如果det(A) = 0，那么方程组无解或有无穷多解。
2. 矩阵的逆：行列式可以用来判断一个矩阵是否可逆。
对于一个n阶方阵A，如果det(A)≠0，那么A是可逆的，且其逆矩阵的行列式为1/det(A)。
3. 平面和体积的计算：行列式可以用来计算平面和体积的面积或体积。
范德蒙行列式的若干应用论文--大学毕业设计论文
海南师范大学目录第一章. 绪论1.1引言- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 1 1.2范德蒙行列式的证明- - - - - - - - - - - - - - 11.2.1 用数学归纳法证明范德蒙行列式1.2.2 用定理证明范德蒙行列式1.3范德蒙行列式的性质- - - - - - - - - - - - - - 4 第二章. 范德蒙行列式的推广与应用- - - - - - - - - 52.1范德蒙行列式在行列式计算中的应用2.2范德蒙行列式在求解n阶k循环行列式中的应用2.3范德蒙行列式在解决多项式的求根问题中的应用2.4范德蒙行列式在解答整除问题中的应用2.5范德蒙行列式在等差数列拆项中的应用2.6范德蒙行列式在微积分中的应用参考文献致谢范德蒙行列式的若干应用作者：高亚南指导教师：黄晓芬博士摘要: 行列式是线性代数的主要内容之一,它是线性代数的决定因素，这是在矩阵，线性方程，向量空间和线性变换之后的的基础上，具有一个非常重要的作用。
该n阶行列式是Vandermonde行列式著名的线性代数，它构建了一个独特而美丽的外形，而且还因为它具有广泛的应用前景，因而成为一个众所周知的决定因素。
范德蒙行列式不仅仅是极为重要的行列式之一，而且也是近代线性代数的一个分支。
范德蒙行列式的应用十分广泛，不仅应用于一些行列式的计算当中，而且它还可以于证明行列式的一些问题，一些关于多项式的证明以及数列拆项等问题上。
本文将从线性代数、多项式理论，行列式向量空间理论等方面进行研究证明。
关键词: 行列式;范德蒙行列式;微积分；多项式理论；Vandermonde Determinant Of ApplicationsAuthor:Gao Yanan Tutor:Doctor Huang XiaofenAbstract:The determinant is one of the main content of linear algebra, it is a major determinant of linear algebra, this is in the matrix, linear equations, vector Spaces andlinear transformation, on the basis of has a very important role. The n order determinant is a famous Vandermonde determinant of linear algebra, it constructed aunique and beautiful appearance, but also because it has a broad application prospect,thus become a well known determinant. Vandermonde determinant, is a kind of extremely important determinant, at the same time is a branch of modern linear algebra. V andermonde determinant application is more extensive, not only applied tosome determinant calculation, and it can also prove that the determinant of someproblem and some certificates and some of the characteristics about the polynomialvector linear independence on such issues. This article will from linear algebra, theoryof polynomial, calculus, determinant, etc are studied.Key words: Determinant, vandermonde determinant, infinitesimal calculus,theoryof polynomial第一章.绪论1.1引言范德蒙行列式，是具有深刻研究价值的行列式，同时也是近代线性代数的一个分支。
行列式的定义和性质及若干应用论文
行列式及其在初等数学中的应用【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组引言行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。
1 行列式的定义和性质1.1行列式的定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。
例1 nn D n 000000100200100计算行列式 . 解： n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n 1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n1.2行列式的性质行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。
例 2 一个n 阶行列式ij n a D 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij 则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明： 由 ji ij a a 知ii ii a a ，即n i a ii ,2,1,0 .故行列式可表示为000321323132231211312n nnn nn n a a a a a a a a a a a a D , 由行列式的性质'A A ，000)1(0000321323132231211312321323132231211312n n n n nn n nnnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D n n D 1 .为奇数时，得当n , n n D D 因而得0 n D . 2行列式的若干应用2.1 行列式在线性方程组中的一个应用设含有n 个变元的1 n 个一次线性方程组为.0,0,0,122,111,122221*********n n n n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 设方程组（1）的系数矩阵A 的秩是1 n , 不失一般性, 假定不等于零的1 n 阶行列式是nn n n nn a a a a a a a a a A ,13,12,122322113121. 行列式1A 中的元素, 就是矩阵A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.我们把n x x x ,,,32 看作是未知数, 1x 是已知数, 解方程组(1), 得11A x d x i i),,3,2(n i （2） 式中i d 是行列式1d 的第1 i 列元素换以1,12111,,, n a a a 所成的行列式. 也就是nn i n n i n n n ni i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,11,13,12,121,2211,2232211,1111,11312. 把i d 中第1 i 列移到第一列, 得nn i n i n n n ni i n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112)1(. 上式右边的行列式用i A 表示, 行列式i A 是矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素所组成. 故i i i A d 2)1( .代入（2）式, 得112)1(A x A x i i i , 或111)1(A x A x i i i . 结论[2]: 方程组（1）中的n x x x ,,,21 与n n A A A A 1321)1(,,,, 成比例, 式中i A ),,2,1(n i 是从矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素做成的行列式.3行列式在初等代数中的几个应用3.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例3.1.1 分解因式：323232323232b ac c ba a cb b ca a bc c ab .解: 222222()()()abc bc b c a c ac ab a b 原式()()()abc bc c b ab a c ab b a 111111c a a abc bcacabb c b111010bc a bcaabc ab c abc ab bc c a ac b ac bc b a()()()()abc ab bc b a ac bc c a()()()()abc b a c b a c a b c a()()()abc a b c a b c .例3.1.2 分解因式: ))((4)(2d b c a bc ab cd .解: 原式2()2()cd ab ab bc bc cd cd ab22()(2)cd abab cd bcbc cd ab cd bc1(2)2()1cd abab cd bc bc cd2(2)ab cd bc .3.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例3.2.1 已知0 c b a , 求证abc c b a 3333.证明： 令abc c b a D 3333, 则0000321acb b ac acbb ac c b a c b a c b a acbb a cc b a D r r r . 命题得证.例3.2.2已知,1,1,1 ay cx cy bx by ax 求证222c b a ca bc ab .证明： 令)(222c b a ca bc ab D , 则0000111111213c ba cb a cy bx cbay cx a c by ax b a c ba cb a D yc x c c命题得证.例3.2.3 已知0 c b a , 求证a c c b b a c a b c a b 333333.证明： 令)(333333c a b c a b a c c b b a D , 则21312222222222221111c c c c ab bc caab bc ab ca abbc ab ca abD cb ac a c b c a c b c()()()()()()b c a b c b c a c b a c a c()()()()b c a c a b c a c而0 c b a , 则0 D , 命题得证.4． 行列式在解析几何中的几个应用4.1 用行列式表示公式4.1.1 用行列式表示三角形面积以平面内三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 为顶点的PQR 的面积S 是11121332211y x y x y x (3) 的绝对值.证明: 将平面),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 三点扩充到三维空间, 其坐标分别为112233(,,),(,,),(,,)x y k x y k x y k , 其中k 为任意常数. 由此可得：2121(,,0)PQ x x y y u u u r , 3131(,,0)PR x x y y u u u r则21213131(0,0,)x x y y PQ PR x x y y u u u r u u u rPQR 面积为1sin ,2S PQ PR PQ PR u u ur u u u r u u u r u u u r=12PQ PR u u ur u u ur2121313112x x y y x x y y11212131311102x y x x y y x x y y11223311121x y x y x y . 4.1.2 用行列式表示直线方程直线方程通过两点),(11y x P 和),(22y x Q 的直线PQ 的方程为01112211 y xy x y x . （4） 证明: 由两点式, 我们得直线PQ 的方程为212212y y y y x x x x .将上式展开并化简, 得021122121 y x y x y x y x xy xy此式可进一步变形为0111122112121y x y x x x yy y x此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证. 4.1.3 应用举例例 :若直线l 过平面上两个不同的已知点11(,)x y , 22(,)x y , 求直线方程. 解: 设直线l 的方程为0 c by ax , 不全为0, 因为点),(),,(2211y x y x 在直线l 上, 则必须满足上述方程, 从而有.0,0,02211c by ax c by ax c by ax 这是一个以c b a ,,为未知量的齐次线性方程组, 且c b a ,,不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即01112211 y x y x y x . 则所求直线l 的方程为0112211 y x y x . 同理, 若空间上有三个不同的已知点),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x z y x , 平面S 过C ,, , 则平面S 的方程为01111333222111 z y x z y x z y x z y x . 同理, 若平面有三个不同的已知点),(),,(),,(332211y x C y x y x , 圆O 过C ,, , 则圆O 的方程为0111133232322222211212122 y x y x y x y x y x y x y xy x . 4.2 行列式在平面几何中的一些应用4.2.1 三线共点平面内三条互不平行的直线.0,0,0333322221111 c y b x a L c y b x a L c y b x a L 相交于一点的充要条件是0333222111 c b a c b a c b a . 4.2.2 三点共线平面内三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 在一直线的充要条件是0111332211y x y x y x . 4.2.3 应用举例例: 平面上给出三条不重合的直线:00333322221111 c y b x a L c y b x a L c y b x a L , 若0333222111 c b a c b a c b a , 则这三条直线不能组成三角形. 证明：设1L 与2L 的交点为),(11y x P , 因为1112223330a b c a b c , 将第1列乘上1x , 第2列乘上1y , 全加到第3列上去, 可得：1111111222121233313130a b a x b y c a b a x b y c a b a x b y c . 因为P 在1L 与2L 上, 所以111110a x b y c , 且112121231313220()a b a x b y c a x b y c a b 11223331313000a b a b a b a x b y c若1111122220a b a bL a b a b 与2L 平行, 若P c y b x a 031313也在3L 上321,,L L L 交于一点,无论何种情形, 都有321,,L L L 不组成三角形.这说明由0333222111c b a c b a c b a , 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.4.3 行列式在三维空间中的应用4.3.1 平面组设由n 个平面方程构成的方程组为.0,0,022221111n n n n d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a （5）若方程组(5)中的z y x ,,各代以t zt y t x ,,, 并用)0( t t 乘以(5)式两端: 得.0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a n n n n （6）),,,(t z y x 叫做点),,(z y x 的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵n n n c b a c b a c b a A 222111 及n nn n d c b a d c b a d c b a B22221111的秩)(A r 及)(B r 有关系. 现在分别叙述如下： (Ⅰ)当0)()( B r A r , 则方程组中各系数全是0.(Ⅱ)当,1)(,0)( B r A r 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解0 t .当0 t ,t x ,t y , t z将趋近于无穷大（假设t 趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这n 个平面在无穷远重合.(Ⅲ)当1)()( B r A r , 则在矩阵A 及B 中所有二阶行列式全是0. 所以我们有),,2,1,(.n j i d d c c b b a a ji j i j i j i以上等式表示n 个平面相合成一个平面01111 d z c y b x a .(Ⅳ)当,2)(,1)( B r A r 方程的系数中至少有两组数如ii i i d c b a ,,,及jj j j d c b a ,,,满足以下关系式.jij i j i j i d d c c b b a a上式表示平面.0,0 j j j j i i i i d z c y b x a d z c y b x a平行但不相合. 也就是平面组中n 个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合.(Ⅴ),2)(,2)( B r A r 则矩阵A 及B 中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设2211 b a b a .我们必可求得ii i n m l ,,适合下式：),,4,3(.0,0,0,021212121n i d n d m d l c n c m c l b n b m b l a n a m a l i i i i i i i i i i i i i i i i式中0 i n , 否则行列式2211b a b a将等于0. 所以)()(122221111d z c y b x a m d z c y b x a l n t d z c y b x a i i ii i i i.以上等式表示平面).,,4,3(,0n i d z c y b x a i i i i经过直线,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a就是n 个平面全经过一条直线.（Ⅵ）当,3)(,2)( B r A r 并假定02211 b a b a方程组的系数至少有一组ii i i d c b a ,,,适合以下关系：0,0222111222111 iiiiiic b a c b a c b a c b a c b a c b a （i 是n ,,4,3 中的一数）以上第一个等式表示组中第i 平面i i i i d z c y b x a ,与直线,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a平行. 又因第二个不等式表示第i 平面不经过上述直线, 所以n 个平面有平行的交线.例如由方程组,0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a i i i i解得333222111333222111333222111333222111c b a c b a c b a t b a d b a d b a d z a d c a d c a d c y d c b d c b d c b x.因为行列式033222111 c b ac b a c b a .而其它三个行列式不全是零故0 t , 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.（Ⅶ）当3)(,3)( B r A r , 并假定0333222111 c b a c b a c b a .在这种情况下, 平面,0,0,0333322221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a相交于一点. 又因0333322221111 ii i i d c b a d c b a d c b a d c b a ,（n i ,,5,4 ）故平面i i i i d z c y b x a经过前面三个平面的交点, 就是n 个平面有一个交点, 不在无穷远.（Ⅷ）当4)(,3)( B r A r , 则矩阵B 中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设333322221111 iiiid c b a d c b a d c b a d c b a .（i 是n ,,5,4 中的一数）以上不等式表示平面i i i i d z c y b x a ,不经过前三个平面的交点. 4.3.2 点组设有n 个点, 它们的齐次坐标各是n nnnt z y x t z y x t z y x 22221111此点组的相关位置与坐标做成的矩阵n nn nt z y x t z y x t z y x X 22221111的秩r 有关系. 分别叙述如下:（Ⅰ）当0 r , 则n 个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置.（Ⅱ）当1 r , 假定01 x , 很容易推得(因为X 中所有的二阶行列式等于0)),,4,3,2(.1111n i t t z z y y x x ii i i上式表示n 个点全重合. （Ⅲ）当2 r , 并假设02211 y x y x ,因X 中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得ii i n m l ,,适合以下方程：),,,4,3(,0,0,0,021212121n i t n t m t l z n z m z l y n y m y l x n x m x l i i i i i i i i i i i i i i i i式中i n 不等于0, 否则行列式2121y y x x将等于0. 故可求得).(1),(1),(1),(121212121t m t l n t z m z l n z y m y l n y x m x l n x i i ii i i ii i i ii i i ii假设点),,,(1111t z y x 及),,,(2222t z y x 的连线为,0,022221111t D z C y B x A t D z C y B x A把),,,(i i i i t z y x 的等值代入上式, 易验证点),,,(i i i i t z y x 在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因i 可以是n ,,4,3,2 , 所以n 个点全在一直线上. （Ⅳ）当3 r , 并假定,0333222111 z y x z y x z y xX 中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得i i i i k n m l ,,,适合下式：,0,0,0,0321321321321i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t k t n t m t l z k z n z m z l y k y n y m y l x k x n x m x l式中i k 不等于0, 否则行列式 .0333222111 z y x z y x z y x 从以上方程组求得：),(1),(1321321y n y m y l k y x n x m x l k x i i i ii i i i ii ).(1),(1321321t n t m t l k t z n z m z l k z i i i ii i i i ii设点),,,(),,,,(22221111t z y x t z y x 及),,,(3333t z y x 所确定的平面是.0 Dt Cz By Ax把ii i i t z y x ,,,的等值代入上式, 甚易验明点),,,(i i i i t z y x 在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为i 可以是n ,,6,5,4 , 所以n 个点共在一个平面上. （Ⅴ）当4 r , X 中至少有一个四阶行列式如0333322221111 ii i i t z y x t z y x t z y x t z y x .i 是n ,,7,6,5,4 中任一个数. 以上不等式表示点),,,(i i i i t z y x 不在前三个点所确定的平面上, 因为假设点),,,(i i i i t z y x 在平面0 Dt Cz By Ax上, 则以下关系成立.,0,0,0,0333322221111i i i i Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax也就是行列式.0333322221111 iiiit z y x t z y x t z y x t z y x这与假设矛盾.x 5．三阶行列式在高中几何中的应用5.1三阶行列式的定义：符号111213212223112233122331313233133221132231122133113223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）．下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用．5.2利用三阶行列式求法向量5.2.1．定义：设平面 内不共线的两个的向量的坐标为1111()e x y z u r，，，2222()e x y z u u r，，，则行列式111222i j kx y z x y z r r r叫平面 的一个法向量，记为n r．例：直棱柱111ABC A B C 中，112AB AC AA， 90BAC ，D 为棱1B B 的中点．求平面ADC 的一个法向量．如图，建立空间直角坐标 系A xyz ，则1C(000)A ，，， 1(002)A ，，，(010)B ，，，1(012)B ，，，(100)C ，，，1(102)C ，，，(011)D ，，，取面ADC 内两个不共线向量1)，(100)AC u u u r，，，则平面ADC 的一个法向量为：y 2 1l 011(011)100i j kj k r r r r r，，； 5.2.2．应用举例（1）证明线面平行：平面的一个非零法向量是n r，平面 外一条直线l 的一个非零方向向量是v r，则//l 平面的充要条件是0n v r r ．n r（2）求二面角：面 I 面l ，面 的一个非零法向量是n r，面 的一个非零法向量是m u r ，则二面角l 的大小为：arccos m n u r r，或arccos m n u r r ，．【例1】正三棱柱111ABC A B C ，底面边长为2，D 是AC 的中点． （I ）证明：1//AB 平面1DBC ； C的余弦值． 解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz ，则：(000)C ，，1(00C ，， (020)B ，，，1(02B ，，10)A ，，，11A ，，10)22D ，，， 则n r3(0)22DB u u u r ，，，11(22DC u u u u r ，平面1DBC 的一个法向量为：3322244212i j n k jr r r r r r即32n r ，，1(1AB u u u r，13(1(22933022AB n u u u r r ，1AB n u u u r r，所以1//AB 平面1DBC ．（Ⅱ）面1DBC 的一个法向量为：3(22n r ，，面1BC C 的一个法向量为：0002i j m r r u r，(00)m ur ，，则3|cos |4||||m n m n m n u r ru r r u r r ，，因此二面角1D BC C 的余弦值为34．（3）求异面直线的公共法向量：a 与b 是异面直线， 向量1111()v x y z u r ，，是直线a 的方向向量，2222()v x y z u u r，，是直线b 的方向向量，则异面直线a 与bx111222i j k n x y z x y z r r r r法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取两条异面直线a 和b ，且他们的一个法向量为n r ，因为直线a n r ，记垂足为M ，b n r ，记垂足为N ，则线段MN 的长就是异面直线a 和b 的距离，如图，记法向量n r 与BA uu u r的夹角为 ，则0|||cos |||MN NA u u u u ru u u u r ，即0|||||cos |MN NA u u u u r u u u u r ， 00|||||||cos |||n n MN e NA e NA u u u u r u u r u u u u r u u r u u u u r ， 故0||||||||||n NA n AB MN n n r u u u u r r u u u ru u u u r r r ． 其中A 、B 分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上． 【例2】已知正方体1111ABCD A B C D 的棱长为1． 求异面直线1DA 与AC 的距离． 解：建立如图所示的空间直 角坐标系D xyz ，则(000)D ，，， (100)A ，，，1(101)A ，，，(010)C ，，，1(101)DA u u u u r ，，，(110)AC u u u r，，于是异面直线1DA 与AC 的一个法向量为101(111)110i j kn j k i r rr rr r r，， 分别在异面直线1DA 与AC 各取一点A 、D ， 异面直线1DA 与AC 的距离为z||3||n ADdnr u u u rr，，，，5.2.3利用三阶行列式求平面方程定理：过三点111()A x y z，，、222()B x y z，，、333()C x y z，，的平面 的方程为：111212121313131x x y y z zx x y y z zx x y y z z．定理：若平面 的方程为：0Ax By Cz D，则平面外一点000()P x y z，，到平面 的距离为：d ．【例3】已知正方形ABCD的边长为4，CG 平面ABCD，2CG ，E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面EFG的距离．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz，则：(040)B，，，(240)E，，，(420)F，，，(002)G，，，则平面EFG 的方程为：0022040020402002x y z即：88481632440x y z z y x亦即：360x y z所以(040)B，，到平面EFG的距离为：d ．利用三阶行列式求四面体的体积定理：记平行六面体1111ABCD A B C D的一个顶点A引出的三边所对应的向量111()AB x y zu u u r，，、222()AD x y zu u u r，，、1333()AA x y zu u u r，，，则平行六面体的体积为：A 1111222333x y z V x y z x y z 平行六面体． 说明：定理中的三向量只 要是平行六面体的同一顶点引出的都可以，如BA uu u r、BC uuu r 、1BB u u u r等都行．定理：记四面体S ABC 的一个定点S 引出的三边所对应的向量坐标分别为：111()SA x y z u u r ，，、222()SB x y z u u r ，，、333()SC x y z u u u r ，，，则四面体S ABC 的体积为：11122233316S ABCx y z V x y z x y z ． 说明：1.定理中的三向量只要是四面体的同一顶点引出的都可以，如BA uu u r 、BC uuu r 、1BB u u u r等都行．2.事实上，1112223331122x y z V V x y z x y z 三棱柱平行六面体， 所以1136V V V三棱锥三棱柱平行六面体． 【例4】已知正四棱柱1111ABCD A B C D ，点E 是棱1DD 上的中点，截面EAC 与底面ABCD 所成的角为4，2AB ．求三棱锥1B EAC 的体积．解：记BD 与AC 交点 为O ，由正方形ABCD 性质知O 是AC 中点且 BO AC ，E 是棱1DD上的点，易知EA EC ，则EO AC，所以EOA 4EOA，所以DE DO，1DD ，建立如图所示的空间直角坐标系：D xyz ，则：(00E ，，(200)A ，，，1(22B ，，(020)C ，，，其中向量1(02B A u u u r ，，，1(20BC u u u r ，，， 1(220)B E u u u r ，，，于是三棱锥1B EAC 的体积为：1021120|66322B EAC V ． 说明：若求四棱锥，只需把四棱锥分割成两个三棱锥，分别求出三棱锥体积求和致谢 本文是在张红老师的指导和帮助下完成的, 在此对张老师表示衷心的感谢!参考文献[1]北京大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出社, 2003.[2]高杨芝. 行列式浅说[M]. 江苏: 江苏人民出版社, 1958.[3]王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2003.[4]王品超. 高等代数新方法(下)[M]. 徐州: 中国矿业大学出版社, 2003.[5]钱吉林. 高等代数题解精粹[M]. 北京: 中央民族大学出版社, 2002.[6]徐岳灿. 关于行列式的若干应用[J]. 上海中学数学, 2004(3), 40-41.[7] 梁波. 例谈行列式的几个应用[J]. 毕节学院学报, 2006(4), 27-28.[8]彭丽清. 行列式的应用[J]. 忻州师范学院学报, 2005(5), 40-41.[9]汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 廊坊师范学院学报, 2008(3), 9-10.The determinant and its application in ElementaryMathematicsXuLijiao 2011031142 Advisor:ZhangHongMajor in Pure and Applied MathematicsCollege of Mathematics and Computer Science【Abstrac 】 Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following four aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations;examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry. in the final, using the three order determinant in senior middle school mathematics.【Keywords】:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group。
行列式的计算方法总结 毕业论文
1 行列式的概念及性质1.1 行列式的概念n 级行列式nnn n nn a a a a a a a a a212222111211等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积n nj j j a a a 2121的代数和，这里的n j j j 21是1，2，…，n 的一个排列，每一项都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，带有正号；当n j j j 21是奇排列时，带有负号。
这一定义可写成，这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列的求和。
1.2 行列式的性质[1]性质1 行列互换，行列式值不变，即=nn n n n na a a a a a a a a212222111211nnn n n n a a a a a a a a a 212221212111性质2 行列式中某一行（列）元素有公因子k ，则k 可以提到行列式记号之外，即=nnn n in i i na a a ka ka ka a a a212111211nnn n in i i na a a a a a a a a k 212111211 这就是说，一行的公因子可以提出去，或者说以一数乘以行列式的一行就相当于用这个nn nnj j j j j j r j j j nnn n nn a a a a a a a a a a a a 21212121)(212222111211)1(∑-=数乘以此行列式。
事实上，nnn n in i i n a a a ka ka ka a a a212111211=11i i A ka +22i i A ka +in in A ka + =21(i i A a k +22i i A a +)in in A a +nnn n in i i n a a a a a a a a a k212111211= ， 令k =0，如果行列式中任一行为零，那么行列式值为零。
性质3 如果行列式中某列（或行）中各元素均为两项之和，即),,2,1(n i c b a ij ij ij =+=，则这个行列式等于另两个行列式之和。
行列式解法小结 数学毕业论文
行列式解法小结数学毕业论文
行列式解法是线性代数中重要的一种方法，可以广泛地应用于各个领域，如物理、工程、经济等。
本文就行列式解法进行了全面的介绍和分析，并探讨了它在实际应用
中的具体作用。
首先，本文阐述了行列式作为一个矩阵的一个属性，描述了它的定义、性质和计算方法。
行列式的定义是通过对一个矩阵中所有可能的排列进行组合，求得的一个标
量值。
它具有很多有用的性质，如行列式关于行和列的互换、行列式的线性性质等。
计算行列式可以使用伴随矩阵或展开式等方法。
其次，本文讨论了行列式作为一个代数工具的应用。
通过分析行列式与线性方程组之间的关系，我们可以发现，行列式可以被用来检测线性方程组解的性质。
如果行
列式的值为零，则该线性方程组无唯一解。
但如果其值不为零，则有唯一解。
此外，本文还阐释了行列式在求解矩阵乘法、求逆矩阵及求解特征值的应用。
通过行列式解法可以很容易地计算出矩阵的乘积、逆矩阵以及特征值等，这对于实际应
用中的矩阵相关问题具有很大的意义。
最后，本文对于行列式的具体应用进行了分析。
在物理领域中，如电学和热学计算问题里，行列式经常出现在方程组的解中。
在机器学习领域，行列式也被广泛地应
用于求解数据的特征值和特征向量。
在工业制造领域中，行列式可以用于计算机器人
的运动，以及控制系统的分析。
综上所述，行列式在数学中具有很重要的地位，并且在各个应用领域都有着非常广泛的应用。
因此，学习和掌握行列式解法对于从事数学及相关领域的人员来说是非
常必要的。
行列式的计算及应用毕业论文
行列式的计算及应用毕业论文行列式的计算及应用毕业论文目录1. 行列式的定义及性质 (1)1.1 行列式的定义 (1)1.1.1 排列 (1)1.1.2 定义 (1)1.2 行列式的相关性质 (1)2. 行列式的计算方法 (5)2.1 几种特殊行列式的结果 (5)2.1.1 三角行列式 (5)2.1.2 对角行列式 (5)2.2 定义法 (5)2.3 利用行列式的性质计算 (5)2.4 降阶法 (6)2.5 归纳法 (7)2.6 递推法 (8)2.7 拆项法 (9)2.8 用德蒙德行列式计算 (10)2.9 化三角形法 (10)2.10 加边法 (11)2.11 拉普拉斯定理的运用 (12)2.12 行列式计算的Matlab实验 (13)3. 行列式的应用 (15)3.1 行列式应用在解析几何中 (15)3.2 用行列式表示的三角形面积 (15)3.3 应用行列式分解因式 (16)3.4 利用行列式解代数不等式 (17)3.5 利用行列式来证明拉格朗日中值定理 (17)3.6 行列式在实际中的应用 (18)总结 (20)参考文献 (21)附录1 (22)附录2 (22)附录3 (23)谢辞 (24)1. 行列式的定义及性质 1.1 行列式的定义1.1.1 排列[1]在任意一个排列中，若前面的数大于后面的数，则它们就叫做一个逆序，在任意一个排列中，逆序的总数就叫做这个排列的逆序数.1.1.2 定义[1]n 阶行列式nnn n n na a a a a a a a a D212222111211=就相当于全部不同行、列的n 个元素的乘积nnj j j a a a 2121 (1-1-1)的代数和，这里n j j j 21是n ,,2,1 的一个排列，每一项（1-1-1）都按下列规则带有符号：当n j j j 21是偶排列时，（1-1-1）是正值，当n j j j 21是奇排列时，（1-1-1）是负值.这一定义可以表述为n nn nj j j j j j j j j nnn n nna a a a a a a a a a a a D21212121)(212222111211)1(∑-==τ， (1-1-2)这里∑nj j j 21表示对所有n 级排列求和.由于行列指标的地位是对称的，所以为了决定每一项的符号，我们也可以把每一项按照列指标排起来，所以定义又可以表述为n i i i i i i i i i nn n n nnn n a a a a a a a a a a a a D21)(212222111211212121)1(∑-==τ.（1-1-3） 1.2 行列式的相关性质记 nnn n n na a a a a a a a a D 212222111211=,nnn nn n a a a a a aa a a D 212221212111'=,则行列式'D 叫做行列式D 的转置行列式.性质1 行列式和它的转置行列式是相等的[2]. 即D D ='. 证明：记D 中的一般项n 个元素的乘积是,2121n nj j j a a a它处于D 的不同行和不同列，所以它也处于'D 的不同行和不同列，在'D 中应是,2121n j j j n a a a所以它也是'D 中的一项.反之, 'D 的每一项也是D 的一项，即D 和'D 有相同的项.再由上面（1-2）和（1-3）可知这两项的符号也相同，所以D D ='.性质2 nnn n in i i nnn n n in i i n a a a a a a a a a k a a a ka ka ka a a a212111211212111211=. 证明：inin i i i i nnn n in i i n A ka A ka A ka a a a ka ka ka a a a +++=2211212111211.)(2121112112211nnn n in i i nin in i i i i a a a a a a a a a k A a A a A a k =+++=性质3 如果行列式的某行(列)的元素都为两个数之和[2]，如nnn n nn n a a a c b c b c b a a a D 21221111211+++=，那么行列式D 就等于下列两个行列式的和：.212111211212111211nnn n n n nn n n n n a a a c c c a a a a a a b b b a a a D += 可以参照性质2的证明得出结论.性质4 对换行列式中任意两行的位置，行列式值相反.即若设,21212111211nnn n kn k k in i i na a a a a a a a a a a a D=,212121112111nnn n in i i kn k k na a a a a a a a a a a a D =则.1D D -=证明：记D 中的一般项中的n 个元素的乘积是.2121n k i nj kj ij j j a a a a a它在D 中处于不同行、不同列，因而在1D 中也处于不同行、不同的列，所以它也是1D 的一项.反之，1D 中的每一项也是D 中的一项，所以D 和1D 有相同的项，且对应的项绝对值相同.现在看该项的符号：它在D 中的符号为.)1()(21n k i j j j j j τ-由于1D 是由交换D 的i 、k 两行而得到的，所以行标的n 级排列n k i 12变为n 级排列n k i 12，而列标的n 级排列并没有发生变化.因此D 和1D 中每一对相应的项绝对值相等，符号相反，即.1D D -= 性质5 如果行列式中任有两行元素完全相同，那么行列式为零.证明：设该行列式为D ，交换D 相同的那两行，由性质4可得D D -=,故.0=D性质6 如若行列式中任有两行或者两列元素相互对应成比例，则行列式为零.证明：设n 阶行列式中第i 行的各个元素为第j 行的对应元素的k 倍，由性质2，可以把k 提到行列式外，然后相乘.则剩下的行列式的第i 行与第j 行两行相同，再由性质5，最后得到行列式为零.性质7 把任意一行的倍数加到另一行，行列式的值不改变.nnn n knk k knin k i k i na a a a a a ca a ca a ca a a a a2121221111211+++nnn n kn k k kn k k nnnn n kn k k in i i n a a a a a a ca ca ca a a a a a a a a a a a a a a a2121211121121212111211+=nnn n kn k k in i i n a a a a a a a a a a a a 21212111211=.2. 行列式的计算方法2.1 几种特殊行列式的结果2.1.1 三角行列式nn nn nna a a a a a a a a 221122*********=（上三角行列式）.nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=（下三角行列式）. 2.1.2 对角行列式nn nna a a a a a22112211000=. 2.2 定义法例1 用定义法证明.000000002121215432154321=e e d d c c b b b b b a a a a a 证明：行列式的一般项可表成.5432154321j j j j j a a a a a 列标543,,j j j 只能在5,4,3,2,1中取不同的值，故543,,j j j 三个下标中至少有一个要取5,4,3中的一个数，则任意一项里至少有一个0为因子，故任一项必为零，即原行列式的值为零.2.3 利用行列式的性质计算。
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行列式及其在初等数学中的应用【摘 要】行列式是数学研究中的一类重要的工具之一, 它的应用非常广泛. 本文从以下四个方面对行列式的应用进行了论述: 探讨了行列式与线性方程组的关系以及在解线性方程组中的应用; 举例说明了行列式在初等代数中的应用, 如在因式分解中应用, 证明不等式以及恒等式;综述了行列式在解析几何中的若干应用,最后列举三阶行列式在高中数学的应用【关键词】: 行列式; 矩阵; 线性方程组; 秩; 因式分解; 平面组; 点组引言行列式是研究数学的重要工具之一. 例如线性方程组、多元一次方程组的解、三维空间中多个平面组或多个点组的相关位置、初等代数、解析几何、n 维空间的投影变换、线性微分方程组等, 用行列式来计算是很便利的. 本文进一步研究探讨了行列式在线性方程组、初等代数、解析几何及高中数学四个方面的应用。
1 行列式的定义和性质1.1行列式的定义行列式与矩阵不同，行列式是一个值，它是所有不同行不同列的数的积的和，那些数的乘积符号由他们的逆序数之和有关，逆序数为偶数，符号为正，逆序数为奇数，符号为负。
例1 nn D n 000000100200100-=计算行列式 .解： n D 不为零的项一般表示为！１ｎ－１n a a a a nn n n =--1122 ,故!)1(2)2)(1(n D n n n ---=1.2行列式的性质行列式有如下基本性质：1、行列式的行列互换，行列式不变；2、互换行列式中的两行或者两列，行列式反号；3、行列式中某行乘以一个数等于行列式乘以这个数；4、行列式中某行或者某列乘以一个不为零的数，加到另外一行或者列上，行列式不变；5、行列式的某两行或者某两列成比例，行列式为零； 6、行列式的某一列或者某一行可以看成两列或两行的和时，行列式可拆另两个行列式的和。
例 2 一个n 阶行列式ij n a D = 的元素满足,,,2,1,,n j i a a ji ij =-=则称反对称行列式，证明：奇阶数行列式为零.证明： 由 ji ij a a -=知ii ii a a -=，即n i a ii ,2,1,0==.故行列式可表示为000321323132231211312 nn nn n n n a a a a a a a a a a a a D ------= , 由行列式的性质'A A =，00)1(0000321323132231211312321323132231211312nn n n nn n nnnn n n n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -------=------=()n n D 1-=. 为奇数时，得当n , n n D D -=因而得0=n D . 2行列式的若干应用2.1 行列式在线性方程组中的一个应用 设含有n 个变元的1-n 个一次线性方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++---.0,0,0,122,111,122221*********n n n n n nn n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1） 设方程组（1）的系数矩阵A 的秩是1-n , 不失一般性, 假定不等于零的1-n 阶行列式是nn n n nn a a a a a a a a a A ,13,12,122322113121---=. 行列式1A 中的元素, 就是矩阵A 中去掉第一列的元素以后剩下的元素, 并按照它们的原有位置排列.我们把n x x x ,,,32 看作是未知数, 1x 是已知数, 解方程组(1), 得11A x d x i i -=),,3,2(n i = （2） 式中i d 是行列式1d 的第1-i 列元素换以1,12111,,,-n a a a 所成的行列式. 也就是nn i n n i n n n n i i n i i i a a a a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,11,13,12,121,2211,2232211,1111,11312-+------+-+-=.把i d 中第1-i 列移到第一列, 得nn i n i n n n n i i n i i i i a a a a a a a a a a a a a a a d ,11,11,12,11,121,21,2222111,11,112112)1(-+-----+-+---=.上式右边的行列式用i A 表示, 行列式i A 是矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素所组成. 故i i i A d 2)1(--=.代入（2）式, 得112)1(A x A x i i i -=--, 或111)1(A x A x i i i =--. 结论[2]: 方程组（1）中的n x x x ,,,21 与n n A A A A 1321)1(,,,,--- 成比例, 式中i A ),,2,1(n i = 是从矩阵A 中去掉第i 列剩余下的元素做成的行列式.3行列式在初等代数中的几个应用3.1 用行列式分解因式利用行列式分解因式的关键, 是把所给的多项式写成行列式的形式, 并注意行列式的排列规则. 下面列举几个例子来说明.例3.1.1 分解因式：323232323232b ac c ba a cb b ca a bc c ab ---++.解: 222222()()()abc bc b c a c ac ab a b =-+-+-原式()()()abc bc c b ab a c ab b a =-+-+- 111111c a a abc bcacabb c b =+-11101bc a bcaabc ab c abc ab bc c a ac b ac bc b a ==----()()()()abc ab bc b a ac bc c a =----- ()()()()abc b a c b a c a b c a =-----()()()abc a b c a b c =---.例3.1.2 分解因式: ))((4)(2d b c a bc ab cd ----.解: 原式2()2()cd ab ab bc bc cd cd ab--=--22()(2)cd abab cd bcbc cd ab cd bc -+-=--+-1(2)2()1cd abab cd bc bc cd -=+---2(2)ab cd bc =+-.3.2 用行列式证明不等式和恒等式我们知道, 把行列式的某一行（列）的元素乘以同一数后加到另一行（列）的对应元素上, 行列式不变; 如果行列式中有一行（列）的元素全部是零, 那么这个行列式等于零. 利用行列式的这些性质, 我们可以构造行列式来证明等式和不等式.例3.2.1 已知0=++c b a , 求证abc c b a 3333=++. 证明： 令abc c b a D 3333-++=, 则0000321==++++++==++acb b ac acbb ac c b a c b a c b a acb ba cc b a D r r r . 命题得证.例3.2.2已知,1,1,1=+=+=+ay cx cy bx by ax 求证222c b a ca bc ab ++=++.证明： 令)(222c b a ca bc ab D ++-++=, 则0000111111213==-+-+-+=---=++c ba cb a cy bx cbay cx a c by ax b a c ba cb a D yc x c c命题得证.例3.2.3 已知0≥≥≥c b a , 求证a c c b b a c a b c a b 333333++≤++. 证明： 令)(333333c a b c a b a c c b b a D ++-++=, 则21312222222222221111c c c c ab bc caab bc ab ca abbc ab ca ab D cbaca cbc a c b c ------==--=--()()()()()()b c a b c b c a c b a c a c =-+---+-()()()()b c a c a b c a c =--++-而0≥≥≥c b a , 则0≥D , 命题得证.4． 行列式在解析几何中的几个应用4.1 用行列式表示公式4.1.1 用行列式表示三角形面积以平面三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 为顶点的PQR ∆的面积S 是11121332211y x y x y x (3) 的绝对值.证明: 将平面),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 三点扩充到三维空间, 其坐标分别为112233(,,),(,,),(,,)x y k x y k x y k , 其中k 为任意常数. 由此可得：2121(,,0)PQ x x y y =--, 3131(,,0)PR x x y y =--则21213131(0,0,)x x y y PQ PR x x y y --⨯=--PQR ∆面积为1sin ,2S PQ PR PQ PR =<> =12PQ PR ⨯=2121313112x x y y x x y y --=--11212131311102x y x x y y x x y y =---- 11223311121x y x y x y = . 4.1.2 用行列式表示直线方程直线方程通过两点),(11y x P 和),(22y x Q 的直线PQ 的方程为01112211=y xy x y x . （4） 证明: 由两点式, 我们得直线PQ 的方程为212212y y y y x x x x --=--.将上式展开并化简, 得021122121=+-+--y x y x y x y x xy xy此式可进一步变形为0111122112121=+-y x y x x x yy y x此式为行列式(4)按第三行展开所得结果. 原式得证. 4.1.3 应用举例例 :若直线l 过平面上两个不同的已知点11(,)x y A , 22(,)x y B , 求直线方程. 解: 设直线l 的方程为0=++c by ax , 不全为0, 因为点),(),,(2211y x y x B A 在直线l 上, 则必须满足上述方程, 从而有⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++.0,0,02211c by ax c by ax c by ax 这是一个以c b a ,,为未知量的齐次线性方程组, 且c b a ,,不全为0, 说明该齐次线性方程组有非零解. 其系数行列式等于0, 即01112211=y x y x y x . 则所求直线l 的方程为01112211=y x y x y x . 同理, 若空间上有三个不同的已知点),,(),,,(),,,(333222111z y x C z y x z y x B A , 平面S 过C ,,B A , 则平面S 的方程为01111333222111=z y x z y x z y x z y x . 同理, 若平面有三个不同的已知点),(),,(),,(332211y x C y x y x B A , 圆O 过C ,,B A , 则圆O 的方程为0111133232322222211212122=++++y x y x y x y x y x y x y xy x . 4.2 行列式在平面几何中的一些应用4.2.1 三线共点平面三条互不平行的直线.0,0,0333322221111=++=++=++c y b x a L c y b x a L c y b x a L 相交于一点的充要条件是0333222111=c b a c b a c b a . 4.2.2 三点共线平面三点),(),,(),,(332211y x R y x Q y x P 在一直线的充要条件是0111332211=y x y x y x . 4.2.3 应用举例例: 平面上给出三条不重合的直线:00333322221111=++=++=++c y b x a L c y b x a L c y b x a L , 若0333222111=c b a c b a c b a , 则这三条直线不能组成三角形. 证明：设1L 与2L 的交点为),(11y x P , 因为1112223330a b c a b c a b c =, 将第1列乘上1x , 第2列乘上1y , 全加到第3列上去, 可得：1111111222121233313130a b a x b y c a b a x b y c a b a x b y c ++++=++. 因为P 在1L 与2L 上, 所以111110a x b y c ++=, 且112121231313220()a b a x b y c a x b y c a b ++=⇒++11223331313000a b a b a b a x b y c ==++若1111122220a b a bL a b a b =⇒=⇒与2L 平行, 若P c y b x a ⇒=++031313也在3L 上321,,L L L ⇒交于一点,无论何种情形, 都有321,,L L L 不组成三角形.这说明由0333222111=c b a c b a c b a , 得到三条直线或两两平行或三线交于一点. 也就是三条直线不能组成三角形.4.3 行列式在三维空间中的应用4.3.1 平面组设由n 个平面方程构成的方程组为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,022221111n n n n d z c y b x a d z c y b x a d z c y b x a （5）若方程组(5)中的z y x ,,各代以t z t y t x ,,, 并用)0(≠t t 乘以(5)式两端: 得 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++.0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a n n n n （6）),,,(t z y x 叫做点),,(z y x 的齐次坐标. 这平面组的相关位置与方程组的系数所组成的两矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n nnc b a c b a c b a A 222111及⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=n n nnd c b a d c b a d c b a B 22221111的秩)(A r 及)(B r 有关系. 现在分别叙述如下： (Ⅰ)当0)()(==B r A r , 则方程组中各系数全是0.(Ⅱ)当,1)(,0)(==B r A r 则方程组(5)不合理, 方程组(6)有解0=t .当0→t ,t x ,t y, t z将趋近于无穷大（假设t 趋近于0）. 在这种情况下, 我们说这n 个平面在无穷远重合.(Ⅲ)当1)()(==B r A r , 则在矩阵A 及B 中所有二阶行列式全是0. 所以我们有),,2,1,(.n j i d d c c b b a a ji j i j i j i ====以上等式表示n 个平面相合成一个平面01111=+++d z c y b x a .(Ⅳ)当,2)(,1)(==B r A r 方程的系数中至少有两组数如ii i i d c b a ,,,及jj j j d c b a ,,,满足以下关系式.jij i j i j i d d c c b b a a ≠==上式表示平面.0,0=+++=+++j j j j i i i i d z c y b x a d z c y b x a平行但不相合. 也就是平面组中n 个平面相合或平行, 至少有两个平面不相合.(Ⅴ),2)(,2)(==B r A r 则矩阵A 及B 中所有三阶行列式全是0, 至少有一个二阶行列式不是0. 假设02211≠b a b a .我们必可求得ii i n m l ,,适合下式：),,4,3(.0,0,0,021212121n i d n d m d l c n c m c l b n b m b l a n a m a l i i i i i i i i i i i i i i i i =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++式中0≠i n , 否则行列式2211b a b a将等于0. 所以[])()(122221111d z c y b x a m d z c y b x a l n t d z c y b x a i i ii i i i +++++++-=+++.以上等式表示平面).,,4,3(,0n i d z c y b x a i i i i ==+++经过直线⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a就是n 个平面全经过一条直线.（Ⅵ）当,3)(,2)(==B r A r 并假定2211≠b a b a方程组的系数至少有一组ii i i d c b a ,,,适合以下关系：0,0222111222111≠=iiiiiic b a c b a c b a c b a c b a c b a （i 是n ,,4,3 中的一数）以上第一个等式表示组中第i 平面=+++i i i i d z c y b x a ,与直线⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111d z c y b x a d z c y b x a平行. 又因第二个不等式表示第i 平面不经过上述直线, 所以n 个平面有平行的交线.例如由方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,022221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a i i i i解得333222111333222111333222111333222111c b a c b a c b a t b a d b a d b a d z a d c a d c a d c y d c b d c b d c b x -==-=.因为行列式033222111=c b ac b a c b a .而其它三个行列式不全是零故0=t , 就是三个平面的交点在无穷远. 三个平面中每两个平面的交线是平行的.（Ⅶ）当3)(,3)(==B r A r , 并假定0333222111≠c b a c b a c b a .在这种情况下, 平面⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++,0,0,0333322221111t d z c y b x a t d z c y b x a t d z c y b x a相交于一点. 又因333322221111=iiiid c b a d c b a d c b a d c b a ,（n i ,,5,4 =）故平面=+++i i i i d z c y b x a经过前面三个平面的交点, 就是n 个平面有一个交点, 不在无穷远.（Ⅷ）当4)(,3)(==B r A r , 则矩阵B 中至少有一个四阶行列式不等于零. 假设333322221111≠iiiid c b a d c b a d c b a d c b a .（i 是n ,,5,4 中的一数）以上不等式表示平面=+++i i i i d z c y b x a ,不经过前三个平面的交点. 4.3.2 点组设有n 个点, 它们的齐次坐标各是n nnnt z y x t z y x t z y x22221111此点组的相关位置与坐标做成的矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n nt z y x t z y x t z y x X 22221111的秩r 有关系. 分别叙述如下:（Ⅰ）当0=r , 则n 个点的坐标全是(0,0,0,0)不能确定点的位置.（Ⅱ）当1=r , 假定01≠x , 很容易推得(因为X 中所有的二阶行列式等于0)),,4,3,2(.1111n i t t z z y y x x ii i i ====上式表示n 个点全重合. （Ⅲ）当2=r , 并假设2211≠y x y x ,因X 中所有三阶行列式全等于0, 我们可以求得ii i n m l ,,适合以下方程：),,,4,3(,0,0,0,021212121n i t n t m t l z n z m z l y n y m y l x n x m x l i i i i i i i i i i i i i i i i =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++=++式中i n 不等于0, 否则行列式2121y y x x将等于0. 故可求得).(1),(1),(1),(121212121t m t l n t z m z l n z y m y l n y x m x l n x i i ii i i ii i i ii i i ii +-=+-=+-=+-=假设点),,,(1111t z y x 及),,,(2222t z y x 的连线为⎩⎨⎧=+++=+++,0,022221111t D z C y B x A t D z C y B x A把),,,(i i i i t z y x 的等值代入上式, 易验证点),,,(i i i i t z y x 在这连线上, 故该点与第一及第二两点共在一直线上. 因i 可以是n ,,4,3,2 , 所以n 个点全在一直线上. （Ⅳ）当3=r , 并假定,0333222111≠z y x z y x z y xX 中所有的四阶行列式全是0, 我们可以求得i i i i k n m l ,,,适合下式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++,0,0,0,0321321321321i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i t k t n t m t l z k z n z m z l y k y n y m y l x k x n x m x l式中i k 不等于0, 否则行列式 .0333222111=z y x z y x z y x从以上方程组求得：),(1),(1321321y n y m y l k y x n x m x l k x i i i ii i i i ii ++-=++-= ).(1),(1321321t n t m t l k t z n z m z l k z i i i ii i i i ii ++-=++-=设点),,,(),,,,(22221111t z y x t z y x 及),,,(3333t z y x 所确定的平面是.0=+++Dt Cz By Ax把ii i i t z y x ,,,的等值代入上式, 甚易验明点),,,(i i i i t z y x 在这个平面上, 故该点与前三个点共在一平面上. 又因为i 可以是n ,,6,5,4 , 所以n 个点共在一个平面上. （Ⅴ）当4=r , X 中至少有一个四阶行列式如333322221111≠iiiit z y x t z y x t z y x t z y x .i 是n ,,7,6,5,4 中任一个数. 以上不等式表示点),,,(i i i i t z y x 不在前三个点所确定的平面上, 因为假设点),,,(i i i i t z y x 在平面0=+++Dt Cz By Ax1e 2e上, 则以下关系成立.⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++=+++,0,0,0,0333322221111i i i i Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax Dt Cz By Ax也就是行列式.0333322221111=iiiit z y x t z y x t z y x t z y x这与假设矛盾.5．三阶行列式在高中几何中的应用5.1三阶行列式的定义：符号111213212223112233122331313233133221132231122133113223a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a =++---叫做三阶行列式（等号右边是运算结果）．下面举例说明三阶行列式在高中几何中的应用．5.2利用三阶行列式求法向量5.2.1．定义：设平面α不共线的两个的向量的坐标为1111()e x y z =，，，2222()e x y z =，，，则行列式111222i j k x y z x y z 叫平面α的一个法向量，记为n ．例：直棱柱111ABC A B C -中，112AB AC AA ==， 90BAC ∠=︒，D 为棱1B B 的中点．求平面ADC 的一个法向量．如图，建立空间直角坐标 系A xyz -，则1Cynvllαm (000)A ，，， 1(002)A ，，，(010)B ，，，1(012)B ，，，(100)C ，，，1(102)C ，，，(011)D ，，，取面ADC 两个不共线向量(011)AD =，，，(100)AC =，，，则平面ADC 的一个法向量为：011(011)100i j kj k =-=-，，； 5.2.2．应用举例（1）证明线面平行：平面α的一个非零法向量是n ，平面α外一条直线l 的一 个非零方向向量是v ，则//l 平面α的充要条件是0n v ⋅=．n（2）求二面角：面α面l β=，面α的一个非 零法向量是n ，面β的一个非零法向量是m ，则二面角l αβ--的大小为：arccos m n <>，或arccos m n π-<>，．【例1】正三棱柱111ABC A B C -2，D 是AC 的中点． （I ）证明：1//AB 平面1DBC ； C -的余弦值．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz -，则：(000)C ，，1(00C ，， (020)B ，，，1(02B ，，10)A ，，，11A ，，1(0)22D ，，， 则3(0)22DB =-，，，11(2DC =--， 平面1DBC 的一个法向量为：33333333022122i j k n i k k j =-=+++--即333(22n=，，1(1AB =-，13(1(22933022AB n ⋅=-⋅=-++=，1AB n ⊥，所以1//AB 平面1DBC ．（Ⅱ）面1DBC 的一个法向量为：333(2n =，， 面1BC C 的一个法向量为：x1v 1v2v 2vn0032302i j km i ==-，(200)m =-，， 则3|cos |4||||23m n m n m n ⋅<>===⋅，，因此二面角1D BC C --的余弦值为34． （3）求异面直线的公共法向量：a 与b 是异面直线， 向量1111()v x y z =，，是直线a 的方向向量，2222()v x y z =，，是直线b 的方向向量，则异面直线a 与b 111222ij k n x y z x y z =法向量求两异面直线距离的基本思想：在空间中取两条异面直线a 和b ，且他们的一个法向量为n ，因为直线a n ⊥，记垂足为M ，b n ⊥，记垂足为N ，则线段MN 的长就是异面直线a 和b 的距离，如图，记法向量n 与BA 的夹角为θ，则0|||cos |||MN NA θ=，即0|||||cos |MN NA θ=，00|||||||cos |||n n MN e NA e NA θ==⋅，故0||||||||||n NA n AB MN n n ⋅⋅==． 其中A 、B 分别为两异面直线上的任意点，并且此两点必须分居在两直线上． 【例2】已知体1111ABCD A B C D -的棱长为1． 求异面直线1DA 与AC 的距离． 解：建立如图所示的空间直 角坐标系D xyz -，则(000)D ，，， (100)A ，，，1(101)A ，，，(010)C ，，，1(101)DA =，，，(110)AC =-，，z于是异面直线1DA 与AC 的一个法向量为101(111)110i j kn j k i ==-+-=---，，分别在异面直线1DA 与AC 各取一点A 、D ， 异面直线1DA 与AC 的距离为||3||n AD d n ⋅===，，，， 5.2.3利用三阶行列式求平面方程定理：过三点111()A x y z ，，、222()B x y z ，，、 333()C x y z ，，的平面α的方程为：1112121213131310x x y y z z x x y y z z x x y y z z ------=---． 定理：若平面α的方程为：0Ax By Cz D +++=，则平面外一点000()P x y z ，，到平面α的距离为： d =．【例3】已知形ABCD 的边长为4，CG ⊥平面ABCD ，2CG =，E 、F 分别是AB 、AD 的中点，求点B 到平面EFG 的距离．解：依题意，建立如图所示的空间直角坐标系：C xyz -，则：(040)B ，，，(240)E ，，，(420)F ，，，(002)G ，，， 则平面EFG 的方程为：0022040020402002x y z ------=--- 即：88481632440x y z z y x --+--+++= 亦即：360x y z ++-=所以(040)B ，，到平面EFG 的距离为：A 1d == ． 利用三阶行列式求四面体的体积定理：记平行六面体1111ABCD A B C D -的一个顶点A 引出的三边所对应的向量111()AB x y z =，，、222()AD x y z =，，、1333()AA x y z =，，，则平行六面体的体积为：111222333x y z V x y z x y z =平行六面体． 说明：定理中的三向量只要是平行六面体的同一顶 点引出的都可以，如BA 、BC 、1BB 等都行．定理：记四面体S ABC -的一个定点S 引出的三边所对应的向量坐标分别为：111()SA x y z =，，、222()SB x y z =，，、333()SC x y z =，，，则四面体S ABC -的体积为：11122233316S ABCx y z V x y z x y z -=． 说明：1.定理中的三向量只要是四面体的同一顶点引出的都可以，如BA 、BC 、1BB 等都行．2.事实上，1112223331122x y z V Vx y z x y z ==三棱柱平行六面体， 所以1136V V V ==三棱锥三棱柱平行六面体． 【例4】已知正四棱柱1111ABCD A B C D -，点E 是棱1DD 上的中点，截面EAC 与底面ABCD 所成的角为4π，2AB =．求三棱锥1B EAC -的体积．解：记BD 与AC 交点 为O ，由形ABCD 性质知O 是AC 中点且BO AC ⊥，E 是棱1DD上的点，易知EA EC =，则EO AC ⊥，所以EOA ∠ 4EOA π∠=，所以DE DO ==1DD =，建立如图所示的空间直角坐标系：D xyz -，则：(00E ，，(200)A ，，，1(22B ，，(020)C ，，，其中向量1(02B A =-，，，1(20BC =-，，， 1(220)B E =--，，，于是三棱锥1B EAC -的体积为：1021120|66322B EAC V --=-=-=--． 说明：若求四棱锥，只需把四棱锥分割成两个三棱锥，分别求出三棱锥体积求和致 本文是在红老师的指导和帮助下完成的, 在此对老师表示衷心的感!参考文献[1]大学数学系几何与代数教研室代数小组. 高等代数(第三版)[M]. : 高等教育出社, 2003.[2]高芝. 行列式浅说[M]. : 人民, 1958.[3]王萼芳, 石生明修订. 高等代数(第三版)[M]. : 高等教育, 2003.[4]王品超. 高等代数新方法(下)[M]. : 中国矿业大学, 2003.[5]钱. 高等代数题解精粹[M]. : 中央民族大学, 2002.[6]徐岳灿. 关于行列式的若干应用[J]. 中学数学, 2004(3), 40-41.[7] 梁波. 例谈行列式的几个应用[J]. 学院学报, 2006(4), 27-28.[8]丽清. 行列式的应用[J]. 师学院学报, 2005(5), 40-41.[9]汤茂林. 行列式在初等代数中的巧用[J]. 师学院学报, 2008(3), 9-10.The determinant and its application in ElementaryMathematicsXuLijiao 2011031142 Advisor:ZhangHongMajor in Pure and Applied MathematicsCollege of Mathematics and Computer Science【Abstrac】Determinant is a kind of important tools in the mathematical study, it is a very wide range of applications. In this paper, we have been to discuss from the following four aspects of the applications of the determinants: To explore the relationship between the determinant and linear equations and the application in the solution of linear equations; examples of the application of the determinant in algebra, such as the application of factorization, to prove that inequality and identity; we have made overview of the number of applications of the determinants in analytic geometry. in the final, using the three order determinant in senior middle school mathematics.【Keywords】:Determinant; Matrix; Linear equations; Rank; Factorization; Plane group; Point group。