2020届湖南省益阳市中考数学三模试卷(有答案)
2019-2020学年湖南省益阳市中考数学三模试卷(有标准答案)
湖南省益阳市中考数学三模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3 B．|﹣2| C．（﹣3）2 D．2×1032．若点P（a，4﹣a）是第二象限的点，则a必须满足（）A．a＜0 B．a＜4 C．0＜a＜4 D．a＞43．下列运算正确的是（）A．（x﹣2）2=x2﹣4 B．x3•x4=x12C．x6÷x3=x2D．（x2）3=x64．某小学为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是5．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A．58°B．70°C．110°D．116°6．一个物体由多个完全相同的小正方形组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）A．4 B．5 C．8 D．107．如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．计算：25的平方根是．10．从1、2、3这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是．11．已知﹣1，，﹣，，﹣，…，请你根据以上规律写出第2015个数．12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，DB=2，则的值等于．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．14．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=2．其中说法正确的有（把你认为说法正确的序号都填上）．三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）15．计算：2cos30°﹣|﹣1|+（）﹣1．16．化简：•﹣．17．已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围．四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）18．某校根据实际情况在大课间活动中，决定开设：A：跳绳，B：羽毛球，C：乒乓球，D：踢毽子，E：健美操等五种运动项目，要求每人必须参加其中的一项活动且只能参加一项，随机抽取了部分学生调查他们的所选项目，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题．（1）被调查的学生人数是，图中乒乓球所在的扇形的圆心角的度数是；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200人，估计全校在大课间活动中参加打羽毛球的人数．19．如图，一条公路路基的横断面是梯形（AD∥BC），路基顶宽AD=8米，高3米，斜坡AB的坡度为i=1：1，斜坡DC的坡角∠C=60°．（1）求斜坡AB的坡角∠B的度数；（2）求BC的长．20．某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：土特产品种甲乙丙每辆汽车运载量（吨）865每吨土特产获利（百元）121610（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，求出此次销售最大利润的值．五、解答题21．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．六、解答题22．如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c 与x轴的另一个交点为C．（1）确定抛物线的解析式及点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得EB+EC的值最小，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上是否存在点F，连接AF，使∠FAO=∠OBC，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．湖南省益阳市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3 B．|﹣2| C．（﹣3）2 D．2×103【考点】有理数大小比较．【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：∵|﹣2|=2，（﹣3）2=9，2×103=2000，∴﹣3＜2＜9＜2000，∴最小的数是﹣2，故选：A．2．若点P（a，4﹣a）是第二象限的点，则a必须满足（）A．a＜0 B．a＜4 C．0＜a＜4 D．a＞4【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、正坐标为正列出关于a的不等式组，解之可得．【解答】解：根据题意得，解得：a＜0，故选：A．3．下列运算正确的是（）A．（x﹣2）2=x2﹣4 B．x3•x4=x12C．x6÷x3=x2D．（x2）3=x6【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据能用同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方，完全平方公式计算即可．【解答】解：A、（x﹣2）2=x2﹣4x+4，故此选项错误；B、x3•x4=x7，故此选项错误；C、x6÷x3=x3，故此选项错误；D、（x2）3=x6，故此选项正确；故选D．4．某小学为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【分析】根据方差、众数、平均数和中位数的计算公式和定义分别进行解答即可．【解答】解：平均数是：（10+15+10+17+18+20）÷6=15，A说法正确，不符合题意；10出现了2次，出现的次数最多，则众数是10，B说法正确，不符合题意；把这组数据从小到大排列为10，10，15，17，18，20，最中间的数是（15+17）÷2=16，则中位数是16，C说法错误，符合题意；方差是： [2（10﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2+（20﹣15）2]= =，D 正确，不符合题意．则下列说法错误的是C．故选：C．5．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A．58°B．70°C．110°D．116°【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．【解答】解：∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠3+∠5=180°，即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°，∴∠4=∠5=110°，故选C．6．一个物体由多个完全相同的小正方形组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）A．4 B．5 C．8 D．10【考点】由三视图判断几何体．【分析】从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，从俯视图可以验证这一点，从而确定个数．【解答】解：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，只能得出一共有5个小正方体，从俯视图可以验证这一点，从而确定小正方体总个数为5个．故选B7．如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．【解答】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选C．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a ＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．计算：25的平方根是±5 ．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2=25即可得出答案．【解答】解：∵（±5）2=25∴25的平方根±5．故答案为：±5．10．从1、2、3这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出这个两位数能被3整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中这个两位数能被3整除的结果数为2，所以这个两位数能被3整除的概率==．故答案为．11．已知﹣1，，﹣，，﹣，…，请你根据以上规律写出第2015个数﹣．【考点】单项式．【分析】根据题意找出规律为当n为奇数时，第n个单项式为﹣x n﹣1；当n为偶数时，第n 个单项式为x n﹣1；根据此规律即可得出结论．【解答】解：已知﹣1，，﹣，，﹣，…，根据以上规律第2015个数是﹣．故答案为：﹣．12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，DB=2，则的值等于．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例求出所求式子的值即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，则=．故答案为：13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为30 度．【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理．【分析】根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解．【解答】解：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，∴OE=OC，∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，∴∠ABC=30°．故答案为：30．14．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=2．其中说法正确的有①②③（把你认为说法正确的序号都填上）．【考点】一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程．【分析】根据一次函数的性质，结合一次函数的图形进行解答．【解答】解：①因为一次函数的图象经过二、四象限，所以y随x的增大而减小，故本项正确②因为一次函数的图象与y轴的交点在正半轴上，所以b＞0，故本项正确③因为一次函数的图象与x轴的交点为（2，0），所以当y=0时，x=2，即关于x的方程kx+b=0的解为x=2，故本项正确故答案为①②③．三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）15．计算：2cos30°﹣|﹣1|+（）﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣+1+2=3．16．化简：•﹣．【考点】分式的混合运算．【分析】先将分子和分母能分解因式的进行因式分解，再约分，最后通分、约分可得结果．【解答】解：•﹣，=•﹣，=﹣，=，=．17．已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k﹣1=1×2，然后解方程即可；（2）根据反比例函数的性质得k﹣1＞0，然后解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得k﹣1=1×2，解得k=3；（2）因为反比例函数y=，在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，所以k﹣1＞0，解得k＞1．四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）18．某校根据实际情况在大课间活动中，决定开设：A：跳绳，B：羽毛球，C：乒乓球，D：踢毽子，E：健美操等五种运动项目，要求每人必须参加其中的一项活动且只能参加一项，随机抽取了部分学生调查他们的所选项目，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题．（1）被调查的学生人数是80 ，图中乒乓球所在的扇形的圆心角的度数是54 ；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200人，估计全校在大课间活动中参加打羽毛球的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据跳绳的人数除以跳绳的所占的百分比，可得调查的人数；根据有理数的减法，可得乒乓球的人数，根据按比例分配，可得答案；（2）根据打乒乓球的人数，可得答案；（3）根据用本估计总体，可得答案．【解答】解：（1）16÷20%=80人，被调查的人数是80人，乒乓球的人数80﹣16﹣8﹣20﹣24=12人，乒乓球所在的扇形的圆心角的度数是360×=54°，故答案为：80，54°；（2）如图，（3）全校在大课间活动中参加打羽毛球的人数1200×=120人．19．如图，一条公路路基的横断面是梯形（AD∥BC），路基顶宽AD=8米，高3米，斜坡AB的坡度为i=1：1，斜坡DC的坡角∠C=60°．（1）求斜坡AB的坡角∠B的度数；（2）求BC的长．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据坡度的概念求出斜坡AB的坡角∠B的度数；（2）根据正切的定义求出FC，计算即可．【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵斜坡AB的坡度为i=1：1，∴BE=AE=3，∴AB==3，∠B=45°；（2）FC=DF×tanC=3，∴BC=BE+EF+FC=11+3．20．某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：土特产品种甲乙丙每辆汽车运载量（吨）865每吨土特产获利（百元）121610（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，求出此次销售最大利润的值．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，则装运丙种土特产的车辆为（20﹣x﹣y），根据土特产总重量=甲种土特产的重量+乙种土特产的重量+丙种土特产的重量即可得出关于x、y的二元一次方程，整理后即可得出y与x之间的函数关系式；（2）设销售利润为w，根据总利润=甲种土特产的利润+乙种土特产的利润+丙种土特产的利润即可得出w关于x的一次函数关系式，再根据装运每种土特产的车辆都不少于3辆即可求出x 的取值范围，利用一次函数的单调性即可解决最值问题．【解答】解：（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，则装运丙种土特产的车辆为（20﹣x﹣y），根据题意得：8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120，整理得：y=﹣3x+20．（2）设销售利润为w，则w=8×12x+6×16y+5×10（20﹣x﹣y）=﹣92x+1920．∵装运每种土特产的车辆都不少于3辆，∴，解得：3≤x≤6．∵﹣92＜0，∴当x=3时，w取最大值，最大值为1644．答：此次销售最大利润为1644元．五、解答题21．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．【考点】四边形综合题．【分析】（1）只要证明△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（2）只要证明△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（3）首先四边形MNPQ是菱形，再证明∠HQG=90°，即可证得四边形MNPQ是正方形．【解答】解：（1）上述结论①，②仍然成立，理由：如图1中，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；∴AF=DE，AF⊥DE．（2）上述结论①，②仍然成立，理由：如图2中，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；∴AF=DE，AF⊥DE．（3）四边形MNPQ是正方形．理由：如图3中，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．六、解答题22．如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c 与x轴的另一个交点为C．（1）确定抛物线的解析式及点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得EB+EC的值最小，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上是否存在点F，连接AF，使∠FAO=∠OBC，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先求A、B两点的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式，在令y=0解一元二次方程求方程的解，从而求出点C的坐标；（2）根据轴对称的最短路径找到点E：直线AB与对称轴的交点即是E点，求直线AB的解析式，再求与对称轴的交点坐标即可；（3）分两种情况计算：点F分别在x轴的上方和下方，根据等角的三角函数列式计算即可．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，当y=0时，x﹣3=0，x=3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c中得：...，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3，当y=0时，﹣x2+4x﹣3=0，x 1=1，x2=3，∴C（1，0），（2）y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，∴P（2，1），∵C、A关于抛物线的对称轴对称，∴直线AB与对称轴的交点即为点E，如图1，此时EB+EC为最小，当x=2时，y=2﹣3=﹣1，∴E（2，﹣1）；（3）过F作FD⊥x轴于D，设F（a，﹣a2+4a﹣3），∵∠FAO=∠OBC，∠BOC=∠FDA=90°，∴△BOC∽△ADF，∴，∵C（1，0），B（0，﹣3），∴OC=1，OB=3，当F在x轴的上方时，如图1，得=，3﹣a=﹣3a2+12a﹣9，3a2﹣13a+12=0，（a﹣3）（3a﹣4）=0，a 1=3（舍），a2=，∴F（，），当F在x轴的下方时，如图2，...... 得=，解得：x 1=3（舍），x 2=，∴F （，﹣），综上所述，点F 的坐标为（，）或（，﹣）．。
2020届益阳市中考数学模拟试题(有答案)(Word版)(加精)
益阳市普通初中毕业学业考试试卷数学注意事项：1．本学科试卷分试题卷和答题卡两部分；2．请将姓名、准考证号等相关信息按要求填写在答题卡上；3．请按答题卡上的注意事项在答题卡上作答，答在试题卷上无效；4．本学科为闭卷考试，考试时量为90分钟，卷面满分为150分；5．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回．试题卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．下列四个实数中，最小的实数是（）A．2-B．C．4-D．1-【答案】C【解析】试题分析：根据选项中的数据，可以比较它们的大小﹣4＜﹣2＜﹣1＜2，故选C．考点：实数大小比较2．如图表示下列四个不等式组中其中一个的解集，这个不等式组是（）A．23xx≥⎧⎨-⎩＞B．23xx≤⎧⎨-⎩＜C．23xx≥⎧⎨-⎩＜D．23xx≤⎧⎨⎩＞-【答案】D【解析】考点：在数轴上表示不等式的解集3．下列性质中菱形不一定具有的性质是（）A．对角线互相平分B．对角线互相垂直C．对角线相等D．既是轴对称图形又是中心对称图形【答案】C【解析】故选：C．考点：菱形的性质4．目前，世界上能制造出的最小晶体管的长度只有0.000 000 04m，将0.000 000 04用科学计数法表示为（）A．8410⨯B．8410-⨯C．80.410⨯D．8410-⨯【答案】B【解析】试题分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．因此0.000 000 04=4×10﹣8，故选B．考点：科学记数法—表示较小的数5．下列各式化简后的结果为32的是（）A6B12C18D36【答案】C【解析】试题分析：根据二次根式的性质逐一化简可得：A6不能化简；B123C182D36=6，此选项错误；故选：C．考点：算术平方根6．关于的一元二次方程20(0)ax bx c a++=≠的两根为11x=，21x=-，那么下列结论一定成立的是（）A ．240b ac ->B ．240b ac -=C ．240b ac -<D ．240b ac -≤【答案】A 【解析】考点：1、根与系数的关系；2、根的判别式7．如图，电线杆CD 的高度为h ，两根拉线AC 与BC 相互垂直，∠CAB =α，则拉线BC 的长度为（A 、D 、B 在同一条直线上）（ ）A ．sin hαB ．cos h α C ．tan hαD ．cos h α⋅【答案】B 【解析】试题分析：根据同角的余角相等得∠CAD=∠BCD ，由os ∠BCD=CD BC 知BC=cos CD BCD ∠=cos hα． 故选：B ．考点：解直角三角形的应用8．如图，空心卷筒纸的高度为12cm ，外径（直径）为10cm ，内径为4cm ，在比例尺为1:4的三视图中，其主视图的面积是（ ）A ．214πcm 2B ．2116πcm 2 C ．30cm 2 D ．7.5cm 2【答案】D 【解析】考点：简单组合体的三视图二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡．．．中对应题号后的横线上）9．如图，AB∥CD，CB平分∠ACD．若∠BCD = 28°,则∠A的度数为．【答案】124°【解析】试题分析：根据平行线的性质得到∠ABC=∠BCD=28°，根据角平分线的定义得到∠ACB=∠BCD=28°，根据三角形的内角和即可得到∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=124°，故答案为：124°．考点：平行线的性质10．如图，△ABC中，5AC=，12BC=，AB=13，CD是AB边上的中线．则CD= ．【答案】6.5【解析】考点：1、勾股定理的逆定理；2、直角三角形斜边上的中线1132x-有意义，则的取值范围是．【答案】x≤3 2【解析】试题分析：由题意可知：32020xx-≥⎧⎨-≠⎩∴x≤32且x≠2，∴x的取值范围为：x≤3 2故答案为：x≤3 2考点：二次根式有意义的条件12．学习委员调查本班学生课外阅读情况，对学生喜爱的书籍进行分类统计，其中“古诗词类”的频数为12人，频率为0.25，那么被调查的学生人数为．【答案】48【解析】试题分析：设被调查的学生人数为x人，则有12x=0.25，解得x=48，经检验x=48是方程的解．故答案为48；考点：频数与频率13．如图，多边形ABCDE的每个内角都相等，则每个内角的度数为．【答案】108°【解析】试题分析：根据多边形的内角和公式由五边形的内角和=（5﹣2）•180°=540°，然后根据五边形的每个内角都相等，可得每个内角的度数=540°÷5=108°．故答案是：108°．考点：多边形内角与外角14．如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC = 36°，DE是线段AC的垂直平分线，若BE=a，AE=b，则用含a、b的代数式表示△ABC的周长为．【答案】2a+3b【解析】考点：1、等腰三角形的性质；2、线段垂直平分线的性质三、解答题（本大题8个小题，共80分)15．（本小题满分8分）计算：()0242cos6032(3)--︒+---【答案】-5【解析】试题分析：根据实数运算法则、零指数幂和特殊三角形函数值得有关知识计算即可．试题解析：原式=4﹣2×12+1﹣9，=﹣5．考点：1、实数的运算；2、零指数幂；3、特殊角的三角函数值16．（本小题满分8分）先化简，再求值：2221111x x xx x++-++-，其中2x=-．【答案】2x+2，-2【解析】考点：分式的化简求值17．（本小题满分8分）如图，四边形ABCD为平行四边形，F是CD的中点，连接AF并延长与BC的延长线交于点E．求证：BC = CE．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据平行四边形的对边平行且相等可得AD=BC，AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，根据线段中点的定义可得DF=CF，然后利用“角角边”证明△ADF≌△ECF，根据全等三角形对应边相等可得AD=CE，从而得证．试题解析：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAF=∠E，∠ADF=∠ECF，又∵F是CD的中点，即DF=CF，∴△ADF≌△ECF，∴AD=CE，∴BC=CE．考点：1、平行四边形的性质；2、全等三角形的判定与性质18．（本小题满分10分）垫球是排球队常规训练的重要项目之一．下列图表中的数据是甲、乙、丙三人每人十次垫球测试的成绩．测试规则为连续接球10个，每垫球到位1个记1分．运动员甲测试成绩表测试序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10成绩（分）7 6 8 7 7 5 8 7 8 7（1）写出运动员甲测试成绩的众数和中位数；（2）在他们三人中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的接球能手作为自由人，你认为选谁更合适?为什么? (参考数据：三人成绩的方差分别为20.8S =甲、20.4S =乙、20.8S =丙)（3）甲、乙、丙三人相互之间进行垫球练习，每个人的球都等可能的传给其他两人，球最先从甲手中传出，第三轮结束时球回到甲手中的概率是多少？（用树状图或列表法解答） 【答案】（1）7；7（2）选乙运动员更合适（3）14【解析】试题分析：（1）观察表格可知甲运动员测试成绩的众数和中位数都是（7分）； （2）易知x 甲=7（分），x 乙=7（分），x 丙=6.3（分），根据题意不难判断； （3）画出树状图，即可解决问题；第三轮结束时球回到甲手中的概率是P （求回到甲手中）=2184=． 考点：1、列表法与树状图法；2、条形统计图；3、折线统计图；4、中位数；5、众数；6、方差 19．（本小题满分10分）我市南县大力发展农村旅游事业，全力打造“洞庭之心湿地公园”，其中罗文村的“花海、涂鸦、美食”特色游享誉三湘，游人如织．去年村民罗南洲抓住机遇，返乡创业，投入20万元创办农家乐（餐饮＋住宿），一年时间就收回投资的80%，其中餐饮利润是住宿利润的2倍还多1万元． （1）求去年该农家乐餐饮和住宿的利润各为多少万元？（2）今年罗南洲把去年的餐饮利润全部用于继续投资，增设了土特产的实体店销售和网上销售项目．他在接受记者采访时说：“我预计今年餐饮和住宿的利润比去年会有10%的增长，加上土特产销售的利润，到年底除收回所有投资外，还将获得不少于10万元的纯利润．”请问今年土特产销售至少有多少万元的利润？【答案】（1）去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元（2）今年土特产销售至少有7.4万元的利润【解析】试题分析：（1）设去年餐饮利润为x万元，住宿利润为y万元，根据题意列出方程组，求出方程组的解即可得到结果；（2）设今年土特产的利润为m万元，根据题意列出不等式，求出不等式的解集即可得到结果．试题解析：（1）设去年餐饮利润x万元，住宿利润y万元，依题意得：208021x yx y+=⨯⎧⎨=+⎩％，解得：115xy=⎧⎨=⎩，答：去年餐饮利润11万元，住宿利润5万元；（2）设今年土特产利润m万元，依题意得：16+16×（1+10%）+m﹣20﹣11≥10，解之得，m≥7.4，答：今年土特产销售至少有7.4万元的利润．考点：1、一元一次不等式的应用；2、二元一次方程组的应用20．（本小题满分10分）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，且∠BCD=∠A．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，CD=4，求BD的长．【答案】（1）证明见解析（2）2【解析】∴∠BCD+∠OCB=90°，即∠OCD=90°， ∴CD 是⊙O 的切线．（2）在Rt △OCD 中，∠OCD=90°，OC=3，CD=4， ∴OD=22OC CD +=5， ∴BD=OD ﹣OB=5﹣3=2．考点：切线的判定与性质21．（本小题满分12分）在平面直角坐标系中，将一点（横坐标与纵坐标不相等）的横坐标与纵坐标互换后得到的点叫这一点的“互换点”，如（-3，5）与（5，-3）是一对“互换点”． （1）任意一对“互换点”能否都在一个反比例函数的图象上？为什么？（2）M 、N 是一对“互换点”，若点M 的坐标为(,)m n ，求直线MN 的表达式（用含m 、n 的代数式表示）； （3）在抛物线2y x bx c =++的图象上有一对“互换点”A 、B ，其中点A 在反比例函数2y x=-的图象上，直线AB 经过点P (12，12)，求此抛物线的表达式． 【答案】（1）不一定（2）直线MN 的表达式为y=﹣x+m+n （3）抛物线的表达式为y=x 2﹣2x ﹣1 【解析】①当ab=0时，它们不可能在反比例函数的图象上，②当ab≠0时，由kba=可得kab=，即（a，b）和（b，a）都在反比例函数kyx=（k≠0）的图象上；（2）由M（m，n）得N（n，m），设直线MN的表达式为y=cx+d（c≠0）．则有mc d nnc d m+=⎧⎨+=⎩解得1cd m n=-⎧⎨=+⎩，∴直线MN的表达式为y=﹣x+m+n；（3）设点A（p，q），则2qp =，∴12421b cb c-+=⎧⎨++=-⎩解得21bc=-⎧⎨=-⎩，∴此抛物线的表达式为y=x2﹣2x﹣1．考点：1、反比例函数图象上点的坐标特征；2、待定系数法求一次函数解析式；3、待定系数法求二次函数解析式22．（本小题满分14分）如图，直线1y x=+与抛物线22y x=相交于A、B两点，与y轴交于点M，M、N关于x轴对称，连接AN、BN．（1）①求A、B的坐标；②求证：∠ANM=∠BNM；（2）如图，将题中直线1y x=+变为(0)y kx b b=+>，抛物线22y x=变为2(0)y ax a=>，其他条件不变，那么∠ANM=∠BNM是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1）①（-12，12），（ 1，2）②证明见解析（2）∠ANM=∠BNM成立【解析】∴A、B两点的坐标分别为（-12，12），（ 1，2）；②如图1，过A作AC⊥y轴于C，过B作BD⊥y轴于D，①当k=0，△ABN 是关于y 轴的轴对称图形，∴∠ANM=∠BNM ；②当k ≠0，根据题意得：OM=ON=b ，设A 211(,)x ax 、B 222(,)x ax ．如图2，过A 作AE ⊥y 轴于E ，过B 作BF ⊥y 轴于F ，由题意可知：ax 2=kx+b ，即ax 2﹣kx ﹣b=0， ∴12k x x a +=，12b x x a=-， ∵NF NE BF AE -=222121b ax b ax x x ++--=2211221212bx ax x bx ax x x x +++=121212()()x x ax x b x x ++=[()]()k b a b a a b a⋅-+-=0∴NF NE BF AE，∴Rt△AEN∽Rt△BFN，∴∠ANM=∠BNM．考点：二次函数综合题。
2020届湖南省益阳市中考数学三模试卷(有答案)(加精)
湖南省益阳市中考数学三模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3 B．|﹣2|C．（﹣3）2D．2×1032．若点P（a，4﹣a）是第二象限的点，则a必须满足（）A．a＜0 B．a＜4 C．0＜a＜4 D．a＞43．下列运算正确的是（）A．（x﹣2）2=x2﹣4 B．x3•x4=x12C．x6÷x3=x2D．（x2）3=x64．某小学为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是5．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A．58°B．70°C．110° D．116°6．一个物体由多个完全相同的小正方形组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）A．4 B．5 C．8 D．107．如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．计算：25的平方根是．10．从1、2、3这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是．11．已知﹣1，，﹣，，﹣，…，请你根据以上规律写出第2015个数．12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，DB=2，则的值等于．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．14．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=2．其中说法正确的有（把你认为说法正确的序号都填上）．三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）15．计算：2cos30°﹣|﹣1|+（）﹣1．16．化简：•﹣．17．已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围．四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）18．某校根据实际情况在大课间活动中，决定开设：A：跳绳，B：羽毛球，C：乒乓球，D：踢毽子，E：健美操等五种运动项目，要求每人必须参加其中的一项活动且只能参加一项，随机抽取了部分学生调查他们的所选项目，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题．（1）被调查的学生人数是，图中乒乓球所在的扇形的圆心角的度数是；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200人，估计全校在大课间活动中参加打羽毛球的人数．19．如图，一条公路路基的横断面是梯形（AD∥BC），路基顶宽AD=8米，高3米，斜坡AB 的坡度为i=1：1，斜坡DC的坡角∠C=60°．（1）求斜坡AB的坡角∠B的度数；（2）求BC的长．20．某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：土特产品种甲乙丙每辆汽车运载量（吨）865每吨土特产获利（百元）121610（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，求出此次销售最大利润的值．五、解答题21．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．六、解答题22．如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c 与x轴的另一个交点为C．（1）确定抛物线的解析式及点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得EB+EC的值最小，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上是否存在点F，连接AF，使∠FAO=∠OBC，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．湖南省益阳市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3 B．|﹣2|C．（﹣3）2D．2×103【考点】有理数大小比较．【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：∵|﹣2|=2，（﹣3）2=9，2×103=2000，∴﹣3＜2＜9＜2000，∴最小的数是﹣2，故选：A．2．若点P（a，4﹣a）是第二象限的点，则a必须满足（）A．a＜0 B．a＜4 C．0＜a＜4 D．a＞4【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、正坐标为正列出关于a的不等式组，解之可得．【解答】解：根据题意得，解得：a＜0，故选：A．3．下列运算正确的是（）A．（x﹣2）2=x2﹣4 B．x3•x4=x12C．x6÷x3=x2D．（x2）3=x6【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据能用同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方，完全平方公式计算即可．【解答】解：A、（x﹣2）2=x2﹣4x+4，故此选项错误；B、x3•x4=x7，故此选项错误；C、x6÷x3=x3，故此选项错误；D、（x2）3=x6，故此选项正确；故选D．4．某小学为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【分析】根据方差、众数、平均数和中位数的计算公式和定义分别进行解答即可．【解答】解：平均数是：（10+15+10+17+18+20）÷6=15，A说法正确，不符合题意；10出现了2次，出现的次数最多，则众数是10，B说法正确，不符合题意；把这组数据从小到大排列为10，10，15，17，18，20，最中间的数是（15+17）÷2=16，则中位数是16，C说法错误，符合题意；方差是： [2（10﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2+（20﹣15）2]==，D正确，不符合题意．则下列说法错误的是C．故选：C．5．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A．58°B．70°C．110° D．116°【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．【解答】解：∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠3+∠5=180°，即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°，∴∠4=∠5=110°，故选C．6．一个物体由多个完全相同的小正方形组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）A．4 B．5 C．8 D．10【考点】由三视图判断几何体．【分析】从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，从俯视图可以验证这一点，从而确定个数．【解答】解：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，只能得出一共有5个小正方体，从俯视图可以验证这一点，从而确定小正方体总个数为5个．故选B7．如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．【解答】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选C．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a ＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c 得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．计算：25的平方根是±5．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2=25即可得出答案．【解答】解：∵（±5）2=25∴25的平方根±5．故答案为：±5．10．从1、2、3这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出这个两位数能被3整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中这个两位数能被3整除的结果数为2，所以这个两位数能被3整除的概率==．故答案为．11．已知﹣1，，﹣，，﹣，…，请你根据以上规律写出第2015个数﹣．【考点】单项式．【分析】根据题意找出规律为当n为奇数时，第n个单项式为﹣x n﹣1；当n为偶数时，第n 个单项式为x n﹣1；根据此规律即可得出结论．【解答】解：已知﹣1，，﹣，，﹣，…，根据以上规律第2015个数是﹣．故答案为：﹣．12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，DB=2，则的值等于．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例求出所求式子的值即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，则=．故答案为：13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为30度．【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理．【分析】根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解．【解答】解：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，∴OE=OC，∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，∴∠ABC=30°．故答案为：30．14．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=2．其中说法正确的有①②③（把你认为说法正确的序号都填上）．【考点】一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程．【分析】根据一次函数的性质，结合一次函数的图形进行解答．【解答】解：①因为一次函数的图象经过二、四象限，所以y随x的增大而减小，故本项正确②因为一次函数的图象与y轴的交点在正半轴上，所以b＞0，故本项正确③因为一次函数的图象与x轴的交点为（2，0），所以当y=0时，x=2，即关于x的方程kx+b=0的解为x=2，故本项正确故答案为①②③．三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）15．计算：2cos30°﹣|﹣1|+（）﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣+1+2=3．16．化简：•﹣．【考点】分式的混合运算．【分析】先将分子和分母能分解因式的进行因式分解，再约分，最后通分、约分可得结果．【解答】解：•﹣，=•﹣，=﹣，=，=．17．已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k﹣1=1×2，然后解方程即可；（2）根据反比例函数的性质得k﹣1＞0，然后解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得k﹣1=1×2，解得k=3；（2）因为反比例函数y=，在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，所以k﹣1＞0，解得k＞1．四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）18．某校根据实际情况在大课间活动中，决定开设：A：跳绳，B：羽毛球，C：乒乓球，D：踢毽子，E：健美操等五种运动项目，要求每人必须参加其中的一项活动且只能参加一项，随机抽取了部分学生调查他们的所选项目，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题．（1）被调查的学生人数是80，图中乒乓球所在的扇形的圆心角的度数是54；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200人，估计全校在大课间活动中参加打羽毛球的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据跳绳的人数除以跳绳的所占的百分比，可得调查的人数；根据有理数的减法，可得乒乓球的人数，根据按比例分配，可得答案；（2）根据打乒乓球的人数，可得答案；（3）根据用本估计总体，可得答案．【解答】解：（1）16÷20%=80人，被调查的人数是80人，乒乓球的人数80﹣16﹣8﹣20﹣24=12人，乒乓球所在的扇形的圆心角的度数是360×=54°，故答案为：80，54°；（2）如图，（3）全校在大课间活动中参加打羽毛球的人数1200×=120人．19．如图，一条公路路基的横断面是梯形（AD∥BC），路基顶宽AD=8米，高3米，斜坡AB 的坡度为i=1：1，斜坡DC的坡角∠C=60°．（1）求斜坡AB的坡角∠B的度数；（2）求BC的长．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据坡度的概念求出斜坡AB的坡角∠B的度数；（2）根据正切的定义求出FC，计算即可．【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵斜坡AB的坡度为i=1：1，∴BE=AE=3，∴AB==3，∠B=45°；（2）FC=DF×tanC=3，∴BC=BE+EF+FC=11+3．20．某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：土特产品种甲乙丙每辆汽车运载量（吨）865每吨土特产获利（百元）121610（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，求出此次销售最大利润的值．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，则装运丙种土特产的车辆为（20﹣x﹣y），根据土特产总重量=甲种土特产的重量+乙种土特产的重量+丙种土特产的重量即可得出关于x、y的二元一次方程，整理后即可得出y与x之间的函数关系式；（2）设销售利润为w，根据总利润=甲种土特产的利润+乙种土特产的利润+丙种土特产的利润即可得出w关于x的一次函数关系式，再根据装运每种土特产的车辆都不少于3辆即可求出x 的取值范围，利用一次函数的单调性即可解决最值问题．【解答】解：（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，则装运丙种土特产的车辆为（20﹣x﹣y），根据题意得：8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120，整理得：y=﹣3x+20．（2）设销售利润为w，则w=8×12x+6×16y+5×10（20﹣x﹣y）=﹣92x+1920．∵装运每种土特产的车辆都不少于3辆，∴，解得：3≤x≤6．∵﹣92＜0，∴当x=3时，w取最大值，最大值为1644．答：此次销售最大利润为1644元．五、解答题21．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD 的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．【考点】四边形综合题．【分析】（1）只要证明△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（2）只要证明△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（3）首先四边形MNPQ是菱形，再证明∠HQG=90°，即可证得四边形MNPQ是正方形．【解答】解：（1）上述结论①，②仍然成立，理由：如图1中，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；∴AF=DE，AF⊥DE．（2）上述结论①，②仍然成立，理由：如图2中，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；∴AF=DE，AF⊥DE．（3）四边形MNPQ是正方形．理由：如图3中，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．六、解答题22．如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c 与x轴的另一个交点为C．（1）确定抛物线的解析式及点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得EB+EC的值最小，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上是否存在点F，连接AF，使∠FAO=∠OBC，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先求A、B两点的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式，在令y=0解一元二次方程求方程的解，从而求出点C的坐标；（2）根据轴对称的最短路径找到点E：直线AB与对称轴的交点即是E点，求直线AB的解析式，再求与对称轴的交点坐标即可；（3）分两种情况计算：点F分别在x轴的上方和下方，根据等角的三角函数列式计算即可．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，当y=0时，x﹣3=0，x=3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3，当y=0时，﹣x2+4x﹣3=0，x1=1，x2=3，∴C（1，0），（2）y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，∴P（2，1），∵C、A关于抛物线的对称轴对称，∴直线AB与对称轴的交点即为点E，如图1，此时EB+EC为最小，当x=2时，y=2﹣3=﹣1，∴E（2，﹣1）；（3）过F作FD⊥x轴于D，设F（a，﹣a2+4a﹣3），∵∠FAO=∠OBC，∠BOC=∠FDA=90°，∴△BOC∽△ADF，∴，∵C（1，0），B（0，﹣3），∴OC=1，OB=3，当F在x轴的上方时，如图1，得=，3﹣a=﹣3a2+12a﹣9，3a2﹣13a+12=0，（a﹣3）（3a﹣4）=0，a1=3（舍），a2=，∴F（，），当F在x轴的下方时，如图2，//// //// 得=， 解得：x 1=3（舍），x 2=，∴F （，﹣），综上所述，点F 的坐标为（，）或（，﹣）．。
2020年湖南省益阳市中考数学模拟试卷(6月份)
2020年湖南省益阳市中考数学模拟试卷（6月份）一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（4分）4的相反数是（）A．B．﹣C．4D．﹣42．（4分）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．4a﹣3a＝13．（4分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠04．（4分）在防治“非典”的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”．一位同学在一周内的体温测量结果分别为+0.1，﹣0.3，﹣0.5，+0.1，+0.2，﹣0.6，﹣0.4，那么，该同学一周中测量体温的平均值为（）A．37.1℃B．37.31℃C．36.69℃D．36.8℃5．（4分）如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．6．（4分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是（）A．58.5m B．60m C．21.5m D．20m7．（4分）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为（）A．4B．﹣2C．﹣4D．18．（4分）若|x|＝3，|y|＝7，xy＜0，则x﹣y的值为（）A．4或﹣4B．10或﹣10C．4或﹣10D．﹣4或﹣10 9．（4分）一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积是（）A．6πB．3πC．12πD．24π10．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x＞0时，y＞0；②当x＞1时，y随x的增大而减少；③m＞﹣1；④当a＝﹣1时，b＝3；其中，判断正确的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②③④二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）11．（4分）1月31日，日照环卫工人袁某将自己多年积蓄12000元，转给武汉，为防疫一线的工作人员加油，请用科学记数法表示12000的结果是．12．（4分）不等式组的解集是．13．（4分）已知多边形的内角和比它的外角和大720°，则多边形的边数为．14．（4分）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的两个点，当0＜x1＜x2时，y1＞y2，则一次函数y＝﹣2x+k的图象不经过第象限．15．（4分）观察下列各式：＝2；＝3；＝4，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来．16．（4分）如图，P是等边△ABC内一点，△BMC是由△BP A绕点B逆时针旋转所得，若MC∥BP，则∠BMC＝°．17．（4分）如图，在▱ABCD中，DB＝AB，AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAB＝50°，则∠C＝°．18．（4分）花花上学经过3个路口，如果每个路口可直接通过或需等待的可能性相等，那么花花上学时在这3个路口都直接通过的概率为．三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：．20．（8分）化简：．21．（8分）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD•AC．22．（10分）某校学生会干部对全校师生倡导的“武汉加油”的自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．组别捐款额x（元）人数A1≤x＜10aB10≤x＜20100C20≤x＜30D30≤x＜40E40≤x＜50请结合以上信息解答下列问题．（1）a＝，本次调查样本的容量是；（2）先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；（3）根据统计情况，估计该校参加捐款的5000名学生有多少人捐款在20至50元之间．23．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE 上的一点，CF∥BD．（1）求证：BE＝CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC＝6，AD＝10，求CD的长．24．（10分）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A县需要6吨，B县8吨，正好C县储备有10吨，D县储备有4吨，市预防冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往A县和B县，消毒液的运费价格如表（单位：元/吨）．设从C县调运x吨到A县．（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少？起点A县B县终点C县60100D县357025．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，把它放在x轴的正半轴上，AD与x轴重合且点A坐标为（3，0）．（1）若以点A为旋转中心，将矩形ABCD逆时针旋转，使点B落到y轴上的点B1处，得到矩形AB1C1D1，如图2，求点B1，C1，D1的坐标．（2）若将矩形ABCD向左平移一段距离后得到矩形A2B2C2D2，如图3，再将它以A2为旋转中心逆时针旋转，使点B2落到y轴上的点B3处．此时点C3恰好落在点A2的正上方得到矩形A2B3C3D3，求平移的距离并写出C3的坐标．26．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①试求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．2020年湖南省益阳市中考数学模拟试卷（6月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求）1．（4分）4的相反数是（）A．B．﹣C．4D．﹣4【解答】解：4的相反数是﹣4，故选：D．2．（4分）下列运算正确的是（）A．a3•a2＝a6B．（a+b）2＝a2+b2C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2D．4a﹣3a＝1【解答】解：A、原式＝a5，故A错误．B、原式＝a2+2ab+b2，故B错误．C、原式＝a2﹣b2，故C正确．D、原式＝a，故D错误．故选：C．3．（4分）如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是（）A．k＜B．k＜且k≠0C．﹣≤k＜D．﹣≤k＜且k≠0【解答】解：∵kx2﹣x+1＝0有两个不相等实数根，∴k≠0且△＞0，即（﹣）2﹣4k＞0，解得k≠0且k＜，∴k＜且k≠0，故选：B．4．（4分）在防治“非典”的例行体温检查中，检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”．一位同学在一周内的体温测量结果分别为+0.1，﹣0.3，﹣0.5，+0.1，+0.2，﹣0.6，﹣0.4，那么，该同学一周中测量体温的平均值为（）A．37.1℃B．37.31℃C．36.69℃D．36.8℃【解答】解：根据题意检查人员将高出37℃的部分记作正数，将低于37℃的部分记作负数，体温正好是37℃时记作“0”得这位同学在一周内的体温分别是37.1、36.7、36.5、37.1、37.2、36.4、36.6；将（37.1+36.7+36.5+37.1+37.2+36.4+36.6）÷7＝36.8℃；故选：D．5．（4分）如图的几何体是由五个小正方体组合而成的，则这个几何体的左视图是（）A．B．C．D．【解答】解：从左边看第一层是两个正方形，第二层是左边一个正方形，故选：D．6．（4分）如图，小亮为了测量校园里教学楼AB的高度，将测角仪CD竖直放置在与教学楼水平距离为的地面上，若测角仪的高度为1.5m，测得教学楼的顶部A处的仰角为30°，则教学楼的高度是（）A．58.5m B．60m C．21.5m D．20m【解答】解：如图，作DE⊥AB于E，在Rt△ADE中，tan∠ADE＝，∴AE＝DE•tan∠ADE＝20×＝20（m），∴AB＝AE+EB＝20+1.5＝21.5（m），答：教学楼的高度是21.5m．故选：C．7．（4分）若关于x的方程3x﹣kx+2＝0的解为2，则k的值为（）A．4B．﹣2C．﹣4D．1【解答】解：把x＝2代入方程3x﹣kx+2＝0得：6﹣2k+2＝0，解得：k＝4，故选：A．8．（4分）若|x|＝3，|y|＝7，xy＜0，则x﹣y的值为（）A．4或﹣4B．10或﹣10C．4或﹣10D．﹣4或﹣10【解答】解：∵|x|＝3，|y|＝7，且xy＜0，∴x＝3，y＝﹣7或x＝﹣3，y＝7，则x﹣y＝10或﹣10．故选：B．9．（4分）一个扇形的半径为3，圆心角为120°，则这个扇形的面积是（）A．6πB．3πC．12πD．24π【解答】解：根据题意，S扇形＝＝3π．故选：B．10．（4分）如图，抛物线y＝﹣x2+2x+m+1交x轴于点A（a，0）和B（b，0），交y轴于点C，抛物线的顶点为D，下列四个判断：①当x＞0时，y＞0；②当x＞1时，y随x的增大而减少；③m＞﹣1；④当a＝﹣1时，b＝3；其中，判断正确的序号是（）A．①②B．②③C．①③D．②③④【解答】解：①由图象可知，当x＞0时，y可以小于0，故①错误；②∵抛物线的对称轴为x＝﹣＝1，∴当x＞1时，y随x的增大而减少，故②正确；③由图象可知m+1＞0，∴m＞﹣1，故③正确；④若a＝﹣1，则A（﹣1，0），抛物线的对称轴为x＝1，∴B（3，0），∴b＝3，故④正确；故选：D．二、填空题（本题共8个小题，每小题4分，共32分）11．（4分）1月31日，日照环卫工人袁某将自己多年积蓄12000元，转给武汉，为防疫一线的工作人员加油，请用科学记数法表示12000的结果是 1.2×104．【解答】解：12000＝1.2×104．故答案为：1.2×104．12．（4分）不等式组的解集是1＜x≤2．【解答】解：解不等式x﹣1＞0，得：x＞1，解不等式5﹣2x≥1，得：x≤2，则不等式组的解集为1＜x≤2，故答案为：1＜x≤2．13．（4分）已知多边形的内角和比它的外角和大720°，则多边形的边数为8．【解答】解：设这个多边形的边数是n，则（n﹣2）•180°＝360°+720°，解得n＝8．故答案为：814．（4分）设点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的两个点，当0＜x1＜x2时，y1＞y2，则一次函数y＝﹣2x+k的图象不经过第三象限．【解答】解：∵点A（x1，y1），B（x2，y2）是反比例函数图象上的两个点，当0＜x1＜x2时，y1＞y2，∴0＜x1＜x2时，y随x的增大而减小，∴k＞0，∴一次函数y＝﹣2x+k的图象不经过的象限是：第三象限．故答案为三．15．（4分）观察下列各式：＝2；＝3；＝4，……请你将发现的规律用含自然数n（n≥1）的等式表示出来．【解答】解：由题目中的式子可得，第n个式子为：，故答案为：．16．（4分）如图，P是等边△ABC内一点，△BMC是由△BP A绕点B逆时针旋转所得，若MC∥BP，则∠BMC＝120°．【解答】解：连接MP，∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝60°，∵△BMC是由△BP A旋转所得，∴BM＝BP，∠PBA＝∠MBC，∴∠MBP＝∠MBC+∠CBP＝∠PBA+∠CBP＝∠ABC＝60°，∴△MBP是等边三角形，∴∠BMP＝∠MPB＝60°，∵MC∥BP，∴∠CMP＝∠MPB＝60°，∴∠BMC＝60°+60°＝120°．故答案为：120．17．（4分）如图，在▱ABCD中，DB＝AB，AE⊥BD，垂足为点E，若∠EAB＝50°，则∠C＝70°．【解答】解：在△ABE中，∵AE⊥BD，垂足为E，∠EAB＝50°，∴∠ABE＝90°﹣∠EAB＝40°，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠BDC＝∠ABE＝40°，∵DB＝DC，∴∠C＝（180°﹣∠BDC）＝70°，故答案为：70．18．（4分）花花上学经过3个路口，如果每个路口可直接通过或需等待的可能性相等，那么花花上学时在这3个路口都直接通过的概率为．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有8种等可能结果，其中小明上学时在这三个路口都直接通过的只有1种结果，∴花花上学时在这3个路口都直接通过的概率为，故答案为：．三、解答题（本题共8个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）19．（8分）计算：．【解答】解：原式＝＝＝2．20．（8分）化简：．【解答】解：原式＝[﹣]×＝×＝x﹣1．21．（8分）如图，已知△ABC中，点D在AC上且∠ABD＝∠C，求证：AB2＝AD•AC．【解答】证明：∵∠ABD＝∠C，∠A是公共角，∴△ABD∽△ACB，∴，∴AB2＝AD•AC．22．（10分）某校学生会干部对全校师生倡导的“武汉加油”的自愿捐款活动进行抽样调查，得到一组学生捐款情况的数据，对学校部分捐款人数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款人数的比为1：5．组别捐款额x（元）人数A1≤x＜10aB10≤x＜20100C20≤x＜30D30≤x＜40E40≤x＜50请结合以上信息解答下列问题．（1）a＝20，本次调查样本的容量是500；（2）先求出C组的人数，再补全“捐款人数分组统计图1”；（3）根据统计情况，估计该校参加捐款的5000名学生有多少人捐款在20至50元之间．【解答】解：（1）a＝100×＝20，本次调查样本的容量是：（100+20）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）＝500，故答案为：20，500；（2）500×40%＝200，即C组的人数为200，补全“捐款人数分组统计图1”如图所示；（3）5000×（40%+28%+8%）＝3800（人），答：该校5000名学生中大约有3800人捐款在20至50元之间．23．（10分）如图，已知△ABC内接于⊙O，且AB＝AC，直径AD交BC于点E，F是OE 上的一点，CF∥BD．（1）求证：BE＝CE；（2）试判断四边形BFCD的形状，并说明理由；（3）若BC＝6，AD＝10，求CD的长．【解答】解（1）证明：∵AD是直径，∴∠ABD＝∠ACD＝90°，在Rt△ABD和Rt△ACD中，，∴Rt△ABD≌Rt△ACD，∴∠BAD＝∠CAD，∵AB＝AC，∴BE＝CE．（2）四边形BFCD是菱形．证明：∵AB＝AC，BE＝CE，∴AD⊥BC，∵CF∥BD，∴∠FCE＝∠DBE，在△BED和△CEF中，，∴△BED≌△CEF，∴CF＝BD，∴四边形BFCD是平行四边形，∵∠BAD＝∠CAD，∴BD＝CD，∴四边形BFCD是菱形．（3）解：∵AD是直径，AD⊥BC，BE＝CE，且∠AEC＝∠CED，∠CAE＝∠ECD，∴△AEC∽△CED，∴，∴CE2＝DE•AE，设DE＝x，∵BC＝6，AD＝10，∴32＝x（10﹣x），解得：x＝1或x＝9（舍去），在Rt△CED中，CD ＝＝．24．（10分）预防新型冠状病毒期间，某种消毒液A县需要6吨，B县8吨，正好C县储备有10吨，D县储备有4吨，市预防冠状病毒领导小组决定将这14吨消毒液调往A县和B县，消毒液的运费价格如表（单位：元/吨）．设从C县调运x吨到A县．（1）求调运14吨消毒液的总运费y关于x的函数关系式；（2）求出总运费最低的调运方案，最低运费的多少？A县B县起点终点C县60100D县3570【解答】解：（1）设从C县调运x吨到A县．则从C县调运（10﹣x）吨到B县，从D 县调运（6﹣x）吨到A县，从D县调运8﹣（10﹣x）＝（x﹣2）吨到B县，由题意可得y＝60x+100 （10﹣x）+35（6﹣x）+70（x﹣2）＝﹣5x+1070 （2≤x≤6）；（2）由（1）的函数可知，k＝﹣5＜0，因此函数的值随x的增大而减小，当x＝6，有最小值y＝1070﹣5×6＝1040元，因此当从C县调运6吨到A县时，运费最低，为1040元．25．（12分）如图1，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝2，把它放在x轴的正半轴上，AD与x轴重合且点A坐标为（3，0）．（1）若以点A为旋转中心，将矩形ABCD逆时针旋转，使点B落到y轴上的点B1处，得到矩形AB1C1D1，如图2，求点B1，C1，D1的坐标．（2）若将矩形ABCD向左平移一段距离后得到矩形A2B2C2D2，如图3，再将它以A2为旋转中心逆时针旋转，使点B2落到y轴上的点B3处．此时点C3恰好落在点A2的正上方得到矩形A2B3C3D3，求平移的距离并写出C3的坐标．【解答】解：（1）∵A（3，0），∴OA＝3．∵AB＝5，∴由旋转的性质可知AB1＝AB＝5．在Rt△AOB1中，由勾股定理可得：OB1＝＝4，∴B1的坐标为（0，4）．如下图，过D1作D1E⊥x轴于E，∵四边形AB1C1D1是矩形，∴∠B1AD1＝90°．∴∠OAB1+∠EAD1＝90°．又∵∠OAB1+∠OB1A＝90°，∴∠EAD1＝∠OB1A．又∵∠AOB1＝∠AED1＝90°，∴Rt△AOB1∽Rt△D1EA．∴．由旋转性质可知，AD1＝AD＝2，∴．∴ED1＝1.2，EA＝1.6．∴OE＝OA+AE＝3+1.6＝4.6，∴D1（4.6，1.2）．过点C1作C1F⊥y轴于F，如上图，同理可得：Rt△B1C1F∽Rt△AB1O．∴∠C1B1F＝∠B1AO．∵，∴．∵B1C1＝BC＝AD＝2．∴．解得C1F＝1.6．∴．则．解得B1F＝1.2．∴OF＝OB1+B1F＝4+1.2＝5.2．∴C1（1.6，5.2）．（2）连接B2C3，过B3作B3G⊥A2C3于G，如图，在Rt△A2B3C3中，A2B3＝AB＝5，B3C3＝BC＝2，∴A2C3＝．又∵＝，∴A2B3•B3C3＝A2C3•B3G．即5×2＝•B3G．∴．∴，因此向左平移的距离为．∵OA2＝，A2C3＝，∴点C3的坐标为（，）．26．（12分）如图1，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图2，若E是线段AD上的一个动点（E与A、D不重合），过E点作平行于y轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①试求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）由题意得，解得，∴该抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3；（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC，又∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小．∵点A，点B关于对称轴l对称．∴连接AC交l于点P，即点P为所求点．∴AP＝BP，∴△PBC的周长最小值是：PB+PC+BC＝AC+BC，∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，﹣3），∴AC＝，BC＝，故△PBC的周长最小值为+；（3）①∵抛物线的表达式为y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，∴点D的坐标为（﹣1，﹣4），设直线AD的表达式为y＝kx+n，把点A（﹣3，0），D（﹣1，﹣4）代入y＝kx+n，得，解得，∴直线AD的表达式为y＝﹣2x﹣6，∵点E的横坐标为m．∴E（m，﹣2m﹣6），F（m，m2+2m﹣3），∴EF＝﹣2m﹣6﹣（m2+2m﹣3）＝﹣m2﹣4m﹣3，∴S＝S△EF A+S△EFD＝﹣＝＝＝﹣m2﹣4m﹣3，∴S与m的函数表达式为S＝﹣m2﹣4m﹣3；②存在．∵S＝﹣m2﹣4m﹣3＝﹣（m+2）2+1∴当m＝﹣2时，S最大，最大值为1．此时点E的坐标为（﹣2，﹣2）．第21页（共21页）。
湖南省益阳市2019-2020学年中考第三次模拟数学试题含解析
湖南省益阳市2019-2020学年中考第三次模拟数学试题一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（）A．8cm B．4cm C．42cm D．5cm2．如图，等腰三角形ABC的底边BC长为4，面积是16，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于V周长的最小值为()E，F点.若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CDMA．6 B．8 C．10 D．123．在一次中学生田径运动会上，参加跳远的15名运动员的成绩如下表所示:成绩（米） 4.50 4.60 4.65 4.70 4.75 4.80人数232341则这15名运动员成绩的中位数、众数分别是（）A．4.65,4.70B．4.65,4.75C．4.70,4.70，D．4.70,4.754．如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，动点E、F分别从点C，D出发，以相同速度分别沿CB，DC运动（点E到达C时，两点同时停止运动）.连接AE，BF交于点P，过点P分别作PM∥CD，PN∥BC，则线段MN的长度的最小值为（）A．52B．512-C．12D．15．据国家统计局2018年1月18日公布，2017年我国GDP总量为827122亿元，首次登上80万亿元的门槛，数据827122亿元用科学记数法表示为（）A．8.27122×1012B．8.27122×1013C．0.827122×1014D．8.27122×10146．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD，分别交BC、BD于点E、P，连接OE，∠ADC=60°，AB=12BC=1，则下列结论：①∠CAD=30°②BD=7③S平行四边形ABCD=AB•AC④OE=14AD⑤S△APO=312，正确的个数是（）A．2 B．3 C．4 D．57．某自行车厂准备生产共享单车4000辆，在生产完1600辆后，采用了新技术，使得工作效率比原来提高了20%，结果共用了18天完成任务，若设原来每天生产自行车x辆，则根据题意可列方程为( )A．1600x+4000(120%)x+＝18 B．1600x40001600(120%)x-++＝18C．1600x+4000160020%x-＝18 D．4000x40001600(120%)x-++＝188．如图，将边长为3a的正方形沿虚线剪成两块正方形和两块长方形．若拿掉边长2b的小正方形后，再将剩下的三块拼成一块矩形，则这块矩形较长的边长为（）A．3a+2b B．3a+4b C．6a+2b D．6a+4b9．已知一组数据2、x、8、1、1、2的众数是2，那么这组数据的中位数是（）A．3.1；B．4；C．2；D．6.1．10．下列关于x的方程中一定没有实数根的是（）A．210x x--=B．24690x x-+=C．2x x=-D．220x mx--=11．下列运算结果是无理数的是（）A．2×2B．32C722D22135-12．如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．三棱柱D ．三棱锥二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．计算（7+3）（73-）的结果等于_____．14．在平面直角坐标系中，抛物线y=x 2+x+2上有一动点P ，直线y=﹣x ﹣2上有一动线段AB ，当P 点坐标为_____时，△PAB 的面积最小．15．如图，小阳发现电线杆AB 的影子落在土坡的坡面CD 和地面BC 上，量得8CD =，20BC =米，CD 与地面成30°角，且此时测得1米的影长为2米，则电线杆的高度为=__________米．16．用配方法解方程3x 2﹣6x+1=0，则方程可变形为（x ﹣__）2=__．17．阅读以下作图过程：第一步：在数轴上，点O 表示数0，点A 表示数1，点B 表示数5，以AB 为直径作半圆(如图)； 第二步：以B 点为圆心，1为半径作弧交半圆于点C(如图)；第三步：以A 点为圆心，AC 为半径作弧交数轴的正半轴于点M ．请你在下面的数轴中完成第三步的画图(保留作图痕迹，不写画法)，并写出点M 表示的数为______．18．若关于x 的方程kx 2+2x ﹣1=0有实数根，则k 的取值范围是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）某校为美化校园，计划对面积为1800m 2的区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成.已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的2倍，并且在独立完成面积为400 m 2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天.（1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少m 2？（2）若学校每天需付给甲队的绿化费用是0.4万元，乙队为0.25万元，要使这次的绿化总费用不超过8万元，至少应安排甲队工作多少天？20．（6分）一辆高铁与一辆动车组列车在长为1320千米的京沪高速铁路上运行，已知高铁列车比动车组列车平均速度每小时快99千米，且高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，求这辆高铁列车全程运行的时间和平均速度．21．（6分）计算:(-1)-1-27+012⎛⎫- ⎪⎝⎭+|1-33| 22．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线52x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于点D .（1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若34AF FB =，且BCG ∆与BCD ∆的面积相等，求点G 的坐标；（3）若在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值.23．（8分）如图，一次函数y=kx+b 与反比例函数y=的图象相较于A （2，3），B （﹣3，n ）两点．求一次函数与反比例函数的解析式；根据所给条件，请直接写出不等式kx+b ＞的解集；过点B 作BC ⊥x 轴，垂足为C ，求S △ABC ．24．（10分）如图，是5×5正方形网格，每个小正方形的边长为1，请按要求画出下列图形，所画图形的各个顶点均在所给小正方形的顶点上．（1）在图（1）中画出一个等腰△ABE，使其面积为3.5；（2）在图（2）中画出一个直角△CDF，使其面积为5，并直接写出DF的长．25．（10分）已知：如图，梯形ABCD，DC∥AB，对角线AC平分∠BCD，点E在边CB的延长线上，EA⊥AC，垂足为点A．（1）求证：B是EC的中点；（2）分别延长CD、EA相交于点F，若AC2=DC•EC，求证：AD：AF=AC：FC．26．（12分）如图，⊙O中，AB是⊙O的直径，G为弦AE的中点，连接OG并延长交⊙O于点D，连接BD交AE于点F，延长AE至点C，使得FC=BC，连接BC．(1)求证：BC是⊙O的切线；(2)⊙O的半径为5，tanA=34，求FD的长．27．（12分）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：本次抽样调查了个家庭；将图①中的条形图补充完整；学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是度；若该社区有家庭有3000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】连接OC，如图所示，由直径AB垂直于CD，利用垂径定理得到E为CD的中点，即CE=DE，由OA=OC，利用等边对等角得到一对角相等，确定出三角形COE为等腰直角三角形，求出OC的长，即为圆的半径．【详解】解：连接OC，如图所示：∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，∴14cm2CE DE CD===，∵OA=OC，∴∠A=∠OCA=22.5°，∵∠COE为△AOC的外角，∴∠COE=45°，∴△COE为等腰直角三角形，∴242cmOC CE==，故选：C．【点睛】此题考查了垂径定理，等腰直角三角形的性质，以及圆周角定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键．2．C【解析】【分析】连接AD，由于△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，故AD⊥BC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点C关于直线EF的对称点为点A，故AD的长为CM+MD的最小值，由此即可得出结论．【详解】连接AD，∵△ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，∴AD⊥BC，∴S△ABC=12BC•AD=12×4×AD=16，解得AD=8，∵EF是线段AC的垂直平分线，∴点C关于直线EF的对称点为点A，∴AD的长为CM+MD的最小值，∴△CDM的周长最短=（CM+MD）+CD=AD+12BC=8+12×4=8+2=1．故选C．【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．3．D【解析】【分析】根据中位数、众数的定义即可解决问题．【详解】解：这些运动员成绩的中位数、众数分别是4.70，4.1．故选：D．【点睛】本题考查中位数、众数的定义，解题的关键是记住中位数、众数的定义，属于中考基础题.4．B【解析】分析：由于点P在运动中保持∠APD=90°，所以点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，再由勾股定理可得QC的长，再求CP即可．详解：由于点P在运动中保持∠APD=90°，∴点P的路径是一段以AD为直径的弧，设AD的中点为Q，连接QC交弧于点P，此时CP的长度最小，=，∴CP=QC－，故选B．在Rt△QDC中，2点睛：本题主要考查的是圆的相关知识和勾股定理，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键是根据圆的知识得出点P的运动轨迹．5．B【解析】【分析】由科学记数法的定义可得答案.【详解】解：827122亿即82712200000000，用科学记数法表示为8.27122×1013，故选B.【点睛】≤＜10且n为整数).科学记数法表示数的标准形式为10na⨯(1n6．D【解析】【分析】①先根据角平分线和平行得：∠BAE=∠BEA，则AB=BE=1，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：△ABE是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：∠ACE=30°，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：OE=12AB=12，OE∥AB，根据勾股定理计算=OD的长，可得BD的长；③因为∠BAC=90°，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断；⑤根据同高三角形面积的比等于对应底边的比可得：S△AOE=S△EOC=12OE•OC=8，12POEAOPSS=VV，代入可得结论．【详解】①∵AE平分∠BAD，∴∠BAE=∠DAE，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ABC=∠ADC=60°，∴∠DAE=∠BEA，∴∠BAE=∠BEA，∴AB=BE=1，∴△ABE是等边三角形，∴AE=BE=1，∵BC=2，∴EC=1，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ACE，∵∠AEB=∠EAC+∠ACE=60°，∴∠ACE=30°，∵AD∥BC，∴∠CAD=∠ACE=30°，故①正确；②∵BE=EC，OA=OC，∴OE=12AB=12，OE∥AB，∴∠EOC=∠BAC=60°+30°=90°，Rt△EOC中，=∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BCD=∠BAD=120°，∴∠ACB=30°，∴∠ACD=90°，Rt△OCD中，2 =，∴，故②正确；③由②知：∠BAC=90°，∴S▱ABCD=AB•AC，故③正确；④由②知：OE是△ABC的中位线，又AB=12BC，BC=AD，∴OE=12AB=14AD，故④正确；⑤∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA=OC=2，∴S△AOE=S△EOC=12OE•OC=12×12×28=，∵OE∥AB，∴12 EP OEAP AB==，∴12POEAOPSS=VV，∴S△AOP=23S△AOE=23本题正确的有：①②③④⑤，5个，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、直角三角形30度角的性质、三角形面积和平行四边形面积的计算；熟练掌握平行四边形的性质，证明△ABE是等边三角形是解决问题的关键，并熟练掌握同高三角形面积的关系．7．B【解析】【分析】根据前后的时间和是18天，可以列出方程.【详解】若设原来每天生产自行车x 辆，根据前后的时间和是18天，可以列出方程()16004000160018120x x-+=+％. 故选B【点睛】本题考核知识点：分式方程的应用. 解题关键点：根据时间关系，列出分式方程.8．A【解析】【分析】根据这块矩形较长的边长＝边长为3a 的正方形的边长－边长为2b 的小正方形的边长＋边长为2b 的小正方形的边长的2倍代入数据即可.【详解】依题意有：3a ﹣2b+2b×2=3a ﹣2b+4b=3a+2b ． 故这块矩形较长的边长为3a+2b ．故选A ．【点睛】本题主要考查矩形、正方形和整式的运算，熟读题目，理解题意，清楚题中的等量关系是解答本题的关键. 9．A【解析】∵数据组2、x 、8、1、1、2的众数是2，∴x=2，∴这组数据按从小到大排列为：2、2、2、1、1、8，∴这组数据的中位数是：(2+1)÷2=3.1.故选A.10．B【解析】【分析】根据根的判别式的概念,求出△的正负即可解题.【详解】解: A. x 2-x-1=0,△=1+4=5>0,∴原方程有两个不相等的实数根,B. 24x 6x 90-+=, △=36-144=-108<0,∴原方程没有实数根,C. 2x x+=, △=1>0,∴原方程有两个不相等的实数根,=-, 2x x0D. 2x mx20--=, △=m2+8>0,∴原方程有两个不相等的实数根,故选B.【点睛】本题考查了根的判别式,属于简单题,熟悉根的判别式的概念是解题关键.11．B【解析】【分析】根据二次根式的运算法则即可求出答案．【详解】A选项：原式＝3×2＝6，故A不是无理数；B，故B是无理数；C6，故C不是无理数；D=12，故D不是无理数故选B．【点睛】考查二次根式的运算，解题的关键是熟练运用二次根式的运算法则，本题属于基础题型．12．C【解析】分析：根据一个空间几何体的主视图和左视图都是长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断是三棱柱，得到答案．详解：∵几何体的主视图和左视图都是长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个三角形，故该几何体是一个三棱柱，故选C．点睛：本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．4【解析】【分析】利用平方差公式计算.【详解】解：原式)22=7-3=4.故答案为：4.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算.14．（-1，2）【解析】【分析】因为线段AB 是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，平移直线与抛物线的切点即为P 点，然后求得平移后的直线，联立方程，解方程即可．【详解】因为线段AB 是定值，故抛物线上的点到直线的距离最短，则面积最小，若直线向上平移与抛物线相切，切点即为P 点，设平移后的直线为y=-x-2+b ，∵直线y=-x-2+b 与抛物线y=x 2+x+2相切，∴x 2+x+2=-x-2+b ，即x 2+2x+4-b=0，则△=4-4（4-b ）=0，∴b=3，∴平移后的直线为y=-x+1，解212y x y x x -+⎧⎨++⎩＝＝得x=-1，y=2， ∴P 点坐标为（-1，2），故答案为（-1，2）．【点睛】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积以及解方程等，理解直线向上平移与抛物线相切，切点即为P 点是解题的关键．15．（【解析】【分析】过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE ，再根据勾股定理求出CE ，然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF ，再求出BF ，再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可．【详解】如图，过D 作DE ⊥BC 的延长线于E ，连接AD 并延长交BC 的延长线于F ．∵CD=8，CD 与地面成30°角，∴DE=12CD=12×8=4， 根据勾股定理得：CE=22CD DE -=2242-2284-=43． ∵1m 杆的影长为2m ，∴DE EF =12， ∴EF=2DE=2×4=8，∴BF=BC+CE+EF=20+43+8=（28+43）．∵AB BF =12， ∴AB=12（28+43）=14+23． 故答案为（14+23）．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质，作辅助线求出AB 的影长若全在水平地面上的长BF 是解题的关键．16．123 【解析】原方程为3x 2−6x+1=0，二次项系数化为1，得x 2−2x=−13， 即x 2−2x+1=−13+1，所以(x−1)2= 23. 故答案为：1，23. 17151【解析】解：如图，点M 即为所求．连接AC 、BC ．由题意知：AB=4，BC=1．∵AB 为圆的直径，∴∠ACB=90°，则AM=AC=22AB BC -=2241-=15，∴点M 表示的数为151+.故答案为151+．点睛：本题主要考查作图﹣尺规作图，解题的关键是熟练掌握尺规作图和圆周角定理及勾股定理． 18．k≥-1【解析】【分析】首先讨论当0k =时，方程是一元一次方程，有实数根，当0k ≠时，利用根的判别式△=b 2-4ac=4+4k≥0，两者结合得出答案即可．【详解】当0k =时，方程是一元一次方程：210x -=，1,2x =方程有实数根； 当0k ≠时，方程是一元二次方程，24440b ac k =-=+≥V ，解得：1k ≥-且0k ≠.综上所述，关于x 的方程2210kx x +-=有实数根，则k 的取值范围是1k ≥-.故答案为 1.k ≥-【点睛】考查一元二次方程根的判别式，注意分类讨论思想在解题中的应用，不要忽略0k =这种情况.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）111，51；（2）11.【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x （m 2），根据在独立完成面积为411m2区域的绿化时，甲队比乙队少用4天，列出方程，求解即可；（2）设应安排甲队工作y 天，根据这次的绿化总费用不超过8万元，列出不等式，求解即可．【详解】解：（1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是x （m 2），根据题意得：40040042x x-= 解得：x=51，经检验x=51是原方程的解，则甲工程队每天能完成绿化的面积是51×2=111（m 2），答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是111m 2、51m 2；（2）设应安排甲队工作y 天，根据题意得： 1.4y+180010050y -×1．25≤8， 解得：y≥11，答：至少应安排甲队工作11天．20．这辆高铁列车全程运行的时间为1小时，平均速度为264千米/小时．【解析】【分析】设动车组列车的平均速度为x 千米/小时，则高铁列车的平均速度为（x+99）千米/小时，根据时间=路程÷速度结合高铁列车比动车组列车全程运行时间少3小时，即可得出关于x 的分式方程，解之经检验后即可得出结论．【详解】设动车组列车的平均速度为x 千米/小时，则高铁列车的平均速度为（x+99）千米/小时， 根据题意得：﹣=3，解得：x 1=161，x 2=﹣264（不合题意，舍去），经检验，x=161是原方程的解，∴x+99=264，1320÷（x+99）=1．答：这辆高铁列车全程运行的时间为1小时，平均速度为264千米/小时．【点睛】本题考查了列分式方程解实际问题的运用及分式方程的解法的运用,解答时根据条件建立方程是关键,解答时对求出的根必须检验,这是解分式方程的必要步骤.21．-1【解析】试题分析：根据运算顺序先分别进行负指数幂的计算、二次根式的化简、0次幂的运算、绝对值的化简，然后再进行加减法运算即可.试题解析：原式=-1-331331+=-1.22．（1）255y x x =-+.；（2）点G 坐标为()13,1G -；2931767317G +-⎝⎭.（3）613k =-+. 【解析】分析：（1）根据已知列出方程组求解即可；（2）作AM⊥x轴，BN⊥x轴，垂足分别为M，N，求出直线l的解析式，再分两种情况分别求出G点坐标即可；（3）根据题意分析得出以AB为直径的圆与x轴只有一个交点，且P为切点，P为MN的中点，运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可．详解：（1）由题可得：5, 225,1.baca b c⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩解得1a=，5b=-，5c=.∴二次函数解析式为：255y x x=-+.（2）作AM x⊥轴，BN x⊥轴，垂足分别为,M N，则34AF MQFB QN==.32MQ=Q，2NQ∴=，911,24B⎛⎫⎪⎝⎭，1,91,24k mk m+=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，解得1,21,2km⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122ty x∴=+，12D，⎛⎫⎪⎝⎭.同理，152BCy x=-+.BCD BCGS S∆∆=Q，∴①//DG BC（G在BC下方），1122DGy x=-+，2115522x x x∴-+=-+，即22990x x-+=，123,32x x∴==.52x>Q，3x∴=，()3,1G∴-.②G在BC上方时，直线23G G与1DG关于BC对称.1211922G Gy x∴=-+，21195522x x x∴-+=-+，22990x x∴--=.52x >Q ，93174x +∴=，931767317,G ⎛⎫+-∴ ⎪ ⎪⎝⎭. 综上所述，点G 坐标为()13,1G -；2931767317,G ⎛⎫+- ⎪ ⎪⎝⎭. （3）由题意可得：1k m +=.1m k ∴=-，11y kx k ∴=+-，2155kx k x x ∴+-=-+，即()2540x k x k -+++=.11x ∴=，24x k =+，()24,31B k k k ∴+++.设AB 的中点为'O ， P Q 点有且只有一个，∴以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点.OP x ∴⊥轴，P ∴为MN 的中点，5,02k P +⎛⎫∴⎪⎝⎭. AMP PNB ∆∆Q ∽，AM PN PM BN∴=，••AM BN PN PM ∴=， ()2551314122k k k k k ++⎛⎫⎛⎫∴⨯++=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即23650k k +-=，960∆=>. 0k >Q ，646261k -+∴==-+. 点睛：此题主要考查二次函数的综合问题，会灵活根据题意求抛物线解析式，会分析题中的基本关系列方程解决问题，会分类讨论各种情况是解题的关键．23．（1）反比例函数的解析式为：y=，一次函数的解析式为：y=x+1；（2）﹣3＜x ＜0或x ＞2；（3）1．【解析】【分析】（1）根据点A 位于反比例函数的图象上，利用待定系数法求出反比例函数解析式，将点B 坐标代入反比例函数解析式，求出n 的值，进而求出一次函数解析式（2）根据点A 和点B 的坐标及图象特点，即可求出反比例函数值大于一次函数值时x 的取值范围 （3）由点A 和点B 的坐标求得三角形以BC 为底的高是10，从而求得三角形ABC 的面积【详解】解：（1）∵点A （2，3）在y=的图象上，∴m=6，∴反比例函数的解析式为：y=，∴n==﹣2，∵A（2，3），B（﹣3，﹣2）两点在y=kx+b上，∴，解得：，∴一次函数的解析式为：y=x+1；（2）由图象可知﹣3＜x＜0或x＞2；（3）以BC为底，则BC边上的高为3+2=1，∴S△ABC=×2×1=1．24．(1)见解析；（2）DF＝10【解析】【分析】（1）直接利用等腰三角形的定义结合勾股定理得出答案；（2）利用直角三角的定义结合勾股定理得出符合题意的答案．【详解】（1）如图（1）所示：△ABE，即为所求；（2）如图（2）所示：△CDF即为所求，DF=10．【点睛】此题主要考查了等腰三角形的定义以及三角形面积求法，正确应用网格分析是解题关键．25．（1）详见解析；（2）详见解析.【解析】【分析】（1）根据平行线的性质结合角平分线的性质可得出∠BCA=∠BAC，进而可得出BA=BC，根据等角的余角相等结合等角对等边，即可得出AB=BE，进而可得出BE=BA=BC，此题得证；（2）根据AC2=DC•EC结合∠ACD=∠ECA可得出△ACD∽△ECA，根据相似三角形的性质可得出∠ADC=∠EAC=90°，进而可得出∠FDA=∠FAC=90°，结合∠AFD=∠CFA可得出△AFD∽△CFA，再利用相似三角形的性质可证出AD：AF=AC：FC．【详解】（1）∵DC∥AB，∴∠DCA=∠BAC．∵AC平分∠BCD，∴∠BCA=∠BAC=∠DCA，∴BA=BC．∵∠BAC+∠BAE=90°，∠ACB+∠E =90°，∴∠BAE=∠E，∴AB=BE，∴BE=BA=BC，∴B是EC的中点；（2）∵AC2=DC•EC，∴AC DC EC AC．∵∠ACD=∠ECA，∴△ACD∽△ECA，∴∠ADC=∠EAC=90°，∴∠FDA=∠FAC=90°．又∵∠AFD=∠CFA，∴△AFD∽△CFA，∴AD：AF=AC：FC．【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、角平分线的性质以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用等角对等边找出BA=BC、BE=BA；（2）利用相似三角形的判定定理找出△AFD∽△CFA．26．（1）证明见解析（25【解析】【分析】（1）由点G是AE的中点，根据垂径定理可知OD⊥AE，由等腰三角形的性质可得∠CBF=∠DFG，∠D=∠OBD，从而∠OBD+∠CBF=90°，从而可证结论；（2）连接AD，解Rt△OAG可求出OG=3，AG=4，进而可求出DG的长，再证明△DAG∽△FDG，由相似三角形的性质求出FG的长，再由勾股定理即可求出FD的长.【详解】（1）∵点G是AE的中点，∴OD⊥AE，∵FC=BC，∴∠CBF=∠CFB，∵∠CFB=∠DFG，∴∠CBF=∠DFG∵OB=OD，∴∠D=∠OBD，∵∠D+∠DFG=90°，∴∠OBD+∠CBF=90°即∠ABC=90°∵OB是⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；（2）连接AD，∵OA=5，tanA=，∴OG=3，AG=4，∴DG=OD﹣OG=2，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADF=90°，∵∠DAG+∠ADG=90°，∠ADG+∠FDG=90°∴∠DAG=∠FDG，∴△DAG∽△FDG，∴，∴DG2=AG•FG，∴4=4FG，∴FG=1∴由勾股定理可知：5【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，求出∠CBF=∠DFG ，∠D=∠OBD 是解（1）的关键，证明证明△DAG ∽△FDG 是解（2）的关键.27． (1)200；(2)见解析；(3)36；(4)该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．【解析】【分析】（1）根据1.5～2小时的圆心角度数求出1.5～2小时所占的百分比，再用1.5～2小时的人数除以所占的百分比，即可得出本次抽样调查的总家庭数；（2）用抽查的总人数乘以学习0.5-1小时的家庭所占的百分比求出学习0.5-1小时的家庭数，再用总人数减去其它家庭数，求出学习2-2.5小时的家庭数，从而补全统计图；（3）用360°乘以学习时间在2～2.5小时所占的百分比，即可求出学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数；（4）用该社区所有家庭数乘以学习时间不少于1小时的家庭数所占的百分比即可得出答案．【详解】解：(1)本次抽样调查的家庭数是：30÷54360＝200(个)； 故答案为200；(2)学习0.5﹣1小时的家庭数有：200×108360＝60(个)， 学习2﹣2.5小时的家庭数有：200﹣60﹣90﹣30＝20(个)，补图如下：(3)学习时间在2～2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是：360×20200＝36°； 故答案为36；(4)根据题意得：3000×903020200++＝2100(个)． 答：该社区学习时间不少于1小时的家庭约有2100个．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图及相关计算．在扇形统计图中，每部分占总部分的百分比等于该部分所对应的扇形圆心角的度数与360°的比．。
湖南省益阳市2019-2020学年中考数学三月模拟试卷含解析
湖南省益阳市2019-2020学年中考数学三月模拟试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．估算18的值是在（）A．2和3之间B．3和4之间C．4和5之间D．5和6之间2．如图，PB切⊙O于点B，PO交⊙O于点E，延长PO交⊙O于点A，连结AB，⊙O的半径OD⊥AB于点C，BP=6，∠P=30°，则CD的长度是（）A．33B．32C．3D．233．如图，以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点，交直角边AC于点E；B、E是半圆弧的三等分点，»BD的长为43π，则图中阴影部分的面积为（）A．4633π-B．8933π-C．33223π-D．8633π-4．﹣22×3的结果是（）A．﹣5 B．﹣12 C．﹣6 D．125．如图所示，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，对角线AC、BD相交于点O，过点O作OE垂直AC 交AD于点E，则DE的长是（）A．5 B．32C．74D．1546．如图所示的几何体的俯视图是（）A ．B ．C ．D ．7．为了开展阳光体育活动，某班计划购买毽子和跳绳两种体育用品，共花费35元，毽子单价3元，跳绳单价5元，购买方案有( ) A ．1种B ．2种C ．3种D ．4种8．二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a≠0)的图象如图，下列结论正确的是( )A ．a<0B ．b 2－4ac<0C ．当－1<x<3时，y>0D ．－2ba=1 9．如图数轴的A 、B 、C 三点所表示的数分别为a 、b 、c ．若|a ﹣b|＝3，|b ﹣c|＝5，且原点O 与A 、B 的距离分别为4、1，则关于O 的位置，下列叙述何者正确？（ ）A ．在A 的左边B ．介于A 、B 之间C ．介于B 、C 之间D ．在C 的右边10．下面运算结果为6a 的是( ) A ．33a a +B ．82a a ÷C ．23•a aD ．()32a -11．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2＋ax －2b ＝0的两个实数根，且x 1＋x 2＝－2，x 1·x 2＝1，则b a 的值是( ) A ．B ．－C ．4D ．－112．如图，一个斜边长为10cm 的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm 的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（ ）A ．60cm 2B ．50cm 2C ．40cm 2D ．30cm 2二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．如图，PC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点P ，AO 交⊙O 于点B ；连接BC ，若32C ∠=︒，则A ∠=______.14．分解因式：ax 2－a=______．15．如果53x x y =-，那么xy=______． 16．若关于x 的方程230x x m --=有两个相等的实数根，则m 的值是_________． 17．二次函数()2y ax bx c a 0=++≠中的自变量x 与函数值y 的部分对应值如下表：x…32-1-12-12132…y…54- 2-94-2-54-74…则2ax bx c 0++=的解为________． 18．函数y=12x -的定义域是________． 三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）科技改变世界．2017年底，快递分拣机器人从微博火到了朋友圈，据介绍，这些机器人不仅可以自动规划最优路线，将包裹准确地放入相应的格口，还会感应避让障碍物，自动归队取包裹．没电的时候还会自己找充电桩充电．某快递公司启用80台A 种机器人、300台B 种机器人分拣快递包裹．A ，B 两种机器人全部投入工作，1小时共可以分拣1.44万件包裹，若全部A 种机器人工作3小时，全部B 种机器人工作2小时，一共可以分拣3.12万件包裹． （1）求两种机器人每台每小时各分拣多少件包裹；（2）为了进一步提高效率，快递公司计划再购进A ，B 两种机器人共200台，若要保证新购进的这批机器人每小时的总分拣量不少于7000件，求最多应购进A 种机器人多少台？20．（6分）（操作发现）（1）如图1，△ABC 为等边三角形，先将三角板中的60°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ，在三角板斜边上取一点F ，使CF=CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE=30°，连接AF ，EF ． ①求∠EAF 的度数；②DE 与EF 相等吗？请说明理由； （类比探究）（2）如图2，△ABC 为等腰直角三角形，∠ACB=90°，先将三角板的90°角与∠ACB 重合，再将三角板绕点C 按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB 交于点D ，在三角板另一直角边上取一点F ，使CF=CD ，线段AB 上取点E ，使∠DCE=45°，连接AF ，EF ．请直接写出探究结果： ①∠EAF 的度数；②线段AE ，ED ，DB 之间的数量关系．21．（6分）车辆经过润扬大桥收费站时，4个收费通道 A ．B 、C 、D 中，可随机选择其中的一个通过．一辆车经过此收费站时，选择 A 通道通过的概率是 ；求两辆车经过此收费站时，选择不同通道通过的概率．22．（8分）如图，在大楼AB 的正前方有一斜坡CD ，CD=13米，坡比DE:EC=1：125，高为DE ，在斜坡下的点C 处测得楼顶B 的仰角为64°，在斜坡上的点D 处测得楼顶B 的仰角为45°，其中A 、C 、E 在同一直线上．求斜坡CD 的高度DE ；求大楼AB 的高度；（参考数据：sin64°≈0.9，tan64°≈2）．23．（8分）如图1，点D 为正ABC ∆的BC 边上一点（D 不与点,B C 重合），点,E F 分别在边,AB AC 上，且EDF B ∠=∠.（1）求证：~BDE CFD ∆∆；（2）设,BD a CD b ==，BDE ∆的面积为1S ，CDF ∆的面积为2S ，求12S S ⋅（用含,a b 的式子表示）； （3）如图2，若点D 为BC 边的中点，求证： 2DF EF FC =⋅.图1 图224．（10分）如图1，已知∠DAC=90°，△ABC是等边三角形，点P为射线AD上任意一点（点P与点A 不重合），连结CP，将线段CP绕点C顺时针旋转60°得到线段CQ，连结QB并延长交直线AD于点E．（1）如图1，猜想∠QEP=°；（2）如图2，3，若当∠DAC是锐角或钝角时，其它条件不变，猜想∠QEP的度数，选取一种情况加以证明；（3）如图3，若∠DAC=135°，∠ACP=15°，且AC=4，求BQ的长．25．（10分）如图，已知D是AC上一点，AB=DA，DE∥AB，∠B=∠DAE．求证：BC=AE．26．（12分）某高科技产品开发公司现有员工50名，所有员工的月工资情况如下表：员工管理人员普通工作人员人员结构总经理部门经理科研人员销售人员高级技工中级技工勤杂工员工数（名） 1 3 2 3 24 1每人月工资（元）21000 8400 2025 2200 1800 1600 950请你根据上述内容，解答下列问题：（1）该公司“高级技工”有名；（2）所有员工月工资的平均数x为2500元，中位数为元，众数为元；（3）小张到这家公司应聘普通工作人员．请你回答右图中小张的问题，并指出用（2）中的哪个数据向小张介绍员工的月工资实际水平更合理些；（4）去掉四个管理人员的工资后，请你计算出其他员工的月平均工资y（结果保留整数），并判断y能否反映该公司员工的月工资实际水平．27．（12分）水果店张阿姨以每斤2元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤4元的价格出售，每天可售出100斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低0.1元，每天可多售出20斤，为保证每天至少售出260斤，张阿姨决定降价销售．若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤（用含x的代数式表示）；销售这种水果要想每天盈利300元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．C【解析】【分析】161825，推出4185，即可得出答案．【详解】161825，∴4185，184和5之间．故选：C．【点睛】本题考查了估算无理数的大小和二次根式的性质，161825，题目比较好，难度不大．2．C【解析】【分析】连接OB，根据切线的性质与三角函数得到∠POB=60°，OB=OD=23，再根据等腰三角形的性质与三角函数得到OC的长，即可得到CD的长.【详解】解：如图，连接OB，∵PB切⊙O于点B，∴∠OBP=90°，∵BP=6，∠P=30°，∴∠POB=60°，OD=OB=BPtan30°=6×33∵OA=OB，∴∠OAB=∠OBA=30°，∵OD⊥AB，∴∠OCB=90°，∴∠OBC=30°，则OC=123∴3故选：C．【点睛】本题主要考查切线的性质与锐角的三角函数，解此题的关键在于利用切线的性质得到相关线段与角度的值，再根据圆和等腰三角形的性质求解即可.3．D【解析】【分析】连接BD，BE，BO，EO，先根据B、E是半圆弧的三等分点求出圆心角∠BOD的度数，再利用弧长公式求出半圆的半径R，再利用圆周角定理求出各边长，通过转化将阴影部分的面积转化为S△ABC﹣S扇形BOE，然后分别求出面积相减即可得出答案.【详解】解：连接BD，BE，BO，EO，∵B，E是半圆弧的三等分点，∴∠EOA＝∠EOB＝∠BOD＝60°，∴∠BAD＝∠EBA＝30°，∴BE∥AD，∵»BD的长为43π，∴604 1803Rππ=g g解得：R＝4，∴AB＝ADcos30°＝3，∴BC＝12AB＝3∴AC3＝6，∴S△ABC＝12×BC×AC＝12×236＝63∵△BOE和△ABE同底等高，∴△BOE和△ABE面积相等，∴图中阴影部分的面积为：S△ABC﹣S扇形BOE＝26048 63633603ππ⨯=故选：D．【点睛】本题主要考查弧长公式，扇形面积公式，圆周角定理等，掌握圆的相关性质是解题的关键. 4．B【解析】【分析】先算乘方，再算乘法即可．【详解】解：﹣22×3＝﹣4×3＝﹣1．故选：B．【点睛】本题主要考查了有理数的混合运算，熟练掌握法则是解答本题的关键．有理数的混合运算，先乘方，再乘除，后加减，有括号的先算括号内的．5．C【解析】【分析】先利用勾股定理求出AC的长，然后证明△AEO∽△ACD，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可．【详解】∵AB=6，BC=8，∴AC=10（勾股定理）；∴AO=12AC=5，∵EO⊥AC，∴∠AOE=∠ADC=90°，∵∠EAO=∠CAD，∴△AEO∽△ACD，∴AE AO AC AD=，即5 108 AE=，解得，AE=254，∴DE=8﹣254=74，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，相似三角形对应边成比例的性质，根据相似三角形对应边成比例列出比例式是解题的关键．6．D【解析】【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有看到的棱都应表现在俯视图中．【详解】从上往下看，该几何体的俯视图与选项D所示视图一致．故选D．【点睛】本题考查了简单组合体三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．7．B【解析】【分析】首先设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意列方程即可，再根据二元一次方程求解. 【详解】解：设毽子能买x个，跳绳能买y根，根据题意可得：3x+5y=35，y=7-35 x，∵x、y都是正整数，∴x=5时，y=4；x=10时，y=1；∴购买方案有2种．故选B．【点睛】本题主要考查二元一次方程的应用，关键在于根据题意列方程.8．D【解析】试题分析：根据二次函数的图象和性质进行判断即可.解：∵抛物线开口向上，∴0a>∴A选项错误，∵抛物线与x轴有两个交点，∴240b ac->∴B选项错误，由图象可知，当－1<x<3时，y<0∴C选项错误，由抛物线的轴对称性及与x轴的两个交点分别为（－1，0）和（3，0）可知对称轴为1x=即－＝1，∴D选项正确，故选D.9．C【解析】分析：由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b=a+3，c=b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为1、1，即可得出a=±1、b=±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．解析：∵|a ﹣b|=3，|b ﹣c|=5，∴b=a+3，c=b+5，∵原点O 与A 、B 的距离分别为1、1，∴a=±1，b=±1，∵b=a+3，∴a=﹣1，b=﹣1，∵c=b+5，∴c=1．∴点O 介于B 、C 点之间．故选C ．点睛：本题考查了数值以及绝对值，解题的关键是确定a 、b 、c 的值．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据数轴上点的位置关系分别找出各点代表的数是关键．10．B【解析】【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法及幂的乘方逐一计算即可判断．【详解】A .3332a a a += ，此选项不符合题意；B .826a a a ÷=，此选项符合题意；C .235a a a ⋅=，此选项不符合题意；D .236()a a -=-，此选项不符合题意；故选：B ．【点睛】本题考查了整式的运算，解题的关键是掌握合并同类项法则、同底数幂的除法、同底数幂的乘法及幂的乘方．11．A【解析】【分析】根据根与系数的关系和已知x 1+x 2和x 1•x 2的值，可求a 、b 的值，再代入求值即可．【详解】解：∵x 1，x 2是关于x 的方程x 2+ax ﹣2b=0的两实数根，∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1•x2=﹣2b=1，解得a=2，b=，∴b a=（）2=．故选A．12．D【解析】【分析】标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边成比例求出53DEBF=，即53EFBF=，设BF=3a，表示出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．【详解】解:如图，∵正方形的边DE∥CF，∴∠B=∠AED，∵∠ADE=∠EFB=90°，∴△ADE∽△EFB，∴10563 DE AEBF BE===，∴53 EFBF=，设BF=3a，则EF=5a，∴BC=3a+5a=8a，AC=8a×53=403a，在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，即（403a）1+（8a）1=（10+6）1，解得a1=18 17，红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a-（5a）1，=1603a1-15a1，=853a1，=853×1817，=30cm 1．故选D ．【点睛】本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．26°【解析】【分析】根据圆周角定理得到∠AOP=2∠C=64°，根据切线的性质定理得到∠APO=90°，根据直角三角形两锐角互余计算即可．【详解】由圆周角定理得：∠AOP=2∠C=64°．∵PC 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点P ，∴∠APO=90°，∴∠A=90°﹣∠AOP=90°﹣64°=26°． 故答案为：26°．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．14．(1)(1)a x x +-【解析】【分析】先提公因式，再套用平方差公式.【详解】ax 2－a=a （x 2-1）=()()11a x x +- 故答案为：()()11a x x +-【点睛】掌握因式分解的一般方法：提公因式法，公式法.15．52； 【解析】【分析】先对等式进行转换，再求解.【详解】∵53x x y -＝ ∴3x ＝5x －5y∴2x ＝5y ∴5.2x y ＝ 【点睛】本题考查的是分式，熟练掌握分式是解题的关键.16．m=-34【解析】【分析】根据题意可以得到△=0，从而可以求得m 的值．【详解】∵关于x 的方程20x m -=有两个相等的实数根，∴△=2(41()0m -⨯⨯-=， 解得：34m =-. 故答案为34-. 17．x 2=-或1【解析】【分析】由二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），可求得此抛物线的对称轴，又由此抛物线过点（1，0），即可求得此抛物线与x 轴的另一个交点．继而求得答案.【详解】解：∵二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）过点（-1，-2），（0，-2），∴此抛物线的对称轴为：直线x=-12， ∵此抛物线过点（1，0），∴此抛物线与x 轴的另一个交点为：（-2，0），∴ax 2+bx+c=0的解为：x=-2或1．故答案为x=-2或1.【点睛】此题考查了抛物线与x 轴的交点问题．此题难度适中，注意掌握二次函数的对称性是解此题的关键.18．2x≠【解析】分析：根据分式有意义的条件是分母不为0，即可求解.详解：由题意得：x-2≠0，即x2≠.故答案为x2≠点睛：本题考查了使函数有意义的自变量的取值范围的确定.函数是整式型，自变量去全体实数；函数是分式型，自变量是使分母不为0 的实数；根式型的函数的自变量去根号下的式子大于或等于0的实数；当函数关系式表示实际问题时，自变量不仅要使函数关系式有意义，还要使实际问题有意义.三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（1）A种机器人每台每小时各分拣30件包裹，B种机器人每台每小时各分拣40件包裹（2）最多应购进A种机器人100台【解析】【分析】（1）A种机器人每台每小时各分拣x件包裹，B种机器人每台每小时各分拣y件包裹，根据题意列方程组即可得到结论；（2）设最多应购进A种机器人a台，购进B种机器人（200−a）台，由题意得，根据题意两不等式即可得到结论．【详解】（1）A种机器人每台每小时各分拣x件包裹，B种机器人每台每小时各分拣y件包裹，由题意得，80300 1.4410000{3802300 3.1210000x yx y+=⨯⨯+⨯=⨯，解得，3040xy=⎧⎨=⎩，答：A种机器人每台每小时各分拣30件包裹，B种机器人每台每小时各分拣40件包裹；（2）设最多应购进A种机器人a台，购进B种机器人（200﹣a）台，由题意得，30a+40（200﹣a）≥7000，解得：a≤100，则最多应购进A种机器人100台．【点睛】本题考查了二元一次方程组，一元一次不等式的应用，正确的理解题意是解题的关键．20．（1）①110°②DE=EF；（1）①90°②AE1+DB1=DE1【解析】试题分析：（1）①由等边三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=60°，求出∠ACF=∠BCD，证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=60°，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=110°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF即可；（1）①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，∠BAC=∠B=45°，证出∠ACF=∠BCD，由SAS证明△ACF≌△BCD，得出∠CAF=∠B=45°，AF=DB，求出∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②证出∠DCE=∠FCE，由SAS证明△DCE≌△FCE，得出DE=EF；在Rt△AEF中，由勾股定理得出AE1+AF1=EF1，即可得出结论．试题解析：解：（1）①∵△ABC是等边三角形，∴AC=BC，∠BAC=∠B=60°．∵∠DCF=60°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=60°，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=110°；②DE=EF．理由如下：∵∠DCF=60°，∠DCE=30°，∴∠FCE=60°﹣30°=30°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF；（1）①∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，∴AC=BC，∠BAC=∠B=45°．∵∠DCF=90°，∴∠ACF=∠BCD．在△ACF和△BCD中，∵AC=BC，∠ACF=∠BCD，CF=CD，∴△ACF≌△BCD（SAS），∴∠CAF=∠B=45°，AF=DB，∴∠EAF=∠BAC+∠CAF=90°；②AE1+DB1=DE1，理由如下：∵∠DCF=90°，∠DCE=45°，∴∠FCE=90°﹣45°=45°，∴∠DCE=∠FCE．在△DCE和△FCE中，∵CD=CF，∠DCE=∠FCE，CE=CE，∴△DCE≌△FCE（SAS），∴DE=EF．在Rt△AEF中，AE1+AF1=EF1，又∵AF=DB，∴AE1+DB1=DE1．21．（1）14；（2）34．【解析】试题分析：（1）根据概率公式即可得到结论；（2）画出树状图即可得到结论．试题解析：（1）选择A通道通过的概率=14，故答案为14；（2）设两辆车为甲，乙，如图，两辆车经过此收费站时，会有16种可能的结果，其中选择不同通道通过的有12种结果，∴选择不同通道通过的概率=1216=34．22．（1）斜坡CD的高度DE是5米；（2）大楼AB的高度是34米．【解析】试题分析：（1）根据在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：125，高为DE，可以求得DE的高度；（2）根据锐角三角函数和题目中的数据可以求得大楼AB的高度．试题解析：（1）∵在大楼AB的正前方有一斜坡CD，CD=13米，坡度为1：125，∴1512125DEEC==，设DE=5x米，则EC=12x米，∴（5x）2+（12x）2=132，解得：x=1，∴5x=5，12x=12，即DE=5米，EC=12米，故斜坡CD的高度DE是5米；（2）过点D作AB的垂线，垂足为H，设DH的长为x，由题意可知∠BDH=45°，∴BH=DH=x，DE=5，在直角三角形CDE中，根据勾股定理可求CE=12，AB=x+5，AC=x-12，∵tan64°=AB AC，∴2=AB AC，解得，x=29，AB=x+5=34，即大楼AB的高度是34米．23．（1）详见解析；（1）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断；（1）如图1中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，S1=12•BD•EG=12•BD•EG=12•a•BE•sin60°=34•a•BE，S1=12•CD•FH=34•b•CF，可得S1•S1=316ab•BE•CF，由（1）得△BDE∽△CFD，BD FCBE CD=，即BE•FC=BD•CD=ab，即可推出S1•S1=316a1b1；（3）想办法证明△DFE∽△CFD，推出EF DFDF FC=，即DF1=EF•FC；【详解】（1）证明：如图1中，在△BDE中，∠BDE+∠DEB+∠B=180°，又∠BDE+∠EDF+∠FDC=180°，∴∠BDE+∠DEB+∠B=∠BDE+∠EDF+∠FDC，∵∠EDF=∠B，∴∠DEB=∠FDC，又∠B=∠C，∴△BDE∽△CFD．（1）如图1中，分别过E，F作EG⊥BC于G，FH⊥BC于H，S1=12•BD•EG=12•BD•EG=123，S1=123，∴S1•S1=316ab•BE•CF由（1）得△BDE∽△CFD，∴BD FCBE CD=，即BE•FC=BD•CD=ab，∴S1•S1=316a1b1．（3）由（1）得△BDE∽△CFD，∴BD FC BE CD=，又BD=CD ， ∴CD FC DE DF=， 又∠EDF=∠C=60°，∴△DFE ∽△CFD ， ∴F DF DF FC=，即DF 1=EF•FC ． 【点睛】本题考查了相似形综合题、等边三角形的性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面积等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形的相似的条件.24．（1）∠QEP=60°；（2）∠QEP=60°，证明详见解析；（3）BQ =【解析】【分析】（1）如图1，先根据旋转的性质和等边三角形的性质得出∠PCA=∠QCB ，进而可利用SAS 证明△CQB ≌△CPA ，进而得∠CQB=∠CPA ，再在△PEM 和△CQM 中利用三角形的内角和定理即可求得∠QEP=∠QCP ，从而完成猜想；（2）以∠DAC 是锐角为例，如图2，仿（1）的证明思路利用SAS 证明△ACP ≌△BCQ ，可得∠APC=∠Q ，进一步即可证得结论；（3）仿（2）可证明△ACP ≌△BCQ ，于是AP=BQ ，再求出AP 的长即可，作CH ⊥AD 于H ，如图3，易证∠APC=30°，△ACH 为等腰直角三角形，由AC=4可求得CH 、PH 的长，于是AP 可得，问题即得解决.【详解】解：(1)∠QEP=60°；证明：连接PQ ，如图1，由题意得：PC=CQ ，且∠PCQ=60°，∵△ABC 是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠PCA=∠QCB ，则在△CPA 和△CQB 中，PC QC PCA QCB AC BC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△CQB ≌△CPA(SAS)，∴∠CQB=∠CPA ，又因为△PEM 和△CQM 中，∠EMP=∠CMQ ，∴∠QEP=∠QCP=60°.故答案为60；(2)∠QEP=60°.以∠DAC 是锐角为例. 证明：如图2，∵△ABC 是等边三角形， ∴AC=BC ，∠ACB=60°，∵线段CP 绕点C 顺时针旋转60°得到线段CQ ， ∴CP=CQ ，∠PCQ=60°，∴∠ACB+∠BCP=∠BCP+∠PCQ ， 即∠ACP=∠BCQ ，在△ACP 和△BCQ 中，CA CB ACP BCQ CP CQ =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ACP ≌△BCQ(SAS)，∴∠APC=∠Q ，∵∠1=∠2，∴∠QEP=∠PCQ=60°；(3)连结CQ ，作CH ⊥AD 于H ，如图3， 与(2)一样可证明△ACP ≌△BCQ ，∴AP=BQ ， ∵∠DAC=135°，∠ACP=15°，∴∠APC=30°，∠CAH=45°，∴△ACH 为等腰直角三角形，∴AH=CH=22AC=22×4=22 在Rt △PHC 中，326∴PA=PH−AH=∴BQ=【点睛】本题考查了等边三角形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质和有关计算、30°角的直角三角形的性质等知识，涉及的知识点多、综合性强，灵活应用全等三角形的判定和性质、熟练掌握旋转的性质和相关图形的性质是解题的关键.25．见解析【解析】【分析】【详解】证明：∵DE ∥AB ，∴∠CAB=∠ADE ．在△ABC 和△DAE 中，∵CAB ADE{AB DA B DAE∠=∠=∠=∠，∴△ABC ≌△DAE （ASA ）．∴BC=AE ．【点睛】根据两直线平行，内错角相等求出∠CAB=∠ADE ，然后利用“角边角”证明△ABC 和△DAE 全等，再根据全等三角形对应边相等证明即可．26．（1）16人；（2）工中位数是1700元；众数是1600元；（3）用1700元或1600元来介绍更合理些．（4）y 能反映该公司员工的月工资实际水平．【解析】【分析】（1）用总人数50减去其它部门的人数；（2）根据中位数和众数的定义求解即可；（3）由平均数、众数、中位数的特征可知，平均数易受极端数据的影响，用众数和中位数映该公司员工的月工资实际水平更合适些；（4）去掉极端数据后平均数可以反映该公司员工的月工资实际水平.【详解】（1）该公司“高级技工”的人数=50﹣1﹣3﹣2﹣3﹣24﹣1=16（人）；（2）工资数从小到大排列，第25和第26分别是：1600元和1800元，因而中位数是1700元； 在这些数中1600元出现的次数最多，因而众数是1600元；（3）这个经理的介绍不能反映该公司员工的月工资实际水平．用1700元或1600元来介绍更合理些．（4）2500502100084003171346y ⨯--⨯=≈（元）． y 能反映该公司员工的月工资实际水平．27．（1）100+200x ；（2）1．【解析】试题分析：（1）销售量=原来销售量﹣下降销售量，列式即可得到结论；（2）根据销售量×每斤利润=总利润列出方程求解即可得到结论．试题解析：（1）将这种水果每斤的售价降低x 元，则每天的销售量是100+0.1x ×20=100+200x 斤； （2）根据题意得：(42)(100200)300x x --+=，解得：x=12或x=1，∵每天至少售出260斤，∴100+200x≥260，∴x≥0.8，∴x=1．答：张阿姨需将每斤的售价降低1元．考点：1．一元二次方程的应用；2．销售问题；3．综合题．。
湖南省益阳市2020年第三次中考模拟考试数学试卷
湖南省益阳市2020年第三次中考模拟考试数学试卷一、选择题1．如图1，一个扇形纸片的圆心角为90°，半径为6．如图2，将这张扇形纸片折叠，使点A 与点O 恰好重合，折痕为CD ，图中阴影为重合部分，则阴影部分的面积为( )A ．6πB ．6π﹣C ．12πD ．49π 2．下列图形中，可以看作中心对称图形的是( )A. B. C. D.3．如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD 是∠ACB 的平分线，交AB 于点D ，过点D 分别作AC 、BC 的平行线DE 、DF ，则下列结论错误的是（ ）A ．AD BD =B ．FC DF = C ．ACD BCD ∠=∠ D ．四边形DECF 是正方形4．如图，∠AOB=50°，∠OCB=40°，则∠OAC=（ ）A ．15B ．25C ．30D ．40 5．计算（2sin60°+1）+（﹣0.125）2006×82006的结果是（ ）A B C +2D ．0 6．如图是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．B ．C ．D ．7．下列各式计算正确的是（ ）A ．（a 5）2＝a 7B ．2x ﹣2＝212xC ．3a 2•2a 3＝6a 6D ．a 8÷a 2＝a 6 8．如图，P 是抛物线y ＝x 2﹣x ﹣4在第四象限的一点，过点P 分别向x 轴和y 轴作垂线，垂足分别为A 、B ，则四边形OAPB 周长的最大值为( )A ．10B ．8C ．7.5D ．9．在同一直角坐标系中，函数y ＝k x和y ＝kx ﹣2的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．10．如图，AB 是⊙O 的直径，AB=AC ，AC 交⊙O 于点E ，BC 交⊙O 于点D ，F 是CE 的中点，连接DF ．则下列结论错误的是A ．∠A=∠ABEB ．BD DE =C ．BD=DCD ．DF 是⊙O 的切线11．先化简，再求值： 2212111x x x x -+⎛⎫-÷ ⎪-⎝⎭，小明的解题步骤如下： 原式= 21(1)(1)(1)x x x x x --÷+-第一步 = 21(1)(1)(1)x x x x x --⋅+-第二步= 21(1)(1)(1)x x x x x -+-⋅-第三步 = 1x x+第四步 请你判断一下小明的解题过程从第几步开始出错( ）A ．第一步B ．第二步C ．第三步 D ．第四步12．在平面直角坐标系中，已知A ，B ，C ，D 四点的坐标依次为（0，0），（6，2），（8，8），（2，6），若一次函数y ＝mx ﹣6m+2（m≠0）图象将四边形ABCD 的面积分成1：3两部分，则m 的值为（ ）A ．﹣4B ．15-，﹣5C ．15-D ．14-，﹣4 二、填空题13．如图，二次函数y ＝ax 2+bx+c （a≠0）．图象的顶点为D ，其图象与x 轴的交点A 、B 的横坐标分别为﹣1、3，与y 轴负半轴交于点C ．下面三个结论：①2a+b ＝0；②a+b+c ＞0；③只有当12a =时，△ABD 是等腰直角三角形；那么，其中正确的结论是_____．（只填你认为正确结论的序号）14．已知反比例函数5y x =，当2x <-时，y 的取值范围是____． 15．因式分解2x 3﹣8x ＝_____．16．如图，在矩形ABCD 中，过点A 的圆O 交边AB 于点E ，交边AD 于点F ，已知AD=5，AE=2，AF=4．如果以点D 为圆心，r 为半径的圆D 与圆O 有两个公共点，那么r 的取值范围是______．17．已知一次函数y ＝32x －3的图像与x 、y 轴分别交于点A 、B ，与反比例函数y ＝k x(x ＞0)的图像交于点C ，且AB ＝AC ，则k 的值为________．18．将抛物线y＝2（x﹣1）2+3绕它的顶点旋转180°后得到的抛物线的函数表达式为_____．三、解答题19．如图，AB为⊙O的直径，F为弦AC的中点，连接OF并延长交弧AC于点D，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点E．(1)求证：AC∥DE；(2)连接AD、CD、OC．填空①当∠OAC的度数为时，四边形AOCD为菱形；②当OA＝AE＝2时，四边形ACDE的面积为．20．某商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每周可卖出180件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每周就会少卖出5件，但每件售价不能高于55元，设每件商品的售价上涨x元(x为整数)，每周的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的售价为多少元时，每周可获得最大利润？最大利润是多少？(3)每件商品的售价定为多少元时，每周的利润恰好是2145元？21．如图1，已知直线AB、CD分别与直线EF相交于M、N两点，∠BME=50°．（1）请添加一个条件，使直线AB∥CD，并说明理由；（2）如图2，在（1）的条件下，作∠MND的平分线交AB于点G，求∠BGN的度数．22．如图，△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝，点E从A出发沿线段AC运动至点C停止，ED⊥2AB，EF⊥AC，将△ADE沿直线EF翻折得到△A′D′E，设DE＝x，△A′D′E与△ABC重合部分的面积为y．（1）当x＝时，D′恰好落在BC上？（2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．23．如图1，点A在x轴上，OA＝4，将OA绕点O逆时针旋转120°至OB的位置．（1）求经过A、O、B三点的抛物线的函数解析式；（2）在此抛物线的对称轴上是否存在点P使得以P、O、B三点为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3 ）如图2，OC＝4，⊙A的半径为2，点M是⊙A上的一个动点，求MC+12OM的最小值．24．先化简，再求值：22122121x x x xx x x x⎛⎫÷⎪+⎝⎭----++其中 x满足x2－x－1=0．25．在平面直角坐标系中，如图1，抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴为32x=，与x轴的交点A（﹣1，0）与y轴交于点C（0，﹣2）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图2．点P是直线BC下方抛物线上的一点，过点P作BC的平行线交抛物线于点Q（点Q在点P 右侧），连结BQ，当△PCQ的面积为△BCQ面积的一半时，求P点的坐标；（3）现将该抛物线沿射线AC的方向进行平移，平移后的抛物线与直线AC的交点为A'、C'（点C'在点A'的下方），与x轴的交点为B'，当△AB'C'与△AA'B'相似时，求出点A′的横坐标．【参考答案】一、选择题二、填空题13．①③14．50 2y-<<15．2x（x+2）（x﹣2）16r<<17．1218．y＝﹣2（x﹣1）2+3三、解答题19．(1)证明见解析；(2)①30°；②【解析】【分析】（1）由垂径定理，切线的性质可得FO⊥AC，OD⊥DE，可得AC∥DE；（2）①连接CD，AD，OC，由题意可证△ADO是等边三角形，由等边三角形的性质可得DF=OF，AF=FC，且AC⊥OD，可证四边形AOCD为菱形；②由题意可证△AFO∽△ODE，可得21222AO OF AFOE OD DE====+，即OD=2OF，DE=2AF=AC，可证四边形ACDE是平行四边形，由勾股定理可求DE的长，即可求四边形ACDE的面积．【详解】(1)∵F为弦AC的中点，∴AF＝CF，且OF过圆心O∴FO⊥AC，∵DE是⊙O切线∴OD⊥DE∴DE∥AC(2)①当∠OAC＝30°时，四边形AOCD是菱形，理由如下：如图，连接CD，AD，OC，∵∠OAC＝30°，OF⊥AC∴∠AOF＝60°∵AO＝DO，∠AOF＝60°∴△ADO是等边三角形又∵AF⊥DO∴DF＝FO，且AF＝CF，∴四边形AOCD是平行四边形又∵AO＝CO∴四边形AOCD是菱形②如图，连接CD，∵AC ∥DE∴△AFO ∽△EDO ∴21222AO OF AF OE OD DE ====+ ∴OD ＝2OF ，DE ＝2AF∵AC ＝2AF∴DE ＝AC ，且DE ∥AC∴四边形ACDE 是平行四边形∵OA ＝AE ＝OD ＝2∴OF ＝DF ＝1，OE ＝4∵在Rt △ODE 中，DE =∴S 四边形ACDE ＝DE×DF 1==故答案为：【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，菱形的判定，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．20．(1)y ＝﹣5x 2+130x+1800(0≤x≤15且x 取整数)；(2)当售价为53元时，可获得最大利润2645元；(3)售价为43元时，每周利润为2145元．【解析】【分析】（1）知道销售利润=利润×销售数量，结合题意，列出函数；（2）找出函数的对称轴x ＝13，分析函数中y 随x 在对称轴左右两侧的增减性，得到最大利润值.（3）将2145代入函数5x 2+130x+1800＝y 中的y ，解函数，得到答案.【详解】(1)由题意得：y ＝(40+x ﹣30)(180﹣5x)＝﹣5x 2+130x+1800(0≤x≤15且x 取整数)(2)对称轴：x ＝﹣2b a ＝﹣13052-⨯ ＝13， ∵a ＝﹣5＜0，∴在对称轴左侧，y 随x 增大而增大，∴当x ＝13时，y 最大值＝﹣5×132+130×13+1800＝2645，∴售价＝40+13＝53元答：当售价为53元时，可获得最大利润2645元．(3)由题意得：﹣5x 2+130x+1800＝2145解之得：x ＝3或23(不符合题意，舍去)∴售价＝40+3＝43元．答：售价为43元时，每周利润为2145元．【点睛】本题考查了一元二次函数的应用，根据题意得出等量关系是解题的关键. 21．（1）∠DNE＝50°（2）155°【解析】【分析】（1）可以添加：∠DNE＝50°．利用同位角相等两直线平行即可证明．（2）利用平行线的性质求出∠AGN即可．【详解】（1）可以添加：∠DNE＝50°，理由：如图1中，∵∠BME＝50°，∠DNE＝50°，∴∠BME＝∠DNE，∴AB∥CD；（2）∵∠DNE＝50°，NG平分∠DNE，∴∠DNG＝12∠DNE＝25°，∵AB∥CD，∴∠BGN+∠DNG＝180°，∴∠BGN＝180°﹣25°＝155°．【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．22．（1）95；（2）22(01)915925xy<⎪=≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩＜x）（＜x）….【解析】【分析】（1）先根据勾股定理求出AB的值，然后根据同角的正弦函数值相等表示出AE为3x，当点D′恰好落在BC上时，再根据等角的三角函数值相等表示出EC为13x，然后求出x的值即可；（2）由（1）可得AE和AD，当点A'与点C重合时，求出x的值，然后根据三角形的面积公式分三种情况讨论，求出y关于x的函数关系式即可.【详解】解：（1）在Rt△ABC中，AB2 =，∴sinA=13 DE BCAE AB==,∵DE=x，∴AE＝3x，当D′恰好落在BC上时，如图所示：ED′＝ED ＝x ，∠DEA ＝∠D′EC，∴∠ED′C＝∠A ，∴EC ＝13x ， ∵3x+13x ＝6， ∴x ＝95， 故答案为：95； （2）由（1）可得，AE=3x ，∴AD ＝，当点A'与点C 重合时，AE=EC=12AC=3， ∴3x ＝3∴x ＝1．①当0＜x≤1时，如图1，y=12212222AD DE x x x ==； ②当1＜x≤95时，如图2， ∵AE ＝A'E ＝3x ，∴AA'＝6x ．∴CA'＝6x ﹣6．∵tan A'='4CH BC CA AC ==，∴1)6)42x CH x -=-=，∴y=221132(1)1)22(66)22222x x x x x x ----=-＝-222x +-； ③当925x ＜＜时，如图3，∵∠EIC+∠IEC ＝∠IEC+∠A'，∴∠EIC ＝∠A'．∴tan CE EIC CI == , ∵CE ＝（6﹣3x ），∴3)CI x =- ∴11(63)22(63)22y CE CIx x ==--＝2-+综上所述，222(01)9-1225925x y <⎪=+-≤⎨⎪⎪-+≤⎪⎩（＜x ）＜x ）….【点睛】本题主要考查了勾股定理、利用三角函数值解直角三角形、一元二次函数及三角形的面积公式等知识点，根据题意作出辅助线，分类讨论是解题的关键.23．（1）y 2；（2）存在△POB 为等腰三角形，符合条件的点P 只有一个，坐标为（2，3）MC+12OM 的最小值为CK ＝5． 【解析】【分析】 （1）设出抛物线解析式，利用待定系数法求出拋物线解析式即可(2)设点P 的坐标为(2，y)，分三种情况讨论，①OB=OP ，②2OB=PB ，③OP=PB ，分别求出y 的值，即可得出点P 的坐（3）在OA 上取点K ，使AK ＝1，连接CK 交圆与点M ，连接OM 、CM ，利用△AKM ∽△AMO ，求出MC+12OM ＝MC+KM ＝CK ，即可解答【详解】（1）如图1，过点B作BD⊥x轴于点D，∴∠BDO＝90°，∵OA绕点O逆时针旋转120°至OB，∴OB＝OA＝4，∠AOB＝120°，B在第二象限，∴∠BOD＝60°，∴sin∠BOD＝BDOB=，cos∠BOD＝102ODB=，∴BD＝2OB＝，OD＝12OB＝2，∴B（﹣2，），设过点A（4，0），B（﹣2，O（0，0）的抛物线解析式为y＝ax2+bx+c，∴1640420a b ca b cc++=⎧⎪-+=⎨⎪=⎩解得：abc⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=⎪⎪⎪⎩，∴抛物线的函数解析式为yx2x；（2）存在△POB为等腰三角形，∵抛物线与x轴交点为A（4，0），O（0，0），∴对称轴为直线x＝2，设点P坐标为（2，p），则OP2＝22+p2＝4+p2，BP2＝（2+2）2+（p﹣）2＝p2﹣，①若OP＝OB＝4，则4+p2＝42解得：p1＝p2＝﹣当p＝﹣POA＝60°，即点P、O、B在同一直线上，∴p≠﹣∴P（2，），②若BP＝OB＝4，则p2﹣＝42解得：p1＝p2＝，∴P（2，）；③若OP＝BP，则4+p2＝p2﹣，解得：p＝，∴P （2，）；综上所述，符合条件的点P 只有一个，坐标为（2，（3）在OA 上取点K ，使AK ＝1，连接CK 交圆与点M ，连接OM 、CM ，此时，MC+12OM ＝MC+KM ＝CK 为最小值， 理由：∵AK ＝1，MA ＝2，OA ＝4，∴AM 2＝AK•OA，而∠MAO ＝∠OAM ，∴△AKM ∽△AMO ，∴KM OM ＝12， 即：MC+12OM ＝MC+KM ＝CK ，CK ＝5，即：MC+12OM 的最小值为CK ＝5． 【点睛】此题考查了二次函数的综合应用，勾股定理和三角形相似，综合性较大24．21x x ﹢，1. 【解析】【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x 2-x-1=0可知x 2=x+1，再代入原式进行计算即可．【详解】解：原式=221(1)(1)(21)x x x x x x ﹣﹢．﹢﹣=21x x ﹢． ∵ x 2﹣x ﹣1=0，∴ x 2=x+1．∴ 原式=22x x=1． 【点睛】本题考查的是分式的化简求值及分式的混合运算，准确计算是解题的关键.25．（1）213222y x x =-- ；（2）点P （1，﹣3）；（3）点A′的横坐标为44+． 【解析】【分析】（1）由对称性可知B （4，0），设抛物线解析式为y ＝a （x+1）（x ﹣4），由待定系数法可求得抛物线的解析式；（2）由平行线间距离处处相等可知，当△PCQ 的面积为△BCQ 面积的一半时，可求相关线段的长，再求得BC 的解析式，将其与抛物线解析式联立可解；（3）由平移的相关知识，结合图形分析，得出方程组，从而得解．【详解】解：（1）由对称性可知B （4，0）设抛物线解析式为y ＝a （x+1）（x ﹣4）将（0，﹣2）代入得a ＝12 ∴y ＝12x 2﹣32x ﹣2． （2）由平行线间距离处处相等可知，当△PCQ 的面积为△BCQ 面积的一半时，PQ ＝12BC ∵C （0，﹣2），B （4，0）∴BC＝∴PQ∴PQ 2＝()()22Q P Q P x x y y -+-＝5 ∵直线BC 的解析式为y ＝12x ﹣2，PQ ∥BC ∴设直线PQ 的解析式为y ＝12x+b 则y P ＝12x P +b ，y Q ＝y ＝12x Q +b 联立21213222y x b y x x ⎧=+⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩得 x 2﹣4x ﹣4﹣2b ＝0则x P +x Q ＝4∵PQ 2＝()()22Q P Q P x x y y -+-＝5 ∴()254Q P x x -＝5，x Q ﹣x P ＝2 ∴点P （1，﹣3）（3）由点A （﹣1，0），C （0，﹣2）得直线AC 的解析式为y ＝﹣2x ﹣2 设点A'坐标为（a ，﹣2a ﹣2），由平移的性质，可知AC ＝A'C'平移距离为AA'a+1）∴a+2）当△AB'C'与△AA'B'相似时，只有当△AB'C'∽△AA'B'∴AB'2＝AA'×AC'＝5（a+1）（a+2）过点B'作AA'的平行线，交原抛物线于点D ，连接AD ，由平移知四边形ADB'A'为平行四边形，点D 的纵坐标为2a+2 设点D 的横坐标为m ，则点B'坐标为（m+a+1，0） ∴AB'2＝（m+a+2）2＝5（a+1）（a+2），①将点D （m ，2a+2）代入y ＝12 x 2﹣32x ﹣2得 212m ﹣32π﹣2＝2a+2，② 联立①②，解得：a ＝2384m m -- ， m 2﹣9m+15＝0，∴m ，或m∴a═2384m m --＝6234m -=∴点． 【点睛】 此题考查二次函数综合题，抛物线与一次函数的交点问题，利用待定系数法求解析式是解题关键。
湖南省益阳市2019-2020学年第三次中考模拟考试数学试卷含解析
湖南省益阳市2019-2020学年第三次中考模拟考试数学试卷一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．正比例函数y=（k+1）x，若y随x增大而减小，则k的取值范围是（）A．k＞1 B．k＜1 C．k＞﹣1 D．k＜﹣12．如图，AB∥CD，直线EF与AB、CD分别相交于E、F，AM⊥EF于点M，若∠EAM=10°，那么∠CFE 等于（）A．80°B．85°C．100°D．170°3．一元二次方程(x+2017)2＝1的解为( )A．﹣2016，﹣2018 B．﹣2016 C．﹣2018 D．﹣20174．若等式x2+ax+19＝（x﹣5）2﹣b成立，则a+b的值为（）A．16 B．﹣16 C．4 D．﹣45．下列图形是我国国产品牌汽车的标识，在这些汽车标识中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．6．小明解方程121xx x--=的过程如下，他的解答过程中从第（）步开始出现错误．解：去分母，得1﹣（x﹣2）＝1①去括号，得1﹣x+2＝1②合并同类项，得﹣x+3＝1③移项，得﹣x＝﹣2④系数化为1，得x＝2⑤A．①B．②C．③D．④7．如图，直线a∥b，直线c与直线a、b分别交于点A、点B，AC⊥AB于点A，交直线b于点C．如果∠1=34°，那么∠2的度数为（）A ．34°B ．56°C ．66°D ．146° 8．若分式方程1x a a x -=+无解，则a 的值为（ ） A ．0 B ．-1 C ．0或-1 D ．1或-19．下列分子结构模型的平面图中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个10．某反比例函数的图象经过点（-2,3），则此函数图象也经过（ ）A ．（2，-3）B ．（-3,3）C ．（2,3）D ．（-4,6）11．4的算术平方根为（ ）A ．2±B ．2C ．2±D ．212．如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB=DC ，DE ∥AB ，下列各式正确的是（ ）A ．AB DC =u u u r u u u r B ．DE DC =u u u v u u u v C ．AB ED =u u u v u u u v D ．AD BE =u u u v u u u v二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．已知一个菱形的边长为5，其中一条对角线长为8，则这个菱形的面积为_____．14．如图△ABC 中，AB=AC=8，∠BAC=30°，现将△ABC 绕点A 逆时针旋转30°得到△ACD ，延长AD 、BC 交于点E ，则DE 的长是_____．15．如图，在等边△ABC 中，AB=4，D 是BC 的中点，将△ABD 绕点A 旋转后得到△ACE ，连接DE 交AC 于点F ，则△AEF 的面积为_______．16．在平面直角坐标系xOy 中，点A 、B 为反比例函数4y x =(x ＞0)的图象上两点，A 点的横坐标与B 点的纵坐标均为1，将4y x= (x ＞0)的图象绕原点O 顺时针旋转90°，A 点的对应点为A′，B 点的对应点为B′．此时点B′的坐标是_____．17．某种商品两次降价后，每件售价从原来元降到元，平均每次降价的百分率是__________. 18．在平面直角坐标系中，⊙P的圆心是（2，a）（a＞2），半径为2，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB 的长为23，则a的值是_____．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．（6分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于第二、四象限内的A、B两点，与x轴交于点C，点A（﹣2，3），点B（6，n）．(1)求该反比例函数和一次函数的解析式；(2)求△AOB的面积；(3)若M（x1，y1），N（x2，y2）是反比例函数y=mx（m≠0）的图象上的两点，且x1＜x2，y1＜y2，指出点M、N各位于哪个象限．20．（6分）根据函数学习中积累的知识与经验，李老师要求学生探究函数y=1x+1的图象．同学们通过列表、描点、画图象，发现它的图象特征，请你补充完整．（1）函数y=1x+1的图象可以由我们熟悉的函数的图象向上平移个单位得到；（2）函数y=1x+1的图象与x轴、y轴交点的情况是：；（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是．21．（6分）已知a，b，c为△ABC的三边，且满足a2c2﹣b2c2＝a4﹣b4，试判定△ABC的形状．22．（8分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，直线y=kx+b交BC于点E（1，m），交AB于点F（4，12），反比例函数y=nx（x＞0）的图象经过点E，F．（1）求反比例函数及一次函数解析式；（2）点P 是线段EF 上一点，连接PO 、PA ，若△POA 的面积等于△EBF 的面积，求点P 的坐标．23．（8分）观察下列等式：①1×5+4=32；②2×6+4=42；③3×7+4=52；…（1）按照上面的规律，写出第⑥个等式：_____；（2）模仿上面的方法，写出下面等式的左边：_____=502；（3）按照上面的规律，写出第n 个等式，并证明其成立．24．（10分）某中学为了提高学生的消防意识，举行了消防知识竞赛，所有参赛学生分别设有一、二、三等奖和纪念奖，获奖情况已绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，根据图中所经信息解答下列问题： （1）这次知识竞赛共有多少名学生？（2）“二等奖”对应的扇形圆心角度数，并将条形统计图补充完整；（3）小华参加了此次的知识竞赛，请你帮他求出获得“一等奖或二等奖”的概率．25．（10分）如图，在Rt ⊿ABC 中，90ACB ∠=o ,CD AB ⊥于D ,,AC 20BC 15== .⑴.求AB 的长；⑵.求CD 的长.26．（12分）如图，AB 为⊙O 直径，过⊙O 外的点D 作DE ⊥OA 于点E ，射线DC 切⊙O 于点C 、交AB的延长线于点P，连接AC交DE于点F，作CH⊥AB于点H．（1）求证：∠D=2∠A；（2）若HB=2，cosD=35，请求出AC的长．27．（12分）为缓解交通压力，市郊某地正在修建地铁站，拟同步修建地下停车库．如图是停车库坡道入口的设计图，其中MN是水平线，MN∥AD，AD⊥DE，CF⊥AB，垂足分别为D，F，坡道AB的坡度＝1：3，AD＝9米，点C在DE上，CD＝0.5米，CD是限高标志牌的高度（标志牌上写有：限高米）．如果进入该车库车辆的高度不能超过线段CF的长，则该停车库限高多少米？（结果精确到0.1米，参考数据：2≈1.41，3≈1.73，10≈3.16）参考答案一、选择题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）1．D【解析】【分析】根据正比例函数图象与系数的关系列出关于k的不等式k+1＜0，然后解不等式即可．【详解】解：∵正比例函数y=（k+1）x中，y的值随自变量x的值增大而减小，∴k+1＜0，解得，k＜-1；故选D．【点睛】本题主要考查正比例函数图象在坐标平面内的位置与k的关系．解答本题注意理解：直线y=kx所在的位置与k的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限，y随x的增大而增大；k＜0时，直线必经过二、四象限，y随x的增大而减小．2．C【解析】【分析】根据题意，求出∠AEM,再根据AB∥CD，得出∠AEM与∠CFE互补，求出∠CFE．【详解】∵AM⊥EF，∠EAM=10°∴∠AEM=80°又∵AB∥CD∴∠AEM+∠CFE=180°∴∠CFE=100°．故选C．【点睛】本题考查三角形内角和与两条直线平行内错角相等．3．A【解析】【分析】利用直接开平方法解方程．【详解】（x+2017）2=1x+2017=±1，所以x1=-2018，x2=-1．故选A．【点睛】本题考查了解一元二次方程-直接开平方法：形如x2=p或（nx+m）2=p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．4．D【解析】分析：已知等式利用完全平方公式整理后，利用多项式相等的条件求出a与b的值，即可求出a+b的值．详解：已知等式整理得：x2+ax+19=（x-5）2-b=x2-10x+25-b，可得a=-10，b=6，则a+b=-10+6=-4，故选D ．点睛：此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．5．B【解析】由中心对称图形的定义：“把一个图形绕一个点旋转180°后，能够与自身完全重合，这样的图形叫做中心对称图形”分析可知，上述图形中，A 、C 、D 都不是中心对称图形，只有B 是中心对称图形.故选B.6．A【解析】【分析】根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的，从而可以解答本题．【详解】 12x x x--=1， 去分母，得1-（x-2）=x ，故①错误，故选A ．【点睛】本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．7．B【解析】分析：先根据平行线的性质得出∠2+∠BAD=180°，再根据垂直的定义求出∠2的度数．详解：∵直线a ∥b ，∴∠2+∠BAD=180°．∵AC ⊥AB 于点A ，∠1=34°，∴∠2=180°﹣90°﹣34°=56°．故选B ．点睛：本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补，此题难度不大．8．D【解析】试题分析：在方程两边同乘(x ＋1)得：x －a ＝a(x ＋1)，整理得：x(1－a)＝2a，当1－a＝0时，即a＝1，整式方程无解，当x＋1＝0，即x＝－1时，分式方程无解，把x＝－1代入x(1－a)＝2a得：－(1－a)＝2a，解得：a＝－1，故选D．点睛：本题考查了分式方程的解，解决本题的关键是熟记分式方程无解的条件．9．C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【详解】解：A是轴对称图形，不是中心对称图形；B，C，D是轴对称图形，也是中心对称图形．故选:C．【点睛】掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．10．A【解析】【分析】设反比例函数y=kx（k为常数，k≠0），由于反比例函数的图象经过点（-2，3），则k=-6，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征分别进行判断．【详解】设反比例函数y=kx（k为常数，k≠0），∵反比例函数的图象经过点（-2，3），∴k=-2×3=-6，而2×（-3）=-6，（-3）×（-3）=9，2×3=6，-4×6=-24，∴点（2，-3）在反比例函数y=-6x的图象上．故选A．【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y=kx（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x ，y ）的横纵坐标的积是定值k ，即xy=k ．11．B【解析】 分析：先求得4的值，再继续求所求数的算术平方根即可． 详解：∵4=2，而2的算术平方根是2，∴4的算术平方根是2，故选B ．点睛：此题主要考查了算术平方根的定义，解题时应先明确是求哪个数的算术平方根，否则容易出现选A 的错误．12．D【解析】∵AD//BC ，DE//AB ，∴四边形ABED 是平行四边形，∴AB DE =u u u v u u u v ，AD BE =u u u v u u u v，∴选项A 、C 错误，选项D 正确，选项B 错误，故选D.二、填空题：（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．）13．1【解析】试题解析：如图，∵菱形ABCD 中，BD=8，AB=5，∴AC ⊥BD ，OB=12BD=4， ∴22AB OB -，∴AC=2OA=6，∴这个菱形的面积为：12AC•BD=12×6×8=1． 14．434【解析】【分析】过点C 作CH AE ⊥于H ，根据三角形的性质及三角形内角和定理可计算ACB 75∠=︒再由旋转可得，CAD BAC 30∠∠==︒，根据三角形外角和性质计算E 45∠=︒，根据含30︒角的直角三角形的三边关系得CH 和AH 的长度，进而得到DH 的长度，然后利用E 45∠=︒得到EH 与CH 的长度，于是可得DE EH DH =-.【详解】如图，过点C 作CH AE ⊥于H ，∵AB AC 8==， ∴()()11B ACB 180BAC 180307522∠∠∠==︒=︒︒=︒﹣﹣． ∵将ABC V 绕点A 逆时针旋转，使点B 落在点C 处，此时点C 落在点D 处，∴AD AB 8==， CAD BAC 30，∠∠==︒∵ACB CAD E ，∠∠∠=+∴E 753045．∠=︒-︒=︒在Rt ACH V 中，∵CAH 30∠=︒，∴1CH AC 42==， AH 3CH 43==， ∴DH AD AH 843=-=-，在Rt CEH V 中，∵E 45∠=︒，∴EH CH 4==，∴()DE EH DH 4843434=-=--=-．故答案为434-． 【点睛】本题考查三角形性质的综合应用，要熟练掌握等腰三角形的性质，含30︒角的直角三角形的三边关系，旋转图形的性质．15．332【解析】【分析】首先，利用等边三角形的性质求得3△ADE 为等边三角形，则DE=AD ，便可求出EF 和AF ，从而得到△AEF 的面积.【详解】解：∵在等边△ABC 中，∠B=60º，AB=4，D 是BC 的中点，∴AD ⊥BC ，∠BAD=∠CAD=30º，∴AD=ABcos30º 根据旋转的性质知，∠EAC=∠DAB=30º，AD=AE ，∴∠DAE=∠EAC+∠CAD=60º，∴△ADE 的等边三角形，∴，∠AEF=60º,∵∠EAC=∠CAD∴EF=DF=12DE ，AF ⊥DE∴AF=EFtan60º，∴S △AEF =12EF×AF=12×.. 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，熟记各性质并求出△ADE 是等边三角形是解题的关键．16．（1，-4）【解析】【分析】利用旋转的性质即可解决问题.【详解】如图，由题意A（1，4），B（4，1），A根据旋转的性质可知′（4，-1），B′（1，-4）；所以，B′（1，-4）；故答案为（1，-4）.【点睛】本题考查反比例函数的旋转变换，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．17．【解析】【分析】设降价的百分率为x，则第一次降价后的单价是原来的（1−x），第二次降价后的单价是原来的（1−x）2，根据题意列方程解答即可．【详解】解：设降价的百分率为x，根据题意列方程得：100×（1−x）2＝81解得x1＝0.1，x2＝1.9（不符合题意，舍去）．所以降价的百分率为0.1，即10%．故答案为：10%.【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．找到关键描述语，根据等量关系准确的列出方程是解决问题的关键．还要判断所求的解是否符合题意，舍去不合题意的解．18．2【解析】【分析】【详解】试题分析：过P点作PE⊥AB于E，过P点作PC⊥x轴于C，交AB于D，连接PA．∵PE⊥AB，3，半径为2，∴AE=12AB=3，PA=2，根据勾股定理得：PE=1，∵点A在直线y=x上，∴∠AOC=45°，∵∠DCO=90°，∴∠ODC=45°，∴△OCD是等腰直角三角形，∴OC=CD=2，∴∠PDE=∠ODC=45°，∴∠DPE=∠PDE=45°，∴DE=PE=1，∴PD=2∵⊙P的圆心是（2，a），∴a=PD+DC=2+2．【点睛】本题主要考查的就是垂径定理的应用以及直角三角形勾股定理的应用，属于中等难度的题型．解决这个问题的关键就是在于作出辅助线，将所求的线段放入到直角三角形中．本题还需要注意的一个隐含条件就是：直线y=x或直线y=-x与x轴所形成的锐角为45°，这一个条件的应用也是很重要的．三、解答题：（本大题共9个小题，共78分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．19．(1)反比例函数的解析式为y=﹣6x；一次函数的解析式为y=﹣12x+2；(2)8；(3)点M、N在第二象限，或点M、N在第四象限．【解析】【详解】(1)把A（﹣2，3）代入y=mx，可得m=﹣2×3=﹣6，∴反比例函数的解析式为y=﹣6x；把点B（6，n）代入，可得n=﹣1，∴B（6，﹣1）．把A（﹣2，3），B（6，﹣1）代入y=kx+b，可得23 61k bk b-+=⎧⎨+=-⎩，解得122kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩，∴一次函数的解析式为y=﹣12x+2；(2)∵y=﹣12x+2，令y=0，则x=4，∴C（4，0），即OC=4，∴△AOB的面积=12×4×（3+1）=8；(3)∵反比例函数y=﹣6x的图象位于二、四象限，∴在每个象限内，y随x的增大而增大，∵x1＜x2，y1＜y2，∴M，N在相同的象限，∴点M、N在第二象限，或点M、N在第四象限．【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，求三角形的面积，求函数的解析式，正确掌握反比例函数的性质是解题的关键．20．（1）1yx=，1；（2）与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点；（3）答案不唯一，如：y=﹣2x+1.【解析】【分析】（1）根据函数图象的平移规律，可得答案；（2）根据自变量与函数值的对应关系，可得答案；（3）根据点的坐标满足函数解析式，可得答案．【详解】（1）函数11yx=+的图象可以由我们熟悉的函数1yx=的图象向上平移1个单位得到，故答案为：1yx=，1；（2）函数11yx=+的图象与x轴、y轴交点的情况是：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点，故答案为：与x轴交于（﹣1，0），与y轴没交点；（3）请你构造一个函数，使其图象与x轴的交点为（2，0），且与y轴无交点，这个函数表达式可以是：y=﹣2x+1，答案不唯一，故答案为：y=﹣2x+1． 【点睛】 本题考查了函数图像的平移变换，函数自变量的取值范围，函数图象与坐标轴的交点等知识，利用函数图象的平移规律是解题关键．21．等腰直角三角形【解析】【分析】首先把等式的左右两边分解因式，再考虑等式成立的条件，从而判断△ABC 的形状．【详解】解：∵a 2c 2－b 2c 2=a 4－b 4，∴a 4－b 4－a 2c 2+b 2c 2=0，∴（a 4－b 4）－（a 2c 2－b 2c 2）=0，∴（a 2+b 2）（a 2－b 2）－c 2（a 2－b 2）=0，∴（a 2+b 2－c 2）（a 2－b 2）=0得：a 2+b 2=c 2或a=b ，或者a 2+b 2=c 2且a=b ，即△ABC 为直角三角形或等腰三角形或等腰直角三角形．考点：勾股定理的逆定理．22．（1）2y x =；1522y x =-+；（2）点P 坐标为（114，98）． 【解析】【分析】（1）将F （4，12）代入0n y x x=（＞），即可求出反比例函数的解析式2y x =；再根据2y x =求出E 点坐标，将E 、F 两点坐标代入y kx b =+，即可求出一次函数解析式；（2）先求出△EBF 的面积，点P 是线段EF 上一点，可设点P 坐标为1522x x +（，﹣），根据面积公式即可求出P 点坐标.【详解】 解：（1）∵反比例函数0n y x x =（＞）经过点142F （，），∴n=2， 反比例函数解析式为2y x =． ∵2y x=的图象经过点E （1，m ）， ∴m=2，点E 坐标为（1，2）．∵直线y kx b =+ 过点12E （，），点142F （，）， ∴2142k b k b +=⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得1252k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， ∴一次函数解析式为1522y x =+﹣； （2）∵点E 坐标为（1，2），点F 坐标为142（，），∴点B 坐标为（4，2），∴BE=3，BF=32， ∴1139•32224EBF S BE BF ∆==⨯⨯=， ∴94POA EBF S S ∆∆== ． 点P 是线段EF 上一点，可设点P 坐标为1522x x +（，﹣），∴115942224x ⨯-+=（）， 解得114x =， ∴点P 坐标为11948（，）． 【点睛】本题主要考查反比例函数，一次函数的解析式以及三角形的面积公式.23．6×10+4=82 48×52+4【解析】【分析】（1）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；（2）根据题目中的式子的变化规律可以解答本题；（3）根据题目中的式子的变化规律可以写出第n 个等式，并加以证明．【详解】解：（1）由题目中的式子可得，第⑥个等式：6×10+4=82， 故答案为6×10+4=82； （2）由题意可得，48×52+4=502，故答案为48×52+4； （3）第n 个等式是：n×（n+4）+4=（n+2）2，证明：∵n×（n+4）+4=n2+4n+4=（n+2）2，∴n×（n+4）+4=（n+2）2成立．【点睛】本题考查有理数的混合运算、数字的变化类，解答本题的关键是明确有理数的混合运算的计算方法．24．(1)200；（2）72°,作图见解析；（3）3 10.【解析】【分析】(1)用一等奖的人数除以所占的百分比求出总人数;(2)用总人数乘以二等奖的人数所占的百分比求出二等奖的人数，补全统计图，再用360°乘以二等奖的人数所占的百分比即可求出“二等奖”对应的扇形圆心角度数;(3)用获得一等奖和二等奖的人数除以总人数即可得出答案.【详解】解：（1）这次知识竞赛共有学生2010%=200（名）；（2）二等奖的人数是：200×（1﹣10%﹣24%﹣46%）=40（人），补图如下：“二等奖”对应的扇形圆心角度数是：360°×40200=72°；（3）小华获得“一等奖或二等奖”的概率是：2040200+=310．【点睛】本题主要考查了条形统计图以及扇形统计图，利用统计图获取信息是解本题的关键. 25．（1）25（2）12【解析】整体分析：（1）用勾股定理求斜边AB的长；（2）用三角形的面积等于底乘以高的一半求解.解：(1).∵在Rt ⊿ABC 中，90ACB ∠=o ，20,15AC BC ==. ∴2222201525AB AC BC =+=+=，(2).∵S ⊿1122ABC AC BC AB CD =⋅=⋅， ∴AC BC AB CD ⋅=⋅即201525CD ⨯=，∴20×15＝25CD.∴12CD =.26．（1）证明见解析；（2）AC=45.【解析】【分析】（1）连接OC ，根据切线的性质得到90OCP ∠=︒，根据垂直的定义得到90DEP ∠=︒，得到COB D ∠=∠，然后根据圆周角定理证明即可；（2）设O e 的半径为r ，根据余弦的定义、勾股定理计算即可．【详解】（1）连接OC ．∵射线DC 切O e 于点C ，90OCP ∴∠=︒．DE AP ⊥Q ，90DEP ∴∠=︒，90P D ∴∠+∠=︒，90P COB ∠+∠=︒，COB D ∴∠=∠，由圆周角定理得：2COB A ∠=∠，2D A ∴∠=∠；（2）由（1）可知：90OCP ∠=︒，COP D ∠=∠，3cos cos 5COP D ∴∠=∠=，CH OP ⊥Q ，90CHO ∴∠=︒，设O e 的半径为r ，则2OH r =-，在Rt CHO ∆中，23cos 5OH r HOC OC r -∠===，5r ∴=，523OH ∴=-=，∴由勾股定理可知：4CH =，1028AH AB HB ∴=-=-=． 在Rt AHC ∆中，90CHA =︒∠，由勾股定理可知：2245AC AH CH =+=．【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理以及解直角三角形，掌握切线的性质定理、圆周角定理、余弦的定义是解题的关键．27．2.1．【解析】【分析】据题意得出tanB =13, 即可得出tanA, 在Rt△ADE中, 根据勾股定理可求得DE, 即可得出∠FCE的正切值, 再在Rt△CEF中, 设EF=x,即可求出x, 从而得出CF=1x的长.【详解】解：据题意得tanB=，∵MN∥AD，∴∠A=∠B，∴tanA=，∵DE⊥AD，∴在Rt△ADE中，tanA=，∵AD=9，∴DE=1，又∵DC=0.5，∴CE=2.5，∵CF⊥AB，∴∠FCE+∠CEF=90°，∵DE⊥AD，∴∠A+∠CEF=90°，∴∠A=∠FCE，∴tan∠FCE=在Rt△CEF中，CE2=EF2+CF2设EF=x，CF=1x（x＞0），CE=2.5，代入得（）2=x2+（1x）2解得x=（如果前面没有“设x＞0”，则此处应“x=±，舍负”），∴CF=1x=≈2.1，∴该停车库限高2.1米．【点睛】点评: 本题考查了解直角三角形的应用, 坡面坡角问题和勾股定理, 解题的关键是坡度等于坡角的正切值.。
2020年湖南省益阳市中考数学模拟试卷 (含答案解析)
2020年湖南省益阳市中考数学模拟试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 在√5，0，−1，π这四个数中，最大的数是( )A. √5B. πC. 0D. −12. 不等式组{3x ≤2x +43−x 3<2的解集，在数轴上表示正确的是( )A.B. C.D.3. 下图所示几何体的俯视图是( )A.B.C.D.4. 已知一组数据：6，2，8，x ，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是( ) A. 7 B. 6 C. 5 D. 45. 如果方程组{3x +7y =10,ax +(a −1)y =5的解中的x 与y 的值相等，那么a 的值是( )． A. 1 B. 2 C. 3 D. 46. 下列因式分解正确的是( )A. x 2−y 2=(x −y)2 B. a 2+a +1=(a +1)2 C. xy −x =x(y −1)D. 2x +y =2(x +y)7.如图，一次函数y1=kx+b与y2=x+a的图象交点的横坐标为3，则下列结论：①k<0；②a>0；③当x<3时，y1>y2中，正确结论的个数是()A. 0B. 3C. 2D. 18.已知：平行四边形ABCD中，AB=8，则对角线的长为()A. 6和8B. 10和8C. 4和10D. 6和109.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与BC的垂直平分线交于点P，连接CP，若∠A=75°，∠ACP=12°，则∠ABP的度数为()A. 12°B. 31°C. 53°D. 75°10.如图，点F是矩形ABCD的边CD上一点，射线BF交AD的延长线于点E，则下列结论错误的是()A. EDAD =DFABB. BCDE =CFDFC. DEBC =EFFBD. BFBE =BCAE二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）11.已知地球的表面积约为510000000km2，数据510000000用科学记数法可表示为______．12.如图，AB//CD，AD⊥BD，∠A=60°，则∠BDC的度数为______．13.如图，扇形纸扇完全打开后，∠BAC=120°，AB=AC=30厘米，则BC⏜的长为______厘米．(结果保留π)14.反比例函数y=k的图象经过点(1,6)和(m,−3)，则m=______．x15.在甲，乙两个不透明口袋中各装有10个和3个形状大小完全相同的红色小球，则从中摸到红色小球的概率是P甲______P乙(填“>”，“<”或“=”)；16.已知两个多边形的内角和为1440°，两个多边形的边数之比为1∶2，这两个多边形的边数分别为．17.请你写出两个无理数，使其和为√5，这两个无理数可以是___________．18.某校九年级数学兴趣小组经过市场调查，整理出某种商品在第x天(1≤x≤40，且x为正整数)的售价与销量的相关信息如下表：时间(天)1≤x≤40售价(元/件)x+35每天销量(件)150−2x已知该商品的进价为每件30元，设销售该商品的每天利润为w元．则w与x的函数表达式为____________．三、计算题（本大题共2小题，共18.0分）3+|1−√2|19.√16−(−2)2−√−820. 如图，某办公楼AB 的后面有一建筑物CD ，当光线与地面的夹角是22°时办公楼在建筑物的墙上留下高1米的影子CE ，而当光线与地面夹角是45°时，办公楼顶A 在地面上的影子F 与墙角C 有20米的距离(B,F ，C 在一条直线上)．(1)求办公楼AB 的高度；(2)若要在A ，E 之间挂一些彩旗，请你求出A ，E 之间的距离．(精确到1米)(参考数据：sin22°≈38，cos22°≈1516，tan22°≈25)四、解答题（本大题共6小题，共60.0分）21. 先化简，再求值：a+b ab ÷(a b −ba )，其中a =2 019，b =2 018．22.如图，在△ABC中，∠B=60°，⊙O是△ABC的外接圆，过点A作⊙O的切线，交CO的延长线于点M，CM交⊙O于点D．(1)求证：AM=AC；(2)若AC=3，求MC的长．23.为了解九年级学生数学模拟考试得分情况，王老师随机抽取部分同学的试卷进行统计调查并根据其结果，绘制出了如下两个尚不完整的统计图表：根据以上图表信息，解答下列问题：(1)求这次统计调查的样本数及a.b.m的值；(2)求扇形统计图中扇形C的圆心角度数；(3)若该校九年级共有学生1200人，请估计考试分数x在60≤x<120范围内的人数．组别分组(单位：元)人数A0≤x<304B30≤x<6016C60≤x<90aD90≤x<120bE x≥120224.桐梓县“四抓四到位”确保教育均衡发展，加速城区新、扩建项目工程，加快建设某间小学，公司经过调查了解：甲、乙两个工程队有能力承包建校工程，甲工程队单独完成建校工程的时间是乙工程队的2倍，甲、乙两队合作完成建校工程需要60天．(1)甲、乙两队单独完成建校工程各需多少天？(2)若甲、乙两队共同工作了10天后，乙队因其他工作停止施工，由甲队单独继续施工，要使甲队总的工作量不少于乙队已做工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天？25.如图，抛物线y=a(x−ℎ)2+√3图象经过原点0(0,0)，A(2,0)(1)写出该函数图象的解析式；(2)若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？(3)根据图象回答，当x取何值时，y<0？26.如图，在正方形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的动点，且AE=BF=CG=DH．(1)求证：四边形EFGH是正方形；(2)判断直线EG是否经过一个定点，并说明理由；-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：解：∵−1<0<√5<π，最大的数是π，故选：B．题中只有2个正数，比较两个正数的大小，找到最大的数即可．考查实数的比较；用到的知识点为：0大于一切负数；正数大于0；注意应熟记常见无理数的约值．2.答案：B解析：解：解不等式3x≤2x+4，得：x≤4，<2，得：x>−3，解不等式3−x3则不等式组的解集为−3<x≤4，故选：B．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集．本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．3.答案：B解析：【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图.根据三视图的相关概念和原几何体画出俯视图，进行比较选择答案．【解答】解：几何体的俯视图是故选B．4.答案：A解析：解：由题意得6+2+8+x +7=6×5，解得：x =7，这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，6，7，7，8，则中位数为7．故选：A ．首先根据平均数为6求出x 的值，然后根据中位数的概念求解．本题考查了中位数和平均数的知识，将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数．5.答案：C解析：【分析】此题主要考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．根据x 与y 的值代入，把y =x 代入方程组求出a 的值即可．【解答】解：根据题意得：y =x ，代入方程组得：{3x +7x =10ax +(a −1)x =5， 解得：{x =1a =3， ∴a =3．故选C ．6.答案：C解析：解：A 、x 2−y 2=(x +y)(x −y)，故此选项错误；B 、a 2+a +1无法因式分解，故此选项错误；C 、xy −x =x(y −1)，正确；D 、2x +y 无法因式分解，故此选项错误；故选：C ．分别利用公式法以及提取公因式法分解因式进而判断得出即可．此题主要考查了公式法以及提取公因式法分解因式，熟练掌握乘法公式是解题关键．7.答案：C解析：解：①∵一次函数y1=kx+b的图象过第一、二、四象限，∴k<0，①正确；②∵一次函数y2=x+a的图象过第一、三、四象限，∴a<0，②错误；③观察函数图象，发现：当x<3时，一次函数y1=kx+b的图象在一次函数y2=x+a的图象的上方，∴当x<3时，y1>y2，③正确．综上可知：正确的结论为①③．故选：C．①由一次函数y1=kx+b的图象过第一、二、四象限，即可得出k<0，由此即可得出①正确；②由一次函数y2=x+a的图象过第一、三、四象限，即可得出a<0，由此得出②错误；③根据两一次函数图象的上下位置关系即可得出当x<3时，y1>y2，即③正确．综上即可得出结论．本题考查了一次函数与一元一次不等式，解题的关键是逐条分析三个选项是否正确．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，熟悉一次函数图象与一次函数系数的关系是关键．8.答案：B解析：解：设平行四边形的两条对角线为2a和2b，∵AB=8，∴a−b<8<a+b，∴2a−2b<16<2a+2b，判断各选项可知B满足题意，故选B．根据平行四边形的性质：对角线互相平分，以及三角形的三边关系即可求出对角线的长的可能取值．本题考查了平行四边形的性质：对角线互相平分以及三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．9.答案：B解析：【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形内角和定理，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段的垂直平分线的性质得到PB=PC，得到∠PBC=∠PCB，根据角平分线的定义、三角形内角和定理列式计算即可．【解答】解：∵BP是∠ABC的平分线，∴∠ABP=∠CBP，∵PE是线段BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴∠PBC=∠PCB，∴∠ABP=∠CBP=∠PCB，∴∠ABP+∠ABP+∠ABP+12°+75°=180°，解得，∠ABP=31°，故选：B．10.答案：A解析：解：∵四边形ABCD是矩形，∴BC//DE，AD=BC，∴△BCF∽△EDF，∴BCDE =CFDF，DEBC=EFBF，故B，C正确，∵DF//AB，∴BFBE =ADAE=BCAE，故D正确，故选：A．根据矩形的性质以及平行线分线段成比例定理即可解决问题；本题考查相似三角形的判定，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11.答案：5.1×108解析：解：510000000=5.1×108．故答案为：5.1×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值是易错点，由于510000000有9位，所以可以确定n=9−1=8．此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定a与n的值是关键．12.答案：30°解析：解：∵AB//CD，∠A=60°，∴∠ADC=180°−60°=120°．∵AD⊥BD，∴∠ADB=90°，∴∠BDC=∠ADC−∠ADB=120°−90°=30°．故答案为：30°．先根据AB//CD，∠A=60°，求出∠ADC的度数，再由AD⊥BD得出∠ADB=90°，进而可得出结论．本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同旁内角互补．13.答案：20π解析：解：BC⏜的长=120π×30180=20π(厘米)．故答案为：20π．根据弧长公式l=nπR180列式计算即可得解．本题考查了弧长的计算，熟记弧长公式是解题的关键．弧长公式：l=nπR180(弧长为l，圆心角度数为n，圆的半径为R)．14.答案：−2解析：【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键．先把点(1,6)代入反比例函数y=kx，求出k的值，进而可得出反比例函数的解析式，再把点(m,−3)代入即可得出m的值．【解答】解：∵反比例函数y=kx的图象经过点(1,6)，∴6=k1，解得k=6，∴反比例函数的解析式为y=6x．∵点(m,−3)在此函数图象上，∴−3=6m，解得m=−2．故答案为：−2．15.答案：=解析：解：由题意知，从甲口袋的10个小球中摸出一个小球，是红色小球是必然事件，概率为1；从乙口袋的3个小球中摸出一个小球，是红色小球是必然事件，概率为1；∴P甲=P乙，故答案为：=．根据必然事件的定义及其概率可得答案．本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件A的概率P(A)=事件A可能出现的结果数所有可能出现的结果数．P(必然事件)=1.P(不可能事件)=0．16.答案：4，8解析：【分析】本题主要考查了n边形的内角和公式，根据条件可以转化为方程问题．一个多边形的边数与另一个多边形边数的比为2：1，因而设一个多边形的边数是n，则另一个多边形的边数是2n，因而这两个多边形的内角和是(n−2)·180°和(2n−2)·180°，根据内角和为1440°，就可以解得n的值．【解答】解：设一个多边形的边数是n，则另一个多边形的边数是2n，因而这两个多边形的内角和分别是(n−2)·180°和(2n−2)·180°，根据两个多边形的内角和为1440°，就得到方程：(2n−2)·180°+(n−2)·180°=1440°，解得：n=4，∴这两个多边形的边数分别为4，8，故答案为4，8．17.答案：2√5，−√5(答案不唯一)解析：【分析】此题主要考查了无理数和无理数的加法运算．根据无理数的概念和加法法则，可得答案．【解答】解：2√5+(−√５)=√５，故答案为2√5，−√5(答案不唯一)．18.答案：w=−2x2+140x+750(1≤x≤40且x为正整数)解析：【分析】本题考查了二次函数的应用，理解利润的计算方法，利润=每件的利润×销售的件数，是解题的关键．【解答】解：根据题意得：w=(x+35−30)(150−2x)=−2x2+140x+750，故答案为w=−2x2+140x+750.(1≤x≤40且x为正整数)19.答案：解：原式=4−4+2+√2−1=1+√2．解析：直接利用二次根式的性质以及立方根的性质、绝对值的性质分别化简得出答案．此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．20.答案：解：(1)过点E作EM⊥AB于点M，设AB=x，在Rt△ABF中，∵∠AFB=45°，∴BF=AB=x，∴BC=BF+FC=x+20．在Rt△AEM中，∵∠AEM=22°，AM=AB−CE=x−1，tan22°=AMME ，即x−1x+20=25，解得，x=15．∴办公楼AB的高度为15米；(2)在Rt△AME中，∵cos22°=MEAE，∴AE=MEcos22∘=37米．∴A，E之间的距离为37米．解析：(1)过点E作EM⊥AB于点M，设AB=x，在Rt△ABF中，由∠AFB=45°可知BF=AB=x，在Rt△AEM中，利用锐角三角函数的定义求出x的值即可；(2)在Rt△AME中，根据cos22°=MEAE可得出结论．本题考查的是解直角三角形−坡度坡角问题，掌握锐角三角函数的定义、坡度的概念是解题的关键．21.答案：解：原式=a+bab ÷a2−b2ab=a+bab×ab(a+b)(a−b)=1a−b，当a=2019，b=2018时，原式=12019−2018=1．解析：本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解决本题的关键．首先利用通分计算分式的减法，然后再按照除法法则转化为乘法，约分即可，再把a、b的值代入计算即可．22.答案：(1)证明：连接OA，∵AM是⊙O的切线，∴∠OAM=90°，∵∠B=60°，∴∠AOC=120°，∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠AOM=60°，∴∠M=30°，∴∠OCA=∠M，∴AM=AC；(2)作AG⊥CM于G，∵∠OCA=30°，AC=3，∴AG=32，由勾股定理的，CG=3√32，则MC=2CG=3√3．解析：(1)连接OA，根据圆周角定理求出∠AOC=120°，得到∠OCA的度数，根据切线的性质求出∠M 的度数，根据等腰三角形的性质得到答案；(2)作AG⊥CM于G，根据直角三角形的性质求出AG的长，根据勾股定理求出CG，得到答案．本题考查的是切线的性质、等腰三角形的性质和勾股定理的应用，掌握圆的切线垂直于过切点的半径是解题的关键．23.答案：解：(1)这次统计调查的样本数为16÷32%=50，则b=50×16%=8，a=50−(4+16+8+2)=20，∴m%=450×100%=8%，即m=8；(2)扇形统计图中扇形C的圆心角度数为360°×2050=144°；(3)1200×2850=672(人)，答：估计考试分数x在60≤x<120范围内的人数为672人．解析：本题考查扇形统计图、用样本估计总体、频数分布表，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．(1)先根据B组人数及其所占百分比求得总人数，再用总人数乘以D组的百分比求得b的值，继而由各组人数之和等于总人数求得a的值，最后用A组人数除以总人数可得m的值；(2)用360°乘以C组人数所占比例；(3)用总人数乘以60≤x<120范围内的人数所占比例．24.答案：解：(1)设乙工程队单独完成建校工程需要x天，则甲工程队单独完成建校工程需要2x天，根据题意得：60(1x +12x)=1，解得：x=90，经检验，x=90是原方程的解，且符合题意，∴2x=180．答：甲工程队单独完成建校工程需要180天，乙工程队单独完成建校工程需要90天．(2)设甲队再单独施工y天，根据题意得：10+y180≥1090×2，解得：y≥30．答：甲队至少再单独施工30天．解析：本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出分式方程；(2)根据各数量间的关系，正确列出一元一次不等式．(1)设乙工程队单独完成建校工程需要x天，则甲工程队单独完成建校工程需要2x天，根据甲、乙两队合作完成建校工程需要60天，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设甲队再单独施工y天，根据甲队总的工作量不少于乙队已做工作量的2倍，即可得出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论．25.答案：解：(1)∵二次函数y=a(x−ℎ)2+√3的图象经过原点O(0,0)，A(2,0)．解得：ℎ=1，a=−√3，∴抛物线的对称轴为直线x=1；(2)点A′是该函数图象的顶点．理由如下：如图，作A′B⊥x轴于点B，∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，∴OB=12OA′=1，∴A′B=√3OB=√3，∴A′点的坐标为(1,√3)，∴点A′为抛物线y=−√3(x−1)2+√3的顶点；(3)如图所示，当x<0或x>2时，y<0．解析：(1)由于抛物线过点O(0,0)，A(2,0)，根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；(2)作A′B⊥x轴于B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得OB=12OA′=1，A′B=√3OB=√3，则A′点的坐标为(1,√3)，根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=−√3(x−1)2+√3的顶点；(3)结合函数图象直接写出答案．本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质；会利用待定系数法求二次函数的解析式；理解坐标与图形性质．26.答案：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵AE=BF=CG=DH，∴AH=BE=CF=DG，在△AEH、△BFE、△CGF和△DHG中，{AE=BF=CG=DH ∠A=∠B=∠C=∠D AH=BE=CF=DG，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS)，∴EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，∴四边形EFGH是菱形，∵∠BEF+∠BFE=90°，∴∠BEF+∠AEH=90°，∴∠HEF=90°，∴四边形EFGH是正方形；(2)解：直线EG经过一个定点，这个定点为正方形的中心(AC、BD的交点)；理由如下：连接AC、EG，交点为O；如图所示：∵四边形ABCD 是正方形，∴AB//CD ，∴∠OAE =∠OCG ，在△AOE 和△COG 中，{∠OAE =∠OCG ∠AOE =∠COG AE =CG∴△AOE≌△COG(AAS)，∴OA =OC ，即O 为AC 的中点，∵正方形的对角线互相平分，∴O 为对角线AC 、BD 的交点，即O 为正方形的中心．解析：本题是四边形综合题目，考查了正方形的性质与判定、菱形的判定、全等三角形的判定与性质．(1)由正方形的性质得出∠A =∠B =∠C =∠D =90°，AB =BC =CD =DA ，证出AH =BE =CF =DG ，由SAS 证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG ，得出EH =FE =GF =GH ，∠AEH =∠BFE ，证出四边形EFGH 是菱形，再证出∠HEF =90°，即可得出结论；(2)连接AC 、EG ，交点为O ；先证明△AOE≌△COG ，得出OA =OC ，证出O 为对角线AC 、BD 的交点，即O 为正方形的中心．。
湖南省益阳市中考数学三模试卷
湖南省益阳市中考数学三模试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题；共24分)1. （2分）据报道，5月28日参观2010上海世博会的人数达35.6万﹒用科学记数法表示数35.6万是（）A . 3.56×101B . 3.56×104C . 3.56×105D . 35.6×1042. （2分）(2016·陕西) 下列计算正确的是（）A . x2+3x2=4x4B . x2y•2x3=2x4yC . （6x2y2）÷（3x）=2x2D . （﹣3x）2=9x23. （2分）若函数中，自变量的取值范围是（）A .B .C .D . 且4. （2分）的平方根是（）A . ±4B . ±2C . 4D . 25. （2分）一次数学检测中，有5名学生的成绩分别是86，89，78，93，90.则这5名学生成绩的平均数和中位数分别是（）A . 87.2，89B . 89，89C . 87.2，78D . 90，936. （2分）(2017·咸宁) 已知a、b、c为常数，点P（a，c）在第二象限，则关于x的方程ax2+bx+c=0根的情况是（）A . 有两个相等的实数根B . 有两个不相等的实数根C . 没有实数根D . 无法判断7. （2分）一天，小明的爸爸送给小明一个礼物，小明打开包装后画出它的主视图与俯视图如图所示，根据小明画的视图，请你猜礼物是（）A . 钢笔B . 生日蛋糕C . 光盘D . 一套衣服8. （2分）小轩从如图所示的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象中，观察得出了下面五条信息：①ab＞0；②a+b+c＜0；③b+2c＞0；④a﹣2b+4c＞0；⑤a=b．你认为其中正确信息的个数有（）A . 2个B . 3个C . 4个D . 5个9. （2分） (2016九上·腾冲期中) 如图，在△ABC中，AB=12cm，BC=6cm，∠ABC=30°，把△ABC以点B为中心按逆时针方向旋转，使点C旋转到AB边的延长线上的C′处，那么AC边扫过的图形（图中阴影部分）的面积是（）cm2 ．（结果保留π）A . 15πB . 60πC . 45πD . 75π10. （2分）已知反比函数y=的图象如图所示，则实数m的取值范围在数轴上应表示为（）A .B .C .D .11. （2分）在如图的地板行走，随意停下来时，站在黑色地板上的概率是（）A .B .C .D .12. （2分）(2019·贵港模拟) 将两个等腰Rt△ADE、Rt△ABC如图放置在一起，其中∠DAE＝∠ABC＝90°.点E在AB上，AC与DE交于点H，连接BH、CE，且∠BCE＝15°，下列结论：①AC垂直平分DE；②△CDE为等边三角形；③tan∠BCD＝；④ ；正确的个数是（）A . 1B . 2C . 3D . 4二、填空题 (共4题；共4分)13. （1分）(2012·本溪) 分解因式：9ax2﹣6ax+a=________．14. （1分） (2016七上·六盘水期末) 元旦节日期间，百货商场为了促销，对某种商品按标价的8折出售，仍获利160元，若商品的标价为2200元，那么它的成本为________15. （1分）(2017·淄川模拟) 如图，在△ABC中，AB=AC=3，∠BAC=120°，以点A为圆心，1为半径作圆弧，分别交AB，AC于点D，E，以点C为圆心，3为半径作圆弧，分别交AC，BC于点A，F．若图中阴影部分的面积分别为S1 ， S2 ，则S1﹣S2的值为________．16. （1分） (2020八下·重庆月考) 如图，在矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点.若BD＝8，则MN的长为________.三、解答题 (共7题；共63分)17. （5分）(2019·道外模拟) 先化简，再求代数式的值，其中.18. （5分）(2017·高邮模拟) 先化简，再求值：（1﹣）÷ ，其中x=﹣2．19. （6分）(2018·常州) 如图，把△ABC沿BC翻折得△DBC．（1）连接AD，则BC与AD的位置关系是________．（2）不在原图中添加字母和线段，只加一个条件使四边形ABDC是平行四边形，写出添加的条件，并说明理由．20. （12分）(2018·济宁模拟) “校园安全”受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，并根据收集到的信息进行统计，绘制了两幅尚不完整的统计图，如图所示，请根据统计图中所提供的信息解答下列问题：（1）接受问卷调查的学生共有________人，扇形统计图中“基本了解”部分所对应扇形的圆心角为________；（2）请补全条形统计图；（3）若从对校园安全知识达到了“了解”程度的3个女生和2个男生中随机抽取2人参加校园安全知识竞赛，请用树状图或列表法求出恰好抽到1个男生和1个女生的概率．21. （15分）(2017·青岛模拟) 某电子厂商设计了一款制造成本为18元新型电子厂品，投放市场进行试销．经过调查，得到每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的部分数据如下：销售单价x（元/件）…20253035…每月销售量y（万件）…60504030…（1）求出每月销售量y（万件）与销售单价x（元）之间的函数关系式．（2）求出每月的利润z（万元）与销售单x（元）之间的函数关系式．（3）根据相关部门规定，这种电子产品的销售利润率不能高于50%，而且该电子厂制造出这种产品每月的制造成本不能超过900万元．那么并求出当销售单价定为多少元时，厂商每月能获得最大利润？最大利润是多少？（利润=售价﹣制造成本）22. （10分）已知点A（2，a）在抛物线y=x2上（1）求A点的坐标；（2）在x轴上是否存在点P，使△OAP是等腰三角形？若存在写出P点坐标；若不存在，说明理由．23. （10分）(2020·武汉模拟) 如图，在⊙O中，AB为直径，F是半圆弧AB的中点，E是弧BF上一点，直线AE与过点B的切线相交于点C，连接EF.（1）若EF＝ AB，求∠ACB的度数；（2）若⊙O的半径为3，BC＝2，求EF的长.参考答案一、选择题 (共12题；共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题；共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共7题；共63分)17-1、18-1、19-1、19-2、20-1、20-2、20-3、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、23-1、23-2、。
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湖南省益阳市中考数学三模试卷一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3 B．|﹣2|C．（﹣3）2D．2×1032．若点P（a，4﹣a）是第二象限的点，则a必须满足（）A．a＜0 B．a＜4 C．0＜a＜4 D．a＞43．下列运算正确的是（）A．（x﹣2）2=x2﹣4 B．x3•x4=x12C．x6÷x3=x2D．（x2）3=x64．某小学为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是5．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A．58°B．70°C．110° D．116°6．一个物体由多个完全相同的小正方形组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）A．4 B．5 C．8 D．107．如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．计算：25的平方根是．10．从1、2、3这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是．11．已知﹣1，，﹣，，﹣，…，请你根据以上规律写出第2015个数．12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，DB=2，则的值等于．13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为度．14．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=2．其中说法正确的有（把你认为说法正确的序号都填上）．三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）15．计算：2cos30°﹣|﹣1|+（）﹣1．16．化简：•﹣．17．已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围．四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）18．某校根据实际情况在大课间活动中，决定开设：A：跳绳，B：羽毛球，C：乒乓球，D：踢毽子，E：健美操等五种运动项目，要求每人必须参加其中的一项活动且只能参加一项，随机抽取了部分学生调查他们的所选项目，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题．（1）被调查的学生人数是，图中乒乓球所在的扇形的圆心角的度数是；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200人，估计全校在大课间活动中参加打羽毛球的人数．19．如图，一条公路路基的横断面是梯形（AD∥BC），路基顶宽AD=8米，高3米，斜坡AB 的坡度为i=1：1，斜坡DC的坡角∠C=60°．（1）求斜坡AB的坡角∠B的度数；（2）求BC的长．20．某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：土特产品种甲乙丙每辆汽车运载量（吨）865每吨土特产获利（百元）121610（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，求出此次销售最大利润的值．五、解答题21．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．六、解答题22．如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c 与x轴的另一个交点为C．（1）确定抛物线的解析式及点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得EB+EC的值最小，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上是否存在点F，连接AF，使∠FAO=∠OBC，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．湖南省益阳市中考数学三模试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1．下列各数中，最小的数是（）A．﹣3 B．|﹣2|C．（﹣3）2D．2×103【考点】有理数大小比较．【分析】根据正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小，即可解答．【解答】解：∵|﹣2|=2，（﹣3）2=9，2×103=2000，∴﹣3＜2＜9＜2000，∴最小的数是﹣2，故选：A．2．若点P（a，4﹣a）是第二象限的点，则a必须满足（）A．a＜0 B．a＜4 C．0＜a＜4 D．a＞4【考点】解一元一次不等式组；点的坐标．【分析】根据第二象限内点的横坐标为负、正坐标为正列出关于a的不等式组，解之可得．【解答】解：根据题意得，解得：a＜0，故选：A．3．下列运算正确的是（）A．（x﹣2）2=x2﹣4 B．x3•x4=x12C．x6÷x3=x2D．（x2）3=x6【考点】同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；完全平方公式．【分析】根据能用同底数幂的乘法、除法法则，幂的乘方，完全平方公式计算即可．【解答】解：A、（x﹣2）2=x2﹣4x+4，故此选项错误；B、x3•x4=x7，故此选项错误；C、x6÷x3=x3，故此选项错误；D、（x2）3=x6，故此选项正确；故选D．4．某小学为了了解各年级留守儿童的数量，对一到六年级留守儿童数量进行了统计，得到每个年级的留守儿童人数分别为10，15，10，17，18，20．对于这组数据，下列说法错误的是（）A．平均数是15 B．众数是10 C．中位数是17 D．方差是【考点】方差；算术平均数；中位数；众数．【分析】根据方差、众数、平均数和中位数的计算公式和定义分别进行解答即可．【解答】解：平均数是：（10+15+10+17+18+20）÷6=15，A说法正确，不符合题意；10出现了2次，出现的次数最多，则众数是10，B说法正确，不符合题意；把这组数据从小到大排列为10，10，15，17，18，20，最中间的数是（15+17）÷2=16，则中位数是16，C说法错误，符合题意；方差是： [2（10﹣15）2+（15﹣15）2+（17﹣15）2+（18﹣15）2+（20﹣15）2]==，D正确，不符合题意．则下列说法错误的是C．故选：C．5．直线a、b、c、d的位置如图所示，如果∠1=58°，∠2=58°，∠3=70°，那么∠4等于（）A．58°B．70°C．110° D．116°【考点】平行线的判定与性质．【分析】根据同位角相等，两直线平行这一定理可知a∥b，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答．【解答】解：∵∠1=∠2=58°，∴a∥b，∴∠3+∠5=180°，即∠5=180°﹣∠3=180°﹣70°=110°，∴∠4=∠5=110°，故选C．6．一个物体由多个完全相同的小正方形组成，它的三视图如图所示，那么组成这个物体的小正方体的个数为（）A．4 B．5 C．8 D．10【考点】由三视图判断几何体．【分析】从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，从俯视图可以验证这一点，从而确定个数．【解答】解：从主视图与左视图可以得出此图形只有一排，只能得出一共有5个小正方体，从俯视图可以验证这一点，从而确定小正方体总个数为5个．故选B7．如图，DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，连接BC，DB，则下列结论错误的是（）A．B．AF=BF C．OF=CF D．∠DBC=90°【考点】垂径定理；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理．【分析】根据垂径定理可判断A、B，根据圆周角定理可判断D，继而可得出答案．【解答】解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于F，∴点D是优弧AB的中点，点C是劣弧AB的中点，A、=，正确，故本选项错误；B、AF=BF，正确，故本选项错误；C、OF=CF，不能得出，错误，故本选项符合题意；D、∠DBC=90°，正确，故本选项错误；故选C．8．如图，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且OA=OC．则下列结论：①abc＜0；②＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣．其中正确结论的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】二次函数图象与系数的关系．【分析】由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称轴位置可得b＞0，由抛物线与y轴的交点位置可得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与x轴的交点个数得到b2﹣4ac＞0，加上a ＜0，则可对②进行判断；利用OA=OC可得到A（﹣c，0），再把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c 得ac2﹣bc+c=0，两边除以c则可对③进行判断；设A（x1，0），B（x2，0），则OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与x轴的交点问题得到x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，利用根与系数的关系得到x1•x2=，于是OA•OB=﹣，则可对④进行判断．【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0，∵抛物线的对称轴在y轴的右侧，∴b＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，所以①正确；∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b2﹣4ac＞0，而a＜0，∴＜0，所以②错误；∵C（0，c），OA=OC，∴A（﹣c，0），把A（﹣c，0）代入y=ax2+bx+c得ac2﹣bc+c=0，∴ac﹣b+1=0，所以③正确；设A（x1，0），B（x2，0），∵二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于A，B两点，∴x1和x2是方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，∴x1•x2=，∴OA•OB=﹣，所以④正确．故选：B．二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9．计算：25的平方根是±5．【考点】平方根．【分析】根据平方根的定义，结合（±5）2=25即可得出答案．【解答】解：∵（±5）2=25∴25的平方根±5．故答案为：±5．10．从1、2、3这三个数字中，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，则这个两位数能被3整除的概率是．【考点】列表法与树状图法．【分析】先画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出这个两位数能被3整除的结果数，然后根据概率公式求解．【解答】解：画树状图为：共有6种等可能的结果数，其中这个两位数能被3整除的结果数为2，所以这个两位数能被3整除的概率==．故答案为．11．已知﹣1，，﹣，，﹣，…，请你根据以上规律写出第2015个数﹣．【考点】单项式．【分析】根据题意找出规律为当n为奇数时，第n个单项式为﹣x n﹣1；当n为偶数时，第n 个单项式为x n﹣1；根据此规律即可得出结论．【解答】解：已知﹣1，，﹣，，﹣，…，根据以上规律第2015个数是﹣．故答案为：﹣．12．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，若DE∥BC，AD=3，DB=2，则的值等于．【考点】相似三角形的判定与性质．【分析】由DE与BC平行，得到三角形ADE与三角形ABC相似，由相似得比例求出所求式子的值即可．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，∴△ADE∽△ABC，∴=，即=，则=．故答案为：13．如图，AB是⊙O的直径，弦CD垂直平分半径OA，则∠ABC的大小为30度．【考点】垂径定理；含30度角的直角三角形；圆周角定理．【分析】根据线段的特殊关系求角的大小，再运用圆周角定理求解．【解答】解：连接OC，∵弦CD垂直平分半径OA，∴OE=OC，∴∠OCD=30°，∠AOC=60°，∴∠ABC=30°．故答案为：30．14．如图，一次函数y=kx+b的图象与x轴的交点坐标为（2，0），则下列说法：①y随x的增大而减小；②b＞0；③关于x的方程kx+b=0的解为x=2．其中说法正确的有①②③（把你认为说法正确的序号都填上）．【考点】一次函数的性质；一次函数的图象；一次函数与一元一次方程．【分析】根据一次函数的性质，结合一次函数的图形进行解答．【解答】解：①因为一次函数的图象经过二、四象限，所以y随x的增大而减小，故本项正确②因为一次函数的图象与y轴的交点在正半轴上，所以b＞0，故本项正确③因为一次函数的图象与x轴的交点为（2，0），所以当y=0时，x=2，即关于x的方程kx+b=0的解为x=2，故本项正确故答案为①②③．三、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）15．计算：2cos30°﹣|﹣1|+（）﹣1．【考点】实数的运算；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．【分析】原式第一项利用特殊角的三角函数值计算，第二项利用绝对值的代数意义化简，最后一项利用负整数指数幂法则计算即可得到结果．【解答】解：原式=2×﹣+1+2=3．16．化简：•﹣．【考点】分式的混合运算．【分析】先将分子和分母能分解因式的进行因式分解，再约分，最后通分、约分可得结果．【解答】解：•﹣，=•﹣，=﹣，=，=．17．已知反比例函数y=（k为常数，k≠1）．（1）若点A（1，2）在这个函数的图象上，求k的值；（2）若在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，求k的取值范围．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征；反比例函数的性质．【分析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k﹣1=1×2，然后解方程即可；（2）根据反比例函数的性质得k﹣1＞0，然后解不等式即可．【解答】解：（1）根据题意得k﹣1=1×2，解得k=3；（2）因为反比例函数y=，在这个函数图象的每一分支上，y随x的增大而减小，所以k﹣1＞0，解得k＞1．四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）18．某校根据实际情况在大课间活动中，决定开设：A：跳绳，B：羽毛球，C：乒乓球，D：踢毽子，E：健美操等五种运动项目，要求每人必须参加其中的一项活动且只能参加一项，随机抽取了部分学生调查他们的所选项目，并将调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图，请你结合图中的信息解答下列问题．（1）被调查的学生人数是80，图中乒乓球所在的扇形的圆心角的度数是54；（2）补全条形统计图；（3）已知该校有1200人，估计全校在大课间活动中参加打羽毛球的人数．【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．【分析】（1）根据跳绳的人数除以跳绳的所占的百分比，可得调查的人数；根据有理数的减法，可得乒乓球的人数，根据按比例分配，可得答案；（2）根据打乒乓球的人数，可得答案；（3）根据用本估计总体，可得答案．【解答】解：（1）16÷20%=80人，被调查的人数是80人，乒乓球的人数80﹣16﹣8﹣20﹣24=12人，乒乓球所在的扇形的圆心角的度数是360×=54°，故答案为：80，54°；（2）如图，（3）全校在大课间活动中参加打羽毛球的人数1200×=120人．19．如图，一条公路路基的横断面是梯形（AD∥BC），路基顶宽AD=8米，高3米，斜坡AB 的坡度为i=1：1，斜坡DC的坡角∠C=60°．（1）求斜坡AB的坡角∠B的度数；（2）求BC的长．【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题．【分析】（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，根据坡度的概念求出斜坡AB的坡角∠B的度数；（2）根据正切的定义求出FC，计算即可．【解答】解：（1）作AE⊥BC于E，DF⊥BC于F，∵斜坡AB的坡度为i=1：1，∴BE=AE=3，∴AB==3，∠B=45°；（2）FC=DF×tanC=3，∴BC=BE+EF+FC=11+3．20．某土特产公司组织20辆汽车装运甲、乙、丙三种土特产共120吨去外地销售．按计划20辆车都要装运，每辆汽车只能装运同一种土特产，且必须装满，根据下表提供的信息，解答以下问题：土特产品种甲乙丙每辆汽车运载量（吨）865每吨土特产获利（百元）121610（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，求y与x之间的函数关系式；（2）如果装运每种土特产的车辆都不少于3辆，求出此次销售最大利润的值．【考点】一次函数的应用．【分析】（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，则装运丙种土特产的车辆为（20﹣x﹣y），根据土特产总重量=甲种土特产的重量+乙种土特产的重量+丙种土特产的重量即可得出关于x、y的二元一次方程，整理后即可得出y与x之间的函数关系式；（2）设销售利润为w，根据总利润=甲种土特产的利润+乙种土特产的利润+丙种土特产的利润即可得出w关于x的一次函数关系式，再根据装运每种土特产的车辆都不少于3辆即可求出x 的取值范围，利用一次函数的单调性即可解决最值问题．【解答】解：（1）设装运甲种土特产的车辆数为x，装运乙种土特产的车辆数为y，则装运丙种土特产的车辆为（20﹣x﹣y），根据题意得：8x+6y+5（20﹣x﹣y）=120，整理得：y=﹣3x+20．（2）设销售利润为w，则w=8×12x+6×16y+5×10（20﹣x﹣y）=﹣92x+1920．∵装运每种土特产的车辆都不少于3辆，∴，解得：3≤x≤6．∵﹣92＜0，∴当x=3时，w取最大值，最大值为1644．答：此次销售最大利润为1644元．五、解答题21．已知E，F分别为正方形ABCD的边BC，CD上的点，AF，DE相交于点G，当E，F分别为边BC，CD的中点时，有：①AF=DE；②AF⊥DE成立．试探究下列问题：（1）如图1，若点E不是边BC的中点，F不是边CD的中点，且CE=DF，上述结论①，②是否仍然成立？（请直接回答“成立”或“不成立”，不需要证明）（2）如图2，若点E，F分别在CB的延长线和DC的延长线上，且CE=DF，此时，上述结论①，②是否仍然成立？若成立，请写出证明过程，若不成立，请说明理由；（3）如图3，在（2）的基础上，连接AE和EF，若点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD 的中点，请判断四边形MNPQ是“矩形、菱形、正方形”中的哪一种，并证明你的结论．【考点】四边形综合题．【分析】（1）只要证明△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠DAF=∠CDE，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（2）只要证明△ADF≌△DCE（SAS），即可证得AF=DE，∠E=∠F，又由∠ADG+∠EDC=90°，即可证得AF⊥DE；（3）首先四边形MNPQ是菱形，再证明∠HQG=90°，即可证得四边形MNPQ是正方形．【解答】解：（1）上述结论①，②仍然成立，理由：如图1中，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠DAF=∠CDE，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；∴AF=DE，AF⊥DE．（2）上述结论①，②仍然成立，理由：如图2中，∵四边形ABCD为正方形，∴AD=DC，∠BCD=∠ADC=90°，在△ADF和△DCE中，，∴△ADF≌△DCE（SAS），∴AF=DE，∠CDE=∠DAF，∵∠ADG+∠EDC=90°，∴∠ADG+∠DAF=90°，∴∠AGD=90°，即AF⊥DE；∴AF=DE，AF⊥DE．（3）四边形MNPQ是正方形．理由：如图3中，设MQ，DE分别交AF于点G，O，PQ交DE于点H，∵点M，N，P，Q分别为AE，EF，FD，AD的中点，∴MQ=PN=DE，PQ=MN=AF，MQ∥DE，PQ∥AF，∴四边形OHQG是平行四边形，∵AF=DE，∴MQ=PQ=PN=MN，∴四边形MNPQ是菱形，∵AF⊥DE，∴∠AOD=90°，∴∠HQG=∠AOD=90°，∴四边形MNPQ是正方形．六、解答题22．如图，直线y=x﹣3与x轴、y轴分别相交于点A，B，经过A，B两点的抛物线y=﹣x2+bx+c 与x轴的另一个交点为C．（1）确定抛物线的解析式及点C的坐标；（2）在抛物线的对称轴上是否存在点E，使得EB+EC的值最小，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在抛物线上是否存在点F，连接AF，使∠FAO=∠OBC，若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．【考点】二次函数综合题．【分析】（1）先求A、B两点的坐标，利用待定系数法求二次函数的解析式，在令y=0解一元二次方程求方程的解，从而求出点C的坐标；（2）根据轴对称的最短路径找到点E：直线AB与对称轴的交点即是E点，求直线AB的解析式，再求与对称轴的交点坐标即可；（3）分两种情况计算：点F分别在x轴的上方和下方，根据等角的三角函数列式计算即可．【解答】解：（1）当x=0时，y=3，当y=0时，x﹣3=0，x=3，∴A（3，0），B（0，﹣3），把A（3，0），B（0，﹣3）代入抛物线y=﹣x2+bx+c中得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+4x﹣3，当y=0时，﹣x2+4x﹣3=0，x1=1，x2=3，∴C（1，0），（2）y=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1，∴P（2，1），∵C、A关于抛物线的对称轴对称，∴直线AB与对称轴的交点即为点E，如图1，此时EB+EC为最小，当x=2时，y=2﹣3=﹣1，∴E（2，﹣1）；（3）过F作FD⊥x轴于D，设F（a，﹣a2+4a﹣3），∵∠FAO=∠OBC，∠BOC=∠FDA=90°，∴△BOC∽△ADF，∴，∵C（1，0），B（0，﹣3），∴OC=1，OB=3，当F在x轴的上方时，如图1，得=，3﹣a=﹣3a2+12a﹣9，3a2﹣13a+12=0，（a﹣3）（3a﹣4）=0，a1=3（舍），a2=，∴F（，），当F在x轴的下方时，如图2，_._ _._ 得=， 解得：x 1=3（舍），x 2=，∴F （，﹣），综上所述，点F 的坐标为（，）或（，﹣）．。