2019高考分类汇编- 概率与统计(原卷版)
概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.82．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是Xa 1P131313则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________．7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估计值为0.70．（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．（1）求P（X=2）；（2）求事件“X=4且甲获胜”的概率．9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；（2）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额（元）（0，1000] （1000，2000] 大于2000 支付方式仅使用A 18人9人3人仅使用B 10人14人1人（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A，B两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性．优质模拟试题12．【广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考】在某项测试中，测量结果ξ服从正态分布2(1,)(0)N σσ>，若(01)0.4P ξ<<=，则(02)P ξ<<=A ．0.4B ．0.8C ．0.6D ．0.213．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A ．100，10B ．100，20C ．200，10D ．200，2014．【陕西省2019届高三年级第三次联考】同时抛掷2枚质地均匀的硬币4次，设2枚硬币均正面向上的次数为X ，则X 的数学期望是 A ．1B ．2C ．32D ．5215．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为 A ．35,33,30 B ．36,32,30 C ．36,33,29D ．35,32,3116．【浙江省三校2019年5月第二次联考】已知甲口袋中有3个红球和2个白球，乙口袋中有2个红球和3个白球，现从甲、乙口袋中各随机取出一个球并相互交换，记交换后甲口袋中红球的个数为ξ，则()E ξ=A ．145 B ．135 C ．73D ．8317．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则 A ．270,75x s =< B ．270,75x s => C ．270,75x s ><D ．270,75x s ><18．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是A ．成绩在[70,80]分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000人C ．考生竞赛成绩的平均分约70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分19．【天津市南开中学2019届高三模拟试题】《中国诗词大会》是央视推出的一档以“赏中华诗词，寻文化基因，品生活之美”为宗旨的大型文化类竞赛节目，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识比拼．“百人团”由一百多位来自全国各地的选手组成，成员上至古稀老人，下至垂髫小儿，人数按照年龄分组统计如下表：（1）用分层抽样的方法从“百人团”中抽取6人参加挑战，求从这三个不同年龄组中分别抽取的挑战者的人数；（2）在（1）中抽出的6人中，任选2人参加一对一的对抗比赛，求这2人来自同一年龄组的概率．20．【2019北京市通州区三模】为调查某公司五类机器的销售情况，该公司随机收集了一个月销售的有关数据，公司规定同一类机器销售价格相同，经分类整理得到下表：利润率是指：一台机器销售价格减去出厂价格得到的利润与该机器销售价格的比值． （1）从该公司本月卖出的机器中随机选一台，求这台机器利润率高于0.2的概率；（2）从该公司本月卖出的销售单价为20万元的机器中随机选取2台，求这两台机器的利润率不同的概率；（3）假设每类机器利润率不变，销售一台第一类机器获利1x 万元，销售一台第二类机器获利2x 万元，…，销售一台第五类机器获利5x ，依据上表统计数据，随机销售一台机器获利的期望为()E x ，设123455x x x x x x ++++=，试判断()E x 与x 的大小．（结论不要求证明）21．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下：等级标准果优质果精品果礼品果个数10 30 40 20 （1）若将频率是为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率；（结果用分数表示）（2）用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考，方案1：不分类卖出，单价为20元/kg．方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下：等级标准果优质果精品果礼品果售价(元/kg）16 18 22 24 从采购单的角度考虑，应该采用哪种方案？（3）用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示E X．抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望()11。
2019年全国高考文科数学分类汇编---概率统计
2019年全国高考文科数学分类汇编---概率统计1（2019北京文科）.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：支付金额支付方式不大于（Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（Ⅰ）400人；（Ⅱ）1 25；（Ⅲ）见解析.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意利用频率近似概率可得满足题意的人数；(Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000元的概率；(Ⅲ)结合概率统计相关定义给出结论即可.【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用A的人数有30人，仅使用B的人数有25人，由题意知A,B两种支付方式都不使用的有5人，所以样本中两种支付方式都使用的有1003025540---=，所以全校学生中两种支付方式都使用的有401000400100⨯=（人）. （Ⅱ）因为样本中仅使用B 的学生共有25人，只有1人支付金额大于2000元，所以该学生上个月支付金额大于2000元的概率为125. （Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000元的概率为125，因为从仅使用B 的学生中随机调查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，依据小概率事件它在一次试验中是几乎不可能发生的，所以可以认为仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.【点睛】本题主要考查古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2.（2019全国1卷文科）某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验，若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是 A. 8号学生 B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生【答案】C 【解析】 【分析】等差数列的性质．渗透了数据分析素养．使用统计思想，逐个选项判断得出答案．【详解】详解：由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到， 所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =， 所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，则15n =，不合题意；若200610n =+，则19.4n =，不合题意； 若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 【点睛】本题主要考查系统抽样.3.（2019全国1卷文科）某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++．【答案】（1）43 ,55；（2）能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【解析】【分析】（1）从题中所给的22⨯列联表中读出相关的数据，利用满意的人数除以总的人数，分别算出相应的频率，即估计得出的概率值；（2）利用公式求得观测值与临界值比较，得到能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异. 【详解】（1）由题中表格可知，50名男顾客对商场服务满意的有40人，所以男顾客对商场服务满意率估计为1404 505P==, 50名女顾客对商场满意的有30人，所以女顾客对商场服务满意率估计为2303 505P==,（2）由列联表可知22100(40203010)1004.762 3.8417030505021K⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异.【点睛】该题考查的是有关概率与统计的知识，涉及到的知识点有利用频率来估计概率，利用列联表计算2K 的值，独立性检验，属于简单题目.4.（2019全国2卷文科）生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标概率为A. 23B.35 C. 25D. 15【答案】B 【解析】 【分析】本题首先用列举法写出所有基本事件，从中确定符合条件的基本事件数，应用古典概率的计算公式求解． 【详解】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ，则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B ，{,c,},{,c,},{b,,},{c,,}b A b B A B A B 共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,c,},{,c,}b A b B 共6种， 所以恰有2只做过测试的概率为63105=，选B ． 【点睛】本题主要考查古典概率的求解，题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．应用列举法写出所有基本事件过程中易于出现遗漏或重复，将兔子标注字母，利用“树图法”，可最大限度的避免出错．5.（2019全国2卷文科）我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为___________. 【答案】0．98. 【解析】 【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【详解】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10+20+10=40，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【点睛】本题考点为概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养．侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．6.（2019全国2卷文科）某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表.的（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.01）8.602≈.【答案】(1) 增长率超过0400的企业比例为21100，产值负增长的企业比例为2110050=；（2）平均数0.3；标准差0.17. 【解析】 【分析】(1)本题首先可以通过题意确定100个企业中增长率超过0400的企业以及产值负增长的企业的个数，然后通过增长率超过0400的企业以及产值负增长的企业的个数除随机调查的企业总数即可得出结果；(2)可通过平均值以及标准差的计算公式得出结果。
2019年全国高考文科数学试题分类汇编之统计与概率
一、选择题：1.为评估一种农作物的种植效果，选了n 块地作试验田，这n 块地的亩产量（单位：kg ）分别为1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x ，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是（ ）A ．1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的平均数B ．1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的标准差C ．1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的最大值D ．1x ，2x ，⋅⋅⋅，n x 的中位数2.某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是（ ） A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月份D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.如图所示的茎叶图记录了甲乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）．若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ） A ．3，5 B ．5，5 C ．3，7 D ．5，74.如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）A ．14B ．8π C ．12D ．4π 5.有5支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为（ ） A ．45 B ．35 C ．25 D ．156.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ） A ．110 B ．15 C ．310 D ．25二、解答题：7.（新课标1）为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30min 从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸（单位：cm ）．下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：经计算得16119.9716i i x x ===∑，16162221111()(16)0.2121616i i i i s x x x x ===-=-≈∑∑，1621(8.5)18.439i i =-≈∑，161()(8.5) 2.78i i x x i =--=-∑，其中i x 为抽取的第i 个零件的尺寸，1,2,,16i =⋅⋅⋅．（1）求(,)i x i (1,2,,16)i =⋅⋅⋅的相关系数r ，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小（若||0.25r <，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小）．（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3,3)x s x s -+之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．（i ）从这一天抽检的结果看，是否需对当天的生产过程进行检查？（ii ）在(3,3)x s x s -+之外的数据称为离群值，试剔除离群值，估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差．（精确到0.01）附：样本(,)i i x y (1,2,,)i n =⋅⋅⋅的相关系数12211()()()()niii n niii i x x y y r x x y y ===--=--∑∑∑，0.0080.09≈．8.（新课标2）淡水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）某频率直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50kg ”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：（3）根据箱产量的频率分布直方图，对两种养殖方法的优劣进行较22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++9.（新课标3）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：C ︒）有关．如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。
2019年高考真题理科数学分类汇编专题10 概率与统计和计数原理(解析版)
专题10 概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7D ．0.8【答案】C【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70，则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ．【名师点睛】本题考查抽样数据的统计，渗透了数据处理和数学运算素养．采取去重法，利用转化与化归思想解题．2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分．7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是 A ．中位数 B ．平均数 C ．方差D ．极差 【答案】A【解析】设9位评委评分按从小到大排列为123489x x x x x x <<<<<．则①原始中位数为5x ，去掉最低分1x ，最高分9x 后剩余2348x x x x <<<<，中位数仍为5x ，A 正确； ②原始平均数1234891()9x x x x x x x =<<<<<，后来平均数23481()7x x x x x '=<<<，平均数受极端值影响较大，∴x 与x '不一定相同，B 不正确； ③2222111[()()()]9q S x x x x x x =-+-++-，22222381[()()()]7s x x x x x x '=-'+-'++-'，由②易知，C 不正确；④原极差91x x =-，后来极差82x x =-，显然极差变小，D 不正确．故选A ． 3．【2019年高考浙江卷】设0＜a ＜1，则随机变量X 的分布列是则当a 在（0,1）内增大时， A ．()D X 增大B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小D ．()D X 先减小后增大【答案】D【分析】研究方差随a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数a 表示，应用函数知识求解.本题根据方差与期望的关系，将方差表示为a 的二次函数，二次函数的图象和性质解题.题目有一定综合性，注重重要知识、基础知识、运算求解能力的考查． 【解析】方法1：由分布列得1()3aE X +=， 则2222111111211()(0)()(1)()333333926a a a D X a a +++=-⨯+-⨯+-⨯=-+， 则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．方法2：则222221(1)222213()()()0[()]3399924a a a a D X E X E X a +-+=-=++-==-+，则当a 在(0,1)内增大时，()D X 先减小后增大．故选D ．【名师点睛】易出现的错误有，一是数学期望、方差以及二者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确得到二次函数表达式．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【答案】53【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是______________． 【答案】0.18【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【解析】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯=前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯=综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+=【名师点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 7．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【答案】（1）a =0.35，b =0.10；（2）甲、乙离子残留百分比的平均值的估计值分别为4.05，6.00． 【解析】（1）由已知得0.70=a +0.20+0.15，故a =0.35． b =1–0.05–0.15–0.70=0.10．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为 2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05． 乙离子残留百分比的平均值的估计值为3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．8．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X 个球该局比赛结束． （1）求P （X =2）；（2）求事件“X =4且甲获胜”的概率． 【答案】（1）0.5；（2）0.1．【解析】（1）X =2就是10∶10平后，两人又打了2个球该局比赛结束， 则这2个球均由甲得分，或者均由乙得分． 因此P （X =2）=0.5×0.4+（1–0.5）×（1–0.4）=0.5．（2）X =4且甲获胜，就是10∶10平后，两人又打了4个球该局比赛结束， 且这4个球的得分情况为：前两球是甲、乙各得1分，后两球均为甲得分． 因此所求概率为[0.5×（1–0.4）+（1–0.5）×0.4]×0.5×0.4=0.1． 9．【2019年高考天津卷理数】设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为23．假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．（1）用X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望； （2）设M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M 发生的概率． 【答案】（1）分布列见解析，()2E X ；（2）20243．【分析】本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．满分13分．【解析】（1）因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为23，故2~(3,)3X B ，从而3321()C ()(),0,1,2,333kkkP X k k -===．所以，随机变量X 的分布列为随机变量X 的数学期望()323E X =⨯=．（2）设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y ， 则2~(3,)3Y B ，且{3,1}{2,0}M X Y X Y =====． 由题意知事件{3,1}X Y ==与{2,0}X Y ==互斥，且事件{3}X =与{1}Y =，事件{2}X =与{0}Y =均相互独立， 从而由（1）知()({3,1}{2,0})P M P X Y X Y =====(3,1)(2,0)P X Y P X Y ===+== (3)(1)(2)(0)P X P Y P X P Y ===+==824120279927243=⨯+⨯=． 10．【2019年高考北京卷理数】改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下：（1）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率；（2）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（3）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．【答案】（1）0.4；（2）分布列见解析，E （X ）=1；（3）见解析．【解析】（1）由题意知，样本中仅使用A 的学生有18+9+3=30人，仅使用B 的学生有10+14+1=25人，A ，B 两种支付方式都不使用的学生有5人．故样本中A ，B 两种支付方式都使用的学生有100−30−25−5=40人．所以从全校学生中随机抽取1人，该学生上个月A ，B 两种支付方式都使用的概率估计为400.4100=． （2）X 的所有可能值为0，1，2．记事件C 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”，事件D 为“从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，该学生上个月的支付金额大于1000元”． 由题设知，事件C ，D 相互独立，且93141()0.4,()0.63025P C P D ++====． 所以(2)()()()0.24P X P CD P C P D ====，(1)()P X P CD CD == ()()()()P C P D P C P D =+ 0.4(10.6)(10.4)0.6=⨯-+-⨯0.52=，(0)()()()0.24P X P CD P C P D ====．所以X 的分布列为故X 的数学期望()00.2410.5220.241E X =⨯+⨯+⨯=．（3）记事件E 为“从样本仅使用A 的学生中随机抽查3人，他们本月的支付金额都大于2000元”． 假设样本仅使用A 的学生中，本月支付金额大于2000元的人数没有变化， 则由上个月的样本数据得33011()C 4060P E ==．答案示例1：可以认为有变化． 理由如下：P （E ）比较小，概率比较小的事件一般不容易发生．一旦发生，就有理由认为本月的支付金额大于2000元的人数发生了变化，所以可以认为有变化． 答案示例2：无法确定有没有变化．理由如下： 事件E 是随机事件，P （E ）比较小，一般不容易发生， 但还是有可能发生的，所以无法确定有没有变化．11．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ． （1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 【答案】（1）分布列见解析；（2）(i)证明见解析，(ii) 45 127p =，解释见解析． 【解析】X 的所有可能取值为1,0,1-．(1)(1)P X αβ=-=-，(0)(1)(1)P X αβαβ==+--， (1)(1)P X αβ==-，所以X 的分布列为（2）（i ）由（1）得0.4,0.5,0.1a b c ===．因此110.40.5 0.1i i i i p p p p -+=++，故110.1()0.4()i i i i p p p p +--=-， 即114()i i i i p p p p +--=-． 又因为1010p p p -=≠， 所以1{}(0,1,2,,7)i i p p i +-=为公比为4，首项为1p 的等比数列．（ii ）由（i ）可得88776100p p p p p p p p =-+-++-+877610()()()p p p p p p =-+-++-81413p -=．由于8=1p ，故18341p =-， 所以44433221101( 411()327)(5())p p p p p p p p p p -=-+-+-+=-=． 4p 表示最终认为甲药更有效的概率，由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时， 认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈， 此时得出错误结论的概率非常小，说明这种试验方案合理．专题 计数原理1．【2019年高考全国Ⅲ卷理数】（1+2x 2 ）（1+x ）4的展开式中x 3的系数为 A ．12 B ．16 C ．20 D ．24【答案】A【解析】由题意得x 3的系数为3144C 2C 4812+=+=，故选A ．【名师点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数．2．【2019年高考浙江卷理数】在二项式9)x 的展开式中，常数项是__________；系数为有理数的项的个数是__________．【答案】 5【解析】由题意，9)x 的通项为919C (0,1,29)rr r r T x r -+==，当0r =时，可得常数项为0919C T ==；若展开式的系数为有理数，则1,3,5,7,9r =，有246810T , T , T , T , T 共5个项．故答案为：5．【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．3．【2019年高考江苏卷理数】设2*012(1),4,n n n x a a x a x a x n n +=++++≥∈N ．已知23242a a a =．（1）求n 的值；（2）设(1na +=+*,ab ∈N ，求223a b -的值．【答案】（1）5n =；（2）32-．【解析】（1）因为0122(1)C C C C 4n n n n n n n x x x x n +=++++≥，，所以2323(1)(1)(2)C ,C 26n nn n n n n a a ---====， 44(1)(2)(3)C 24nn n n n a ---==． 因为23242a a a =，所以2(1)(2)(1)(1)(2)(3)[]26224n n n n n n n n n ------=⨯⨯，解得5n =．（2）由（1）知，5n =．5(1(1n +=02233445555555C C C C C C =++++a =+解法一：因为*,a b ∈N ，所以024*********C 3C 9C 76,C 3C 9C 44a b =++==++=，从而222237634432a b -=-⨯=-．解法二：50122334455555555(1C C (C (C (C (C (=+++++02233445555555C C C C C C =--+-．因为*,a b ∈N ，所以5(1a -=-．因此225553((1(1(2)32a b a a -=+-=⨯-=-=-．【名师点睛】本题主要考查二项式定理、组合数等基础知识，考查分析问题能力与运算求解能力．。
2019年高考专题：概率与统计试题及答案
2019年高考专题：概率与统计1．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ）A ．0.5 B ．0.6 C ．0.7 D ．0.8 【解析】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70， 则其与该校学生人数之比为70÷100=0.7．故选C ． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是（ ） A ．8号学生B ．200号学生C ．616号学生D ．815号学生【解析】由已知将1000名学生分成100个组，每组10名学生，用系统抽样，46号学生被抽到，所以第一组抽到6号，且每组抽到的学生号构成等差数列{}n a ，公差10d =，所以610n a n=+()n *∈N ，若8610n =+，解得15n =，不合题意；若200610n =+，解得19.4n =，不合题意；若616610n =+，则61n =，符合题意；若815610n =+，则80.9n =，不合题意．故选C ． 3．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标，若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为（ ） A ．23B ．35 C ．25D ．15【解析】设其中做过测试的3只兔子为,,a b c ，剩余的2只为,A B ， 则从这5只中任取3只的所有取法有{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,},{,,}a b c a b A a b B a c A a c B a A B b c A ，{,,},{,,},{,,}b c B b A B c A B ，共10种．其中恰有2只做过测试的取法有{,,},{,,},{,,},{,,},a b A a b B a c A a c B {,,},{,,}b c A b c B ，共6种，所以恰有2只做过测试的概率为63105=，故选B ．4．【2019年高考江苏卷】已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是______________． 【解析】由题意，该组数据的平均数为678891086+++++=，所以该组数据的方差是22222215[(68)(78)(88)(88)(98)(108)]63-+-+-+-+-+-=． 5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 6．【安徽省江淮十校2019届高三年级5月考前最后一卷】《易经》是我国古代预测未来的著作，其中同时抛掷三枚古钱币观察正反面进行预测未知，则抛掷一次时出现两枚正面、一枚反面的概率为 A ．18B ．14 C ．38D ．12【解析】抛掷三枚古钱币出现的基本事件有：正正正，正正反，正反正，反正正，正反反，反正反，反反正，反反反，共8种，其中出现两正一反的共有3种，故所求概率为38．故选C ． 7．【山东省济宁市2019届高三第一次模拟考试】某学校从编号依次为01，02，…，90的90个学生中用系统抽样（等间距抽样）的方法抽取一个样本，已知样本中相邻的两个组的编号分别为14，23，则该样本中来自第四组的学生的编号为（ ）A ．32 B ．33 C ．41 D ．42 【解析】因为相邻的两个组的编号分别为14，23，所以样本间隔为23149-=， 所以第一组的编号为1495-=，所以第四组的编号为53932+⨯=，故选A ． 8．【河南省洛阳市2019届高三第三次统一考试】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示．为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（ ） A ．100，10B ．100，20C ．200，10D ．200，20【解析】由题得样本容量为(350020004500)2%100002%200++⨯=⨯=，抽取的高中生人数为20002%40⨯=人，则近视人数为400.520⨯=人，故选D ．9．【西藏拉萨中学2019届高三第六次月考】某次知识竞赛中，四个参赛小队的初始积分都是10分，在答题过程中，各小队每答对1题加0.5分，若答题过程中四个小队答对的题数分别是3道，7道，7道，3道，则四个小队积分的方差为（ ） A ．0.5B ．0.75C ．1D ．1.25【解析】四个小队积分分别为11.5，13.5，13.5，11.5，平均数为11.513.513.511.512.54+++=，故四个小队积分的方差为221[(11.512.5)2(13.512.5)2]14⨯-⨯+-⨯=，故选C ． 10．【陕西省2019届高三第三次联考】口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，那么摸出黑球的概率是（ ） A ．0.42B ．0.28C ．0.3D ．0.7【解析】在口袋中摸球，摸到红球、摸到黑球、摸到白球这三个事件是互斥的，因为摸出红球的概率是0.38，摸出白球的概率是0.32，且摸出黑球是摸出红球或摸出白球的对立事件，所以摸出黑球的概率是10.380.320.3--=．故选C ．11．【河南省郑州市2019届高三第三次质量检测】某同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的标准差最小，则42x y +的值是（ ）A ．12 B ．14 C ．16 D ．18【解析】因为中位数为12，所以4x y +=，数据的平均数为1(223420191910x y ⨯+++++++++2021)11.4+=，要使该总体的标准差最小，即方差最小，所以22(1011.4)(1011.4)x y +-++-=2222.8( 1.4)( 1.4)2()0.722x y x y +--+-≥=，当且仅当 1.4 1.4x y -=-，即2x y ==时取等号，此时总体标准差最小，4212x y +=，故选A ． 12．【江西省新八校2019届高三第二次联考】某学校高一年级1802人，高二年级1600人，高三年级1499人，先采用分层抽样的方法从中抽取98名学生参加全国中学生禁毒知识竞赛，则在高一、高二、高三三个年级中抽取的人数分别为（ ） A ．35,33,30B ．36,32,30C ．36,33,29D ．35,32,31【解析】先将每个年级的人数凑整，得高一：1800人，高二：1600人，高三：1500人，则三个年级的总人数所占比例分别为1849，1649，1549， 因此，各年级抽取人数分别为18983649⨯=，16983249⨯=，15983049⨯=，故选B ． 13．【广东省汕头市2019届高三第二次模拟考试（B 卷)】在某次高中学科竞赛中，4000名考生的参赛成绩统计如图所示，60分以下视为不及格，若同一组中数据用该组区间中点作代表，则下列说法中有误的是（ ）A ．成绩在[70,80]分的考生人数最多B ．不及格的考生人数为1000人C ．考生竞赛成绩的平均分约70.5分D ．考生竞赛成绩的中位数为75分【解析】由频率分布直方图可得，成绩在[70,80]的频率最高，因此考生人数最多，故A 正确；由频率分布直方图可得，成绩在[40,60)的频率为0.25，因此，不及格的人数为40000.251000⨯=，故B 正确；由频率分布直方图可得：平均分等于450.1550.15650.2750.3850.15⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+950.170.5⨯=，故C 正确；因为成绩在[40,70)的频率为0.45，由[70,80]的频率为0.3，所以中位数为0.05701071.670.3+⨯≈，故D 错误．故选D ． 14．【福建省泉州市2019届高三第二次（5月)质检】已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x ，方差为2s ，则（ ） A ．270,75x s =<B ．270,75x s =>C ．270,75x s ><D ．270,75x s ><【解析】由题意，可得7050806070907050x ⨯+-+-==，设收集的48个准确数据分别记为1248,,,x x x ，则222221248175[(70)(70)(70)(6070)(9070)]50x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)500]50x x x =-+-++-+， 22222212481[(70)(70)(70)(8070)(7070)]50s x x x =-+-++-+-+-22212481[(70)(70)(70)100]7550x x x =-+-++-+<，所以275s <．故选A ．15．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：（1）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++．【解析】（1）由调查数据，男顾客中对该商场服务满意的比率为400.850=， 因此男顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.8． 女顾客中对该商场服务满意的比率为300.650=， 因此女顾客对该商场服务满意的概率的估计值为0.6．（2）由题可得22100(40203010) 4.76250507030K ⨯⨯-⨯=≈⨯⨯⨯．由于4.762 3.841>，故有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异．16．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表．（1）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例； （2）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．（精确到0.018.602≈．【解析】（1）根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为1470.21100+=． 产值负增长的企业频率为20.02100=． 用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%． （2）1(0.1020.10240.30530.50140.707)0.30100y =-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=， ()52211100i i i s n y y ==-∑222221(0.40)2(0.20)240530.20140.407100⎡⎤=-⨯+-⨯+⨯+⨯+⨯⎣⎦ =0.0296，0.020.17s ==≈，所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%，17%．17．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A ，B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P （C ）的估计值为0.70． （1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）． 【解析】（1）由已知得0.700.200.15a =++，故0.35a =．10.050.150.700.10b =---=．（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为20.1530.2040.3050.2060.1070.05 4.05⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．乙离子残留百分比的平均值的估计值为30.0540.1050.1560.3570.2080.15 6.00⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．18．【2019年高考天津卷文数】2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．（1）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（2）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为,,,,,A B C D E F．享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．【答案】（1）应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人；（2）（i）见解析，（ii）11 15．【分析】本题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．【解析】（1）由已知，老、中、青员工人数之比为6 : 9 : 10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．（2）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },A B A C A D A E A F B C{, },{, },{, },{, {,}},,B D B E B FCD C E{,},C F {,},{,},{,}D E D F E F，共15种．（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为{, },{, },{, },{, },{, },{, },{, {,},{,},{,},{,},}A B A D A E A F B D B CE BF E C F D F E F，共11种．所以，事件M发生的概率11 ()15P M ．19．【北京市清华大学附属中学2019届高三第三次模拟考试】手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性、300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【解析】（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下图所示：女性用户男性用户由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）由题可得22⨯列联表如下：则22500(14012018060)1255.208 2.70620030032018024K⨯⨯-⨯=≈>⨯⨯⨯=，所以有90%的把握认为“是否是评分良好用户”与性别有关．20．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊】“一本书，一碗面，一条河，一座桥”曾是兰州的城市名片，而现在“兰州马拉松”又成为了兰州的另一张名片，随着全民运动健康意识的提高，马拉松运动不仅在兰州，而且在全国各大城市逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人口逐年增加．为此，某市对人们参加马拉松运动的情况进行了统计调查．其中一项调查是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取200人，对其每周参与马拉松长跑训练的天数进行统计，得到以下统计表：若某人平均每周进行长跑训练天数不少于5天，则称其为“热烈参与者”，否则称为“非热烈参与者”．（1）经调查，该市约有2万人参与马拉松运动，试估计其中“热烈参与者”的人数；（2）根据上表的数据，填写下列22⨯列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关？参考公式及数据：22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++．【解析】（1）以200人中“热烈参与者”的频率作为概率，可得该市“热烈参与者”的人数约为40 200004000200⨯=．（2）由题可得22⨯列联表如下：则22200(35551055)1757.292 6.635401601406024K⨯⨯-⨯==≈>⨯⨯⨯，所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为“是否热烈参与马拉松”与性别有关．21．【四川省成都七中2019届高三5月高考模拟测试】某学校为担任班主任的教师办理手机语音月卡套餐，为了解通话时长，采用随机抽样的方法，得到该校100位班主任每人的月平均通话时长T（单位：分钟）的数据，其频率分布直方图如图所示，将频率视为概率．（1）求图中m的值；（2）估计该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数；（3）在[450,500)，[500,550]这两组中采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机抽取2人，求抽取的2人恰在同一组的概率．【解析】（1）依题意，根据频率分布直方图的性质，可得：50(0.00400.00500.00660.00160.0008)1m⨯+++++=，解得0.0020m=．（2）设该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为t．因为前2组的频率之和为(0.00200.0040)500.30.5+⨯=<，前3组的频率之和为(0.00200.00400.0050)500.550.5++⨯=>，所以350400t <<，由0.30.0050(350)0.5t +⨯-=，得390t =．所以该校担任班主任的教师月平均通话时长的中位数为390分钟．（3）由题意，可得在[450,500)内抽取0.0016640.00160.0008⨯=+人，分别记为a b c d ,,,， 在[500,550]内抽取2人，记为,e f ，则6人中抽取2人的取法有：{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}a e ，{,}a f ，{,}b c ，{,}b d ，{,}b e ，{,}b f ，{,}c d ，{,}c e ，{,}c f ，{,}d e ，{,}d f ，{,}e f ，共15种等可能的取法．其中抽取的2人恰在同一组的有{,}a b ，{,}a c ，{,}a d ，{,}b c ，{,}b d ，{,}c d ，{,}e f ，共7种取法，所以从这6人中随机抽取的2人恰在同一组的概率715P =． 22．【西南名校联盟重庆市第八中学2019届高三5月高考适应性月考（六）】某种产品的质量按照其质量指标值M 进行等级划分，具体如下表： 质量指标值M80M < 80110M ≤< 110M ≥ 等级 三等品 二等品 一等品现从某企业生产的这种产品中随机抽取了100件作为样本，对其质量指标值M 进行统计分析，得到如图所示的频率分布直方图．（1）记A 表示事件“一件这种产品为二等品或一等品”，试估计事件A 的概率；（2）已知该企业的这种产品每件一等品、二等品、三等品的利润分别为10元、6元、2元，试估计该企业销售10000件该产品的利润；（3）根据该产品质量指标值M 的频率分布直方图，求质量指标值M 的中位数的估计值（精确到0．01）．【解析】（1）记B 表示事件“一件这种产品为二等品”，C 表示事件“一件这种产品为一等品”， 则事件B ，C 互斥，且由频率分布直方图估计()0.20.30.150.65P B =++=，()0.10.090.19P C =+=，又()()()()0.84P A P B C P B P C =+=+=，所以事件A 的概率估计为0.84．（2）由（1）知，任取一件产品是一等品、二等品的概率估计值分别为0.19，0.65，故任取一件产品是三等品的概率估计值为0.16，从而10000件产品估计有一等品、二等品、三等品分别为1900，6500，1600件，故利润估计为190010650061600261200⨯+⨯+⨯=元．（3）因为在产品质量指标值M的频率分布直方图中，质量指标值90M<的频率为0.060.10.20.360.5++=<，质量指标值100M<的频率为0.060.1020.30.660.5+++=>，故质量指标值M的中位数估计值为0.50.369094.670.03-+≈．。
2019年高考数学试题分项版—统计概率(原卷版)
2019年高考数学试题分项版——统计概率（原卷版）一、选择题1．(2019·全国Ⅰ文，6)某学校为了解1 000名新生的身体素质，将这些学生编号为1,2，…，1 000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验．若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是()A．8号学生B．200号学生C．616号学生D．815号学生2．(2019·全国Ⅱ文，4)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为()A. B. C. D.3．(2019·全国Ⅱ文，5)在“一带一路”知识测验后，甲、乙、丙三人对成绩进行预测．甲：我的成绩比乙高．乙：丙的成绩比我和甲的都高．丙：我的成绩比乙高．成绩公布后，三人成绩互不相同且只有一个人预测正确，那么三人按成绩由高到低的次序为()A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙4．(2019·全国Ⅲ文，3)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是()A. B. C. D.5．(2019·全国Ⅲ文，4)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.86．(2019·浙江，7)设0＜a＜1.随机变量X的分布列是()则当a在(0,1)内增大时，()A．D(X)增大B．D(X)减小C．D(X)先增大后减小D．D(X)先减小后增大7.(2019·全国Ⅰ理，6)我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化，每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“——”，如图就是一重卦，在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是()A. B. C. D.8．(2019·全国Ⅱ理，5)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A．中位数B．平均数C．方差D．极差9．(2019·全国Ⅲ理，3)《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为()A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.810．(2019·全国Ⅲ理，4)(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为()A．12 B．16 C．20 D．24二、填空题1．(2019·全国Ⅱ文，14)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．2．(2019·浙江，13)在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是________，系数为有理数的项的个数是________．3．(2019·江苏，5)已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是_____________．4．(2019·江苏，6)从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是________．5．(2019·全国Ⅰ理，15)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束)．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是________．6．(2019·全国Ⅱ理，13)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为________．7.(2019·天津理，10)8的展开式中的常数项为________．三、解答题1．(2019·全国Ⅰ文，17)某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评价，得到下面列联表：(1)分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率；(2)能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：K2＝.2．(2019·全国Ⅱ文，19)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y的频数分布表.(1)分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：≈8.602.3．(2019·全国Ⅲ文，17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．4．(2019·北京文，17)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生中上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校所有的1 000名学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生支付金额分布情况如下：(1)估计该校学生中上个月A，B两种支付方式都使用的人数；(2)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2 000元的概率；(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2 000元．结合(2)的结果，能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明理由．5．(2019·天津文，15)2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人随机抽取2人接受采访.①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．6．(2019·江苏，22)(10分)设(1＋x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a n x n，n≥4，n∈N*.已知＝2a2a4.(1)求n的值；(2)设(1＋)n＝a＋b，其中a，b∈N*，求a2－3b2的值．7．(2019·江苏，23)在平面直角坐标系xOy中，设点集A n＝{(0,0)，(1,0)，(2,0)，…，(n,0)}，B n＝{(0,1)，(n,1)}，C n＝{(0,2)，(1,2)，(2,2)，…，(n,2)}，n∈N*.令M n＝A n∪B n∪C n.从集合M n中任取两个不同的点，用随机变量X表示它们之间的距离．(1)当n＝1时，求X的概率分布；(2)对给定的正整数n(n≥3)，求概率P(X≤n)(用n表示)．8．(2019·全国Ⅰ理，21)为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得－1分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得－1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X.(1)求X的分布列；(2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，p i(i＝0,1，…，8)表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i＝1,2，…，7)，其中a＝P(X＝－1)，b＝P(X＝0)，c＝P(X＝1)．假设α＝0.5，β＝0.8.(ⅰ)证明：{p i＋1－p i}(i＝0,1,2，…，7)为等比数列；(ⅱ)求p4，并根据p4的值解释这种试验方案的合理性．9．(2019·全国Ⅱ理，18)11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10∶10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束．甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立．在某局双方10∶10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲获胜”的概率．10．(2019·全国Ⅲ理，17)为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A，B两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，B组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P(C)的估计值为0.70.(1)求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；(2)分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．11．(2019·北京理，17)（13分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下：（Ⅱ）从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人，以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用A的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额都大于2000元．根据抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由．12．(2019·天津理，16)设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为，假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立．(1)用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望；(2)设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率．。
2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-概率与统计
2019高考全国各地数学卷文科解答题分类汇编-概率与统计1、〔天津文〕15、〔本小题总分值13分〕编号为1216,,,A A A ⋅⋅⋅的16名篮球运动员在某次训练比赛中的得分记录如下：〔Ⅰ〕将得分在对应区间内的人数填入相应的空格；〔Ⅱ〕从得分在区间[)20,30内的运动员中随机抽取2人，〔i 〕用运动员的编号列出所有可能的抽取结果；〔ii 〕求这2人得分之和大于50的概率、【解析】〔15〕本小题主要考查用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式的等基础知识，考查数据处理能力及运用概率知识解决简单的实际问题的能力，总分值13分。
〔Ⅰ〕解：4，6，6〔Ⅱ〕〔i 〕解：得分在区间[20,30)内的运动员编号为345101113,,,,,.A A A A A A 从中随机抽取2人，所有可能的抽取结果有：343531*********{,},{,},{,},{,},{,},{,},A A A A A A A A A A A A 410{,}A A ，411413510511513101110131113{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A A A A A ，共15种。
〔ii 〕解：“从得分在区间[20,30)内的运动员中随机抽取2人，这2人得分之和大于50”〔记为事件B 〕的所有可能结果有：454104115101011{,},{,},{,},{,},{,}A A A A A A A A A A ，共5种。
所以51().153P B ==2.〔北京文〕16、〔本小题共13分〕以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示.〔1〕如果X=8，求乙组同学植树棵树的平均数和方差；〔2〕如果X=9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率. 〔注：方差],)()()[(1222212x x x ns n -+-+-= 其中为nx x x ,,,21 的平均数〕 【解析】〔16〕〔共13分〕解〔1〕当X=8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8，8，9，10， 所以平均数为;435410988=+++=方差为.1611])43510()4359()4358[(412222=-+-+-=s 〔Ⅱ〕记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9，9，11，11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9，8，9，10，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是：〔A 1，B 1〕，〔A 1，B 2〕，〔A 1，B 3〕，〔A 1，B 4〕， 〔A 2，B 1〕，〔A 2，B 2〕，〔A 2，B 3〕，〔A 2，B 4〕， 〔A 3，B 1〕，〔A 2，B 2〕，〔A 3，B 3〕，〔A 1，B 4〕， 〔A 4，B 1〕，〔A 4，B 2〕，〔A 4，B 3〕，〔A 4，B 4〕，用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，那么C 中的结果有4个，它们是：〔A 1，B 4〕，〔A 2，B 4〕，〔A 3，B 2〕，〔A 4，B 2〕，故所求概率为.41164)(==C P3.〔全国新文〕19、〔本小题总分值12分〕 某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大说明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品、现用两种新配方〔分别称为A 配方和B 配方〕做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表〔I 〕分别估计用A 配方，B 配方生产的产品的优质品率；〔II 〕用B 配方生产的一种产品利润y 〔单位：元〕与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩估计用B 配方生产的一件产品的利润大于0的概率，并求用B 配方生产的上述100件产品平均一件的利润、 【解析】〔19〕解〔Ⅰ〕由试验结果知，用A 配方生产的产品中优质的频率为228=0.3100+，所以用A 配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3。
2019年高考数学全国统一考试概率统计分类详细解析及简易逻辑
数学分类解析一概率统计各地高考题.选择题：1.（安徽理）（10）.设两个正态分布N （#i ，。
；）（0>0）和b ；）（%>0）的密度函数图像如图所示。
则有（A ）A. 旧 v %b\ <a 2B. 丹 <穴2，0 >。
2C. "\>D. "\> 瞄％>2.（福建理）（5）某一批花生种子,2粒发芽的概率是 （B ）16 96 192 256A.--- B. --- C. --- D.---625 625 625 62543.（福建文）（5）某一批花生种子，如果每1粒发芽的概率为石，那么播下3粒种子恰有2粒发芽的概率是(C)16 48k --- C.---125 1254.（广东理）（3）.某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1.已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19.现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为（C ）A. 24B. 18C. 16D. 12一年级二年级三年级女生373Xy男生377370Z5.（湖南理）4.设随机变量：服从正态分布N （2,9），若P （<>c+l ）=P （〈<c —1）,则c=（B ）A.lB.2C.3D.46.（江西文）（11）.电子钟一天显示的时间是从00:00到23:59,每一时刻都由四个数字组成，则一天中任一时刻显示的四个数字之和为23的概率为 （C）A.11801B .----2881C.---3601D ，4807. (辽宁理文)(7) . 4张卡片上分别写有数字1, 2, 3, 4,从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为(C )112 3A. — B. — C. — D.—3 2 3 48. (山东理)(7)在某地的奥运火炬传递活动中，有编号为1, 2, 3, 18的18名火炬手.若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成3为公差的等差数列的概率为(B .)(A) — (B ) — (C)---51 68 3069. (山东理)(8)右图是根据《山东统计年整2007》中的资料作成的1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的茎叶 图.图中左边的数字从左到右分别表示城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到1997年至2006年我省城镇居民百户家庭人口数的平均数为(B)(A) 304.6(B) 303.6 (C)302.610.(山东文)9.从某项综合能力测试中抽取100人的成绩，统计如表，则这100人成绩的标准差为(B )(D)14082 9115 83 02 63 10 2 4 7(D)301.6分数54321人数2010303010A.n 2面D .----------5C. 38D.-510. (陕西文)(3).某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵.为调查树苗的生长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为(C )A. 30B. 25C. 20D. 1511. (重庆理)(5)已知随机变量〈服从正态分布M3, a ),则P(〈＜3)= (D)2(A)-(B) -(C) -(D)-5 4 3 212. (重庆文)(5)某交高三年级有男生500人，女生400人，为了解该年级学生的健康情况，从男生中任意抽取25人，从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是(D)(A)简单随机抽样法(C)随机数表法(B)抽签法(D)分层抽样法13.（重庆文）（9）从编号为1,2,・“,10的10个大小相同的球中任取4个,则所取4个球的最大号码是6的概率为（B）2 3(C)y(D)y二.填空题：1.（广东文）（11）.为了调查某厂工人生产某种产品的能力，随机抽查了20位工人某天生产该产品的数量.产品数量的分组区间为［45,55）,[55,65),[65,75),[75,85),［85,95）由此得到频率分布直方图如图，则这20名工人中一天生产该产品数量在［55,75）的人数是13.2.（海南宁夏理文）（16）.从甲、乙两品种的棉花中各抽测了25根棉花的纤维长度（单位：mm）,结果如下：甲品种:271273280285285287292294295301303303307 308310314319323325325328331334337352乙品种:284292295304306307312313315315316318318 320322322324327329331333336337343356由以上数据设计了如下茎叶图甲乙31277550284542292587331304679403123556888553320224797413313673432356根据以上茎叶图，对甲、乙两品种棉花的纤维长度作比较，写出两个统计结论:①;②•以下任填两个：（1）.乙品种棉花的纤维平均长度大于甲品种棉花的纤维平均长度（或：乙品种棉花的纤维长度普遍大于甲品种棉花的纤维长度）.（2）.甲品种棉花的纤维长度较乙品种棉花的纤维长度更分散•（或：乙品种棉花的纤维长度较甲品种棉花的纤维长度更集中（稳定）.甲品种棉花的纤维长度的分散程度比乙品种棉花的纤维长度的分散程度更大）.（3）.甲品种棉花的纤维长度的中位数为307mm,乙品种棉花的纤维长度的中位数为318mm.（4）.乙品种棉花的纤维长度基本上是对称的，而且大多集中在中间（均值附近）.甲品种棉花的纤维长度除一个特殊值（352）夕卜，也大致对称，其分布较均匀.3.（湖北文）11.一个公司共有1000名员工，下设一些部门，要采用分层抽样方法从全体员工中抽取一个容量为50的样本，已知某部门有200名员工，那么从该部门抽取的工人数是10.4.（湖北文）14.明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己，假设甲闹钟准时响的概率是0.80,乙闹钟准时响的概率是0.90,则两个闹钟至少有一准时响的概率是0.98.5.（湖南理）15.对有n（nN4）个元素的总体｛1,2,3,…刀｝进行抽样，先将总体分成两个子总体｛1,2,…,m｝和（m+l>m+2,…,n｝（m是给定的正整数,且2WmWn-2）,再从每个子总体中各随机抽取2个元素组成样本，用坊表示元素i和f同时出现在样本中的4概率，则P|,,=--------；所有PiQWiVjW77）的和等于鱼.m（n—ni）6.（湖南文）（12）从某地区15000位老人中随机抽取500人，其生活能否自理的情况如下表所示：序号⑺分组睡眠时间组中值（G,）频数（人数）频率(Fj)1[4,5) 4.560.122[5,6) 5.5100.203[6,7) 6.5200.404[7,8)7.5100.205[8,9]8.540.08在上述统计数据的分析中，一部分计算见算法流程图，则输出的S的值为6.42.9.（上海理文）（7）.在平面直角坐标系中，从六个点:A（0,0）、B（2,0）、C（l,l）、D（0,2）、3E（2,2）、F（3,3）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是j（结果用分数表示）10.（上海理文）（9）.已知总体的各个体的值由小到大依次为2,3,3,7,12,13.7,18.3,20,且总体的中位数为10.5,若要使该总体的方差最小，则a、》的取值分别是10.5和10.511.（上海文）8.在平面直角坐标系中，从五个点：A（O,O）,3（2,0）,C（L1）,D（0,2）,4£（2,2）中任取三个，这三点能构成三角形的概率是；（结果用分数表示）.12.（天津文）（11）.一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人.为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工10人.13.三.解答题：1.（安徽理）（19）.（本小题满分12分）为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。
《高考真题》专题13 概率与统计-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅱ专版)(原卷版)
专题13 概率与统计【母题来源一】【2019年高考全国Ⅱ卷理数】我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为______________． 【答案】0.98【分析】本题考查通过统计数据进行概率的估计，采取估算法，利用概率思想解题．【解析】由题意得，经停该高铁站的列车正点数约为100.97200.98100.9939.2⨯+⨯+⨯=，其中高铁个数为10201040++=，所以该站所有高铁平均正点率约为39.20.9840=． 【名师点睛】本题考查了概率统计，渗透了数据处理和数学运算素养，侧重统计数据的概率估算，难度不大．易忽视概率的估算值不是精确值而失误，根据分类抽样的统计数据，估算出正点列车数量与列车总数的比值．【母题来源二】【2018年高考全国Ⅱ卷理数】我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果．哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如30723=+．在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是 A ．112 B ．114 C ．115D ．118【答案】C【解析】不超过30的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10个，随机选取两个不同的数，共有种方法，因为7231119131730+=+=+=，所以随机选取两个不同的数，其和等于30的有3种方法， 故所求概率为31=4515，故选C ． 【名师点睛】古典概型中基本事件数的探求方法：（1）列举法；（2）树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求．对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法；（3）列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化；（4）排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目．【命题意图】本类问题主要涉及古典概型、对立事件概率的计算及概率与统计的综合,要求掌握利用古典概型求概率的方法,掌握利用互斥事件概率的加法公式及对立事件的概率公式求概率的方法.【命题规律】古典概型是高考命题的重点，题目难度中等，要求考生通过阅读提取信息，并掌握必要的计数方法：枚举法，树状图或者排列组合知识等.【答题模板】解答本类题目,以2018年高考这题试题为例，一般考虑如下三步：第一步：分析已知条件选择古典概型模型；第二步：找基本事件总数以及事件包含的基本事件数；第三步：带入古典概型的计算公式求解.【方法总结】1.古典概型是概率论中最简单而又直观的模型,在概率论的发展初期曾是主要研究对象,许多概率的运算法则都是在古典概型中得到证明的(遂谓之“古典”).要判断一个试验是否为古典概型,只需要判断这个试验是否具有古典概型的两个特征——有限性和等可能性.2.求古典概型的概率(1)对于事件A的概率的计算,关键是要分清基本事件总数n与事件A包含的基本事件数m.因此必须解决以下三个方面的问题：第一,本试验是否是等可能的；第二,本试验的基本事件数有多少个；第三,事件A是什么,它包含的基本事件有多少个.(2)如果基本事件的个数比较少,可用列举法把古典概型试验所含的基本事件一一列举出来,然后再求出事件A中的基本事件数,利用公式()mP An求出事件A的概率,这是一个形象直观的好方法,但列举时必须按照某一顺序做到不重不漏.(3)如果基本事件个数比较多,列举有一定困难时,可以用树状图法,树状图法适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求,注意在确定基本事件时(x,y)可以看成是有序的,如(1,2)与(2,1)不同．有时也可以看成是无序的,如(1,2),(2,1)相同．(4)较为简单的问题可以直接使用古典概型概率公式计算,较为复杂的概率问题的处理方法有：①转化为几个互斥事件的和,利用互斥事件的加法公式求解；学科.网②采用间接法,先求事件A的对立事件A的概率,再由P(A)＝1－P(A)求事件A的概率.1．【宁夏石嘴山市第三中学2019届高三下学期三模考试数学试题】袋子中有四个小球，分别写有“美、丽、中、国”四个字，有放回地从中任取一个小球，直到“中”“国”两个字都取到就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率．利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0，1，2，3代表“中、国、美、丽”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：232 321 230 023 123 021 132 220 001 231 130 133 231 031 320 122 103 233由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为A ．19B ．318 C ．29D ．5182．【辽宁省沈阳市2019届高三上学期一模数学试题】某英语初学者在拼写单词“steak ”时，对后三个字母的记忆有些模糊，他只记得由“a ”、“e ”、“k ”三个字母组成并且字母“k ”只可能在最后两个位置中的某一个位置上.如果该同学根据已有信息填入上述三个字母，那么他拼写正确的概率为A ．16 B ．14 C ．13D ．123．【黑龙江省哈尔滨市第三中学2019届高三第二次模拟数学试题】从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是A ．101B ．103C ．35D ．254．【吉林省实验中学2019届高三下学期第八次月考数学试题】从1，2，3，4，5中任取5个数字，组成没有重复数字的五位数，则组成的五位数是偶数的概率是A ．23 B ．35C ．12D ．255．【吉林省长春市吉林省实验中学2019届高三上学期第三次月考数学试题】已知函数()322113fx x a x b x =+++，若a 是从1，2，3三个数中任取的一个数，b 是从0，1，2三个数中任取的一个数，则该函数有两个极值点的概率为A ．79 B ．13 C ．59D ．236．【山东省青岛市2019届高三9月期初调研检测数学试题】已知某运动员每次投篮命中的概率是40％，现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器产生0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．经随机模拟产生了如下10组随机数：907 966 191 925 271 431 932 458 569 683．该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为A ．15 B ．35C ．310D ．9107．【宁夏银川市2019届高三下学期质量检测数学试题】根据党中央关于“精准”脱贫的要求，我市某农业经济部门派四位专家对三个县区进行调研，每个县区至少派一位专家，则甲，乙两位专家派遣至同一县区的概率为A ．16 B ．14C ．13D ．128．【2019年甘肃省兰州市高考数学一诊试卷】某区要从参加扶贫攻坚任务的5名干部A ，B ，C ，D ，E 中随机选取2人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫工作，则A 或B 被选中的概率是A ．15 B ．25C ．35D ．7109．【甘肃省天水市第一中学2019届高三一轮复习第六次质量检测数学试题】为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在中国传统节日：春节，元宵节，清明节，端午节，中秋节五个节日中随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节至少有一个被选中的概率是 A ．0.3 B ．0.4 C ．0.6D ．0.710．【新疆2019届高三第三次诊断性测试数学试题】将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取一个，恰好是两面涂色的概率是 A ．29B ．827C ．49D ．162711．【内蒙古2019年呼和浩特市高三年级第二次质量普查调研考试数学试题】一个盒子里装有标号为1~6的6个大小和形状都相同的小球，其中1到4号球是红球，其余两个是黄球，若从中任取两个球，则取的两个球颜色不同，且恰有1个球的号码是偶数的概率是A ．115 B ．215 C ．315D ．41512．【内蒙古赤峰市2019届高三4月模拟考试数学试题】《史记》卷六十五《孙子吴起列传第五》中有这样一道题：齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马，现从双方的马匹中随机选一匹马进行一场比赛，齐王获胜的概率是A ．23 B ．35C ．59D ．3413．【陕西省咸阳市2019届高三高考模拟检测(二)数学试题】一个三位数的百位，十位，个位上的数字依次是a ，b ，c ，当且仅当a b <且b c >时称为“凸数”．现从1，2，3，4中任取三个组成一个三位数，则它为“凸数”的概率是________．14．【陕西省榆林市2019届高三第二次模拟试题数学试题】不透明的袋中有5个大小相同的球，其中3个白球，2个黑球，从中任意摸取2个球，则摸到同色球的概率为________．15．【广西南宁市2019届高三毕业班第一次适应性测试数学】用0与1两个数字随机填入如图所示的5个格子里，每个格子填一个数字，并且从左到右数，不管数到哪个格子，总是1的个数不少于0的个数，则这样填法的概率为__________．16．【辽宁省辽阳市2019届高三上学期期末考试数学试题】现有两对情侣都打算从巴黎、厦门、马尔代夫、三亚、泰国这五个地方选取一个地方拍婚纱照，且这两对情侣选择的地方不同，则这两对情侣都选在国外拍婚纱照的概率为__________．17．【河北省省级示范性高中联合体2019届高三3月联考数学试题】小张要从5种水果中任选2种赠送给好友，其中芒果、榴莲、椰子是热带水果，苹果、葡萄是温带水果，则小张送的水果既有热带水果又有温带水果的概率为__________．。
2019高考试题汇编文科数学---概率统计.doc
（ 2019全国 1 文） 6. 某学校为认识1000名重生的身体素质，将这些学生编号为1,2,3,L,1000 ，从这些重生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测试，若 46号学生被抽到，则下边 4 名学生中被抽到的是（）.A. 8号学生B. 200号学生C. 616号学生D. 815号学生答案：C解答：从 1000名学生中抽取 100名，每10人抽一个， 46 号学生被抽到，则抽取的号数就为 10n6(0 n 99,n N ) ，可得出616 号学生被抽到.（ 2019全国 1 文） 17. 某商场为提升服务质量，随机检查了50 名男顾客和 50名女顾客，每位顾客对该商场的服务给出满意或不满意的评论，获得下边列联表：满意不满意男顾客女顾客4010 3020（1）分别预计男、女顾客对该商场服务满意的概率；（2）可否有95%的掌握以为男、女顾客对该商场服务的评论有差别？附：2n(ad bc) 2 ( a b)(c d )(a c)(b d )P( 2k )0.0500.0100.001 k 3.841 6.63510.828答案：(1) 男顾客的的满意概率为P 404 505女顾客的的满意概率为P 303 505(2)有 95%的掌握以为男、女顾客对该商场服务的评论有差别.解答：（ 1）男顾客的的满意概率为P 404 505女顾客的的满意概率为P 303. 505(2)2100(40201030)2 4.762(4010)(3020)(4030)(1020)4.762 3.84195%有的掌握以为男、女顾客对该商场服务的评论有差别.(2019 全国 2 文 ) 4.生物实验室有5只兔子，此中只有3只丈量过某项指标.若从这5只兔子中随机拿出3只，则恰有 2 只丈量过该指标的概率为（）2321A. B. C. D.3555答案： B解答：计丈量过的 3 只兔子为1、、，设丈量过的2只兔子为、则 3 只兔子的种类有(1,2,3) (1,2, A) (1,2, B) 23 A B(1,3, A) (1,3, B) (1,A, B) 2,3, A2,3, B2, A,B3,A,B,则恰巧有两只丈量过的有 6 种，所以其概率为3.5 (2019 全国 2 文) 5. 在“一带一路”知识测试后，甲、乙、丙三人对成绩进行展望.甲：我的成绩比乙高 .乙：丙的成绩比我和甲的都高 .丙：我的成绩比乙高 .成绩宣布后，三人成绩互不同样且只有一个人展望正确，那么三人按成绩由高到低的序次为（）A．甲、乙、丙B．乙、甲、丙C．丙、乙、甲D．甲、丙、乙答案：A解答：依据已知逻辑关系可知，甲的展望正确，乙丙的展望错误，从而可得结果.(2019 全国 2 文) 14.我国高铁发展快速，技术先进. 经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为 0.97 ，有 20 个车次的正点率为0.98 ，有 10 个车次的正点率为0.99 ，则经停该站的高铁列车全部车次的均匀正点率的预计值为.答案：0.98解答：均匀正点率的预计值0.97100.98200.9910400.98 .(2019 全国 2 文 ) 19. 某行业主管部门为认识本行业中小公司的生产状况，随机检查了100 个公司，获得这些企业第一季度有关于前一年第一季度产值增加率y 的频数散布表.y 的分组0.20,00,0.200.20,0.400.40,0.600.60,0.80公司数22453147（ 1）分别预计这种公司中产值增加率不低于40%的公司比率、产值负增加的公司比率；（ 2）求这种公司产值增加率的均匀数与标准差的预计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）. （精准到 0.01 ）附：74 8.602.答案：详看法析解答 :（ 1）这种公司中产值增加率不低于40%的公司比率是14 721 ，2100100这种公司中产值负增加的公司比率是.100（ 2）这种公司产值增加率的均匀数是0.10 2 0.10 240.30530.50140.70 7 100 0.30这种公司产值增加率的方差是0.100.3020.100.30240.300.30530.500.30140.700.3071000.0296 所以这种公司产值22222增加率的标准差是0.029627428.6020.172040.17 .100100（ 20193.）全国 3 文）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是（A.1B.111 64C. D.32【答案】 D【分析】男女生人数同样可利用整体发剖析出两位女生相邻的概率，从而得解.【详解】两位男同学和两位女同学排成一列，因为男生和女生人数相等，两位女生相邻与不相邻的排法种数同样，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是1．应选 D．2【点睛】此题考察常有背景中的古典概型，浸透了数学建模和数学运算修养．采纳等同法，利用等价转变的思想解题．（ 2019 全国 3 文） 4.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学珍宝，并称为中国古典小说四大名著. 某中学为认识本校学生阅读四大名著的状况，随机检查了100 学生，此中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60 位，则该检阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的预计值为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8【答案】C【分析】【剖析】依据题先求出阅读过西游记的人数，从而得解.【详解】由题意得，阅读过《西游记》的学生人数为90-80+60=70 ，则其与该校学生人数之比为70÷100=0．7．故选 C．【点睛】此题考察抽样数据的统计，浸透了数据办理和数学运算修养．采纳去重法，利用转变与化归思想解题．（ 2019全国3 文）17.为认识甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行以下试验：将200 只小鼠随机分红A, B 两组，每组100 只，此中 A 组小鼠给服甲离子溶液， B 组小鼠给服乙离子溶液. 每只小鼠给服的溶液体积同样、摩尔浓度同样. 经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比. 依据试验数据分别获得如下直方图：记 C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于 5.5 ”，依据直方图获得P C的预计值为0.70 .（ 1）求乙离子残留百分比直方图中a, b的值；（ 2）分别预计甲、乙离子残留百分比的均匀值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.【答案】(1)a 0.35 ， b 0.10 ；(2) 4.05， 6 .【分析】【剖析】(1)由P(C)0.70可解得a和 b 的值；(2) 依据公式求均匀数 .【详解】(1)由题得 a 0.20 0.150.70 ，解得 a0.35 ，由 0.05 b 0.15 1 P(C) 1 0.70 ，解得b 0.10 .(2)由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的均匀值为0.1520.2030.3040.2050.1060.057 4.05，乙离子残留百分比的均匀值为0.0530.1040.1550.3560.2070.1586【点睛】此题考察频次散布直方图和均匀数，属于基础题.（ 2019 北京文） 17.改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．最近几年来，挪动支付已成为主要支付方式之一．为认识某校学生上个月 A ， B 两种挪动支付方式的使用状况，从全校全部的1000 名学生中随机抽取了 100人，发现样本中 A ，B 两种支付方式都不使用的有 5 人，样本中仅使用 A 和仅使用 B 的学生的支付金额散布状况以下：2000 元大于 2000 元支付不大于2019高考试题汇编文科数学---概率统计.doc金额支付方式仅使用 A27 人 3 人仅使用 B24 人 1 人（Ⅰ）预计该校学生中上个月 A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，求该学生上个月支付金额大于2000 元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 B 的学生中随机抽查的支付金额大于2000 元．联合（Ⅱ）的结果，可否定为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于有变化？说明原因．1 人，发现他本月2000 元的人数【答案】（Ⅰ） 400 人；（Ⅱ）1；25（Ⅲ）看法析.【分析】剖析】( Ⅰ)由题意利用频次近似概率可得知足题意的人数；( Ⅱ)利用古典概型计算公式可得上个月支付金额大于2000 元的概率；( Ⅲ)联合概率统计有关定义给出结论即可.【详解】（Ⅰ）由图表可知仅使用 A 的人数有 30 人，仅使用 B 的人数有25 人，由题意知 A,B 两种支付方式都不使用的有 5 人，【40 ，所以样本中两种支付方式都使用的有10030255所以全校学生中两种支付方式都使用的有401000400 （人）. 100（Ⅱ）因为样本中仅使用 B 的学生共有 25 人，只有1 人支付金额大于2000 元，所以该学生上个月支付金额大于2000 元的概率为1.25（Ⅲ）由（Ⅱ）知支付金额大于2000 元的概率为1，25因为从仅使用 B 的学生中随机检查 1 人，发现他本月的支付金额大于2000 元，依照小概率事件它在一次试验中是几乎不行能发生的，所以能够以为仅使用 B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化，且比上个月多.【点睛】此题主要考察古典概型概率公式及其应用，概率的定义与应用等知识，意在考察学生的转变能力和计算求解能力 .（ 2019 天津文）15.2019 年，我国实行个人所得税专项附带扣除方法，波及儿女教育、持续教育、重病医疗、住房贷款利息或许住宅租金、奉养老人等六项专项附带扣除. 某单位老、中、青职工分别有72,108,120人，现采纳分层抽样的方法，从该单位上述职工中抽取25 人检查专项附带扣除的享受状况.（Ⅰ）应从老、中、青职工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的 25人中，享受起码两项专项附带扣除的职工有 6 人，分别记为A, B, C, D, E, F . 享受状况如右表，此中“ d ”表示享受，“×”表示不享受. 现从这 6 人中随机抽取 2 人接受采访 .职工A B C D E F项目儿女教育○○×○×○持续教育××○×○○重病医疗×××○××住宅贷款利息○○××○○住宅租金××○×××奉养老人○○×××○（ i （ ii ）试用所给字母列举出全部可能的抽取结果；）设 M 为事件“抽取的 2 人享受的专项附带扣除起码有一项同样”，求事件M发生的概率.【答案】（ I） 6 人， 9 人， 10人；（ II）（ i）看法析；（ ii）11.15【分析】【剖析】（I）依据题中所给的老、中、青职工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，联合样本容量求得结果；（II）（ I）依据 6 人中随机抽取 2 人，将全部的结果一一列出；（ ii）依据题意，找出知足条件的基本领件，利用公式求得概率.【详解】（ I）由已知，老、中、青职工人数之比为6:9:10，因为采纳分层抽样的方法从中抽取25 位职工，所以应从老、中、青职工中分别抽取 6 人，9 人，10 人.（ II）（ i）从已知的 6 人中随机抽取2人的全部可能结果为A,B , A,C ,A, D,A,E , A,F,B,C,B,D ,B, E, B,F,C, D,C,E,C, F, D,E , D,F ,E, F,共 15 种；（ ii）由表格知，切合题意的全部可能结果为A,B ,A,D ,A,E ,A,F , B,D,B,E ,B,F , C,E , C,F ,D, F, E,F ,共11种，所以，时间 M 发生的概率P( M )11. 15【点睛】本小题主要考察随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本领件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考察运用概率知识解决简单实质问题的能力.(2019 江苏 )5.已知一组数据6， 7， 8， 8， 9，10，则该组数据的方差是____.【答案】53【分析】【剖析】由题意第一求得均匀数，而后求解方差即可.【详解】由题意，该组数据的均匀数为67889108 ，615所以该组数据的方差是[(68)2(7 8)2(88)2(8 8)2(98)2(108)2 ].63【点睛】此题主要考察方差的计算公式，属于基础题.(2019 江苏 )6.从 3名男同学和 2 名女同学中任选 2 名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中起码有 1 名女同学的概率是 _____.【答案】710【分析】【剖析】先求事件的总数，再求选出的 2 名同学中起码有 1 名女同学的事件数，最后依据古典概型的概率计算公式得出答案 .【详解】从 3 名男同学和2 名女同学中任选2名同学参加志愿服务，共有C5210 种状况.若选出的2名学生恰有1名女生，有 C31C21 6 种状况，若选出的 2 名学生都是女生，有C22 1 种状况，所以所求的概率为61710.10【点睛】计数原理是高考考察的要点内容，考察的形式有两种，一是独立考察，二是与古典概型联合考察，因为古典概型概率的计算比较明确，所以，计算正确基本领件总数是解题的重要一环.在办理问题的过程中，应注意“”“ ”“”“ ”.审清题意，明确分类分步，依据次序有无，明确摆列组合(2019 江苏 )25.在平面直角坐标系 xOy 中，设点集A n{(0,0),(1,0),(2,0),,( n,0)} ，B n (0,1),( n,1)},C n{(0,2),(1 ,2),(2,2), L ,( n,2)}, n N . 令 M n A n U B n U C n.从会合M n中任取两个不同的点，用随机变量X 表示它们之间的距离.（1）当 n=1 时，求 X 的概率散布；（2）对给定的正整数 n（ n≥3），求概率 P（ X≤n）（用 n 表示） .【答案】（ 1）看法析；（ 2）看法析 .【分析】【剖析】(1)由题意第一确立 X 可能的取值，而后利用古典概型计算公式求得相应的概率值即可确立散布列；(2) 将原问题转变为对峙事件的问题求解P X n的值，据此分类议论① . b d ，②.b0,d 1 ，③. b 0,d 2 ，④ . b1,d 2 四种状况确立X知足X n 的全部可能的取值，而后求解相应的概率值即可确立P X ≤ n 的值 .【详解】（ 1）当n 1 时，X的全部可能取值是1， 2，2， 5．X 的概率散布为P( X 1)772)442,P(X215，C615C6P(X 2)22,P(X5)2 2 ．C 6215C6215（ 2）设A( a，b)和B(c，d )是从M n中拿出的两个点．因为 P(X n)1P( X n) ，所以仅需考虑X n 的状况．①若 b d ，则AB n ，不存在 X n 的取法；②若 b0，d1，则AB( a c)21n21，所以 X n 当且仅当AB n21，此时 a0 ，c n 或a n ，c0 ，有 2 种取法；③若 b0，d2，则AB(a c) 24n2 4 ，因为当 n 3 时，(n1)24n ，所以X n 当且仅当AB n24，此时 a0 ，c n 或 a n ，c0 ，有2种取法；④若 b1，d2，则AB( a c)21n21，所以X n 当且仅当 AB n21，此时 a0 ，c n 或a n ，c0 ，有 2 种取法．综上，当X n 时，X的全部可能取值是n2+1和n2 4 ，且P( X n2 1)4,P( X n24)2．C2n24C2n24所以， P(X n)1P( X n2 1)P( X n24)16．C 2n24【点睛】此题主要考察计数原理、古典概型、随机变量及其概率散布等基础知识，考察逻辑思想能力和推理论证能力．（ 2019 浙江） 7.设0 a 1，则随机变量X 的散布列是：则当 a 在0,1 内增大时（）A. D X增大B. D X减小C. D X 先增大后减小D. D X先减小后增大【答案】 D【分析】【剖析】研究方差随 a 变化的增大或减小规律，常用方法就是将方差用参数 a 表示，应用函数知识求解.此题依据方差与希望的关系，将方差表示为 a 的二次函数，二测函数的图象和性质解题.题目有必定综合性，着重重要知识、基础知识、运算求解能力的考察 .【详解】方法1：由散布列得E(X )1a，则32222 D(X)1a01 1 a a1 1 a112a11，则当 a 在(0,1)内增大时，333333926 D( X ) 先减小后增大.a2 1 (a 1)22a22方法 2：则D(X) E X2E(X) 02a 2 2a133399924应选 D.【点睛】易出现的错误有，一是数学希望、方差以及两者之间的关系掌握不熟，无从着手；二是计算能力差，不能正确获得二次函数表达式.。
2019年高考试题分类汇编(统计与概率)
2019年高考试题分类汇编（统计与概率）考点1 统计考法1 简单随机抽样1．（2019·全国卷Ⅰ·文科）某学校为了解1000名新生的身体素质，将这些学生编号为1，2，，1000，从这些新生中用系统抽样方法等距抽取100名学生进行体质测验.若46号学生被抽到，则下面4名学生中被抽到的是A．8号学生 B．200号学生 C．616号学生 D．815号学生2.（2019·天津卷·文科）2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有72，108，120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况.（Ⅰ）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？（Ⅱ）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A B C D E F.享受情况如右表，其中“”表示享受，“⨯”表示不享受.现从,,,,,（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率.考法2数字特征1.（2019·全国卷Ⅱ·理科）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A．中位数 B．平均数 C．方差 D．极差2.（2019·全国卷Ⅱ·文理科）我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 .3.（2019·江苏卷）已知一组数据6,7,8,8,9,10，则该组数据的方差是 .4.（2019·全国卷Ⅰ·文理科）古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的0.618≈，称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，则其身高可能是A ．165cmB ．175cmC ．185cmD ．195cm9.（2019·全国卷Ⅱ·文科）某行业主管部门为了解本行业中小型企业的生产情况，随机调查了100个企业，得到这些企业第一季度相对于前一年第一季度产值增长率y 的频数分布表：（Ⅰ）分别估计这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例、产值负增长的企业比例；（Ⅱ）求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.（精确到0.018.602≈考点2 概率考法1古典概型1.（2019·全国卷Ⅱ·文科）生物实验室有5只兔子，其中3只测量过某项指标，若从这5只兔子随机取出3只，则恰有2只测量过该项指标概率为A ．23B ．35C ．25D ．152.（2019·江苏卷）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是 .3.（2019·全国卷Ⅲ·文理科）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.84.（2019·全国卷Ⅰ·理科）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“—”和阴爻“--”，右图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．1116考法2相互独立事件的概率1.（2019·全国卷Ⅰ·理科）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一对赢得四场胜利时，该队获胜，决赛决赛）.根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果互相独立，则甲队以4:1获胜的概率为 .2.（2019·全国卷Ⅱ·理科）11分制乒乓球比赛，每赢一球得1分，当某局打成10:10平后，每球交换发球权，先多得2分的一方获胜，该局比赛结束.甲、乙两位同学进行单打比赛，假设甲发球时甲得分的概率为0.5，乙发球时甲得分的概率为0.4，各球的结果相互独立.在某局双方10:10平后，甲先发球，两人又打了X个球该局比赛结束.（Ⅰ）求(2)P X=；（Ⅱ）事件“4X=且甲获胜”的概率.3.（2019·天津卷·理科）设甲、乙两位同学上学期间，每天7:30之前到校的概率均为23.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数，求随机变量X 的分布列和数学期望；（Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率.考法3 频率分布直方图1.（2019·全国卷Ⅲ·文理科）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成A 、B 两组，每组100只，其中A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液，每组小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：记C 为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到()P C 的估计值为0.70．（Ⅰ）求乙离子残留百分比直方图中a ，b 的值；（Ⅱ）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．2.（2019·北京卷·文科）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布（Ⅰ）估计该校学生中上个月A ，B 两种支付方式都使用的人数；（Ⅱ）从样本仅使用B 的学生中随机抽取1人，求该学生上个月支付金额大于2000元的概率；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B 的学生中，随机抽查1人，发现他本月的支付金额大于2000元，结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.甲离子残留百分比直方图 乙离子残留百分比直方图考点3 分布列1.（2019·北京卷·理科）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变.近年来，移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A ，B 两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A ，B 两种支付方式都不使用的有5人，样本仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布（Ⅰ）从全校学生中随机抽取1人，估计该学生上个月A ，B 两个支付方式都使用的概率； （Ⅱ）从样本仅使用A 和仅使用B 的学生中各随机抽取1人，以X 表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数，求X 的分布列和数学期望；（Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化，现从样本仅使用A 的学生中，随机抽查3人，发现他们本月的支付金额大于2000元.根据抽查结果，能否认为样本仅使用A 的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化？说明理由.则当a 在(0,1)内增大时， A ．()D X 增大 B ．()D X 减小C ．()D X 先增大后减小 D ．()D X 先减小后增大3.（2019·全国卷Ⅰ·理科）为治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物实验.试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮的试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的更有效.为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X . （Ⅰ）求X 的的分布列；（Ⅱ）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，i p （0,1,,8i =）表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，1i i p ap -= 1i i bp cp +++（1,2,,7i =），其中(1)a p X ==-，(0)b p X ==，(1)c p X ==.假设0.5α=，0.8β=.①证明：1{}i i p p +-（1,2,,7i =）为等比数列；②求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性. 考点4 独立性检验1.某商场为提高服务质量，随机调查了50名男顾客和50名女顾客，每位顾客对（Ⅰ）分别估计男、女顾客对该商场服务满意的概率； （Ⅱ）能否有95%的把握认为男、女顾客对该商场服务的评价有差异？附：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.。