二次曲线上的四点共圆问题的完整结论
二次曲线上的四点共圆问题的完整结论
甘志国(该文已发表 数学通讯，2013(7下)：40-41)
百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是
这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(122
22>>=+b a b
y a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2]
2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)：
若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k .
文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”.
文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)：
结论1 抛物线2
2y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.
结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补.
请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4.
定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆.
证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：
2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ①
式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，得a b b a
λ''-=-,此时曲线①即 220x y c x d y e '''++++= ②
的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线②上，所以曲线②表示圆.这就证得了四个交点共圆.
定理 2 若两条直线:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.
证明 由21,l l 组成的曲线即
111222()()0a x b y c a x b y c ++++=
所以经过它与Γ的四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)：
22111222()()()0ax by cx dy e a x b y c a x b y c λμ+++++++++= ③
必要性.若四个交点共圆，则存在μλ,使方程③表示圆，所以式③左边的展开式中含xy 项的系数1221()0a b a b μ+=.而0≠μ(否则③表示曲线Γ，不表示圆)，所以12210a b a b +=.
充分性.当12210a b a b +=时，式③左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式③左边的展开式中含22,y x 项的系数相等，即1212a a a b b b λλ+=+，得1212a a b b b a
λ-=
-. 此时曲线③即 220x y c x d y e '''++++= ④
的形式，这种形式表示的曲线有且仅有三种情形：一个圆、一个点、无轨迹.而题中的四个交点都在曲线④上，所以曲线④表示圆.这就证得了四个交点共圆.
推论 1 若两条直线与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是这两条直线的斜率均不存在或这两条直线的斜率均存在且互为相反数.
证明 设两条直线为:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==，由定理2得，四个交点共圆的充要条件是12210a b a b +=.
(1)当12//l l 即1221a b a b =时，得四个交点共圆的充要条件即12210a b a b ==也即120a a ==或120b b ==.
(2)当1l 与2l 不平行即1221a b a b ≠时，由12210a b a b +=得12210,0a b a b ≠≠，所以四个
交点共圆的充要条件即12120a a b b ????-+-= ? ?????
也即直线12,l l 的斜率均存在且均不为0且互为相反数.
由此可得欲证成立.
推论 2 设二次曲线22
:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，在该四边形的的两组对边、两条对角线所在的三对直线中：若有一对直线的斜率均不存在，则另两对直线的斜率均存在且均互为相反数；若有一对直线的斜率均存在且均互为相反数，则另两对直线的斜率也均存在且均互为相反数，或另两对直线的斜率中有一对均不存在另一对均存在且互为相反数.
证明 设圆内接四边形是四边形ABCD ，其两组对边AB 与CD 、AD 与BC 及对角线AC 与BD 所中的直线分别是 1111:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==
2222:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==
3333:0(1,2)i i i i l a x b y c i ++==
由定理中的充分性知，若四个交点共圆，则以下等式之一成立：
1112121121222221313232310,0,0a b a b a b a b a b a b +=+=+=
再运用定理2中的必要性知，若四个交点共圆，则以上等式均成立.再由推论1的证明，可得欲证成立.
推论2的极限情形是
推论3 设点A 是定圆锥曲线(包括圆、椭圆、双曲线和抛物线)C 上的定点但不是顶点，F E 、是C 上的两个动点，直线AF AE 、的斜率互为相反数，则直线EF 的斜率为曲线C 过点A 的切线斜率的相反数(定值).
由推论3可立得以下三道高考题中关于定值的答案：
高考题1 (2009·辽宁·理·20(2)) 已知??
? ??23,1A 是椭圆134:22=+y x C 上的定点，F E 、是C 上的两个动点，
直线AF AE 、的斜率互为相反数，证明EF 直线的斜率为定值，并求出这个定值.(答案：2
1.) 高考题 2 (2004·北京·理·17(2))如图1，过抛物线)0(22>=p px y 上一定点)0)(,(000>y y x P 作两条直线分别交抛物线于),(),,(2211y x B y x A .当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求0
21y y y +的值，并证明直线AB 的斜率是非零常数.(答案：0
0212y p k y y y AB -=-=+；.)
图1
高考题3 (2004·北京·文·17(2))如图1，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点),(),,(),2,1(2211y x B y x A P 均在抛物线上.当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求21y y +的值及直线AB 的斜率.(答案：1421-=-=+AB k y y ；.)
推论 4 设二次曲线22
:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠上的四个点连成的四边形是圆内接四边形，则该四边形只能是以下三种情形之一：
(1)两组对边分别与坐标轴平行的矩形；
(2)底边与坐标轴平行的等腰梯形；
(3)两组对边均不平行的四边形，但在其两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.
证明 推论2中的圆内接四边形，只能是以下三种情形之一：
(1)是平行四边形.由推论2知，该平行四边形只能是两组对边分别与坐标轴平行的矩形.
(2)是梯形.由推论2知，该梯形的底边与坐标轴平行，两腰所在直线的斜率及两条对角线所在直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数，可得该梯形是底边与坐标轴平行的等腰梯形.
(3)两组对边均不平行的四边形.由推论2知，该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中，每对直线的斜率均存在且均不为0且均互为相反数.
参考文献
1 陈振宣.圆锥曲线上四点共圆的充要条件[J].数学教学，2007(2)：33
2 甘志国著.初等数学研究(II)下[M] .哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，
3 甘志国.对一道高考题的研究[J].数学通讯，2005(22):21
4 甘志国.2011年数学大纲全国卷压轴题研究[J].考试(高考·理科)，2011(8)：36-38
5 张乃贵.圆锥曲线上四点共圆充要条件的探究[J].数学教学，2012(7)：8-10
次曲线上的四点共圆问题的完整结论
二次曲线上的四点共圆问题的完整结论 甘志国(该文已发表 数学通讯，2013(7下)：40-41) 百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是 这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθ)(sin cos,(b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学范例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2] 2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考湖北卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考江苏、广东卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)： 若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k . 文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”. 文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)： 结论1 抛物线2 2y px =的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 结论 2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的内接四边形同时内接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4. 定理1 若两条二次曲线22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点，则这四个交点共圆. 证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ① 式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含2 2,y x 项
第12讲 圆与圆锥曲线综合
第12讲 圆与圆锥曲线综合 【教学目标】 知识与技能 （1）能解决圆与圆锥曲线综合出现等有关问题； （2）促进学生形成系统化、结构化的知识结构。 过程与方法 （1）综合运用方程思想、函数思想、数形结合、等价转换等方法解决相关问题； （2）通过教学过程中的分析和解题后的反思，培养学生自觉领悟，自觉分析的意识。 情感态度与价值观 （1）培养学生坚忍不拔、勇于探究的意志品质。 （2）通过课堂中和谐、民主的师生关系，让学生在平等、尊重、信任、理解和宽容的氛围中受到激励和鼓舞，培养学生严谨的科学态度。 教学重点： 圆和圆锥曲线的综合问题 教学难点： 圆和圆锥曲线的综合问题 考点链接：能够对圆锥曲线的问题进行探究、分析 [典型例题] 例1 若已知曲线C 1方程为)0,0(18 2 2 ≥≥=-y x y x ，圆2C 的方程为（x-3）2+y 2=1，斜率 为k （k ＞0）直线l 与圆C 2相切，切点为A ，直线l 与曲线C 1相交于点B ，3=AB ，则直线AB 的斜率为（ ） A ．1 B ． 21 C ．3 3 D ．3 例2 若椭圆的一个焦点与圆x 2+y 2-2x=0的圆心重合，且经过），（05，则椭圆的标准方程__________________． 例3 已知椭圆E ：122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）过点P （3，1），其左、右焦点分别为F 1，F 2， 且621-=?F F ． （1）求椭圆E 的方程； （2）若M ，N 是直线x=5上的两个动点，且F 1M ⊥F 2N ，圆C 是以MN 为直径的圆，其面积为S ，求S 的最小值以及当S 取最小值时圆C 的方程．
圆锥曲线常用结论
圆锥曲线常用结论 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
圆锥曲线常用结论（自己选择） 一、椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是 以长轴为直径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、 P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一 点12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点， 连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶 点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即0 20 2y a x b K AB -=。
高考圆锥曲线压轴题型汇总
高考圆锥曲线压轴题型汇总
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高考圆锥曲线压轴题型总结 直线与圆锥曲线相交，一般采取设而不求，利用韦达定理，在这里我将这个问题分成了三种类型，其中第一种类型的变式比较多。而方程思想，函数思想在这里也用得多，两种思想可以提供简单的思路，简单的说就是只需考虑未知数个数和条件个数,。使用韦达定理时需注意成立的条件。 题型4有关定点，定值问题。将与之无关的参数提取出来，再对其系数进行处理。 （湖北卷）设A 、B 是椭圆 λ=+223y x 上的两点，点N （1，3）是线段AB 的中点，线段AB 的垂直平分线与椭圆相交于C 、D 两点. （Ⅰ）确定λ的取值范围，并求直线AB 的方程； （Ⅱ）试判断是否存在这样的λ，使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上？并说明理由. （I ）解法1：依题意，可设直线AB 的方程为 λ=++-=2 23,3)1(y x x k y 代入，整理得 .0)3()3(2)3(222=--+--+λk x k k x k ① 设是方程则212211,),,(),,(x x y x B y x A ①的两个不同的根， 0])3(3)3([422>--+=?∴k k λ ② ) 3,1(.3) 3(2221N k k k x x 由且+-= +是线段AB 的中点，得 .3)3(,1222 1+=-∴=+k k k x x 解得k=-1，代入②得，λ>12，即λ的取值范围是（12，+∞）. 于是，直线AB 的方程为.04),1(3=-+--=-y x x y 即 解法2：设则有),,(),,(2211y x B y x A .0))(())((33, 3212121212 2222121=+-++-??????=+=+y y y y x x x x y x y x λλ 依题意， . ) (3,2 12121y y x x k x x AB ++- =∴≠ . 04),1(3). ,12(.12313,)3,1(.1,6,2,)3,1(222121=-+--=-+∞∴=+?>-==+=+∴y x x y AB N k y y x x AB N AB 即的方程为直线的取值范围是在椭圆内又由从而的中点是λλΘ
专题直线与圆、圆锥曲线知识点
专题 直线与圆、圆锥曲线 一、直线与方程 1、倾斜角与斜率：1 21 2tan x x y y k --= =α 2、直线方程：⑴点斜式：()00x x k y y -=- ⑵斜截式：b kx y += ⑶两点式： 121121y y y y x x x x --=-- ⑷截距式：1x y a b += ⑸一般式：0=++C By Ax 3、对于直线： 222111:,:b x k y l b x k y l +=+=有：⑴???≠=?21 2 121//b b k k l l ； ⑵1l 和2l 相交12k k ?≠；⑶1l 和2l 重合???==?2 12 1b b k k ；⑷12121-=?⊥k k l l . 4、对于直线： 0:, 0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 有：⑴???≠=?122 11 22121//C B C B B A B A l l ；⑵1l 和2l 相交1221B A B A ≠?； ⑶1l 和2l 重合?? ?==?1 2211 221C B C B B A B A ；⑷0212121=+?⊥B B A A l l . 5、两点间距离公式： ()()21221221y y x x P P -+-= 6、点到直线距离公式： 2 2 00B A C By Ax d +++= 7、两平行线间的距离公式： 1l ：01=++C By Ax 与2l ：02=++C By Ax 平行，则2 2 21B A C C d +-= 二、圆与方程 1、圆的方程：⑴标准方程：()()2 2 2 r b y a x =-+-其中圆心为(,)a b ，半径为r . ⑵一般方程：02 2=++++F Ey Dx y x . 其中圆心为(,)22 D E - - ，半径为r = 2、直线与圆的位置关系 直线0=++C By Ax 与圆2 22)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种:
高考数学中圆锥曲线重要结论的最全总结
高考数学圆锥曲线重要结论 一、定义：第一定义:平面内到两定点F1（-c，0），F2（c，0）的距离和为定值（大于两定点间的距离|F1F2|）2a的点的轨迹叫椭圆，两定点叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫焦距，与坐标轴的交点叫顶点。 第二定义：平面内到一个定点F的距离与到定直线1的距离比为常数e（0 浙江工业职业技术学院 日期年月日 熟练掌握各种常见非圆二次曲线地车削加工方法，学会各种常见非圆二次曲线地车削加工编程、控制尺寸精度及形位公差地方法，并能合理安排加工工艺. 课时安排＜30学时） 1、工艺分析 2、学生编程 3、下料及准备工作 4、数控加工 5、检测评分 检测手段 1、游标卡尺 2、千分尺 4、深度千分尺 5、螺纹塞规、环规 6、半径规 7、曲线样板 安全及注意事项 1、遵守实训场地安全文明生产制度 2、遵守数控车床地安全操作规程 课后分析 其氽玖 图4-1实训图纸一 2、工艺分析 该零件主要地加工内容包括外圆粗、精加工、切槽及螺纹地加工 .加工工艺如 下： <1 ）零件左端加工 左端加工时从 M20X1.5 —直加工到° 40纭mi 外圆.装夹时也应考虑工件长度 应以一夹一顶地装夹方式加工 教案过程: 课题四非圆二次曲线地车削加工 一、 新课导入： 本模块 < 共3个课题）学习非圆二次曲线地车削加工方法 尺寸精度、形状位置公差和表面粗糙度地控制方法和确保方法 地编制方法. 二、 新课讲授： 1、零件图纸 .需要同学们熟练掌握 ，理解数控加工宏程序 7t±0.03 <2 ）零件右端加工 右端加工较简单，只需夹住■- 24 ±^9外圆，粗精加工椭圆即可? 3、刀具选择 <1 ）选用3地中心钻钻削中心孔? <2 ）粗、精车外轮廓及平端面时选用93 °硬质合金偏刀< 刀尖角35 °、刀尖 圆弧半径0.4mm ）. <3 ）螺纹退刀槽采用4mm切槽刀加工. <4 ）车削螺纹选用60。硬质合金外螺纹车刀. 具体刀具参数见下表 4、切削用量选择 （1）背吃刀量地选择.粗车轮廓时选用ap=2mm,精车轮廓时选用ap=0.5mm ； 螺纹车削选用ap=0.5. （2）主轴转速地选择.主轴转速地选择主要根据工件材料、工件直径地大小及加 工地精度要求等都有联系,根据图2-1要求，选择外轮廓粗加工转速800r/min,精车为 1500r/min.车螺纹时，主轴转速n=400r/min. 切槽时主轴转速n=400r/min. （3）进给速度地选择.根据背吃刀量和主轴转速选择进给速度，分别选择外轮廓粗精车地进给速度为130mm/mi n 和120mm/mi n ;切槽地进给速度为 30mm/mi n. 具体工步顺序、工作内容、各工步所用地刀具及切削用量等详见下表切削用量表 老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界（下 篇） 老师们：四点共圆是一个经典问题，很多优秀老师都以此做为切入点发表研究文章。本文为您收集四点共圆问题的研究现状，尝试剖析作者的研究思路。四点共圆问题有两个研究方向：求证四个点共圆和推导四点共圆的充要条件。以下从三个角度来梳理研究思路。第一境界：掌握已有的解题技巧；第二境界：剖析背后的思维方法；第三境界：分享自己的研究成果。 纯几何角度在小编多方查证下：四点共圆问题在80，90年代还曾入选过《初级中学课本_几何》中。（那个时候小编还没出生！所以对于更早的课本有没有四点共圆问题小编就不知道了，在网上只找到了89年版的）以下是该书中涉及证明四个点共圆的定理：图1：对角互补图2：公共弦图3：外角等于内对角图4：相交弦定理?图5：切割线定理可以看出这些证明四点共圆的方法都是纯几何证法。在初中范围内，证明四点共圆的方法一般有7种[1]：1，圆的定义法：根据圆的定义“到定点的距离等于定长的集合为圆”。首先寻找圆心，之后去求出各点到圆心的长度。在高中遇到四点共圆问题时，很多学生和老师的思路也是如此。2，对角互补法：利用“如果一个四边形的对角互补，那么它内接于圆。” 进行证明。找出四边形的一组对角，之后证明它们互补，进而得出四个点共圆。3，公共边法：利用“有相同边的两个三角形，且公共边的对应的角相等且在边的同一侧，那么这两个三角形内接于同一个圆”，进行证明。4，外角等于它的内对角法：找到一个角的外角和其内对角相等即可得证。其原理和对角互补法相似，不过多阐述。5，圆幂定理：圆幂定理即为相交弦定理，切割线定理和割线定理的统一形式。它的具体内容为：如果交点为P的两条相交直线与圆O 相交于A、B与C、D，则PA·PB=PC·PD。一般运用其逆定理证明四点共圆，很多高中老师都是运用圆幂定理去推导四点共圆的充要条件。6，证明四点组成的图形是矩形，等腰梯形等必有外接圆的图形[2]。7，托勒密定理：托勒密定理为“圆的凸内接四边形的对边乘积和等于对角线乘积”。运用托勒密定理的逆定理进行证明。以上即为初中（30年前）常见的证明四点共圆的方式。虽然说现在这些定理推论都不教了，但是遇到四点共圆问题还是要用这些东西。名义上是减负，但是不会这些去证明四点共圆问题反而让学生感到更加困难。那我们为什么要介绍四点共圆问题的纯几何方法呢？经过小编大量的阅读四点共圆方面的文章，发现很多老师的工作都是基于这些纯几何的定理推论。解析几何角度在高中知识点的范畴内，四点共圆问题很少有纯几何的题目（除了数学竞赛外[3]）。作为圆锥曲线的一部分，圆的问题 椭圆与双曲线的对偶性质--（必背的经典结论） 高三数学备课组 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直 径的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切 点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c -,2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和 A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-， 即020 2y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是 22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 高中数学二级结论 1.任意的简单n 面体内切球半径为 表 S V 3(V 是简单n 面体的体积，表S 是简单n 面体的表面积) 2.在任意ABC △内，都有tan A +tan B +tan C =tan A ·tan B ·tan C 推论：在ABC △内，若tan A +tan B +tan C <0，则ABC △为钝角三角形 3.斜二测画法直观图面积为原图形面积的 4 2 倍 4.过椭圆准线上一点作椭圆的两条切线，两切点连线所在直线必经过椭圆相应的焦点 5.导数题常用放缩1+≥x e x 、1ln 11-≤≤-<- x x x x x 、)1(>>x ex e x 6.椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 的面积S 为πab S = 7.圆锥曲线的切线方程求法：隐函数求导 推论：①过圆2 22)()(r b y a x =-+-上任意一点),(00y x P 的切线方程为200))(())((r b y b y a x a x =--+-- ②过椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=+b yy a xx ③过双曲线)0,0(122 22>>=-b a b y a x 上任意一点),(00y x P 的切线方程为12020=-b yy a xx 8.切点弦方程：平面内一点引曲线的两条切线，两切点所在直线的方程叫做曲线的切点弦方程 ①圆02 2 =++++F Ey Dx y x 的切点弦方程为02 20000=+++++ +F E y y D x x y y x x ②椭圆)0,0(12222>>=+b a b y a x 的切点弦方程为12020=+b y y a x x ③双曲线)0,0(12222>>=-b a b y a x 的切点弦方程为12020=-b y y a x x 一、焦点三角形周长 【知识讲解】 1、椭圆焦点三角形 直线l 过左焦点1F 与椭圆交于A 、B 两点，则2ABF ?的周长为a 4。 2、双曲线焦点三角形 直线l 过左焦点1F 与双曲线左支交于A 、B 两点，则a AB B F A F 422=-+。 【典型例题】 1.设椭圆19 252 2=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，P 是椭圆上任意一点，则21F PF ?的周长为（）。 2.过双曲线19 162 2=-y x 的左焦点1F 的弦AB 长为6，则2ABF ?的周长是（）。【变式训练】 1.已知1F 、2F 是椭圆112 162 2=+y x 的左右焦点，直线l 过点2F 与椭圆交于A 、B 两点，且7||=AB ，则1ABF ?的周长是（ ）。2.若1F 、2F 是双曲线18 2 2=-y x 的两个焦点，点P 在该双曲线上，且21F PF ?是等腰三角形，则21F PF ?的周长为（ ）。 二、通径公式 【知识讲解】 1、椭圆通径：过焦点且与长轴垂直的弦，通径长为a b 2 2。2、双曲线通径：过焦点且与实轴垂直的弦，通径长为a b 22。【典型例题】 1.设椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别是21,F F ，P 是椭圆上的点，且满足212F F PF ⊥，?=∠3021F PF ，则椭圆的离心率为（ ）。2.过双曲线18 2 2=-y x 的右焦点作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，则|AB|=（）。【变式训练】 1.已知21,F F 是椭圆的两个焦点，过1F 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A ，B 两点，若2ABF ?为等边三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）。2.过双曲线18 2 2=-y x 的右焦点作x 轴的垂线交双曲线于A ，B 两点，若|AB|=16，则这样的直线有（）条。 三、焦半径公式 1、椭圆焦半径公式（1） 0201,ex a PF ex a PF -=+=，其中e 为离心率，0x 为P 点横坐标。 2、双曲线焦半径公式（1） |||,|0201ex a PF ex a PF -=+=，其中e 为离心率，0x 为P 点横坐标。 【典型例题】 1.已知椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 的左右焦点分别是21,F F ，若椭圆上存在一点P 使得||23||21PF e PF =，则该椭圆离心率的取值范围是（）。 2.已知双曲线112 42 2=-y x 上一点M ，其横坐标为3，则M 到右焦点的距离是（）。 【变式训练】 椭圆与双曲线--经典结论 椭 圆 1. 点P 处的切线PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角. 2. PT 平分△PF 1F 2在点P 处的外角，则焦点在直线PT 上的射影H 点的轨迹是以长轴为直径 的圆，除去长轴的两个端点. 3. 以焦点弦PQ 为直径的圆必与对应准线相离. 4. 以焦点半径PF 1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切. 5. 若000(,)P x y 在椭圆22 22 1x y a b +=上，则过0 P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 6. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点 弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 7. 椭圆22 221x y a b += (a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，点P 为椭圆上任意一点 12F PF γ∠=，则椭圆的焦点角形的面积为122tan 2 F PF S b γ ?=. 8. 椭圆22 221x y a b +=（a ＞b ＞0）的焦半径公式： 10||MF a ex =+,20||MF a ex =-(1(,0)F c - , 2(,0)F c 00(,)M x y ). 9. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和 AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF. 10. 过椭圆一个焦点F 的直线与椭圆交于两点P 、Q, A 1、A 2为椭圆长轴上的顶点，A 1P 和A 2Q 交于点M ，A 2P 和A 1Q 交于点N ，则MF ⊥NF. 11. AB 是椭圆22 221x y a b +=的不平行于对称轴的弦，M ),(00y x 为AB 的中点，则 2 2OM AB b k k a ?=-，即0 202y a x b K AB -=。 12. 若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是22 00002222x x y y x y a b a b +=+. 13. 若000(,)P x y 在椭圆 22 22 1x y a b +=内，则过Po 的弦中点的轨迹方程是 直线与圆锥曲线位置关系 一、基础知识： （一）直线与椭圆位置关系 1、直线与椭圆位置关系：相交（两个公共点），相切（一个公共点），相离（无公共点） 2、直线与椭圆位置关系的判定步骤：通过方程根的个数进行判定， 下面以直线y kx m =+和椭圆：()22 2210x y a b a b +=>>为例 （1）联立直线与椭圆方程：222222 y kx m b x a y a b =+??+=? （2）确定主变量x （或y ）并通过直线方程消去另一变量y （或x ），代入椭圆方程得到关于主变量的一元二次方程：() 2 22 2 22b x a kx m a b ++=，整理可得： ()22 222222220a k b x a kxm a m a b +++-= （3）通过计算判别式?的符号判断方程根的个数，从而判定直线与椭圆的位置关系 ① 0?>?方程有两个不同实根?直线与椭圆相交 ② 0?=?方程有两个相同实根?直线与椭圆相切 ③ 0?>为例： （1）联立直线与双曲线方程：22 2 2 22 y kx m b x a y a b =+?? -=?，消元代入后可得： ()()2 2222222220b a k x a kxm a m a b ---+= （2）与椭圆不同，在椭圆中，因为2 2 2 0a k b +>，所以消元后的方程一定是二次方程，但双曲线中，消元后的方程二次项系数为2 2 2 b a k -，有可能为零。所以要分情况进行讨论 圆 锥 曲 线 常 用 结 论 整 理 椭圆问题小结论： 1.与椭圆22 221x y a b +=共焦点的椭圆的方程可设为()222221,0x y b a b λλλ+=+>++ 2.与椭圆22 221x y a b +=有相同的离心率的椭圆可设为()2222,0x y a b λλ+=> 或()22 22,0x y b a λλ+=> 3.（中点弦结论）直线l 与椭圆22 221x y a b +=相交与()()1122,y ,,A x B x y 两点，其中点 (),P x y 为线段ＡＢ的中点，则有：2 2AB OP b K K a ?=-；若000(,)P x y 在椭圆 22 221x y a b +=内，则被Po 所平分的中点弦的方程是2200002222x x y y x y a b a b +=+ 若椭圆方程为22221y x a b +=时，2 2AB OP a K K b ?=-； 4.（切线结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是 00221x x y y a b +=.以000(,)P x y 为切点的切线斜率为20 20 b x k a y =-； 5.（切点弦结论）若000(,)P x y 在椭圆22 221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为 P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y y a b +=. 6. 椭圆的方程为22 221x y a b +=（a ＞b ＞0），过原点的直线交椭圆于,A B 两点，P 点是椭圆 上异于,A B 两点的任一点，则有2 2PA PB b K K a =- 学习情境10非圆二次曲线类零件的车削 加工描述 学习情境10——非圆二次曲线类零件的车削加工描述 第一部分：学习情境4——行动过程及学习内容描述 1. 学习情境4——教学准备与输出材料总体设计 2. 学习情境10——行动过程与教学内容设计描述 2.1资讯、决策、计划 ①分析零件信息：教师布置项目工作任务，引导学生理解零件加工技术要求，学生资讯问题，教师解惑，学生分组讨论，学生填写相应卡片。 ②拟定加工顺序，确定工艺装备，选择切削用量：学生在教师引导下学习搜集相关资料，教师听取学生的决策意见，学生填写相应卡片。 ③制定工艺规程：学生制定工艺规程及操作加工方案计划，教师审定并关注预期成果。 2.2实施 ①编写程序清单，在仿真软件上进行虚拟操作加工 ②将程序输入数控车床，校验程序 ③检查加工准备 ④实际操作加工 2.3检查 学生与教师共同对加工完成的零件质量逐项进行检测，学生在教师的关注指导下填写相应卡片，教师提供规范化技术文档范例供学生参考。 2.4学习评价 学生分析超差原因，评估任务完成质量，填写小组总结报告，举行小组成果报告会，教师关注团队合作效果。 3. 学习情境10——行动过程与教学内容总体设计 4. 学习情境10学习环节设计描述 通过对以上六个行动过程分析，来设计学习情境10的学习环节。针对学习情境10的具体学习内容，共设计了五个学习环节。 ①制定工艺方案 ②编制程序、仿真操作加工 ③实际操作加工 ④零件检测 ⑤学习评价 第二部分：学习情境10——数控车削加工工艺知识准备轴类零件是机械加工中经常遇到的典型零件之一。在机器中，它主要用来支承传动零件、传递运动和扭矩。轴类零件其长度大于直径。 一般阶梯轴类零件在机械加工中的主要工艺问题是保证台阶轴的相互位置精度（即保证外圆表面的同轴度及轴线与端面垂直度要求）。 1.保证位置精度的方法：在一次安装中加工有相互位置精度要求的外圆表面与端面。 2.加工顺序的确定方法：基面先行，先近后远，先粗后精，即先车出基准外圆后，再车出端面，最后再粗精车各外圆表面。 3.刀具的选择：车削阶梯轴类零件时，要注意保证端面二次曲线面与外圆表面的垂直度要求，因此应选主偏角90°或90°以上的外圆车刀。 4.切削用量的选择：在保证加工质量和刀具耐用度的前提下，充分发挥机床性能和刀具切削性能，使切削效率最高，加工成本最低。 粗、精加工时切削用量的选择原则如下： ①粗加工时切削用量的选择原则：首先，在工艺系统刚度和机床功率允许的情况下，尽可能大的选取背吃刀量，以减少进给次数；其次，进给量的选取主要考虑机床工艺系统所能承受的最大进给量，还要考虑刚性等限制条件，如机床进给机构的强度，刀具强度与刚度，工件的装夹刚度等，应尽可能大的选取进给量；最后根据刀具耐用度确定最佳的切削速度。 二次曲线上的四点共圆问题的完整结论 百年前，著名教材《坐标几何》(Loney 著)中曾提到椭圆上四点共圆的一个必要条件是 这四点的离心角之和为周角的整数倍(椭圆)0,0(122 22>>=+b a b y a x 上任一点A 的坐标可以表示为∈θθθ)(sin ,cos (b a R )，角θ就叫做点A 的离心角)，证明方法十分巧妙，还要运用高次方程的韦达定理.这一条件是否充分，一直是悬案.在20世纪80年代编写《数学题解辞典(平面解析几何)》时，仍未解决.到20世纪年代初编写《中学数学例点评》时，才证明了此条件的充分性.[1,2] 2016年高考卷文科第20题，2011年高考全国大纲卷理科第21题，2005年高考卷理科第21题(也即文科第22题)及2002年高考、卷第20题都是关于二次曲线上四点共圆的问题(见文献[3,4]).笔者曾由2005年的这道高考题得出了二次曲线上四点共圆的一个简洁充要条件(其证明也很简洁但有技巧)： 若两条直线)2,1)((:00=-=-i x x k y y l i i 与二次曲线22:0()ax by cx dy e a b Γ++++=≠有四个交点，则这四个交点共圆的充要条件是021=+k k . 文献[2]还用此结论证得了“椭圆上的四点共圆的充要条件是这四点的离心角之和为周角的整数倍”. 文献[5]用较长的篇幅得出了下面的两个结论(即原文末的命题7、8)： 结论1 抛物线2 2y px =的接四边形同时接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 结论2 圆锥曲线221(0,)mx ny mn m n +=≠≠的接四边形同时接于圆的充要条件是该四边形的两组对边、两条对角线所在的三对直线中有一对直线的倾斜角互补. 请注意，文献[5]中所涉及的直线的斜率均存在，所以这两个结论均正确.但不够完整，本文将给出二次曲线上的四点共圆问题的完整结论，即文末的推论4. 定理 1 若两条二次曲线 22220()0ax by cx dy e a b a x b y c x d y e '''''++++=≠++++=，有四个交点， 则这四个交点共圆. 证明 过这四个交点的二次曲线一定能表示成以下形式μλ,(不同时为0)： 2222()()0ax by cx dy e a x b y c x d y e λμ'''''+++++++++= ① 式①左边的展开式中不含xy 的项，选1=μ时，再令式①左边的展开式中含22,y x 项 与圆锥曲线焦点三角形有关的圆专题 1.点P 是双曲线22 22 1x y a b -=右支上一点, 12,F F 分别为左、右焦点. 12PF F ?的内切圆与 x 轴相切于点G .若点G 为线段2OF 中点,则双曲线离心率为( ) A. 21+ B. 2 C. 2 D. 3?3 答案：B 解析： 12112212121212112,,2,+=2,,,C PF F D FG F G F E PF PF F D F E FG F G a FG F G c FG a c OG a PF F ?==∴-=-=-=∴=+∴=∴?∴∴设圆是焦点三角形的内切圆，与各边相切于点D 、G 、E,则PD=PE,F 又双曲线焦点三角形的内切圆与x 轴相切于顶点，c=2a,e=2 注：双曲线焦点三角形的内切圆与x 轴相切于顶点. 2.已知分别是双曲线 的左、右焦点，是双曲线左支上异于顶点的一动 点，圆 为 的内切圆，若 是其中的一个切点，则 A 3->x B 3- 3.已知双曲线()22 2210,0x y a b a b - = >>的左、右焦点分别为12,,F F P 为双曲线右支上一点 (异于右顶点), 12PF F ?的内切圆与x 轴切于点()2,0,过2F 作直线l 与双曲线交于,A B 两点,若使2 AB b =的直线l 恰有三条,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. ()1,2 B. ()1,2 C. ( ) 2,+∞ D. ()2,+∞ 答案：C ()2 22222223,2,4, 8,22,2. b b a b a a c c a b c C a =<>=+>>>解析：如图，依题意双曲线的通径且所以=2,b 所以，所以答案为 4.设双曲线()22 22:10,0x y C a b a b -=>>的左,右焦点为12,,F F P 是双曲线C 上的一点, 1PF 与x 轴垂直, 12PF F ?的内切圆方程为()()2 2 111x y ++-=,则双曲线C 的方程为 ( ) A. 22123 x y -= B. 2212y x -= C. 2212x y -= D. 22 13y x -= 答案：D 1命题12．椭圆两个共轭直径上的正方形之和等于两个对称轴上的正方形之和．命题13．双曲线两个共轭直径上的正方形之差等于两个对称轴上的正方形之差．命题31．椭圆或双曲线的两条共轭直径所构成的平行四边形(以其交角为内角)等于两条对称轴所构成的矩形． 2我探究的这一特性是在抛物线、椭圆和双曲线上讨论的——过圆锥曲线的焦点，做一条弦与圆锥曲线相交，则由焦点分割弦得到的两段线段长度的倒数之和，与圆锥曲线离心率和焦点到相应准线的距离相乘的倒数的两倍；但是对于双曲线，当这两个交点分别位于两支上面的时候，之和应该改为之差。这样说来可能比较抽象，那么用数学表达式来说明一下。设m和n是焦点分割弦形成的线段的长度，e代表圆锥曲线的离心率，p代表焦点到相应准线的距离，则有112mnep+=恒成立，对于交点位于两支上的弦，满足112mnep?=的关系。换句话说，焦点分割弦得到的线段长度的倒数之和或者之差是一个定值，只与圆锥曲线有关系，而与点在圆锥曲线的位置没有关系。这给我们什么启示呢 3用a、b、c、d分别表示四边形顶点A、B、C、D的复数，则AB、CD、AD、BC、AC、BD的长度分别是：(a-b)、(c-d)、(a-d)、(b-c)、(a-c)、(b-d)。 首先注意到复数恒等式：，两边取模，运用三角不等式得 。 等号成立的条件是(a-b)(c-d)与(a-d)(b-c)的辐角相等，这与A、B、C、D四点共圆等价。因此托勒密定理得证。 1．第二定义的统一性圆的准线在∞,0=e. 2．极坐标方程的统一性3．曲线上一点光学性质的统一性椭圆：点光源在一个焦点上，光线通过另一个焦点。双曲线：点光源在一个焦点上，反射光线与另一焦点到反射点的连线在同一条直线上。抛物线：点光源在焦点上，反射光线相互平行且垂直于准线。具体应用：探照灯4．一般弦长公式具有统一性5．过焦点弦长公式具有统一性6．过曲线上一点切线方程的统一性7．直径所对周角之斜率乘积的统一性8．焦点弦端点切线的交点轨迹的统一性9．过焦点且和焦点弦垂直的的直线和焦点弦端点切线的关系统一性10．过非等轴双曲线曲线上一点做互相垂直弦共有的性质11．过曲线上一点做倾斜角互补直线所成弦而具有共有的性质12．内部焦点弦被焦点分成两个焦半径倒数和为定值13．圆锥曲线内部外部点代入方程后不等式符号的统一性14．过同一焦点两任意焦点弦AB和CD，AC和BD交点轨迹统一15．任意一弦BA延长交准线于E，则FE平分BFA外角16．任意一弦BA延长交准线于E，则FE平分BFA外角，又任意一弦AN延长交准线于Q，则FQ平分BFA外角后得到EFQ是直角17．过一个焦点交圆锥曲线于MN，做MN的垂直平分线交轴与P则离心率等于2PF/MN 18．二次曲线和二次曲线交于两点AB，联立两方程消X得0)(=YH,消Y得0)(=XG则AB为端点的圆的方程就是0)()(=+YHXG（必须先保证X和Y系数相同）19．若有弦AB,AB中点为),(00.yxP 则弦AB方程为0)2,2(),(00=???yyxxfyxf 20．圆锥曲线通径长统一为定值ep2 21．利用统一的圆锥曲线方程中判别式可以判断曲线类型22．F是焦点，E是F对应准线L和轴交点AD垂直L，BC垂直L 则有BD、AC同时平分线段EF（一组关系）23．F是焦点，E是F对应准线L和轴交点AB是过焦点F的弦，BC平行FE，N是线段 EF的中点，则BC 椭圆 1、椭圆的第一定义：平面内一个动点P 到两个定点1F 、2F 的距离之和等于常数)2(2121F F a PF PF >=+ ,这个动点P 的轨迹叫椭圆.这两个定点叫椭圆的焦点，两焦点的距离叫作椭圆的焦距。. 注意：若)(2121F F PF PF =+，则动点P 的轨迹为线段21F F ；若)(2121F F PF PF <+，则动点P 的 轨迹无图形. 2、椭圆的标准方程 1）．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b y a x )0(>>b a ，其中222b a c -=； 2）．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程：122 22=+b x a y )0(>>b a ，其中222b a c -=； 注意：①在两种标准方程中，总有a ＞b ＞0，并且椭圆的焦点总在长轴上； ②两种标准方程可用一般形式表示： 221x y m n += 或者 mx 2+ny 2=1 。 3、椭圆：122 22=+b y a x )0(>>b a 的简单几何性质 （1）对称性：对于椭圆标准方程122 22=+b y a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴 为对称轴的轴对称图形，并且是以原点为对称中心的中心对称图形，这个对称中心称为椭圆的中心。 （2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。 （3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。②椭圆122 22=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个 交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为)0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B 。 ③线段21A A ，21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 22 1=,b B B 221=。a 和b 分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。 （4）离心率：①椭圆的焦距与长轴长度的比叫做椭圆的离心率，用e 表示，记作a c a c e == 22。②因为)0(>>c a ，所以e 的取值范围是)10(<课题名称非圆二次曲线的车削加工
老师专属二次曲线上的四点共圆问题解题研究第二境界(下篇)
圆锥曲线经典结论总结(教师版)
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圆锥曲线常用结论(无需记忆-会推导即可).
圆锥曲线 直与圆锥曲线的位置关系
圆锥曲线常用结论整理
最新学习情境10非圆二次曲线类零件的车削加工描述
二次曲线上的四点共圆问题的完整结论
与圆锥曲线焦点三角形相关的圆专题
圆锥曲线的特殊性质
圆锥曲线与方程知识点详细