专题02 函数与导数之值域倍增(解析版)2021学年高三导数满分突破

专题02 值域倍增或倍减一、考情分析值域倍增或倍减是高考函数与导数一个新的考查导数的方向。

在2019年全国卷2的选择题12题已经出现了，是以压轴题的形式出现的。

考查学生对分段函数以及函数的周期性，结合图像去处理。

数形结合思想是我们去处理这只能怪题型的一个必备手段。

处理步骤分为：①审题，找出分段函数的部分图像，找到伪周期，值域倍增或倍减得范围；②结合函数，画出图像；③整理，分析，得出结论。

二、经验分享 1.函数的周期对于函数)(x f y =，如果存在一个不为零的常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有)()(x f T x f =+都成立，那么就把函数)(x f y =叫做周期函数，不为零的常数T 叫做这个函数的周期。

如果所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。

【常用结论】 A 、)()(x f a x f =+ ，函数(x)f 的周期2T a =.B 、)(1)()(1)a (x f a x f x f x f =+=+或，函数(x)f 的周期2T a =. C 、)(1)(1)2(x f x f a x f +=+或)(1)(1)2(x f x f a x f +=+，函数(x)f 的周期2T a =.2.函数的值域（1）.函数的值域周期性倍增若函数满足(x a)(x)f Af +=或(x a)(x)f Af -=（0A >），那么此函数的图像会以T a =，值域每次经过一个T ，都会周期性变大A 倍； （2）.函数的值域周期性倍减若函数满足(x a)(x)f Af +=或(x a)(x)f Af -=（0A <），那么此函数的图像会以T a =，值域每次经过一个T ，都会周期性变大A 倍； （3）.函数的周期性若函数满足(x a)(x)f f +=或(x a)(x)f f -=，那么此函数的图像会以T a =，用周期函数的性质求解即可。

三、题型分析 (一) 函数值域倍减例1.【2019全国Ⅱ，理，12】设函数()f x 的定义域为R ，满足(1) 2 ()f x f x +=，且当(0,1]x ∈时，()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有8()9f x ≥-，则m 的取值范围是（ ）A ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B ．7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D ．8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦【答案】B【解析】因为(1)2()f x f x +=，所以()2(1)f x f x =-，当(0,1]x ∈时，1()(1),04f x x x ⎡⎤=-∈-⎢⎥⎣⎦， 当(1,2]x ∈时，1(0,1]x -∈，1()2(1)2(1)(2),02f x f x x x ⎡⎤=-=--∈-⎢⎥⎣⎦， 当(2,3]x ∈时，1(1,2]x -∈，[]()2(1)4(2)(3)1,0f x f x x x =-=--∈-，当(2,3]x ∈时，由84(2)(3)9x x --=-解得73x =或83x =， 若对任意(],x m ∈-∞，都有9(x)8f ≥-，则73m ≤．故选B ．【变式训练1】已知f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，－1≤x ≤0，x ，0＜x ≤1，则下列函数的图象错误的是( )【答案】D【解题秘籍】函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性.【变式训练2】已知函数22,0()(),0x x x f x g x x ⎧+≥=⎨<⎩是奇函数，则((1))f g -= .【答案】-15【解析】((1))((1))(3)(3)15.f g f f f f -=-=-=-=- 【变式训练3】【2020河北五邑四模】已知函数()()2log 2017,02,0x x f x f x x +>⎧=⎨-+≤⎩，则()2016f -=__________．【答案】2018-【解析】当0x ≤时， ()()2f x f x =-+，即()()()()244f x f x f x f x ⎡⎤=-+=--+=+⎣⎦，即此时函数是周期为4的周期函数， 则()()()()()()222016201645040022log 20172018f f f f f -=-+⨯==-+=-=-+=- (二) 函数值域倍增例2.【皖南八校高三摸底（2020.08）】设函数()f x 的定义域为R ，且满足(1)2()f x f x +=，当[0,1)x ∈时，2()f x x x =-，若(,)x t ∈-∞时，()f x 的最大值为1，则实数t 的取值范围是_________【答案】5142(,24t -∈【解析】【方法技巧梳理】倍域问题定义在R 上的()f x 满足(1)2()f x f x +=，即自变量增加一，函数值变为2倍. 根据[0,1)x ∈时()f x 解析式画出函数草图.xyy =1（72,2）（52,1）x 3x 2432O1由于[3,4)x ∈时，函数()23()2[(3)3]f x x x =⋅---，令()1f x =，则1235142142,,2x x x -+===. 由于(,)x t ∈-∞时，max ()f x =1，故必满足52t >. ①首先5142(,]24t -∈时，max ()f x =1②其次1427(,]42t -∈时，()f x 无最大值. ③而当714+2(,]24t ∈时，()f x 最大值为2.综上知：5142(,]24t -∈.【变式训练1】若函数()()⎪⎩⎪⎨⎧<-⎪⎭⎫ ⎝⎛≥-=2,1212,2x x x a x f x 是R 是的单调递减函数，则实数a 的取值范围是（ ）A. ()2,∞-B. ⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,813C.()2,0D. ⎥⎦⎤⎝⎛∞-813,【答案】D【解析】要使)(x f 为R 上的减函数，则⎪⎩⎪⎨⎧-≥-⎪⎭⎫ ⎝⎛<-)2(2121022a a ，解得813≤a【变式训练2】 【2019年第一次全国大联考（山东卷）】已知函数1log (2),0()(),0a x x f x g x x -+≥⎧=⎨<⎩是奇函数，则方程()2g x =的根为（ ）A ．32-B ．6- C. 6-，32- D ．16，32【答案】B【解析】因为函数()f x 为R 上的奇函数，所以(0)0f =，即1log 20a -=，解得2a =.所以21log (2),0()(),0x x f x g x x -+≥⎧=⎨<⎩.方程()2g x =，即()()2f x g x -=-=-.当0x <时，有21log (2)2x --+=-，整理得2log (2)3x -=，解得6x =-.综上，方程的根为6-，故选B.四、迁移应用1.【2020湖南衡阳三次联考】设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且()()()3log 1,0,0x x f x g x x ⎧+≥⎪=⎨<⎪⎩，则()8g -=（ ）A.2-B. 3-C. 2D. 3 【答案】A【解析】由分段函数的解析式可知： ()()()3888log 92g f f -=-=-=-=-. 2．【2020湖北省襄阳市调研】已知函数()201701 log 1sin x x f x x x π≤≤⎧=⎨>⎩，，，若a 、b 、c 互不相等，且f (a) = f (b) = f (c)，则a b c ++ 的取值范围是（ ）A. (1，2 017)B. (1，2 018)C. [2，2 018]D. (2，2 018) 【答案】D3.【2020河北衡水中学一调】已知()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩存在210x x >≥，使得()()12f x fx =，则()12x f x 的取值范围为（ ）A ．211,42⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭ B ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C ．2,14⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．221,32⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭ 【答案】A【解析】作出函数()11,01,22,1,x x x f x x -⎧+≤<⎪=⎨⎪≥⎩的图象，如图所示， 因为存在21,x x 当210x x >≥时，()()12f x f x =，所以1102x ≤<， 因为12x +在1[0,)2上的最小值为11,22x -在1[,2)2上的最小值为22，所以111221222x x -+≥⇒≥，所以121122x -≤<， 因为()()11211(),2f f x x f x x =+=，所以()21211111()2x f x x f x x ==+， 令21112y x =+（121122x -≤<），所以21112y x =+为开口向上，对称轴为14x =-上抛物线， 所以21112y x =+在区间211[,)22-上递增， 所以当212x -=时，224y -=，当12x =时，12y =，即()12x f x 的取值范围是211,42⎡⎫-⎪⎢⎪⎣⎭， 故选A ．4.设)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当2)(,0x x f x =≥时,若对任意的]2,[+∈t t x ,不等式)(2)(x f t x f ≥+恒成立,则实数t 的取值范围是 ．【分析】本题已明确指出是个奇函数,故易求出它的整个解析式（一个分段函数）,此时画出它的图象,就能发现它是一个单调递增函数,难点在于题中所给不等式)(2)(x f t x f ≥+中,2()f x 的系数2如何处理？再次仔细观察所求函数的解析式的结构特征,发现满足：)2()(2x f x f =,最后结合单调性,转化一个恒成立问题,利用分离参数的方法求出t 的范围.【解析】∵)(x f 是定义在R 上的奇函数,且当0≥x 时,2)(x x f = ∴当x ＜0,有-x ＞0,2)()(x x f -=-,∴2)(x x f =-,即2)(x x f -=,∴⎩⎨⎧<-≥=)0(,)0(,)(22x x x x x f ,∴)(x f 在R 上是单调递增函数,且满足)2()(2x f x f =, ∵不等式)2()(2)(x f x f t x f =≥+在[t,t+2]恒成立,∴x +t ≥2x 在[t ,t +2]恒成立,解得t x )21(+≤在[t ,t +2]恒成立,∴t t )21(2+≤+解得：2≥t ,则实数t 的取值范围是：[+∞,2）．【点评】本题主要考查了函数的奇偶性和单调性,其中奇偶性是一个明条件,单调性是一个隐条件,作出函数的图象易发现它的单调性,这也再次说明数形结合的重要性,本题最后转化成一个恒成立问题,运用分离参数的方法求解的,这正说明函数性质的应用是十分广泛的,它能与很多知识结合,考查学生综合运用所学知识解决问题的能力.5.已知函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =（e 为自然对数的底数）处的切线的斜率为3． (1)求实数a 的值；(2)若2()f x kx ≤对任意0x >成立,求实数k 的取值范围.【分析】（1）由'()ln 1f x a x =++结合条件函数()ln f x ax x x =+的图象在点e x =处的切线的斜率为3,可知'(e)3f =,可建立关于a 的方程：lne 13a ++=,从而解得1a =；（2）要使2()f x kx ≤对任意0x >恒成立,只需max2()[]f x k x ≥即可,而由（1）可知()ln f x x x x =+,∴问题即等价于求函数1ln ()xg x x+=的最大值,可以通过导数研究函数()g x 的单调性,从而求得其最值：221(1ln )ln '()x x x x g x x x⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =,当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数,因此()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求. 【解析】(1)∵()ln f x ax x x =+,∴'()ln 1f x a x =++,又∵()f x 的图象在点e x =处的切线的斜率为3,∴'(e)3f =,即lne 13a ++=,∴1a =； (2)由（1）知,()ln f x x x x =+,∴2()f x kx ≤对任意0x >成立1ln xk x+⇔≥对任意0x >成立, 令1ln ()xg x x +=,则问题转化为求()g x 的最大值, 221(1ln )ln '()x x xx g x x x⋅-+==-,令'()0g x =,解得1x =, 当01x <<时,'()0g x >,∴()g x 在(0,1)上是增函数；当1x >时,'()0g x <,∴()g x 在(1,)+∞上是减函数． 故()g x 在1x =处取得最大值(1)1g =,∴1k ≥即为所求.【点评】在函数存在性与恒成立问题中求含参数范围过程中,当其中的参数（或关于参数的代数式）能够与其它变量完全分离出来并,且分离后不等式其中一边的函数（或代数式）的最值或范围可求时,常用分离参数法.此类问题可把要求的参变量分离出来,单独放在不等式的一侧,将另一侧看成新函数,于是将问题转化成新函数的最值问题.利用分离参数法来确定不等式(),0f x λ≥,（,x D λ∈为实参数）恒成立中参数λ的取值范围的基本步骤: (1)将参数与变量分离,即化为()()g f x λ≥（或()()g f x λ≤）恒成立的形式； (2)求()f x 在x D ∈上的最大（或最小）值；(3)解不等式()()max g f x λ≥ (或()()min g f x λ≤) ,得λ的取值范围.6.已知函数()f x 满足：,0,()(2),0,x e x f x f x x ⎧<=⎨-≥⎩则(2019)f =（ ）A. 1e -B. eC. 0D. 1【答案】A.【解析】：由题意，1(2019)(2017)(2015)...(1)(1)f f f f f e -=====-=7．已知函数()ln f x x =，()1g x x =-.（Ⅰ）证明：当0x >时，()()f x g x ≤；（Ⅱ）若[1,e]x ∈时不等式()g af x ≥成立，求a 的取值范围.【解析】（Ⅰ）令()()()ln 1,0h x f x g x x x x =-=-+> ，11'()1xh x x x-∴=-=， (0,1)'()0,()x h x h x ∴∈>当时，单调递增，(1,+)'()0,()x h x h x ∈∞<当时，单调递减，1()x h x ∴=当时，取得最大值，()(1)0h x h ∴≤=，即()()0f x g x -≤，∴ 当0x >时，()()f x g x ≤.（Ⅱ）令()()ln 1h x af x ga x =-=-，则()a h x x '==， ①当0a ≤时，()0h x '<，所以函数()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()()10h x h ≤=，所以0a ≤满足题意. ②当0a >时，令()0h x '=，得24x a =， 所以当()20,4x a∈时，()0h x '> ，当()24,x a ∈+∞时，()0h x '<.所以函数()h x 在()20,4a上单调递增，在()24,a +∞上单调递减.（ⅰ）当24a e ≥，即2a ≥时，()h x 在[]1,e 上单调递增，所以()()10h x h e a ≤=≤，所以1-≤e a ，此时无解.（ⅱ）当214a e <<，即122a <<时，函数()h x 在()21,4a 上单调递增，在()24,a e 上单调递减. 所以()()()()224ln 4212ln 2210h x h aa a a a a a ≤=-+=-+≤ .设()()12ln 2212m x x x x x ⎛=-+<< ⎝⎭，则()()2ln 20m x x '=>，所以()m x 在1,22⎛ ⎝⎭上单调递增,()102m x m ⎛⎫>= ⎪⎝⎭ ，不满足题意. （ⅲ）当2041a <≤，即102a <≤时，()h x 在[]1,e 上单调递减，所以()()10h x h ≤=，所以102a <≤满足题意.综上所述：a 的取值范围为1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦. 8.（单调性与极值）设函数1()ln ().f x x a x a R x =--∈⑴讨论函数()f x 的单调性；⑵若()f x 有两个极值点12,x x ，记过点11(,()),A x f x 22(,())B x f x 的直线斜率为k ,问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由.【解析】：⑴()f x 的定义域为(0,).+∞22211'()1a x ax f x x x x-+=+-= 令2()1,g x x ax =-+其判别式2 4.a =-①当||2,0,'()0,a f x ≤≤≥时故()(0,)f x +∞在上单调递增．②当2a <-时,>0,g(x)=0的两根都小于0，在(0,)+∞上，'()0f x >，故()(0,)f x +∞在上单调递增．③当2a >时,>0,g(x)=0的两根为12x x ==当10x x <<时， '()0f x >；当12x x x <<时，'()0f x <；当2x x >时，'()0f x >，故()f x 分别在12(0,),(,)x x +∞上单调递增，在12(,)x x 上单调递减．⑵．由⑴知，若()f x 有两个极值点12,x x ，则只能是情况③，故2a >． 因为1212121212()()()(ln ln )x x f x f x x x a x x x x --=-+--， 所以1212121212()()ln ln 11f x f x x x k a x x x x x x --==+---，又由⑴知，121x x =，于是1212ln ln 2x x k ax x -=-- 若存在a ，使得2.k a =-则1212ln ln 1x x x x -=-．即1212ln ln x x x x -=-．亦即222212ln 0(1)(*)x x x x --=>，再由⑴知，函数1()2ln h t t t t =--在(0,)+∞上单调递增，而21x >，所以222112ln 12ln10.1x x x -->--=这与(*)式矛盾．故不存在a ，使得2.k a =-。