高等数学第一章课件-最大公因式
任意非零常数 d都是 f ( x ) 与 c 的一个最大公因式。 (3) f ( x ) 与0的最大公因式？ ∀0 ≠ c ∈ P , c ⋅ f ( x )是 f ( x)与 0 的一个最大公因式。 0是0与0的最大公因式。 特别地， 特别地，0
3
不是唯一 的。 注：�最大公因式 最大公因式不是唯一 不是唯一的。 设d ( x ), d1 ( x )是 f ( x )与 g ( x )的最大公因式， 根据定义有 d ( x ) | d1 ( x ) 且d1 ( x ) | d ( x ).因此， 存在 0 ≠ c ∈ P ，使得 d1 ( x ) = c ⋅ d ( x ). 在相伴意义下是唯一 的。 最大公因式在相伴意义下是唯一 在相伴意义下是唯一的。 �最大公因式 1的最大公因式 的首项系数为1 � f ( x ) 与g ( x ) 的首项系数为 是唯一确定的，记作 ( f ( x ), g( x )).
注：
f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) 的最大公因式一定存在． ①
( f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) ) 表示首 1最大公因式． 表示首1
∃u1 , u2 ⋅ ⋅ ⋅ us ∈ P[ x ] ② ，使
四、多个多项式的最大公因式 3 设 f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) ∈ P[ x ] ( s ≥ 2) 定义 定义3 : 若 d ( x ) ∈ P[ x ] 满足 满足: i) d ( x ) f i ( x ), i = 1, 2,…, s ii) ∀ϕ ( x ) ∈ P[ x ], 若 ϕ ( x ) f i ( x ), i = 1, 2,…, s 则 ϕ ( x ) d ( x ). 则称 d ( x ) 为 f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) 的一个 最大公因式 ． 最大公因式．
u1 f1 + ⋅ ⋅ ⋅ + us f s = 1.
f1 , f 2 , ⋅ ⋅⋅, f s ⇔ ∃u1 , u2 , ⋅ ⋅ ⋅, us ∈ P[ x ], 使 ④ 互素
附: 最小公倍式
设 m ( x ), f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ] ，若 i) f ( x ) | m( x ),g( x ) | m( x ) ; ii) 对 f ( x ), g( x ) 的任一公倍式 ϕ (x ) ，都有
x 2 − 2 = −( x + 1) f ( x ) + ( x + 2) g ( x ).
最大公因式与数域扩大的关系 2 最大公因式与数域扩大无关。 命题 命题2 即，设 P , K是数域且 P ⊆ K , f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ], 1最大公因式与 则 f ( x ), g( x )在 P[ x ]中的首 中的首1 f ( x ), g( x )在 K [ x ]中的首 1最大公因式一致。 中的首1
若 r2 ( x ) ≠ 0 ，用 r2 ( x ) 除 r1 ( x ) ，得
r1 ( x ) = q3 ( x )r2 ( x ) + r3 ( x ),
……
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 即 ∂ ( g ( x )) > ∂ ( r1 ( x )) > ∂ ( r2 ( x )) > ……
解:
4
g( x )
3 2
f ( x)
4 3 2 x + 2 x − x 4x − 2 1 x + x − x 2 x − 2 x +1 4 3 2 4 2 x + x − x -2x − 2 = q1 ( x ) − 2x = q2 ( x ) x
x3 + x2 − 2 x − 2 x3 − 2x
f ( x ) | h( x ).
推论1
如果 f1 ( x ) | g ( x ), f 2 ( x ) | g( x ), 而且
( f1 ( x ), f 2 ( x )) = 1, 则 f1 ( x ) f 2 ( x ) | g ( x ).
ห้องสมุดไป่ตู้
定理4 在 P[ x ]中，若 ( f1 ( x ), g ( x )) = 1 且 ( f 2 ( x ), g( x )) = 1, 则( f1 ( x ) f 2 ( x ), g ( x )) = 1.
原因：辗转相除法的本质是带余除法，而带余 除法与数域扩大无关。
三、互素 1、定义 定义 2 若 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ,则称 f ( x ), g( x )是 定义2 互素的。 : 由定义， 说明 说明: f ( x ),g( x ) 互素 ⇔ ( f ( x ), g( x )) = 1 ⇔ f ( x ), g ( x ) 除去零次多项式外无 其它公因式．
r2 ( x ) = x 2
r1 ( x ) = x 3
x3
− 2x − 2x
x
= q3 ( x )
−2
0
∴ ( f ( x ), g( x )) = x 2 - 2
f ( x ) = g ( x ) + r1 ( x ) ⎧ , 得 且由 ⎨ ⎩ g ( x ) = ( x + 1)r1 ( x ) + r2 ( x )
③ 设 d ( x), f ( x),g( x ) ∈ P[ x], 若满足
d(x )=u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ),
则d ( x ) 未必是 f ( x ),g ( x )的最大公因式。 如：0 = 1 ⋅ x − 1 ⋅ x , 但0不是 x , x的最大公因式。 1 d ( x ) 是 f ( x ), g( x )的最大公因式 命题 命题1 ⇔ (1) d ( x ) | f ( x ), d ( x ) | g ( x ); (2) ∃u( x ), v( x ) ∈ P[ x], 使得 d ( x ) = u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
③
( f1 , f 2 ,⋅ ⋅ ⋅ f s ) =u1 f1 + ⋅ ⋅ ⋅ + us f s . ( f1 , f 2 , ⋅ ⋅⋅, f s ) = ( ( f1 , f 2 ,⋅ ⋅ ⋅ f s−1 ) , f s ) = ( ( f1 , ⋅ ⋅ ⋅, f k ) , ( f k +1 , ⋅ ⋅ ⋅, f s ) ) , 1 ≤ k ≤ s − 1
§1.4 最大公因式
一、定义 定义 1 设 f ( x ),g ( x ) ∈ P[ x ], 若 d ( x ) ∈ P[ x ]满足 定义1 (1) d ( x ) f ( x ), d ( x ) g ( x ), 即 d ( x ) 是 f ( x ) 与 g( x) 的一个公因式； (2) 若 ϕ ( x ) ∈ P[ x ], ϕ ( x ) f ( x ) 且 ϕ ( x ) g ( x )，则
……………… rs− 3 ( x ) = qs−1 ( x )rs− 2 ( x ) + rs−1 ( x )
rs− 2 ( x ) = qs ( x )rs−1 ( x ) + rs ( x ) rs−1 ( x ) = qs+1 ( x )rs ( x ) + 0
从而有 ( f ( x ),g ( x ))=( g ( x ),r1 ( x )) =( r1 ( x ),r2 ( x ))
ϕ ( x) d ( x) .
． 则称 d ( x ) 为 f ( x )、g ( x ) 的一个最大公因式 一个最大公因式．
例1 求 f ( x )与 g( x) 的最大公因式
(1) f ( x ) = ( x + 1)2 ( x − 2)( x + 5)2 ,
g ( x ) = ( x + 1)( x + 3)( x + 5) ; 2 ∀0 ≠ c ∈ P , d ( x ) = c ( x + 1)( x + 5) 是 f ( x)与g( x) 的 一个最大公因式。 (2) ∀0 ≠ c ∈ P , f ( x ) 与 c 的最大公因式 ?
=…
=( rs−1 ( x ),rs ( x )) =( rs ( x ), 0) = rs ( x ). 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs−1 ( x ),⋯ , r1 ( x ) 再并项就得到 rs ( x )=u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
说明: 1中用来求最大公因式的方法，通常称为 ① 定理 定理1 ． 辗转相除法 辗转相除法． 最 辗转相除法：对 f ( x ), g( x )作辗转相除时， 作辗转相除时，最 是 f ( x ), g( x ) 的一个最大 后一个不等0的余式 的余式是 公因式。 1中最大公因式 d ( x )=u( x ) f ( x )+v ( x ) g( x ) ② 定理 定理1 中的 u( x )、v ( x ) 不唯一。
例2
f ( x ) = x 4 + 2 x 3 − x 2 -4x − 2,
g( x ) = x 4 + x 3 − x 2 -2x − 2,
求 ( f ( x )、g( x )) ，并求 u( x ),v ( x ) 使
( f ( x )、g( x )) = u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
( f ( x ), g( x )) = ( g( x ), r ( x )). 因此，
1 对任意 f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ], 则在 P[ x ] 定理 定理1 中存在 f ( x )与 g ( x ) 的一个最大公因式 d ( x ), 且d ( x ) 可表成 f ( x ), g( x ) 的一个组合，即 存在 u( x )、v ( x ) ∈ P[ x ] 使得
3
不是唯一 的。 注：�最大公因式 最大公因式不是唯一 不是唯一的。 设d ( x ), d1 ( x )是 f ( x )与 g ( x )的最大公因式， 根据定义有 d ( x ) | d1 ( x ) 且d1 ( x ) | d ( x ).因此， 存在 0 ≠ c ∈ P ，使得 d1 ( x ) = c ⋅ d ( x ). 在相伴意义下是唯一 的。 最大公因式在相伴意义下是唯一 在相伴意义下是唯一的。 �最大公因式 1的最大公因式 的首项系数为1 � f ( x ) 与g ( x ) 的首项系数为 是唯一确定的，记作 ( f ( x ), g( x )).
注：
f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) 的最大公因式一定存在． ①
( f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) ) 表示首 1最大公因式． 表示首1
∃u1 , u2 ⋅ ⋅ ⋅ us ∈ P[ x ] ② ，使
四、多个多项式的最大公因式 3 设 f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) ∈ P[ x ] ( s ≥ 2) 定义 定义3 : 若 d ( x ) ∈ P[ x ] 满足 满足: i) d ( x ) f i ( x ), i = 1, 2,…, s ii) ∀ϕ ( x ) ∈ P[ x ], 若 ϕ ( x ) f i ( x ), i = 1, 2,…, s 则 ϕ ( x ) d ( x ). 则称 d ( x ) 为 f1 ( x ), f 2 ( x ), ⋅ ⋅ ⋅, f s ( x ) 的一个 最大公因式 ． 最大公因式．
u1 f1 + ⋅ ⋅ ⋅ + us f s = 1.
f1 , f 2 , ⋅ ⋅⋅, f s ⇔ ∃u1 , u2 , ⋅ ⋅ ⋅, us ∈ P[ x ], 使 ④ 互素
附: 最小公倍式
设 m ( x ), f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ] ，若 i) f ( x ) | m( x ),g( x ) | m( x ) ; ii) 对 f ( x ), g( x ) 的任一公倍式 ϕ (x ) ，都有
x 2 − 2 = −( x + 1) f ( x ) + ( x + 2) g ( x ).
最大公因式与数域扩大的关系 2 最大公因式与数域扩大无关。 命题 命题2 即，设 P , K是数域且 P ⊆ K , f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ], 1最大公因式与 则 f ( x ), g( x )在 P[ x ]中的首 中的首1 f ( x ), g( x )在 K [ x ]中的首 1最大公因式一致。 中的首1
若 r2 ( x ) ≠ 0 ，用 r2 ( x ) 除 r1 ( x ) ，得
r1 ( x ) = q3 ( x )r2 ( x ) + r3 ( x ),
……
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 即 ∂ ( g ( x )) > ∂ ( r1 ( x )) > ∂ ( r2 ( x )) > ……
解:
4
g( x )
3 2
f ( x)
4 3 2 x + 2 x − x 4x − 2 1 x + x − x 2 x − 2 x +1 4 3 2 4 2 x + x − x -2x − 2 = q1 ( x ) − 2x = q2 ( x ) x
x3 + x2 − 2 x − 2 x3 − 2x
f ( x ) | h( x ).
推论1
如果 f1 ( x ) | g ( x ), f 2 ( x ) | g( x ), 而且
( f1 ( x ), f 2 ( x )) = 1, 则 f1 ( x ) f 2 ( x ) | g ( x ).
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定理4 在 P[ x ]中，若 ( f1 ( x ), g ( x )) = 1 且 ( f 2 ( x ), g( x )) = 1, 则( f1 ( x ) f 2 ( x ), g ( x )) = 1.
原因：辗转相除法的本质是带余除法，而带余 除法与数域扩大无关。
三、互素 1、定义 定义 2 若 ( f ( x ), g ( x )) = 1 ,则称 f ( x ), g( x )是 定义2 互素的。 : 由定义， 说明 说明: f ( x ),g( x ) 互素 ⇔ ( f ( x ), g( x )) = 1 ⇔ f ( x ), g ( x ) 除去零次多项式外无 其它公因式．
r2 ( x ) = x 2
r1 ( x ) = x 3
x3
− 2x − 2x
x
= q3 ( x )
−2
0
∴ ( f ( x ), g( x )) = x 2 - 2
f ( x ) = g ( x ) + r1 ( x ) ⎧ , 得 且由 ⎨ ⎩ g ( x ) = ( x + 1)r1 ( x ) + r2 ( x )
③ 设 d ( x), f ( x),g( x ) ∈ P[ x], 若满足
d(x )=u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ),
则d ( x ) 未必是 f ( x ),g ( x )的最大公因式。 如：0 = 1 ⋅ x − 1 ⋅ x , 但0不是 x , x的最大公因式。 1 d ( x ) 是 f ( x ), g( x )的最大公因式 命题 命题1 ⇔ (1) d ( x ) | f ( x ), d ( x ) | g ( x ); (2) ∃u( x ), v( x ) ∈ P[ x], 使得 d ( x ) = u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
③
( f1 , f 2 ,⋅ ⋅ ⋅ f s ) =u1 f1 + ⋅ ⋅ ⋅ + us f s . ( f1 , f 2 , ⋅ ⋅⋅, f s ) = ( ( f1 , f 2 ,⋅ ⋅ ⋅ f s−1 ) , f s ) = ( ( f1 , ⋅ ⋅ ⋅, f k ) , ( f k +1 , ⋅ ⋅ ⋅, f s ) ) , 1 ≤ k ≤ s − 1
§1.4 最大公因式
一、定义 定义 1 设 f ( x ),g ( x ) ∈ P[ x ], 若 d ( x ) ∈ P[ x ]满足 定义1 (1) d ( x ) f ( x ), d ( x ) g ( x ), 即 d ( x ) 是 f ( x ) 与 g( x) 的一个公因式； (2) 若 ϕ ( x ) ∈ P[ x ], ϕ ( x ) f ( x ) 且 ϕ ( x ) g ( x )，则
……………… rs− 3 ( x ) = qs−1 ( x )rs− 2 ( x ) + rs−1 ( x )
rs− 2 ( x ) = qs ( x )rs−1 ( x ) + rs ( x ) rs−1 ( x ) = qs+1 ( x )rs ( x ) + 0
从而有 ( f ( x ),g ( x ))=( g ( x ),r1 ( x )) =( r1 ( x ),r2 ( x ))
ϕ ( x) d ( x) .
． 则称 d ( x ) 为 f ( x )、g ( x ) 的一个最大公因式 一个最大公因式．
例1 求 f ( x )与 g( x) 的最大公因式
(1) f ( x ) = ( x + 1)2 ( x − 2)( x + 5)2 ,
g ( x ) = ( x + 1)( x + 3)( x + 5) ; 2 ∀0 ≠ c ∈ P , d ( x ) = c ( x + 1)( x + 5) 是 f ( x)与g( x) 的 一个最大公因式。 (2) ∀0 ≠ c ∈ P , f ( x ) 与 c 的最大公因式 ?
=…
=( rs−1 ( x ),rs ( x )) =( rs ( x ), 0) = rs ( x ). 再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs−1 ( x ),⋯ , r1 ( x ) 再并项就得到 rs ( x )=u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
说明: 1中用来求最大公因式的方法，通常称为 ① 定理 定理1 ． 辗转相除法 辗转相除法． 最 辗转相除法：对 f ( x ), g( x )作辗转相除时， 作辗转相除时，最 是 f ( x ), g( x ) 的一个最大 后一个不等0的余式 的余式是 公因式。 1中最大公因式 d ( x )=u( x ) f ( x )+v ( x ) g( x ) ② 定理 定理1 中的 u( x )、v ( x ) 不唯一。
例2
f ( x ) = x 4 + 2 x 3 − x 2 -4x − 2,
g( x ) = x 4 + x 3 − x 2 -2x − 2,
求 ( f ( x )、g( x )) ，并求 u( x ),v ( x ) 使
( f ( x )、g( x )) = u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ).
( f ( x ), g( x )) = ( g( x ), r ( x )). 因此，
1 对任意 f ( x ), g( x ) ∈ P[ x ], 则在 P[ x ] 定理 定理1 中存在 f ( x )与 g ( x ) 的一个最大公因式 d ( x ), 且d ( x ) 可表成 f ( x ), g( x ) 的一个组合，即 存在 u( x )、v ( x ) ∈ P[ x ] 使得
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最高公因式
最高公因式最高公因式，或称为最大公因数，是数学中的一个重要概念，尤其在数论和代数学中具有突出的地位。
当我们在处理整数，尤其是多个整数的关系时，最高公因式常常成为解题的关键。
在数论中，最高公因式是两个或多个整数共有的最大的那个正整数因子。
比如说，对于整数12和18，它们的公因数是1、2、3和6，其中6是最大的，所以6就是12和18的最高公因式。
这一概念可以扩展到更多的整数和两个以上的情况。
求两个整数的最高公因式有多种方法，其中最常见的是辗转相除法和质因数分解法。
辗转相除法是一个古老而有效的方法，其基本思想是用较大的数除以较小的数，然后用余数再次进行这样的操作，直到余数为零为止。
此时的除数就是两个数的最高公因式。
而质因数分解法则是将每个数都分解为质因数的乘积，然后选取共同的质因数来计算最高公因式。
最高公因式在数学中有广泛的应用。
在分数的加减运算中，我们需要找到两个分数的分母的最高公因式，以便进行通分。
在解整数的线性方程组时，最高公因式可以帮助我们判断方程是否有解，以及解的唯一性。
在代数学中，最高公因式与多项式的因式分解密切相关，是多项式理论和方程求解的重要工具。
此外，最高公因式还与数学的其他分支有深刻的联系。
在几何学中，它可以用来描述两个或多个形状之间的相似性和等价性。
在图论中，它可以用来刻画图的结构和性质。
在密码学中，最高公因式被用来构建安全的加密系统。
总而言之，最高公因式是数学中一个基本而重要的概念，它不仅是数论和代数学的核心内容，也是数学各个分支和应用领域的基石。
通过深入研究和理解最高公因式的性质和应用，我们可以更全面地掌握数学的知识和方法，为解决实际问题提供更有效的工具和视角。
高等代数14最大公因式
说明:
① 定理1中用来求最大公因式的方法，通常称为
辗转相除法． 辗转相除法：对 f ( x ), g( x ) 作辗转相除时，最 后一个不等0的余式是 f ( x ), g( x ) 的一个最大 公因式。
② 定理1中最大公因式 d ( x )=u( x ) f ( x )+v ( x ) g( x )
其中 ( r2 ( x )) ( r1 ( x )) 或 r2 ( x ) 0 ．
若 r2 ( x ) 0 ，用 r2 ( x ) 除 r1 ( x ) ，得
r1 ( x ) q3 ( x )r2 ( x ) r3 ( x ),
……
如此辗转下去，显然，所得余式的次数不断降低， 即
根据定义有d ( x ) | d1 ( x )且d1 ( x ) | d ( x ).因此， 存在 0 c P ，使得 d1 ( x ) c d ( x ).
最大公因式在相伴意义下是唯一的。 f ( x ) 与g ( x ) 的首项系数为1的最大公因式
是唯一确定的，记作 ( f ( x ), g( x )).
……………… rs3 ( x ) qs1 ( x )rs2 ( x ) rs1 ( x )
rs 2 ( x ) qs ( x )rs1 ( x ) rs ( x ) rs1 ( x ) qs1 ( x )rs ( x ) 0
从而有 ( f ( x ),g( x ))=( g( x ),r1 ( x ))
( f 2 ( x ), g( x )) 1, 则( f1 ( x ) f 2 ( x ), g( x )) 1.
四、多个多项式的最大公因式
定义3 设 f1 ( x ), f 2 ( x ), , f s ( x ) P[ x ] ( s 2)
高等代数课件--§1.4 最大公因式
§1.4
最大公因式
2012-9-18
最大公因式
一、公因式与最大公因式
1. 公因式
设 f (x), g(x)P[x],若(x)P[x],满足 (x)| f (x)且(x)| g(x),则称(x)为f (x), g(x) 的公因式．
2012-9-18
最大公因式
2．最大公因式
设 f (x), g(x)P[x]，若d(x)P[x]，满足 i) d(x)| f(x), 且d(x)| g(x)
(f1(x),…, fs(x))=u1(x)f1(x)+…+ us(x) fs(x)
2012-9-18
最大公因式
2012-9-18
最大公因式
最大公因式
2012-9-18
2．互素的判定与性质
定理３ 设 f (x), g(x)P[x]，则f (x), g(x)互
素的充要条件存在 u(x) v(x) P [x], 使
u(x)f (x) + v(x)g(x)=1．
2012-9-18
最大公因式
定理4
若(f (x), g(x))=1,且f (x)|g(x)h(x), 则f (x)|h(x) . 推论
ii) 若(x)| f(x),且(x)| g(x), 则(x)| d(x).
则称d(x)为f (x), g(x)的最大公因式． f(x), g(x)的首项系数为1的最大公因式,简称首1 最大公因式，记作(f(x), g(x)).
2012-9-18 最大公因式
注：
1) f (x) P [x], f (x)是f(x)与0的最大公因式.
2012-9-18 最大公因式
再由上面倒数第二个式子开始，逐个地 消去rs1(x) ,…, r1(x), 再并项就得到 rs(x)=u(x)f (x)+v(x)g(x)．
最大公因式
2012-9-18
最大公因式
一、公因式与最大公因式
1. 公因式
设 f (x), g(x)P[x],若(x)P[x],满足 (x)| f (x)且(x)| g(x),则称(x)为f (x), g(x) 的公因式．
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最大公因式
2．最大公因式
设 f (x), g(x)P[x]，若d(x)P[x]，满足 i) d(x)| f(x), 且d(x)| g(x)
(f1(x),…, fs(x))=u1(x)f1(x)+…+ us(x) fs(x)
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最大公因式
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最大公因式
最大公因式
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2．互素的判定与性质
定理３ 设 f (x), g(x)P[x]，则f (x), g(x)互
素的充要条件存在 u(x) v(x) P [x], 使
u(x)f (x) + v(x)g(x)=1．
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最大公因式
定理4
若(f (x), g(x))=1,且f (x)|g(x)h(x), 则f (x)|h(x) . 推论
ii) 若(x)| f(x),且(x)| g(x), 则(x)| d(x).
则称d(x)为f (x), g(x)的最大公因式． f(x), g(x)的首项系数为1的最大公因式,简称首1 最大公因式，记作(f(x), g(x)).
2012-9-18 最大公因式
注：
1) f (x) P [x], f (x)是f(x)与0的最大公因式.
2012-9-18 最大公因式
再由上面倒数第二个式子开始，逐个地 消去rs1(x) ,…, r1(x), 再并项就得到 rs(x)=u(x)f (x)+v(x)g(x)．
最大公因数ppt课件
03
最大公因数的应用
在分数化简中的应用
总结词
最大公因数在分数化简中起到关键作用，通过找到分子和分母的最大公因数，可 以将分数化简为最简形式。
详细描述
在数学中，分数化简是一个常见的操作。通过找到分子和分母的最大公因数（ GCD），可以将分数中的分子和分母同时除以这个最大公因数，从而化简分数。 这个过程可以有效地简化分数，使其更容易进行后续的数学运算。
最大公因数的性质
互质关系
如果两个整数的最大公因数为1，则 它们互质。
整除性质
如果一个整数a能被另一个整数b整除 ，那么a的最大公因数一定是b的倍数 。
最大公因数在数学中的应用
1 2
3
分数的约分
最大公因数在分数约分中起到关键作用，通过找到分子和分 母的最大公因数，可以将分数约简为最简形式。
解方程
在解线性方程组时，可以利用最大公因数来消元，简化方程 组。
因此，24和36的最大公因数是12。
最大公约数的性质和求法
最大公约数的性质：两数的最大公约数 与它们的整数倍数的最大公约数相同。
2. 如果求30和45的2倍数的最大公约数 ，结果仍然是15。
1. 30和45的最大公约数是15。
求法：如果两数的最大公约数是GCD， 那么它们的整数倍数的最大公约数也是 GCD。
最大公约数与最小公倍数的运算性质
性质一
两数的乘积等于它们的最大公约数与最小公倍数的乘积，即ab=GCD(a,b)LCM(a,b)。
性质二
两数的最大公约数等于其中较小的数和两数的差的最大公约数，即GCD(a,b)=GCD(a,b-a)。
性质三
两数的最小公倍数等于它们的最大公约数和它们的乘积的商，即LCM(a,b)=ab/GCD(a,b)。
中国地质大学(武汉)《高等数学A1》课件第1章 一元多项式
二.教学目的 1.掌握最大公因式,互素的概念. 2.熟练掌握辗转相除法 . 3.会应用互素的性质证明整除问题.
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式， 证明整除问题.
25
定义 1 令和 个多项式
与
是P[x]的两个多项式，若是P [x]的一 同时整除 和 ，那么 叫做 的一个公因式.
定义 2 设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做
f (x) = g (x)
10
1.2.3 多项式的次数
叫做多项式 的最高次项,非负整数n叫做多项式
的次数. 记作
注：系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做
零多项式，记为 0 .
11
1.2.4 多项式的运算
多项式的加法
给定数域P上两个多项式
且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为
43
这样继续下去,最后f (x)在C [x]中完全分解成n个一 次因式的乘积,而在f (x) C中有n个根. 复数域C上任一n (n > 0)次多项式可以在C [x]里分 解为一次因式的乘积.复数域上任一次数大于1的多 项式都是可约的.
定理1.6.3 若实系数多项式 f (x)有一个非实的复数根 ,那么 的共轭数 也是f (x)的根, 并且 与 有同一重数. 换句话说,实系数多项式的非实复数根两两成对出 现.
二.教学目的 1.掌握本原多项式概念及高斯引理. 2.熟悉运用艾森斯坦差别法. 3.掌握求整系数多项式的有理根 .
三.重点、难点 艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法.
46
定义 若是一个整系数多项式f (x)的系数互素,那么f (x)叫 作一个本原多项式.
引理1.7.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式.
三.重点,难点 辗转相除法求最大公因式， 证明整除问题.
25
定义 1 令和 个多项式
与
是P[x]的两个多项式，若是P [x]的一 同时整除 和 ，那么 叫做 的一个公因式.
定义 2 设 是多项式 与 的一个公因式.若是 能被 与 的每一个公因式整除,那么 叫做
f (x) = g (x)
10
1.2.3 多项式的次数
叫做多项式 的最高次项,非负整数n叫做多项式
的次数. 记作
注：系数全为零的多项式没有次数,这个多项式叫做
零多项式，记为 0 .
11
1.2.4 多项式的运算
多项式的加法
给定数域P上两个多项式
且m ≤ n, f (x) 和g (x) 的加法定义为
43
这样继续下去,最后f (x)在C [x]中完全分解成n个一 次因式的乘积,而在f (x) C中有n个根. 复数域C上任一n (n > 0)次多项式可以在C [x]里分 解为一次因式的乘积.复数域上任一次数大于1的多 项式都是可约的.
定理1.6.3 若实系数多项式 f (x)有一个非实的复数根 ,那么 的共轭数 也是f (x)的根, 并且 与 有同一重数. 换句话说,实系数多项式的非实复数根两两成对出 现.
二.教学目的 1.掌握本原多项式概念及高斯引理. 2.熟悉运用艾森斯坦差别法. 3.掌握求整系数多项式的有理根 .
三.重点、难点 艾森斯坦差别法及如何求整系数多项式有理根方法.
46
定义 若是一个整系数多项式f (x)的系数互素,那么f (x)叫 作一个本原多项式.
引理1.7.1 两个本原多项式的乘积仍是一个本原多项式.
高等数学-第1章课件
x x0
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}
三、函数极限的性质
第三节 极限的运算
一、极限的运算法则
法则1 法则2
x x0
lim[ f ( x) g ( x)] lim f ( x) lim g ( x) A B
x x0 x x0 x x0 x x0
x x0
lim[ f ( x ) g ( x )] lim f ( x ) lim g ( x ) A B
第 一 章 函 数 ︑ 极 限 与 连 续
目录
第一节 函数
第二节 极限
第三节 极限的运算 第四节 无穷小与无穷大 第五节 函数的间断性与连续点 第六节 初等函数的连续性
第一节 函数
一、集合、区间与邻域
1.集合
集合（简称集）是具有某种共同性质的事物的全 体，组成集合的单一事物称为该集合的元素。
有限集合 有限个元素构成 北京户籍人口
° a
• a •
a°Leabharlann a3.邻域设 x0, δ R, 其中δ > 0,以 x0为中心,以δ 为半径,长为 2δ的
开区间. 即
( x0 , x0 ) { x x x0 , 0}
称为点 x0 的 δ 邻域 , 记为U(x0 , δ ).
2
x0
x0
x0
集合的运算及关系
由所有属于集合A或属于集合B的元 并集 素所组成的集合，称为集合A与B的 并集 交集 差集 由属于集合A且属于集合B的所有元 素组成的集合，称为A与B的交集
由所有属于集合A 而不属于集合B 的 元素组成的集合
A∪B A∪B={x|x∈A,或 x∈B}
A∩B A-B
A∩B={x|x∈A,且 x∈B} A-B={x|x∈A,且 xB}
最大公因式
就可以)，这是因为 f ( x ) 和 cf ( x ) 具有完全相同的 因式，即
( f ( x ), g( x )) (c1 f ( x ), g( x )) ( f ( x ), c2 g( x )) (c1 f ( x ), c2 g( x )) ,
c1 , c2 为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
8 8
第一章 多项式
从而有 ( f ( x ),g( x ))=( g( x ),r1 ( x ))
=( r1 ( x ),r2 ( x ))
=…
=( rs1 ( x ),rs ( x ))
=( rs ( x ), 0)
再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs1 ( x ),
, r1 ( x ) 再并项就得到 rs ( x )=u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
5 5
有一为0，如 g ( x ) 0，则 f ( x ) 证：若 f ( x )、g( x )
就是一个最大公因式．且 f ( x ) 1 f ( x ) 0 g( x ). 考虑一般情形： f ( x ) 0,
g( x ) 0,
第一章 多项式
用 g ( x ) 除 f ( x ) 得：
若
d1 ( x )、d 2 ( x ) 为 f ( x )、g( x )
的最大公因式，则 d1 ( x )=cd 2 ( x ) ，c为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
3 3
第一章 多项式
二、最大公因式的存在性与求法
( f ( x ), g( x )) (c1 f ( x ), g( x )) ( f ( x ), c2 g( x )) (c1 f ( x ), c2 g( x )) ,
c1 , c2 为非零常数．
© 2009, Henan Polytechnic University §4 最大公因式
8 8
第一章 多项式
从而有 ( f ( x ),g( x ))=( g( x ),r1 ( x ))
=( r1 ( x ),r2 ( x ))
=…
=( rs1 ( x ),rs ( x ))
=( rs ( x ), 0)
再由上面倒数第二个式子开始往回迭代，逐个消去
rs1 ( x ),
, r1 ( x ) 再并项就得到 rs ( x )=u( x ) f ( x ) v( x ) g( x ).
5 5
有一为0，如 g ( x ) 0，则 f ( x ) 证：若 f ( x )、g( x )
就是一个最大公因式．且 f ( x ) 1 f ( x ) 0 g( x ). 考虑一般情形： f ( x ) 0,
g( x ) 0,
第一章 多项式
用 g ( x ) 除 f ( x ) 得：
若
d1 ( x )、d 2 ( x ) 为 f ( x )、g( x )
的最大公因式，则 d1 ( x )=cd 2 ( x ) ，c为非零常数．
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3 3
第一章 多项式
二、最大公因式的存在性与求法
最大公因式
最大公因式摘要多项式的最大公因式求解问题是一个代数问题又是在实际应用中充满活力的问题，它是代数学中最基本的对象之一他不但与高次方程的讨论有关，而且在进一步学习代数以及其它数学分支时也都会碰到。
在中学代数中我们学过多项式，现在的讨论可以认为是中学所学知识的加深并且推广到更一般的情况。
本文在叙论中介绍了多项式最大公因式求解的一般过程和一些以矩阵为载体，经过初等变换而求得最大公因式的简易解法，因此设计多项式最大公式的有效算法是十分必要的。
本文首先给出了两类最基本的解多项式的最大公因式的方法，即探讨了用辗转相除法求解多项式最大公因式的迭代算法，算法将两个多项式相乘，相除等过程用矩阵方法来处理。
当多项式次数较高时，计算较复杂，而推广到多个多项式的情形计算量更大提出了对给定的若干多项式采用系数矩阵表示的方法，通过引入矩阵的第一、第二斜消变换这样的新概念，给错出了用斜消变换（结合初等行变换）求解最大公因式的新思路，新方法。
本章对此作了完整的理论推导并提供了具体的例题说目录摘要(Ⅱ)Abstract (Ⅲ)关键词………………………………………………………………第一章绪论…………………………………………………1.1 引言………………………………………………1.2 多项式最大公因式概念及问题研究进展………1.2.1 多项式的最大公因式概念………………1.2.2 多项式最大公因式问题研究进展………………第二章多项式最大公因式的基本解法………………………2.1 矩阵的初等变换………………………2.2 最大公因式为倍式和的方法………………第三章多项式最大公因式求解的探索和研究……4.1 矩阵的斜消变换………………………………4.2 利用斜消变换求解多项式最大公因式……4.3 应用举例……………………………………第四章总结语………………………………………………参考文献…………………………………………第一章1.1 引言长期以来，多项式最大公因式的求解一直是数学界一个古老而又充满活力的研究内容。
《高等数学》PPT课件-第一章极限
②逆命题不成立：有界列不一定收敛. ③数列有界是收敛的必要条件(不充分).
2.1.2 函数极限 【数列极限】
【函数的极限】 有
—— 整标函数 两大类情形
【直观定义】在x→∞时，函数值f (x)无限接近于一 个确定的常数A ,称A为f (x)当x→∞时的极限. 记作
[两种特殊情况]
[定理] [例如]
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
都是无穷小
2.3.2无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
[极限存在定理] [例1] [证]
左右极限存在但不相等, [注] 一般而言, 分段函数的极限要分左右极限考察.
2.1.3函数极限的性质
1.[唯一性]
2.[ 局部有界性]
[定理2]
3.[ 保号性] [定理3]
2.2 极限运算法则
定理
推论1
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
2.3 无穷小量与无穷大量
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
2.3.3无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
2.3.4 无穷小量的比较
二、极限
2.1 极限的定义
2.1.1 数列极限
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
2.1.2 函数极限 【数列极限】
【函数的极限】 有
—— 整标函数 两大类情形
【直观定义】在x→∞时，函数值f (x)无限接近于一 个确定的常数A ,称A为f (x)当x→∞时的极限. 记作
[两种特殊情况]
[定理] [例如]
注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1 在同一过程中,有极限的变量与无穷小的乘 积是无穷小. 推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
都是无穷小
2.3.2无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
[极限存在定理] [例1] [证]
左右极限存在但不相等, [注] 一般而言, 分段函数的极限要分左右极限考察.
2.1.3函数极限的性质
1.[唯一性]
2.[ 局部有界性]
[定理2]
3.[ 保号性] [定理3]
2.2 极限运算法则
定理
推论1
常数因子可以提到极限记号外面. 推论2
2.3 无穷小量与无穷大量
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
（3）无穷大是一种特殊的无界变量,但是无 界变量未必是无穷大.
2.3.3无穷小与无穷大的关系
定理4 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大.
意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
2.3.4 无穷小量的比较
二、极限
2.1 极限的定义
2.1.1 数列极限
截丈问题： “一尺之棰，日截其半，万世不竭”
1-4最大公因式
4.定理（Theorem） 4.定理（Theorem） 定理 定理2 定理 对 ∀f ( x )、g( x ) ∈ P[ x ]，在P[ x ] 中存在 一个最大公因式 d ( x )，且d ( x ) 可表成 f ( x )、g( x ) 的一个组合， 的一个组合，即 ∃u( x )、v ( x ) ∈ P[ x ] ， 使
定理２ ② 定理２中最大公因式 d ( x )=u( x ) f ( x )+v( x ) g( x ) 中的 u( x )、v ( x ) 不唯一 不唯一.
举例
③ 对于 d ( x), f ( x),g( x) ∈ P[ x], ∃u( x),v( x) ∈ P[ x] ， 使 d(x )=u( x ) f ( x ) + v ( x ) g ( x ) ,但是 d(x ) 未必是
互素的(或互质的 或互质的)． 则称 f ( x ), g ( x ) 为互素的 或互质的 ．
注:
f ( x ),g ( x ) 互素 ⇔ ( f ( x ), g ( x )) = 1 ⇔ f ( x ), g ( x ) 除去零次多项式外
无其它公因式． 无其它公因式．
2．互素的判定与性质
1) 定理3 定理3
高等代数
注:
高等代数
与零多项式0的最 ① ∀f ( x ) ∈ P[ x ] ，f ( x ) 是 f ( x ) 与零多项式 的最 大公因式． 大公因式．
两个零多项式的最大公因式为0． ② 两个零多项式的最大公因式为 ． 的最大公因式， ③ 若 d1 ( x )、d 2 ( x ) 为 f ( x )、g ( x ) 的最大公因式， 为非零常数。 则 d1 ( x )=cd 2 ( x ) ，c为非零常数。 为非零常数 因此，最大公因式不是唯一的，但在可以 因此，最大公因式不是唯一的， 相差一个非零常数倍的意义下是唯一的， 相差一个非零常数倍的意义下是唯一的，两个 不全为零的多项式的最大公因式是非零多项式， 不全为零的多项式的最大公因式是非零多项式， 此时， ( 此时，我们约定用 f ( x ), g( x )) 来表示首项系数 的那个最大公因式。 为1的那个最大公因式。 的那个最大公因式